中心极限定理介绍_王筑娟
第47讲 中心极限定理
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第47讲中心极限定理1§5.2 中心极限定理四川大学第47讲中心极限定理3第47讲中心极限定理四川大学四川大学第47讲中心极限定理4中心极限定理的概念Central Limit Theorems四川大学第47讲中心极限定理5在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量相互独立的随机因素的综合影响所形成，而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用是微小的。
这种随机变量往往近似地服从正态分布。
这种现象就是中心极限定理的客观背景。
本节将用中心极限定理来说明这种现象。
四川大学中心极限定理是说：在一定条件下，充分多的相互独立的随机变量的算术平均值将服从正态分布，不管这些随机变量本身服从什么分布。
四川大学四川大学第47讲中心极限定理6本节介绍了三个中心极限定理1. 列维-林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）2. 李雅普诺夫定理（独立不同分布的中心极限定理）自学3. 棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布的极限分布)四川大学四川大学四川大学第47讲中心极限定理7列维-林德伯格定理独立同分布的中心极限定理四川大学第47讲中心极限定理8四川大学第47讲中心极限定理17Jarl Waldemar Lindeberg 1876–1932芬兰数学家Paul Pierre Lévy1886-1971法国数学家Lévy法国数学家。
现代概率论开拓者之一，他在巴黎出生。
第一次世界大战期间，莱维是法国炮兵进行数学分析工作。
1920年，他被任命为在Ecole理工学院，在那里他的学生包括蒙德布罗特分析。
他留在莱维主要研究概率论和泛函分析。
他引入分布律的莱维距离、散布函数和集结函数、鞅、局部时等概念，对极限理论和随机过程理论作出了重要贡献。
概率论中的莱维过程(Lévy processes)，莱维测度（Lévy measure），莱维分布(Lévy distribution) 等都是以其命名。
中心极限定理的内容及意义
中心极限定理的内容及意义1. 中心极限定理呀，这可是个超神奇的东西呢！简单说就是不管原来的总体分布长啥样，只要样本量足够大，样本均值的分布就近似于正态分布。
就好比咱们学校组织抽奖，奖品有好多不同类型，一开始奖品的分布是乱七八糟的。
可是当抽奖的次数足够多，也就是样本量够大的时候，每次抽奖得到的平均奖品价值的分布就变得很有规律了，就像正态分布那样规规矩矩的。
这多奇妙啊！2. 中心极限定理的意义可不得了。
它就像一把万能钥匙，能打开很多统计学上的难题之门。
比如说，有个卖水果的小贩，他进的水果大小不一，最开始水果大小的分布特别复杂。
但是如果他每次称一大袋水果当作一个样本，称的次数多了，这些样本的平均水果大小就会遵循正态分布。
这让他能更好地预估自己水果的平均大小，然后定价啊，控制成本啥的，是不是超级有用？3. 嘿，中心极限定理！你知道吗？它让我们能在很复杂的情况下做出靠谱的估计。
想象一下，一个工厂生产各种形状和大小的零件，那些零件最初的尺寸分布乱得像一团麻。
但是呢，当我们从生产线每次取足够多的零件当作样本，样本的平均尺寸就会像听话的孩子一样，接近正态分布。
这就像给工程师们吃了颗定心丸，他们能根据这个来判断生产是否正常，多棒啊！4. 中心极限定理是统计学里的一颗璀璨明星啊。
它的内容就是告诉我们，即使总体是千奇百怪的分布，只要样本量上去了，样本均值的分布就向正态分布看齐。
就像一群性格各异的人，一开始乱哄哄的。
可是当把他们分成足够多的小组，每个小组的平均性格就会有一定的规律，就好像被正态分布的魔力给约束住了一样。
这对我们做调查研究可太有帮助了，能让我们从混乱中找到规律呢。
5. 哇塞，中心极限定理真的很牛！它的内容可以这么理解，无论总体的分布是像高山一样起伏不定，还是像迷宫一样错综复杂，只要样本数量足够大，样本均值的分布就会变得像正态分布那样平滑和有规律。
比如说，在一个大型的购物商场里，顾客的消费金额分布一开始各种各样。
中心极限定理
中心极限定理第一篇：中心极限定理中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。
而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。
它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。
因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。
中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。
即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
（三）李亚普洛夫中心极限定理设差：是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
概率论与数理统计5.2中心极限定理
n p(1 p)
2
n p(1
p)
1,
或
P
nA n
p
1
P
nA n
p
2
1
n p(1
p)
.
