重庆市南开中学2020年高三下期中数学试题及答案(文科)
…………（8 分）
MF
NF
(4,
yM
) (4,
yN
)
16
64( y1 y2 2 y1 2 y2 y1 y2 8 y1 8 y2
D.存在 BB1 上一点 P 使得 AP // 平面 EFC
12.已知函数 f (x) x3 3x 1，若 x1 [a, b], x2 [a, b]，使得 f (x1) f (x2 ) ，且 x1 x2 ，则 b a 的
最大值为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.6
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
（2）若曲线 C 上两点 M , N , 有 OM ON ，求 OMN 面积最小值.
23.已知函数 f (x) | x 1| | x 1| 2 | x 2 | . （1）若关于 x 的不等式 f (x) ≤ a 有解，求实数 a 的取值范围； （2）若不等式 f (x) ≤| x b | 4 对任意 x R 成立，求实数 b 的取值范围.
A． 0,1
B．1, 0
C． 1,1
D．
2.若
2 a
i i
(a
R)
为纯虚数（
i
为虚数单位），则
a
（
）
A.2
B.1
C. 1
1
D.
2
2
3. 已知 y sin(3x )(| | ) 一条对称轴为 x 3 ，则 （ ）
2
4
A.
B.
C.
D.
4
4
3
6
4.双曲线 y2 x2 1 的渐近线方程为（ ） 4
3
7
2
A.
B.
C.
4
12
3
8.若某程序框图如图所示，则输出的 S 的值是（ ）
A.31
B.63
C.127
5
D.
6
D.255
开始
i 1 S 0
9.已知奇函数 f (x) 定义域为 R ，且 f (x 2) 为偶函数，若 f (1) a ， 则 f (1) f (3) f (5) f (2019) ( )
8
^ b
i 1
zi z yi y 8 zi z 2
6868 1.9 ，…………（7 分） 3570
i 1
^
^
^
a y b z 50 1.9 25.5 1.6 ，∴y 关于 x 的回归方程为 y 1.9x2 1.6 ．…（9 分）
（3）预测该地区第 9 天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为
（2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留一位小数）；
3
（3）由于时差，该国截止第 9 天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布。小王同学认为，如果防疫形 势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数作出预测， 那么估计该地区第 9 天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少.
2
15.已知等比数列{an}前 n 项和为 Sn ， a2
2, S3
8 ，则
S5 a3
_________
16. ABC 中，(3AB 2 AC) BC 0 ，且对于 t R,| BA t BC | 最小值为 6 | BC | ，则 BAC _________ 5
三、解答题：(共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
2
从而 cos C 6 ，余弦定理得 AD2 AC 2 CD2 2 AD CD cos 60 2a2 22 3
得 a 2 ，所以 BC 3 2 …………（12 分）
19.解： （1）选择模型①．理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接 近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好；…………（3 分）
二、填空题：本大题 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分. 各题答案必须填写在答题卡上相应位 置（只填结果，不写过程）.
x y 1 0 13.若变量 x, y 满足 x 3y 3 0 ，则 x y 的最小值为________
2 y x 0
14.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体体积为________
（二）选考题：共 10 分．请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡相应 题号处填涂，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x y
2 cos sin
（
为参数）。以坐标原点
O
为极点，
x
轴正
半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 C 的极坐标方程；
现在先把这 16 人均分为 2 组，选其中一组 8 人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则
认定在本组。继续把认定的这组的 8 人均分两组，选其中一组 4 人的样本混合检查……以此类推，最终从
这 16 人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测。
A.3
B.4
C.6
D.7
6.已知“若 p 则 q ”为真命题，“若 p 则 q ”为假命题，则 p 成立是 q 成立的（ ）
重庆南开中学高 2020 级线上中期考试
注意事项：
数学试题（文科）
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项符合要求，答案 请涂写在答题卡上． 1. M {y | y 2x , x R}, N {y | y sin x, x R} ，则 M N （ ）
否
i8
是
A.0
B. a
C. 2a
D.1010a
10. 已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
左右焦点分别为 F1(c,0), F2 (c,0) ，若椭圆上
一点
P
满足
PF2
x 轴，且
PF1 与圆
x2
y2
c2 4
相切，则该椭圆的离心率为（
）
S 2S 1 i i 1
输出 S 结束
3
1
A.
B.
3
2
2
2
19.新型冠状病毒肺炎 COVID-19 疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延。在全国人民的共同努力和各级部门 的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制。然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，
由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长.下表是小王同学记录的某国连续 8 天每日新 型冠状病毒感染确诊的累计人数.
范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每 16 人为
一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该 16 人再次抽
检确认感染者。
某组 16 人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要 15 次才能确认感染者。
VN A1B1M
VM A1B1N
1 3
S
A1B1N
AA1
1 3
3 2 …… 2
……（12 分） 18.解：
BD （1）由正弦定理： sin 30
sin
AB ADB
,sin
ADB
3 C DAC 2
DAC 60 ，从而 C 60 …………（6 分） （2）设 BD 1 CD a, AB 3a, AC 6a
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
8
^
xi x yi y ^
^
b i1 8 xi x 2
,a ybx.
i 1
20.已知抛物线 y2 2 px( p 0) 焦点为 F ，直线 l 过 F 与抛物线交于 A, B 两点。 A, B 到准线的距离之和最
小为 8. （1）求抛物线方程；
8
8
2
8
8
2
过计算得 xi x yi y 728 ， xi x 42 ， zi z yi y 6868 ， zi z 3570 ，
i 1
i 1
i 1
i 1
其中
zi
xi2 , z
1 8
8 i 1
zi
.
（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；
日期代码 x
1
2
3
4
5
6
7
8
累计确诊人数 y
4
8
16
31
51
71
97
122
^
^
为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：① y bx2 a ，② y dx c 对变量
x 和 y 的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差 ei yi yˆi ）：经
A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
1
7.疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习。某天上午安排了四节网课，分别是数学，语文，
政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育。现在，他准备在上午下午的课程中各任选一节
进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、地理）课程的概率为（ ）
^
^
（2）由（1），知 y 关于 x 的回归方程为 y bx2 a ，令 z x2 ，则 y bz a 。
由所给数据得： z 1 1 4 9 16 25 36 49 64 25.5 ，
2020届重庆南开中学高三第三次教学质量检测考试数学(文)试题(解析版)
2020届重庆南开中学高三第三次教学质量检测考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4,5}U =，{}2|30A x x x =∈-<Z ，则U A =ð（ ）A ．{}5B ．{}4,5C ．{}3,4,5D ．{}2,3,4,5【答案】C【解析】化简集合A ，进而求补集即可. 【详解】∵{}1,2A =，又{1,2,3,4,5}U =， ∴U A =ð{}3,4,5，故选：C 【点睛】本题考查补集的概念及运算，考查计算能力，属于基础题. 2．已知复数21aii+-为纯虚数，则实数a =（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】根据复数的除法运算，化简得到2i 22i 1i 22a a a +-+=+-，再由题意，即可得出结果. 【详解】因为()2(1)22(2)221(1)(1)222+++++--+===+--+ai i ai a i a a a i i i i 为纯虚数， 所以202a-=，因此2a =. 故选C 【点睛】本题主要考查由复数的类型求参数，熟记复数的除法运算即可，属于基础题型. 3．已知两条直线10ax y +-=与420ax y --=垂直，则a =（ ） A ．±1B ．1C ．12D ．12±【答案】D【解析】根据题意知，斜率都存在，因此利用斜率之积等于1-即可求得a 的值. 【详解】由题意知两条斜率分别为12,4k a k a =-=， 又两条直线10ax y +-=与420ax y --=垂直，∴()1241k k a a ⋅=-⋅=-，214a ∴=， 即12a =±.故选：D . 【点睛】本题考查两直线垂直的性质，利用斜率都存在的两条直线垂直，斜率之积等于1-，是基础题.4．已知3()sin 1,0f x a x bx a =++>，且()3f m =，则实数()f m -=（ ） A ．-1 B ．1C ．3D ．2【答案】A【解析】利用()()2f x f x +-=即可得到结果. 【详解】∵3()sin 1,f x a x bx =++ ∴()()2f x f x +-=，∴()()2f m f m +-=，又()3f m =， ∴()1f m -=-， 故选：A 【点睛】本题考查函数的对称性，考查转化能力，属于常考题型.5．“2m …”是直线20mx y m --+=不过第二象限的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分性与必要性的定义即可作出判断. 【详解】直线20mx y m --+=可化为：()21y m x -=-， 直线()21y m x -=-过定点()1,2，如图所示：∴“2m …”是直线20mx y m --+=不过第二象限的充要条件， 故选：A 【点睛】本题考查充分性与必要性，考查数形结合思想，属于基础题.6．正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别为BC ,CD 中点，则异面直线1C E 与1D F 所成角的余弦值为（ ） A ．3B ．35C ．12D ．45【答案】D【解析】首先找到异面直线的夹角的平面角，然后利用勾股定理及余弦定理求出相应的值． 【详解】正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别为BC ,CD 中点， 取AD 的中点为N ，连接1D N 、FN ， 易知：1D N ∥1C E ，∴1FD N ∠为异面直线1C E 与1D F 所成角， 设2BC =，则115,D N D F =2FN =，∴cos ∠FD 1N 45255==⋅⋅．∴异面直线1C E 与1D F 所成角的余弦值为45， 故选D【点睛】本题考查的知识点：异面直线的夹角，勾股定理的应用，余弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下问题“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意思是将996斤绵分给八个人，从第二个人开始，每个人分得的绵都比前一个人多17斤，则第八个人分得绵的斤数为（ ） A ．150 B ．167C ．184D ．201【答案】C【解析】设第一个孩子分配到a 1斤锦，利用等差数列前n 项和公式得：8187812S a ⨯=+⨯7＝996，从而得到a 1＝65，由此能求出第八个孩子分得斤数． 【详解】解：设第一个孩子分配到a 1斤锦， 则由题意得：8187812S a ⨯=+⨯7＝996， 解得a 1＝65，∴第八个孩子分得斤数为a 8＝65+7×17＝184． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的第八项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．8．设实数a ，b 满足01a b <<<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ab a b >+ B ．1ab a b +<+C ．b a ab >D ．b a a b >【答案】C【解析】利用反例法与指数函数的图象与性质即可作出判断.【详解】根据题意可设11,,42a b == 对于A ，1,8ab =3,4a b +=不成立；对于B ，91,8ab +=3,4a b +=不成立；对于D ，12,b a -=142a b -=，不成立；而对于C ，1,b a a ab >>成立， 故选：C 【点睛】本题考查不等式的性质和运用，考查反例法和指数函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于基础题．9．若直线1y kx =+与1y x x=+相切，则实数k =（ ） A ．2 B ．34 C ．12D ．32【答案】B【解析】设切点为：0001,,x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭求出1y x x=+在此点处的切线方程002211x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，对比1y kx =+，即可得到结果.【详解】设切点为：0001,,x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 21y 1x '=-， ∴1y x x=+在此点处的切线方程为： ()00200111y x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ，即002211x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-∴2001121k x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得0342k x ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 故选：B 【点睛】本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解题的关键是正确理解导数的几何意义．10．已知点(,)x y 是区域4211x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩内任意一点，且z ax y =+仅在()3,1处取得最大值，则a 的范围为（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．[1,)+∞ D ．1,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值． 【详解】解：画出4211x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩可行域如图所示，其中A （1，0），B （3，1），C （1，3），若目标函数z ＝ax +y 仅在点（3，1）取得最大值， 由图知，直线z ＝ax +y 的斜率小于直线x+y ＝4的斜率， 即﹣a ＜﹣1， 解得a ∈（1，+∞）． 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．11．抛物线24y x =与过点()0P t ，的直线交于A ，B ，若存在横坐标为2的点Q 满足2AQ QB =u u u r u u u r，则t 的最大值为（ ）A ．2B ．3C．D【答案】D【解析】设直线AB 的方程为：x my t =+，代入抛物线方程可得：()222420x m t x t -++=，22121242,x x m t x x t +=+=，又有2AQ QB =u u u r u u u r可得1226x x +=，从而可得：()2493636881804t t m t m -++-+=，方程有解可得结果.【详解】设直线AB 的方程为：x my t =+，代入抛物线方程可得：()222420x m t x t -++=， 设A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ），∴22121242,x x m t x x t +=+=由2AQ QB =u u u r u u u r可得：1226x x +=，联立方程：212124226x x m t x x ⎧+=+⎨+=⎩ ，可得2122846642x m t x m t⎧=+-⎨=--⎩， 又212x x t =，∴()2493636881804t t m t m -++-+=，此时0,∆≥ 即()22936368184804t t t -+∆=--⨯⨯≥，∴28360t -+≥，即t ≤， ∴t故选：D 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查转化能力与计算能力，属于中档题.12．由{}n a 排成的数表如下：数表中每一行均构成等差数列，各行的首项构成公比为2的等比数列；且第n 行的末项恰为前n 行的首项的和（例如312a a a =+）.若有4080a =，则{}n a 的前n 项和为（ ） A ．2n n - B ．2n n + C ．2n D ．122n +-【答案】B【解析】由题意知：1124212i i a a a a a --=++++L ，()1121221i i i a a d ----=-，从而得到()()1112121i i a d ---=-，即1a d =，由4080a =，得1a ，即可得到{}n a 的前n 项和.【详解】由题意知：1124212i i a a a a a --=++++L ， 第i 行：，()1121221i i i a a d ----=- 即()2112221i i a a a d --++⋯+=-，()()1112121i i a d --∴-=-， 1a d ∴=，又4080a =，3240864a a d ∴=-=，又53212a a =⋅， 12a ∴=， ∴ 数表{}n a ：2 4，68，10，12，14L2n a n ∴=，所以数列{}n a 的前n 项和为：()2222n n n n +=+， 故选：B . 