2019 年高考新课标卷理科数学仿真模拟试题(二)
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18. （本小题 12 分） 设数列 {an } 满足 3a1 32 a2
3n an n (n N * ) ．
（1 ）求数列 {an } 的通项公式； （2 ）设 anbn n ，求数列化 {bn } 的前 n 项和．
理科数学试题 第 4 页（共 8 页）
sin B sin A 2a c ， 若 将 函数 sin C ab
k >a
f ( x) 2sin(2 x B) 的图像向右平移
8
个单位长度，得到函数 g ( x) 的图 ）
输出 S
像，则 g ( x) 的解析式为（
k =k +1
开始
2 A． 2sin 2 x 3
6 4
15. 等腰三角形 ABC 边长为腰长 3，底边 BC 长为 4，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点 C 间的 距离为 2，此时四面体 ABCD 外接球表面积为____________． 16. 已知函数 f ( x) x 2 e x a ， g ( x) ln( x 2) 9e x a ，其中 e 为自然对数的底数，若存在实 数 x0 ，使 f ( x0 ) g ( x0 ) 7 成立，则实数 a 的值为____________ ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （本小题 10 分） 已知函数 f ( x) 2 3 sin x cos x 2sin 2 x 2 ．
（1 ）当 x 0, 时，求函数 f ( x) 的值域； 2
（ 2 ） 若 三 角 形 ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且 满足
b 3， a
sin(2 A C ) 2 2 cos( A C ) ，求 f ( B ) 的值． sin A
2019 年高考仿真模拟试题新课标卷
理科数学试题(二)
注意事项： 1．本试卷适用于使用全国卷一、卷二及卷三的考生。 2．本试卷由两个部分组成。其中，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。考试时间 120 分钟。满分 150 分。 第一部分 （选择题 共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 设集合 A x 2 x 8 ，集合 B x y lg( x 1) ，则 A B （ A． [1,3) B． (1,3] C． [3, + )
理科数学试题 第 2 页（共 8 页）
叠，得到三棱锥 A BCD，若该三棱锥的顶点 A 在底面 BCD 的射影 M 在线段 BC 上，设 BM = x，则 x 的取值范围是（ A． (0, 2 3) ） C． ( 6, 2 3) D． (2 3, 2 6)
B． ( 3, 6)
12. 已 知 定 义 在 (0 ， +∞) 上 的 函数 f ( x) 的 导 函 数 为 f ( x ) ， 满 足 f ( x) 0 ． 当 x>0 时，
理科数学试题 第 1 页（共 8 页）
A．8
B．8
C．10
D．11 ） D． a 14
6. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 A． a 11 B． a 12
27 ，则（ 14
C． a 13
开始 S = 1，k = 1 是 否
SS 1 k (k 1)
7. 己知 ABC 的三个内角为 A，B，C， 所 对 的 边 长 分 别 是 a ， b ， c，且
频率 组距
0.32 a 0.2 0.18
1
2
3
4
5
元
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20. （本小题 12 分） 如图，三棱柱 ABC A1 B1C1 中，侧面 BB1C1C 为 CBB1 60 的菱形， AB AC1 ． （1 ）证明：平面 AB1C 平面 BB1C1C （2 ）若 AB AC1 ，直线 AB 与平面 BB1C1C 所成的角为 30°，求直线 AB1 与平面 A1 B1C 所成 角的正弦值．
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22. （本小题 12 分）
ln 2 x 3ln x 3 己知函数 f ( x) ． x
1 （1 ）求函数 f ( x) 在区间 [t , t 2] (t ) 的最大值； e
（2 ）求证： x 0, e x (ln 2 x 3ln x 3) 3x 2 0 ．
B． p : x R, log 2 x 0 D． p : x R, log 2 x 0
x 2 y 3 0 4. 若不等式组 2 x y 4 0 表示的区域为 ， 不等式 x 2 y 2 2 x 2 y 1 0 表示的区域为 T， y 0
A
A1
C
B
C1
B1
理科数学试题 第 6 页（共 8 页）
21. （本小题 12 分）
x2 y 2 已知椭圆 : 2 + 2 1(a b 0) 的左、 右焦点分别为 F1 ( 2, 0) 、F2 ( 2, 0) ， 且点 M ( 2,1) a b
在该椭圆上． （1 ）求摘圆 的方程； （2 ）若 A，B 为椭圆 的左、右顶点，点 P( x0 , y0 ) 为直线 x 4 上任意一点，PA，PB 交椭 圆 于 C，D 两点，求四边形 ABCD 面积的最大值．
1 1 A． 6 , 3 2e e
1 1 B． 6 , 3 e e
第二部分 （非选择题 共 60 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 已知向量 a 和 b 的夹角为 60 °且 a = 2， b = 4， 2a b a ___________． 14. 1 x 1 x 的展开式中 x3 的系数是__________．
（2 ）
sin(2A C ) 2 2cos( A C ) ， sin(2A C )=2sin A+2sin A cos( A C ) sin A
sin A cos( A C ) cos A sin( A C ) 2sin A 2sin A cos( A C ) sin A cos( A C ) cos A sin( A C ) 2sin A ，即 sin C 2sin A ；
（2 ）
（3 ）
（4 ） D． (n 2)(n 3)
B． 3(2n 2)
C． 2n(5n 1) ）
2008 k 3 3 3 ) （ 9. 已知函数 f ( x) x3 x 2 x ，则 f ( 2019 2 4 8 k 1
A．0
B．
1009 2
C．1009
D．2018
由正弦定理可得 c 2a ， 由余弦定理可得 cos A
b 3 ， b 3a ； a
b2 c 2 a 2 3a 2 4a 2 a 2 3 ； 2 2bc 2 4 3a
A
18．解：
6
， sin C 2sin A 1 ， C
2
； B AC
19. （本小题 12 分） 甲、乙、丙三人如需高清 word 原版请咨询微信 renzheng0117 参加微信群抢红包游戏规则 如下：每轮游戏发 100 个红包，每个红包金额为 x 元， x [1,5] ．已知在每轮游戏中所产生 的 100 个红包金额的频率分布直方图如图所示． （1 ）求 a 的值，并根据频率分布直方图，估计红包金额的众数； （2 ）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包，其中 金额在[1 ，2)的红包个数为 X，求 X 的分布列和期望．
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2019 年高考仿真模拟试题新课标卷
理科数学试题（一）参考答案
一、选择题 1 5 ．C B A D C 二、填空题 13 ．4 三、解答题 17．解： （1 ） f ( x) 2 3 sin x cos x 2sin 2 x 2 3 sin 2 x 2 14 ．8 15． 6 10．C D D C B 11 12．C B
； f ( B) f ( ) 2 ． 3 3
2 （1 ） 3a1 3 a2
3n an n (n N * )
① ②
2 当 n 2 时， 3a1 3 a2
3n 1 an 1 n 1 (n N * )
n ① ②得 3 an 1 ， 从而 an
31 3
ln 3 1
1 cos 2 x 2 2
3 sin 2 x cos 2 x 1 2sin 2 x 1 ； 6
1 7 x 0, ， 2 x , ， sin 2 x ,1 ， f ( x) 0,3； 6 2 6 6 6 2
f ( x) 2 f ( x) ．当 x 2 时， f ( x) f ( x) ，且 f (3 x) f (1 x)e 2 2 x （其中 e 是自然对数的
底数） ．则
f (1) 的取值范围为（ f (4)
） C． e3 , 2e6 D． e3 , e6
） D． [1, + ) ） D． 1 i
2. 设 i 为虚数单位，复数 z 满足 A． 1 i
2i 1 i ，则复数 z 的共轭复数等于（ z
C． 1 i ）
B． 1 i
2019年高考理科数学模拟卷(全国新课标Ⅱ卷)
高考理科数学模拟卷(全国新课标Ⅱ卷)一.选择题(每小题5分，共60分)1．集合A={x|x 2-2x>0},B={y|y= 2 x ,x>0}，R 是实数集，则(C R B)∪A 等于（ ） A ．R B ．(-∞,0)∪1,+∞) C ．(0,1 D ．(-∞,1∪(2,+∞)2. 已知z 是复数z 的共轭复数, z+z + z ·z =0，则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 3．设公比 的等比数列{}的前项和为，则 （ ） A ．B ．C ．D ．4.命题p ：∀x ∈R,sinx -cosx< 2命题q ：“a=1”是“直线l 1：ax+2y -1=0与直线l 2：x+(a+1)y+4=0平行”的充分条件 则下列命题中，真命题是A ．(⌝q)∨pB ．p ∧qC ．(⌝p)∧(⌝q)D ．(⌝p)∨ (⌝q) 5．某一个班全体学生参加物理测试，成绩的频率分布直方图如图，则该班的平均分估计是 A ．70 B ．75 C ．68 D ．666．在长为8的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于AC 、BC 的长，则该矩形面积大于15的概率 ( )A ．16B ．14C ．23D ．457．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．把函数f(x)=sin 2x -2sinxcosx+3cos 2x 的图像沿轴向左平移m(m>0)个单位，所得函数g(x)的图像关于直线x= π8对称，则m 的最小值为 （ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．12q =n a n n S 43S a =1521547274x 4π3π2π43π结束y=x 3输出yy=1xy=lnx+5否 x>2?是开x>5? 输入x否 是20 100 80 60 40 0.020.0050.0150.01成绩/频率组距9．已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A ．233B ．236C ．113D ．10310．已知四边形ABCD ，∠BAD=120º，∠BCD=60º，AB ＝AD ＝２，则AC 的最大值为（ ） A ．４33 B ．４ C ．８33D ．８11．已知双曲线x 2a 2 − y 2b 2=1(a>0,b>0)，右焦点F 到渐近线的距离小于等于a ,则该双曲线离心率的取值范围为( ) A ．B ．C ．D ．12．若f(x)满足x 2f '(x)—2xf(x)=x 3e x ，f(2)= —2e 2.则x>0时，f(x) ( )Ａ．有极大值，无极小值 Ｂ．有极小值，无极大值 Ｃ．既有极大值，又有极小值 Ｄ．既无极大值，也无极小值二.填空题:(每小题5分,共20分)13．(2x+1x )6展开式中的常数项等于________14．∆ABC 中，|CB →|cos ∠ACB=|BA →|cos ∠CAB=3，且AB →·BC →=0，则AB 长为 _ 15．已知直线x+y+2a-b=0(b ∈R,0≤a ≤2)与圆x 2+y 2=2有交点，则a+b 的最大值为 16．四棱锥P -ABCD 底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60º，各侧面和底面所成角均为60º，则此棱锥内切球体积为 三.解答题(本大题6小题,共70分）17．在等差数列{a n }中，a 1=3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1=1，公比为q ，且b 2+S 2=12， q=S 2b 2．（1）求a n 与b n ；（2）求1S 1+1S 2+…+1S n的取值范围．18．为了普及环保知识增强环保意识，某校从理工类专业甲班抽取60人，从文史类乙班抽()2,+∞)2,⎡+∞⎣(1,2]()1,211 22 22 2 正视侧视俯视取50人参加环保知识测试⑴ 根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断你是否有99%的把握认为环保知识与专业有关优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 30 总计60⑵为参加上级举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，预选赛答卷满分100分，优秀的同学得60分以上通过预选，非优秀的同学得80分以上通过预选，若每位同学得60分以上的概率为12，得80分以上的概率为13，现已知甲班有3人参加预选赛，其中1人为优秀学生，若随机变量X 表示甲班通过预选的人数，求X 的分布列及期望E （X ）. 附: k 2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), n=a+b+c+dP(K 2>k 0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k 02.7063.841 5.0246.6357.87919．（本题满分１２分）如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，在∆PAD 中PA →+PD →=2PE →，且AD=2PE(1)求证：平面PAB ⊥平面PCD ；(2)如果AB=BC,∠PAD=60º，求DC 与平面PBE 的正弦值20．已知点P 在圆x 2+y 2=1上运动，DP⊥y 轴，垂足为D,点M 在线段DP 上，且|DM||DP|=22 （Ⅰ）求点M 的轨迹方程；（Ⅱ）直线l 与y 轴交于点Q(0，m)(m≠0)，与点M 的轨迹交于相异的两点A,B ，且AQ →=λQB →,若OA →+λOB →=4OQ →.求m 的取值范围.21.已知函数（为自然对数的底），（为常数），是实数集上的奇函数.⑴ 求证：；⑵ 讨论关于的方程：的根的个数；请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作()xf x e =e ()ln(())g x f x a =+a ()g x R ()1f x x ≥+()x R ∈x 2ln ()()(2)g x g x x ex m =⋅-+()m R ∈BPACDE答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B 、C ，∠APC 的平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ， （Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED ； （Ⅱ）若AC=AP ，求PCPA的值。
2019年全国统一高考数学模拟试卷(理科)(新课标ⅱ)(含详细解析)
第1页（共22页）1 .2. 3 .4. 5 .6. 2019年全国统一高考数学模拟试卷（理科）•选择题（共12小题，满分60分, （5分）设i是虚数单位，则复数z 每小题5分）的虚部为（C•- 1（5分）已知集合含元素个数为（A= {1 , 2, 3, 4, 5} , B = { ( x, y) |x€A,C. 8（5分）已知定义在［-,—］的函数零点，则实数a的取值范围是（A . (一，2]（5分）下列各式正确的是（A . | ? |= | || |C .若丄（)则?（5分）若双曲线一心率是（（5分）△ ABC的内角A,=( ) f (x)（新课标H）D. - 2iyS，—€ ｝，则集合B所D. 10=sinx (cosx+1)- ax, 若y= f (x) 仅有一个D .若？-)U [2, +R)-]U (—，+s)的一条渐近线方程为y=- 2x,该双曲线的离C.C 的对边分别为a, b, c, a= 1, c= 5, cos——，贝V bC.7. （ 5分）执行如图程序，输出的结果为（)第2页（共22页）&（5分）从1, 2, 3, 4, 5, 6中任取三个数,A . —B .-C. —D.-9.（ 5分）在各棱长均相等的直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1中，已知M 是棱BB i 的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线 A 1M 与BN 所成角的正切值为（ ）A . -B . 1C. —D.—10.（5分）若f （x ）= cosx -sinx 在［0, a ］是减函数，则 a 的最大值是（ ）A .一B .一C .——D . n11 . （5分）已知函数f （ x ）= x 2 m 是定义在区间［-3 - m , m 2 - m ］上的奇函数，则（ ）A . f （m ）v f （1）B . f （m ）＞ f （1）C . f （m ）=- f （1）D . f （m ）与f （1）大小不能确定 12 . （ 5分）椭圆— —的一个焦点为 F 1, M 为椭圆上一点，且|MF 1|= 2, N 是线段MF 1的中点，贝U |ON| （ O 为坐标原点）为（ ） A . 3B . 2C . 4D . 8二 .填空题（共 4小题，满分20分，每小题5分）3x 313 . （5分）曲线f （ x ）= e - x 在点（0, f （0））处的切线方程是 _________ .A . —B .—C.—则这三个数构成一个等差数列的概率为15. （5分）若，贝U tan2 a=，贝U z= x- y的最大值是 _____ 14 .（5分）若x, y满足约束条件15. （ 5分）若 ，贝U tan2 a=三.解答题（共 5小题，满分60分，每小题12 分）17. （12分）已知等差数列｛a n ｝的公差为2,且a 1, a 3, a 4成等比数列.（I ）求｛a n ｝的通项公式；（n ）设｛a n ｝的前n 项和为Si ，求S 20的值.16. （ 5分）如图，E , F , G , H 分别为正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1所在边的中点, 平面EFGH 所成角的正切值为 ___________ .BD 与第5页（共22页）18. （12分）如图为某市2017年2月28天的日空气质量指数折线图. 由中国空气质量在线监测分析平台提供的空气质量指数标准如下:空气质量指数(0,50](50,100](100, 150](150, 200](200, 300]300以上空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染（I）请根据所给的折线图补全下方的频率分布直方图（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算该市2月份空气质量指数监测数据的平均数（保留小数点后一位）频率（H）研究人员发现，空气质量指数测评中PM2.5与燃烧排放的CO两个项目存在线性相关关系，以100ug/m3为单位，如表给出PM2.5与CO的相关数据:。