注：用这个关系式可解决许多计算问题.
例4 重复掷一枚质地不均匀的硬币, 设在每次试
验中出现正面的概率 p 未知. 试问要掷多少次才能
使出现正面的频率与 p 相差不超过1/100的概率达
,
所求概率为
k 0,1, ,10000.
7200
P{6800 X 7200}
Ck 10000
0.7k
0.310000k
.
k 6800
直接计算很麻烦, 利用德莫佛－拉普拉斯中心极限
定理来近似计算.
P{6800 X 7200}
P
7200
np
np(1 p)
X np
6800 np
Xn
k 1
是相互独立的、服从同一
(0－1) 分布的随机变量, 分布律为
P{ X i k} pk (1 p)1k , k 0, 1.
E( Xi ) p, D( Xi ) p(1 p) (i 1, 2, , n),
根据独立同分布中心极限定理得
n
lim P n
n np
np(1 p)
i 1
2. 德莫佛－拉普拉斯定理
设随机变量n (n 1,2,) 服从参数为n, p
(0 p 1)的二项分布, 则 对于任意 x, 恒有
lim P n
n np
np(1 p)
x
x
1
t2
e 2 dt ( x).
2π
3.5中心极限定理
n
n
设一列随机变量 ξ1 , ξ 2 ,..., ξ n ,... 满足： (1) 相互独立; (2)服从同样的分布; Dξ i σ 2 (3)期望和方差都存在：Eξ i μ, ( i 1,2,..., n,...) (4)方差不等于0. n 2 ξ i N nμ, nσ 则
12
在定理的条件下， 当n充分大时, 由
X i nμ P i 1 nσ
n
x 0 ( x )
1 n Xi μ n i 1 N (0,1) σ 近似 n
X
i 1
n
i
nμ
nσ
~ N (0,1) 近似
nμ, nσ 2 N
1 0 1, 第i 次A发生 Yi ~ 1 p p ( i 1,2,..., n ) Yi 0, 第i 次A不发生 Y1 Y2 ... Yn X ~ b( n, p)
n个参数均为p的 0-1分布的和 是二项分布.
定理3.12 ( 棣莫佛 – 拉普拉斯定理 )
x n p x np X n n p P X n x P 0 npq npq npq
定理3.12 ( 棣莫佛 – 拉普拉斯定理 )
设随机变量 X n ~ b( n, p ), 0 p 1, 则对一切 x ,
( 解 设第 i 个零件 的重量为 X i 公斤. i 1,2,...,1200) X 1 , X 2 ,..., X 1200 独立, 同分布; EX i 1 μ 0.12 2 1200 1200 DX i
12
P X i 1202 1 P X i 1202 i 1 i 1 1200 X i1200μ 12021200μ i 1 1 P 1200 σ 1200 σ
《D中心极限定》课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 引言 • 中心极限定理的起源与发展 • 中心极限定理的数学表述与证明 • 中心极限定理的应用举例 • 中心极限定理的推广与变种 • 中心极限定理的局限性 • 总结与展望
01
引言
适用范围
中心极限定理适用于任何独立同分布的随机变量 序列，无论它们的分布形状、均值和方差如何。
3
意义
中心极限定理是概率论和统计学中的基本定理之 一，它为正态分布在统计学和实际应用中的重要 性提供了理论支持。
中心极限定理的证明方法
数学证明
中心极限定理的证明通常涉及数学中的一些 高级技术，如概率论和级数求和等。
样本选择的偏见
如果样本选择存在偏见，那么中心极限定理的预测结果 也会受到影响。例如，如果样本只来自某个特定群体或 地区，那么得出的预测结果可能不适用于其他群体或地 区。
01
总结与展望
中心极限定理的意义与价值
01
中心极限定理是概率论和统计学中的基本定理之一，它描述了在独立同分布随 机变量的样本平均值的分布性质。这个定理在许多领域都有广泛的应用，如统 计学、金融、计算机科学等。
