四川省自贡市届高三数学二诊试卷(文科)Word版含解析
2017年四川省自贡市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x|x2＞4}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，3）C．（0，2） D．（2，3）2．复数z满足：（3﹣4i）z=1+2i，则z=（）A． B．C． D．3．设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，x﹣lnx≤0 B．∀x＞0，x﹣lnx＜0C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0 D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤04．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或35．函数f（x+1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于（）A．直线x=1对称B．直线x=﹣1对称 C．点（1，0）对称 D．点（﹣1，0）对称6．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象可以由y=3sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度得到 B．向左平移个单位长度得到C．向右平移个单位长度得到 D．向左平移个单位长度得到7．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，且a2=﹣2，则a7=（）A．16 B．32 C．64 D．1289．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为（）A．20% 369 B．80% 369 C．40% 360 D．60% 36510．定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.11]=2，[﹣1.39]=﹣2，执行如下图所示的程序框图，则输出m的值为（）A．B．C． D．11．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A．36πB．πC．8πD．π12．已知△ABC的三个顶点均在抛物线x2=y上，边AC的中线BM∥y轴，|BM|=2，则△ABC的面积为（）A．2 B．2 C．4 D．8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则a=．14．已知实数x，y满足，若x﹣y的最大值为6，则实数m=．15．△ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足=2，则•=．16．设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=；f3（x）=f（f2（x））=．f4（x）=f（f3（x））=…根据以上事实，当n∈N*时，由归纳推理可得：f n（1）=．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．在△ABC中，交A、B、C所对的边分别为a，b，c，且c=acosB+bsinA （Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积的最值．18．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC（Ⅰ）若EG∥平面ABC，求的值；（Ⅱ）是否在线段BF上存在点G满足BF⊥平面AEG？请说明理由．19．自贡某工厂于2016年下半年对生产工艺进行了改造（每半年为一个生产周期），从2016年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示（如图）．已知每个生产周期内与其中位数误差在±5范围内（含±5）的产品为优质品，与中位数误差在±15范围内（含±15）的产品为合格品（不包括优质品），与中位数误差超过±15的产品为次品．企业生产一件优质品可获利润20元，生产一件合格品可获利润10元，生产一件次品要亏损10元（Ⅰ）求该企业2016年一年生产一件产品的利润为10的概率；（Ⅱ）是否有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．附：K2=．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率是，过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A、B两点，|AB|=2（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过点P（0，）的动直线l与椭圆E交于的两点M，N（不是的椭圆顶点）．求证：•﹣7是定值，并求出这个定值．21．已知曲线f（x）=ae x﹣x+b在x=1处的切线方程为y=（e﹣1）x﹣1（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）证明：x＞0时，＜exlnx+2（e为自然对数的底数）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρcos（θ﹣）=2．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+2a|（a∈R，且a≠0）（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）证明：f（x）≥2．2017年四川省自贡市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x|x2＞4}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，3）C．（0，2） D．（2，3）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，B={x|x2＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}，则A∩B={x|2＜x＜3}，故选：D．2．复数z满足：（3﹣4i）z=1+2i，则z=（）A． B．C． D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵（3﹣4i）z=1+2i，∴（3+4i）（3﹣4i）z=（3+4i）（1+2i），∴25z=﹣5+10i，则z=﹣+i．故选：A．3．设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，x﹣lnx≤0 B．∀x＞0，x﹣lnx＜0C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0 D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是∃x＞0，x﹣lnx≤0．故选：D．4．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或3【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由倍角公式求得sinα与cosα的数量关系，结合正弦、余弦以及正切函数的转化关系进行解答即可．【解答】解：∵2sin2α=1+cos2α，∴4sinαcosα=1+2cos2α﹣1，即2sinαcosα=cos2α，①当cosα=0时，，此时，②当cosα≠0时，，此时，综上所述，tan（α+）的值为﹣1或3．故选：D．5．函数f（x+1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于（）A．直线x=1对称B．直线x=﹣1对称 C．点（1，0）对称 D．点（﹣1，0）对称【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由偶函数的性质可知y=f（x+1）的图象关于y轴对称，根据平移变换可得y=f（x+1）与y=f（x）的图象关系，从而可得答案．【解答】解：因为y=f（x+1）是偶函数，所以y=f（x+1）的图象关于y轴对称，而把y=f（x+1）右移1个单位可得y=f（x）的图象，故y=f（x）的图象关于x=1对称，故选A．6．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象可以由y=3sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度得到 B．向左平移个单位长度得到C．向右平移个单位长度得到 D．向左平移个单位长度得到【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把y=3sin2x的图象向右平移个单位长度，可得f（x）═3sin2（x﹣）=3sin（2x﹣）的图象，故选：C．7．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1=2AB=2，则B（1，1，0），E（1，0，1），C（0，1，0），D1（0，0，2），=（0，﹣1，1），=（0，1，﹣2），设异面直线BE与CD1所形成角为θ，则cosθ===．异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C ．8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n +1，S n ，S n +2成等差数列，且a 2=﹣2，则a 7=（ ）A ．16B ．32C ．64D ．128 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由题意得S n +2+S n +1=2S n ，得a n +2=﹣2a n +1，从而得到{a n }从第二项起是公比为﹣2的等比数列，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n +1，S n ，S n +2成等差数列，且a 2=﹣2，∴由题意得S n +2+S n +1=2S n ，得a n +2+a n +1+a n +1=0，即a n +2=﹣2a n +1， ∴{a n }从第二项起是公比为﹣2的等比数列，∴．故选：C ．9．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m （m ＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（ ）A ．20% 369B ．80% 369C ．40% 360D ．60% 365【考点】等比数列的通项公式．【分析】设“衰分比”为a ，甲衰分得b 石，由题意列出方程组，由此能求出结果．【解答】解：设“衰分比”为a ，甲衰分得b 石，由题意得，解得b=125，a=20%，m=369． 故选：A ．10．定义[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.11]=2，[﹣1.39]=﹣2，执行如下图所示的程序框图，则输出m 的值为 （ ）A ．B ．C ．D ．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依据程序逐级运算，并通过判断条件n ＜7？调整运算的继续与结束，即可计算得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得m=3，n=1[3]=3为奇数，m=，n=3满足条件n＜7，执行循环体，[]=6不为奇数，m=，n=5满足条件n＜7，执行循环体，[]=6不为奇数，m=，n=7不满足条件n＜7，退出循环，输出m的值为．故选：B．11．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A．36πB．πC．8πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，其对角线AC∩BD=O，取AB的中点E，OE⊥AB，OE⊥侧面PAB，PE=2，AB=4．则点O为其外接球的球心，半径R=2．即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，其对角线AC∩BD=O，取AB的中点E，OE⊥AB，OE⊥侧面PAB，PE=2，AB=4．则点O为其外接球的球心，半径R=2．∴这个几何体外接球的体积V==π．故选：B．12．已知△ABC的三个顶点均在抛物线x2=y上，边AC的中线BM∥y轴，|BM|=2，则△ABC的面积为（）A．2 B．2 C．4 D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】作AH⊥BM交BM的延长线于H，求出|BM|，|AH|，即可求得△ABC 的面积．【解答】解：根据题意设A（a，a2），B（b，b2），C（c，c2），不妨设a＞c，∵M为边AC的中点，∴M（，），又BM∥y轴，则b=，故|BM|=|﹣b2|==2，∴（a﹣c）2=8，即a﹣c=2，作AH⊥BM交BM的延长线于H．==2|a﹣b|=a﹣c=2．故△ABC的面积为2S△ABM故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则a=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的b，由c=和e=，解关于a的方程，即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1的b=，c==，可得e===2，解得a=1．故答案为：1．14．已知实数x，y满足，若x﹣y的最大值为6，则实数m=8．【考点】简单线性规划．【分析】依题意，在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x﹣y=6，结合图形可知，要使直线x﹣y=6经过该平面区域内的点时，其在x 轴上的截距达到最大，直线x+y﹣m=0必经过直线x﹣y=6与直线y=1的交点（7，1），于是有7+1﹣m=0，即m=8．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，图形可知，要使直线x﹣y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+y﹣m=0必经过直线x﹣y=6与直线y=1的交点A（7，1），于是有7+1﹣m=0，即m=8．故答案为：8．15．△ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足=2，则•=6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先画出图形，结合条件及图形即可得出，然后进行数量积的运算即可求出的值．【解答】解：如图，===；∴==6．故答案为：6．16．设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=；f3（x）=f（f2（x））=．