高斯光束的矩孔和圆孔衍射_蔡祥宝
调制空心高斯光束通过圆孔与园环光阑的衍射特性
Ａｂｓｒ ｃ ：Ｆ ｏ ｔ ｅ ＣＯＬ ＮＳ ｆｒ ｔａ ｔ ｒ ｍ ｈ Ｕ ｏ ｍｕｌ ａ．ｔ ｅ ｄ ｆｒｃ ｉｎ ｏ ｄｉ ｅ ｏｌｗ ｕ ｓａ ｅ ｍｓ ｈ ｉ ａ ｔｏ ｆｍｏ ｆ ｄ ｈ ｌｏ Ｇａ ｓ ｉ ｎ ｂ ａ ｉ
（ Ｇ ｓ ｈｏ ｇ ｎ ｕａ ｐ ｒ ｒ ｎ ｉ ｕａ ｐｒ ｒ ｗ ｒ ｓ ｄｅ ．Ｔ ｅｓ ｕａｉ ｅ Ｈ Ｂ ）ｔｒｕｈ ａｎ ｌ ａ ｅ ｕｅａ ｄｃｒ ｌ ａ ｅ ｕｅ ｅｅ ｔ ｉｄ ｈ ｉ ｌｔ ｎ ｒ— ｒ ｔ ｃ ｒ ｔ ｕ ｍ ｏ
摘要： 为了研究 空心 高斯光束及其通过 圆孔与 园环光 阑的衍射特性 ， Ｃ Ｌ Ｉ Ｓ 式出发 ， 从 Ｏ ＬＮ 公 利用 Ｍａ －
ｐｅ ｌ软件进行 了具体的数值计算． 结果表 明： 取空心高斯光束阶数值 为 １ ， Ｏ 当圆孔孔径在 １～１ １ ． 倍束 腰 时， 横截 面上 光强调制 明显 ． 轴上光强随 Ｆ的变化趋势为 ： 当菲涅耳数小于 ４ 出现调 制现 象 ； ， 当菲 涅耳数大于 ４时 ， 衍射调制被抑制． 圆环 内孔 径为 ０ ９倍束 腰 ， ． 当外孔小 于 １３倍 束腰时 ， ． 衍射后 轴 上光强随 Ｆ出现周期振荡 的调制特性 ； 当外孔大于 １５倍束腰时 ， 射后轴上光强调制被有效压抑． ． 衍 上述结果为选择光阑提供 了合理参数 ．
ｓｚ ｉｅ，ｉ ｈ ｅｏ ｔｒｃｒ ｕ ａ ｐｅ ｕｒ ｓｌｓ ｈ ｎ １ ３ ｔｍｅ ｆｔ ｅ ｂ ａ ｗａｓ ｉｅ，ｔ ｅ ｈ — ｆｔ ｕ ｅ ｉｃ ｌ ａ ｒ ｅ ｉ ｅ ｓｔ ａ ． ｉ ｓｏ ｈ ｅ ｍ ｉｔｓｚ ｒ ｔ ｈ ｎ ｔｅ ａ ｘ ｉｌｉ ｔ ｎ ｉ ｉｔｉ ｔ ｎ ｐ ａ ｄ ｌｔｏ ｈ ｒ ｃｅ ｉｔ ｓｏ ｅ ｉｄｉ ｓ ｉｌｔｏ ｓｗｉ ｉ— ａ ｎ ｅ ｓｔ ｄ ｓｒｂｕ ｏ ｓａ ｐｅ ｒｍｏ ｕ ａｉｎ ｃ ａ ａ ｔ ｒｓｉ ｆｐ ｒｏ ｃ ｏ ｃ ｌ ｉｎ ｔ Ｆ ｎ ｙ ｉ ｃ ａ ｈ ｃ ｅ ｓｎ ．Ｗ ｈ １ ｈ ｍｏ ｕｌｔ ｎ ｃ ａ ａ ｔｒｓ ｃ ｉａ ｅ ｓ ｔ ｏ ｔ ｒ ｃｒ ｕ ａ ｐ ｒｕ ｅ ｉ ｒａｉｇ ｉｅ ｔ ｅ ｄ ａ ｏ ｈ ｒ ｃ ｅ ｔ ｓ ｄ ｓ ｐｐ ａ ａ ｈｅ ｕ ｅ ｉｃ ｌ ａ ｅ ｒ ｓ ｉ ｉｉ ｒ ｒ ｔ ｂｉｇ ｒｔ ａ ． ｉ ｓｏ ｅ ｂｅ ｍ ｉｔｓｚ ． ｇ ｅ ｈ ｎ １ ５ ｔｍｅ ｆｔ ａ ｗａｓ ｉｅ ｈ ｔｒ ｏ ｉ ｒ ｃ ｉｎ． ｅ ｆ ｒｄ ｆ ａ ｔ ｓ ｏ
圆环孔径衍射高斯光束远场发散角研究
Ｆａ ｒ －ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ ｄ ｉ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ｆ ｏ ｒ Ｇａ ｕ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ ｂ ｅ ａ ｍ ｕ ｎ ｄｅ ｒ
ａ ｎ ｎ ｕ ｌ ａ ｒ ａ ｐｅ ｒ ｔ ｕ ｒ ｅ ｄ ｉ ｆｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ
Ｗａ ｎ ｇ Ｃｈ ａ ｏ ，Ｄ ｏ ｎ ｇ Ｋｅ ｙ ａ ｎ ，Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ Ｌｕ ｎ ，Ａ ｎ Ｙａ ｎ ＇
该 条件 一般 能 够被 满 足 。
关键 词 ：衍射 光 学 ； 高斯 光束 ； 圆环孔 径 ； 远 场发散 角
中 图分类 号 ： ０ ４ ３ ６ ． １ ； Ｔ Ｎ ９ ２ ９ ． １ １ 文 献标 志码 ： Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ ７ — ２ ２ ７ ６ （ ２ ０ １ ５ ） １ ２ — ３ ６ ３ ４ — ０ ５
王 超 ． 一 ， 董 科研 ， 江 伦１ ， ２ ， 安 岩１ ， ２
（ １ ． 长春 理 工 大学 空 间光 电技 术 国 家地 方联 合 工程研 究 中心 ，吉林 长春 １ ３ ０ ０ ２ ２ ；
２ ． 长春 理 工大 学 空地激 光通信 技 术重 点 学科 实验 室，吉林 长春 １ ３ ０ ０ ２ ２ ）
ｅ ｘ ｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ ，ａ ｎｄ ｈｅ ｔ ｆ ｒ －ｆ ａ ｉｅ ｌ ｄ ｄ ｉ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｄ ｂ ｙ ｈｅ ｔ ｓ ｅ ｔ ｗｏ ｅ ｘ ｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎｓ ｗｅ ｒ ｅ ｎ ｅ ｒｌ ａ ｙ ｉ ｄ ｅ ｎ ｉ ｔ ｃ ａ １ ．Ｔｈ ｅ ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ｗａ ｓ ｎ ｏ ｍｏ ｒ ｅ ｔ ｈ ａ ｎ ２． ７ ％ ．Ｃｏ ｍｐ ｒｅ ａ ｄ ｗｉ ｈ ｔ ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ａ ｉｔ ｄ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｍｅ ｈｏ ｔ ｄ ｏ ｆ ｇ ｅ ｔ ｉｎ ｔ ｇ ｔ ｈ ｅ ｂ ｅ ｍ ａ ｄ ｉ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ｂ ｙ ｎ ｕｍｅ ｉｃ ｒ ａ ｌ
圆孔衍射图样
二者常常同时存在。 例如，不是极细缝情况下的双缝干涉，就应该 既考虑双缝的干涉，又考虑每个缝的衍射。
2024/10/13
26
光学仪器的分辨本领
二、圆孔夫琅禾费衍射
S
D
圆孔衍射图样：由一个中央亮斑和一组明暗相间的同心圆环组成；
2024/10/13
k 1 k 3.3
d
最高3级； 共7条谱线
43
P398 例题10-2 用波长＝546.1nm的绿光垂直照射每厘米有3000条刻 线的光栅，该光栅的刻痕宽和透光缝宽相等，问：
能看到几条光谱线？各谱线衍射角多大？
2024/10/13
44
作业： P401，选择题：1，2，8，9 P404， 一. 1
R 1 D
1.22
人眼瞳孔：D =2~6mm
=68~23
望远镜： DM = 6m
= 0.023
例题：汽车二前灯相距1m，设 解：人眼的最小可分辨角
=500nm 人眼瞳孔直径为 5mm。
问：1）人眼的最小分辨角？
2）对迎面而来的汽车，离多远能 分辨出两盏亮灯？
0
1.22
D
L0 1m
L 8200m
1m
L?
