八年级数学下册 菱形的性质与判定 填空题练习(含答案)
菱形的性质与判定填空题练习
1、一个菱形的周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为cm2．
2、已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比3:4，则菱形面积为______________cm2．
3、如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．
4、如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为_______．
5、如图，正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB= ．
6、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD=4，则四边形CODE的周长．
7、已知菱形的周长为 40 cm ，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________．
8、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH 的长等于 .
9、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD 是菱形，那么所添加的条件可以是____________(写出一个即可)．
10、如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O， E是CD的中点，且OE=2，则菱形ABCD的周长等于．
11、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6 cm，则AB=________cm.
12、两对角线分别是6cm和8cm的菱形面积是 cm2，周长是 cm．
13、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= 时，平行四边形CDEB为菱形。
14、如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线BD=22，则点D到直线AB的距离DE= ，点D到直线BC的距离等于．
15、如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为．
16、如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加条件，就能保证四边形EFGH是菱形．
17、如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD．DA的中点，则四边形EFGH的周长等于 cm．
18、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于．
19、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．
20、．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为．
21、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=120°，则
∠AOE= ．
22、如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．
23、如图，点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE= 度．
24、在如图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为．
25、如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10cm，24cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是cm．
26、将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好落在对角线BD上，得到菱形BEDF．若BC=6，则AB的长为．
27、如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC 的长为．
28、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为．
29、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80º，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于．
30、如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC.若AB=2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2.则OC的长为________cm.
31、把两张宽为2 cm的矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，则重叠部分(图中的阴影部分)的四边形ABCD的形状为________，其面积的最小值为________cm2.
32、如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是．
33、如图，菱形ABCD周长为16，∠ADC=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．
34、如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是．
35、已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．
36、如图，菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值
为．
37、如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是
_________.
38、如图，在平面直角坐标系中有一菱形OABC且∠A=120°，点O、B在y轴上，OA=1，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转60°，点B的落点依次为B1、B2、B3……，连续翻转2017次，则B2017的坐标为__ ______.
39、如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1=60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，做第二个菱形AB2C2D2，使∠B2=60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3，使∠B3=60°…依此类推，这样做的第n个菱形AB n C n D n的边AD n的长是．
40、已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第4个图形中直角三角形的个数有_____________个；第2014个图形中直角三角形的个数有_____________个．
参考答案
1、答案为：120．
2、答案为：24
3、答案为：1：2，．
4、答案为：96．
5、答案为：22.5°．
6、答案为：16．
7、答案为：96 cm 2
8、答案为：3；
9、答案为：AB=AD(答案不唯一)
10、答案为：16
11、答案为：12
12、答案为：24，20．
13、答案为：1.4；
14、答案为：11，11．
15、答案为：4.8；
16、答案为：AC=BD．
17、答案为：16．
18、答案为：3.5；
19、答案为：2.4．
20、答案为：50°．
21、答案为：60°．
22、答案为：（4，4）；
23、答案为：45；
24、答案为：12．
25、答案为：．
26、答案为：2．
27、答案为：6．
28、答案为：2.5；
29、答案为：60度
30、答案为：4
31、答案为：菱形，4
32、答案为：15．
33、答案为：2．
34、答案为：．
35、答案为：5．
36、答案为：2．
37、答案为：