01
中心极限定理可以用来估计样本均值和样本方差，从而对总体
参数进行推断。
置信区间的构建
02
利用中心极限定理，可以构建总体参数的置信区间，从而对总
体参数进行区间估计。
假设检验
03
中心极限定理可以用来进行假设检验，通过比较样本统计量和
临界值，判断原假设是否成立。
在金融领域的应用
风险评估
中心极限定理可以用来评估金融投资的风险，通过模拟大量投资 组合的收益率分布，计算出风险值。
中心极限定理理解
中心极限定理理解一、啥是中心极限定理呢？咱就把它想象成一个很神奇的魔法。
比如说啊，有一堆乱七八糟的数据，它们单个看起来可能毫无规律，但是呢，当这些数据的数量变得超级多的时候，它们就会像被施了魔法一样，变得有规律起来。
这个规律就是会趋近于一种特定的分布，一般就是正态分布啦。
就好像一群调皮的小孩子，一开始各自乱跑乱跳，但是当人足够多的时候，就会慢慢形成一种像是排队一样的整齐状态。
这就是中心极限定理大概在做的事情，它让那些看起来杂乱无章的数据在大量的情况下有了一种秩序感。
二、中心极限定理的例子你看啊，假如我们去统计一个学校里每个学生每天的零花钱。
每个学生的零花钱肯定是各种各样的，有的多有的少，完全没个准儿。
但是如果我们把全校学生的零花钱都统计起来，而且这个学校的学生数量还特别大的话，那这个零花钱的总数或者平均数就会符合中心极限定理。
它就会趋近于正态分布。
这就好比每个学生的零花钱是一颗小珠子，一开始这些珠子散落在各处，但是当珠子的数量超级多的时候，它们就会堆成一个类似正态分布的形状。
再比如说掷骰子，掷一次骰子，结果是1到6中的任意一个数，完全随机。
但是如果我们掷很多很多次骰子，然后统计每次掷骰子结果的总和或者平均值，这个结果也会遵循中心极限定理，慢慢地靠近正态分布。
三、中心极限定理为啥重要呢？这可太重要啦！在实际生活中，它的应用超级广泛。
比如说在做市场调查的时候，我们要调查人们对某个产品的满意度。
每个被调查者的满意度是不同的，但是当调查的人数足够多的时候，我们就可以根据中心极限定理来对整体的满意度进行一个比较准确的估计。
还有在质量检测方面，如果一个工厂生产很多产品，每个产品的某个指标可能会有波动，但是当产品数量很大的时候，就可以用中心极限定理来判断这个生产过程是不是稳定。
要是没有这个定理，我们就很难从那些杂乱的数据中找到规律，就像在黑暗中摸瞎一样，不知道该怎么去处理那些大量的数据。
所以说啊，中心极限定理就像是我们在数据海洋里的一盏明灯，给我们指引方向，让我们能够对那些看似无序的数据进行有效的分析和处理呢。
概率论与数理统计§中心极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望
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Ｌ
证明 因为
定理 ３ Ｌ 多变量情形 ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ Ｆ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ定 理 ， － ｇ …） ， ， 设 Ｘｎ ｎ ＝ １， ２， 对每一个 ｎ（ ｎ ｊ １ ≤ｊ ≤ ｋ 是一列独立的 ， 在 Ｒ 空 间 中 取 值 的 随 机 向 量， 满
ｐ
σ 烄 ０ ０ Ｙ１烌 烄
ｊ＝１
（ ）对每个 ε ＞ ０， 当 ｎ → #时 ， ２
（ ｖ ａ ｒ Ｓｎ ）＝
ｉ＝１ ｊ＝１
（ ｏ ｖ Ｙ ∑ ∑ｃ
ｉ
， Ｙｊ）＝
第４期
ｎ
王筑娟 ： 中心极限定理介绍
（ ） 文章编号 ： １ ６ ７ １ ７ ３ ３ ３ ２ ０ １ ３ ０ ４ ０ ３ ２ ５ ０ ４ － － －
中心极限定理介绍
王筑娟
（ ） 上海应用技术学院 理学院 ， 上海 ２ ０ １ ４ １ ８