2024/10/13
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望远镜： 不可选择，但 D R
▲ 世界上最大的光学望远镜： D=8m
建在了夏威夷山顶。 ▲世界上最大的射电望远镜：
D = 305 m 建在了波多黎各岛的
Arecibo，能探测射到整个
地球表面仅1012W的功率，
也可探测引力波。
2024/10/13
33
光学谐振腔理论-第8节-高斯光束的传输
05 高斯光束的未来发展与应 用
高斯光束在光学通信中的应用
高速光通信
高斯光束在光学通信中具有较高的传输速度和较低的信号衰减，有助于实现高 速、大容量的光通信系统。
远程通信
高斯光束具有较好的光束质量和传输稳定性，适用于长距离的光纤通信，有助 于实现远程、稳定的通信连接。
高斯光束在光学传感中的应用
03 高斯光束的调制与控制
高斯光束的相位调制
01
相位调制是指通过改变高斯光束的相位分布来改变其波前的状 态。
02
常见的相位调制方法包括利用液晶空间光调制器、光栅或其他
光学元件对高斯光束进行相位调制。
相位调制在光学通信、光学传感和光学计算等领域有广泛应用，
03
可以实现光束的聚焦、散焦、波形转换等功能。
高斯光束的波前测量
波前测量概述
波前是描述光束相位变化的物理量，高斯光束的波前测量有助于 了解光束的传播特性和干涉、衍射等光学现象。
波前测量方法
常用的波前测量方法有干涉法、散斑法、剪切干涉法等，可以根据 高斯光束的特点和测量精度要求选择合适的方法。
测量误差来源
波前测量误差主要来源于光束的聚焦、光束截面分布、光学元件的 误差等因素。
高斯光束的聚焦特性
聚焦原理
高斯光束经过透镜聚焦后，其横截面 上的强度分布会发生变化，形成明暗 相间的干涉条纹。
干涉条纹
干涉条纹的形状取决于透镜的焦距和 光束的束腰半径。当透镜焦距一定时 ，束腰半径越小，干涉条纹越密集； 反之，则越稀疏。
02 高斯光束在光学谐振腔中 的应用
光学谐振腔对高斯光束的影响
偏振态调制是指通过改变高斯光 束的偏振状态来改变其电磁场分
布。
常见的偏振态调制方法包括利用 偏振片、电光晶体或液晶等对高
标准和优美厄米-高斯光束通过圆环孔衍射的比较
标准和优美厄米-高斯光束通过圆环孔衍射的比较苏婷燕;顾菊观;曹佳妍;杜琴画;胡凯【摘要】标准厄米-高斯光束(Standard Hermite-Gaussian beam,SHGB)和优美厄米-高斯光束(Elegant Hermite-Gaussian beam,EHGB)是厄米-高斯光束的两个特殊解.应用柯林斯(Collins)公式研究两种光束通过圆环孔的衍射特性,用Matlab软件进行一些数值模拟.模拟结果表明:这两种光束通过圆环孔的衍射存在明显差异,在x、y轴方向上SHGB衍射光强始终比EHGB大,差异来源于标准厄米-高斯光束与优美厄米-高斯光束的场分布的差异.【期刊名称】《物理与工程》【年(卷),期】2015(025)001【总页数】5页(P71-75)【关键词】标准厄米-高斯光束;优美厄米-高斯光束;圆环孔;衍射【作者】苏婷燕;顾菊观;曹佳妍;杜琴画;胡凯【作者单位】湖州师范学院理学院,浙江湖州 313000;湖州师范学院理学院,浙江湖州 313000;湖州师范学院理学院,浙江湖州 313000;湖州师范学院理学院,浙江湖州 313000;湖州师范学院理学院,浙江湖州 313000【正文语种】中文激光通过复杂光学系统的传输特性，一直是科学工作者感兴趣的研究课题［1－8，10－14］．目前，对标准厄米－高斯光束的研究相对比较多，而对优美厄米－高斯光束［13，14］的研究则相对较少；另外，对于圆环孔的衍射研究虽然有涉及但是能查阅到的文献相对比较少，而且研究方向比较单一．基于这些情况，本文对比两种光束，并运用柯林斯公式研究了标准厄米－高斯光束和优美厄米－高斯光束通过圆环孔的衍射特性，利用Matlab进行一些数值模拟并分析衍射特性．二维标准厄米－高斯光束的场分布可用下式表示［6，10，11，13，14］二维优美厄米－高斯光束的场分布可用下式表示［6，13，14］其中，E0是振幅；k是波数；px，py分别为在x和 y方向的复曲率半径；Np，Nq分别为p阶和q阶厄米多项式；ωx，ωy分别为厄米－高斯光束在x和y方向的束腰大小．