简单超静定结构弯矩图
结构力学弯矩图练习
设 有 静 定 与 超 静 定 杆 件 结 构 ， 二 者 除 了 支 承 情 况 不 同 外 ， 其 余 情 况 完 全 相 同 ， 则 在 同 样 的 荷 载 作 用 下 超 静 定 的 比 静 定 的 变 形 要 大 。
（ ）图 a 与 图 b 的 内 力 除 E 、F 点 附 近 截 面 外 ， 其 它 截 面 相 同 。
（ ）(a llhh(b ll图 示 桁 架 ， 当 杆 C D 截 面 积 A 增 加 一 倍（ 其 它 杆 截 面 积 不 变 ）， 则 其 应 力 就 减 小 一 倍 。
（ ）PCD超 静 定 结 构 中 如 果 要 降 低 某 些 杆 截 面 弯 矩 10 %， 可 把 该 杆 惯 性 矩 增 大 10 % 。
（ ）若 不 考 虑 轴 向 变 形 ， 则 欲 求 图 示 结 构 D 点 有 单 位 水 平 位 移 时 产 生 的 弯 矩 图 ， 可 以 采 用 力 矩 分 配 法 。
（ ）A BCD图 示 结 构 中 ，E I = 常 数 ， EI 1=∞ , 全 长 受 均 布 荷 载 q ，则 ： A . M ql AB =-212/ ;B . M AB =0 ;C. M ql AB =-28/ ;D . M ql AB =-131082/ 。
（ ）EI ABEI 1l /3l /3l /3EI 1图 示 结 构 中 ，梁 式 杆 EI = 常 数 ，链 杆 C D 截 面 积 为 A ，且 I Aa =2， 则 轴 力 N CD 等 于 ：A . -P;B. -P /2 ; C . 0 ;D . -P /4 。
（ ）a a图 a 和 b 图 结 构 的 基 本 频 率 分 别 为 ωa 和ωb ， 则 ：A . ωωa b > , 但 不 等 于 2ωb ;B . ωωb a > , 但 不 等 于 2ωa ;C . ωωa b = ;D . ωωb a =2 。
第十四章：超静定结构
Fl3 8EI
0
l3 2EI
X1
l3 3EI
X2
l2 2EI
X3
5Fl3 48EI
0
3l 2
l2
2l
Fl 2
2 EI
X1
2EI
X2
EI
X3
8EI
0
14
化简，得：
32l X1 12l X 2 36X 3 3Fl 0 24l X1 16l X 2 24X 3 5Fl 0 12l X1 4l X 2 16X 3 Fl 0
14
11
1 EI
1 2
l
l
2l 3
l3 3EI
1 ql 2 2
1F
1 EI
1 3
ql2 2
l
3l 4
ql4 8EI
M图
11X1 1F 0
l
M图
X1
1F
11
ql4
8EI l3
3 ql （方向向上） 8
3EI
14
例2：解图示超静定问题。
多余约束可以是结构外部的（多余支撑条 件），也可以是结构内部的。
14
2.内部约束
多余内部约束的实例：
ab
静定
二次超静定
三次超静定 14
具有多余内部约束的结构的特点：平衡 方程可以求出所有反力，但不能求出所有内 力。
一个超静定结构，去掉 n 个约束后成为 静定结构，则原结构为 n 次超静定结构。
材料力学 简单的超静定问题
FN 3 l 3 E 3 A3
FN1
FN3
a a A
A1 FN2
l3
FN 3l3 E 3 A3
(3)
(4)补充方程：由几何方程和物理方程得：
F N 1l1 E1 A1
2
cos a
(5)联解（1）、（2）、（3）式，得:
FN 1 FN 2 E1 A1 F cos a 2 E1 A1 cos a E 3 A3
第六章
简单的超静定问题
1
第六章
§6-1
§6-2
简单的超静定问题
超静定问题及其解法
拉压超静定问题
§6-3 §6-4
扭转超静定问题 简单超静定梁
2
§6-1
超静定问题及其解法
1.单纯依靠静力平衡方程能够确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
2.单纯依靠静力平衡方程不能确定全部未知力（支反 力、内力）的问题，称为超静定问题。 相应的结构称为超静定结构。
3
F N3 A3 9F 14 A [ ]
F
[F ]
14 9
14 9
[ ] A
[ ] A
11
[例6-2-4]木制短柱的四角用四个40404的等边角钢 加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和 []2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。 解：（1）以压头为研究对象, 设每 个角钢受力为FN1，木柱受力为FN2.
