高三复习课第五章 5.3平面向量数量积(公开课)
→
故 x－12＋y＋ 32的最大值为 7＋1.
解析答案
思维升华
求向量模的最值(范围)的方法： ①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求 解；
②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表
示的图形求解.
题型三
用数量积求向量的夹角
跟踪训练2
1 例 3(1)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α，且 cosα＝3，向量 a＝3e1－2e2 2 2 与 b＝3e1－e2 的夹角为 β，则 cosβ＝________. 3
(5)|a· b|≤ |a||b| .
答案
4.平面向量数量积满足的运算律
a ； (1)a· b＝ b· b) ＝ a· (λb) (λ为实数)； (2)(λa)· b＝ λ(a· c＋b· c . (3)(a＋b)· c＝ a·
5.平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a· b＝ x1x2＋y1y2 ，由此得到 2 2 2＋y2 2 x ＋ y x (1)若a＝(x，y)，则|a| ＝ 或|a|＝ . (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离 2 2 → x － x ＋ y － y 2 1 . |AB|＝|AB|＝ 2 1 (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
答案
题型分类 深度剖析
题型一
平面向量数量积的运算
例1.(1)在△ABC中，BC 8, CA 7, C 60, 求 BC CA.
A
7
B
60
120
8
C
BC CA 8 7 cos120 28.
点拨：定义法求数量积，注意向量的夹角与三角形内角相等还是互补。
2.平面向量的数量积
定义 投影
cos θ 叫做a与b 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量 |a||b|· 的数量积，记作a· b; 规定： 0 a 0 |a|cos θ 叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos θ 叫做向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cos θ 的乘积
→ → 解析 因为〈AB，AC〉＝60° ， 1 3 → → → → 所以AB· AC＝|AB|· |AC|cos 60° ＝1×3× ＝ ， 2 2
|a|2＝a2，将模的 运算转化为向量 的数量积的运算 （2）坐标化
→ 1 → → →2 1 → → 2 1 →2 → → →2 又AO＝ (AB＋AC)，所以AO ＝ (AB＋AC) ＝ (AB ＋2AB· AC＋AC )， 2 4 4
→ → (2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE· CB的 → → 值为________；DE· DC的最大值为________.
D
C
A
E
B
点拨：利用几何意义求数量积，准确找准投影
解析答案
题型二
用数量积求向量的模、模的最值
练高分 7题
例 2(1)如图，在△ABC 中，O 为 BC 中点，若 AB＝1，AC＝3， 点拨:求向量模的 13 → → → 常用方法： 2 〈AB，AC〉＝60° ，则|OA|＝______，则 2k－3＝－12，即 k＝－ . 2 9 当 k＝－ 时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c， 2
即2a－3b与c反向.
综上，k
9 9 的取值范围为－∞，－ ∪－ ，3. 2 2
思维升华 解析答案
课堂练习：
→ → → 在△ABC 中，若 A＝120° ，AB· AC＝－1，则|BC|的最小值是( C ) A. 2 B.2 C. 6 D.6
解析答案
小结：
思想方法 感悟提高
作业：
1.计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，
解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽略数量积几何意义
的应用.
2.求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的
数量积的运算. 3.求向量模的最值(范围)的方法：①代数法②几何法(数形结合法) 4.两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角 为钝角，则有a·b<0，反之不成立.
即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆.
→ → 又OA＋OB＋OD＝(－1,0)＋(0， 3)＋(x，y)＝(x－1，y＋ 3)，
→ → → ∴|OA＋OB＋OD|＝ x－12＋y＋ 32. 问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1 上的点与点 P(1，－ 3)间距离的最大值.
∵圆心 C(3,0)与点 P(1，－ 3)之间的距离为 3－12＋0＋ 32＝ 7，
温馨提示：分步计算能提升准确率哟！
解析答案
(2) 若向量a ＝ (k,3) ， b ＝ (1,4) ， c ＝ (2,1) ，已知 2a － 3b 与 c 的夹角为钝角， 9 9 － ∞ ，－ ∪ － ， 3 2 2 则k的取值范围是____________________. 解析 ∵2a－3b与c的夹角为钝角， ∴(2a－3b)· c＜0，即(2k－3，－6)· (2,1)＜0， ∴4k－6－6＜0，∴k＜3.