【高考模拟】2019理科数学试卷(二)及答案解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷理科数学（二）本试题卷共7页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i是虚数单位，若复数z的共轭复数为（）A B C D2．若双曲线221yxm-=的一个焦点为()3,0-，则m=（）A．B．8C．9D．643．得到函数()f x的图像，（）A B C D4．函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞的值域为D ，在区间()1,2-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15．记()()()()72701272111x a a x a x a x -=+++++⋅⋅⋅++，则012a a a +++6a ⋅+的值为（ ）A ．1B ．2C ．129D ．21886．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．163C ．203D ．87．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ） A ．一鹿、三分鹿之一 B ．一鹿 C ．三分鹿之二D ．三分鹿之一8 ）A ．B ．C ．D ．9．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（ ）A ．12B ．18C ．120D ．12510．当实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p ，而由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为（ ） A ．12B ．23 C ．35D ．4311．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A．2B1 C1D．212．已知函数()e e x x f x -=+（其中e 是自然对数的底数），若当0x >时，()e 1x mf x m -+-≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2019年高考理科数学模拟卷2(word版含答案)
2019年高考理数模拟试题全国卷Ⅰ一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．设集合U ={1，2，3，4}，集合A ={x ∈N |2x −5x +4<0}，则UA =A ．{1，4}B ．{1，2}C ．{2，4}D ．{1，3，4} 2．已知复数z =i1im +(m >0)，z ·z =1，则z = A ．22+22i B ．22−22i C ．2+2i D ．2−2i 3．已知数列{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，若2017S =4 034，则3a +1009a +2015a =A ．2B ．4C ．6D ．8 4．某几何的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为A ．4π+4B ．3π+4C ．3πD ．32π+4 5．已知0<a <b <1，则下列结论正确的为A ．3a>3bB ．ln aa >ln bb C ．1()ae<1()beD ．log 3a >log 3b 6．如图所示的程序框图，则输出的i 的值是A ．5B ．7C ．9D ．3 7．已知将函数()f x =a sin2x +b cos2x 的图象向右平移6π个单位长度后所得到的图象关于直线x =4π对称，则b a 的值为A ．33B ．1C ．3D ．28．已知x ，y 满足10240220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，如果目标函数z =1y x m +-的取值范围为[0，2)，则实数m的取值范围为 A ．[0，12] B ．(−∞，12] C ．(−∞，12) D ．(−∞，0] 9．已知三棱锥S −ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2，则此三棱锥的体积为 A．6 B．6 C．3 D．210．已知直线y=5x 与双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)交于A ，B 两点，若在双曲线上存在点P ，使得|PA |=|PB|=2|AB |，则双曲线的离心率为 AB11．已知二次函数()f x =a 2x −2x +2c，x ∈R 的值域为[0，+∞)，其图象过定点(0，1)，且()g x =x ()f x +b 2x +a 在区间(12，1)上不是单调函数，则实数b 的取值范围为 A ．(0，2．(0，2C ．[2，+∞) D ．(212．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，对任意n ∈N *，n S =(−1)nn a +12n+2n −6， 且(1n a +−p )(n a −p )<0恒成立，则实数p 的取值范围是 A ．(−74，234) B ．(−∞，234) C ．(−74，6) D ．(−2，234) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若(1x−2x )n 的常数项是15，则展开式中3x 的系数为 ． 14．已知AB 与AC 的夹角为150°，|AB |=3|AC |=3，AP =λAB +μAC ，且AP⊥BC ，则λμ的值为 ． 15．已知函数()f x =2x −2x sin2πx +1的两个零点分别为a ，b (a <b )，则21b a x -⎰dx = ．16．已知直线y =kx +1与抛物线2y =2x 相切于M 点，过M 点作两条直线，分别与抛物线交于A 、B 两点，若两直线的斜率之和为0，则直线AB 的斜率为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a cos C +c cos A =2b cos B ，b =3．(1)求证：角A ，B ，C 成等差数列；(2)求△ABC 面积的最大值．18．(本小题满分12分)某课题组对全班45名同学的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示45名同学的饮食指数．说明：饮食指数低于70的人被认为喜食蔬菜，饮食指数不低于70的人被认为喜食肉类．(1)根据茎叶图，完成下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关”，说明理由；喜食蔬菜喜食肉类合计 男同学 女同学 合计(2)用分层抽样的方法按照喜食蔬菜、喜食肉类从全班同学中随机抽取15名同学进行进一步调查，记抽P (2K ≥0k )0．10 0．05 0．01 0k2．7063．8416．635到的喜食肉类的女同学的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．2K =2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且AB，∠ABC =60°，点A 在平面PBC 上的射影为PB 的中点O ，PB ⊥AC ．(1)求证：PC =PD ；(2)求平面BAP 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值． 20．(本小题满分12分)已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的左、右焦点分别是点1F ，2F ，其离心率e =12，点P 为椭圆上的一个动点，12PF F ∆面积的最大值为(1)求椭圆的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点1F ，AC BD ⋅=0，求|AC |+|BD |的取值范围． 21．(本小题满分12分)已知函数()f x =(x −a )xe −2x ．(1)若a =1，x ∈[0，1]，求函数()f x 的最值；(2)若a ∈Z ，函数()f x 在x ∈[0，+∞)上是增函数，求a 的最大整数值．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的极坐标方程为ρθ． (1)求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，若点P 的坐标为(3)，求|PA |+|PB |． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知二次函数()f x =2x −bx +c 在 x =1处取得最小值−1． (1)解不等式|()f x |+|()f x -)| 6|x |；(2)若实数a 满足|x −a |<1，求证：|()f x −()f a |<2|a |+3．2019年高考理数模拟试题答案1．A 【解析】由2x −5x +4<0得1<x <4，由于x ∈N ，所以A ={2，3}，于是UA ={1，4}．2．A 【解析】解法一 z =i 1i m +=i(1i)(1i)(1i)2m m -=+-+2m i ，z =2m −2mi ，z·z =22m =1，又m >0，则m ，故z =2+2i ，选A ． 解法二 由题意知|z|=|i ||1i |m =+，由z·z =2||z ，得22m =1，又m >0，则m ，故=2+2i ，选A ． 3．C 【解析】依题意，120172017()2a a +=4 034，所以21009a =1a +2017a =4，3a +1009a +2015a =31009a =6，选C ．4．B 【解析】由三视图，可得到该几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱切掉四分之一后剩余的几何体，因而其侧面积S =34×2π×1×2+2×1×2=3π+4，故选B ． 5．D 【解析】对于A ，由于y =3x为增函数，因而3a<3b，故A 错误；对于B ，令y =x ln x ，y '=ln x +1，则y =x ln x 在(0，1e )上单调递减，在(1e，1)上单调递增，则ln a a ，ln bb 的大小关系不确定；对于C ，y=1()xe为减函数，所以1()ae>1()be； 对于D ，y=3log x 为增函数，因而3log a <3log b <0， 则log 3a =31log a >31log b=log 3b ．故选D ． 6．B 【解析】第一次循环：S =2×1+20=3，i =3；第二次循环：S =2×3+23=14，i =5；第三次循环：S =2×5+214，i =7，此时S >2 017，结束循环．故输出的i 的值是7． 7．C 【解析】通解 ()f x =a sin 2x +b cos 2x =22a b +sin(2x +φ)，其中tan φ=ba，将其图象向右平移6π个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为 ()6f x π- =22a b +sin(2x −3π+φ)，其对称轴为2x −3π+φ=kπ+2π，k ∈Z ，由题意知其中一解为x =4π，则φ=kπ+3π，k ∈Z ，即tan φ=b a =3，故选C ．优解 将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为y=a sin 2(x −6π)+b cos 2(x −6π)，因为所得图象关于直线x =4π对称， 则4y x π'==2[a cos(2x −3π)−b sin(2x −3π)]4x π==3a −b =0，因而b a =3，故选C ． 8．C 【解析】由约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示， 而目标函数z=1y x m+-的几何意义为可行域内的点(x ，y )与A (m ，−1)连线的斜率．由10240x y x y +-=⎧⎨--=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩，即B (2，−1)．由题意知m =2不符合题意，故点A 与点B 不重合，因而当连接AB 时，斜率取到最小值0．由y =−1与2x −y −2=0得交点C (12，−1)，在点A 由点C 向左移动的过程中，可行域内的点与点A 连线的斜率小于2，因而目标函数的取值范围满足z ∈[0，2)，则m <12，故选C ． 9．A 【解析】根据题意作出图形如图所示，设球心为O ，过A ，B ，C 三点的小圆的圆心为1O ，连接1OO ，则1OO ⊥平面ABC ，连接1CO 并延长交球面于点D ，连接SD ，则SD ⊥平面ABC ．∵1CO =2332⨯=33，∴1OO =63，∴三棱锥的高SD =21OO =263， ∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴ABC S ∆=34， ∴三棱锥的体积V =132623436⨯⨯=，故选A ． 10．B 【解析】通解 由22222551y x x y a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得22x a −2245x b =1，则2x =221145a b -，2y =2245145a b -，因而|OA |2=|OB |2=2295145a b -，如图，连接OP ，由于|PA |=|PB |，因而直线OP 的方程为y=−52x ，同理可得|OP |2=2294154a b-，又|PA |=|PB |=32|AB |，∴|OP |2=2|OA |2， 从而得22b a =2，∴e =221b a+=3，故选B ．优解 连接OP ，设|OA |=m >0，由题意知|OP |=2|OA |=2m ，且OP⊥OA ，设直线AB 的倾斜角为α，则tan α=255，因而sin α=23，cos α=53，不妨设点A 在第一象限，则A (53m ，23m )，直线OP 的倾斜角为2π+α，同理可得P (−223m ，103m )或(223m ，−103m )，∵A ，P 均在双曲线上，∴2259m a−2249m b =1， 且2289m a −22109m b =1，则259a −249b =21m =289a −2109b，解得22b a =2， ∴e =221b a+=3，故选B ．11．A 【解析】由函数()f x 的图象过定点(0，1)得c =2，又()f x 的值域为[0，+∞)，则a >0，244ac a-=0，因而a =1，则()f x =2x −2x +1，()g x =3x +(b −2)2x +x +1， ()g x ' =32x +2(b −2)x +1，由题意知方程()g x '=0在区间(12，1)上有解，由于()g x '=0不能有两个相等的实根，因而Δ=4(b −2)2−12>0，即b >2+3或b <2−3，同时2(b −2)=−(3x +1x)∈(−4，−23]， 所以0<b 2−3，从而0<b <2−3，故选A ．12．A 【解析】∵n S =(−1)nn a +12n +2n −6，∴当n 2时，1n S -=(−1)1n -1n a -+112n -+2n −8， 两式相减得，n a =(−1)nn a +12n +2n −6−[(−1)1n -1n a -+112n -+2n −8]， 整理得[1−(−1)n ]n a =(−1)n1n a -+2−12n(n 2) (*)．又n S =(−1)n n a +12n+2n −6，∴1S =−1a +12+2−6，即1a =−74． ①当n 为偶数时，化简(*)式可知，1n a -=12n −2，∴n a =112n +−2(n 为奇数)； ②当n 为奇数时，化简(*)式可知，2n a =−1n a -+2−12n， 即12n −4=−1n a -+2−12n ，即1n a -=6−112n -，∴n a =6−12n(n 为偶数)． 于是n a =112216,2n nn n +⎧-⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，为奇数为偶数．∵对任意n ∈N *，(1n a +−p )(n a −p )<0恒成立，∴对任意n ∈N *，(p −1n a +)(p −n a )<0恒成立．又数列{21k a -}单调递减，数列{2k a }单调递增，∴当n 为奇数时，有n a <p <1n a +，则1a <p <11a +，即−74<p <234；当n 为偶数时，有1n a +<p <n a ，则21a +<p <2a ，即−3116<p <234．综上所述，−74<p <234，故选A ． 13．−20【解析】设第r +1项是常数项，则1r T +=C rn (1x)n r -·(−2x )r =(−1)r C r n x 3n r-+， 由−n +3r =0得n =3r ，又(−1)rC r n =15，所以n =6，r =2．设第m +1项是含3x 的项，则1m T +=(−1)m6C m x 63m -+，令−6+3m =3，得m =3， 则展开式中3x 的系数为3(1)-36C =−20．14．59【解析】通解 由AP ⊥BC ，得AP ·BC =0，即(λAB +μAC )·(AC −AB )=(λ−μ) AB ·AC −λ2AB +μ2AC =(λ−μ)××1×(−)−λ×2+μ×21 =52μ−92λ=0，因而λμ=59．优解 如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则由题意知AB =(3，0)，AC =(−32，12)，BC =(−332，12)，AP =(3λ−32μ，12μ)，由AP ⊥BC ，得−332(3λ−32μ)+14μ=0，得λμ=59．15．2π【解析】函数()f x 的零点，即方程()f x =2x −2x sin2πx +1=0的根， 由于x =0不是方程的根，因而可化为2sin2πx =x +1x ，又x +1x ∈(−∞，−2]∪[2，+∞)，所以sin 2πx =±1，则2x ±2x +1=0，从而x =±1， 因为a <b ，所以a =−1，b =1，因而21bax -⎰dx =1211x --⎰dx ，由定积分的几何意义，知1211x --⎰dx =2π． 16．−12【解析】数形结合可知k ≠0，由212y kx y x=+⎧⎨=⎩，得2k 2x +2(k −1)x +1=0， 因而Δ=4(k −1)2−42k =0，即k =12，从而2x −4x +4=0，则M (2，2)， 设直线MA 的方程为y −2=m (x −2)，易知m ≠0，由2222y mx my x=+-⎧⎨=⎩， 得m 2y −2y+4−4m =0，解得y =2m −2或2，即A (2(1m −1)2，2m−2)， 同理设直线MB 的方程为y −2=−m (x −2)，得B (2(1m +1)2，−2m−2)，则AB k =22112(1)2(1)112(1)2(1)m m m m------+=−12．17．【解析】(1)由已知及正弦定理得sin A cos C +sin C cos A =2sin B cos B ，（1分）即sin(A +C )=2sin B cos B ，从而可得cos B =12． ∵在△ABC 中，0<B<π，∴B =3π，（3分） ∴A +C =23π=2B ， ∴角A ，B ，C 成等差数列．