f4（x）=f（f3（x））=…根据以上事实，当n∈N*时，由归纳推理可得：f n（1）=（n∈N*）．【考点】数列递推式．【分析】根据已知中函数的解析式，归纳出函数解析中分母系数的变化规律，进而得到答案．【解答】解：由已知中设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=；f3（x）=f（f2（x））=．f4（x）=f（f3（x））=…归纳可得：f n（x）=，（n∈N*）∴f n（1）==（n∈N*），故答案为：（n∈N*）三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．在△ABC中，交A、B、C所对的边分别为a，b，c，且c=acosB+bsinA （Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积的最值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦函数化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A；（Ⅱ）由条件和余弦定理列出方程化简后，由不等式求出bc的范围，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，c=acosB+bsinA，由正弦定理得，sinC=sinAcosB+sinBsinA，∵sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，∴sin（A+B）=sinAcosB+sinBsinA，化简得，sinBcosA=sinBsinA，∵sinB＞0，∴cosA=sinA，则tanA=1，由0＜A＜π得A=；（Ⅱ）∵a=2，A=，∴由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，则，即，解得bc≤，当且仅当b=c时取等号，∴△ABC的面积S=，∴△ABC的面积的最大值是．18．如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC（Ⅰ）若EG∥平面ABC，求的值；（Ⅱ）是否在线段BF上存在点G满足BF⊥平面AEG？请说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由线面平行的性质定理可得过EG的平面与平面ABC交于CD，D在AB上，连接GD，CD，可得EG∥CD，根据线面平行的判定定理和性质定理，证明CE∥GD，可得四边形GDCE是平行四边形，进而得到G为BF的中点；（Ⅱ）根据面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，建立空间直角坐标系，求出F，B，C，E的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算•，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）EG∥平面ABC，过EG的平面与平面ABC交于CD，D在AB上，连接GD，CD，由线面平行的性质定理可得EG∥CD，又因为AF∥CE，AF=2CE，CE⊄平面ABF，AF⊂平面ABF，CE∥平面ABF，CE⊂平面CEGD，可得CE∥GD，则四边形GDCE是平行四边形，即有AF∥GD，AF=2GD，即G为BF的中点，则=；（Ⅱ）因为平面ABC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，所以AF⊥AB，AF⊥BC，因为BC⊥AB，所以BC⊥平面ABF．如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz．设AB=AF=BC=2，则F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1），因为•=（﹣2，0，2）•（2，2，1）=﹣2×2+2=0×2+2×1=﹣2≠0，所以BF与AE不垂直，所以不存在点G满足BF⊥平面AEG．19．自贡某工厂于2016年下半年对生产工艺进行了改造（每半年为一个生产周期），从2016年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示（如图）．已知每个生产周期内与其中位数误差在±5范围内（含±5）的产品为优质品，与中位数误差在±15范围内（含±15）的产品为合格品（不包括优质品），与中位数误差超过±15的产品为次品．企业生产一件优质品可获利润20元，生产一件合格品可获利润10元，生产一件次品要亏损10元（Ⅰ）求该企业2016年一年生产一件产品的利润为10的概率；（Ⅱ）是否有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．附：K2=．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）确定上、下半年的数据，可得“中位数”，优质品，合格品，次品的个数，可得该企业2016年一年生产一件产品的利润为10的概率；（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，即可得出是否有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．【解答】解：（Ⅰ）上半年的中位数是35，优质品有6个，合格品有10个，次品有9个；下半年的“中位数”为33，优质品有10个，合格品有10个，次品有5个，∴该企业2016年一年生产一件产品的利润为10的概率为=0.4；（Ⅱ）由题意得：K2==1.47由于1.47＜3.841所以没有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率是，过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A、B两点，|AB|=2（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过点P（0，）的动直线l与椭圆E交于的两点M，N（不是的椭圆顶点）．求证：•﹣7是定值，并求出这个定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A、B两点，得|AB|==2…①由离心率是，得…②由①②得a，b，c；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）．直线l的方程为：y=kx+；联立整理得（1+2k2）x2+4kx+2=0，，，，即可进行向量运算．【解答】解：（Ⅰ）∵过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A、B两点，∴|AB|==2…①∵离心率是，∴…②由①②得a=2，b=，c=．∴椭圆方程：．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）．直线l的方程为：y=kx+，联立整理得（1+2k2）x2+4kx+2=0，，，．，，∴•﹣7=﹣6x1x2﹣6y1y2+7（y1+y2）﹣21=（﹣6﹣6k2）x1x2+k（x1+x2）﹣3=．：•﹣7是定值﹣15，21．已知曲线f（x）=ae x﹣x+b在x=1处的切线方程为y=（e﹣1）x﹣1（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）证明：x＞0时，＜exlnx+2（e为自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程，根据系数对应相等，求出a，b的值，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）问题等价于xln x＞xe﹣x﹣，分别令g（x）=xlnx，h（x）=xe﹣x﹣，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ae x﹣1，f（1）=ae﹣1+b，f′（1）=ae﹣1，故切线方程是：y﹣ae+1﹣b=（ae﹣1）（x﹣1），即y=（ae﹣1）+b=（e﹣1）x﹣1，故a=1，b=﹣1，故f（x）=e x﹣x﹣1，f′（x）=e x﹣1，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，0）=0；故f（x）极小值=f（（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）f（x﹣1）+x=e x﹣1，故问题等价于xln x＞xe﹣x﹣设函数g（x）=xln x，则g′（x）=1+ln x，所以当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣，设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．所以当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣；因为g min（x）=h（1）=h max（x），所以当x＞0时，g（x）＞h（x），故x＞0时，＜exlnx+2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρcos（θ﹣）=2．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线C的普通方程，即可求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求直线l被曲线C截得的弦长．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（φ为参数），普通方程为x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0，∴曲线C在极坐标系中的方程为ρ=4sinθ；（Ⅱ）直线l的方程为ρcos（θ﹣）=2，即x+y﹣4=0，圆心到直线的距离d==，∴直线l被曲线C截得的弦长=2=2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+2a|（a∈R，且a≠0）（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）证明：f（x）≥2．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=﹣1时，通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质以及基本不等式的性质证明即可．【解答】（Ⅰ）解：a=﹣1时，f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥5，x≥2时，x+1+x﹣2≥5，解得：x≥3，﹣1＜x＜2时，x+1+2﹣x≥5，无解，x≤﹣1时，﹣x﹣1﹣x+2≥5，解得：x≤﹣2，故不等式的解集是{x|x≥3或x≤﹣2}．（Ⅱ）证明：f（x）=|x﹣|+|x+2a|≥|x+2a+﹣x|=|2a|+||≥2，当且仅当|2a|=||，即a=时”=“成立．2017年3月30日。
四川省自贡市高三数学第二次诊断性考试试卷 文
自贡市普高2015届第二次诊断性考试数 学（文史类）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）.第一部分1至3页，第二部分4至6页，共6页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，只交回答题卡，试题卷学生自己保留.第一部分（选择题 共50分）注意事项：1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上. 2．本部分共10小题，每小题5分，共50分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合M ={0，3}，N ={1，2，3}，则M ∪N ＝（A ）{}3 （B ）{}01,2，（C ）{}1,2,3 （D ）{}0,231，， 2. 函数xy a =在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为 （A ）12（B ）2（C ）4 （D ）143. 已知11xyi i=-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为 （A ）12i + （B ）12i -（C ）2i + （D ）2i - 4. 下列算式正确的是（A ）26+22＝28（B ）26－22＝24（C ）26×22＝28（D ）26÷22＝235. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为63， 则①处应填的数字为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）76. 若不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为M ，现有四个命题1:(,),2 2.p x y M x y ∀∈+≥-2:(,),2 2.p x y M x y ∃∈+≤3:(,),2 4.p x y M x y ∀∈+≤4:(,),2 1.p x y M x y ∃∈+≤-其中正确的命题是（A ）12,p p （B ）23,p p （C ）14,p p （D ）13,p p 7. 如图所示为函数π()2cos()(0,0)2f x x ωϕωϕ=+>≤≤的部分图像，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么 (1)f -=（A ）2- （B ）3-（C ）3 （D ）28. 如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，F 在线段CD 上，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r，AF xa yb =+u u u r r r ，则14x y+的最小值为（A） （B ）93（C ）9 （D ）9. 已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线y 2=2px （p ＞0）上，若4AF BF +=u u u r u u u r，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 （A ）1 （B ）1或3（C ）2 （D ）2或610. 函数,0()( 2.71828)21,x x ef x e x e x e <≤⎧⎪==⎨-->⎪⎩K ，若函数()()1g x f x mx =-+恰有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是（A ）1(1e + （B ）1(,1)1e + （C ）13(,]1e e + （D ）1(,))1e -∞+∞+U第二部分(非选择题 共100分)注意事项：1. 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效．2. 本部分共11小题，共100分.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. tan()3π-= .12. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形， 那么该几何体的体积是 .13. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线b y x a=与圆22420x y x +-+=相切，则该双曲线的离心率是 . 14. 设函数1()1f x x b=+-，若,,a b c 成等差数列（公差不为零），则()()f a f c += .15. 设函数()y f x =在区间(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(,)a b 上的导函数为()f x ''，若在区间(,)a b 上，()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在区间(,)a b 上为“凸函数”.例如函数()ln f x x =在任意正实数区间(,)a b 上都是凸函数.现给出如下命题：①区间(,)a b 上的凸函数()f x 在其图象上任意一点(,())x f x 处的切线的斜率随x 的增大而减小；②若函数(),()f x g x 都是区间(,)a b 上的凸函数，则函数()()y f x g x =也是区间(,)a b 上的凸函数；③函数 在区间(,)a b 上为凸函数，则b a -的最大值为3；④已知函数 (1,2)，则对任意实数x 、0(1,2)x ∈，000()()()()f x f x f x x x '≤+-恒成立.其中正确命题的序号是 .（写出所有正确命题的序号）三、解答题：共6小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题共12分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x x m n ==u r r ，43211()1126f x x x x x =--+-1(),f x x x =-∈设n m x f ⋅=)(.（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=， 若∆ABC 为等腰三角形，求()f A 的值.17.（本小题共12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2121a a =+，424S S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，2()n n c b n N *=∈，102n n na T ++=，求数列{}n c 的前n 项和n R .18.（本小题共12分）为了预防某病毒爆发，某生物技术公司研制出一种该病毒疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个样本分成三组，分组 A 组 B 组C 组疫苗有效 673 ab 疫苗无效7790c（Ⅰ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，应在C 组抽取样本多少个？ （Ⅱ）已知465,30,b c ≥≥求通过测试的概率.19.（本小题共12分）如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下底ABCD 是边长为2的正方形，上底A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，侧棱DD 1⊥平面ABCD ，DD 1=2.（Ⅰ）求证：B 1B ∥平面D 1AC ； （Ⅱ）求证：平面D 1AC ⊥平面B 1BDD 1.20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为2F ，点(0,3)B 为短轴的一个端点，260OF B ∠=︒.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点2F ，且斜率为(0)≠k k 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线,AE AF 分别交直线3=x 于点,M N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为'k .求证: 'k k ⋅=43-.21. （本小题共14分）设m x =和n x =是函数x a x x x f )2(21ln )(2+-+=的两个极值点，其中R a n m ∈<,.（Ⅰ）设()()()g a f m f n =+，求函数()g a 的定义域和值域； （Ⅱ）若21-+≥ee a ，求()()f n f m -的最大值.( 2.71828e =K )。
自贡普高级第二次诊断性考试数学文科
自贡市普高2010级第二次诊断性考试数学(文史类)审核：吴付平第I 卷(选择题，共60分)3, 4}, M={1 , 2} , N={2 , 3}，则 C U (M U N)等于(B){2}(C){1 , 3 , 4} (D){4}2、y=1 + log ： (a>0,且 a * 1的反函数是 6、 已知直线l 1的方向向量为 a=(-1, 3),直线l 2的方向向量为b=(1 , k),且l 2过点(0 , 5) , l 1丄I 2 , 则l 2的方程为 (A)x-3y+15=0 (B)x-3y+5=0 (C)x+3y-5=0 (D)x-3y-15=07、 对于R 上可导的任意函数f(x),若满足(x-a)f 'x) >0则必有(A)f(x) >(a)(B)f(x)<f(a)(C)f(x)賈a)(D)f(x) >a)x 8、若实数x , y 满足条件xy一、选择题： 1、若全集U={1, 2, (A){1 , 2, 3, }(A)y=a x-1(x € R) (B)y=a x-1(x>1) (C)y=a x-1(x € R) (D)y=a x-1(x>1)3、 已知命题 P : | a|<2 ,且|b|<1 ,命题 Q : |a-b|<1 ,命题 P 是命题 Q 的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分又不必要条件4、 对于平面a 和共面的直线m , (A)若 m 丄 a, m ± n ,贝U n 〃(C)若 m a , n //2x 1 5、 不等式|丝」| aa ,贝 U m / n12丄的解集是x (A){x|0< x<2}1(B){x|0< x< 2 }n , F 列命题中真命题是(B)若 m / a , n // a,贝 U m // n(D)若m 、n 与a 所成角相等，则m // n(C){x|1<x<2}1(D){x|x>-}y 13y 0 0则上1的取值范围是 3x-3(A)[ 7，1】 9、 点P 是抛物线 小值是 (A) .51 (B )S ， y 2=4x 上的一动点, (B) 21] 1(D)[丄，1]2(C)[7, 1]P 到A(0, -1)的距离与P 到直线x=-1的距离之和的最A 、B 、 10、 如图，O 是半径为1的球的球心，点 垂直，E 、F 分别是大圆弧 AB AC 的中点，则点(A )乎 n(B )?(C)；11、 设定义在 R 上的函数f(x)满足f(x) f(x+2)=12 , (D)3且 f(2009)=2,则 f(-1)等于(D)2C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两 E 、F 在该球面上的球面距离是(A)12 (B)6 (C)3 (D)212、已知f(x), g(x)是定义在 R 上的函数，f(x)=a x g(x)(a>0且1,) 2卫9-丄卩 -1，在有穷数 g(i) g(-i) 列 型 (n=1, 2…，10)中，任意取正整数 k(1 Hk w 10)则前k 项和大于15的概率是g(n) 163 4(c )5(D)5自贡市普高2010级第二次诊断性考试数学(文史类) 第n 卷4小题，每小题4分，共16分•把答案填在题中横线上.13、 (x 2-1)6的展开式中的常数项为 ___________ (用数字做答)•x14、 向量a 与b 满足| a|=1 , |a-b|专,a 与b 的夹角为60 ,则|b|= __________________ . 15、 有红、黄、蓝三种颜色的小球各 5个，都分别标有字母A 、B 、CD 、E ,现取出5个,要求字母各不相同且三种颜色齐备，则有 _______ 种取法(用数字做答). 16、 观察下列数表：Ift 9 10 II 12 13 14则2010是此表中的第 ______ 行的第 _______ 个数.三、解答题：共6小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分12分)nnx已知函数 f(x)=sin( x ) sin( x-—)-2cos 2(x € R , w >0)6 6 2 (I )求函数f(x)的值域；(n )若x=n是函数f(x)的图像的一条对称轴且1<3<5，求f(x)的单调递增区间.318、(本小题满分12分)甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用 七局四胜制”即先赢四局者胜，若甲、乙两人水平相同，且已知甲先赢了前两局. (I )求乙取胜的概率； (n )求比赛进行完七局的概率. 19、 (本小题满分12分)如图，在直三棱柱 ABC-AB 1C1 中，/ ACB=90° 2AC=AA=BC=2 (I )若D 为AA 1的中点，求证：平面 BQD 丄BiCiD ; (n )若二面角B 1-DC-Q 的大小为60°求AD 的长. 20、 (本小题满分12分)已知函数f(x)= -1 x 3+bx 2-3a 2x(a 丰0在 x=a 处取得极值. (I )用 x , a 表示 f(x);1 2(A )5(B)5、填空题：本大题共(n )设函数g(x)=2x3-3af 'x)-6a3,如果g(x)在区间(0, 1)上存在极小值，求实数21、(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆C过点M(1，f )，F(- 2，0)是椭圆C的左焦点，上的两个动点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列.(I )求椭圆C的标准方程；(n)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.22、(本小题满分14分)已知数列｛a n｝中，a1=1, a n+1=2a n+n-1(n € N*).(I )证明：数列｛a n+n｝是等比数列；(n )记b n—，求数列｛b n｝的前n项和S;a n nt ntn 1(川)若-- 对一切n € N*恒成立，求非零实数t的取值范围.a n a n 1a的取值范围. P, Q是椭圆C自贡市普高2010级第二次诊断性考试数学试卷(文)参考答案及评分意见D 为 AA 1 的中点， AD = A 1D = AC = A 1C1 = 1 • DC = DC 1= 2、选择题：(每小题 5 分，共 60 分） DADCB ADBBD BC 、填空题：(每小题 13、15； 14、(文) 4分，共16分) 1 15、150 ； 16、(文) 11，987。
四川省自贡市2012级高三第二次诊断性考试(自贡二诊)(扫描版)：数学文
自贡市普高2012级第二次诊断性考试数学参考答案及评分标准一、选择题B D C A A C A B B D DC二、填空题13、（理）13、2114、116 15、10x y --= 16、②④ 13、（文）13、－20 14、340x y --= 15、116 16、②③ 三、解答题17、（Ⅰ）由0cos 3cos )32(//=⋅-⋅-C a A c b 得 ………（1分） 由正弦定理有0cos sin 3cos sin 3cos sin 2=--C A A C A B∴0)sin(3cos sin 2=+-C A A B 即0sin 3cos sin 2=-B A B ………（3分）∵),0(π∈B A 、 ∴0sin ≠B ，故23cos =A ， ∴ 6π=A ……（5分）（Ⅱ）∵6π=A ∴22cos sin(2)1cos 2sincos 2cossin 266B A B B B B ππ+-=++-)16B π=++ ……（8分） ∵ )23,1[)62cos(),611,6(62,650-∈+∴∈+∴<<πππππB B B ……（10分） ∴)25,31[1)62cos(3-∈++πB 即)2sin(cos 22B A B -+)25,31[-∈…（12分） 18、解：（文科）（Ⅰ）记“至少有1名四川理工学院志愿者被分到运送饮料岗位”为事件A ，设有四川理工学院志愿者)61(<≤x x 名， ∴531)(2626=-=-C C A P x，解之得：2=x ， 即来自四川理工学院的志愿者有2名，来自自贡职业技术学校的志愿者有4名。
……（3分）记“打扫卫生岗位恰好有四川理工学院、自贡职业技术学校的志愿者各1名”为事件B故158)(261412==C C C B P …………（6分） （Ⅱ）由题意函数22)(2+-=x x x f ξ在),1[+∞上为单调递增函数，则1≤ξ ……（8分） 故ξ的取值为1或0 ∴=)(A P 1514521582624261412=+=+C C C C C ……（12分） 18、（理科）（Ⅰ）记“至少有1名四川理工学院志愿者被分到运送饮料岗位”为事件A ，设有四川理工学院志愿者)61(<≤x x 名， ∴531)(2626=-=-C C A P x，解之得：2=x ， 即来自四川理工学院的志愿者有2名，来自自贡职业技术学校的志愿者有4名。
四川省自贡市田家炳中学2025届高三第二次联考数学试卷含解析
四川省自贡市田家炳中学2025届高三第二次联考数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e =A ．13BC ．12D ．22．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ）A ．12B ．2C ．2D ．33．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D4．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ）A ．160B ．240C ．280D ．3205．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅6．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ；③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的是（ ） A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④7．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-8．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ）A ．[2，4]B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]9．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ） A ．125i +B ．66i -C ．5iD ．1310．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．22C ．3D ．111．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞-12．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2f x a x bx =的函数图像上的任意两点，且()y f x =在点1212,22x x x x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB 平行，则( ) A ．0a =，b 为任意非零实数 B ．0b =，a 为任意非零实数 C ．a 、b 均为任意实数D ．不存在满足条件的实数a ，b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省自贡市2019-2020学年高考数学二模试卷含解析