→ → 解析 ∵AB· AC＝－1， → → ∴|AB|· |AC|· cos 120° ＝－1， → → 即|AB|· |AC|＝2， → 2 → → 2 →2 → → →2 ∴|BC| ＝|AC－AB| ＝AC －2AB· AC＋AB → → → → → ≥2|AB|· |AC|－2AB· AC＝6， ∴|BC|min＝ 6.
答案
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角.则
(1)e· a＝a· e＝|a|cos θ.
b＝0 . (2)a⊥b⇔ a·
(3)当a与b同向时，a· b＝|a||b|；
当a与b反向时，a· b＝－|a||b|.
a . 特别地，a· a＝ |a|2 或|a|＝ a· a· b (4)cos θ＝ . |a||b|
1 解析 ∵|a|＝ 3e1－2e2 ＝ 9＋4－12×1×1× ＝3， 3 1 2 |b|＝ 3e1－e2 ＝ 9＋1－6×1×1× ＝2 2， 3
2 2 ∴a· b＝(3e1－2e2)· (3e1－e2)＝9e2 － 9 e · e ＋ 2 e 1 1 2 2
1 ＝9－9×1×1× ＋2＝8， 3 8 2 2 ∴cos β＝ ＝ . 3 3×2 2
13 13 →2 1 → 所以AO ＝4(1＋3＋9)＝ 4 ，所以|OA|＝ 2 .
解析答案
(2)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1,0)，B(0， 3)，C(3,0)，动点 → → → → 7＋1 D 满足|CD|＝1，则|OA＋OB＋OD|的最大值是________. → → 解析 设 D(x，y)，由CD＝(x－3，y)及|CD|＝1 知(x－3)2＋y2＝1，
第五章
平面向量
§5.3 平面向量的数量积
教学目标：
1.理解掌握数量积的定义、几何意义、性质、运算律； 2.掌握计算数量积的常用方法； 3.会用数量积解决向量的模、夹角问题。
1
知识梳理
1.向量的夹角
→ → 已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则 ∠AOB 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是： [0，π] .
平面向量的数量积(公开课)
平面向量的数量积(公开课) 大家好，今天我们来聊聊一个非常有趣的话题——平面向量的数量积。
让我们来搞清楚什么是平面向量。
想象一下，你在一张纸上画了一条线段，这条线段有两个端点，我们把这两个端点叫做起点和终点。
现在，我们在这条线段上任意选了一个点，这个点叫做向量的一个分量。
那么，这条线段就变成了一个向量。
那么，什么是向量的内积呢？想象一下，你有两个向量A和B,它们的起点分别是A1和B1,终点分别是A2和B2。
那么，这两个向量的内积就是它们在这两个点处的乘积之和。
用数学公式表示就是：(A1 * A2) + (B1 * B2)。
这个概念有点难懂吧？没关系，我们来看一个例子。
假设你有两个向量A和B,A的起点是1,终点是2;B的起点是3,终点是4。
那么，A 的第一个分量是1,第二个分量是0;B的第一个分量是0,第二个分量是1。
所以，A和B 的内积就是(1 * 4) + (0 * 1) = 4。
这就是平面向量的数量积。
那么，为什么我们需要学习平面向量的数量积呢？因为它在很多领域都有应用。
比如说，在物理学中，力和速度之间的关系就是一个向量的数量积；在工程学中，建筑物的结构设计也需要考虑向量的数量积；在计算机图形学中，光照效果的计算也离不开向量的数量积。
所以，学好平面向量的数量积对我们的生活和工作都有很大的帮助。
好了，现在我们已经知道了平面向量的数量积是什么，那么怎么计算它呢？其实很简单，只需要按照上面的公式进行计算就可以了。
如果你觉得这个公式还是有点复杂，也可以把它简化成两个部分：第一个分量的乘积加上第二个分量的乘积。
这样一来，问题就变得简单多了。
平面向量的数量积是一个非常重要的概念，它在很多领域都有应用。
希望大家能够认真学习这个知识点，将来在生活和工作中都能派上用场。
好了，今天的课就讲到这里了，希望大家能够喜欢这个课程！下次再见啦！。
第五章 §5.3 平面向量的数量积-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版
§5.3平面向量的数量积课标要求1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角．2．平面向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积，记作a ·b .3．平面向量数量积的几何意义设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1—→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1—→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．记为|a |cos θe .4．向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b ＝|a ||b |cos θa·b ＝x 1x 2＋y 1y 2模|a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a ·b |a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件a ·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b|≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2；(2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.2．有关向量夹角的两个结论(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0.(2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π.3．向量a 在向量b 上的投影向量为a ·b |b |·b|b |.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.(×)(2)若a ，b 共线，则a ·b ＝|a |·|b |.