（5分）(2)由余弦定理2b =2a +2c −2ac cos B ，得2a +2c −ac =3， 即ac 3，当且仅当a =c 时等号成立．（7分）ABC S ∆=12ac sin Ba =c 时取等号，即△ABC面积的最大值为4．（12分） 18．【解析】(1)根据茎叶图，完成的2×2列联表如下，计算得2K =245(19367)3692025⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=0.562 5<2.706，对照临界值得出，没有90%的把握认为“喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关”．（5分） (2)因为从喜食肉类的同学中抽取的人数为9×1545=3， 所以ξ的可能取值有0，1，2，3．P(ξ=0)=3639CC=521，P(ξ=1)=216339C CC=1528，P(ξ=2)=126339C CC=314，P(ξ=3)=3339CC=184．（10分）所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P 5211528314184所以ξ的数学期望Eξ=0×521+1×1528+2×314+3×184=1．（12分）【备注】本题的易错点是审题不仔细，对所给图表理解不清，不能从图表中准确提取信息，另外，对于这类题目，运用公式不难，但运算量大，对运算能力要求较高，不少考生过不了运算关．把分层抽样、独立性检验与离散型随机变量的分布列与数学期望结合起来进行考查，代表了统计案例解答题的一种命题趋势，这类试题难度不大，但考查的知识面较广．19．【解析】(1)如图，连接CO，由题意知PB⊥AO，且AP=AB=2，又PB⊥AC，AO∩AC=A，因而PB⊥平面AOC．又CO 平面AOC，则PB⊥OC，（2分）又O为PB的中点，因而PC=BC=2，（3分）又ABCD是菱形，且∠ABC=60°，则AC=2，所以OA=OC=1．作DH⊥平面PBC于H，连接PH，CH，则PH=DH=1，因而PD=2，即PC=PD．（5分）(2)解法一以O为坐标原点，OC，OP，OA所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，C(1，0，0)，P(0，1，0)，D(1，1，1)，PC=(1，−1，0)，PD=(1，0，1)，（7分）设平面PCD的法向量为m=(x，y，z)，则00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即0x y x z -=⎧⎨+=⎩，取x =1，则y =1，z =−1，所以m =(1，1，−1)是平面PCD 的一个法向量，（9分） 易知平面BAP 的一个法向量为n =(1，0，0)， 那么cos<m ，n >=||||⋅⋅m n m n=即平面BAP 与平面PCD（12分）解法二 由(1)知平面BAP ∥平面HCD ，因而等价于求平面HCD 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值，由于PH ⊥平面HCD ，则PH ⊥CD ，如图，作HM ⊥CD 于M ，连接PM ， 由PH ∩HM =H ，得CD ⊥平面PHM ，（6分）所以CD ⊥PM ，则∠PMH 为二面角P −CD −M 的平面角． 在直角三角形HCD 中，CD=，则HM=tan ∠PMH2=， 因而cos ∠PMH（10分） 所以平面BAP 与平面PCD所成锐二面角的余弦值为3． （12分） 【备注】从近几年高考题来看，立体几何的考查往往避开规则几何体，给人以新颖感，但无论如何创新，空间中线线、线面、面面的位置关系是必考点，一般位于第(1)问，要求考生运用性质定理、判定定理进行推理证明，当然借助向量解决也是一种趋势．在运用向量法求解时，关键是注意以下几点：①如何恰当地建立空间直角坐标系；②考虑一些未知量是否可用基向量或其他已知向量表示，能否顺利坐标化；③如何对已经表示出来的向量进行运算才能获得需要的结论；④运算结果和证明的结论不一致时，应该及时检查初始点或基向量是否正确；⑤运用向量法求二面角时要注意判断二面角是锐角还是钝角．20．【解析】(1)由题意知，当点P 是椭圆的上、下顶点时，12PF F ∆的面积取得最大值，此时12PF F ∆的面积S =12·2c ·b，即c①．（1分） 又椭圆的离心率e =12，所以c a =12②，（2分） 联立①②解得a =4，c =2，2b =12，所以椭圆的方程为2211612x y +=．（4分） (2)由(1)知1F (−2，0)， 因为AC BD ⋅=0，所以AC ⊥BD ．①当直线AC ，BD 中有一条直线的斜率不存在时，|AC |+|BD |=8+6=14； ②当直线AC 的斜率为k ，k ≠0时，其方程为y=k (x +2)，由22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得(3+42k )2x +162k x +162k −48=0．（6分）设A (1x ，1y )，C (2x ，2y )，则1x +2x =−221634k k +，1x 2x =22164834k k -+，所以|AC1x −2x2224(1)34k k++， 直线BD 的方程为y =−1k(x +2)，同理可得|BD |=2224(1)43k k ++，所以|AC |+|BD |=2222168(1)(34)(43)k k k +++，（8分）令1+2k =t ，则t >1，所以|AC |+|BD |=22221681681681(41)(31)12112t t t t t t t t ==--++-+， 设()f t =21t t-(t >1)，则()f t '=32t t -+， 所以当t ∈(1，2)时，()f t '>0，当t ∈(2，+∞)时，()f t '<0，（10分）故当t =2时，()f t 取得最大值14． 又当t >1时，()f t =21t t ->0，所以0<21t t - 14， 所以|AC |+|BD |∈[967，14)． 综上，|AC |+|BD |的取值范围为[967，14]．（12分） 【备注】解决本题的关键有以下几点：(1)熟练掌握有关椭圆的基础知识；(2)注意对特殊情况进行讨论，如本题中讨论了直线斜率不存在的情况；(3)正确利用题目所给条件得到|AC |，|BD |的表达式；(4)灵活运用函数的有关知识求最值． 21．【解析】(1) 若a =1，则函数()f x =(x −a )xe −2x ，()f x '=x e +(x −1)x e −2x =x (x e −2)．令()f x '=0，则x =0或x =ln 2，由于x ∈[0，1]， 因而当x ∈(0，ln 2)时，()f x '<0，()f x 单调递减， 当x ∈(ln 2，1)时，()f x '>0，()f x 单调递增，所以()f x 的最小值为(ln 2)f =−1−(ln 2−1)2，最大值为(0)(1)f f ==−1．（5分）(2) ()f x '=x e +(x −a )x e −2x =(x +1−a )xe −2x ，由()f x 在x ∈[0，+∞)上是增函数，得()f x ' 0在x ∈[0，+∞)上恒成立， 即(x +1−a )xe −2x 0，x ∈[0，+∞)，分离参数得1−a2xxe −x ，x ∈[0，+∞)．（7分） 设()g x = 2x x e −x ，则()g x '=22xxe -−1=22x x x e e --，令()g x '=0，即2−2x −xe =0．（8分）设()h x =2−2x −xe ，由于(0)h =1>0，1()2h =1<0，因而方程2−2x −xe =0在(0，12)上有解，设为0x ， 则0xe =2−20x ，且当x ∈(0，0x )时，()g x '>0，当x ∈(0x ，+∞)时，()g x '<0，所以()g x 的最大值为0()g x =002x x e −0x =001x x -−0x =2001x x -．（10分）因而1−a 2001x x -，即a 1+2001x x -=3+011x -+0x −1，又0x ∈(0，12)，0x −1∈(−1，−12)，因而3+011x -+0x −1∈(12，1)，因而a 的最大整数值为0． （12分）【备注】在高考题中，函数与导数试题多以对数、指数形式出现，而且属于压轴题，对考生的能力要求很高，意在提高区分度，有利于选拔．试题一般考查含有参数的函数的单调性、极值、最值，曲线的交点等，解题时由于对参数的讨论往往比较复杂，因而考生通常会由于对参数的分类标准分析不到位而出现失误．在复习过程中，对于某些常规函数的性质及图象要做到了如指掌，如对数函数、y=ln xx以及y=x ln x 的图象等更要多加积累，并善于利用数形结合思想进行研究，寻求问题的求解方法．22．【解析】(1)由直线l的参数方程322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) 得直线l 的普通方程为y =−x由ρθ，得2x +2y −=0，即圆C 的直角坐标方程为2x +(y)2=5．（5分）(2)通解由22(53x y y x ⎧+-=⎪⎨=-+⎪⎩得2x −3x +2=0，解得12x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩21x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩不妨设A (1，)，B (2，，又点P 的坐标为(3． 故|PA |+|PB．（10分）优解 将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3−2t )2+(2t )2=5， 即2t −t +4=0．由于)2−4×4=2>0，故可设1t ，2t 是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线l 过点P (3，故|PA |+|PB |=|1t |+|2t |=1t +2t． （10分）23．【解析】(1)由题意知，二次函数图象的顶点为(1，−1)，得b =2，c =0，因而()f x =2x −2x ．不等式|()f x |+|()f x -| 6|x |，即|2x −2x |+|2x +2x | 6|x |， 当x =0时，不等式成立；当x ≠0时，不等式化为|x −2|+|x +2| 6，从而2226x x x -⎧⎨-+--⎩≤≥，或20226x x x -<<⎧⎨-+++⎩≥或02226x x x <⎧⎨-+++⎩≤≥，或2226x x x >⎧⎨-++⎩≥，解得x −3或x 3，故不等式的解集为{x |x −3或x =0或x 3}． （5分） (2)因为|x −a |<1，所以|()f x −()f a |=|2x −2x −2a +2a |=|(x +a −2)(x −a )|=|x +a −2|·|x −a |<|x +a −2| |x −a |+|2a |+2<2|a |+3．（10分）。
【高考模拟】2019年高考理科数学模拟卷(二)及参考答案
2019年高考理科数学模拟卷（二）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数2i1i --的共轭复数是 A .3i 2+ B .1i 2- C .3i 2- D .3i 2--2．已知集合{})3)(1(|+-==x x y x A ，{}1log |2≤=x x B ，则=B AA ．{}13|≤≤-x xB ．{}10|≤<x xC ．{}23|≤≤-x xD ．{}2|≤x x 3．已知3sin()45x π-=，则cos 4x π+=（）（ ） A ．45B ．35C ．45-D ．35- 4．已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ且(4)0.88P x ≤=，则(04)P x <<=A ．0.88B ．0.76C ．0.24D ．0.125. 等差数列的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24-B ．3-C ．3D ．86. 若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为A.3π B.23πC.56πD.6π 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．4+B ．14+C ．10+D ．48．某校4名大学生申请担任校运会的志愿者，组委会把他们按照每个项至少一人，每人只能服务一项的原则随机分配到A ，B ，C 三个比赛项目，则甲服务A 比赛项目的概率是A. 13B.23C.29D.3109. 如图，有一直角墙角BA 和BC ，两边的长度足够长. 拟在点P 处栽一棵桂花树，使之与两墙的距离分别为(012)a a <<和4(单位：m )，同时用16米长的篱笆，利用墙角围成一个矩形护栏ABCD ，使得P 处的桂花树围在护栏内（包括边界). 设矩形ABCD 的面积为S (m 2)，S 的最大值为()f a ，则函数()y f a =的大致图象是A B C D10. 点S 、A 、B 、C 在半径为2的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为21， 3===CA BC AB ，则点S 与ABC ∆中心的距离为A ．3B ．2C ．1D ．21 11. 将正整数 n 表示为 0011221122....222⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=----a a a a a n k k k k k k ， 其中1k a =，当10-≤≤k i 时，i a 为0或1. 记()k n 为上述表示式中i a 为0的个数 （例如：2105120212=⨯+⨯+⨯，(5)1k =），则 )32()23(1810-+⨯k k =A. 9B. 10C. 11D. 1212. 过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为1A ，1B 两点，以线段1A 1B 为直径的圆C 过点)3,2(-，则圆C 的方程为 A ．2)2()1(22=-++y x B ．5)1()1(22=-++y x C ．17)1()1(22=+++y x D ．26)2()1(22=+++y x二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知)(x f ，)(x g 分别是定义域为R 的奇函数和偶函数，且xx g x f 3)()(=+，则)1(f 的值为 .14．已知F 1、F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A 、B 两点， BF 1交y 轴于点C ，若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为 .15. 已知直线l 与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x 表示的平面区域有公共点，且l 与圆O : 2522=+y x 相交于A ，B 两点，则当|AB|最短时，直线l 的方程是.16．数列{}n a 满足)2(,2,211212≥⎪⎩⎪⎨⎧≥<=---n na a na n a n n n n ，若{}n a 为等比数列，则1a 的取值范围是 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答. 17. 如图，在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4c =，2b =，1cos 4C =，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD CD =，BAE CAE ∠=∠．（1）求线段AD 的长； （2）求ADE ∆的面积．18．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，平面CDEF ⊥平面ABCD ，FC FB =，四边形ABCD 为平行四边形，且45BCD ∠=.（1）求证：CD BF ⊥； （2）若22AB EF ==，BC =BF 与平面ABCD 所成角为45，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值.19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆221221x y C a b+=： ()1a b >≥的离心率e =圆1C 上一点M 到点()30，Q 的距离的最大值为4． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设1016A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，N 为抛物线22x y C =：上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于B ，C 两点，求ABC ∆面积的最大值．xOy N 2C 1C20．（本小题满分12分）某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[]0,2，(2,4]，…，(]14,16分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.（图1） （图2）（1）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．① 现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；② 试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（2）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费y (元)与月份x 的散点图，其拟合的线性回归方程是233y x =+. 若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．21. 已知函数为自然对数的底数).（1）若，求函数的单调区间； （2）若，且方程在内有解，求实数的取值范围.e e bx ax xf x()12()(2-++=21=a )(x f 1)1(=f 1)(=x f )1,0(a选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：y x =2．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=． （Ⅰ）求曲线1C 与曲线2C 交点的极坐标；（Ⅱ）曲线3C ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 23121（t 为参数）交曲线1C 于,A C 两点，交曲线2C 于B D ，两点，（ D C B A ，，，在曲线3C 上顺序排列），求AB CD +.23. 选修4-5：不等式选讲已知()||f x x a =+（a R ∈）．（1）若()|23|f x x ≥+的解集为[]3,1--，求a 的值；（2）若对任意x R ∈，不等式2()||2f x x a a a +-≥-恒成立，求实数a 的取值范围．2019年高考理科数学模拟卷（二）参考答案一、选择题1-6：ABDBAD 7-12：CADBCB二、填空题13．43 14．3 15. 0102=-+y x 16．92⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 三、解答题17. 解：（1）因为4c =，2b =，所以1cos 4C =． 