四川省自贡市2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<< D ．116a >【答案】D 【解析】 【分析】先求函数在(1,4)上不单调的充要条件，即()0f x '=在(1,4)上有解，即可得出结论. 【详解】21241()24--'=--=ax ax f x ax a x x， 若()f x 在(1,4)上不单调，令2()241=--g x ax ax ，则函数2()241=--g x ax ax 对称轴方程为1x =在区间(1,4)上有零点（可以用二分法求得）. 当0a =时，显然不成立；当0a ≠时，只需0(1)210(4)1610a g a g a >⎧⎪=--<⎨⎪=->⎩或0(1)210(4)1610a g a g a <⎧⎪=-->⎨⎪=-<⎩，解得116a >或12a <-.故选:D. 【点睛】本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题.2．正三棱柱111ABC A B C -中，1AA =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD与1A C 所成角，求出11tan CECA E A E∠=，即可得出结果. 【详解】解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ， 而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥， 由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形， 所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =I , 所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ， 则1A E //AD ，190A EC ∠=︒，∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角， 设2AB =，则122AA =13A E =，3CE =， 则11tan 33CE CA E A E ∠=== ∴13πCA E ∠=. 故选：C. 【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.3．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ） A ．()0,2 B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,3【答案】A【解析】 【分析】先根据奇函数求出m 的值，然后结合单调性求解不等式. 【详解】据题意，得()010f m =+=，得1m =-，所以当0x ≥时，()21xf x x =+-.分析知，函数()f x 在R上为增函数.又()12f =，所以()12f -=-.又()212f x -<-<，所以111x -<-<，所以02x <<，故选A. 【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 4．若()12nx -的二项展开式中2x 的系数是40，则正整数n 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B 【解析】 【分析】先化简()12n x -的二项展开式中第1r +项()112rrn r r n T C x -+=⋅⋅-，然后直接求解即可【详解】()12nx -的二项展开式中第1r +项()112r r n r r n T C x -+=⋅⋅-.令2r =，则()2232n T C x =⋅-，∴2440n C =，∴4n =-（舍）或5n =. 【点睛】本题考查二项展开式问题，属于基础题5．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====，则按照以上规律，若=“穿墙术”，则n =（ ）A ．48B ．63C ．99D ．120【答案】C 【解析】 【分析】观察规律得根号内分母为分子的平方减1，从而求出n. 【详解】解：观察各式发现规律，根号内分母为分子的平方减1所以210199n =-= 故选：C. 【点睛】本题考查了归纳推理，发现总结各式规律是关键，属于基础题.6．已知单位向量a r ，b r 的夹角为34π，若向量2m a =u r r ，4n a b λ=-r r r ，且m n ⊥u r r ，则n =r （ ）A ．2B ．2C ．4D ．6【答案】C 【解析】 【分析】根据m n ⊥u r r列方程，由此求得λ的值，进而求得n r .【详解】由于m n ⊥u r r，所以0m n ⋅=u r r ，即()23248282cos 804a ab a a b πλλλ⋅-=-⋅=-⋅==r r r r r r ，解得λ==-所以4n a =+r r所以4n =====r .故选：C 【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题. 7．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<…的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( ) A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【分析】 根据题意，2cossin 33ππϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出6π=ϕ，所以()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出ω的取值范围. 【详解】已知()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<„的图象有一个横坐标为3π的交点， 则2cossin 33ππϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 225,333πππϕ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Q， 2536ππϕ∴+=，6πϕ∴=， ()sin 26g x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍， 则sin 26y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以当[0,2]x πÎ时，2,4666x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ()f x Q 在[0,2]π有且仅有5个零点，5466πππωπ∴+<„，29352424ω∴<„. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力. 8．已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，由i i z z ⋅=+得：()(1)a bi i a b i +=++，由复数相等可得,a b 的值，进而求出z ，即可得解.设(,)z a bi a b R =+∈，由i i z z ⋅=+得：()(1)a bi i a b i +=++，即(1)ai b a b i -=++，由复数相等可得：1b a a b -=⎧⎨=+⎩，解之得：1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则1122z i =-，所以1212z i =+，在复平面对应的点的坐标为11(,)22，在第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查共轭复数的求法，考查对复数相等的理解，考查复数在复平面对应的点，考查运算能力，属于常考题.9．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果. 【详解】由三视图的性质和定义知，三棱锥P BCD -的正视图与侧视图都是底边长为2高为1的三角形，其面积都是11212⨯⨯=，正视图与侧视图的面积之和为112+=， 故选：A. 【点睛】本题考查几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.10．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫⎪⎝⎭，D ．（0，1）【答案】D 【解析】 【分析】原问题转化为221x x a a =有四个不同的实根，换元处理令t =，对g （t）21lnt t t ⎫=--⎪⎭进行零点个数讨论. 【详解】由题意，a ＞2，令t =， 则f （x ）＝a ⇔2x x x ln a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⇔221x x a a -=⇔221t -=⇔210lnt t t ⎫-=⎪⎭． 记g （t）21lnt t t ⎫=-⎪⎭．当t ＜2时，g （t ）＝2ln （﹣t）t 1t-）单调递减，且g （﹣2）＝2， 又g （2）＝2，∴只需g （t ）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．则210lnt t t ⎫--=⎪⎭221tlntt =-， 记h （t ）221tlntt =-（t ＞2且t≠2）， 则h′（t ）()()()22222222212122141(1)(1)t t lnt lnt t t lnt t t t ⎛⎫-+- ⎪+--+⎝⎭==--．令φ（t ）2211t lnt t -=-+，则φ′（t ）()()2222222221211(1)(1)(1)t t t t t t t t t +---=-=-++＜2．∵φ（2）＝2，∴φ（t ）2211t lnt t -=-+在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t ）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2， 则h （t ）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．由211222112t t tlnt lnt limlim t →→+==-1，即a ＜2．∴实数a 的取值范围是（2，2）． 故选：D ． 【点睛】此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.11．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A ．22n n -B ．212n -C ．212n (-)D ．22n【答案】B 【解析】 【分析】直接代入检验，排除其中三个即可． 【详解】由题意10a =，排除D ，34a =，排除A ，C ．同时B 也满足512a =，724a =，940a =， 故选：B ． 【点睛】本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解．12．函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω），当[]0,x π∈时，()f x 的值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω的范围为（ ） A ．53,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】首先由[]0,x π∈，可得3x πω-的范围，结合函数()f x 的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数ω的不等式，解不等式即可求得范围. 【详解】因为[]0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，若值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以只需4233πππωπ≤-≤，∴5563ω≤≤. 故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省自贡市2019-2020学年高考数学仿真第二次备考试题含解析