(×)(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(√)(4)若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c .(×)2．(必修第二册P60T8改编)已知向量m ＝(2x ,1)与向量n x 等于()A.14B ．－14C.12D ．－12答案C解析∵m ＝(2x ,1)与n∴m ·n ＝(2x x －12＝0，即x ＝12.3．(2023·郑州模拟)已知向量a ，b 满足|b |＝2|a |＝2，且a 与b 的夹角为2π3，则(2a ＋b )·a 等于()A ．12B ．4C ．3D ．1答案D解析因为|b |＝2|a |＝2，所以(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝2|a |2＋|a ||b |·cos 2π3＝2＋2×1 1.4．(必修第二册P18例10改编)已知a ＝(1，2)，|b |＝23，a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角为________．答案120°解析设a 与b 的夹角为θ，因为a ＝(1，2)，|b |＝23，a ·b ＝－3，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×23＝－12，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a 与b 的夹角为120°.题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2023·安康模拟)已知四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝3，|AD →|＝2，DN →＝2NC →，BM →＝3MC →，则AM →·NM →等于()A ．7B ．1 C.34D.14答案D 解析如图，AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＋34BC －14BC ＝13AB →2－316BC →2＝13×3－316×4＝14.(2)在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝AB ＝2DC ＝2，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则CF →·DF →等于()A.3116B.3316C.3516D.3716答案B解析以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)，所以CF →－14，－DF →所以CF →·DF →＝－14×34＋＝3316.思维升华计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1(1)如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AD ＝1，点E 在边AB 上，且CD →·CE →＝3，则BE 等于()A ．1B ．2C.12D.32答案C解析以B 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则C (2,0)，D (1,2)，设E (0，x )，则CE →＝(－2，x )，CD →＝(－1,2)，则CD →·CE →＝2＋2x ＝3，解得x ＝12即BE ＝12.(2)(2023·唐山模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝π3，E 是边BC 的中点，F 是CD 上靠近D 的三等分点，若AE →·BF →＝8，则|AD →|等于()A ．4B ．42C ．43D ．8答案A解析记|AD →|＝m ，因为AB ＝2，且四边形ABCD 为平行四边形，所以AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＋12AD －23AB ＝AB →·AD →－23|AB →|2＋12|AD →|2－13AB →·AD→＝23|AB →||AD →|cos ∠BAD －23|AB →|2＋12|AD →|2＝2m 3－83＋m 22＝8，解得m ＝－163(舍)或m ＝4.即|AD →|＝4.题型二平面向量数量积的应用命题点1向量的模例2(2023·新高考全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a－b|＝3，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________.答案3解析方法一因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又因为|a－b|＝3，即(a－b)2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝ 3.方法二设c＝a－b，则|c|＝3，a＋b＝c＋2b,2a－b＝2c＋b，由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝ 3.命题点2向量的夹角例3(2023·深圳模拟)已知a，b为单位向量，且|3a－5b|＝7，则a与a－b的夹角为()A.π3B.2π3C.π6D.5π6答案C解析因为a，b为单位向量，由|3a－5b|＝7，所以(3a－5b)2＝49⇔9a2－30a·b＋25b2＝49，即9－30a·b＋25＝49⇒a·b＝－1 2，设a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝a·(a－b)|a||a－b|＝a2－a·b|a|×(a－b)2＝＝32，又θ∈[0，π]，所以θ＝π6 .命题点3向量的垂直例4(2023·新高考全国Ⅰ)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则() A．λ＋μ＝1B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1D．λμ＝－1答案D解析因为a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，所以a ＋λb ＝(1＋λ，1－λ)，a ＋μb ＝(1＋μ，1－μ)，由(a ＋λb )⊥(a ＋μb )，可得(a ＋λb )·(a ＋μb )＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.