14
B
1
D
C
3 2
(2) 几何方程
l1 ( l 3 ) cos a
超静定结构(精)
第4章超静定结构§4.1 超静定结构特性●由于多余约束的存在产生的影响1. 内力状态单由平衡条件不能惟一确定，必须同时考虑变形条件。
2. 具有较强的防护能力，抵抗突然破坏。
3. 内力分布范围广，分布较静定结构均匀，内力峰值也小。
4. 结构刚度和稳定性都有所提高。
●各杆刚度改变对内力的影响1. 荷载作用下内力分布与各杆刚度比值有关，与其绝对值无关。
2. 计算内力时，允许采用相对刚度。
3. 设计结构断面时，需要经过一个试算过程。
4. 可通过改变杆件刚度达到调整内力状态目的。
●温度和沉陷等变形因素的影响1. 在超静定结构中，支座移动、温度改变、材料收缩、制造误差等因素都可以引起内力，即在无荷载下产生自内力。
2. 由上述因素引起的自内力，一般与各杆刚度的绝对值成正比。
不应盲目增大结构截面尺寸，以期提高结构抵抗能力。
3. 预应力结构是主动利用自内力调节超静定结构内力的典型范例。
§4.2 力法原理●计算超静定结构的最基本方法超静定结构是具有多余联系（约束）的静定结构，其反力和内力（归根结底是内力）不能或不能全部根据静力平衡条件确定。
力法计算超静定结构的过程一般是在去掉多余联系的静定基本结构上进行，并选取多余力（也称赘余力）为基本未知量（其个数等于原结构的超静定次数）。
根据基本体系应与原结构变形相同的位移条件建立方程，求解多余力后，原结构就转化为在荷载和多余力共同作用下的静定基本结构的计算问题。
这里，基本体系起了从超静定到静定、从静定再到超静定的过渡作用，即把未知的超静定问题转换成已知的静定问题来解决。
●基本结构的选择（解题技巧）1. 通常选取静定结构；也可根据需要采用比原结构超静定次数低的、内力已知的超静定结构；甚至可取几何可变（但能维持平衡）的特殊基本结构。
2. 根据结构特点灵活选取，使力法方程中尽可能多的副系数δij = 0。
3. 应选易于绘制弯矩图或使弯矩图限于局部、并且便于图乘计算的基本结构。
结构力学--超静定问题典型习题解析
3
代入变形协调方程 wB = wC + ∆BC ，得
3 F a3 F a q(2a )4 FN (2a ) − = N + N 8EI 3EI 3EI EA
解得 FN =
2 qa 2 qa 3 A = 2 1 3a A + I 3+ 2 Aa
4
图示梁的右端为弹性转动约束，设弹簧常量为 k。AB 段可视为刚性，并与梁刚性连接。
()
3 结构如图示，设梁 AB 和 CD 的弯曲刚度 EI 相同。拉杆 BC 的拉压刚度 EA 已知，求拉杆 BC 的轴力。
C
a q A 2a B FN FN B FN C a FN a D a D
解题分析：将杆 CB 移除，则 AB、CD 均为静 定结构。杆 CB 的未知轴力 FN 作用在 AB，CD 梁上。为一度静不定问题。 解： 1、写出变形协调方程
2⎡
2
=
FR 3 EI
⎛ 3π 2 − 8 π − 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 8π ⎝ ⎠
6 结构如图 a 所示， AC = AD = BC = BD = a ，已知各杆弯曲刚度 EI 相同。A、B 点为刚 性连接，C、D 点为铰连接。将 C、D 点用一弹簧相连，弹簧常数为 2k。但由于弹簧短了 ∆ ， 强行相连后，在 A、B 点加力 F。试问：当 F 为多大时，弹簧回复到其原长？
C
D
A
B
A
B
(c-1) 题 1 图(c)
1
(c-2)
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(d) 解：图示结构为一封闭的圆圈，在任意截面截开后，有三个未知内力分量，故为三 度静不定。沿对称轴将圆环截开，由于对称性，轴力等于
F ，剪力等于零，只剩 2
超静定结构的计算
第二节力法
这样，原结构的内力计算问题就转变为基本结构在多余未知 力多的X余基1未本及知未荷力知载量Xq共1就，同是其作多余用余的下未计的知算内力就力。迎计刃算而问解题了了。。因只此要，设力法法求计出算
(二)力法方程 基本结构在月端不再受约束限制，因此在荷载y作用下月点
竖1小因5向-不此10位同基(d移而本)]向异结。下 ， 构显由 的[然图于 变在15形X二-11位是者0(c移取共)]状代，同态了在作应被X用1与拆下作原去B用点结约下竖构束月向完对点位全原竖移一结向将致构位随，的移X即作向1的B用上点大，[图 的余方竖未向向知产位力生移X的1位△共移1同必应作须与用为原下零结，，构在也在拆就X除是1方约说向束基的处本位沿结移多构相余在等未已。知知即力荷X:载1作与用多 △1=0 这就是基本结构应满足的变形谐调条件，又称位移条件。
用结所构示11、上。产则12生△、的11、1沿3 △表X11示2方、单向△位的13可力相以X应1表=位1示移, X为，2=如1,X图3=151-分12别(c作),(用d)于, (基c),本(d) 11 11X1、12 12 X 2、13 13 X 3，上面儿何条件(15-2)
中的第一式可以写为:
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第一节超静定结构基本知识
(1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆，相当于去掉一 个约束，如图15-3 (a),(b)所示的两个结构都多出来一个约束， 都是一次超静定结构。