摘要 ： 包括独立 同 分 布 样 本 的 经 典 中 心 极 限 定 理 ， 独立但 对中心极限定理作了简明的介绍 ， 不同分布的 Ｌ ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ Ｆ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ中心极限定理和 ｍ－ 相依序列的中心极限定 理 。 特 别 对 ｍ－ 相 － ｇ 依序列中心极限定理 ， 给出了一个新的 、 更为简单易懂的证明 。 还讨论了对经典中心极限定理 包括 Ｂ 的近似的改进 ， ｅ ｒ ｒ Ｅ ｓ ｓ ｅ ｎ 界和 Ｅ ｄ ｅ ｗ ｏ ｒ ｔ ｈ 展式 。 － ｙ ｇ 关键词 ： Ｂ ｅ ｒ ｒ Ｅ ｓ ｓ ｅ ｎ界 ； Ｅ ｄ ｅ ｗ ｏ ｒ ｔ ｈ 展式 ｍ－ 相依平稳序列 ；中心极限定理 ； － ｙ ｇ 中图分类号 ：Ｏ２ １ ２． １ 文献标志码 ： Ａ
Ａ ｎ Ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ Ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｌ Ｌ ｉ ｍ ｉ ｔ Ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｓ
ＷＡＮＧ Ｚ ｈ ｕ ｕ ａ ｎ － ｊ
（ ， ， ） Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ Ｓ ｈ ａ ｎ ｈ ａ ｉ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ Ｓ ｈ ａ ｎ ｈ ａ ｉ ２ ０ １ ４ １ ８， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ｇ ｇ ｙ ｇ
大数定律和中心极限定理是统计学的两大基 前者确保了统 计 推 断 至 少 在 样 本 增 大 时 可 以 石， 无限接近真相 ， 而后者则给出了大多数统计量分 布的正态近 似
［ ］ １ ２ －
由多个独立的小误差所造成的结果 。 存在着许多 情形 ， 观 察 并 不 受 误 差 影 响， 但 是， 正态分布的合 理性仍然可 以 用 中 心 极 限 定 理 来 保 证 。 例 如 ， 一 定年龄的成年人的身高的分布可以被认为是正态 的， 因为身高可以 被 看 作 是 许 多 独 立 的 微 小 影 响 ， 的总和 。 正态分布并不是起源于 Ｇ 至 少， 它 ａ ｕ ｓ ｓ 零散地出现在 Ｄ 他证明了 ｐ＝ ｅ Ｍ ｏ ｖ ｉ ｅ的工作中 ， １ 时的贝努利场合 （ 即： 第ｎ 个随机变量是投掷硬 ２ 币的结果 ） 的中心极限定理 。 在概率论中 ， 中心极 限定理给出一定的条件 ， 在这些条件下 ， 足够多的
—
Ｌ
１ Ｘｋ －μｋ ２ ＋ δ ∑Ｅ ｓ ｎ ｋ＝１ 成立 ， 则
ｎ
２ ＋ δ
# →０
ｎ→
Ｓｎ － Ｅ Ｓｎ Ｌ ） ０， １ → Ｎ （ ｓ ｎ
１． ３ 平稳 ｍ－ 相依序列的中心极限定理 本节讨论 平 稳 ｍ － 相 依 序 列 的 中 心 极 限 定
Ｘ１ １ Ｘ２ １ Ｘ３ １ … Ｘ２ ２ Ｘ３ ２ Ｘ３ ３
） （ ； ０， １ ｎ → #） → Ｎ （
２ 反之 ， 如果当 ｎ → # 时 ， ｍ ａ ｘ σ ｎ ｎ ｊ≤ｎ ｊ →０及 ｚ
Ｌ
Ｌ ２ ，则Ｓｎ → Ｎ （ 。 ２∑σ ０， σ） ０ ｉ ｉ＝１ ｎ 槡
ｍ
＝
∑Ｘ
ｎ ｊ
）， 则Ｌ ０， １ ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ → Ｎ （ ｇ 条件成立 。
： ， Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ａ ｃ ｏ ｎ ｃ ｉ ｓ ｅ ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｌ ｌ ｉ ｍ ｉ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｓ ｗ ａ ｓ ｍ ａ ｄ ｅ ｉ ｎ ｃ ｌ ｕ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ ｇ ， ， Ｉ Ｉ Ｄ ｓ ａ ｍ ｌ ｅ ｓ Ｌ ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ Ｆ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ ｆ ｏ ｒ ｉ ｎ ｄ ｅ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｔ ｌ ｂ ｕ ｔ ｎ ｏ ｔ ｉ ｄ ｅ ｎ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｌ ｄ ｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｔ ｅ ｄ ｓ ｅ ｕ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｔ ｏ － ｐ ｇ ｐ ｙ ｙ ｑ ａ ｉ ｖ ｅ ｎ， ｒ ｏ ｏ ｆ ｒ ｏ ｖ ｉ ｄ ｅ ｄ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍ－ ｄ ｅ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｔ ｓ ｅ ｕ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ｗ ａ ｓ ｆ ｏ ｒ ｗ ｈ ｉ ｃ ｈ ａ ｎ ｅ ｗ ａ ｎ ｄ ｅ ｓ ａ ｔ ｏ ｆ ｏ ｌ ｌ ｏ ｗ ｗ ａ ｓ － － ｇ ｐ ｐ ｐ ｑ ｙ ， ， ｗ ｅ ｌ ｌ ． Ｍ ｏ ｒ ｅ ｏ ｖ ｅ ｒ ｓ ｏ ｍ ｅ ｉ ｍ ｒ ｏ ｖ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｌ ｌ ｉ ｍ ｉ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｓ ｗ ａ ｓ ａ ｌ ｓ ｏ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ ｉ ｎ ｃ ｌ ｕ ｄ ｉ ｎ ａ ｓ ｐ ｇ Ｂ ｅ ｒ ｒ Ｅ ｓ ｓ ｅ ｎ Ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｓ ａ ｎ ｄ Ｅ ｄ ｅ ｗ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｘ ａ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ｓ ． － ｙ ｇ ｐ ： ； Ｋ ｅ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ｍ－ ｄ ｅ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｔ ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｒ ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｌ ｌ ｉ ｍ ｉ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ； Ｂ ｅ ｒ ｒ Ｅ ｓ ｓ ｅ ｎ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｓ Ｅ ｄ ｅ ｗ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｘ ａ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ｓ － ｙ ｐ ｙ； ｙ ｇ ｐ