【点睛】本题主要考查的是等差数列和等比数列的综合的应用，解题时要认真审题，仔细观察，注意寻找规律，是中档题.二、填空题13．数列满足{}n a 满足11(1)n n a a n n +=++，11a =，则10a =________.【答案】1910【解析】利用累加法及裂项相消法，即可得到结果. 【详解】 ∵1111,(1)1n n n a a a n n n n +⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭∴10911,910a a ⎛⎫=+-⎪⎝⎭9811,,89a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭K 2111,2a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴101111111910892a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 11921010=-= 故答案为：1910【点睛】本题考查通项公式的求法，涉及累加法、裂项相消法，考查学生转化能力与计算能力，属于常考题型.14．已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则xy 的最小值为________. 【答案】8【解析】利用2xy x y =+≥xy 的取值范围. 【详解】∵正实数x ，y 满足2x y xy +=，∴2xy x y =+≥2x y =时，等号成立，∴8xy ≥，∴xy 的最小值为8， 故答案为：8 【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，考查变形能力与计算能力，属于常考题型.15．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在x θ=处取得最大值，则(2)(4)f f θθ-=________.【解析】由题意可得2,32k k Z ππωπθ+=+∈，代入(2)(4)f f θθ-即可得到结果．【详解】∵函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在x θ=处取得最大值， ∴2,32k k Z ππωπθ+=+∈即2,6k k Z πωπθ=+∈，∴(2)(4)sin 2sin 433f f ππθθωθωθ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2sin 4sin 803k k ππππ⎛⎫+-+=⎪== ⎝⎭，【点睛】本题考查三角函数的性质与三角恒等变换，考查学生的运算能力，属于基础题．16．已知非零平面向量a r ，b r ，c r 满足0a b ⋅=r r ，a c b c ⋅=⋅r r r r，且||2a b -=r r ，则a c c⋅r r r的最大值为________. 【答案】1【解析】建立平面直角坐标系，根据题意可设：(),0,a m =r ()0,,b n m =r 、n>0,(),c x y =r， 可得224mx ny m n -=⎧⎨+=⎩，而a c c ⋅r rr =，利用均值不等式即可得到结果．【详解】建立平面直角坐标系，根据题意可设：(),0,a m =r ()0,,b n m =r 、n>0,(),c x y =r， ∴2204mx ny m n -=⎧⎨+=⎩ ，∴a c c===⋅r r r ， 而()(22222222221111111221444n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1≤，即a c c ⋅r rr 的最大值为1， 故答案为：1 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查数量积的坐标运算，均值不等式，考查转化能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2,1)m a =u r，(cos cos ,sin cos )n b A a B C B =--r ，且m n u r r∥.（1）求A ；（2）若4b =，2a =，求ABC V 的面积 【答案】（1）6A π=或56π（2）【解析】（1）由题意可得cos cos 2(sin cos )b A a B a C B -=-，结合正弦定理可得1sin 2A =，从而得到结果； （2）由于a b <，所以6A π=，结合余弦定理可得c（1）因为m n u r r∥，则cos cos 2(sin cos )b A a B a C B -=-sin cos 2sin sin sin cos B A A C A B =-sin()2sin sin A B A C +=从而1sin 2A =，566A ππ=或（2）由于a b <，所以6A π=，又余弦定理：2244cos 242c A c +-==⋅⋅，解得c所以面积为14sin 26π⋅⋅=【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，由三角函数值班求角，正余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合运用．18．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a ，2a ，5a 成等比数列，且416S =.（1）求n a ； （2）若数列{}n b 满足3122482n n b b b b n +++⋯+=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-（2）1(23)26n nT n +=-⋅+【解析】（1）由题意列出基本量的方程组，即可得到通项公式； （2）利用3122482n n b b b b n +++⋯+=可得2nn b =，结合错位相减法可得结果． 【详解】（1）()()22152111,4a a a a a d a d ⋅=⋅+=+解得12d a =，而411434162S a d a ⨯=+=， 所以11a =，2d =，21n a n =- （2）由于3122482n n b b b b n ++++=L ，则311211(2)2482n n b b b b n n --++++=-L …. 相减得1(2)2nn b n =…，又有12b =，从而2n n b =.则123123252(21)2n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅L ，23121232(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅L ，相减得：()12311122222(21)26(23)2nn n n T n n ++-=⋅+⋅+++--⋅=---⋅L得1(23)26n nT n +=-⋅+本题考查求等差数列的通项公式，考查采用错位相减法求数列的前n 项和，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用，属于中档题．19．某工厂生产一批零件，为了解这批零件的质量状况，检验员从这批产品中随机抽取了100件作为样本进行检测，将它们的重量（单位：g ）作为质量指标值．由检测结果得到如下频率分布直方图． 分组频数 频率 [)45,47 8[)47,49[]49,51(]5153，16 0.16(]5355，4 0.04 合计 1001（1）求图中a b ，的值；（2）根据质量标准规定：零件重量小于47或大于53为不合格品，重量在区间[)4749，和(]5153，内为合格品，重量在区间[]4951，内为优质品．已知每件产品的检测费用为5元，每件不合格品的回收处理费用为20元．以抽检样本重量的频率分布作为该零件重量的概率分布．若这批零件共m 件()*100m m N>∈，，现有两种销售方案：方案一：不再检测其他零件，整批零件除对已检测到的不合格品进行回收处理，其余零件均按150元/件售出；方案二：继续对剩余零件的重量进行逐一检测，回收处理所有不合格品，合格品按150元/件售出，优质品按200元/件售出．仅从获得利润大的角度考虑，该生产商应选择哪种方案？请说明理由．【答案】（1）0.24,0.04a b ==；（2）当1815m ≥时，选方案一；当1814m ≤时，选方案二．【解析】（1）根据题中数据，得到0.080.042b ==，根据频率之和为1，进而可求出结果；（2）根据题中条件，得到两种方案下的总收入，比较两收入的大小，即可得出结果. 【详解】（1）根据题中数据可得：0.080.042b ==， 又频率之和为1， 则10.120.080.040.020.242a =----=； （2）该工厂若选方案一：可收入()()12150510012201502540m m -⨯-⨯-⨯=-元； 若选方案二：一件产品的平均收入为200.121500.42000.485148.6-⨯+⨯+⨯-=元， 故总收入148.6m 元；21502540148.618147m m m ->⇒>，故当1815m ≥时，选方案一； 当1814m ≤时，选方案二． 【点睛】本题主要考查补全频率分布直方图，以及由频率分布直方图解决实际问题，熟记频率的性质即可，属于常考题型.20．已知离心率为12的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P为椭圆上异于长轴顶点的动点.当2PF x ⊥轴时，12PF F △面积为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）12F PF ∠的内角平分线交x 轴于Q ，求OP OQ ⋅u u u r u u u r的取值范围. 【答案】（1）22143x y +=（2）[0,1)【解析】（1）利用已知条件，求出椭圆的几何量，然后求解椭圆C 的方程；（2）设()00,P x y ，则直线1PF ：()0001y x xy y +=+；2PF ：()0001y x xy y -=-,利用点到直线的距离，建立等量关系，从而得到014t x =，表示目标即可. 【详解】（1）213222b c a ⋅⋅=，2a c =，b =，解得1c =，2a =，b =22143x y +=. （2）设()00,P x y ，则直线1PF ：()0001y x xy y +=+；2PF ：()0001y x xy y -=-设(,0)Q t=，2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，=，由于(1,1)t ∈-，0(2,2)x ∈-，则()()0011(1)4(1)422t x t x +⋅-=-⋅+. 化简得014t x =；则201[0,1)4OP OQ x ⋅=∈u u u r u u u r .【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． 21．已知函数22113()ln 222f x x ax x x ax ⎛⎫=--+⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x 的极值点；（2）若()f x 极大值大于1，求a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）)a ∈⋃+∞ 【解析】（1）求出导函数1()()ln 2f x x a x ⎛⎫=-- ⎝'⎪⎭，分类讨论明确函数的单调性，从而得到函数()f x 的极值点； （2）由（1），0a ≤和a =a >0a <<分别利用()f x 极大值大于1，建立不等关系即可. 【详解】131()()ln ()ln 222f x x a x x a x a x a x ⎛⎫=-+--+=-- ⎝'⎪⎭（1）0a ≤时，()f x 在单减，)+∞单增，极小值点为x =0a <<()f x 在(0,)a 单增，(a 单减，)+∞单增，极小值点为x =极大值点为x a =；a =()f x 在(0,)+∞单增，无极值点；a >()f x 在单增，)a 单减，(,)a +∞单增，极小值点为x a =，极大值点为x =（2）由（1），0a ≤和a =当a >14e f =>，解得4a >，3104e ⎫==-<⎪⎭，所以a >当0a <<21()(2ln )12f a a a =->，得222ln a a->，令2t a =，则12()2ln 2g t t t =--22124()22tg t t t t'-=-+=，()g t 在4t =取得极大值(4)0g >，且(1)0g =.而a t e <,而()g t 在(1,)e 单增，所以()0g t >解为(1,)e ，则a ∈.综上)a ∈⋃+∞. 【点睛】本小题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．22．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+，以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，过圆C 的圆心C 作倾斜角,2πααπ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的直线l .（1）写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）直线l 分别与x ，y 轴交于A ，B ，求||||CA CB ⋅最大值和ABO V 面积的最小值.【答案】（1）圆C 的普通方程为2242x y x y +=+，圆心为()2,1，2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t为参数）（2）||||CA CB ⋅无最大值，面积最小为4 【解析】（1）由题意圆C 的普通方程和直线l 的参数方程； （2）分别令0x =，0y =得12cos t α=-，21sin t α=-，表示||||CA CB ⋅与ABO V 面积，借助三角知识与重要不等式即可得到结果. 【详解】（1）圆C 的普通方程为2242x y x y +=+，圆心为()2,1直线l 的参数方程为()2cos 1sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数 （2）分别令0x =，0y =得12cos t α=-，21sin t α=-，124sin 2CA CB t t α⋅==，当|sin 2|α最小时取最大，由于,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，|sin 2|(0,1]α∈.所以，无最大值.0x =时，11sin y t α=+，=0y 时22cos x t α=+，则ABO V 面积为12cos sin 122sin cos αααα⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11224tan 2tan αα⎡⎤⎛⎫=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1(44)42+=…， tan 2α=-时取等号.【点睛】本题考查圆的普通方程，直线的参数方程的求法，考查代数式的最大值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 23．()|||12|f x x a x a =-++-. （1）若(2)2f …，求a 的取值范围；（2）设（1）中a 的最小值为M ，若|2|m n M +…,||m n M -…，求证：|21|3m n ++…. 【答案】（1）713a 剟（2）证明见解析 【解析】（1）利用零点分段法解含有绝对值的不等式即可； （2）利用绝对值三角不等式，证明不等式即可．【详解】（1）(2)|2||32|2f a a =-+-… 32a …时，33a …，1a …，∴312a 剟 322a <<时，3a ≤，∴322a << 2a ≥时，，33a …，73a …，∴723a 剟 综上713a 剟 （2）|2|1m n +…，||1m n -…，则|2||2||2|||2m n m n m n m n m n +=++-++-剟，所以：|21||2|13m n m n ++++剟 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法与证明，考查运算能力与转化能力，属于中档题．。
重庆市南开中学2020届高三下学期3月月考数学(文)试题
绝密★启用前 重庆市南开中学2020届高三下学期3月月考数学（文）试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．复数1z i =+的虚部为( ) A ．1- B ．3- C ．1 D ．2 2．“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A ．128.5米 B ．132.5米 C ．136.5米 D ．110.5米 4．已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A ．15 B ．23 C ．79- D ．59 5．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，a =则ABC ∆面积为（ ）…………○…………订…………○※※※线※※内※※答※※题※※…………○…………订…………○A B．2C．2D6．若x，y满足约束条件2323xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y=-的最大值为M，最小值为m，则M m-=（）A．0 B．32C．-3 D．37．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．42B．45C．46D．488．已知向量5168,77AB⎛⎫= ⎪⎝⎭，68,77AC⎛⎫= ⎪⎝⎭，D，E是线段BC上两点，且15BD BC=，13CE CB=，则向量AD与AE的关系是（）A．2AD AE=B．12AD AE=C．AD AE⊥D．AD与AE成60︒夹角9．已知函数()cos3xf xπ=，根据下列框图，输出S的值为()A．670B．16702C．671D．67210．奇函数f（x）在R上存在导数()f x'，当x＜0时，()f x'2x-＜f（x），则使得（x2﹣1）f（x）＜0成立的x的取值范围为（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）订…………○………_考号：___________订…………○………11．在ABC ∆中，sin 3sin 2B C =，60BAC ∠=︒，D 是BC 的中点.若AE EC λ=，且AD BE ⊥，则实数λ=（ ） A ．75 B ．712 C ．43 D ．47 12．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）A ．17B ．17C ．17D ．17 第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．已知集合{}2|60A x x x =--≤，{}|2B x x =≤，则A B =______. 14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122n n S +=-，则n a =______. 15．已知椭圆2221x y a +=的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线y x =-的对称点P 仍在椭圆上，则12PF F ∆的周长为__________． 16．把函数sin2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()y f x =的图象，对于函数()y f x =有以下四个判断： ①该函数的解析式为；2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；○…………外装…………○…………※要※※在※※装※※订※※线※※内○…………内装…………○…………③该函数在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数； ④函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a = 其中，正确判断的序号是______． 三、解答题 17．某工厂有两种日工资方案供员工选择，方案一规定每日底薪50元，计件工资每件3元；方案二规定每日底薪100元，若生产的产品数不超过44则没有计件工资，若超过则从第45件开始，计件工资每件5元.该工厂随机抽取100天的工人生产量的数据.将样本数据分为[)25,35，[)35,45，[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该工厂的人均生产量不少于65件的概率；（2）若甲、乙选择了日工资方案一，丙、丁选择了日工资方案二.现从上述4名工人中随机选取2人.求至少有1名工人选择方案一的概率；（3）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘工人做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）18．