38、答案为：（1345.5，）
39、答案为：（）n﹣1．
40、答案为：8， 4028。
人教版八年级下册18数学章菱形的性质与判定大题专练(解析版)
专题18.11菱形的性质与判定大题专练（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷试题共30题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共27小题）1．（2020春•海淀区校级期末）如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是AD 上一点，连接EO 并延长，交BC 于点F ．连接AF ，CE ，EF 平分∠AEC ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若∠DAC ＝60°，AC ＝2，求四边形AFCE 的面积．【分析】（1）由“AAS ”证△AOE ≌△COF ，得OF ＝OE ，证出四边形AFCE 是平行四边形，再证CE ＝CF ，即可得出结论；（2）由含30°角的直角三角形的性质得出OE =√3AO =√3，则EF ＝2OE ＝2√3，由菱形面积公式即可得出答案．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AO ＝CO ，∴∠AEF ＝∠CFE ，在△AOE 和△COF 中，{∠AEF =∠CFE∠AOE =∠COF AO =CO，∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴OF ＝OE ，∵AO ＝CO ，∴四边形AFCE 是平行四边形；∵EF 平分∠AEC ，∴∠AEF ＝∠CEF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴CE＝CF，∴四边形AFCE是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形，∴AC⊥EF，AO＝CO=12AC＝1，∴∠AOE＝90°，∵∠DAC＝60°，∴∠AEO＝30°，∴OE=√3AO=√3，∴EF＝2OE＝2√3，∴四边形AFCE的面积=12AC×EF=12×2×2√3=2√3．2．（2020•南宁一模）如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．（1）求证：△ADO≌△CBO．（2）求证：四边形ABCD是菱形．（3）若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）由ASA即可得出结论；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明AD＝AB，即可得出结论；（3）由菱形的性质得出AC⊥BD，证明四边形ACED是平行四边形，得出AC＝DE＝2，AD＝EC，由菱形的性质得出EC＝CB＝AB＝2，得出EB＝4，由勾股定理得BD═√42−22=2√3，即可得出答案．【解析】解：（1）证明：∵点O是AC的中点，∴AO＝CO，∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠ACB，在△AOD和△COB中，{∠DAO=∠BCO AO=CO∠AOD=∠COB，∴△ADO≌△CBO（ASA）；（2）证明：由（1）得△ADO≌△CBO，∴AD＝CB，又∵AM∥BN，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AM∥BN，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABN，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形；（3）解：由（2）得四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝CB，又DE⊥BD，∴AC∥DE，∵AM∥BN，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC＝DE＝2，AD＝EC，∴EC＝CB，∵四边形ABCD是菱形，∴EC＝CB＝AB＝2，∴EB＝4，在Rt△DEB中，由勾股定理得BD=√BE2−DE2=√42−22=2√3，=12AC⋅BD=12×2×2√3=2√3．∴S菱形ABCD3．（2018秋•龙泉驿区期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上任意一点，E是BC边上的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BF，CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）如图2，若D为AB中点，求证：四边形CDBF是菱形；（3）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BE＝4，求的△BDE面积．【分析】（1）欲证明四边形CDBF是平行四边形只要证明CF∥DB，CF＝DB即可；（2）由直角三角形的性质可得AD＝CD＝DB，即可证四边形CDBF是菱形；（3）如图，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可；【解析】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ECF＝∠EBD．∵E是BC中点，∴CE＝BE．∵∠CEF＝∠BED，∴△CEF≌△BED（ASA），∴CF＝BD，且CF∥AB，∴四边形CDBF是平行四边形．（2）∵D为AB中点，∠ACB＝90°，∴AD＝CD＝BD，且四边形CDBF是平行四边形，∴四边形CDBF是菱形，（3）如图，作EM⊥DB于点M，在Rt△EMB中，EM＝BE•sin∠ABC＝2√2，∴BM＝2√2在Rt△EMD中，∵∠EDM＝30°，∴DM=√3ME＝2√6，∴BD＝2√6+2√2∴△BDE面积=12×BD×ME=12×2√2×（2√6+2√2）＝4+4√34．（2019春•许昌期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC垂直平分BD，交BD于点F，延长DC 到点E，使得CE＝DC，连接BE．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）填空：①当∠ADC＝60°时，四边形ACEB为菱形；②当∠ADC＝90°，BE＝4时，则DE＝4√2．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可；（2）根据菱形的性质解答即可．【解析】（1）证明：∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BF＝DF，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB．∵∠AFB＝∠CFD，∴△AFB≌△CFD（ASA），∴AB＝CD．又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）①当∠ADC＝60°，四边形ACEB为菱形，∵∠ADC＝60°，∴∠BCE＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴CE＝BE，∴四边形ACEB为菱形，故答案为：60；②当∠ADC＝90°，BE＝4时，DE＝4√2，故答案为：4√2．5．（2019春•门头沟区期末）已知：如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，延长AD至F，使DF＝AE，连接CF．（1）判断四边形EBCF的形状，并证明；（2）若AF＝9，CF＝3，求CD的长．【分析】（1）根据菱形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出EF＝BC，根据平行四边形的判定得出四边形EBCF是平行四边形，根据矩形的判定得出即可；（2）根据勾股定理求出AB，根据菱形的性质得出即可．【解析】（1）四边形EBCF是矩形，证明：∵四边形ABCD菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，又∵DF＝AE，∴DF+DE＝AE+DE，即：EF＝AD，∴EF＝BC，∴四边形EBCF是平行四边形，又∵BE⊥AD，∴∠BEF＝90°．