由余弦定理得22224161cos 244a b c a C ab a +-+-===， 所以4a =，即4BC =，在ACD ∆中，2CD =，2AC =，所以2222cos 6AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠=，所以AD =（2）因为AE 是BAC ∠的平分线，所以1sin 221sin 2ABE ACEAB AE BAES AB S AC AC AE CAE ∆∆⋅⋅∠===⋅⋅∠，又ABE ACE S BES EC ∆∆=，所以2BE EC =，所以1433CE BC ==，42233DE =-=， 又因为1cos 4C =，所以sin C ==，所以1sin 2ADE S DE AC C ∆=⨯⨯⨯= 18. 解：（1）过F 作FO CD ⊥交CD 于O ，连接BO .由平面CDEF ⊥平面ABCD ，得FO 平面ABCD ，因此FO OB ⊥. ∴FB FC =，FO FO =，90FOC FOB ∠=∠=， ∴FOC FOB ∆≅∆，∴OB OC =.由已知45DCB ∠=得BOC ∆为等腰直角三角形，因此OB CD ⊥，又CD FO ⊥，∴CD ⊥平面FOB ，∴CD FB ⊥.（2）∵//AB CD ，AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，∴//AB 平面CDEF . ∵平面ABEF平面CDEF EF =，∴//AB EF .由（1）可得OB ，OC ，OF 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由题设可得45FBO ∠=，进而可得1,2,0A -（），1,0,0B （），0,1,0C （），0,1,0)D -（，(0,1,1)E -，(0,0,1)F ，设平面ADE 的法向量为111(,,)m x y z =，则00m AD m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100x y z -+=⎧⎨=⎩，可取(1,1,0)m =.设平面BCF 的法向量为222(,,)n x y z =，则00n BC n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，可取(1,1,1)n =. 则cos ,m n m n m n⋅<>=⋅==，∴二面角的余弦值为319. 解：（1）因为2222223,4c a b e a a -===所以224a b =. 则椭圆方程为222214x x b b+=，即22244x y b +=.设()M xy ，，则MQ====当1y =-时，max MQ =4=,解得21b=,则24a=.故椭圆1C 方程为：2214x x +=.（2）设曲线22:C y x =上的点2(,)N t t ,2y x '=,直线BC ：22()y t t x t -=-.即22y tx t =-，代入1C 方程2214x x +=，得2234(116)16440t x t x t +-+-=.则4216(161)t t ∆=-++,321212221644,116116t t x x x x t t-+==++.所以12BC x =-==设点A 到直线BC 距离为d，则2d =所以212S ∆=8==.当t =±0∆>,满足题意. 综上，ABC ∆面积的最大值为8.20. 解：（1）①由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为110，因此这5户居民恰好3户居民的月用水用量都这超过12吨的概率为 33251981()()101010000P C ==． ② 由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率所以全市居民用水价格的期望()40.9 4.20.06 4.60.04 4.04E X =⨯+⨯+⨯≈吨． (2) 设李某2016年1～6月份的月用水费y （元）与月份x 的对应点为(,)(1,2,3,4,5,6)i i x y i =， 它们的平均值分别为x ，y ，则126216x x x x +++==，又点(,)x y 在直线233y x =+上，所以40y =，因此126240y y y +++=，所以7月份的水费为294.624054.6-=元． 设居民月用水量为吨，相应的水费为()f t 元，则4, 012,()48(12) 6.6, 12<14,61.2(14)7.8 1416,t t f t t t t t <≤⎧⎪=+-⨯≤⎨⎪+-⨯<≤⎩ 即4, 012,()2 6.631.2, 12<14,7.848, 1416,t t f t t t t t <≤⎧⎪=-≤⎨⎪-<≤⎩当13t =时，() 6.61331.254.6f t =⨯-=，所以李某7月份的用水吨数约为13吨．t21. 解: （1）当，， 令，得，. 当时，.当，时，，或时，当，时，，或时，.∴时，的单调递减区间为；时，的单调递增区间为，递减区间为，； 时，的单调递增区间为，递减区间为，（2）由得，，由1)(=x f 得，设， 则在内有零点.设为在内的一个零点， 则由知在区间和上不可能单调.设，则在区间和上均存在零点，即在上至少有两个零点，.当时，，在区间上递增，不可能有两个及以上零点； 当时，，在区间上递减，不可能有两个及以上零点；当时，令得，所以在区间上递减，在上递增，在区间上存在最小值 若有两个零点，则有：，，设，则，令，得.21=a x e bx x x f -++=)1()(2x eb x b x x f --+-+-=']1)2([)(20)(='x f 11=x b x -=120=b 0)(≤'x f 0>b 11<<-x b 0)(>'x f b x -<11>x 0)(<'x f 0<b b x -<<110)(>'x f b x ->11<x 0)(<'x f 0=b )(x f ),(+∞-∞0>b )(x f )1,1(b -)1,(b --∞),1(+∞0<b )(x f )1,1(b -)1,(-∞),1(+∞-b 1)1(=f e b a =++12a e b 21--=122++=bx ax e x 12)(2---=bx ax e x g x)(x g )1,0(0x )(x g )1,0(0)1(,0)0(==g g )(x g ),0(0x )1,(0x )()(x g x h '=)(x h ),0(0x )1,(0x )(x h )1,0(b ax e x g x --='4)(a e x h x 4)(-='41≤a 0)(>'x h )(x h )1,0()(x h 4ea ≥0)(<'x h )(x h )1,0()(x h 441ea <<0)(='x h )1,0()4ln(∈=a x )(x h ))4ln(,0(a )1),4(ln(a )(x h )1,0())4(ln(a h )(x h 0))4(ln(<a h 0)0(>h 0)1(>h )441(1)4ln(46)4ln(44))4(ln(e a e a a a b a a a a h <<-+-=--=)1(,1ln 23)(e x e x x x x <<-+-=ϕx x ln 21)(-='ϕ0)(='x ϕe x =当时，，递增，当时，，递减，，所以恒成立由，，得. 当时，设的两个零点为，则在递增，在 递减，在递增，所以，，则在内有零点. 综上，实数的取值范围是.22. 解：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为：]0[(sin cos 2πθθθρ，∈=⎩⎨⎧==θρθθρsin 4sin cos 2，得0sin =θ或21cos ±=θ. ∴曲线1C 与曲线2C 交点的极坐标为2(00))()33ππ-，，，，，.（或用直角坐标方程求出交点直角坐标，再转化为极坐标）（Ⅱ）3C 是过点（0，1）倾斜角为60的直线的参数方程，设A B C D ，，，点对应的参数分别为4321t t t t ，，，.把 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 23121代入曲线1C 得04322=--t t ,13t t ∴+=.曲线2C 的直角坐标方程为0422=-+y y x .将 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 23121代入曲线2C 得0332=--t t ，24t t ∴+=()()12341234AB CD t t t t t t t t ∴+=-+-=-+-()()1324t t t t =+-+=23. 解：（1）()|23|f x x =+，即|||23|x a x +≥+，平方整理得，223(122)90x a x a +-+-≤，所以3-，1-是方程223(122)90x a x a +-+-=的两根，e x <<10)(>'x ϕ)(x ϕe x e <<0)(<'x ϕ)(x ϕ01)()(max <-+==e e e x ϕϕ0))4(ln(<a h 0221)0(>+-=-=e a b h 04)1(>--=b a e h 2122<<-a e 2122<<-a e )(x h 21,x x )(x g ),0(1x ),(21x x )1,(2x 0)0()(1=>g x g 0)1()(2=<g x g )(x g ),(21x x a )21,22(-e[11] 所以21224,393,3a a -⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩解得0a =．（2）()|||()()|2||f x x a x a x a a +-≥+--=，因为对任意x R ∈，2()||2f x x a a a +-≥-恒成立，所以22||2a a a ≥-， 当0a ≥时，222a a a ≥-，解得04a ≤≤；当0a <时，222a a a -≥-，此时满足条件的a 不存在，综上可得，实数a 的取值范围是[]0,4．。
2019年全国普通高等学校招生统一考前模拟理科数学试题(全国Ⅱ卷)Word版含解析
2019年全国普通高等学校招生统一考前模拟理科数学试题（全国Ⅱ卷）一、选择题1．已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 【答案】A【解析】试题分析：要使复数z 对应的点在第四象限应满足：m 30m 10+>⎧⎨-<⎩，解得3m 1-<<，故选A.【考点】 复数的几何意义.2．已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C【解析】试题分析：集合B {x |1x 2,x Z}{0,1}=-<<∈=，而A {1,2,3}=，所以A B {0,1,2,3}=，故选C.【考点】 集合的运算.3．已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m=（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】试题分析：向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.【考点】 平面向量的坐标运算、数量积.4．圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ） （A ）43-（B ）34- （C（D ）2 【答案】A【解析】试题分析：圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：1d ==，解得43a =-，故选A ．【考点】 圆的方程、点到直线的距离公式.5．如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【答案】B【解析】试题分析：由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短有24C 条路，再从F 处到G 处最短共有13C 条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为214318C C ⋅=条，故选B.【考点】 计数原理、组合.6．下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为122416S ππ=⋅⋅=，圆锥的侧面积为2122482S ππ=⋅⋅⋅=，圆柱的底面面积为2324S ππ=⋅=，故该几何体的表面积为12328S S S S π=++=，故选C.【考点】 三视图，空间几何体的体积.7．若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】试题分析：由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B. 【考点】 三角函数的图象变换与对称性.8．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2,2x n ==，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（ ）（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【答案】C【解析】试题分析：由题意，当2,2,0,0x n k s ====，输入2a =，则0222,1s k =⋅+==，循环；输入2a =，则2226,2s k =⋅+==，循环；输入5a =，62517,32s k =⋅+==>，结束.故输出的17s =，选C.【考点】 程序框图，直到型循环结构.9．若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换.10．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n【答案】C【解析】试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为224S R mS R nπ==圆正方形，所以4m n π=.选C.【考点】 几何概型.11．已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ） （A（B ）32（C（D ）2【答案】A【解析】试题分析：因为1MF 垂直于x 轴，所以2212,2b b MF MF a a a==+，因为211sin 3MF F ∠=，即2122132b MF ab MF a a==+，化简得b a =，故双曲线离心率e ==选A. 【考点】双曲线的性质.离心率.12．已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C【解析】试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C.【考点】 函数图象的性质二、填空题13．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A B A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a bA B=，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 三角函数和差公式，正弦定理.14．,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ．.（填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④【解析】试题分析：对于①，,,//m n m n αβ⊥⊥，则,αβ的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为//n α，所以过直线n 作平面γ与平面β相交于直线c ，则//n c ，因为,,m m c m n α⊥∴⊥∴⊥，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.【考点】 空间中的线面关系.15．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ． 【答案】1和3【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.【考点】 推理.16．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 【答案】1ln 2-【解析】试题分析：对函数ln 2y x =+求导得1y x'=，对l n (1)y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与函数l n 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与函数l n (1y x =+相切于点222(,)P x y ，则1122l n 2,l n (1)y x y x =+=+，则点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-，由222(,)P x y 在切线上得2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以122212111ln(1)ln 1x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=-⎪+⎩，解之得11111,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-. 【考点】 导数的几何意义.三、解答题17．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，． （Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项n a ，再根据已知条件求111101b b b ，，；（Ⅱ）用分段函数表示n b ，再由等差数列的前n 项和公式求数列{}n b 的前1 000项和．试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======（Ⅱ）因为0,110,1,10100,2,1001000,3,1000.n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪=⎩所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯=【考点】等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算. 18．某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，求X 的分布列为，在根据期望公式求解.. 【解析】试题分析： 试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+= 又()()P AB P B =，故()()0.153(|).()()0.5511P AB P B P B A P A P A ==== 因此所求概率为3.110.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.051.23EX a a a a a a a=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23 【考点】 条件概率，随机变量的分布列、期望.19．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到'D EF ∆位置，OD '=（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）25. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证//AC EF ，再证'D H OH ⊥，最后证'D H ABCD ⊥平面；（Ⅱ）用向量法求解.试题解析：（Ⅰ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由AE CF =得AE CFAD CD=，故//AC EF .因此EF HD ⊥，从而'EF D H ⊥.由5AB =,6AC =得04DO B ===.由//EF AC 得14OH AE DO AD ==.所以1OH =，'3D H DH ==. 于是1OH =，'222'23110D H OH DO +=+==，故'D H OH ⊥.又'D H EF ⊥，而OH EF H ⋂=，所以'D H ABCD ⊥平面.（Ⅱ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()'0,0,3D ，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()'3,1,3AD =.设()111,,m x y z =是平面'ABD 的法向量，则'm AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩，所以可以取()4,3,5m =-.设()222,,n x y z =是平面'ACD 的法向量，则'0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，所以可以取()0,3,1n =-.于是cos ,50m n m n m n⋅<>=== 295sin ,25m n<>=因此二面角'B D A C --. 【考点】线面垂直的判定、二面角.20．已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）).【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k .试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749=⨯⨯⨯=. （Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM 的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk x x t k t +++-=.由(22123t k x tk ⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x ==由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-，故同理可得AN ==， 由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当k =因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332132022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩2k <.因此k 的取值范围是).【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 21．（Ⅰ）讨论函数xx 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>； （Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax ag x x -->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21(,].24e .【解析】试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当(0,)x ∈+∞时，()(0)f x f >证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数()g x 的最值，在构造新函数00h()2x e a x =+，又用导数法求解.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.222(1)(2)(2)'()0,(2)(2)x x x x x e x e x e f x x x -+--==≥++ 且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增， 因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=- 所以(2)(2),(2)20xxx e x x e x ->-+-++>（Ⅱ）22(2)(2)2()(()),x x e a x x g x f x a x x-+++==+ 由（Ⅰ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =，当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减；当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增.因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)+()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+ 于是00h()2x e a x =+，由2(1)()'0,2(2)2x x x e x e e x x x +=>+++单调递增 所以，由0(0,2],x ∈得002201().2022224x e e e e h a x =<=≤=+++ 因为2x e x +单调递增，对任意21(,],24e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),a f x =∈ 使得(),h a λ=所以()h a 的值域是21(,],24e 综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有()h a ，()h a 的值域是21(,].24e 【考点】 函数的单调性、极值与最值.22．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（Ⅱ）先将直线l 的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得l 的斜率．试题解析：（Ⅰ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB得23cos ,tan 8αα==， 所以l. 【考点】圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.23．选修4—5：不等式选讲 已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+．【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）先去掉绝对值，再分12x <-，1122x -≤≤和12x >三种情况解不等式，即可得M ；（Ⅱ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+． 试题解析：（Ⅰ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时， ()2f x <；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而 22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<， 因此|||1|.a b ab +<+【考点】绝对值不等式，不等式的证明.。
2019届全国高考仿真模拟(二)数学(理科)试题
2019届全国高考仿真模拟(二)理科数学本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2S =，{}243T x x x =<-，则S T =I （ ）A ．{}1B ．{}2C ．1D ．22.（2017·桂林市模拟）复数()()1z a i i =+-，a R ∈，i 是虚数单位.若2z =，则a =（ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．1±3.（2017·福建质检）某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x 与销售利润y 的统计数据如下表： 广告费用x（万元） 2 3 5 6 销售利润y （万元）57911由表中数据，得线性回归方程l ：$$y bx a =+$，()()()$121,ni i i n i i x x y y b a y bx x x ==⎛⎫-- ⎪ ⎪==- ⎪- ⎪⎝⎭∑∑$$，则下列结论错误的是（ ） A ．0b>$ B ．$0a > C ．直线l 过点()4,8 D ．直线l 过点()2,5 4.已知数列{}n a 为等差数列，231a a +=，10119a a +=，则56a a +=（ ） A ．4 B ．5 C.6 D ．7 5.（2017·沈阳市质检）已知函数()5log ,0,2,0,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则125f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．4B ．14 C.4- D ．14- 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．93+．1823+933 D ．18327.（2017·兰州市实战考试）已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC △为等腰直角三角形，则实数a 的值为（ ）A ．17或1- B ．1- C.1或1- D ．1 8.按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框应补充的条件为（ ）A ．7i >B ．7i ≥ C.9i > D ．9i ≥9.已知三棱锥P ABC -，在底面ABC △中，60A ∠=o ，90B ∠=o，3BC =，PA ⊥平面ABC ，2PA =，则此三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．823π B ．43π C.423πD ．8π 10.（2017·昆明市统测）过点()1,2A 的直线l 与x 轴的正半轴交于点B ，与直线22l y x '=:交于点C ，且点C 在第一象限，O 为坐标原点，设OB x =，若()f x OB OC =+，则函数()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．11.（2017·广州市模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（ ）A ．20x y ±=B ．20x y ±= C.430x y ±= D ．340x y ±= 12.（2017·沈阳市一监）已知偶函数()()0f x x ≠的导函数为()f x '，且满足()10f =，当0x >时，()()2xf x f x '<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()(),10,1-∞-UB ．()(),11,-∞-+∞U C.()()1,01,-+∞U D ．()()1,00,1-U第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.（2017·贵阳市监测）已知向量()1,1m λ=+u r ，()2,2n λ=+r，若()()//m n m n +-u r r u r r ，则λ= ．14.如果实数x ，y 满足条件20,20,10,x y x y --≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则3z x y =+的最小值为 ．15.（2017·德州市模拟）()()4211x x x ++-展开式中2x 的系数为 ．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()12n n a S n N *+=∈，则n a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos cos 2B A Ca b c-=-. （1）求ab的值； （2）)若角A 是钝角，且3c =，求b 的取值范围.18. 某人经营一个抽奖游戏，顾客花费2元钱可购买一次游戏机会，每次游戏中，顾客从装有1个黑球，3个红球，6个白球的不透明袋子中依次不放回地摸出3个球(除颜色外其他都相同)，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客获得一等奖、二等奖、三等奖、四等奖时分别可领取奖金a 元，10元、5元、1元．若经营者将顾客摸出的3个球的颜色情况分成以下类别:A ：1个黑球，2个红球；B ：3个红球；C ：恰有1个白球；D ：恰有2个白球；E ：3个白球，且经营者计划将五种类别按照发生机会从小到大的顺序分别对应中一等奖、中二等奖、中三等奖、中四等奖、不中奖五个层次.（1）请写出一至四等奖分别对应的类别（写出字母即可）； （2）若经营者不打算在这个游戏的经营中亏本，求a 的最大值；（3）若50a =，当顾客摸出的第一个球是红球时，求他领取的奖金的平均值.19. （2017·长春市二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=o，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，点E ，F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.20. （2017·海口市调研）设直线()():10l y k x k =+≠与椭圆()22240x y m m +=>相交于A ，B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，O 为坐标原点.（1）证明：222414k m k >+；（2）若3AC CB =u u u r u u u r，求OAB △的面积取得最大值时椭圆的方程.21. （2017·广西质检）设函数()()21ln ,,02f x c x x bx b c R c =++∈≠，且1x =为()f x 的极值点.（1）若1x =为()f x 的极大值点，求()f x 的单调区间（用c 表示）； （2）若()0f x =恰有两解，求实数c 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 和直线l 在该直角坐标系下的普通方程；（2）动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P 的坐标为()2,2-，求PB AB +的最小值.23.选修4-5：不等式选讲 设,,a b c R +∈且1a b c ++=.（1）求证：21222c ab bc ca +++≤； （2）求证：2222222a c b a c b b c a+++++≥. 试卷答案一、选择题1-5:BDDAB 6-10:BCBAB 11、12：CD 二、填空题13.0 14.2- 15.3 16.21,1,23, 2.n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩三、解答题 17.解析：（1）∵cos 2cos cos 2B A Ca b c-=-，∴()()cos 2cos cos 2c B A C a b -=-， 在ABC △中，由正弦定理有，sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos C B C A A C B C -=-，即()()sin 2sin B C A C +=+， ∵A B C π++=， ∴sin 2sin A B =，∴2ab=. （2）由余弦定理2222299493cos 02366b a b b b A b b b+-+--===<⋅∴b >∵b c a +>， ∴32b b +>， ∴3b <，② 由①②得b的范围是).18.解析：（1）()12133310103C C P A C C ⋅==， ()333310101C P B C C ==，()()1112613333101036C C C C P C C C +==， ()()21161333101060C C C P D C C +==， ()3633101020C P E C C ==，∵()()()()()P B P A P E P C P D <<<<. ∴中一至四等奖分别对应的类别是B ，A ，E ，C . （2）设顾客进行一次游戏经营者可盈利χ元，则P3101C 3103C 31020C 31036C 31060C ∴()310122460361200a C -+--++≥， ∴74a ≤，即a 的最大值为74元.（3）此时中一等奖的概率22122991C P C C ==；中二等奖的概率1121222992C C P C C ⋅==； 中三等奖的概率30P =，中四等奖的概率()1126224229918C C C P C C +==， ∴()2915038225011020118==369C +⨯+⨯++⨯元， 即此时顾客领取的奖金的平均值为229元. 19.解析：（1）证明：作//FM CD 交PC 于M . ∵点F 为PD 中点， ∴12FM CD =. ∵点E 为AB 中点， ∴12AE AB FM ==， 又//AE FM ，∴四边形AEMF 为平行四边形， ∴//AF EM ，∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ， ∴直线//AF 平面PEC .（2）已知60DAB ∠=o，∴DE DC ⊥， 如图，建立空间直角坐标系，则()0,0,1P ，()0,1,0C ，3,0,02E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,,022A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，31,,022B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.所以，31,,122AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()0,1,0AB =u u ur .设平面PAB 的一个法向量为：(),,n x y z =r，∵0,0,n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 则：310,20,x y z y ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩解得：31,0,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ， 所以平面PAB 的法向量为：31,0,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r . ∵()0,1,1PC =-u u u r，∴设向量n r 和PC uuu r的夹角为θ，∴42cos n PC n PCθ⋅==-r u u u r r u u u r ， ∴PC 与平面PAB 所成角的正弦值为4214.20.