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，110BB =，D ，E 分别是线段1BB ，1AC 的中点.（1）求证：//DE 平面ABC ； （2）求三棱锥A DCE -的体积. 19．已知首项为2的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+. （1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． （2）令n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．已知抛物线C ：()220x py p =>，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且当直线l 倾斜角为45︒时，与抛物线相交所得弦的长度为8. （1）求抛物线C 的方程； （2）若分别过点A ，B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，点P 关于直线AB 的对称点Q ，判断四边形PAQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由. 21．已知函数()()ln 11f x x x a x =-++，a R ∈. （1）求函数()f x 的单调区间和极值； （2）若方程()()121120f x a a x x x ⎛⎫-+++++= ⎪⎝⎭有三个解，求实数a 的取值范围. 22．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 04πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. （1）将曲线1C 上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）得到曲线2C ，求2C 的参数方程； （2）若M ，N 分别是直线l 与曲线2C 上的动点，求MN 的最小值. 23．已知f(x)=|x −1|+|ax +1|,g(x)=|x +1|+2 （Ⅰ）若a =12,求不等式f(x)<2的解集； （Ⅱ）设关于x 的不等式f(x)≤g(x)的解集为A ,若集合(0,1]⊆A ,求a 的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】利用复数的商的运算进行化简，然后由虚部的概念可得答案.【详解】()()()()42142426131112i i i i z i i i i -----====-++-, 则复数z 的虚部为-3，故选B【点睛】本题考查复数的商的运算及有关概念，需要注意a+bi 的虚部为b ，不要误写为bi .2．A【解析】【分析】【详解】函数f (x )的单调增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，所以当a ＝1时，增区间为[1，＋∞)，所以在[2，＋∞)上也递增．当f (x )在区间[2，＋∞)上为增函数，则有a ≤2，所以a ＝1不一定成立．“a=1”是“函数()f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选A. 3．C【解析】【分析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案．【详解】胡夫金字塔原高为h ，则2304 3.141592h ⨯= ，即2304146.42 3.14159h ⨯=≈⨯米， 则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C ．【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案．属于常规题型．4．C【解析】【分析】 利用三角函数的诱导公式化简得22cos(2)cos[(2)]cos[2()]336πππαπαα-=---=-+，再利用余弦的倍角公式，即可求解．【详解】 由题意，可得22cos(2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336ππππαπααα-=---=-+=-+ 22172sin ()12()1639πα=+-=⨯-=-，故选C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和余弦倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．C【解析】【分析】根据正弦定理得到2c =，再根据余弦定理得到3cos 4C =，再计算面积得到答案. 【详解】sin 2sin A B =，故2a b ==()cos cos 2sin cos sin cos 2sin 2a B b A R A B B A R C c +=+===，所以2223cos 24a b c C ab +-==，所以sin C =，1sin 2ABC S ab C ∆==. 故选：C .【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的综合应用能力.6．D【解析】【分析】做出可行域，根据图象求出目标函数的最大值和最小值，即可求解.【详解】做出可行域如图所示，目标函数过A 点时取得最大值，由2323x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)A ， 所以z x y =-的最大值0M =当z x y =-过(0,3)B 时，取得最小值为3m =-，所以3M m -=.故选:D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.7．C【解析】【分析】先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM-CDGF, 所以该几何体的体积为11434-(23)24824632⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-=.故选：C【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．A【解析】【分析】先求出=6,8AD （），=3,4AE （），所以2AD AE =，即得解.【详解】 1141()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ 45168168,,(6,8)577577⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111215168268(),,3333377377AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3,4)=，所以2AD AE =.故选：A.【点睛】本题主要考查基底法和向量的坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．C【解析】【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可.【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos 32fπ==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1fπ==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32fπ==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos 32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =，直到2016n =时，程序运行终止， 函数cos 3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=，∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．故选C ．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键． 10．C【解析】【分析】根据当x ＜0时，f x 2x-＜f （x ）的结构特征，构造函数()()2h x x f x =，求导得()()()(2)h x x xf x f x ''=+，由当x ＜0时，f x 2x-＜f （x ），得()()2h x x f x =在()0-∞，上是减函数，再根据f （x ）奇函数，则()()2h x x f x =也是奇函数，()()2h x x f x =在()0∞，+上也是减函数，又因为函数f （x ）在R 上存在导数f x ，所以函数f （x ）是连续的，所以函数h （x ）在R 上是减函数，并且()h x 与()f x 同号，将（x 2﹣1）f （x ）＜0转化为()21()0x h x -<求解.【详解】设()()2h x x f x =， 所以()()()(2)h x x xf x f x ''=+，因为当x ＜0时，f x 2x-＜f （x ）， 即()()20xf x f x '+>，所以()()()(2)0h x x xf x f x ''=+<，所以()()2h x x f x =在()0-∞，上是减函数. 又因为f （x ）奇函数，所以()()2h x x f x =也是奇函数， 所以()()2h x x f x =在()0∞，+上也是减函数， 又因为函数f （x ）在R 上存在导数f x ，所以函数f （x ）是连续的， 所以函数h （x ）在R 上是减函数，并且()h x 与()f x 同号，所以（x 2﹣1）f （x ）＜0()21()0x h x ⇔-<210()0x h x ⎧->⇔⎨<⎩或210()0x h x ⎧-<⎨>⎩解得1x >或10x -<<故选：C【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.11．A【解析】【分析】 由已知可得32b c =，以,AB AC 为基底，将,AD BE 用基底表示，再由AD BE ⊥，建立λ方程，即可求解.【详解】 sin 333,,sin 222B b b cC c =∴==，D 是BC 的中点，1()2AD AB AC =+， ,1AE EC AE AC λλλ=∴=+， 1BE AE A AB AC B λλ=-=-+，,AD BE AD BE ⊥⊥，1()()21AC AB AD B AC E AB λλ+⋅+-⋅= 221[(]01121)AC AB AC AB λλλλ=+=++⋅-- 2201)cos6011(b bc c λλλλ∴+-︒++=-， 整理得77,1125λλλ=∴=+. 故选:A.【点睛】本题考查正弦定理、共线向量、向量基本定理、垂直向量的应用，考查计算求解能力，属于中档题.12．D【解析】【分析】首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解.【详解】如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ，且EC FH =.因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.由题意可得3FG =，12HG AC ==. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167cos 22669PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即CE =在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅==. 故选：D【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.13．[]2,3-【解析】【分析】化简集合,A B ，按并集定义即可求解.【详解】{}2|60[2,3]A x x x =--≤=-，{}|2[2,2]B x x =≤=-，[2,3]A B ⋃=-.故答案为:[]2,3-【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.14．2n n a =-【解析】【分析】利用n a 和n S 的关系计算得到答案.【详解】11122222+22(2)n n n n n n n n S S S a n ++-⇒=-=-=--≥=-当1n =时，112a S ==- 满足通项公式故答案为2n n a =-【点睛】本题考查了n a 和n S 的关系，忽略1n =的情况是容易发生的错误.15．2【解析】【分析】由题意首先求得点P 的坐标，然后结合椭圆的定义求解焦点三角形的周长即可.【详解】设()()()12,0,,00F c F c c ->，F 1关于直线y x =-的对称点P 坐标为（0，c ），点P 在椭圆上，则：2201c a+=，则c =b =1,2222a b c =+=，则a =故12PF F △的周长为：1212222PF PF F F a c ++=+=.【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系．16．②④【解析】【分析】先把函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数2sin[2()]2sin(2)63y x x ππ=+=+的图象，再根据三角函数的图象与性质逐项判定，即可求解．【详解】把函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后，得到函数2sin[2()]2sin(2)63y x x ππ=+=+的图象， 由于()2sin(2)3f x x π=+，故①不正确； 令2,3x k k Z ππ+=∈，求得,26k x k Z ππ=-∈，故函数的图象关于点(,0)26k ππ-对称，故函数的图象关于点(,0)3π对称，故②正确； 令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，可得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数的增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈，故函数[0,]6π上不是增函数，故③不正确；当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈，故当4233x ππ+=时，()f x 取得最小值为，函数()y f x a =+取得最小值为a +=a = 故答案为②④．【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．17．（1）0.4（2）56（3）新聘工人应选择方案一，详见解析 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出[)65,75，[)75,85，[]85,95的频率，即可求出结论； （2）列出4人中随机选取的所有情况，确定满足条件基本事件的个数，按古典概型的概率求法，即可求解；（3）求出该工厂的人均产量的平均数，分别求出两种日新方案的平均值，选择选择高的方案即可.【详解】（1）设事件A 为”随机选取一天，这一天该工厂的人均生产量不少于65件”，依题意，该工厂的人均生产量不少于65件的频率分别为：0.2，0.15，0.05，∴()0.20.150.050.4P A =++=.（2）设事件B 为“从4名工人中随机选取2人，至少有1名工人选择方案一”，从4名工人中随机选取2人，所有情况有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共有6种情况，其中至少有1名工人选择方案一的情况有5种情况，∴()56P B =. （3）由频率分布直方图可知：该工厂的人均产量的平均数为：300.05400.05500.2600.3⨯+⨯+⨯+⨯700.2800.15900.0562+⨯+⨯+⨯=.∴方案一平均工资约为：50623236+⨯=，方案二平均日工资约为：()10062445190+-⨯=.可知方案二平均工资低于方案一平均日工资.故新聘工人应选择方案一.【点睛】本题考查由频率分布直方图求频率和平均数、古典概型，属于基础题.18．（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）取AC 中点为H ，连接HE ，BH ，证明四边形HEDB 是平行四边形，可得//HB DE ，即可证明结论；（2）利用等体积法结合E 是线段AC 中点，可得111122A DCE E ACD C ACD C ABC V V V V ----==⨯=，即可求解.【详解】（1）取AC 中点为H ，连接HE ，BH ，∴1//BD CC ，112BD CC =，1//HE CC ， 112HE CC =，∴四边形HEDB 是平行四边形， ∴//HB DE ，HB ⊂平面ABC ，DE ⊄平面PAD ，∴//DE 平面ABC .（2）E 是线段AC 中点，则112A DCE E ACD C ACD V V V ---== 111111222A CDC A BCC C ABC V V V ---=⨯⨯=⨯=.111410232=⨯⨯⨯⨯=【点睛】本题考查线面平行的证明以及求椎体的体积，合理应用等体积法是解题的关键，属于中档题. 19．（1）见解析；（2）12112222n n S n n +=++- 【解析】【分析】（1）由原式可得11(1)22n n n n a na +++=+,等式两端同时除以12n +,可得到11(1)122n n n n n a na +++=+,即可证明结论;（2）由（1）可求得2n n na 的表达式,进而可求得,n n a b 的表达式,然后求出{}n b 的前n 项和n S 即可.【详解】 （1）证明:因为11221n n n na a n +++=+,所以11(1)22n n n n a na +++=+, 所以11(1)122n n n n n a na +++=+,从而11(1)122n n n n n a na +++-=,因为12a =,所以112a =, 故数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. （2）由（1）可知()112n n na n n =+-=,则2n n a =,因为n n b a n =+,所以2n n b n =+, 则123n n S b b b b =+++⋯+()()()23(21)22232n n =++++++++()232222(123)n n =+++++++++()212(1)122nn n ⨯-+=+-12112222n n n +=++-. 【点睛】本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前n 项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.20．（1）24x y =（2）存在；最小面积为4π【解析】【分析】（1）根据题意求出直线l 倾斜角为45︒时的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数关系和焦半径公式，求出弦长，即可求出p ；（2）点P 关于直线AB 的对称点为Q ，可得ABP ABQ ≅，从而有APB AQB ∠=∠，判断四边形PAQB 是否存在外接圆，只需判断是否有2APB π∠=，即,PA PB 是否垂直，根据切线的几何意义，求出,PA PB 的斜率，即可得出结论，如果存在外接圆，外接圆的直径为AB ，要使外接圆面积最小，即求||AB 最小，利用根与系数关系和相交弦长公式，即可求解.【详解】（1）由题意知0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点()11,A x y ，()22,B x y ， 当直线l 倾斜角为45︒时，直线l 的方程为2p y x =+， 由222x py p y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得：22304p y py -+=， 所以123y y p +=.又由128y y p MN =++=，所以2p =，所以抛物线的方程为24x y =.（2）四边形PAQB 存在外接圆.设直线AB 方程为1y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=，则216160k ∆=+>，且124x x k +=，124x x =-， 所以()222112()441x AB y y k x k =+=+=+++， 因为C ：24x y =，即24x y =，所以'2x y =. 