(2)去掉一个铰支座或内部的一个单铰，相当于去掉两个约束。 图15-4 (a), (b)所示的两个刚架都多出来两个约束，都是二次 超静定结构。
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第二节力法
用力法计算超静定结构在支座移动所引起的内力时，其基本 原理和解题步骤与荷载作用的情况相同，只是力法方程中自 由项的计算有所不同，它表示基本结构由于支座移动在多余 约第束五处节沿“多支余 座未 移知 动力 时方 静向 定所 结引 构起 的的 位位 移移 计算△”iC，所可述用方第法十求四得帝。 此外，还应注意力法方程等号右侧为基本结构在拆除约束处 沿多余未知力方向的位移条件，也就是原结构在多余未知力 方正向值的，已否知则实 取际 负位 值移 。值△i，当△i与多余未知力方向一致时取
材料力学 第14章 超静定结构
39
目录
例题 14-4
M1 图
M F图
1 a 2 2a a3 ⋅ = δ11 = EI 2 3 3EI ∆1F 1 a 2 qa 2 qa 4 ⋅ =− 2 8 = − 16EI EI
40
目录
例题 14-4
由力法正则方程δ11 X1 + ∆1F = 0得： 3qa X1 = 16 3qa ∴X C = ，YC = 0，M C = 0 16 qa 3qa X A (→) = X B (←) = ,YA = YB = (↑) 16 2 qa 2 M A (顺时针) = M B (逆时针) = 16
25
目录
对 称 结 构
对称结构的对称变形
26
目录
对 称 结 构
对称结构的对称变形
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目录
对 称 结 构 对称结构的对称变形
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目录
对 称 结 构
对称结构的对称变形
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目录
对称结构，反对称载荷 对称结构，
判断载荷反对称的方法： 判断载荷反对称的方法：
将对称面（轴）一侧的载荷反向，若变为 将对称面（ 一侧的载荷反向， 对称的，则原来的载荷便是反对称的。 对称的，则原来的载荷便是反对称的。
24
目录
对 称 结 构
对称结构的对称变形－ 对称结构的对称变形－对称结构在对称载 荷作用下: 荷作用下:
约束力、内力分量以及变形和位移都是对称的; 约束力、内力分量以及变形和位移都是对称的; 反对称的内力分量必为零; 反对称的内力分量必为零; 某些对称分量也可等于零或变为已知。 某些对称分量也可等于零或变为已知
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目录
对称结构，反对称载荷 对称结构，
《材料力学》第6章 简单超静定问题 习题解
第六章 简单超静定问题 习题解[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。
设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则：B BD R N = F R N B CD += F R N B AC 3+=变形谐调条件为：0=∆l02=⋅+⋅+⋅EA aN EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N03)(2=++++F R F R R B B B45FR B -=（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45FN BD-= 445F F F N CD -=+-=47345FF F N AC=+-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。
试求各杆的轴力。
解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。
∑=0X030cos 30cos 01032=-+-N N N0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1)∑=0Y030sin 30sin 0103=-+F N N2013=+N N (2)变形谐调条件：设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知：00130cos 30sin x y l δδ+=∆x l δ=∆200330cos 30sin x y l δδ-=∆03130cos 2x l l δ=∆-∆2313l l l ∆=∆-∆设l l l ==31，则l l 232=223311233EA l N EA lN EA l N ⋅⋅=- 22331123A N A N A N =- 15023200100231⨯=-N N N23122N N N =-21322N N N -= (3)(1)、(2)、(3)联立解得：kN N 45.81=；kN N 68.22=；kN N 54.111=（方向如图所示，为压力，故应写作：kN N 54.111-=）。