解析：（1）依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故()1y k x =+可化为11x y k=-. 将11x y k=-代入2224x y m +=，消去x ， 得()()222214210k y ky k m +-+-=，① 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，()()2222441140k k m k ∆=--+>，整理得222414k m k >+. （2）设()11,A x y ，()22,B x y .由①，得122214ky y k+=+， 因为3AC CB =u u u r u u u r ，得123y y =-，代入上式，得2214k y k -=+.于是，OAB △的面积12222211221442k k S OC y y y k k =⋅-==≤=+， 其中，上式取等号的条件是241k =，即12k =±. 由2214k y k -=+，可得214y =±. 将12k =，214y =-及12k =-，214y =这两组值分别代入①，均可解出252m =.所以，OAB △的面积取得最大值时椭圆的方程是2228155x y +=. 21.解析：()2c x bx c f x x b x x++'=++=，又()10f '=，则10b c ++=，所以()()()1x x c f x x--'=且1c ≠.（1）因为1x =为()f x )的极大值点，所以1c >， 当01x <<时，()0f x '>；当1x c <<时，()0f x '<； 当x c >时，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为()0,1，(),c +∞；单调递减区间为()1,c . （2）①若0c <，则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()0f x =恰有两解，则()10f <，则102b +<， 所以102c -<<； ②若01c <<，则()()21ln 2f x f c c c c bc ==++极大值，()()112f x f b ==+极小值， 因为1b c =--，则()()22ln 1ln 022c c f x c c c c c c c =++--=--<极大值， ()12f x c =--极小值，从而()0f x =只有一解； ③若1c >，则()()22ln 1ln 022c c f x c c c c c c c =++--=--<极小值， ()12f x c =--极大值，则()0f x =只有一解. 综上，使()0f x =恰有两解的c 的取值范围为102c -<<. 22.解析：（1）由曲线C 的参数方程1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩可得， ()22221cos sin 1x y αα-+=+=，所以曲线C 的普通方程为()2211x y -+=.由直线l的极坐标方程sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得()sin cos 4ρθθ+=，即4x y +=.（2）设点P 关于直线l 的对称点为(),Q a b ， 则()()224,22211,2a b b a -++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅-=---⎪⎩解得2,6,a b =⎧⎨=⎩ 由（1）知，曲线C 为圆，圆心坐标为()1,0C ，故11PB AB QB AB QC +=+≥-=.当Q ，B ，A ，C 四点共线，且A 在B ，C 之间时，等号成立，所以PB AB +1.23.证明：（1）因为()222221222422a b c a b c ab bc ca ab bc ca c =++=+++++≥+++， 所以()22112422222c ab bc ca ab bc ca c +++=+++≤. （2）因为222a c ac b b +≥，222b a ab c c +≥，222c b bc a a+≥， 所以222222a c b a c b ac ab ab bc ac bc b c a bc c a b a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2222c b a c a b a b c a b c b c c a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++≥++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。
(完整)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)
2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0， 则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =， 则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视； 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=， 将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增． （2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-， 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-， 又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432． 【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）． （2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=， 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． （2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。
2019年高考理科数学模拟仿真卷2含答案
2019年高考模拟仿真卷 理科 数 学（2）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．复数2=（ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图．该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元4．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点与右顶点的直线方程为240x y +-=，则椭圆C的标准方程为（ ）A ．221164x y +=B ．221204x y +=C ．221248x y +=D ．221328x y +=5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,e -，且与曲线()y f x =相切，则直线l 的斜率为（ ） A ．2-B ．2C ．e -D ．e7．函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，π2ϕ<）的图象如图所示，为了得到()sin 3g x A x =的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．右平移π4个单位长度 B ．左平移π4个单位长度 C ．右平移π12个单位长度 D ．左平移π12个单位长度 8．如图，在ABC △中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．349．如图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ）A ．4πB ．2πC ．4π3D ．π10．在四面体ABCD 中，1AB =，BC CD ==AC ABCD 的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A ．2πB ．3πC ．6πD ．8π11．已知函数()sin f x x x =-，且()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ） A ．π3B ．π2C ．2π3D ．3π412．函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],a b D ⊆使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称()y f x =为“半保值函数”，若函数()()2log x a f x a t =+（0a >且1a ≠）是“半保值函数”，则t 的取值范围为（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,00,22⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若x ，y 满足01010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的最大值为______．14．设函数()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，若()1f m >，则实数m 的取值范围是______．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：222430x y x y +---=与x 轴交于A ，B 两点，若动直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且CMN △的面积为4，若P 为MN 的中点，则PAB △的面积最大值为_______．16．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，则ABC △面积的最大值是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{}n a 满足12a =，()()()2121232n n n a n a n n ++=+-++，设1nn a b n =+． （1）求1b ，2b ，3b ；（2）判断数列{}n b 是否为等差数到，并说明理由； （3）求数列{}n a 的通项公式．18．（12分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km ，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：（1）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；（2）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X元，求X的分布列；（3）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为ξ元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为η元．试比较ξ和η的方差Dξ和Dη大小．（结论不需要证明）19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD-中，AB PC⊥，AD BC∥，AD CD⊥，且22PC BC AD CD====，2PA=．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M AC D--的大小为60︒？如果存在，求PMPD的值；如果不存在，请说明理由．20．（12分）已知ABC△的直角顶点A在y轴上，点()1,0B，D为斜边BC的中点，且AD 平行于x轴．（1）求点C 的轨迹方程；（2）设点C 的轨迹为曲线Γ，直线BC 与Γ的另一个交点为E ．以CE 为直径的圆交y 轴于M 、N ，记此圆的圆心为P ，MPN α∠=，求α的最大值．21．（12分）已知函数()ln e x f x a x =-，a ∈R ． （1）试讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若a *∈N ，且()0f x <恒成立，求a 的最大值． 参考数据：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；（2）若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，求这三个点的极坐标．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·吉林期末]已知函数()2f x x a x a =++-． （1）当1a =时，求不等式()42f x x ≥-+的解集；（2）设0a >，0b >，且()f x 的最小值为t ．若33t b +=，求12a b+的最小值．理科数学答案（2）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】∵()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5,82AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()5Z AB =．故选C ．2．【答案】D【解析1i i --==，∴22i22⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭．故选D ． 3．【答案】D【解析】设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：600015%10%100x ⨯-⨯=． 解得8000x =．故选D ． 4．【答案】A【解析】直线方程为240x y +-=，令0x =，则2y =，得到椭圆的上顶点坐标为()0,2，即2b =， 令0y =，则4x =，得到椭圆的右顶点坐标为()4,0，即4a =，从而得到椭圆方程为：221164x y +=．故选A ．5．【答案】B【解析】在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线有：1AD ，AC ，11D B ，1B C ，共4条．故选B ． 6．【答案】B【解析】函数()ln f x x x =的导数为()ln 1f x x '=+，设切点为(),m n ，则ln n m m =，可得切线的斜率为1ln k m =+， ∴e ln e1ln n m m m m m+++==，解得e m =，1lne 2k =+=，故选B ． 7．【答案】C【解析】由题意，根据选项可知只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故3ω=， 又函数的图象的第二个点是π,04⎛⎫⎪⎝⎭，∴π3π4ϕ∴⨯+=，∴π4ϕ=，∴()πsin 34f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()ππsin 3sin 3124g x A x A x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴只需将函数()f x 的图形要向右平移π12个单位，即可得到()g x 的图象，故选C ． 8．【答案】C【解析】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-， 又23AN NC =，∴25AN AC =，∴()215AP mAC m AB =+-， 又13AP t AB AC =+，∴12153m tm -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得56m =，16t =，故选C ．9．【答案】B【解析】应用可知几何体的直观图如图：是圆柱的一半，可得几何体的体积为：211π42π2⨯⨯=．故选B ．10．【答案】C【解析】∵1AB =，BCAC 222AB AC BC +=， ∴ABC △是以BC为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆直径为BC = 当CD ⊥平面ABC 时，四面体ABCD 的体积取最大值，此时，其外接球的直径为2R =因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为()224ππ26πR R =⨯=．故选C ． 11．【答案】C【解析】∵()1πsin 2sin 2sin 23f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()()124f x f x ⋅=-，即12ππ2sin 2sin 433x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴12ππ2sin sin 233x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴12ππsin sin 133x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1πsin 13x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且2πsin 13x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭或2πsin 13x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且1πsin 13x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．∴11ππ2π32x k -=+，22ππ2π32x k -=-，或21ππ2π32x k -=+，12ππ2π32x k -=-，k ∈Z ．∴()()12122π2π3x x k k k +=++∈Z ， 显然，当120k k +=时，12x x +的最小值为2π3，故选C ． 12．【答案】B【解析】函数()()2log x a f x a t =+（0a >且1a ≠）是“半保值函数”，且定义域为R ， 由1a >时，2x z a t =+在R 上递增，log a y z =在()0,+∞递增，可得()f x 为R 上的增函数；同样当01a <<时，()f x 仍为R 上的增函数， ∴()f x 在其定义域R 内为增函数，∵函数()()2log x a f x a t =+（0a >且1a ≠）是“半保值函数”，∴()2log x a y a t =+与12y x =的图象有两个不同的交点，()21log 2x a a t x +=有两个不同的根，∴122x x a t a +=，1220x xaa t -+=，可令12x u a =，0u >，即有220u u t -+=有两个不同的正数根，可得2140t ->，且20t >，解得11,00,22t ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1【解析】由x ，y 满足01010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图，联立010y x y =⎧⎨+-=⎩，解得()1,0A ，函数2z x y =-为22x z y =-，由图可知，当直线22x zy =-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 的最大值为1．