因此，切线1l 的斜率为112x k =，切线2l 的斜率为222x k =， 由于121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB ∆是直角三角形， 所以PAB ∆的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是圆的直径，所以点Q 一定在PAB ∆的外接圆上，即四边形PAQB 存在外接圆. 又因为()241AB k =+，所以当0k =时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦点弦长、切线的几何意义的应用，要熟练掌握焦点弦长求法，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.21．（1）调递减区间是()0,a e ，单调递增区间是(),a e +∞，()f x 的极小值为1a e -，无极大值（2）3,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】【分析】 （1）求出()'f x ，求解不等式()0,()0f x f x ''><，得出单调区间，进而求出极值；（2）设()()()12112f x a a x x x xh ⎛⎫=-+++++ ⎪⎝⎭，()h x 有三个零点，()h x 至少有三个单调区间，求出()h x '，对a 分类讨论，求出至少有三个单调区间a 的范围， 再结合零点存在性定理，确定区间存在零点的不等量关系，即可求解.【详解】（1）()'ln f x x a =-，令ln 0x a -=，解得a x e =，当0a x e <<时，()'0f x <；当a x e >，()'0f x >.所以函数()f x 的单调递减区间是()0,a e，单调递增区间是(),a e +∞， 所以()f x 的极小值为()1a a f ee =-，无极大值. （2）设()()()12112f x a a x x x x h ⎛⎫=-+++++⎪⎝⎭， 即()()l 2212n a x x xh x a +=-++， ()()2222122121'x a x a a a x x xh x +---=-+= ()()()2120x x a x x -+=>.①若0a ≥，则当()0,1x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()'0h x >，()h x 单调递增，()h x 至多有两个零点. ②若12a =-，则()0,x ∈+∞，()'0h x ≥，（仅()'10h =），()h x 单调递增，()h x 至多有一个零点. ③若102a -<<，则021a <-<，当()0,2x a ∈-或()1,x ∈+∞时， ()'0h x >，()h x 单调递增；当()2,1x a ∈-时，()'0h x <，()h x 单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()2010h a h ⎧->⎪⎨<⎪⎩成立， 由()10h <，得32a <-， 这与102a -<<矛盾，所以()h x 不可能有三个零点. ④若12a <-，则21a ->，当()0,1x ∈或()2,x a ∈-+∞时，()'0h x >， ()h x 单调递增：当()1,2x a ∈-时，()'0h x <，()h x 单调递减，要使()h x 有三个零点，必须有()()1020h h a ⎧>⎪⎨-<⎪⎩成立， 由()10h >，得32a >-， 由()()()221ln 210h a a a -=---<⎡⎤⎣⎦及12a <-， 得2e a <-，∴322e a -<<-. 且当322e a -<<-时，201e -<<，22e a >-， ()()()2222242242h e e a e e e e --=++-<+--4150e <+-<，()()()222222232h e e a e e e --=++>-+2226370e e e -=-->->.综上，a 的取值范围为3,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值、零点问题，以及零点存在性定理的应用，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理和计算求解能力，属于较难题.22．（1）cos 42sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）；（2）2. 【解析】（1）将曲线1C 上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）得到cos 2sin 2x y αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩，变形后可得2C 的参数方程；（2）由sin 04πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，展开两角和的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程，然后利用点到直线的距离公式及三角函数求最值得答案.【详解】解析：（1）曲线1C 上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变）得到曲线2C ，2cos :2sin 2x C y αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），即cos 42sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）. （2）直线:sin 04l πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，sin cos 022ρθρθ∴⨯+⨯+=， ∴直线l 的直角坐标方程为80x y ++=，||MN d ∴≥== ∴当sin()1αϕ+=-时，min ||2MN ==． 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查普通方程化参数方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题.23．(Ⅰ) {x|0<x <43}；(Ⅱ) [−5,3]。
重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期第六次教学质量检测数学(文)试题(解析版)
重庆市南开中学2020级高三第六次教学质量检测考试数学（文科）一、选择题 1.若复数z 满足112z ii i+=+-，其中i 是虚数单位，则z =（ ） A.32i - B.3i +C.23i +D.2i -【答案】A 【分析】(1)(12)z i i i =+--，直接利用复数的乘法运算即可.【详解】由已知，(1)(12)332z i i i i i i =+--=--=-. 故选：A【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 2.设全集U=R ，集合{}21xA x =>，(){}ln 2B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. ()0,∞+B.()0,2C.[)2,+∞D. ()[),02,-∞+∞U【答案】C 【分析】由已知得到集合A 、B ，阴影部分表示的集合为U A B I ð，再按交集、补集运算即可. 【详解】由21x>，得0x >，所以{|0}A x x =>，由20x ->，得2x <，所以{|2}B x x =<，阴影部分表示的集合为U A B =I ð{|0}x x >I {|2}x x ≥={|2}x x ≥. 故选：C【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到交集、补集以及解不等式，是一道容易题. 3.已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示，求得,a b r r的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =r，()1,2b =r ，设向量a r ，b r的夹角为θ，则2cos 29114a b a bθ⋅===+⋅+⋅r r r r ，又因为0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒．故选：A .【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.福利彩票“双色球”中红色球由编号为01,02,...33的33个球组成.某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第4列数字开始从左向右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为（ ）49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 A. 21 B. 32C. 09D. 17【答案】C 【分析】根据表格依次读取即可，注意，不在01到33之间的跳过不取.【详解】由随机数表法知，读取的第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号为09. 故选：C【点睛】本题考查简单随机抽样中的随机数表法，考查学生对基本抽样方法操作的掌握，是一道容易题. 5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A.10-B.6 C. 8 D. 14【答案】B 【分析】写出每次循环的结果，即可得到答案. 【详解】当20,1Si ==时，2,20218i S ==-=，25<，4,18414i S ==-=，45<；8,1486i S ==-=，此时85>，退出循环，输出的S 的为6. 故选：B【点睛】本题考查程序框图的应用，此类题要注意何时循环结束，建议数据不大时采用写出来的办法，是一道容易题.6.已知直线,m n 与平面,αβ满足m α⊂，n β⊂，则下列命题正确的是（ ） A. 若α∥β，则m ∥β B. 若αβ⊥，则m β⊥ C. 若α∥β，则m ∥n D. 若αβ⊥，则m n ⊥【答案】A 【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A ，若α∥β，则α与β无公共点，又m α⊂，所以m 与β无公共点，由线面平 行的定义可得m ∥β，故A 正确；对于选项B ，若αβ⊥，则m 与β可能平行、相交、在β内，故B 错误；对于选项C ，若α∥β，则m 与n 可能平行，可能异面，故C 错误；对于选项D ，若αβ⊥，则m 与n 可能平行，可能异面，也可能相交，故D 错误. 故选：A【点睛】本题考查线线、线面、面面的位置关系，考查学生的空间想象能力，是一道容易题.7.数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据66⨯盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（32⨯）内的数字均含16-，每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的a b c d +++=（ ）A. 11B. 13C. 15D. 17【答案】D 【分析】可以从第4行第二列入手，结合每行每列都有1—6，简单推理，即可得到答案.【详解】由题意，如图，从第二列出发，由于每行每列都有1—6，所以第4行第2列为2，第4行第6列为5，所以4610b d+=+=，第2行第3列为6，第5行第3列为4，第5行第5列为6，第3行第5列为4，第3行第1列为5，所以167a c +=+=， 所以a b c d +++=17. 故选：D【点睛】本题考查推理与证明中的合情推理，考查学生分析，观察，判断等能力，是一道容易题. 8.已知函数()2sin()(0)6f x x πωω=+>的图象与函数()cos(2)()2g x x πφφ=+<的图象的对称中心完全相同，则φ为（ ）A.6π B.6π-C.3π D.3π-【答案】D【详解】解：若()f x 与()g x 的对称中心相同，则函数的周期相同即222ππω=，则2ω=， 即()2sin(2)6f x x π=+由26x k ππ+=，即212k x ππ=-，即()f x 的对称中心为(212k ππ-，0)即()g x 的对称中心为(212k ππ-，0)， 则()cos(2())cos()cos()021221266k k g k ππππππϕπϕϕ-=⨯-+=-+=±-=， 即62k ππϕπ-=+，则23k πϕπ=+，k Z ∈ 当1k=-，233ππϕπ=-+=-， 故选：D ．9.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()()21f x f x f ++=，且()01f =，则()2020f 的值为（ ）A. 1B. 2C. 1-D. 2-【答案】A 【分析】令1x =-，得(1)(1)(1)f f f +-=，进一步得到(1)(1)0f f =-=，所以()()20f x f x ++=，迭代一次可得()f x 是以4为周期的周期函数，再利用周期性计算得到答案.【详解】在()()()21f x f x f ++=中，令1x =-，得(1)(1)(1)f f f +-=，所以(1)0f -=，又()f x 为偶函数，所以(1)(1)0f f =-=，从而()()20f x f x ++=，所以()()42()f x f x f x +=-+=，故()f x 是以4为周期的周期函数， 所以()2020(4505)(0)1f f f =⨯==.故选：A【点睛】本题考查抽象函数的性质及应用，涉及到函数的奇偶性、周期性，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.10.已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点为1F ，右顶点为D ，过点D 作垂直于x 轴的直线交双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，1ABF V 为等边三角形，则双曲线离心率为（ ）AB.C.2 D. 3【答案】C 【分析】由已知求出AD ，1F D ，再由1tan 30ADF D=o 即可建立,,a b c 的关系. 【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为by x a=±，不妨设A 在第一象限，令x a =，则y b =±， 所以(,)A a b ，AD b =，又1F D c a =+，1ABF V 为等边三角形，所以1tan 30AD F D ==ob c a =+，所以2220c ac a --=，220e e --=， 解得2e =或1e =-（舍）. 故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，此类题关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11.已知ABC V 三内角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，cos sin 0A a C +=，若角A 平分线段BC 于D 点，且1AD =，则4b c +的最小值为（ ） A.6 B.9C.D. 3+【答案】B 【分析】 由已知，易得23A π=，再利用ABC ABD ACD S S S =+V V V 得到bc b c =+，即111b c+=，再利用“1”的替换即可得到答案.【详解】由cos sin 0A a C +=及正弦定理，得cos sin sin 0C A A C +=， 因(0,)C π∈，sin 0C ≠sin 0A A+=，即tan A =(0,)A π∈， 所以23A π=.如图，ABC ABD ACD S S S =+V V V ，所以111sin1201sin 601sin 60222bc c b ⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒， 所以bc b c =+，即111b c+=.∴()114455249b c b c b c c b ⎛⎫+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2c b =，bc b c =+，即33,2c b ==时，等号成立 所以4b c +的最小值为9. 故选：B【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，涉及到基本不等式求最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.12.设函数()()()2100x x x f x e x -⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，若不等式()()3222203a f x ax a f x a ⎛⎫⎡⎤-+-≥> ⎪⎣⎦⎝⎭对任意11x -≤≤都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. 12,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 3⎤⎥⎣⎦【答案】A 【分析】 注意到()()222aax f xef ax -⎡⎤==⎣⎦，所以()322223a f x ax a f x ⎛⎫⎡⎤-+-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭()2f ax =， 利用()f x 的单调性可得322303x axa -+-≤对任意11x -≤≤都成立，令()32233g x x ax a =-+-，只需()max 0g x ≤即可.【详解】由已知，()f x 在R 上单调递减，因为0a >，所以()()222aax f x e f ax -⎡⎤==⎣⎦，所以()322223a f x ax a f x ⎛⎫⎡⎤-+-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭()2f ax =， 所以322223xax a ax -+-≤，即322303x ax a -+-≤对任意11x -≤≤都成立， 令()()()32'223,36323g x x ax a g x x ax x x a =-+-=-=-①当21a <时，()g x 在()1,0-上单调递增，在()0,2a 上单调递减，在()2,1a 上单调递增，则()()()max001201063g g x a g ⎧≤⎪≤⇔⇒≤≤⎨≤⎪⎩，所以1162a ≤<；②当21a ≥时，()gx 在()1,0-上单调递增，在()0,1上单调递减，()()max 20003g x g a ≤⇔≤⇒≤，所以1223a ≤≤综上，1263a ≤≤. 故选：A【点睛】本题考查函数不等式恒成立的问题，考查学生转化与化归的思想，数学运算能力，是一道有一定难度的压轴选择题. 二、填空题 13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，525S =，则公差d =______.【答案】2 【分析】直接利用等差数列前n 项和公式即可.【详解】由已知，51545510252S a d d ⨯=+=+=，解得2d =. 故答案为：2【点睛】本题考查等差数列前n 项和的基本量的计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 14.以抛物线24y x =的焦点为圆心，被直线2x y +=截得弦长为的圆方程为______.【答案】()2211x y -+=【分析】由已知，设圆的方程为()2221(0)x y r r -+=>，算出圆心C 到直线2x y +=的距离d ，=计算即可.【详解】由已知，抛物线的焦点为(1,0)，所以圆心C 为(1,0)，设圆的方程为()2221(0)x y r r -+=>，圆心C 到直线2x y +=的距离==d所以==21r =， 故所求圆的方程为()2211x y -+=.故答案为：()2211x y -+=【点睛】本题考查求圆的方程，涉及到点到直线的距离、抛物线的定义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15.在平面直角坐标系xOy 中，向量,i j r r 是以O 为起点，与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量，且向量a r满足a i a j -+-=r r r r ，则a i +r r的取值范围是______.【答案】2⎤⎦【分析】设(1,0),(0,1)OI i OJ j ====u u r r u u u r r ，'(1,0)OI i =-=-u u u r r ，(,)OA a x y ==u u u r r ，则a i +r r 表示点A 与点'I 的距离的取值范围，由a i a j -+-=r r r r可得A 在线段IJ 上，数形结合即可得到答案.