命题点4向量的投影例5(1)已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝2，|b |＝1，则向量a 在b 上的投影向量为()A ．b B.12b C ．aD.12a 答案A解析由题意知，|a |＝2，且向量a 与b 的夹角为π3，所以向量a 在b 上的投影向量为|a |cos 〈a ，b 〉b|b |＝b .(2)已知非零向量a ，b 满足b ＝(3，1)，〈a ，b 〉＝π3，若(a －b )⊥a ，则向量a 在b 方向上的投影向量的坐标为______．答案解析由已知可得，|b |＝(3)2＋12＝2.因为(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝a 2－a ·b ＝|a |2－|a ||b |cos π3＝|a |2－|a |＝0，解得|a |＝1或|a |＝0(舍去)，所以向量a 在b 方向上的投影向量为|a |cos π3·b |b |＝14b 思维升华(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2；②几何法：利用向量的几何意义．(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a ·b|a ||b |；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |(其中a ≠0，b ≠0)．跟踪训练2(1)已知非零向量a ，b 满足|b |＝2|a |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为()A ．45°B ．135°C ．60°D ．120°答案B解析根据题意，设a 与b 的夹角为θ，因为(a －b )⊥(3a ＋2b )，|b |＝2|a |，所以(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－a ·b －2b 2＝－a ·b －a 2＝0，变形可得a ·b ＝－a 2.则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－a 2|a |·2|a |＝－22.又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.(2)(多选)已知向量a ＝(m ，－1)，b ＝(－2,1)，则下列说法正确的是()A ．若m ＝1，则|a －b |＝13B ．若a ⊥b ，则m ＝2C ．“m <－12”是“a 与b 的夹角为锐角”的充要条件D ．若m ＝－1，则b 在a －12，－答案ACD解析对于选项A ，因为m ＝1，所以a ＝(1，－1)，又b ＝(－2,1)，所以a －b ＝(3，－2)，故|a －b |＝32＋(－2)2＝13，所以选项A 正确；对于选项B ，因为a ⊥b ，所以－2m －1＝0，解得m ＝－12，所以选项B 错误；对于选项C ，当a 与b 的夹角为锐角时，由cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |>0，得a ·b >0，即－2m －1>0，得m <－12；当m <－12时，可得cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |>0，而〈a ，b 〉∈[0，π]，又当a ∥b 时，m －2＝0得m ＝2，此时a ＝(2，－1)，b ＝(－2,1)，a ，b 反向共线，所以〈a ，b 〉“m <－12”可以得出“a 与b 的夹角为锐角”，所以选项C 正确；对于选项D ，当m ＝－1时，a ＝(－1，－1)，b ＝(－2,1)，b 在a 上的投影向量为a ·b |a |·a |a |＝2－12×(－1，－1)－12，－D 正确．题型三平面向量的实际应用例6(多选)(2023·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论正确的是()A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案ACD解析由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0，可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得|G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ，所以|F 1|2＝|G |22(1＋cos θ).当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误．思维升华用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v 1的大小|v 1|＝10km/h ，水流的速度v 2的大小|v 2|＝6km/h ，如图，设v 1和v 2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos θ等于()A．－25B．－35C．－45D.45答案B解析由题意知(v1＋v2)·v2＝0，则v1·v2＋v22＝|v1||v2|·cosθ＋v22＝60cosθ＋36＝0，所以cosθ＝－35.课时精练一、单项选择题1．(2023·黔西模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，则a·(a＋b)等于() A．－2B．－1C．1D．2答案D解析由题意，得|a－2b|2＝9，即a2＋4b2－4a·b＝9，即13－4a·b＝9，∴a·b＝1，故a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋1＝2.2．(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋t b，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t 等于()A．－6B．－5C．5D．6答案C解析由题意，得c＝a＋t b＝(3＋t,4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即a·c|a||c|＝b·c|b||c|，即25＋3t 5＝3＋t ，解得t ＝5.3．(2023·大同模拟)平面向量a 与b 相互垂直，已知a ＝(6，－8)，|b |＝5，且b 与向量(1,0)的夹角是钝角，则b 等于()A ．(－3，－4)B ．(4,3)C ．(－4,3)D ．