四川省自贡市2019-2020学年高考数学仿真第二次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在边长为2的菱形ABCD 中，BD =ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．23π B ．2πC ．4πD ．6π【答案】D 【解析】 【分析】取AC 中点N ，由题意得BND ∠即为二面角B AC D --的平面角，过点B 作BO DN ⊥于O ，易得点O 为ADC V 的中心，则三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ，列出方程22233r r ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭即可得解. 【详解】如图，由题意易知ABC V 与ADC V 均为正三角形，取AC 中点N ，连接BN ，DN ， 则BN AC ⊥，DN AC ⊥，∴BND ∠即为二面角B AC D --的平面角， 过点B 作BO DN ⊥于O ，则BO ⊥平面ACD ，由BN ND ==1cos 3BND ∠=可得cos 3ON BN BND =⋅∠=，3OD =，OB ==， ∴13ON ND =即点O 为ADC V 的中心，∴三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ，∴11BO DO r ==，13OO r =-,∴222r r ⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得2r =， ∴三棱锥A BCD -的外接球的表面积为234462S r πππ==⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.2．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a <≤ B ．5a < C ．35a << D ．25a ≤≤【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，对于函数分2段分析：当1,()xx f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x ≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20af x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案. 【详解】解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()xx f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20af x x x x'=-+≥在[1,)+∞上恒成立， 变形可得：242a x x≥-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=，若242a x x≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②，若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有145a ≤+=，③ 联立①②③可得：25a ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.3．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ） A ．5 B ．522C．52D ．54【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z, 复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z 利用模长公式即得解. 【详解】由题意知复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为||,z43(43)(1)1717,1222214952||442i i i i z i i z ----====-+∴=+=故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）A 3B ．3C ．33D ．33【答案】C【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案． 【详解】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其底面面积11(11)12S =⨯⨯+=，高3h =故体积133V Sh ==故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状． 5．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ） A 2 B ．2C 10D ．10【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的性质计算即可. 【详解】 因为z211i i=+-， 所以(1)(21)z i i =-+，|||1||21|2510z i i =-⋅+==，故选：C本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.6．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式． 【详解】因为该程序图是计算11111246810++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．7．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．9C ．6D ．12【答案】C 【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可. 【详解】作出满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．由32z x y =+，得322z y x=-+，平移直线322z y x =-+，当直线322zy x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值， 即max 32206z =⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.8．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④ B ．②③C ．①③④D ．①②④【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】对于①，根据基尼系数公式Gini aS=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误.对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误.对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选A ．9．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】将z 整理成a bi +的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限. 【详解】解：221()()2313z i i i i i =++=++=+，所以z 所对应的点为()1,3在第一象限.故选:A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把2i 当成1进行计算.10．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，e ）B ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．（0，1）【答案】D 【解析】 【分析】原问题转化为221x x a a =有四个不同的实根，换元处理令t =，对g （t）21lnt t t ⎫=--⎪⎭进行零点个数讨论. 【详解】由题意，a ＞2，令t =， 则f （x ）＝a ⇔2x x x ln a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⇔221x x a a -=⇔221t -=⇔210lnt t t ⎫-=⎪⎭． 记g （t）21lnt t t ⎫=-⎪⎭．当t ＜2时，g （t ）＝2ln （﹣t）t 1t-）单调递减，且g （﹣2）＝2， 又g （2）＝2，∴只需g （t ）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．则210lnt t t ⎫--=⎪⎭221tlnt t =-， 记h （t ）221tlntt =-（t ＞2且t≠2）， 则h′（t ）()()()22222222212122141(1)(1)t t lnt lnt t t lnt t t t ⎛⎫-+- ⎪+--+⎝⎭==--．令φ（t ）2211t lnt t -=-+，则φ′（t ）()()2222222221211(1)(1)(1)t t t t t t t t t +---=-=-++＜2． ∵φ（2）＝2，∴φ（t ）2211t lnt t -=-+在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t ）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2， 则h （t ）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．由211222112t t tlnt lnt limlim t →→+==-，可得1a ＜，即a ＜2．∴实数a 的取值范围是（2，2）． 故选：D ． 【点睛】此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.11．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对【答案】C 【解析】 【分析】画出该几何体的直观图P ABCD -，易证平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面PAD ，平面PAB ⊥平面PAD ，平面PAB ⊥平面PCD ，从而可选出答案． 【详解】该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ， 作PO ⊥AD 于O ，则有PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥CD ， 又AD ⊥CD ，所以，CD ⊥平面PAD ， 所以平面PCD ⊥平面PAD ， 同理可证：平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知：PO ＝AO ＝OD ，所以，AP ⊥PD ，又AP ⊥CD ， 所以，AP ⊥平面PCD ，所以，平面PAB ⊥平面PCD ， 所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题．12．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ B 33a b C ．2a ab < D ．()()22ln 1ln 1a b +>+【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性得到,a b 的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案. 【详解】∵()f x 在R 上单调递增，且()()f a f b >，∴a b >.∵,a b 的符号无法判断，故2a 与2b ，2a 与ab 的大小不确定， 对A ，当1,1a b ==-时，221111a b =++，故A 错误； 对C ，当1,1a b ==-时，21,1a ab ==-，故C 错误； 对D ，当1,1a b ==-时，()()22ln 1ln 1a b +=+，故D 错误； 对B ，对a b >33a b B 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省自贡市2023届高三下学期第二次诊断性考试数学(文)试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知复数z 对应的向量为(O 为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z 的模为2，则复数z 为（ ）A．B ．2C．D．2. 如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分不必要条件，那么丙是甲的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.三棱柱，底面边长和侧棱长都相等．，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．4.函数的定义域为（ ）A．B．C．D．5.函数的部分图象为A．B．C．D．6.把平面图形上的所有点在一个平面上的射影构成的图形叫做图形在这个平面上的射影.如图，在三棱锥中，，，，，，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为，，，，设面积为的三角形所在的平面为，则面积为的三角形在平面上的射影的面积是A．B．C．D．7. 方程表示椭圆的充要条件是（ ）A．B．C．D．8.的值为（ ）A ．0B．C．D．四川省自贡市2023届高三下学期第二次诊断性考试数学（文）试题(2)四川省自贡市2023届高三下学期第二次诊断性考试数学（文）试题(2)三、填空题四、解答题9. 已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）A ．的斜率的最小值为B ．的斜率的最小值为C．的方程为D ．的方程为10.已知，则下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．11. 已知抛物线C ：的焦点为点在上，且弦的中点到直线的距离为5，则（ ）A．B ．线段的长为定值C ．两点到的准线的距离之和为14D ．的最大值为4912.在中，，在边上分别取两点，沿将翻折，若顶点正好可以落在边上，则的长可以为A．B．C．D．13. 在一次手工劳动课上，需要把一个高为3，体积为的木质实心圆锥模型削成一个实心球模型，则球的表面积的最大值为__________.14.已知向量，若，则实数__________.15. 一个四棱锥的所有棱长都相等，其表面积为，则该四棱锥的棱长为___________，体积为___________.16. 为庆祝中国共产党成立周年，某市开展了党史知识竞赛活动，竞赛结束后，为了解本次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取了名学生的竞赛成绩作为样本，数据整理后，统计结果如表所示．成绩区间频数假设用样本频率估计总体概率，且每个学生的竞赛成绩相互独立．(1)为了激励学生学习党史的热情，决定对竞赛成绩优异的学生进行表彰，如果获得表彰的学生占样本总人数的，试估计获奖分数线；(2)该市决定从全市成绩不低于分的学生中随机抽取人参加省级党史知识竞赛，成绩在的人数为，求的分布列和数学期望．17. 如图，设直线：与抛物线：相交于，两点，其中点在第一象限．（1）若点是线段的中点，求点到轴距离的最小值；（2）当时，过点作轴的垂线交抛物线于点，若，求直线的方程．18. 关于实数的不等式与的解集依次记为和，求使的实数的取值范围．19. 已知等比数列的各项均为正数，，公比为；等差数列中，，且的前项和为，，.（1）求与的通项公式；（2）设数列满足，求的前项和.20. 化简或求值：（1）；（2）.21.已知函数是偶函数.（1）求k的值；（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.。
四川省自贡市2023届高三下学期第二次诊断性考试数学(文)试题