【详解】由已知，设(1,0),(0,1)OI i OJ j ====u u r r u u u r r ，'(1,0)OI i =-=-u u u r r，(,)OA a x y ==u u u r r ，则''||||a i OA OI I A +=-=u u u r u u u r r r u u u r ，因为a i a j -+-=r r r r ，所以=A 与点,I J ，又IJ =，所以A 在线段IJ 上，如图所示，注意到'I J IJ ⊥，所以'''||||JI AI II ≤≤，所以'AI ⎤∈⎦.故答案为：2⎤⎦【点睛】本题考查利用向量模的几何意义求向量的模的取值范围，考查学生转化与化归的思想，是一道有一定难度的题.16.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联芳等）起源于中国古代建筑的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图所示，图①是一种常见的鲁班锁类玩具，图②是该鲁班锁类玩具的直观图，则该鲁班锁玩具有______条棱，若每条棱的长均为1，其表面积为______.【答案】 (1). 36 (2). )122123+【分析】图中共有8个正三角形，6个正八边形，算出总的边数除以2即可；算出正三角形、正八边形的面积即可. 【详解】图中共有8个正三角形，6个正八边形，则共有3886362⨯+⨯=条棱；设正三角形、正八边形的面积分别为12,S S ，因为135DAB ∠=o ，所以45ADC ∠=o ，22AE =，221DC DE AB =+=，故 21212221)122S ++=+⨯=+ 又13S =，∴表面积S 12862312212S S =⋅+⋅==)122123+.故答案为： (1). 36 (2). )122123+【点睛】本题主要考查几何体表面积的计算，考查学生空间想象能力，数学计算能力，是一道中档题. 三、解答题17.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14BB =，E 是棱1CC 上的点，且114CECC =.（1）求长方体被平面BED 分得的两部分体积之比（大比小）； （2）求证：1A C ⊥平面BED . 【答案】（1）23；（2）证明见解析 【分析】（1）只需计算出长方体的体积以及E BCD V -即可； （2）连接AC 与BD 交于点O ，连接OE ，要证明1A C ⊥平面BED ，只需证明1BD A C ⊥，1A C OE ⊥即可.【详解】（1）长方体1111ABCD A B C D -的体积为22416V =创=11122213323E BCD BCD V S EC -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，长方体被平面BED 分得的两部分体积之比为21632323-=.（2）证明：由1A A ⊥平面ABCD 得1A A BD ⊥，又易知BD AC ⊥，1AC AA A =∩，故BD ⊥平面11A ACC ，所以1BD A C ⊥ 另一方面，连接AC 与BD 交于点O ，连接OE ，在矩形11A ACC 中，114A A CC ==，1122AC AC ==，1EC =，故有12EC AC OC AA ==， ∴1EOC ACA V :V ，∴190EOC ACA ∠+∠=︒，∴1A C OE ⊥，且OE ⊂平面BED ，BD ⊂平面BED ，OE BD O =I ，故1A C ⊥平面BED .【点睛】本题考查求几何体体积以及证明线面垂直，考查学生的逻辑推理能力，基本计算能力，是一道容易题. 18.某果园今年的脐橙丰收了，果园准备利用互联网销售.为了更好的销售，现随机摘下了100个脐橙进行测重，其质量分布在区间[]200,500内（单位：克），统计质量的数据作出频率分布直方图如下图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在[)350,400，[)400,450的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量都不小于400克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该果园的脐橙树上大约还有10000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：甲：所有脐橙均以10元/千克收购；乙：低于350克的脐橙以2元/个收购，高于或等于350克的以5元/个收购.请通过计算为该果园选择收益最好的方案.（参考数据：2250.052750.163250.243750.34250.24750.05354.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）【答案】（1）110；（2）方案乙 【分析】（1）由分层抽样知，质量为[)350,400，[)400,450的脐橙中各抽取3个和2个，采用列举法求概率； （2）分别计算甲、乙方案所得总收益，比较即可得到答案. 【详解】（1）由题意知脐橙在[)350,400，[)400,450的比例为3:2，故应分别在质量为[)350,400，[)400,450的脐橙中抽取3个和2个.记抽取质量在[)350,400的为,,A B C ，质量在[)400,450的为,D E ，则从这5个脐橙中随机抽取2个的方法共有以下10种：,,,,,,,,,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE ；其中2个脐橙质量都不小于400克的方法有1种，故2个脐橙质量都不小于400克的概率为110. （2）方案乙更好，理由如下： 由频率分布直方图知[)200,250，[)250,300，[)300,350，[)350,400，[)400,450，[]450,500的频率分别为0.05,0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.若用甲方案，总收益为[]2250.052750.163250.243750.34250.24750.051000010001035450⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯÷⨯=元； 若用乙方案，脐橙低于350克的有()0.050.160.24100004500++⨯=个，不低于350克的有5500个.则总收益为450025500536500⨯+⨯=元 所以，乙方案收益更高，选择方案乙.【点睛】本题考查概率与统计的综合应用，涉及到分层抽样、频率分布直方图、古典概型的概率等知识，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 19.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314S =，1232a a a +=，*n N ∈.且()*2log n n b a n N =∈.（1）求,n n a b ； （2）设12231111...n n n T b b b b b b +=+++，若()()211n n nn b T n a λ-<+对*n N ∈都成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）()*2n n a n N =∈，()*nb n n N =∈；（2）34λ>【分析】（1）由1232a a a +=可得公比q ，由314S =可得1a ，再利用等比数列通项公式即可得到,n n a b ； （2）由裂项相消法可得1111n nT n n =-=++，不等式()()211n n nn b T n a λ-<+等价于()()21211212n n n n n n n n λλ--<⇔>++对*n ∈N都成立，令()212nn f n -=，只需求出max ()f n 即可. 【详解】（1）数列{}n a 的公比为q ，则由1232a a a +=，得：()2112a q a q +=∴220q q --=，因为{}n a 是正项数列，所以1q ≠-，2q =.又314S =，()311141a q q-=-，∴12a =，从而()*2n na n =∈N ，()*2log n nb a n n ==∈N .（2）()1111111n n b b n n n n +==-++∴122311111 (111)n n n n T b b b b b b n n +=+++=-=++ 故不等式()()211n n n n b T n a λ-<+等价于()()21211212n nn n n n n n λλ--<⇔>++对*n ∈N 都成立， 令()212n n f n -=，∴()()12142f n n f n n ++=-，令21142n n +>-，得32n <；令21142n n +<-，得32n >，所以当1n =时，()()121142f n n f n n ++=>-；当2n ≥时，()()121142f n n f n n ++=<-故()()max 324f n f ==，∴34λ>.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算、裂项相消法求数列的和以及数列不等式恒成立的问题，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>A 为椭圆C 上任意一点，且已知()1,0P .（1）若椭圆C 的短轴长为4，求AP 的最大值；（2）若直线AP 交椭圆C 的另一个点为B ，直线:4l x =交x 轴于点D ，点A 关于直线l 对称点为'A ，且'A ，,D B 三点共线，求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）5；（2）2214x y +=【分析】（1）由c a =24b =，222a b c =+解方程组得到椭圆的方程，再利用两点间的距离公式计算即可； （2）当AB 斜率为0时，',,A D B 三点共线；当AB 斜率不为0时，设直线:1AB x my =+，联立椭圆方程得到根与系数的关系，再利用',,A D B 三点共线，即A D BD k k '=计算即可得到椭圆方程.【详解】（1）由题意2c a =，∴22314b a -=，224a b =且24b =，∴216a =，24b =所以22:1164x y C +=，设()11,A x y ，则()()22222211111131142544x AP x y x x x =-+=-+-=-+∵144x -≤≤，故当14x =-时，max 5AP =.（2）当AB 斜率为0时，',,A D B 三点共线；当AB 斜率不为0时，设直线:1AB x my =+，与椭圆2222:14x y C b b+=，即22244x y b +=联立得：()22242140my my b +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则>0∆，12224m y y m -+=+，2122144b y y m -=+ 又由题知()4,0D ，()'118,A x y -，∴'114A D y k x =-，224BD y k x =-故由',,A D B 三点共线得A D BD k k '=，即121244y y x x =--，()()122144y x y x -=- ∴()()1221330y my y my -+-=，∴()121223my y y y =+代入韦达定理得：()222214644b m m m m --=++，∴2413b -=，21b =，24a = 故椭圆方程为22:14x C y +=.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到三点共线，在处理直线与椭圆的位置关系时，一般要用根与系数的关系来求解，本题是一道中档题. 21.已知函数()()()12x x f x ae x e a x -=-+-+.（1）若曲线()f x 在点()()0,0f 处切线方程为2y x b =-+，求-a b 的值；（2）当0x <时，函数()f x 有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1；（2）()4ln 21a <-+【分析】（1）利用导数的几何意义求出()f x 在点()()0,0f 处切线方程，对比系数即可；（2）()f x 的极值点等价于()'f x 的变号零点，则有()21x x x x e a e e -=-，即y a =与()21xx x x e y e e -=-有两个交点，数形结合即可得到答案. 【详解】（1）因为()()'2x x f x ae xe a -=+-+，∴()'02f =-，且()01f a =-故()f x 在点()()0,0f 处切线方程为(1)2y a x --=-，即21y x a =-+-，又由题知()f x 在点()()0,0f 处切线方程为2y x b =-+，故1a b -=，∴1a b -=.（2）()()'2x x fx ae xe a -=+-+，()f x 的极值点等价于()'f x 的变号零点，则有()21xx x x e a e e -=-，则y a =与()21x x x x e y e e -=-有两个交点，记()()21xx x x e h x e e -=-， 则有：()()()()'21211xxxx e e x h x e e --+=-记()()'1,1xxs x e x s x e =-+=-，所以()sx 在(),0-∞上单调递减，所以()()02s x s >=. 所以()h x 在(),ln 2-∞-上单调递增，在()ln 2,0-上单调递减， 所以()()()max ln 241ln 2hx h =-=-+又因为x →-∞，()hx →-∞；0x →，()h x →-∞，由图像可知()41ln 2a <-+.【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值点，考查学生的逻辑推理能力，数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.22.如图所示，“8”是在极坐标系Ox 中分别以112C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和2322C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心，外切于点O 的两个圆．过O 作两条夹角为3π的射线分别交⊙C 1于O 、A 两点，交⊙C 2于O 、B 两点．（1）写出⊙C 1与⊙C 2的极坐标方程； （2）求△OAB 面积最大值．【答案】（1）1:2sin C ρθ=e ；2:4sin C ρθ=-e ；（2）32【分析】(1)直接由条件求出1C e 与2C e 的极坐标方程即可; (2)由(1)得(2sin ,)A θθ,(4sin()3B πθ--,)3πθ-,代入三角形面积公式,再利用三角函数求出△OAB 面积的最大值. 【详解】解:(1)因为在极坐标系中圆1C 和圆2C 的圆心分别为11,2C π⎛⎫ ⎪⎝⎭和232,2C π⎛⎫⎪⎝⎭, 所以圆1C 和圆2C 的极坐标方程分别为2sin ρθ=和4sin ρθ=-.(2)由(1)得(2sin ,)A θθ,(4sin()3B πθ--,)3πθ-, 则12sin [4sin()]sin233ABC S ππθθ∆=--ggg (sin coscos sin )33ππθθθ=--23sin cos θθθ=+)6πθ=+. 所以当sin(2)16πθ+=时,OAB ∆面积最大值为【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程、三角形的面积公式和三角函数求最值,考查了转化思想和函数思想,属中档题.23.已知实数0x >，0y >，且满足1x y +=. （1）求关于x 的不等式352124x y x +-++≤的解集； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）30,8⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）证明见解析【分析】（1）由已知，可得01x <<，不等式352124x y x +-++≤等价于151111112424424x x x x x x x -++≤⇔-≤-⇔-≤-≤-，只需解1124x x -≤-即可； （2）()()222222111111x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤++⎛⎫⎛⎫--=-⋅-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()11221x y xy xy xy xy +++===+，又()2144x y xy +≤=，代入即可得到证明.【详解】（1）1x y +=，∴10y x =->，且01x <<，故不等式352124x y x +-++≤等价于 151111112424424x x x x x x x -++≤⇔-≤-⇔-≤-≤-，∴308x <≤，∴不等式的解集为30,8⎛⎤ ⎥⎝⎦.（2）因为1x y +=，故()()()()22222222222211221111x y x y x y y x xy y xy x x y x y x y xy ⎡⎤⎡⎤++++⎛⎫++⎛⎫--=-⋅-=⋅=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()112219x y xy xyxyxy +++===+≥（∵()2144x y xy +≤=）. 即可证得不等式成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式的证明，考查学生的基本计算能力，逻辑推理能力，是一道容易题.。
2020年重庆市南开中学高三下学期3月月考文科数学试题及答案
AD AB BD AB BC AB ( AC AB ) AB AC
5
5
5
5
4 51 , 68 1 6 , 8 (6,8) ， 5 7 7 577
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 2 uuur 1 51 68
AE AC CE AC CB AC ( AB AC ) AB AC
2
f（ x）的结构特征，构造函数
hx
x2 f
x
( ) 求导得 h x
x(xf x
2 f x ) ，由当 x＜ 0 时， f ￠x ＜
2
f（ x），得
x
x，
h x x2 f x 在 ，0 上是减函数，再根据 f（x）奇函数，则 h x x2 f x 也是
奇函数， h x
2
xf
x 在 0， +
上也是减函数，又因为函数
【详解】
如图， 取 PA 的中点 F ， AB 的中点 G ， BC 的中点 H ，连接 FG ， FH ，GH ， EF ，
则 EF / / CH ， EF CH ，从而四边形 EFHC 是平行四边形，则 EC / / FH ，
3．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是 胡夫金字塔． 令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿， 还有发生在胡夫金字塔上
的数字 “巧合 ”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，
得到的商为 3.14159，
这就是圆周率较为精确的近似值． 金字塔底部形为正方形， 整个塔形为正四棱锥， 经古
.
【详解】
D ． 48
由三视图可知原几何体为如图所示的多面体
重庆市南开中学20192020学年高三下学期线上期中数学(文)试题
1．A
【解析】
【分析】
先分别求出集合 与 ，再利用集合的交集运算进行求解.
【详解】
； ，
.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行集合的基本运算.求交集时，要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点.
2．D
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的四则运算化简 ，令 ，即可求出 值.【详解】，为纯虚数， ，解得 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，属于基础题.若复数 为纯虚数，则由 ， .
3．A
【解析】
【分析】
根据 是 的一条对称轴，求得 ，再根据 的范围，即可求出 值.
11．如图，正方体 的棱长为2， 分别为 的中点，则以下说法错误的是（）
A．平面 截正方体所的截面周长为
B．存在 上一点 使得 平面
C．三棱锥 和 体积相等
D．存在 上一点 使得 平面
12．已知函数 ，若 ， ，使得 ，且 ，则 的最大值为（）
A．2B．3C．4D．6
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
A． B． C． D．
8．若某程序框图如图所示，则输出的 的值是（）
A．31B．63C．127D．255
9．已知奇函数 定义域为 ，且 为偶函数，若 ，则 （）
A．0B． C． D．
10．已知椭圆 左右焦点分别为 ， ，若椭圆上一点 满足 轴，且 与圆 相切，则该椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
（2）讨论 与 图像的交点个数.