(－4，－3)答案D 解析设b ＝(x ，y )，∵a ⊥b ，∴a ·b ＝6x －8y ＝0，①∵b 与向量(1,0)夹角为钝角，∴x <0，②又|b |＝x 2＋y 2＝5，③由①②③＝－4＝－3，∴b ＝(－4，－3)．4．已知向量a ＝(λ＋1,2)，b ＝(1，－λ)，若a ⊥b ，则向量c ＝(1,2)在向量a ＋b 上的投影向量的坐标为()A ．(3,1)B ．(1,3)答案D 解析依题意得a ＝(λ＋1,2)，b ＝(1，－λ)，a ·b ＝0，所以λ＋1－2λ＝0，解得λ＝1，所以a ＝(2,2)，b ＝(1，－1)，所以a ＋b ＝(3,1)，则向量c ＝(1,2)在向量a ＋b 上的投影向量的坐标为c ·(a ＋b )|a ＋b |·a ＋b |a ＋b |＝3×1＋1×232＋12·(3，1)32＋12＝5．(2023·泰州模拟)已知平面单位向量a ，b ，c 满足〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝2π3，则|3a ＋2b ＋c |等于()A ．0B ．1 C.3 D.6答案C 解析∵|3a ＋2b ＋c |2＝(3a ＋2b ＋c )2＝9a 2＋4b 2＋c 2＋12a ·b ＋6a ·c ＋4b ·c ＝3，∴|3a ＋2b ＋c |＝ 3.6．(2023·佛山模拟)在△ABC 中，设|AC →|2－|AB →|2＝2AM →·(AC →－AB →)，那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的()A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心答案D解析设线段BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →，因为|AC →|2－|AB →|2＝2AM →·(AC →－AB →)，所以(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2AM →·BC →，即2AD →·BC →＝2AM →·BC →，即BC →·(AM →－AD →)＝BC →·DM →＝0，即DM ⊥BC ，所以DM 垂直且平分线段BC ，因此动点M 的轨迹是BC 的垂直平分线，必通过△ABC 的外心．二、多项选择题7．(2024·亳州模拟)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的可能取值是()A ．－2B ．2C ．4D ．8答案BC 解析如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，易知正六边形的每个内角为120°，所以∠CBx ＝60°，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)．设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3.所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．8．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(m －2，－n )，其中m ，n 均为正数，且(a －b )∥c ，则下列说法正确的是()A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在b 上的投影向量为22bC ．2m ＋n ＝4D ．mn 的最大值为2答案CD 解析对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，则a ·b ＝2－1＝1>0，又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误；对于B ，向量a 在b 上的投影向量为a ·b |b |·b |b |＝12b ，故B 错误；对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，故C 正确；对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，故D 正确．三、填空题9．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－3，－2)，写出一个与a －b 垂直的非零向量c ＝________.答案(1，－1)(答案不唯一)解析由题意可知a －b ＝(5,5)．设c ＝(x ，y )，则(a －b )·c ＝5x ＋5y ＝0.取x ＝1，则y ＝－1，所以与a －b 垂直的非零向量可以为c ＝(1，－1)．(答案不唯一)10.在如图所示的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为60N 的物品，在另一个秤盘中放入重量60N 的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F 1，F 2，F 3)，若3根细绳两两之间的夹角均为π3，不考虑秤盘和细绳本身的重量，则F 1的大小为________N.答案106解析依题意，|F 1|＝|F 2|＝|F 3|且|F 1＋F 2＋F 3|＝60，所以|F 1＋F 2＋F 3|2＝|F 1|2＋|F 2|2＋|F 3|2＋2F 1·F 2＋2F 2·F 3＋2F 3·F 1＝3600，即3|F 1|2＋3×2|F 1|2×12＝3600，解得|F 1|＝106.11．(2024·抚州模拟)定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－8，则|a ×b |等于________．答案6解析设向量a 与b 的夹角为θ∈[0，π]，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－82×5＝－45，因为θ∈[0，π]，可得sin θ＝1－cos 2θ＝35，故|a ×b |＝|a ||b |sin θ＝2×5×35＝6.12．(2023·西安模拟)已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.答案10解析如图，设BC 的中点为D ，连接OD ，AD ，则AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·(AC →－AB →)＝12(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＋DO →·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝10.