一、单选题二、多选题1. 已知函数在上的最小值为，最大值为，且在等差数列中，，则（ ）A ．17B ．18C ．20D ．242. 命题“”的否定是（ ）A．B．C．D．3. 复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 已知是第三象限角，，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形6. 某校高三语文、数学、外语三科各有4位教师，现要从中选派5位教师到某地参加教学培训，要求语文、数学、外语教师各至少有1位参加，则不同的选派方法种数为（ ）A ．480B ．800C ．360D ．6247. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．8. 在数列中，，，且，则（ ）A ．9B ．11C ．13D ．159. 斐波那契，公元13世纪意大利数学家．他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系．现有一段长为a 米的铁丝，需要截成n (n >2)段，每段的长度不小于1m ，且其中任意三段都不能构成三角形，若n 的最大值为10，则a 的值可能是（ ）A ．100B ．143C ．200D ．25610. 椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，则（ ）A．B．C．D．11. 已知直线为抛物线的准线，，是上两个动点，为抛物线的焦点，若点，直线，倾斜角互补，与的另一个交点为，则（ ）A ．当点，，共线时，的最小值为4B．若的中点横坐标为4，则的最大值为8C ．若，则直线的斜率为或D ．直线的斜率为四川省自贡市2023届高三下学期第二次诊断性考试数学（文）试题四川省自贡市2023届高三下学期第二次诊断性考试数学（文）试题三、填空题四、解答题12. 质点A ，B 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆上同时出发做逆时针匀速圆周运动，点A的起点在射线（）与圆O 的交点处，点A的角速度为，点B 的起点在圆O 与x 轴正半轴的交点处，点B 的角速度为，则下列说法正确的是（ ）A ．在末时，点B的坐标为B ．在末时，劣弧的长为C．在末时，点A 与点B 重合D ．当点A 与点B 重合时，点A的坐标可以为13. 如图，已知圆是椭圆的内接的内切圆，其中是椭圆的左顶点，则______；过点引圆的两条切线，交椭圆于两点，则的面积为______．14.在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，且所有项的系数之和为0，则含的项的系数为______（用数字作答）．15. 在中，若，则________．16. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．(1)求；(2)若，点在边上，，且，求．17. 已知函数，．(1)证明：当时，在R 上是增函数；(2)对于给定的闭区间，试说明存在实数，当时，在闭区间上是减函数；(3)证明：．18.函数（）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数的解析式；（2）设，则，求的值19. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：质量指标值等级三等品二等品一等品（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似地服从正态分布，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率．20. 在数列中，，且．(1)求的通项公式；(2)设为的前n项和，求使得成立的最小正整数n的值．21. 某校学生会进行了一次关于“消防安全”的调查活动，组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了50名居民进行问卷调查．活动结束后，团委会对问卷结果进行了统计，并将其中“是否知道灭火器使用方法（知道或不知道）”的调查结果统计如下表：年龄（岁）[10,20）[20,30）[30,40）[40,50）[50,60）[60,70]频数m n151073知道的人数4612632表中所调查的居民年龄在[10,20），[20,30），[30,40）的人数成等差数列．(1)求上表中的m，n值，若从年龄在[20,30）的居民中随机选取两人，求这两人至少有一人知道灭火器使用方法的概率；(2)在被调查的居民中，若从年龄在[10,20），[20,30）的居民中各随机选取2人参加消防知识讲座，记选中的4人中不知道灭火器使用方法的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．。
四川省高考数学二诊试卷文科含答案解析
2021年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷〔文科〕一、选择题〔共12小题，每题5分，总分值60分〕1．i 为虚数单位，那么复数 =〔〕A ．+ i B ． ﹣ iC ．﹣+iD ．﹣ ﹣i2．集合A={x|x 2+4≤5x ，x ∈R}，B={y|y ＞2}，那么A ∩B=〔〕 ．〔2，+∞〕 B ．〔4，+∞〕 C ．〔2，4] D ．[2，4] 3．从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高〔cm 〕、体重〔kg 〕数据，得到体重关于身高的回归方程﹣85，用来刻画回归效果的相关指数R 2， 那么以下说法正确的选项是〔 〕 A ．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系B ．这些女学生的体重差异有 60%是由身高引起的 C ．身高为170cm 的学生体重一定为 D ．这些女学生的身高每增加，其体重约增加1kg．等差数列 n }的前n 项和为S n ，假设S 10 ，那么 3+a 8 〔〕4{a =55 a=A ．5B ．C ．10D ．115．设a=〔 〕 ，b=〔 〕 ，c=ln ，那么a ，b ，c 的大小关系是〔〕A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b6．执行如下图的程序框图，那么输出 b 的值为〔 〕A ．2B ．4C ．8D ．167．将函数f 〔x 〕= sinx+cosx 的图象向右平移后得到函数 g 〔x 〕的图象，那么函数g〔x〕的图象的一条对称轴方程是〔〕A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣8．假设圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，那么k 的值为〔〕A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣39．直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，CD=6，AD=5，点E在梯形内，那么∠AEB 为钝角的概率为〔〕A．B．C．D．10．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如下图〔俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m〕，经了解，建造该3类椅子的平均本钱为240元/m，那么该椅子的建造本钱约为〔π≈〕〔〕A．元B．元C．元D．元11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．每件甲产品的利润为万元，每件乙产品的利润为万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时〔单位：h〕分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41假设A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，那么该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为〔〕A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．假设函数g〔x〕满足g〔g〔x〕〕=n〔n∈N〕有n+3个解，那么称函数g〔x〕为“复合n3〞f〔x〕=〔其中e是自然对数的底数，+解函数．函数，k∈R〕，且函数f〔x〕为“复合5解〞函数，那么k的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，0〕B．〔﹣e，e〕C．〔﹣1，1〕D．〔0，∞〕+二、填空题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，假设BC=6，CD=5，那么?=．．假设等比数列n}的公比为2，且a3﹣a1，那么+++=．14{a=615．有以下四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有〔填写所有正确命题的编号〕．16．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，点A在C上，假设|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B〔0，m〕，那么m=．三、解答题〔共5小题，总分值60分〕17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin〔A﹣〕﹣cos〔A+〕=．1〕求角A的大小；2〕假设a=，sin2B+cos2C=1，求b，c．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆借书等待12345时间T1〔分钟〕频数150010005005001500乙图书馆借书等待12345时间T2〔分钟〕频数100050020001250250 1〕分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；2〕以表中等待时间的学生人数的频率为概率，假设某同学希望借书等待时间不超过3分钟，请问在哪个图书馆借更能满足他的要求？19．如下图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．〔1〕当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；〔2〕当D、E分别为线段VA、VC上的中点，且BC=1，CA=，VC=2时，求三棱锥A﹣BDE的体积．20．椭圆+ =1〔a＞b＞0〕过点P〔2，1〕，且离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设直线l与x轴不垂直，与椭圆相交于不同于P的两点A，B，直线PA，PB分别交y轴于M，N，假设=〔其中O为坐标原点〕，直线l是否过定点？假设不过定点，说明理由，假设过定点，求出定点的坐标．21．函数f〔x〕=lnx﹣2ax〔其中a∈R〕．〔Ⅰ〕假设函数f〔x〕的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，求函数f〔x〕的最大值；〔Ⅱ〕设g〔x〕=f〔x〕+x2，且函数g〔x〕有极大值点x0，求证：x0f〔x0〕+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分4-4：坐标系与参数方程].选修[（22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为〔θ为参数〕，设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．1〕求直线l的极坐标方程；2〕设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x+a|﹣2a，其中a∈R．1〕当a=﹣2时，求不等式f〔x〕≤2x+1的解集；2〕假设x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．2021年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共12小题，每题5分，总分值60分〕1．i为虚数单位，那么复=〔〕数A．+ i B．﹣i C．﹣+iD．﹣﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=．应选：B．2．集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}，B={y|y＞2}，那么A∩B=〔〕A．〔2，+∞〕B．〔4，+∞〕C．〔2，4] D．[2，4]【考点】交集及其运算．【分析】通过二次不等式求出集合A，然后求解交集．【解答】解：∵集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}={x|1≤x≤4}，B={y|y＞2}，A∩B={x|2＜x≤4}=〔2，4]．应选C．3．从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高〔cm〕、体重〔kg〕数据，得到体重关于身高的回归方程﹣85，用来刻画回归效果的相关指数R2，那么以下说法正确的选项是〔〕A．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系B．这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的C．身高为170cm的学生体重一定为D．这些女学生的身高每增加，其体重约增加1kg【考点】线性回归方程．【分析】根据回归方程﹣85，且刻画回归效果的相关指数R2，判断这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，这些女学生的体重差异有60%是由身高引起，计算x=170时的即可预测结果，计算身高每增加时体重约增加×．【解答】解：根据回归方程﹣85，且刻画回归效果的相关指数R2，所以，这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，A错误；这些女学生的体重差异有60%是由身高引起，B正确；x=170时，×170﹣，预测身高为170cm的学生体重为，C错误；这些女学生的身高每增加，其体重约增加×，D错误．应选：B．．等差数列n}的前n项和为S n，假设S10，那么3+a8〔〕4{a=55a=A．5 B．C．10 D．11【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式得到S10=5〔a3+a8〕，由此能求出a3+a8的值．【解答】解：∵等差数列{a n的前n项和为S n，S10}=55，∴S10=〔3+a8〕=55，==5a解得a3+a8．=11应选：D．5．设a=〔〕，b=〔〕，c=ln，那么a，b，c的大小关系是〔〕A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．a＞c＞b【考点】对数值大小的比拟．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵0＜a=〔〕＜b=〔〕=，c=ln＜ln1=0，b＞a＞c．应选：B．6．执行如下图的程序框图，那么输出b的值为〔〕A．2 B．4 C．8 D．16【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解答】解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，应选：D．7．将函数f〔x〕= sinx+cosx的图象向右平移后得到函数g〔x〕的图象，那么函数g〔x〕的图象的一条对称轴方程是〔〕A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】将函数化简，通过向右平移后得到函数g〔x〕的图象，根据正弦函数的对称轴方程即可求解．