两种光束表达式区别主要在于：二者厄米多项式中相差系数p＝4，q＝6阶数的两种光束的光强分布如图1所示（图中纵坐标I为相对光强）．由图可知，虽然两者只在厄米多项式中相差系数，但是其光强分布相差甚远．SHGB光束的光强远远比EHGB光束的大；且SHGB光束边缘的光强比中心的大，而EHGB光束光强集中在中心．显然，可猜测这两种光束通过圆环孔的衍射肯定也存在很大差异．二维的标准厄米－高斯光束通过半径为r的圆孔的近轴ABCD光学系统，它的输出场可用柯林斯衍射积分表示为将硬边圆孔的窗口函数拓展为一组有限复高斯函数之和［9］式中，al和bl分别为展开系数和复高斯函数系数．标准厄米－高斯光束通过半径为r的圆孔后，出射场用柯林斯衍射积分公式运算可得出射场分布二维标准厄米－高斯光束通过圆孔的出射场分布的传输近似分析解与文献［10］、文献［11］一致．类似地，可求得二维优美厄米－高斯光束经积分运算通过圆孔的出射场分布对于光束通过圆环孔的解析结果，利用公式E＝E2（r2）－E2（r1）即可求得相应光束通过圆环孔的光强，而r2，r1分别是圆环孔的外半径和内半径．对式（5）、式（7）进行积分计算，应用Matlab分别得到SHGB与EHGB光束通过圆环孔（内半径r1＝0．5mm，外半径为r2＝1．0mm）的衍射特性．假设束腰在孔面上，取E0＝1，λ＝632．8nm，ωx＝ωy＝ω0＝1mm．厄米－高斯光束的厄米多项式的微分表达式为则p＝4，q＝6［6］时：对于SHGB：由图2（a）、（b）（I为相对光强）可知，z轴上相对光强的振动变化随着观察屏远离衍射屏（即圆环孔）其振动逐渐消失；从一开始的几何投影区，到距离孔较远的菲涅耳衍射区（即近场衍射区域），到相距甚远的夫琅禾费衍射区（即远场衍射区），3个区之间是逐步发生改变的［10］．比较图2可以发现SHGB光束与EHGB光束通过圆环孔的衍射，在菲涅耳衍射区SHGB的整体光强比EHGB的小；SHGB光束菲涅耳衍射区过渡到夫琅禾费衍射区对应的z比EHGB光束要大，其原因是SHGB光束光强分布不集中；在夫琅禾费衍射区，SHGB的整体光强比EHGB的大，并且SHGB衰减相对比较缓慢，而EGHB相对衰减较快，其原因是由两束光的光强分布差异引起的．根据图2，比较图3（a）、（b）、（c）、（d）（I为相对光强）可知，在菲涅耳衍射区两种光束的衍射存在明显差异，EGHB的衍射峰比SGHB的衍射峰多，且整体衍射光强较小，其原因是EGHB光强整体分布比SGHB相应减小．比较图3（e）、（f）、（g）、（h）可知，在夫琅禾费衍射区，两种光束通过圆环孔的衍射图样有相近，但仍然存在一定的分布形状差异，其原因是两束光的光强分布有较大的差异；其衍射强度都是SHGB衍射光强较大．y轴方向的衍射光强图样和分布情况与x轴方向相似，不再以图表示，其原因是光强分布是一致的．本文用柯林斯公式分析和由Matlab软件进行数值模拟得到了厄米多项式p＝4，q ＝6的标准厄米－高斯光束和优美厄米－高斯光束通过圆环孔的衍射光强分布图．模拟结果表明：SHGB光束、EHGB光束通过圆环孔的衍射，光强I跟z的关系变化趋势基本一致，SHGB光束菲涅耳衍射区过渡到夫琅禾费衍射区对应的z比EHGB光束要大，SHGB衰减比EGHB相对比较缓慢，SHGB整体衍射光强比EHGB要大．在x、y轴方向上SHGB衍射光强始终比EHGB大；两种光束通过圆环孔的衍射图样有相近，但仍然存在一定的分布形状差异．［1］ Gu Juguan，Zhao Daomu，Mei Zhangrong，et al．Propagation characteristic of the two－dimensionaal off－axial Hermie－cosh－Gaussian beams through rectangular apertured and misaligned optical systems ［J］．Optik ＆Laser Technology，2005（37）：173－179．［2］ Gu Juguan，Zhao Daomu．