四、解答题13．(2023·白银模拟)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB →|＝2|DC →|＝2，∠BAD ＝π3，E 是BC 边的中点．(1)试用AB →，AD →表示AE →，BC →；(2)求DB →·AE →的值．解(1)AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →，AE →＝12(AB →＋AC →)＋AD →＋12AB ＝34AB →＋12AD →，BC →＝AC →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12AB →.(2)由题意可知，|AD →|＝12(|AB →|－|DC →|)cos π3＝1212＝1，DB →＝AB →－AD →，所以DB →·AE →＝(AB →－AD →＋12AD ＝34|AB →|2－12|AD →|2－14AB →·AD →＝34|AB →|2－12|AD →|2－14|AB →||AD →|·cos π3＝34×4－12×1－14×2×1×12＝94.14．(2023·青岛模拟)如图，正方形ABCD 的边长为6，E 是AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等分点，AF 与DE 交于点M .(1)求∠EMF 的余弦值；(2)设AM →＝λAF →，求λ的值及点M 的坐标．解(1)如图所示，建立以点A 为原点的平面直角坐标系，则D (0,6)，E (3,0)，A (0,0)，F (6,2)，∴DE →＝(3，－6)，AF →＝(6,2)，由于∠EMF 就是DE →，AF →的夹角，∴cos ∠EMF ＝cos 〈DE →，AF →〉＝18－129＋36·36＋4＝210，∴∠EMF 的余弦值为210.(2)∵AM →＝λAF →，则AM →＝(6λ，2λ)，则M (6λ，2λ)，又D ，M ，E 三点共线，则设DM →＝tDE →，0<t <1，即(6λ，2λ－6)＝t (3，－6)，λ＝3t ，λ－6＝－6t ，解得λ＝37，故15．(2024·永州模拟)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF ，内部圆的圆心为该正六边形的中心O ，圆O 的半径为1，点P 在圆O 上运动，则PE →·OE →的最小值为()A ．－1B ．－2C ．1D ．2答案D 解析如图，以O 为坐标原点，BE 所在直线为x 轴，AF 的垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设点P (cos θ，sin θ)(0≤θ≤2π)，由题意知，E (2,0)，O (0,0)，则PE →＝(2－cos θ，－sin θ)，OE →＝(2,0)，所以PE →·OE →＝4－2cos θ，当cos θ＝1，即θ＝0时，PE →·OE →取最小值2.16．(2023·浙江金丽衢十二校联考)在△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，AC ＝9，AM 和AN 分别是BC 边上的高和中线，则MN →·BC →等于()A ．14B ．15C ．16D ．17答案C 解析如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，BM →＝λBC →，则有AM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →＝(1－λ)a ＋λb ，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝72＋92－822×7×9＝1121，∵AM →⊥BC →，∴AM →·BC →＝0，即[(1－λ)a ＋λb ]·(b －a )＝(1－2λ)a ·b －(1－λ)a 2＋λb 2＝0，其中a ·b ＝|a ||b |cos ∠BAC ＝63×1121＝33，a 2＝49，b 2＝81，解得λ＝14，BN →＝12BC →，∴MN →＝BN →－BM →＝14BC →，MN →·BC →＝14BC →2＝16.。
高考数学一轮复习第五章平面向量第3节平面向量的数量积市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
(3)数量积大于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为锐 角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．
38/72
1．[角度 1](2015·重庆卷)若非零向量 a，b 满足|a|＝2 3 2|b|，
19/72
考点
题型突破
20/72
考点一 平面向量数量积的运算——互动型
21/72
(1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则(a＋b)·(a
－2b)＝(
)
A．2
B．－2
C．－3
D．4
22/72
(2)(2015·四川卷)设四边形 ABCD 为平行四边形，|A→B|＝6，
|A→D|＝4.若点 M，N 满足B→M＝3M→C，D→N＝2N→C，则A→M·N→M＝
则(2a＋b)·a＝(
)
A．－1
B．0
C．1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．2
[解析] a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，
－1)＝1.
[答案] C
12/72
3．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量 a＝(1，m)，b＝(3，－2)，
且(a＋b)⊥b，则 m＝(
)
A．－8
B．－6
C．6
D．8
[解析] 由题意可知，向量 a＋b＝(4，m－2)．由(a＋b)
[答案] C
16/72
6．(2016·沧州一中月考)如图，△ABC 中， AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D 是 BC 的中点， 则B→A·A→D的值为________．
《红对勾》高三数学第一轮复习北师大课件 5-3
2.利用平面向量的数量积计算及两个向量的夹角问 题，如2013年湖北理T6，江西T7等.