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科数学试卷-学生用卷
2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第1题5分已知集合A={x||x|⩽1,x∈Z}，B={1,2,3}，则A∩B为（）．A. {−1}B. {1}C. {−1,0,1}D. ∅2、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第2题5分设i是虚数单位，若复数z=i1+i，则z的共轭复数为（）．A. 12+12iB. 12−12iC. 1−12iD. 1+12i3、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第3题5分下列函数中，值域是R且是奇函数的是（）．A. y=x3+1B. y=sinxC. y=x−x3D. y=2x4、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第4题5分向量a →=(3,m )，b →=(1,2)，若(a →+b →)⊥b →，则m =（ ）．A. −4B. −32C. 0D. 65、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第5题5分已知x ，y ∈R ，命题“若x 2+y 2=0 ，则x =0 或y =0 ”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（ ）．A. 0B. 2C. 3D. 46、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第6题5分2020~2021学年河北石家庄新华区石家庄市第二中学高二上学期期中（石家庄二中教育集团）第3题5分2019年被誉为“5G 商用元年”．6月，5G 商用牌照正式发放；9月，5G 套餐开启预约；11月，5G 套餐公布；12月，5G 手机强势营销．据统计2019年网络上与“5G ”相关的信息量总计高达6875.4万条．从下面的2019年全网信息走势图中可以看到，下列哪个选项是错误的（ ）．A. 相关活动是5G 信息走势的关键性节点B. 月均信息量超过600万条C. 第四季度信息量呈直线增长态势D. 月信息量未出现持续下降态势7、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第7题5分2020~2021学年10月四川成都武侯区四川大学附属中学（成都市第十二中学）高二上学期月考第7题5分椭圆x 27+y 2b 2=1，过原点O 斜率为√3的直线与椭圆交于C ，D ，若|CD|=4，则椭圆的标准方程为（ ）．A.x 27+y 24=1 B. x 27+y 23=1 C. x 27+y 26=1 D. x 27+2y 27=18、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第8题5分如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ）．A. 43B. 83C. 4D. 89、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第9题5分定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +1)=f (1−x )，且x ∈[0,1]时，f (x )=2x −1，则f (log 28)=（ ）．A. −1B. 1C. 7D. −1210、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第10题5分 点P 在函数y =lnx 的图象上，若满足到直线y =x +a 的距离为√2的点P 有且仅有3个，则实数a 的值为（ ）．A. 1B. −3C. 2D. −2√211、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第11题5分重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合．已知拱桥部分长552m，两端引桥各有190m，主桁最高处距离桥面89.5m，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是（）．A. y=0.45cos23xB. y=4.5cos23xC. y=0.9cos32xD. y=9cos32x12、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第12题5分若P是双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a,b>0)在第一象限上一点，F1，F2为双曲线C的左右焦点，|PF2|=2b，点Q(a2,0)到直线PF1，PF2距离相等，则双曲线C的离心率为（）．A. 53B. 32C. 43D. 54二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第13题5分若变量x，y满足约束条件{x+y−1⩽03x−y+1⩾0x−y−1⩽0，则z=2x+3y的最大值为．14、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第14题5分已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=1，c=√7，则BC边上的高为．15、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第15题5分《九章算术》商功章中研究了一个粮仓的容积计算问题．假设该粮仓近似于由右图的直角梯形以底边AB为轴旋转而成的几何体（图中长度单位为米），则该粮仓能容纳的体积为立方米．16、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第16题5分已知f(x)=4sinx+3cosx，f(x)向右平移α(0<α<π)个单位后为奇函数，则tanα=，若方程f(x)−m=0在[α,π]上恰有两个不等的根，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第17题12分正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S2+4S4=S6．(1) 求{a n}的通项公式．(2) 求数列{a n+n}的前n项和T n．18、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第18题12分在中华人民共和国成立70周年，国庆期间三大主旋律大片，集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知某城市国庆后统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在观看的市民中进行随机抽样调查，抽样100人，其中观看了《我和我的祖国》有49人，《中国机长》有46人，《攀登者》有34人，统计图表如下．(1) 计算a，b，c．(2)在恰好观看了两部大片的观众中进行分层抽样访谈，抽取总数为7人．①写出各组中抽取人数．②访谈中有2人表示后面将要看第三部，求这2人中要观看的都是《我和我的祖国》的概率．19、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第19题12分正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为CC1中点，AB=2．(1) 求证：平面ADB1⊥平面ABB1A1．(2) 若AD与平面ABB1A1所成角为π4，求四棱锥A−BCDB1的体积．20、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第20题12分已知圆C:x2+(y−3)2=8和动圆P:(x−a)2+y2=8交于A，B两点．(1) 若直线AB过原点，求a．(2) 若直线AB交x轴于Q，当△PQC面积最小时，求|AB|．21、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第21题12分已知f(x)=−12x2+x−cosx−k．(1) 若f(x)的一条切线为y=x，求此时的k．(2) 求使得f(x)>0有解的最大整数k．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第22题10分在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：{x=tcosαy=2√33+tsinα(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2(θ∈[0,π]，直线l与曲线C交于两不同的点M，N．(1) 写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程，并求α的范围．(2) 求MN中点P轨迹的参数方程．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高三下学期高考模拟文科第23题10分已知对于任意x⩾−1，不等式(1+x)3⩾1+3x成立．(1) 求证：对于任意x⩾−1，(1+x)4⩾1+4x．(2) 若a >0，b >0，求证：(a +b )4⩾a 4+4a 3b ．1 、【答案】 B;2 、【答案】 B;3 、【答案】 C;4 、【答案】 A;5 、【答案】 B;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 B;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 A;12 、【答案】 D;13 、【答案】 3;14 、【答案】 √32;15 、【答案】 15π;16 、【答案】 34;[245，5);17 、【答案】 (1) a n =2n−1． ;(2) T n =2n −1+n(n+1)2．;18 、【答案】 (1) {a =9c =6b =6．;① 3，2，2．② 121．;19 、【答案】 (1) 证明见解析． ;(2) √6．;20 、【答案】 (1) ±3．;(2) √14．;21 、【答案】 (1) −1．;(2) 0．;22 、【答案】 (1) 直线l 的普通方程为：sinα⋅x =cosα(y −2√33)， 曲线C 的直角坐标方程为：x 2+y 2=4(y ⩾0)， 求α的范围：α∈[0,π6]∪[5π6,π)． ; (2) {x =−2√33sinαcosαy =2√33−2√33sin 2α（α为参数，α∈[0,π6]∪[5π6,π))． ;23 、【答案】 (1) 证明见解析． ;(2) 证明见解析．。
重庆市南开中学高级高三数学文科期中考试卷新课标人教版
重庆市南开中学高级高三数学文科期中考试卷新课标 人教版参照公式：假如事件 A 、 B 互斥，那么 P AB PA PB假如事件 A 、 B互相独立，那么 PAB PAP B假如事件 A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰巧发生k次的概率n kP n k C n k P k 1 P第一部分 （选择题共 60分）一、选择题 （此题共 12个小题，每题 5分，共 60分）在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
请将正确答案前的番号填在答题卡相应地点上。
1、若P 2,2y 225的弦 AB 的中点，则直线1 为圆x1AB 的方程为A ． 2x y3 0B ． x y 3 0C ． x y 1 0D ． 2x y 5 0y sin 2x32、函数的图象6 ,0xA ．对于点对称B ．对于直线6 对称C ．对于原点对称D ．对于 y轴对称3、某企业在甲、乙片划分别有若干个销售点。
企业为了检查产品销售状况，用按 5%比率分层抽样的方法抽取了甲片区 15个销售点，乙片区45个销售点进行检查，则该企业在甲、乙片 区的销售点数分别为A ． 75， 225B ． 150， 450C ．300， 900D ． 600，60022q :若a b ，则114、已知命题 p : 若 xy 0 ，则 x 、 y 全为；命题ab 。
给出以下四个复合命题：①p 且q ，② p 或 q ，③p，④q，此中真命题的个数为A ． 1B ．2C ． 3D ． 4 5、若向量 AB3, 1 , n2,1，且 n AC7，那么nBC的值为A ． 2B ． 0C ． 2或2D ．26、若f xxR是以 3为周期的奇函数，且f 11, f 2a，则 a的取值范围是A ．a1B ． a1C ．a 1D ．a 17、在直二面角l中，直线a，直线b,a,b与 l 斜交，则A ． a不可以和 b垂直，但可能 a∥bB ． a可能和 b垂直，也可能 a∥bC ． a不可以和 b垂直， a也不可以和 b平行D ． a不可以和 b 平行，但可能abn8、若 1 2x睁开式中含 x 3项的系数等于含x项的系数的 8倍，则 n的值为A ． 4B ． 5C ． 6D ．79、若函数fxx2bxc的图象的极点在第四象限， 则函数 f x 的导函数 fx的图象不经过A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限Mx | m x m3 , N x | n1 x nx | 0 x1 的10、设数集43，且M,N都是会合 子集，假如把ba叫做会合x | a xb的 “长度 ”。
重庆南开中学2020级高三下学期第六次教学质量检测考试文科数学试题(有答案)
重庆市南开中学2020级高三第六次教学质量检测考试数学（文科）一、选择题 1．若复数z 满足112z ii i+=+-，其中i 是虚数单位，则z =（ ） A ．32i -B ．3i +C ．23i +D ．2i -2．设全集U =R ，集合{}21xA x =>，(){}ln 2B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．()0,+∞B ．()0,2C ．[)2,+∞D ．()[),02,-∞+∞U3．已知向量,a b r r 在正方形网格中的位置如图所示，若一个格子长度为1个单位，那么a r 与b r 的夹角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．135︒4．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01,02,...33的33个球组成.某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下）第1行的第4列数字开始向左向右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为（ ）A ．21B ．32C ．09D ．175．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．10-B ．6C ．8D ．146．已知直线,m n 与平面,αβ满足m α⊂，n β⊂，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβP ，则m βP B ．若αβ⊥，则n β⊥ C ．若αβP，则m n PD ．若αβ⊥，则m n ⊥7．数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据66⨯盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（32⨯）内的数字均含16-，每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的a b c d +++=（ ）A ．11B ．13C ．15D ．178．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭和函数()()cos 22g x x πϕϕ⎛⎫+<⎪⎝⎭图象的对称轴完全相同，则ϕ的值为（ ） A ．6πB ．6π-C ．3πD ．3π-9．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()()21f x f x f ++=，且()01f =，则()2020f 的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-10．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点为1F ，右顶点为D ，过点D 作垂直于x 轴的直线交双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，1ABF △为等边三角形，则双曲线离心率为（ ） AB．C ．2D ．311．已知ABC △三内角,,A B C 的对边分别为,,a b ccos sin 0A a C +=，若角A 平分线段BC 于D 点，且1AD =，则4b c +的最小值为（ ）A ．6B ．9C．D．3+12．设函数()()()2100x x x f x x x -⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，若不等式()()3222203a f x ax a f x a ⎛⎫⎡⎤-+-≥> ⎪⎣⎦⎝⎭对任意11x -≤≤都成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．,12⎤⎥⎣⎦二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，525S =，则公差d =______.14．以抛物线24y x =的焦点为圆心，被直线2x y +=的圆方程为______.15．在平面直角坐标系xOy 中，向量,i j r r是以O 为起点，与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量，且向量a r 满足a i a j -+-=r r r r ，则a i +r r的取值范围是______.16．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联芳等）起源于中国古代建筑的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图所示，图①是一种常见的鲁班锁类玩具，图②是该鲁班锁类玩具的直观图，则该鲁班锁玩具有______条棱，若每条棱的长均为1，其表面积为______.三、解答题17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14BB =，E 是棱1CC 上的点，且114CE CC =. （1）求长方体被平面BED 分得的两部分体积之比（大比小）； （2）求证：1A C ⊥平面BED.18．某果园今年的脐橙丰收了，果园准备利用互联网销售.为了更好的销售，现随机摘下了100个脐橙进行测重，其质量分布在区间[]200,500内（单位：克），统计质量的数据作出频率分布直方图如下图所示： （1）按分层抽样的方法从质量落在[)350,400，[)400,450的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量都不小于400克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该果园的脐橙树上大约还有10000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：甲：所有脐橙均以10元/千克收购；乙：低于350克的脐橙以2元/个收购，高于或等于350克的以5元/个收购. 请通过计算为该果园选择收益最好的方案.（参考数据：2250.052750.163250.243750.34250.24750.05354.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=）19．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314S =，1232a a a +=，*n ∈N .且()*2log n n b a n =∈N .（1）求,n n a b ；（2）设12231111...n n n T b b b b b b +=+++，若()()211n n nn b T n a λ-<+对*n ∈N 都成立，求实数λ的取值范围.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，A 为椭圆C 上任意一点，且已知()1,0P .（1）若椭圆C 的短轴长为4，求AP 的最大值；（2）若直线AP 交椭圆C 的另一个点为B ，直线:4l x =交x 轴于点D ，点A 关于直线l 对称点为A '，且A '，,DB 三点共线，求椭圆C 的标准方程.21．已知函数()()()12xxf x ae x ea x -=-+-+.（1）若曲线()f x 在点()()0,0f 处切线方程为2y x b =-+，求a b -的值； （2）当0x <时，函数()f x 有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围. 22．如图所示，“8”是在极坐标系Ox 中分别以11,2C π⎛⎫ ⎪⎝⎭和232,2C π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，外切于点O 的两个圆.过O 作两条夹角为3π的射线分别交1C e 于O 、A 两点，交2C e 于O 、B 两点. （1）写出1C e 与2C e 的极坐标方程； （2）求OAB △面积最大值.23．已知实数0x >，0y >，且满足1x y +=. （1）求关于x 的不等式352124x y x +-++≤的解集； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.重庆市南开中学2020级高三第六次教学质量检测考试数学（文科）参考答案一、选择题11．答案：B解析：ABC ABD ACD S S S =+△△△111sin1201sin 601sin 60222bc c b ⇒⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒ 111bc b c b c⇒=+⇒+=.∴()()2114219b c b c ⎛⎫+⋅+≥+=⎪⎝⎭.12．答案：A解析：()f x ↓，()()222aax f x e f ax -⎡⎤==⎣⎦()322322222233f x ax a f ax x ax a ax ⎛⎫-+-≥⇒-+-≤ ⎪⎝⎭322303x ax a ⇒-+-≤ 令()()()3222336323g x x ax a g x x ax x x a '=-+-⇒=-=- ①当21a<时，()():1,0g x -↑，()0,2a ↓，()2,1a ↑ 则()()()max 0012110636210g g x a a g ≤⎧⎪≤⇔⇒≤≤⇒≤<⎨≤⎪⎩ ②当21a ≥时，()():1,0g x -↑，()0,2a ↓()()max 212000323g x g a a ≤⇔≤⇒≤⇒≤≤∴1263a ≤≤. 二、填空题 13．214．()2211x y -+=15．⎤⎦解析：由题：A 在IJ线上，则AI ⎤'∈⎦.16．36，)121+解析：图中共有8个△，6个正八边形，则共有3886362⨯+⨯=条棱面积分别为14S =，22S =∴128612S S S =⋅+⋅=总. 三、解答题17．解：（1）长方体1111ABCD A B C D -的体积为22416V =⨯⨯=11122213323E BCD BCD V S EC -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，长方体被平面BED 分得的两部分体积之比为21632323-=.（2）证明：由1A A ⊥平面ABCD 得1A A BD ⊥，又易知BD AC ⊥ 故BD ⊥平面11A ACC ，所以1BD A C ⊥另一方面，连接AC 与BD 交于点O ，连接OE ，在矩形11A ACC 中，114A A CC ==，11AC AC ==1EC =，故有12EC AC OC AA ==∴190EOC ACA ∠+∠=︒，∴1A C OE ⊥，且OE ⊂平面BED ，BD ⊂平面BED ， 故1A C ⊥平面BED .18．解：（1）由题意知脐橙在[)350,400，[)400,450的比例为3:2，故应分别在质量为[)350,400，[)400,450的脐橙中各抽取3个和2个.记抽取质量在[)350,400的为,,A B C ，质量在[)400,450的为,D E ，则从这5个脐橙中随机抽取2个的方法共有以下10种：,,,,,,,,,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE ；其中2个脐橙质量都不小于400克的方法有1种.故2个脐橙质量都不小于400克的概率为110. （2）方案乙更好，理由如下：由频率分布直方图知[)200,250，[)250,300，[)300,350，[)350,400，[)400,450，[]450,500的频率分别为0.05,0.16,0.24,0.3,0.2,0.05.若用甲方案，由于各质量区间脐橙数量分别为500,1600,2400,3000,2000,500. 故总收益为[]2250.052750.163250.243750.34250.24750.051000010001035450⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯÷⨯=元； 若用乙方案，脐橙低于350克的有()0.050.160.24100004500++⨯=个，不低于350克的有5500个.则总收益为450025500536500⨯+⨯=元 所以，乙方案收益更高，选择方案乙.19．解：（1）数列{}n a 的公比为q ，则由1232a a a +=，得：()2112a q a q += ∴220q q --=，因为正项数列1q ≠-，∴2q =.又314S =得()311141a q q-=-，∴12a =，从而()*2n n a n =∈N ，()*2log n n b a n n ==∈N . （2）()1111111n n b b n n n n +==-++ ∴122311111 (111)n n n n T b b b b b b n n +=+++=-=++ 故不等式()()211n n n n b T n a λ-<+等价于()()21211212n nn n n n n n λλ--<⇔>++对*n ∈N 都成立， 令()212nn f n -=，∴()()12142f n n f n n ++=-，当1n =时，()()121142f n n f n n ++=>-； 当2n ≥时，()()121142f n n f n n ++=<-故()max 324f =，∴34λ>. 20．解：（1）由题意c a =，∴22314b a -=，224a b =且24b =，∴216a =，24b =所以22:1164x y C +=， 设()11,A x y ，则()()22222211111131142544x AP x y x x x =-+=-+-=-+ ∵144x -≤≤，故当14x =-时max 5AP =. （2）当AB 斜率为0时，,,A D B '三点共线；当AB 斜率不为0时，设直线:1AB x my =+，与椭圆2222:14x y C b b+=，即22244x y b +=联立得：()22242140my my b +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则0>△，12224m y y m -+=+，2122144b y y m -=+ 又由题知()4,0D ，()118,A x y '-，∴114A D y k x '=-，224BD y k x =-故由,,A D B '三点共线得A D BD k K '=，即121244y y x x =--，()()122144y x y x -=- ∴()()1221330y my y my -+-=，∴()121223my y y y =+代入韦达定理得：()222214644b m m m m --=++，∴2413b -=，21b =，24a = 故椭圆方程为22:14x C y +=. 21．解：（1）因为()()2xxf x ac xca -'=+-+，∴()02f '=-，且()01f a =-故()f x 在点()()0,0f 处切线方程为21y x a =-+-，又由题知()f x 在点()()0,0f 处切线方程为2y x b =-+，故1a b -=，∴1a b -=. （2）法1：()()2xxf x ae xea -'=+-+，()f x 的极值点等从旦()f x '的变号零点，则有：()21x x xx e a e e -=-， 则y a =与()21x x x x e y e e -=-有两个交点，记()()21xx x x e h x e e -=-，则有：()()()()21211xxxx e e x h x e e --+'=-记()()11xxs x e x s x c '=-+⇒=-，所以()s x 在(),0-∞↓，所以()()02s x s ≥=.所以()h x 在(),ln 2-∞-↑，()ln 2,0-↓，所以()()()max ln 241ln 2h x h =-=-+ 又因为x →-∞，()h x →-∞；0x →，()h x →-∞，由图像可知()41ln 2a <-+.法2：()()()222x x x x xf x ae xe a e ae a e x --'⎡⎤=+-+=-++⎣⎦，令()()()()()22211xx x x g x aea e x g x e ae '=-++⇒=--，()f x 的极值点即()g x 的变号零点.①当0a >时，()()()22220xx x x x g x aea e x ae a e x e x =-++<-++=-+<不符合题意②当0a ≤时，()g x 在(),ln 2-∞-↑，()ln 2,0-↓，因为()020g =-<()ln 21ln 204ag -=--->，即()4ln 21a <-+时，()()()()22210a a a a a g a ae a e a a e a ae a a e =-++≤-++<-+=-< ∴()g x 在(),ln 2a -，()ln 2,0-各有一个零点，满足题意.综上：()4ln 21a <-+.22．解：（1）由题意知圆心的直角坐标为()10,1C ，()20,2C -，半径分别为1,2， 故写出1C e 与2C e 的极坐标方程为1:2sin C ρθ=e ，2:4sin C ρθ=-e（2）由（1）得()2sin ,A θθ，4sin ,33B ππθθ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则)212sin 4sin sin sin cos 233AOB S ππθθθθθ⎡⎤⎛⎫=⋅⋅--⋅=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 216πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，OAB △面积最大值为2. 23．解：（1）1x y +=，∴10y x =->，且01x <<， 故不等式352124x y x +-++≤等价于 151111112424424x x x x x x x -++≤⇔-≤-⇔-≤-≤-， ∴308x <≤，∴不等式的解集为30,8⎛⎤ ⎥⎝⎦. （2）因为1x y +=，故()()()()22222222222211221111x y x y xy y x xy y xy x x y x y x y xy ⎡⎤⎡⎤+++⎛⎫++⎛⎫--=-⋅-=⋅=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()112219x y xy xy xy xy +++===+≥（∵()2144x y xy +≤=）.。
南开中学2020届高三数学下学期线上期中试题文含解析
A。 B。 C. D。
【答案】B
【解析】
【分析】
直接由双曲线的渐近线的定义，即可求出渐近线方程.