Relative phase shift of two－dimensional cosine－Gaussian beams passing through apertured paraxial ABCD optical systems［J］．Optik，2004，115（2）：67－70．［3］顾菊观，甘亮勤，徐海斌，等．厄米－高斯光束通过双矩孔的传输特性［J］．激光与红外，2006，36（7）：584－586．［4］徐海斌，甘亮勤，顾菊观．厄米－高斯光束通过硬边光阑的自由传输特性［J］．激光与红外，2005，35（10）：779－781．［5］戴兵，贺安之，朱兆青．一类与椭圆和矩形相关的孔径的夫琅禾费衍射研究［J］．大学物理，2003，22（3）：5－8．［6］吕百达．激光光学［M］．3版．北京：高等教育出版社，2003：10－12．［7］季小玲，吕百达．厄米－高斯光束通过多个硬边光阑复杂光学系统变换的计算机模拟［J］．强激光与粒子束，2003，15（9）：845－849．［8］ Gu Juguan，Zhao Daomu．Propagation characteristics of Gaussian beams through a paraxial ABCDoptical system with an annular aperture ［J］．Journal of Modern Optics，2005，52（8）：1065－1072．［9］ Wen J J，Breazeale M A．A diffraction beam field expressed as thesuperposition of Gaussian beams［J］．J Acoust．Soc．Am．1988（83）：1752－1756．［10］杨平，顾菊观，张亚萍，等．厄米－高斯光束通过圆孔衍射的两种计算方法比较［J］．物理与工程，2011，21（5）：20－23．［11］杨平，顾菊观，张亚萍，等．厄米－高斯光束通过三角形与圆形围成孔的衍射［J］．广西物理，2011，32（2）：28－30．［12］张亚萍，顾菊观，杨平，等．平顶－高斯光束通过圆形与三角形围成孔的衍射［J］．物理通报，2012（8）：23－25．［13］ Saghafi S，Sheppard C J R，Piper J A．Characterising elegant and standard Hermite－Gaussian beam modes［J］．Optics Communications，2001（191）：173－179．［14］ Lu Baida，Ma Hong．A comparative study of elegant and standard Hermite－Gaussian Beams［J］．Optics Communications，2000（174）：99－104．。
第六章高斯光束详解
波阵面是垂直于z轴的平面，平面上各点的振幅 相等，相位相同。
振幅A0与x，y无关，即垂直于光束传播方向的 横截面上的光强是均匀的。
1.2 均匀同心光束
波峰
E( x, y, z) A1 eikr r
K 2
r x2 y2 z2
特点：
k
k
波谷
波阵面是与点光源为球心的球面，球面上各点 的相位相同。
高斯光束的透镜变换要点示意
A
A’
（a）
C ω
ω ˊ Cˊ
-R
Rˊ
高斯光束透镜变换
（b）
4.2 求解实际问题的三个步骤：
入射高斯光束:
腰到透镜的距离z
束腰半径ω 0， 透镜的焦距f′
出射高斯光束:
束腰位置z′ 束腰半径ω0′
① 根据束腰位置z和束腰半径ω 0，求出入射高
斯激光束在透镜上的光束截面半径ω 和波面半 径R；
2
z ' 100.00mm
入射光束的束腰位于 透镜前焦点
出射光束的束腰位 于透镜的后焦点
4.3 透镜变换和几何光学成像规则的对照
0
1
z 02
2
1
2
R
z
1
02 z
2
1 1 R' R
'
1 f'
0
=
2
1+
2 R
2
z
R
1
R' 2
2
消去中间变量
1
z F
2
0
z 2
1
02
高斯激光束的传播过程中
光束半径ω 与z之间不符
合线性关系.