自主回顾·打基础 突破考点·速通关
解题技巧·提素能 课时作业
自主回顾·打基础01
夯实基础·厚积薄发
1．两个向量的夹角
已知两个非零向量a和b(如图)，作
②
a·b a2
＝
b a
③(a·b)2＝a2·b2 ④(a－b)2＝a2
－2a·b＋b2，其中正确的有________个．( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①正确．∵aa·2b＝|a||b|a|c|2osθ＝|b|c|ao|sθ，∴②错． ③中(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2θ不一定与a2·b2相等， ∴③错．④正确．故选B.
答案 2．非零 |a||b|cosθ a·b |a||b|cosθ
3．向量数量积的性质 设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的 夹角．则(1)e·a＝a·e＝________；
(2)a⊥b⇔________；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝ ________，特别的，a·a＝|a|2或者|a|＝ a·a；
∴(8a－b)·c＝3×6＋3×x＝30，解得x＝4.
(2)a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2) ＝ke21＋(1－2k)e1·e2－2e22 ＝k＋(1－2k)cos23π－2＝2k－52＝0，
→ OA
＝a，
→ OB
＝b，则
∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0时，a与
b________；当θ＝π时，a与b________；当θ＝
最新高三复习课第五章 5.3平面向量数量积(公开课)精品课件
∴|O→A＋O→B＋O→D|＝ x－12＋y＋ 32.
问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1 上的点与点 P(1，－ 3)间距离的最大值.
∵圆心 C(3,0)与点 P(1，－ 3)之间的距离为 3－12＋0＋ 32＝ 7，
特别地，a·a＝ |a|2或|a|＝ a·a. (4)cos θ＝|aa|·|bb|.
(5)|a·b|≤ |a||b| .
第三页，共17页。
答案(dá
4.平面向量数量(shùliàng)积满足的运算律
(1)a·b＝ b·a；
(2)(λa)·b＝ λ(a·b)＝ a·(λb) (λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c .
的运算.
3.求向量模的最值(范围)的方法：①代数法②几何法(数形结合法)
4.两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，
则有a·b<0，反之不成立.
第十七页，共17页。
点拨(diǎn bo)：定义法求数量积，注意向量的夹角与三角形内角相等还是互补
第六页，共17页。
(2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则D→E·C→B的 值为________；D→E·D→C的最大值为________.
D
C
A
EB
点拨：利用几何(jǐ hé)意义求数量积，准确找准投影
点拨:求向量模的 常用方法： （1）利用公式 |a|2＝a2，将模的 运算(yùn suàn)转 化为向量的数量 积的运算(yùn suàn)（2）坐标 化
又A→O＝12(A→B＋A→C)，所以A→O2＝14(A→B＋A→C)2＝14(A→B2＋2A→B·A→C＋A→C2)，
高三复习课平面向量的数量积课件
忽视向量夹角
总结词
在计算平面向量的数量积时，学生常常会忽视向量夹角的影响。
详细描述
向量夹角是计算数量积的重要因素之一，夹角余弦值直接影响着数量积的结果。 如果学生忽视了夹角，就会导致计算结果不准确。因此，在计算数量积时，学生 需要特别注意夹角的取值范围和符号。
忽视向量模长的影响
总结词
在计算平面向量的数量积时，学生常常会忽视向量模长的影响。
公式
数量积的公式为 $|vec{a} cdot vec{b}| = |vec{a}| times |vec{b}| times |cos theta|$，其中 $theta$ 是向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 之间的夹角。
几何意义
几何意义
平面向量的数量积表示向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 在垂直方向上 的投影的模长之积。
02
平面向量的数量积运算
线性运算
线性运算包括加法、 数乘和向量的线性组 合等基本运算。
线性运算的性质包括 向量共线定理、向量 模的性质等。
向量加法满足交换律 和结合律，数乘满足 分配律。
数量积的坐标表示
数量积的坐标表示是通过向量的坐标来计算两个向量的数量积。
设向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1},y_{1})$，$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。
高三复习课平面向量的数量积课 件
contents
目录
高三高考数学复习课件5-3平面向量的数量积
－2 5×2
＝－ 2
10 10 .