【解答】解：函数f〔x〕= sinx+cosx=2sin〔x+〕，图象向右平移后得：2sin〔x﹣+〕=2sin〔x﹣〕=g〔x〕，由x﹣=k，k∈Z，可得：x=k，当k=﹣1时，可得一条对称轴方程为x=．应选D．8．假设圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，那么k的值为〔〕A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣3【考点】直线和圆的方程的应用；过两条直线交点的直线系方程．【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心〔1，﹣2〕，假设圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．应选：A．9．直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，CD=6，AD=5，点E在梯形内，那么∠AEB 为钝角的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】此题为几何概型，由题意以AB为直径半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．【解答】解：以AB为直径半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域，AB=4，故半圆的面积是2π，梯形ABCD的面积是25，∴满足∠AEB为钝角的概率为p=．应选：A．10．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如下图〔俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m〕，经了解，建造该3类椅子的平均本钱为240元/m，那么该椅子的建造本钱约为〔π≈〕〔〕A．元B．元C．元【考点】由三视图求面积、体积．D．元【分析】由三视图可知：该几何体为圆柱的．【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造本钱约为=×240≈元．应选：C．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．每件甲产品的利润为万元，每件乙产品的利润为万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时〔单位：h〕分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备B设备2 43 1假设A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，那么该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为〔〕A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元【考点】简单线性规划的应用．【分析】先设甲、乙两种产品月产量分别为x、y件，写出约束条件、目标函数，欲求生产收入最大值，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．【解答】C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是由约束条件画出可行域，如下图的阴影局部由，结合图象可知，在A处取得最大值，由可得A〔50，100〕，此时××100=50万元，应选：C．12．假设函数g〔x〕满足g〔g〔x〕〕=n〔n∈N〕有n+3个解，那么称函数g〔x〕为“复合n3〞f〔x〕=〔其中e是自然对数的底数，+解函数．函数，k∈R〕，且函数f〔x〕为“复合5解〞函数，那么k的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，0〕B．〔﹣e，e〕C．〔﹣1，1〕D．〔0，∞〕+【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可得f〔f〔x〕〕=2，有5个解，设t=f〔x〕，f〔t〕=2，当x＞0时，利用导数求出函数的最值，得到f〔t〕=2在1，∞〕有2个解，[+，当x＜0时，根据函数恒过点〔0，3〕，分类讨论，即可求出当k＞0时，f〔t〕=2时有3个解，问题得以解决．【解答】解：函数f〔x〕为“复合5解“，∴f〔f〔x〕〕=2，有5个解，设t=f〔x〕，∴f〔t〕=2，∵当x＞0时，f〔x〕= =，∴f〔x〕=，当0＜x＜1时，f′〔x〕＜0，函数f〔x〕单调递减，当x＞1时，f′〔x〕＞0，函数f〔x〕单调递增，∴f〔x〕min=f〔1〕=1，∴t≥1，∴f〔t〕=2在[1，+∞〕有2个解，当x≤0时，f〔x〕=kx+3，函数f〔x〕恒过点〔0，3〕，当k≤0时，f〔x〕≥f〔0〕=3，t≥3f〔3〕=＞2，∴f〔t〕=2在[3，+∞〕上无解，当k＞0时，f〔x〕≤f〔0〕=3，∴f〔t〕=2，在〔0，3]上有2个解，在〔∞，0]上有1个解，综上所述f〔f〔x〕〕=2在k＞0时，有5个解，应选：D二、填空题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，假设BC=6，CD=5，那么? = 32．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得AD=BD=5，即AB=10，再由勾股定理可得AC，再由向量数量积的定义，计算即可得到所求值．【解答】解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，假设BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，那么? =| |?| |?cosA=5×8×=32．故答案为：32．n}的公比为2，且a3﹣a1，那么+﹣．14．假设等比数列{a=6++=1【考点】数列的求和．【分析】等比数列{a n2a3﹣a11221=6a1}的公比为，且=6，可得a〔﹣〕，解得．可∴得a n=2n．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=6，a1〔22﹣1〕=6，解得a1=2．a n=2n．那么+ + + =+ + ==1﹣．故答案为：1﹣．15．有以下四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有②④〔填写所有正确命题的编号〕．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用正方体中的线面、面面、线线位置关系进行判定．，【解答】解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′中D，′对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④16．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，点A在C上，假设|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B〔0，m〕，那么m= 1或﹣1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的焦点弦公式，求得A点坐标，分类，分别求得线段AF为直径的圆的圆心与直径，利用两点之间的距离公式即可求得m的值．【解答】解：抛物线C：y2=2x的焦点为F〔，0〕，设A〔x，y〕，由抛物线的焦点弦公式可知：|AF|=x+=x+=，那么x=2，那么y=±2，那么A〔2，2〕或A〔2，﹣2〕，当A点坐标〔2，2〕，以线段AF为直径的圆圆心M〔，1〕，半径为，经过点B〔0，m〕，那么丨BM丨=，即=，解得：m=1，同理A点坐标〔2，﹣2〕，以线段AF为直径的圆圆心M〔，﹣1〕，半径为，经过点B〔0，m〕，那么丨BM丨=，=，解得：m=﹣1，故m为1或﹣1，故答案为：1或﹣1．三、解答题〔共5小题，总分值60分〕17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin〔A﹣〕﹣cos〔A+〕=．1〕求角A的大小；2〕假设a=，sin2B+cos2C=1，求b，c．【考点】余弦定理．【分析】〔1〕由诱导公式、两角差的正弦、余弦函数化简的等式，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角A的大小；2〕由二倍角余弦公式的变形化简sin2B+cos2C=1，由正弦定理化简后，由条件和余弦定理列出方程求出b，c的值．【解答】解：〔1〕因为sin〔A﹣〕﹣cos〔A+〕=，所以sin〔A﹣〕﹣cos〔A﹣〕=，那么sinA﹣cosA﹣〔cosA+ sinA〕=，化简得cosA=，又0＜A＜π，那么A=；2〕因为sin2B+cos2C=1，所以sin2B+1﹣2sin2C=1，即sin2B=2sin2C，由正弦定理得，b2=2c2，那么b=c，又a=，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，那么5=2c2c2﹣2c2×，解得c=1，+那么b=c=．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆借书等待12345时间T1〔分钟〕频数150010005005001500乙图书馆借书等待12345时间T2〔分钟〕频数100050020001250250 1〕分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；2〕以表中等待时间的学生人数的频率为概率，假设某同学希望借书等待时间不超过3分钟，请问在哪个图书馆借更能满足他的要求？【考点】众数、中位数、平均数．【分析】〔1〕分别求出T1和T2的平均数，判断结论即可；〔2〕设事件A为：“在甲图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，设事件B为“在乙图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，分别求出P〔A〕和P〔B〕，比拟即可．【解答】解：〔1〕由题意得：T1的平均数为：=，同理，可得T2的平均数为：=，故，甲图书馆借书的平均等待时间是分钟，乙图书馆借书的平均等待时间是分钟；〔2〕设事件A为：“在甲图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，那么P〔A〕=P〔T1≤3〕=P〔T1=1〕P〔T1=2〕P〔T1=3〕=++；++设事件B为“在乙图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，那么P〔B〕=P〔T2≤3〕=P〔T2=1〕P〔T2=2〕P〔T2=3〕=++，++故P〔B〕＞P〔A〕，由上可知，在乙图书馆借书的总等待时间不超过3分钟的概率更高一些，故在乙图书馆借更能满足该同学的要求．19．如下图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．〔1〕当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；〔2〕当D、E分别为线段VA、VC上的中点，且BC=1，CA=，VC=2时，求三棱锥A﹣BDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】〔1〕当DE⊥平面VBC时，DE⊥VC，推导出VC⊥AC，从而DE∥AC，由此能证明直线DE∥平面ABC．〔2〕三棱锥A﹣BDE的体积为V A﹣BDE=V B﹣ADE，由此能求出三棱锥A﹣BDE的体积．【解答】解：〔1〕直线DE∥平面ABC．证明如下：VC?平面VBC，∴当DE⊥平面VBC，DE⊥VC，AC?平面ABC，VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC，VC，DE，AC?平面VAC，∴DE∥AC，AC?平面ABC，DE?平面ABC，∴直线DE∥平面ABC．2〕VC⊥平面ABC，∴VC⊥BC，又BC⊥AC，在平面VAC内，VC∩AC=C，∴BC⊥平面VCA，∴三棱锥A﹣BDE的体积为V A﹣BDE=V B﹣ADE=，∵D，E分别是VA，VC上的中点，∴DE∥AC，且DE=AC=，∴DE⊥VC，S△ADE△CDE==，=S∴三棱锥A﹣BDE的体积V A﹣BDE=V B﹣ADE===．20．椭圆+ =1〔a＞b＞0〕过点P〔2，1〕，且离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设直线l与x轴不垂直，与椭圆相交于不同于P的两点A，B，直线PA，PB分别交y轴于M，N，假设=〔其中O为坐标原点〕，直线l是否过定点？假设不过定点，说明理由，假设过定点，求出定点的坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】〔Ⅰ〕由可得，解得a2，b2．〔Ⅱ〕设直线AB的方程：y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．由，可得〔4k2+1〕x2+8ktx+〔4t2﹣8〕=0．△=16〔8k2﹣t2+2〕＞0，．写出直线PA、的方程，求出M、N坐标，由 =得〔2﹣4k〕x1x2﹣〔2﹣4k+2t〕x1+x2〕+8t=0．把①代入②化简得〔t+2〕〔2k+t﹣1〕=0．得t．【解答】解：〔Ⅰ〕由可得，解得a2=8，b2=2．∴椭圆的方程为：〔Ⅱ〕设直线AB的方程：．y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．由，可得〔4k21〕x28ktx〔4t2﹣8〕=0．+++△=16〔8k2﹣t22〕＞0，①+直线PA的方程，∴M〔0，〕同理N〔0，〕．由=得，〔2﹣4k〕x1x2﹣〔2﹣4k+2t〕〔x1+x2〕+8t=0②把①代入②化简得〔t+2〕〔2k+t﹣1〕=0．因为直线不过点P，∴2k+t﹣1≠0，∴t=﹣2故直线l是否过定点Q〔0，﹣2〕21．函数f〔x〕=lnx﹣2ax〔其中a∈R〕．〔Ⅰ〕假设函数f〔x〕的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，求函数f〔x〕的最大值；〔Ⅱ〕设g〔x〕=f〔x〕+x2，且函数g〔x〕有极大值点x0，求证：x0f〔x0〕+1+ax020．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】〔I〕令f′〔1〕=﹣1解出a，得出f〔x〕的解析式，在利用导数判断fx〕的单调性，得出最值；II〕令g′〔x〕=0有解且x0为g〔x〕的极大值点可得出a与x0的关系和x0的范围，令h〔x〕=xf 〔x〕+1+ax2，判断h〔x〕的单调性即可得出结论．【解答】解：〔I〕f′〔x〕=﹣2a，f〔x〕的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，∴f′〔1〕=1﹣2a=﹣1，即a=1．∴f〔x〕=lnx﹣2x，f′〔x〕=，令f′〔x〕=0得x=，当0时，f′〔x〕＞0，当x时，f′〔x〕＜0，f〔x〕在〔0，]上单调递增，在〔，+∞〕上单调递减，f〔x〕的最大值为f〔〕=﹣1﹣ln2．