ω
高斯光束经圆形光阑衍射的远场发散特性
高斯 光束 是一个 经典 的光 束模 型 ， 在实 际 的光 学系 统 中或多 或少用 到光 阑特别 是 圆形 光 阑 。因此 ， 而 高斯 光 束经 圆形光 阑 的衍 射特 别受 到光学 工作 者们 的关 注 。傍 轴高斯 光 束经 圆形光 阑弱 衍射后 的远 场可 视为另 一 个 参数 略为不 同 的傍 轴高 斯光 束口 。沈锋 等人研 究 了各种 不 同中心遮 拦和 不 同光 束截 断 比对高斯 光束 远场 环 ］ 围能量分 布 的影响口 。吕百 达 和赵道 木等人 采 用不 同的方 法 分别 给 出 了傍 轴 高 斯光 束 经带 光 阑 ＡＢ Ｄ 光 学 ］ Ｃ
第 ２ ４卷第 ９期
２１ ０ ２年 ９月
强 激 光 与 粒 子 ‘ 束
ＨＩ ＧＨ ＰＯＷ ＥＲ ＬＡＳＥＲ Ａ ＮＤ ＰＡＲＴＩ ＣＬＥ ＢＥＡＭ Ｓ
Ｖ ｏ ． ４，ＮＯ １２ ．９
Ｓｅ ．，２ ２ ｐ ０１
文 章 编 号 ： １０ —３ ２ ２ １ ）９２４ —６ ０ １４ ２ （ ０ ２ ０ — ０ ７０
传 输公式 ， 利用 标量 角谱法 分析 了高斯 衍射 光束 的远 场特性 ］ 并 。通过采 用两 种不 同 的处 理方 法 ， 国泉 等 周 人 给 出了高斯 光束经 圆形 光 阑衍射后 的远 场矢 量结 构［ ］ ８ 。由于 圆形光 阑半 径对 高 斯衍 射 光 束远 场 发 散角 的 影 响对实 际应 用至关 重要 ， 因此 有必要 研究 高斯 衍射 光束 的远场 发散 特性 。Ｅ Ｍ． ｒ ｇ 等 人导 出 了傍 轴高 斯 ． Ｄｖｅ 光束 经 圆形光 阑衍射 后远 场发 散角 的近似 解析 表达式 ［ 但 所得 结果 不适用 于 发散 度较 大 或横 向光 斑 尺寸 可 １ ， 与 波长相 比拟 的高斯 衍射 光束 。 目前 ， 生 大角 度 光 束 的激 光 光 源不 断 诞 生 ； 产 同时 微 型衍 射 光 学 元件 普 遍 使
矩孔,单缝圆孔的弗朗禾费衍射
积分式表示孔径上各点子波的相干叠加。叠 加结果取决于各点发出的子波与中心点发出 子波的位相差。
5
夫琅合费衍射与傅立叶变换(1) 傅里叶变换的分类
傅里叶 变换
时间域 变换
空间域 变换
f(t)
(时间)频谱f(ω)
时间空间频率 可互相转化
f (z) (空间)频谱f (k)
f (x,y)
角谱f (kx,ky)
a
C
2 a
b
2 b
exp iklx1 my1 dx1dy1
22
16
E~ x, y
a
C
2 a
b
2 b
exp iklx1 my1 dx1dy1
22
a
b
C
2 a
exp
ik
lx1
dx1
2 b
exp
ik
my1
dy1
2
2
sin kla sin kmb Cab 2 2
kla kmb 2 2
2 2 r l r l f
v ky k y 1 y 1 y . y方向上的空间频率
2 2 r l r l f
f(x,y) 可 表 示 为 空 间 频 率 (u,v) 连 续 的 基 元 函 数
F(u,v)exp[i2(ux+vy)]的线性叠加; F(u,v)是这些基元函数
的权重，叫做函数f(x,y)的傅立叶变换或空间频谱.
E
x1
,
y1
exp
ik
x1
x f
y1
y f
dx1dy1
E x, y C
E
x1,
y1
exp
i
kx x1 k y y1