【答案】
－
10 10
题型二 平面向量数量积的应用 角度一 求向量的模
π 【例 2】(1)(2018·西安模拟)已知平面向量 a，b 的夹角为 6 ， 且|a|＝ 3，|b|＝2，在△ABC 中，A→B＝2a＋2b，A→C＝2a－6b，D 为 BC 的中点，则|A→D|＝________．
＝2(x2＋y2－ 3y)
＝2x2＋y－
232－34≥2×－34＝－32.
当且仅当 x＝0，y＝ 23时，P→A·(P→B＋P→C)取得最小值，最小
值为－23.
故选 B.
方法二 (几何法) 如图②所示，P→B＋P→C＝2 P→D(D 为 BC 的中点)，则P→A·(P→B＋ P→C)＝2 P→A·P→D.
以 a·b＝1，设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ，由 cos
θ＝|aa|··|bb|＝
1 2
＝
22，可得
π θ＝ 4 ，即向量
a
与
b
π 的夹角为 4 .
(2)由已知得，a·(a－2b)＝0，∴cos〈a，b〉＝2||aa|||2b|＝12， π
∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝ 3 . ππ
π 【解析】 因为 a 在 b 方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝ 2cos 3
＝
22.故填
2 2.
【答案】
2 2
题型一 平面向量数量积的运算
【例 1】 (2017·全国Ⅱ卷)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角
形，P 为平面 ABC 内一点，则P→A·(P→B＋P→C)的最小值是( )
A．－2
即 2a－3b 与 c 反向．
高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用
1.平面向量数量积的有关概念
向量的
夹角
数量积
的定义
已 知两 个 非 零 向 量 a , b , O 是平 面上的 任意一 点 , 作
→
→
=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b
的夹角
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把|a||b|
cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即
A.20
C.20
)
B.-20
√
D.-20
→
→
→
→
→
→
→
解析:由题意知<,>=120°,故·=||·||·cos<,
→
>=-5×8× =-20.故选 B.
3.已知向量a=(2,2),b=(0,-3),则a与b的夹角的余弦值为(
A.-
√
C.
B.
解析:(2)因为a=(3,1),b=(2,2),
所以a+b=(5,3),a-b=(1,-1),
则|a+b|= + = ,|a-b|= + = ,(a+b)·(a-b)=5×1+3×(-1)=2,
(+)·(-)
所以 cos<a+b,a-b>=
|+||-|
=
→
→
→
||cos∠PAB 表示在上的投影向量的数量,所以结合图形可知,
当 P 与 C 重合时投影向量的数量最大,当 P 与 F 重合时投影向量的数量
→
→
→
→
最小.又·=2 ×2×cos 30°=6,·=2×2×cos 120°=
平面向量的数量积复习课公开课优质课件
1．平面向量的数量积 （1）定义：
（2）几何意义：
2设. 两平非面零向向量量数量a＝积(的x2，性y质2)，及b其＝坐(x1标，表y1示)，a与b的夹角为θ
(1) 数量积： (2)模：
((43))夹a 角b：的充要条件： 3. 平面向量数量积的运算律
（1）交换律：
（2）数乘结合律：
（3）分配律：
三、导学释疑
b
(4,-2)，a
b与a垂直，则
（ ）
A.-1
B.1
.C.-2 D. 2
五、课时小结
1．平面向量的数量积
2.平面向量数量积的性质 本节课主要学习的知识点有 及其坐标表示
3. 平面向量数量积的运算律
向量数量积的运算
利用知识点可以解决的问题有 向量夹角及垂直问题
与向量模有关的问题
六、课后作业
课本P108、A组1,2,3
A.
6
B.
4
C.
3
5
D. 12
【思路点拨】利用已知条件中的垂直关系求出
a
b
，
再利用
cos
a
b
a
b
求解.
【点评】(1)两向量的夹角公式
cos
a
b
a
b
所以要找准
a
b及
a与
b
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
(2)
两向量a
b的充要条件：a
b =0
x1
x2
y1 y2
，则
A. (2,4) B. (3,6) C.(4,8) D. (5,10)
2.目标展示
(1).掌握平面向量数量积的定义及其几何意义；掌 握平面向量数量积的重要性质及运算律.
高中数学《平面向量的数量积》公开课优秀课件
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业