〔II〕g〔x〕=lnx﹣2ax x2，g′〔x〕=x+﹣2a=，+令g′〔x〕=0得x2﹣2ax+1=0，①当△=4a2﹣4≤0即﹣1≤a≤1时，x2﹣2ax+1≥0恒成立，即g′〔x〕≥0，g〔x〕在〔0，+∞〕单调递增，∴g〔x〕无极值点，不符合题意；②当△=4a2﹣4＞0时，方程g′〔x〕=0有两解x1，x0，∵x0是g〔x〕的极大值点，∴0＜x0＜x1，又x1x0=1，∴x1+x2=2a＞0，∴a＞1，0＜x0＜1．又g′〔x0〕=x0+﹣2a=0，∴a=．∴x0f〔x0〕+1+ax02=x0lnx0﹣，设h〔x〕=xlnx﹣，那么h′〔x〕=﹣x2++lnx，h″〔x〕=﹣3x+=，∴当0＜x＜时，h″〔x〕＞0，当x时，h″〔x〕＜0，h′〔x〕在〔0，〕上单调递增，在〔，+∞〕上单调递减，h′〔x〕≤h′〔〕=ln＜0，h〔x〕在〔0，1〕上单调递减，∴h〔x0〕＞h〔1〕=0，即x0lnx0﹣＞0，x0f〔x0〕+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为〔θ为参数〕，设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．1〕求直线l的极坐标方程；2〕设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】〔1〕由双曲线E的参数方程求出双曲线E的普通方程为．从而求出直线l在直角坐标系中的方程，由此能求出l的极坐标方程．〔2〕由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆〔记为圆C，C为圆心〕与直线l的交点〔异于原点O〕，线段AF为圆C的直径，A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，从而C的半径为2，圆心的极坐标为〔2，〕，由此能求出点P的极坐标．【解答】解：〔1〕∵双曲线E的参数方程为〔θ为参数〕，∴，，∴==1，∴双曲线E的普通方程为．∴直线l在直角坐标系中的方程为y=，其过原点，倾斜角为，∴l的极坐标方程为．〔2〕由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆〔记为圆C，C为圆心〕与直线l的交点〔异于原点O〕，AO⊥OF，∴线段AF为圆C的直径，由〔Ⅰ〕知，|OF|=2，又A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，∴∠AFO=，|AF|=4，于是圆C的半径为2，圆心的极坐标为〔2，〕，∴圆C的极坐标方程为，此时，点P的极坐标为〔4cos〔〕，〕，即〔2，〕．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x+a|﹣2a，其中a∈R．1〕当a=﹣2时，求不等式f〔x〕≤2x+1的解集；2〕假设x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】〔1〕当a=﹣2时，分类讨论，即可求不等式f〔x〕≤2x+1的解集；2〕假设x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，求出左边的最大值，即可求a的取值范围．【解答】解：〔1〕当a=﹣2时，不等式f〔x〕≤2x+1为|x﹣2|﹣2x+3≤0．x≥2时，不等式化为x﹣2﹣2x+3≤0，即x≥1，∴x≥2；x＜2时，不等式化为﹣x+2﹣2x+3≤0，即x≥，∴≤x≤2，综上所述，不等式的解集为{x|x≥}；2〕x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，即|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，∵|a+a|﹣|x+1|≤|a﹣1|，∴|a﹣1|≤2a，∴．2021年4月5日。
四川省自贡市高三数学第二次诊断性考试试题(扫描版)(
自贡市普高2014届第二次诊断性考试数学参考答案及评分标准一、选择题（50分）文科 ACBDA BABCD二、填空题（25分）文科11. 2 12. 31-13. ()1,2- 14. 不存在 15. ①③ 二、解答题（75分）16、(12分)、解：（Ⅰ） {}n a Θ是等差数列，127382=+=+∴a a a a ， ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=⋅841232737373a a a a a a ，或3784a a =⎧⎨=⎩， ………………4分 又0>n a Θ，()13184373+=-+=⇒=⇒⎩⎨⎧==∴n d n a a d a a n ．……………6分 （文科）121+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b ，()1211+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=∴n n n n n b a c ，()()()1122n n n S a b a b a b ∴=++++++L1212()()n n a a a b b b =+++++++L L …………………9分 231111[23(1)](+++)222n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ()211122211212n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++⎝⎭=+⎛⎫- ⎪⎝⎭()132122n n n n ++-=+．………………12分 17、（12分）、解：（Ⅰ）∵(4,2)AD AB BC CD x y =++=+-u u u r u u u r u u u r u u u r ，-------------------2分 又//BC DA u u u r u u u r ， ∴(2)(4)020x y y x x y --+=⇒+=①-------------4分 （Ⅱ）∵(6,1)AC AB BC x y =+=++u u u r u u u r u u u r ，------------------------------5分 (2,3)BD BC CD x y =+=--u u u r u u u r u u u r ----------------------6分又AC ⊥BD ，∴22(6)(2)(1)(3)042150x x y y x y x y +-++-=⇒++--=②；-------8分 由①，②得63x y =-⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=-⎩, ——---------------（文科12分、理科10分） 当63x y =-⎧⎨=⎩时，(0,4)||4AC AC =⇒=u u u r u u u r ，(8,0)||8BD BD =-⇒=u u u r u u u r ，；当21x y =⎧⎨=-⎩时，(8,0)||8AC AC =⇒=u u u r u u u r ，(0,4)||4BD BD =-⇒=u u u r u u u r ，； 综上知1||||162ABCD S AC BD =⋅=u u u r u u u r ．----------------------------------（理科12分） 18、（12分）、解：（Ⅰ）由a 、b 、c 成等比数列，得ac b =2，C A B sin sin sin 2= ----2分 又31cos =B ，得322sin =B )0(π<<B -----------------------------3分 C A tan 1tan 1+=CC A A sin cos sin cos + ---------------------------------------4分 =CA C A sin sin )sin(+ -------------------------------------5分 =423sin 1=B ------------------------------------------6分 （Ⅱ）2122cos 222=≥-+=ac ac ac b c a B ， -------------------------7分 ]3,0(π∈∴B ，23sin ≤∴B --------------------------------8分 又 ac c a ac c b a 36≥++=++=（当且仅当a=c=2时取“=” ------------9分 4≤∴ac （10分）323421sin 21=⋅⋅≤⋅=∆B ac S ABC --------------------11分 ∴（ABC S ∆）最大值为3---------------12分（文科） 无最小值 -------12分（理科）19、（12分）、(Ⅰ)0,1,01a b c <><<Q ,b c a ∴>>,故由程序框图知输出的数据是b ；----（文4分，理2分）（Ⅱ）不妨记输入的,a b 的值为(),a b ，那么由已知，所有的基本事件为()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4， ()()()()()()3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3共12个.-----（文科7分、理科3分）、分别记输出a 、输出c 的事件为A 、C ，则事件A 包含的基本事件有()()()3,1,3,2,4,1，()()4,2,4,3共5个，-----（文科9分、理科4分） 事件C 包含的基本事件有()()1,2,2,1共2个--------（文科10分、理科5分）， 所以521(),()12126P A P C ===，即输出A 的概率是512， 输出C 的概率是16.---------（文12分，理7分） （理）（Ⅲ）ξ的可能取值有0,1,2,3.-----------8分0331125(0)(1)6216P C ξ==-=12135125(1)()()6672P C ξ==⨯=,2213155(2)()()6672P C ξ==⨯=, 33311(3)()6216P C ξ===. 所以ξ的分布列是12525511012321672722162E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.------（理12分） 20、（13分）、解：（Ⅰ）设点),(y x C 则)(12m x m m x y m x y k k BC AC ±≠-=-⨯+=⋅--2分 化简得)(1222m x y mx ±≠=+----------------------------------3分 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,1P Θ在点C 的轨迹上12112=+∴m ------------4分 22=m ∴点C 的轨迹方程为：1222=+y x )2(±≠x ------------6分 （Ⅱ）假设存在实数μ使得321k k k μ=+(理科)由题意设直线DM 的方程为)1(-=x k y 代入点C 的轨迹方程1222=+y x )2(±≠x 得0)1(24)21(2222=-+-+k x k x k --------------------------------------------8分设)y ,M(x ),(2211、y x D 2221222121)1(2x x 214kk k k x x +-=+=+∴、----------9分 根据题意得),2(k N ，从而122111--=x y k 、122222--=x y k 、2212223-=--=k k k 又因为E 、D 、M 三点共线，112211-=-=∴x y x y k -------------------10分 ∴=+21k k +--12211x y =--12222x y )1111(2211212211-+---+-x x x y x y 3222222212121222121421)1(222142221)(2222k k kk k k k k k x x x x x x k =-=++-+--+-=++--+-=-12分 故存在实数2=μ符合题意-----------------------13分（理科）故=+21k k 32k --------------------13分（文科）21（14分）、（Ⅰ）证明：3()()42,(0)(1)g x f x x ax b g g '==++=Q2,a ∴=-3()44g x x x b =-+ …………………………………………3分 （Ⅱ）由 3()44g x x x b =-+ 2221212211()()4()(1)g x g x x x x x x x ∴-=-++-…………………………5分 1x Q 、[]20,1x ∈且21x x >222211112x x x x ∴-<++-<，222211012x x x x ≤++-< 2121()()8g x g x x x ∴-<-……………………7分（文科） 2221221121()()418g x g x k x x x x x x -∴==++-<-……………………7分（理科） （Ⅱ）解：3()44f x x x b '=-+，令344x x b λ-+=下面讨论方程3440x x b λ-+-=的实根情况：设3()44x x x b ϕλ=-+-(11)x -≤≤ ……………………………8分由2()1240x x ϕ'=-=有12x x ==Q 13x -≤<-时()0x ϕ'>，33x -<<时()0x ϕ'<，13x <≤时()0x ϕ'>∴1,,,133⎡⎛⎤-- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦为()x ϕ的单调递增区间，,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭为()x ϕ的单调递 减区间 …………………………………………………………………10分Q (b ϕλ=-，b ≤，0λ>∴(0ϕ<……12分Q (1)(1)b ϕλϕ=-=-，1,⎡-⎢⎣⎭为()x ϕ的单调递增区间且(03ϕ-< ∴(1)(1)0ϕϕ-=<Q ⎤⎥⎝⎦为()x ϕ的单调递增区间，⎛ ⎝⎭为()x ϕ的单调递减区间 ∴3()44x x x b ϕλ=-+-在[]1,1-上没有零点，即曲线()f x 的所有切线中，斜率λ 为正数时切线的条数为零…………………………………………14分（理科）Q 3x <-时()0x ϕ'>，33x -<<()0x ϕ'<，3x >时()0x ϕ'>∴,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为()x ϕ的单调递增区间，⎛ ⎝⎭为()x ϕ的单调递 减区间 …………………………………………………………………10分Q (b ϕλ=+-，b ≤0λ>∴(0ϕ<----------12分 Q x →+∞时，3()44x x x b ϕλ=-+-→+∞又 ,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为()x ϕ的单调递增区间，⎛ ⎝⎭为()x ϕ的单调递 减区间 ∴3()44x x x b ϕλ=-+-在R 上有且只有一个零点，即有且只有一条切线满足条件的切线…………………………………………………………14分。