【详解】由双曲线的方程可得 , ，焦点在 轴上，
所以渐近线的方程为： ，
故选:B。
【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,属于基础题。已知双曲线的标准方程，求双曲线的渐近线时,要先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后再确定双曲线的渐近线方程。
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果,不写过程）。
13。若变量 满足 ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
作出可行域，令 ,作出目标函数对应的直线，平移该直线，即可求出 的最小值.
【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示，
重庆市南开中学2020届高三数学下学期线上期中试题 文（含解析）
注意事项：
1。本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2。答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在答题卡上。
A. B。 C。 D。
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 是 的一条对称轴，求得 ，再根据 的范围，即可求出 值.
【详解】 是 的一条对称轴，
， ，
， ，
故选:正弦型函数的对称轴是解答本题的关键，属于基础题。求解正弦型函数 的对称轴,只需令 ，即可解出正弦型函数的对称轴为 .
2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题
2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合(){}2,A x y y x ==，(){},B x y y x ==，则AB 的元素个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．42．已知复数z 满足()22z i i -=-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知0.2log a π=,0.2b π=,0.2c π=,则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．a c b <<D ．b c a <<4．已知向量()1,1a =，向量()2,1b =，若()2//(2)a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．4-5．为了解观众对某综艺节目的评价情况，栏目组随机抽取了1000名观众进行评分调查(满分100分)，并统计得到如图所示的频率分布直方图，以下说法错误的是（ ）A ．参与评分的观众评分在[)80,90的有250人B ．观众评分的众数约为75分C ．观众评分的平均分约为80分D ．观众评分的中位数约为75分6．已知三角形ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos ,b C a b c bc a =+-=，则角C =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 7．已知函数()()2,02,0x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 5f =（ ）A ．5B ．54C ．58D ．5168．《九章算术》中有一题：今有牛、马羊食人苗，苗主贵之粟五斗，羊主日：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说： “我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”，打算按此比例偿还，则牛主人比羊主人多赔偿几斗粟（ ） A ．207B ．157C ．107D ．579．直线240x y -+=交圆224x y +=于,A B 两点，角,αβ的顶点为原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别过,A B 两点，则tan()αβ+=（ ） A ．43B ．12C ．1-D ．43-10．数列:1,1,2,3,5,8,13,...，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.该数列前两项均为1，从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.设计如图所示的程序框图，若输出“兔子数列”的第n 项*)3(n N n ∈≥且，则图中①，②处应分别填入（ ）A ．,b a b i n =+>B ．,b a c i n =+>C ．,b a b i n =+≥D ．,b a c i n =+≥11．正三棱锥P ABC -，Q 为BC 中点， PA =，2AB =，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为（ ）A ．13,45ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[],2ππD ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知双曲线()22221,0x y a b a b -=>左焦点为F ，P Q 、分别在双曲线左右支上，//PQ x 轴，且PQ 与双曲线两渐近线从左至右依次交于,A B ，4PA AQ ⋅=，则以PF为直径的圆上的点到原点的最近距离为（ ） A ．1 BC ．2D ．4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知实数,x y 满足不等式组230x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最大值为__________．14．已知函数()()sin 2cos()2(2)f x x x πϕϕϕ=+++<为奇函数，则ϕ=__________．15．已知,,O A B 为平面上不共线三点，OC aOA bOB =+时.任取[]0,2a ∈，[]0,1b ∈，使得点C 在三角形OAB 内(含边界)的概率为__________．16．已知函数()33,,x x x t f x x x t⎧-+≤=⎨>⎩，若()()1f x f ≥-对x R ∀∈恒成立，则t 的取值范围是__________．三、解答题17．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且()2n n S a n =+. （1）求证:{}2n a -为等比数列; （2）求n a 和n S .18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，Q 为线段PC 上一点，3PA =，222AD BC CD ===，2PQ CQ =.（1）求证://PA 平面QBD ；（2）若BC CD ⊥，求三棱锥P BQD -的体积.19．某公司决定投人资金进行产品研发以提高产品售价.已知每件产品的制造成本为5元，若投人的总的研发成本x (万元)与每件产品的销售单价y (元)的关系如下表:（1）求y 关于x 的线性回归方程;（2）市场部发现，销售单价y (元)与销量z (件)存在以下关系：1009000z y =-+，()5,90y ∈.根据（1）中结果预测，当x 为何值时，可获得最高的利润？附:1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-.20．函数()()1ln f x x x +⋅=.（1）若函数()f x 的图象在x t =处的切线过()0,2-，求t 的值； （2）()()1f x a x >-在()1,+∞恒成立，求a 的取值范围.21．已知抛物线22y px =焦点为F ，()01,P y 为抛物线上在第一象限内一点，O 为原点，POF 面积为1. （1）求抛物线方程；（2）过P点作两条直线分别交抛物线于异于点P 的两点A ，B ，且两直线斜率之和为()0m m ≠，（i ）若m 为常数，求证直线AB 过定点Q ；（ii ）当m 改变时，求（i ）中距离F 最近的点Q 的坐标.22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆1C 的极坐标方程为2ρ=，圆2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=. （1）求1C 与2C 交点的极坐标;（2）若点,A B 分别为圆1C ，2C 上的点，且3AOB π∠=，求AB 的最小值.23．已知函数()124f x x x =-+-. （1）求不等式()7f x ≤的解集S ；（2）若S 的元素中最大值为m ，若a b m +=，求223a b +的最小值.参考答案1．C 【解析】 【分析】先由2y x y x ⎧=⎨=⎩求解，确定2yx 与y x =交点个数，即可得出结果.【详解】由2y x y x⎧=⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或00x y =⎧⎨=⎩，即2y x 与y x =有两个交点，所以AB 的元素个数为2个.故选：C. 【点睛】本题主要考查交集中元素的个数，熟记交集的概念即可，属于基础题型. 2．D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，得到33z i =-，进而可确定其对应点的位置. 【详解】因为()2224434z i i i i i -=-=-+=-，所以33z i =-， 所以其对应的点为(3,3)-，位于第四象限. 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数对应点的位置，以及复数的乘法运算，熟记复数乘法运算法则，以及复数的几何意义即可，属于基础题型. 3．C 【解析】 【分析】因为0.2log 0a π=<,0.21b π=>,由0.2c π=得:01c <<,即可求得答案.【详解】根据0.2log y x =图像可知:0.2log 0a π=< 又0.21b π=>,根据0.2x y =图像,由0.2c π=∴ 01c <<综上所述,a c b <<. 故选:C. 【点睛】本题考查比较数值大小,这类大小比较一般是借助中间值,与中间值比较后可得它们的大小关系. 4．D 【解析】 【分析】根据题意，先得到向量2a b +与2a b λ-的坐标，再由向量共线，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为向量()1,1a =，向量()2,1b =，所以2(5,3)a b +=，2(22,2)a b λλλ-=--， 又()(2//2)a b a b λ+-， 所以5(2)3(22)0λλ⨯---=， 解得：4λ=-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型. 5．C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，由频率分布直方图可得：参与评分的观众评分在[)80,90的频率为100.0250.25⨯=，所以评分在[)80,90的人数为10000.25250⨯=，A 正确；B 选项，由频率分布直方图可得，参与评分的观众评分在[)70,80的频率最大，因此观众评分的众数约为75分，B 正确；C 选项，由频率分布直方图可得，观众评分的平均分约为()550.01650.02750.04850.025950.0051074.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故C 错；D 选项，由频率分布直方图可得，观众评分的中位数约为0.27010750.4+⨯=，D 正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求众数，中位数，平均数等，属于基础题型. 6．A 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理求出2B π=；由余弦定理求出3A π=，进而可求出结果.【详解】因为cos b C a =，由正弦定理可得：sin cos sin sin cos cos sin B C A B C B C ==+， 所以cos sin 0B C =，因为,,A B C 为三角形内角，所以cos 0B =，解得2B π=；又222b c bc a +-=，由余弦定理可得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，所以3A π=，因此6C A B ππ=--=.故选：A. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型. 7．D【解析】 【分析】根据对数的运算，结合函数解析式得到，()22255log 5log log 416f f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，进而可求出结果. 【详解】因为()()2,02,0x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，2log 50>，所以()()22222555log 5log 52log log 2log 4416f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=-=-⎭=， 又225log log 1016<=， 所以()25log 16225log 5log 165216f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，熟记对数运算性质即可，属于常考题型. 8．B 【解析】 【分析】根据题意，可得，羊马牛的主人需赔偿的粟构成等比数列，由题意确定公比，求出首项，进而可求出结果. 【详解】由题意，羊马牛的主人需赔偿的粟，依次成等比数列{}n a ，且公比2q，因为一共赔偿五斗粟，所以1235a a a ++=，即21115a a q a q ++=，即175a =，所以157a =，因此312047a a ==，所以31157a a -=. 即牛主人比羊主人多赔偿157斗粟.故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式即可，属于常考题型. 9．A 【解析】 【分析】先由直线与圆的方程联立，求出两点坐标，根据三角函数的定义，得到对应的三角函数值，，再由两角和的正弦与余弦公式，以及同角三角函数基本关系，即可求出结果. 【详解】由222404x y x y -+=⎧⎨+=⎩解得：8565x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或02x y =⎧⎨=⎩， 不妨令(0,2)A ，86,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由三角函数的定义，可得：sin 1α==，cos 0α=；63sin 5β==，84cos 5β-==-，所以()4sin cos 5αββ+==-，()3cos sin 5αββ+=-=-， 因此sin()4tan()cos()3αβαβαβ++==+.故选：A. 【点睛】本题主要考查用两角和与差的正弦与余弦公式求值的问题，熟记两角和与差的正弦与余弦公式，同角三角函数基本关系，三角函数的定义，以及直线与圆的交点的求法即可，属于常考题型. 10．D 【解析】【分析】根据框图的作用，结合题意，即可得出结果. 【详解】由题意，可得，该框图用于计算“兔子数列”的第n 项，因此i n ≥时，要输出结果，故②应填i n ≥；而最终输出的结果即是b ，所以由题意，①中计算的结果，应是b a c =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查补全循环程序框图，根据题意，分析框图的作用即可，属于常考题型. 11．D 【解析】 【分析】根据题中数据，结合正棱锥的结构特征，得到,,PB PA PC 两两垂直，可将正三棱锥P ABC -看作正方体的一角，设正方体的体对角线的中点为O ，得到点O 是正三棱锥P ABC -外接球的球心，记外接球半径为R ，过球心的截面圆面积最大；再求出OQ =，根据球的结构特征可得，当OQ 垂直于过Q 的截面时，截面圆面积最小，结合题中数据，即可求出结果. 【详解】因为正三棱锥P ABC -，PB PC PA ===2AC BC AB ===，所以222PB PA AB +=，即PB PA ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥， 因此正三棱锥P ABC -可看作正方体的一角，如图，记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，O 点即是正方体的外接球球心， 所以点O 也是正三棱锥P ABC -外接球的球心，记外接球半径为R ，则2R ==， 因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最大为2max 32S R ππ==；又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得12OQ PA ==由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过Q 的截面时，截面圆半径最小为1r ==，所以2min S r ππ==.因此，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，球的截面的相关计算，熟记简单几何体的结构特征即可，属于常考题型. 12．C 【解析】 【分析】先设()00,P x y ，得到(),o o Q x y -，根据双曲线得到其渐近线方程，由题意，不妨设A 在b y x a =-上，则00,a y y b A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据4PA AQ ⋅=，求出2a =；设PF 中点为M ，则12OM PF '=（F '为右焦点)，结合图像，即可得到圆上点到O 的最近距离为12OM PF -，进而可求出结果. 