ｋ ｎ
ｋ ｎ
ｊ＝１
｜Ｘ ∑Ｅ （Ｌｎｊ２ Ｉ｛ ｜ Ｘｎ ｜＞ε｝） ｜ →０ ｊ
则
ｊ＝１
∑Ｘ
ｎ ｊ
。 ０， → Ｎ （ Σ）
对定理 ２ 和 ３， 要验证 Ｌ ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ ｇ 条件常常并 而下述定理 ４ 的条件却是容易验证的 ， 但 不容易 ， 是条件更强 。 定理 ４ Ｌ ａ ｕ ｎ ｏ ｖ 中 心 极 限 定 理 设 Ｘ１ ， ｙ ｐ …， 是 一 列 独 立 的 随 机 变 量， 满 足 Ｅ（ Ｘ２ ， Ｘｎ ） ＝
３ ２ ６
上海应用技术学院学报 （ 自然科学版 ）
第１ ３卷
具有有限均值和方差的随机变量的均值近似服从 正态分布 。 本文将给出中 心 极 限 定 理 的 简 明 介 绍 ： 包括 经典的独立同分 布 样 本 的 情 形 ， 独立但不同分布 ） 序列的林德伯 格 费 勒 （ 情 形， 和 Ｌ ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ Ｆ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ － ｇ
。正态分布在历史上称为误差
律， 被Ｇ 因 此， 它 ａ ｕ ｓ ｓ用作天 文 观 测 误 差 的 模 型 ， 通常被称为 Ｇ 自然 ” ａ ｕ ｓ ｓ分布 。Ｇ ａ ｕ ｓ ｓ考虑某些 “ 的误差分布的假设 ， 例如观察值的算术平均是 “ 最 被观测到 的 数 量 ， 导 出 了 正 态 分 布， 而不是 可能 ” 作为一些独 立 随 机 变 量 和 的 极 限 。 如 今 ， 中心极 使得可以用正态分布来拟合那些 限定理 （ Ｃ Ｌ Ｔ）
…
σ ０ ｍ
…
０
…烌 ０
σ ０ ０
σ ０ ｍ σ ０ ０
ｃ ｏ ｖ Ｙ２ ＝ σ ０ ｍ ０ σ 烆 烎 ０ ｍ 烆 所以对 ｎ≥ｍ
ｎ ｎ
（ ） 。 足Ｅ 如果 Ｘｎ ｏ ｖ Ｘｎ ｎ ｊ ＝ ０ 且协方差矩阵 Σ ｊ ＝ｃ ｊ
ｋ ｎ
０
烎
（ ）当 ｎ → # 时 ， Σｎ １ ∑ ｊ → Σ；
第１ ３卷 第４期 ２ ０ １ ３年１ ２ 月
上 海 应 用 技 术 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版） Ｊ ＯＵＲＮＡＬ Ｏ Ｆ ＳＨＡＮＧＨＡ Ｉ Ｉ Ｎ Ｓ Ｔ Ｉ ＴＵＴ Ｅ Ｏ Ｆ Ｔ Ｅ ＣＨＮＯ Ｌ ＯＧＹ（ ＮＡＴＵＲＡＬ Ｓ Ｃ Ｉ ＥＮＣ Ｅ）
Ｖ ｏ ｌ ． １ ３ Ｎ ｏ ． ４ ｅ ｃ ． ２ ０ １ ３ Ｄ
ｎ
#时
ｊ＝１
２ 其中 ， ｛ Ｉ｛ ｜Ｘｎ Ｘｎ ｜＞ε｝） Ｘｎ ｜＞ε｝ ｜ ｜ → ０， ｊ ｜Ｉ ｊ ｊ ∑Ｅ （
１， ｜Ｘｎ ＞ε ｊ｜ 是示性函数 ， 则 ｚｎ ＝ ＝ ｊ ∑Ｘｎ 其他 ０，
值 的 ｍ － 相 依 序 列， Ｓｎ ＝
｛
ｉ＝１
∑Ｙ
ｉ
。记 σ ０ ｊ ＝
２ （ ， …， ｃ ｏ ｖ Ｙｉ ， Ｙｉ＋ｊ） １， ｍ ，且 σ ＝σ ｊ ＝ ０， ０ ０ ＋
］ ， 该定理见文献 ［ 但是 ， 本文的证明是全新 理， ３ ４ － 的， 且其特点是比原有的证明更简单易懂 。 如 果 对 任 意 给 定 的 ｋ， 随机向量（ Ｘｔ＋１ ， …， 的联 合 分 布 与 ｔ 无 关 ， 则称序列 Ｘｔ＋２ ， Ｘｔ＋ｋ ） …， 是严平稳的 。 如果只要 ｊ－ 有 Ｘ１ ， Ｘ２ ， ｉ＞ｍ ， （ …， …） 和（ 独 立， 则称严 Ｘ１ ， Ｘ２ ， Ｘｉ） Ｘｊ ， Ｘｊ＋１ ， 平稳序列 ｛ 为 ｍ－ 相依的 。 Ｘｎ ｝ …） 定理 ５ 设 Ｙｉ（ 是一个具有０均 ｉ＝１， ２，