故答案为1． 14．【答案】()(),0e,-∞+∞【解析】如图所示：可得()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的图像与1y =的交点分别为()0,1，()e,1，∴()1f m >，则实数m 的取值范围是()(),0e,-∞+∞，可得答案()(),0e,-∞+∞．15．【答案】8【解析】当0y =时，2230x x --=解得1x =-或3x =，即()1,0A -，()3,0B ， 圆的标准方程：()()22128x y -+-=圆心()1,2C，半径r =， CMN △的面积为4，即142S MCN =⨯∠=， 则sin 1MCN ∠=，即90MCN ∠=︒，4MN =，122CP MN ==，要使PAB △的面积最大，则CP AB ⊥，此时三角形的高224PD =+=，()314AB =--=， 则PAB △的面积14482S =⨯⨯=．故答案为8．16．【答案【解析】如图，设CDA θ∠=，则πCDB θ∠=-，在CDA △和CDB △中，分别由余弦定理可得2214cos c b c θ+-=，()2214cos πc a cθ+--=，两式相加，整理得()222202c a b +-+=，∴()22224c a b =+-，①由()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭及正弦定理得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，整理得2222aba b c +-=，②由余弦定理的推论可得2221cos 24a b c C ab +-==，∴sin C =． 把①代入②整理得2242aba b ++=，又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，∴54222ab ab ab ≥+=，故得85ab ≤．∴118sin 225ABC S ab C =≤⨯=△．即ABC △．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）11b =，23b =，35b =；（2）是，见解析；（3）221n a n n =+-． 【解析】（1）将1n =代入得123212a a =-，又12a =，∴29a =， 将2n =代入得234324a a =-，∴320a =；从而11b =，23b =，35b =． （2）数列{}n b 是以1为首项，公差为2的等差数列．由条件，将()()()2121232n n n a n a n n ++=+-++两边同时除以()()12n n ++得：()()()()()()()21123221212n nn a n n n a n n n n ++-+++=++++， 化简得1221n n a an n +-=++，即12n n b b +-=， ∴数列{}n b 是以1为首项，公差为2的等差数列． （3）由（2）可得()12121n b n n =+-=-，()()()2112121n n a n b n n n n =+=+-=+-．18．【答案】（1）()2126P A =；（2）见解析；（3）D D ξη=． 【解析】（1）记两站间票价不足5元为事件A ，在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为213C 78=个，事件A 中基本事件数为781563-=． ∴两站间票价不足5元的概率()2126P A =． （2）记甲乙花费金额分别为a 元，b 元．X 的所有可能取值为6，7，8，9，10．()()163,39P X P a b =====，()()()173,44,36P X P a b P a b ====+===，()()()()4983,55,34,4144P X P a b P a b P a b ====+==+===， ()()()595,44,524P X P a b P a b ====+===， ()()25105,5144P X P a b =====． ∴X 的分布列为（3）D D ξη=．19．【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面ABCD 中，AD BC ∥，AD CD ⊥，且22BC AD CD ===∴2AB AC ==，BC =AB AC ⊥， 又∵AB PC ⊥，ACPC C =，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴AB ⊥平面PAC ，又∵PA ⊂平面PAC ，∴AB PA ⊥，∵2PA AC ==，PC =PA AC ⊥， 又∵PA AB ⊥，ABAC A =，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD ． （2）方法一：在线段AD 上取点N ，使2AN ND =，则MN PA ∥，又由（1）得PA ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ， 又∵AC ⊂平面ABCD ，∴MN AC ⊥，作NO AC ⊥于O ， 又∵MNNO N =，MN ⊂平面MNO ，NO ⊂平面MNO ，∴AC ⊥平面MNO ，又∵MO ⊂平面MNO ，∴AC MO ⊥，又∵AC NO ⊥，∴MON ∠是二面角M AC D --的一个平面角，设PMx PD=，则()122MN x AP x =-=-，ON AN x ===， 这样，二面角M AC D --的大小为60︒，即22tan tan60MN x MON ON x -∠===︒=，即4PMx PD==-∴满足要求的点M 存在，且4PMPD=-． 方法二：取BC 的中点E ，则AE 、AD 、AP 三条直线两两垂直 ∴可以分别以直线AE 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，且由（1）知()0,0,2AP =是平面ACD 的一个法向量，设()0,1PMx PD=∈，则()122MN x AP x =-=-，AN xAD ==，∴(),22AM x =-，()2,AC =，设(),,AQ a b c =是平面ACM 的一个法向量， 则()222020AQ AM xb x c AQ AC a ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，∴a b c =-⎧⎪⎨=⎪⎩，令22b x =-，则()22,2AQ x x =-+-，它背向二面角， 又∵平面ACD 的法向量()0,0,2AP =，它指向二面角， 这样，二面角M AC D --的大小为60︒， 即1cos cos6022,AP AQAP AQ AP AQ===︒=⋅⋅⋅， 即4x =-∴满足要求的点M 存在，且4PMPD=-． 20．【答案】（1）()240y x x =≠；（2）2π3． 【解析】（1）设点C 的坐标为(),x y ，则BC 的中点D 的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，点A 的坐标为0,2y ⎛⎫⎪⎝⎭． 1,2y AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,2y AC x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由AB AC ⊥，得204y AB AC x ⋅=-=，即24y x =，经检验，当点C 运动至原点时，A 与C 重合，不合题意舍去． ∴轨迹Γ的方程为()240y x x =≠．（2）依题意，可知直线CE 不与x 轴重合，设直线CE 的方程为1x my =+， 点C 、E 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，圆心P 的坐标为()00,x y ． 由241y x x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，可得2440y my --=，∴124y y m +=，124y y =-． ∴()21212242x x m y y m +=++=+，∴2120212x x x m +==+． ∴圆P 的半径()()221211124422222r CE x x m m ==++=+=+．过圆心P 作PQ MN ⊥于点Q ，则2MPQ α∠=．在Rt PQM △中，2022211cos 122222PQx m r r m m α+====-++， 当20m =，即CE 垂直于x 轴时，cos 2α取得最小值为12，2α取得最大值为π3，∴α的最大值为2π3． 21．【答案】（1）见解析；（2）10．【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．()'e x af x x=-，当0a ≤时，()'0f x <， ()f x 在定义域()0,+∞单调递减，()f x 没有极值点；②当0a >时，()'e x af x x=-在()0,+∞单调递减且图像连续， ()'1e 0a f a =-<，0x →时()'f x →+∞，∴存在唯一正数0x ，使得()0'0f x =，函数()f x 在()00,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减， ∴函数()f x 有唯一极大值点0x ，没有极小值点， 综上：当0a ≤时，()f x 没有极值点；当0a >时，()f x 有唯一极大值点，没有极小值点． （2）方法一：由（1）知，当0a >时，()f x 有唯一极大值点0x ，∴()()000max ln e x f x f x a x ==-，()0f x <恒成立()00f x ⇔<，∵00e x a x =，∴()000001ln ln 0a f x a x a x x x ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，∴001ln 0x x -<．令()1ln h x x x=-，则()h x 在()0,+∞单调递增， 由于()11.74ln1.7401.74h =-<，()11.8ln1.801.8h =->， ∴存在唯一正数()1.74,1.8m ∈，使得()0h m =，从而()00,x m ∈． 由于()000ln e 0x f x a x =-<恒成立，①当(]00,1x ∈时，()000ln e 0x f x a x =-<成立； ②当()01,x m ∈时，由于00ln e0x a x -<，∴0e ln x a x <．令()e ln xg x x =，当()1,x m ∈时，()()21e ln 0ln x x x g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=<， ∴()e ln xg x x=在()1,m 单调递减，从而()a g m ≤．∵()()1.74g m g <，且() 1.74e 1.7410.3ln1.74g =≈，且a *∈N ，∴10a ≤．下面证明10a =时，()10ln e 0x f x x =-<．()10e xf x x'=-，且()f x '在()0,+∞单调递减，由于()'1.740f >，()'1.80f <， ∴存在唯一()0 1.74,1.8x ∈，使得()00010'e 0x f x x =-=，∴()()()00000max 0010110ln e 10ln1010ln10x f x f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫==-=--=-+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 令()110ln10u x x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1.74,1.8x ∈，易知()u x 在()1.74,1.8单调递减，∴()()()11.7410ln10 1.74102.303 2.3101.74u x u ⎡⎤⎛⎫<=-+<-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()()00max 0110ln100f x f x x x ⎡⎤⎛⎫==-+<⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即10a =时，()10ln e 0x f x x =-<．∴a 的最大值是10．方法二：由于()0f x <恒成立， ∴() 1.61.6ln1.6e0f a =-<，16e 10.5ln1.6a <≈．；()171.7ln1.7e 0f a =-<．，17e 10.3ln1.7a <≈．；()181.8ln1.8e0f a =-<．，18e 10.3ln1.8a <≈．；∵a *∈N ，∴猜想：a 的最大值是10． 下面证明10a =时，()10ln e 0x f x x =-<．()10e xf x x'=-，且()f x '在()0,+∞单调递减，由于()'1.740f >，()'1.80f <， ∴存在唯一()0 1.74,1.8x ∈，使得()00010'e 0x f x x =-=，∴()()()00000max 0010110ln e10ln1010ln10x f x f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫==-=--=-+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令()110ln10u x x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1.74,1.8x ∈，易知()u x 在()1.74,1.8单调递减，∴()()()11.7410ln10 1.74102.303 2.3101.74u x u ⎡⎤⎛⎫<=-+<-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()()00max 0110ln100f x f x x x ⎡⎤⎛⎫==-+<⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即10a =时，()10ln e 0x f x x =-<．∴a 的最大值是10．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）224x y +=，20x -+=；（2）2π2,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π2,6C ⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）由2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α得224x y +=，即曲线1C 的普通方程为224x y +=，又由πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得ππsin cos cos sin 166ρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即为20x +=，即曲线2C的平面直角坐标方程为20x -+=． （2）∵圆心O 到曲线2C：20x -+=的距离112d r ===，如图所示，∴直线40x -+=与圆的切点A 以及直线0x -=与圆的两个交点B ，C 即为所求．∵OA BC ⊥，则OA k =OA l的倾斜角为2π3，即A 点的极角为2π3，∴B 点的极角为2πππ326-=，C 点的极角为2ππ7π326+=， ∴三个点的极坐标为2π2,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π2,6C ⎛⎫⎪⎝⎭．23．【答案】（1）[)7,1,3⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦（2）3+【解析】（1）当1a =时，()21f x x x =++-，原不等式可化为2214x x ++-≥，① 当2x ≤-时，不等式①可化为2414x x ---+≥，解得73x ≤-，此时73x ≤-；当21x -<<时，不等式①可化为2414x x +-+≥，解得1x ≥-，此时11x -≤<； 当1x ≥时，不等式①可化为2414x x ++-≥，解得13x ≥，此时1x ≥， 综上，原不等式的解集为[)7,1,3⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦．（2）由题意得，()()()223f x x a x a x a x a a =++-≥+--=， ∵()f x 的最小值为t ，∴3t a =，由333a b +=，得1a b +=，∴()12122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+=++≥++ ⎪⎝⎭当且仅当2b a a b =，即1a =，2b =时，12a b+的最小值为3+。
2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)
2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项:1 •答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。
2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 •非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。
4 •考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