【详解】设()00,P x y ，则(),o o Q x y -因为双曲线()22221,0x y a b a b-=>的渐近线方程为：b y x a =±，不妨设A 在b y x a =-上，则00,a y y b A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以2220000002,0,0a a a PA AQ y x x y x y b b b ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于2200221x y a b-=，2222002a x y a b ∴-=，又4PA AQ ⋅=，所以24a =，2a ∴=， 设PF 中点为M ，则12OM PF '=（F '为右焦点)，∴圆上点到O 的最近距离为12OM PF -()1112222PF PF PF PF a ''=-=-==. 故选：C 【点睛】本题主要考查圆与双曲线的综合，熟记双曲线的定义及双曲线的简单性质，以及点到圆的距离的最值问题的解法即可，属于常考题型. 13．6 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数23z x y =+为233zy x =-+，则z 表示直线233zy x =-+在y 轴截距的3倍，根据图像，即可得出结果.【详解】由约束条件230x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩作出可行域如下，因为目标函数23z x y =+可化为233z y x =-+，则z 表示直线233zy x =-+在y 轴截距的3倍，由图像可得，当直线233zy x =-+过点A 时，在y 轴截距最大，即23z x y =+取最大值； 易知(0,2)A ， 所以max 6z =. 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查求简单的线性规划问题，通常需要由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像求解，属于常考题型. 14．4π-【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，得到()si s 0n co 0f ϕϕ=+=，推出tan 1ϕ=-，再由题中范围，即可得出结果. 【详解】因为函数()()sin 2cos()2(2)f x x x πϕϕϕ=+++<为奇函数，所以()si s 0n co 0f ϕϕ=+=，即tan 1ϕ=-， 因此,4k k Z πϕπ=-+∈，又2πϕ<，所以4πϕ=-.故答案为：4π-. 【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性求参数，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型. 15．14【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，以及三点共线的充要条件，先得到只需满足001a b a b ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，即可使点C在三角形OAB 内(含边界)，再作出平面区域，分别求出001a b a b ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩对应区域的面积，以及0201a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩对应区域的面积，面积比即为所求概率. 【详解】因为OC aOA bOB =+，为使点C 在三角形OAB 内(含边界)，必有0,0a b ≥≥；若C 线段AB 上，则A ，B ，C 三点共线，根据三点共线的充要条件，必有1a b +=，因此，只需满足001a b a b ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，即可使点C 在三角形OAB 内(含边界)，在平面直角坐标系内表示该平面区域如下（阴影部分），其面积为1111122S =⨯⨯=，而0201a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域为矩形区域，其面积为212S =⨯=，所以点C 在三角形OAB 内(含边界)的概率为111224S P S ===. 故答案为：14.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率的计算公式，二元一次不等式组所表示的平面区域，以及平面向量的基本定理即可，属于常考题型. 16．[]1,2- 【解析】 【分析】先令3()3g x x x =-+，对其求导，用导数的方法研究()g x 的单调性，根据()g x 单调性，由()33,,x x x t f x x x t⎧-+≤=⎨>⎩作出函数()f x 的图像，由题意，得到()f x 在1x =-取最小，根据函数图像，即可得出结果.【详解】令3()3g x x x =-+，则()()23(1)331x g x x x -+=--'+=，由()0g x '>得11x -<<；由()0g x '<得1x >或1x <-，因此函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在(1,1)-上单调递增，在()1,+∞上单调递减，画出函数()33,,x x x tf x x x t⎧-+≤=⎨>⎩的图像如下:因为()()1f x f ≥-对x R ∀∈恒成立，所以()f x 在1x =-取最小，1t ∴≥-可使()33g x x x =-+能取得极小值且()f x 不能比()1g -更小，又t 不能超过()()12g x g =-=-的另一根由332x x -+=-得()()2120x x x +⋅--=，∴另一根为2，2t ∴≤，综上：12t -≤≤. 故答案为：[]1,2-. 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，以及导数的应用，熟记分段函数性质，以及导数的方法研究函数的单调性即可，属于常考题型.17．（1）见解析；（2）122n n a +=-，2422n n S n +=+-【解析】 【分析】（1）先由()2n n S a n =+，得112)2,(1n n S a n n --=+-≥，两式作差，整理，即可证明结论成立；（2）根据（1）的结论，由等比数列的通项公式即可求出结果，再由题中条件，即可得出n S . 【详解】(1)因为()2n n S a n =+，所以112)2,(1n n S a n n --=+-≥， 两式相减得11)2(n n n a a a -=-+，122n n a a -=-. 所以()1222n n a a --=-；又()1121n a a +=+得112,20a a =--≠所以{}2n a -为首项为4-，公比为2的等比数列；(2)由（1）可得：1242n n a --=-⋅，所以122n n a +=-， 所以2(22)42n n n S a n n +=+=+-.【点睛】本题主要考查由递推关系证明等比数列，以及数列的求和，熟记等比数列的定义，以及等比数列的通项公式即可，属于常考题型. 18．（1）见解析；（2）13【解析】 【分析】（1）连接AC 交BD 于O ，根据线面平行的判定定理，即可证明//PA 平面QBD ； （2）由（1）推出QO ⊥平面ABCD ，根据()13P BQD P BDC Q BDC BDCV V V S PA QO ---=-=⋅-，即可求出结果. 【详解】（1）连接AC 交BD 于O ，因为// AD BC ，2AD BC =，所以20AO C =，又因为2PQ CQ =，所以// PA QO ，而PA ⊄平面QBD ，QO ⊂平面QBD ， 所以//PA 平面QBD ；(2)由(1)知//PA QO 且3PA QO =，因为PA ⊥平面ABCD ，所以QO ⊥平面ABCD ， 所以()13P BQD P BDC Q BDC BDCV V V S PA QO ---=-=⋅-111112323⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及求三棱锥的体积，熟记线面平行的判定定理，以及三棱锥的体积公式即可，属于常考题型.19．（1）415y x =-；（2）12.5x =时，获得最大利润 【解析】 【分析】（1）先由题中数据得7.5x =，15y =，根据最小二乘法估计，求出b ，a ，即可得出回归直线方程；（2）根据（1）的结果，由题意，得到销售利润为()()()25900010010000 100164002100y y x x x ---=-+-，结合二次函数的性质，即可求出结果. 【详解】（1）由题中数据可得，67897.54x +++==，10121622154y +++==，所以2222261071281692247.5154704504678947.5230225b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-===+++-⨯-； 所以1547.515a =-⨯=-，因此y 关于x 的线性回归方程为415y x =-； (2)由题意，销售利润为()()()()5900010010000100420105410000y y x x x x ---=---()2 100164002100x x =-+-，显然其对应的二次函数开口向下，对称轴为252x =； 所以12.5x =，412.51535y =⨯-=时，利润取得最大值40000元. 【点睛】本题主要考查用最小二乘法求线性回归方程，以及线性回归方程求预测值，属于常考题型. 20．（1）1；（2）2a ≤. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，得到()1ln 1x x f x '=++，根据题意，得到()()20f t f t t +'=-，推出ln 10t t -+=，设()ln 1g t t t =-+，0t >，对其求导，研究其单调性，求出最小值，即可得出结果；（2）先由题意，将()()1f x a x >-在()1,+∞恒成立，转化为1ln 1x x a x ->⋅+在()1,+∞恒成立，设()1ln 1x h x x a x -=-⋅+，1x >，对其求导，分[]0,2a ∈，0a <，2a >三种情况讨论，研究其单调性，得到其大致范围，即可得出结果. 【详解】（1）因为()()1ln f x x x +⋅=，所以()()11ln 1ln 1x x f x x x x++⋅=++'=， 由于在x t =处的切线过()0,2-，所以()()20f t f t t +'=-，即ln ln 21ln 1t t t t t t ++=++， 化简得ln 21t t +=+，即ln 10t t -+=，设()ln 1g t t t =-+，0t >，则()11g t t'=-，由()110g t t '=->得01t <<；由()110g t t'=-<得1t >；从而()g t 在()0,1单调递增，再(1,)+∞单调递减；因此()min (1)0g t g ==， 所以()0g t =有唯一根1t =；(2)由()()1f x a x >-得()1ln (1)x x a x +⋅>-，因为1x >，所以1ln 1x x a x ->⋅+， 因此，()()1f x a x >-在()1,+∞恒成立，即是1ln 1x x a x ->⋅+在()1,+∞恒成立； 设()1ln 1x h x x a x -=-⋅+，1x >， 则()()()()2222211211x a x h x a x x x x +-+'=-⋅=++， 当[]0,2a ∈时，()22240a ∆=--≤，此时()()()2222101x a x h x x x +-+'=≥+恒成立，所以()h x 单增，因此()()10h x h >=，满足题意； 当0a <时，()()21201h x a x x '=-⋅>+显然恒成立，此时()h x 单增， 所以()()10h x h >=，也满足题意； 当2a >时，由()()()2222101x a x h x x x +-+'==+得()22210x a x +-+=，()22224484(2)0a a a a a ∆=--=-=->，所以方程()22210x a x +-+=必有两不等实根，不妨设为21x x <，由根与系数关系，211x x ⋅=，所以方程()22210x a x +-+=在(1,)+∞有唯一根1x ，即()0h x '=在(1,)+∞有唯一根1x ，所以易得：()h x 在()11,x 单减，()1,x +∞单增， 则()()10h x h <=，与题意矛盾，不成立； 综上，2a ≤. 【点睛】本题主要考查由函数的切线过某点求参数，以及由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.21．（1）24y x =；（2）( i )见解析；（ii ）()0,1Q -【解析】 【分析】（1）先将()01,P y 代入抛物线的方程，根据三角形面积，求出2p =，即可得出抛物线方程；（2）（i ）先设直线:(AB x ty t b =+不存在时没有两个交点，不成立)，()()1122, ,,A x y B x y ，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，得到12124,4y y b y y t =-+=，表示出PA PB k k +，化简整理，得到4421tb t m+=+-，代入直线方程，即可得出结果； （ii ）由（i ）得到定点441,2mQ m ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭在直线1x y +=-上，易得，距离()1,0最近时为()0,1-，进而可求出结果. 【详解】（1）由题意，将()01,P y 代入抛物线22y px =得o y ，所以POF面积为1122pS =⋅=， 38p ∴=，解得2p =，所以抛物线方程为24y x =；（2）（i ）由题意，设直线:(AB x ty t b =+不存在时没有两个交点，不成立)，()()1122, ,,A x y B x y ，联立24x ty b y x=+⎧⎨=⎩得244y ty b =+，所以12124,4y y b y y t =-+=，所以12121222441122PA PB y y k k m x x y y --+=+=+=--++， 则()()121212424y y y y y y m+++++=，从而1616484t b t m +-++=，4421tb t m+=+- 带入得直线4444:2121AB x ty t t t y m m m m ⎛⎫=++--=+--+ ⎪⎝⎭ 所以过定点441,2mQ m ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭（ii ）由（i ），令41x m =-+，42y m=-+，所以1x y +=-， 即定点441,2mQ m ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭在直线1x y +=-上，因为过点()1,0的直线1y x =-与1x y +=-垂直，由11y x x y =-⎧⎨+=-⎩得01x y =⎧⎨=-⎩，所以距离()1,0最近时Q 为()0,1-. 【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，以及抛物线中的定点问题，熟记抛物线的标准方程，以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型.22．（1）2,,2,33ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2【解析】 【分析】（1）先由圆的直角坐标方程得到其极坐标方程，由两圆极坐标方程联立求解，即可得出结果；（2）根据题意，由（1）中圆的极坐标方程，得到2A OA ρ==，4cos B OB ρθ==，再由余弦定理，得到222212cos 16cos 334AB OA OB OA OB πθ⎛⎫=+-⋅=-+ ⎪⎝⎭，进而可求出结果. 【详解】（1）因为()2224x y -+=可化为2240x x y -+=，根据直角坐标与极坐标的互化公式可得：圆2C 极坐标方程为4cos ρθ=，由4cos 2ρθρ=⎧⎨=⎩解得:1cos 2θ=，所以3πθ=±，因此交点极坐标为2,,2,33ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）因为点,A B 分别为圆1C ，2C 上的点， 由（1）可得：2A OA ρ==，4cos B OB ρθ== 又3AOB π∠=，所以由余弦定理2222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅22211416cos 8cos 16cos cos 416cos 324θθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，当1cos 4θ=时取得最小值3，所以AB. 【点睛】本题主要考查求两圆的交点的极坐标，以及极坐标下的弦长问题，熟记极坐标与直角坐标的互化公式即可，属于常考题型. 23．（1）2,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）12【解析】 【分析】（1）根据分类讨论的方法，分别讨论2x >，12x ≤≤，1x <三种情况，解对应的不等式，即可得出结果；（2）先由（1）得4a b m +==，再由柯西不等式，即可得出结果. 【详解】(1)()3521243,1253,1x x f x x x x x x x ->⎧⎪=-+-=-≤≤⎨⎪-<⎩，，当2x >时，不等式()7f x ≤可化为357x -≤，解得4x ≤，所以24x <≤； 当12x ≤≤时，不等式()7f x ≤可化为37x -≤，解得4x ≥-，所以12x ≤≤； 当1x <时，不等式()7f x ≤可化为537x -≤，解得23x ≥-，所以213x -<≤；综上，不等式()7f x ≤的解集S 为2,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；(2)由题意，4a b m +== 由柯西不等式()()2221313a ba b ⎛++≥ ⎪⎝+⎫⎭.所以()22243312a b a b +≥+⋅= 当且仅当229a b =，即3,1a b ==时取得最小值. 【点睛】本题主要考查解含绝对值不等式，以及由柯西不等式求最值，熟记绝对值不等式的解法，以及柯西不等式即可，属于常考题型.。