目要求的.C . 1兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个 作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取 礼物都满意，则选法有（ ）、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题a i1. [2019南昌一模]已知复数za R 的实部等于虚部，则xx 3n 1,n N , B6,8,10,12,14，则集合AI B 中元素的个数为( )A . 2B . 33. [2019菏泽一模 ]已知向量 a 1, 1 , b22A .B .554. [2019 •州期末 ]已知圆 C 2x 1y A . x y 3 0B . x y 3 0C . 4D . 52,3 , 且aa mb ，则 m( )C . 0D . 1522 8,则过点 P 3,0 的圆C 的切线方程为（ )C . x2y 3 0D . x 2y 3又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、A . 30 种B . 50 种C . 60 种D . 90 种6. [2019汕尾质检]某空间几何体的三视图如图所示，正视图是底边长为 边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（3的等腰三角形，侧视图是直角 ）2. [2019梅州质检]已知集合A 5. [2019东北三校]中国有十二生肖,函数g x 的图象，则下列说法正确的是（）A •函数g x 的图象关于点 -,0对称 12B •函数g x 的周期是上2C .函数g x 在0, n上单调递增6 D .函数g x 在0, n上最大值是16& [2019临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（）开始/输出s/ 结束A .B .2C . 1D . 19. [2019重庆 中严门80 COS70cos20 ( )A .3B.1 C . 3D . 210..[2019揭阳一模]函数 f x 在 0, 单调递减, 且为偶函数. 若f 21，则满足f x 31的x 的取值范围是（ )A . 1,5B.1,3 C . 3,5D .2,27. [2019合肥质检]将函数f x2sin才 ------- 、\zWK'SC . n6n D .—181的图象上各点横坐标缩短到原来的 -（纵坐标不变）得到 2S=O, k=【2 211. ［2019陕西联考］已知双曲线C:£ 召数为（C . 3、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共20 分.13. ［2019江门一模］已知a 、b 、c 是锐角△ ABC 内角A 、B 、C 的对边，S 是厶ABC 的面积，若 a 8 , b 5, S 10丽，则 c _____________ . 14. ［2019景山中学］已知a , b 表示直线， ， , 表示不重合平面①若1 a , b , a b ，贝U;②若a ,a 垂直于 内任意一条直线，则 ;③若 ,I a ,Ib ，则 a b ;④若a,b, a // b ，则// .上述命题中, 正确命题的序号是15. ［2019林芝二中］某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音 主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同.下面是关于他们选课的一些信息：①甲同 学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学 不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视.若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的 课程是 （填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）216. ____________________________________________________________________________________ ［2019河南联考］若一直线与曲线 y elnx 和曲线y mx 相切于同一点P ，则实数m _____________________三、解答题：本大题共 6大题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （12分）［2019长郡中学］设正项数列 务 的前n 项和为S n ，且.盘 是a n 与a n 1的等比中项，其中 *n N .1 a 0,b 0的右焦点为F 2，若C 的左支上存在点M ，使得直线bx ay 0是线段MF 2的垂直平分线，则C 的离心率为（ C . 512. ［2019临川一中］若函数f x 在其图象上存在不同的两点A x i ,y i ,B X 2,y 2，其坐标满足条件: XX 2-22 %■ X 2忌的最大值为0，则称fx 为柯西函数 ”，则下列函数：①:②f Xln x 0 xe :③f xcosx ；2X 1•其中为柯西函数”的个（1）求数列a n的通项公式；18. （ 12分）［2019维吾尔一模］港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项 目，大桥建设需要许多桥梁构件•从某企业生产的桥梁构件中抽取 100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间 55,65 ， 65,75 ， 75,85内的频率之比为4: 2:1 .（1） 求这些桥梁构件质量指标值落在区间 75,85内的频率； （2） 若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取 3件，记这3件桥梁构件中质量指标值 位于区间45,75内的桥梁构件件数为 X ，求X 的分布列与数学期望.⑵设b nn 12a n 1，记数列b n 的前n 项和为T n ，求证：T 2n 1 .a n an 119. (12 分)[2019 淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD 中，AB// CD , AB 1 , CD 3 , AP 2 , DP 2.3 , PAD 60 , AB 平面PAD，点M 在棱PC 上.(1)求证：平面PAB 平面PCD ;(2)若直线PA//平面MBD，求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值.线被椭圆C i 截得的线段长为.2 .(1)求椭圆C i 的方程;在x 轴上方).且 AFM OFN .证明：直线I 过定点，并求出该定点的坐标.2 2X y20. ( 12分)[2019泰安期末]已知椭圆G ： 22a b1 a b 0的离心率为 2，抛物线C 2: y 224x 的准(2)如图,点A 、F 分别是椭圆G 的左顶点、左焦点直线 I 与椭圆G 交于不同的两点 M 、N ( M 、N 都21. （12分）［2019衡水中学］已知函数f x x2 3ax lnx, a R .1(1) 当a 时，求函数f x的单调区间；33(2) 令函数x x2 f x，若函数x的最小值为，求实数a 的值.2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. （10分）【选修4-4:坐标系与参数方程】[2019揭阳一模]以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2COS2 a2（a R , a为常数）），过点P 2,1、倾斜角为30的直线I的参数方程满足x 2 邑 ,（t2为参数）.（1）求曲线C的普通方程和直线I的参数方程；（2）若直线I与曲线C相交于A、B两点（点P在A、B之间），且PA PB 2，求a和|| PA PB||的值.23. （10分）【选修4-5:不等式选讲】[2019汕尾质检]已知f x 2x 2 x 1的最小值为t .行:：求t的值；1 '若实数a , b满足2a2 2b2 t，求J J 的最小值.a2 1 b222019届高三第三次模拟考试卷理科数学（二）答案12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 【答案】C2. 【答案】A3. 【答案】A4. 【答案】B【解析】•/ z L2ii a i T~2i-a i 的实部等于虚部，•-2 2 2-，即a 1 .故选C . 2【解析】由题意, 集合A 3n 1,n N , B 6,8,10,12,14 • AI B 8,14•••集合 AI B 中元素的个数为2 .故选A .【解析】a mb 1,12m,3m2m,3m 结合向量垂直判定，建立方程, 可得 2m 3m0 ,解得m2-，故选A . 5【解析】根据题意，圆 P 的坐标为 3,0 ,2 2 则有3 1 0 2 8，则P 在圆C 上，此时K CP 1，则切线的斜率k 1,则切线的方程为y x3，即x y 3 0,故选B .5.【答案】B 【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10中任意选,二共有 C ； 20 , 若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10中任意选,•共有 C 3 C 10 30 , •共有20 30 50种.故选B . 6.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分，正视图是底边长为3的等腰三角形,侧视图是直角边长为 1的等腰直角三角形，圆锥的高为 1，底面半径为俯视图是扇形，圆心角为2n,3、选择题：本大题共11.【答案】C几何体的体积为1 11 2n1 n.故选A .3 2397.【答案】C【解析】将函数f x 横坐标缩短到原来的—后，得到g x 2sin 2x —1,2 6 当x上时， f 上 1，即函数 g x 的图象关于点-,1对称，故选项A 错误;121212周期T 2 n 2n,故选项 B 错误；当x0, n 时, 2x nn n •, ,・・函数 g x 在 0,n上单调递增，故选项 C 正确；6 66 26.•函数g x 在 0,n上单调递增，• g xn dg 1，66即函数g x 在0,n上没有最大值，故选项 D 错误.故选C .6&【答案】A【解析】第一次循环，k 1 , S cosO 1 , k 1 1 2, k 4不成立; 第二次循环， k 2 , S 1n . cos 1 1 -,k 2 13 , k 4不成立；32 2第三次循环， k 3 , S 3 2 n cos — 3 11 , k 31 4 , k 4不成立;2 3 2 2第四次循环， k 4 , S 1 cos n 11 0 , k 4 15 , k 4成立，退出循环，输出S 0，故选A .9.【答案】C10.【答案】Ax 3 1 f 2 等价于 f X 3 f 2 ,.•函数f x 在0, 单调递减，••• x 32 , 2 x3 2 , 1 x 5，故选A .【解析】..2sin80 cos70 cos202sin 60 20 cos70cos202sin 60 cos20 2cos60 sin 20 cos702sin 60 cos20 sin 20 cos70cos20cos202sin 60 cos20cos202sin 60 3 .故选 C .【解析】.•函数f x 为偶函数,【解析】F2 C,0，直线bx ay 0是线段MF?的垂直平分线,可得F?到渐近线的距离为|F?Pbe b，即有|OP ■. e2b a ,由0P MF1F2的中位线，可得|MF i 2 OP 2a，MF2 2b，可得|MF^ |MF i 2a，即为2b 2a 2a，即b 2a，可得e eai ：2 i 4 5 •故选C.12.【答案】B【解析】由柯西不等式得:对任意实数X i , y i , X2 , y2, XX2 2y i y220恒成立, （当且仅当X i y2 X2 y i取等号）若函数f x在其图象上存在不同的两点x i,y i ,冷，y2 ，其坐标满足条件:XX2 y i y2 * y i2X22y22的最大值为0,则函数f x在其图象上存在不同的两点 A x i, y i , 冷，y2uuu UUU，使得OA , OB共线,即存在过原点的直线y kx与y f x的图象有两个不同的交点:对于①,方程kx x ix 0，即k ix2X i，不可能有两个正根，故不存在;由图可知不存在;，由图可知存在;，由图可知存柯西函数”的个数为2，故选B .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1S abs inC si nC22•••三角形为锐角三角形，故得到角C为丄,31 2再由余弦疋理得到cos —---- -------- .2 2b cc 7 . 故答案为73 2 2ab14. 【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确，对于②，a , a垂直于内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到又a ，则，故正确，对于③，，I a , I b，则a b或a// b，或相交，故不正确，对于④，可以证明/ ，故正确.故答案为②④.15. 【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音，故答案为影视配音.116. 【答案】丄2e 2【解析】曲线y elnx的导数为y'，曲线y mx2的导数为y 2mx ,x由2mx, x 0且m 0，得x ，即切点坐标应为玉，代入y e|n x得eln J e，解得m丄，故答案为—•V2m 2 2 2三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 【答案】(1) a n n ； (2)见解析.【解析】(1)^ . 2S?是a n 与a n 1的等比中项，••• 2S n a n a n 1 a n 2 a n , 当 n 1 时，2a i a i Q ，…a 1 .【解析】(1)设区间75,85内的频率为x ，则区间55,65 , 依题意得 0.004 0.0120.019 0.03 10 4x 2x x 1，解得 x•这些桥梁构件质量指标值落在区间75,85内的频率为0.05 .(2)从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取 3件，相当于进行了 3次独立重复实验,• X 服从二项分布B n, p ，其中n 3 . 由(1 )得，区间 45,75内的频率为0.3 0.2 0.1 0.6 ,将频率视为概率得 p 0.6 .v X 的所有可能取值为 0, 1 , 2, 3, 且 P X 0C 0 0.60 0.430.064 , P X 1 C ； 0.61 0.420.288 ,22133P X 2 C 3 0.6 0.4 0.432 , P X 3 C 3 0.6 0.4 0.216 .• X 的分布列为：X 服从二项分布B n, p , • X 的数学期望为EX 3 0.6 1.8 .19.【答案】(1)见解析；(2) —V195 .65 【解析】(1)v AB 平面PAD , • AB DP ,当n 2时，2a n a n 1，整理得 a n a n 1 a n a n 1 1又a n 0 anan 11 n2，即数列a n …a na 1n 1 d 1n 1 n .n 12n 1n 111(2) b n11n n 1n n 1 --T 2nb 1 b 2 b 3 Lb 2n1 1 1 122 3111 .2n 1是首项为1，公差为1的等差数列.1 1 L 4 1 1 1 1 3 2n 1 2n 2n 2n 165,75内的频率分别为4x 和2x .0.05 .2S n 2S n 1 2 ana n 2 an 118.【答案】(1) 0.05 ； (2)见解析.1，①2又••• DP 2.3 , AP 2 , PAD 60 ,由—PDsin PADPA sin PDA 可得 sin PDA2， PDA 30 , APD 90 DP AP ,••• AB I AP A ,二DP 平面PAB , ••• DP平面 PCD ,•••平面 PAB 平面 PCD ; (2)以点A 为坐标原点，AD 所在的直线为y 轴，AB 所在的直线为z 轴, 如图所示，建立空间直角坐标系, 其中 A 0,0,0 , B 0,0,1 , C 0,4,3 uur uuu从而BD 0,4, 1 , AP 3,1,0uuuu uuiu设PM PC ，从而得M .3 3 设平面MBD 的法向量为n x, y,z,3uu u PC 若直线 PA//平面MBD ，满足 nCBAvITD,D 0,4,0 , P 3,1,03,3,3 , 1,3uuu u ,BM,31,3uju u BMUJL TBDuuu AP uuuA得 —，取 n .3, 3, 12，且 BP 4 0，即 3,1, 直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值等于 sin 4y 3x 2X 220.【答案】(1) — y 1 ; (2)直线l 过定点 【解析】(1)由题意可知，抛物线 又椭圆G 被准线截得弦长为 2 ,讨2 2，…e 2由①②联立，解得a 22 , b 2uuu BPj-tuu nBp2156 12,52195.65C 2的准线方程为x 1 •••点详在椭圆上, •椭圆2b 2，②, C 1的标准方程为1 2b 2y 2 1.1 ,21.【答案】（1）见解析；（2）（2）设直线 I : y kx m ，设M x, y ,N X 2,y 2 ,把直线1代入椭圆方程， 整理可得 2k 2 1 x 2 4 km 2m 2 2 0, 2 2 16k m 4 2k 2 1 2m 2 2 16k 28m 2 8 0 , 即 2k 2 m 24km 2m 2 2…X 1 X 2 2 ， X 1X 2 22k 1 2k 1y 1 • K FM ，K FN y 2 -,M 、N 都在x 轴上方，且 AFMOFN1 0,x 1 1X 2 1kFN,y 1 X 1 1 ~^y-，即 x 2 1 kx i kx 2 m x i1 ,整理可得 2kx 1x 2 k m x 1 X 22m 2m 2 20 ,• 2k 厂 2 k 2 14km 2k 2 12m即 4 km 22 24k 4k m 4km 4k2m2k ,•直线I 为y kx 2k k x，•直线 l 过定点2,0 .令f ' 'x 0 ，解得X -或 x 1，而 X 0，故x1,2则当 x 0,1 时，f X 0, 即f X在区1 间内递减,当x 1, 时，f X0 , 即f X在区间 '可内递增.(2) 由f X2x 3axln x,f X 2x 13a —X则 2X Xf x 2x 33ax 2 X ，故 X 6x 2 6 ax 1 , 又26a4 61,故方程X0有2个不同的实根,不妨记 己为石, ,X 2，且儿 X2,又• X^-0 ,故 X 0 6X 2 ,当X 0,X 2 时， x 0 X 递减，当X X 2,时， x0,X 递增，故 Xminx 22x 23 3ax：22X 2 , ①又 X 20 ,• 6X226ax 2 1 0 , 即a1 6X 22 ，②xx 6x 222x x2x 11【解析】（1） a -时，f x3 lnx ，贝U f将a宜6x22代入—式，得2X2 321 6x2 2X26x2X2 31 32x2 x? 3x22X2由题意得 3 1X2 X22 专，即2x23X2即x21 2x222x23 0,解得X25将X2 1代入■式中，得a6X2请考生在22、23两题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分2 2 22.【答案】（1）x y 3t2( t为参数)；(2) t2【解析】（1）由2cos2 a2得2 2 . 2 2cos sin a ,又x cos , y sin ,得x2 y2a2,••• C的普通方程为•••过点P 2,1、倾斜角为30的直线I的普通方程为y——X3y12t「直线1的参数方程为32t2（t为参数）.(2)将2代入x2£2a2，得t2 2 2.3 a20,依题意知a20,则上方程的根1、t2就是交点A、V t1 t2 a2，由参数t的几何意义知PA PB b| |t2| |t1 t2 ,得t1 对应的参数,2 ,•••点P在A、B之间，「•1t2 0 ,…t1t22,9即2 3a22，解得a 4 （满足0 )，二a 2 ,•- p A PB t1 t2 t1 t2，又t1 t24.323.【答案】（1）2;(2)3x 【解析】（1） f x2x 1,xx 3, 13x 1,x故当x 1时，函数f x有最小值2,.・.t 2 .(2)由( 1)可知 2 2 2 22a 2b 2，故a 1 b 24,22212 22b a11 1 1 a 1 b 2 2 a1b2 2 1a2 1b2 2 2 2a 1b 2 44 1?当且仅当a2 1 b2 2 2，即a2 1 , b20时等号成立，故1a2 12的最小值为1 .b 21 ,。