∴四边形EBCF是矩形；（2）∵四边形ABCD菱形，∴AD＝CD．∵四边形EBCF是矩形，∴∠F＝90°，∵AF＝9，CF＝3，∴设CD＝x，则DF＝9﹣x，∴x2＝（9﹣x）2+32，解得：x＝5，∴CD＝5．6．（2014•吴中区一模）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠BAF＝∠DAE．（1）求证：AE＝AF；（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．【分析】（1）首先利用菱形的性质得出AB＝AD，∠B＝∠D，进而得出△ABE≌△ADF（ASA），即可得出答案；（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC和△ACD都是等边三角形，进而得出∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝60°，求出△AEF为等边三角形．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，又∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAE＝∠DAF，在△ABE和△ADF中，{∠B =∠D AB =AD ∠BAE =∠DAF，∴△ABE ≌△ADF （ASA ），∴AE ＝AF ；（2）解：连接AC ，∵AE 垂直平分BC ，AF 垂直平分CD ，∴AB ＝AC ＝AD ，∵AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∴△ABC 和△ACD 都是等边三角形，∴∠CAE ＝∠BAE ＝30°，∠CAF ＝∠DAF ＝30°，∴∠EAF ＝∠CAE +∠CAF ＝60°，又∵AE ＝AF ，∴△AEF 是等边三角形．7．如图，将一张直角三角形ABC 纸片沿斜边AB 上的中线CD 剪开，得到△ACD ，再将△ACD 沿DB 方向平移到△A 'C 'D '的位置，若平移开始后点D '未到达B 时，A 'C '交CD 于点E ，D 'C '交CB 于点F ，连接EF ，CC '．（1）证明：在平移的过程中，△A 'DE 总是等腰三角形；（2）甲判断：在平移的过程中．总有四边形CEFC '是菱形．乙判断：在平移的过程中，当且仅当A '是AD 的中点时，四边形CEFC '是菱形．你认为谁的判断正确，请说明理由．【分析】（1）先证明CD＝DA＝DB，得到∠DAC＝∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E＝∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状；（2）同（1）得：C'C＝EC，CC'＝C'F，得出EC＝C'F，证出四边形CEFC'是平行四边形，又由C'C＝EC，即可得出四边形CEFC'是菱形．【解析】（1）证明：∵△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝DA＝DB，∴∠DAC＝∠DCA，∵A′C′∥AC，∴∠DA′E＝∠A，∠DEA′＝∠DCA，∴∠DA′E＝∠DEA′，∴DA′＝DE，∴△A′DE是等腰三角形；（2）解：甲的判断正确；理由如下：同（1）得：C'C＝EC，CC'＝C'F，∴EC＝C'F，∵CD∥C'D'，∴四边形CEFC'是平行四边形，又∵C'C＝EC，∴四边形CEFC'是菱形．8．（2018•朝阳区模拟）如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：AE＝CF；（2）若AB＝2，点E是AB中点，求EF的长．【分析】（1）由四边形ABCD 是菱形，可得AB ∥CD ，OA ＝OC ，继而证得△AOE ≌△COF ，则可证得结论．（2）利用平行四边形的判定和性质解答即可．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO ，AB ∥CD ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∠AEO ＝∠CFO ．在△OAE 和△OCF 中，{∠EAO =∠FCO AO =CO ∠AEO =∠CFO，∴△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF ；（2）∵E 是AB 中点，∴BE ＝AE ＝CF ．∵BE ∥CF ，∴四边形BEFC 是平行四边形，∵AB ＝2，∴EF ＝BC ＝AB ＝2．9．（2018春•越秀区校级期中）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E ．（1）求证：四边形ACDE 是平行四边形．（2）若AC ＝16，BD ＝12，求△ADE 的周长．【分析】（1）先根据菱形的性质得出AB∥CD，AC⊥BD，再证明DE∥AC，然后根据平行四边形的定义证明即可；（2）先根据菱形的性质以及勾股定理得出AD＝CD=√AO2+DO2=10，再由平行四边形的性质得出AE ＝CD＝10，DE＝AC＝16，进而求出△ADE的周长．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°．∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，∴AO＝8，DO＝6，AD＝CD=√AO2+DO2=√82+62=10．∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝10，DE＝AC＝16，∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝10+10+16＝36．10．（2020秋•漳州期中）如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：DE＝CE．（2）当EA⊥AB于点A，AE＝ED＝1时，求菱形的边长．【分析】（1）证△ABE≌△CBE（SAS），即可得出结论；（2）连接AC 交BD 于H ，先由菱形的性质可得AB ＝AD ，AC ⊥BD ，BH ＝DH ，AH ＝CH ，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠DAE ＝∠ADE ＝∠ABD ＝30°，然后利用直角三角形的性质可求解．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE ＝∠CBE ，AB ＝CB ，在△ABE 和△CBE 中，{AB =CB ∠ABE =∠CBE BE =BE，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），∴AE ＝CE ，又∵AE ＝DE ，∴DE ＝CE ．（2）解：如图，连接AC 交BD 于H ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AC ⊥BD ，BH ＝DH ，AH ＝CH ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵AE ═ED ＝1，∴∠DAE ＝∠EDA ，∴∠DAE ＝∠ADE ＝∠ABD ，∵∠DAE +∠ADE +∠BAE +∠ABD ＝180°，∴∠DAE ＝∠ADE ＝∠ABD ＝30°，∴BE ＝2AE ＝2，∴BD ＝BE +DE ＝3，∴BH ＝DH =32，∵∠ABD ＝30°，AH ⊥BD ，∴AB ＝2AH ，BH =√3AH ， ∴AH =√32，AB ＝2AH =√3，即菱形的边长为√3．11．（2019春•武昌区期中）如图，△ABC 中AB ＝6，AC ＝8，D 是BC 边上一动点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．（1）若BC ＝10，判断四边形AEDF 的形状并证明；（2）在（1）的条件下，若四边形AEDF 是正方形，求BD 的长；（3）若∠BAC ＝60°，四边形AEDF 是菱形，则BD ＝ 6√137．【分析】（1）首先判定平行四边形，然后证明一个内角为90°，从而判定矩形； （2）首先根据面积法求得DE 的长，然后利用勾股定理求得BD 的长即可；（3）根据面积求得BD ：CD ＝3：4，然后求得BD 的长．【解析】解：（1）AEDF 是矩形，理由如下∵AB 2+AC 2＝62+82＝BC 2＝102，由勾股定理得∠BAC ＝90°∵DE ∥AF 、DF ∥AE ，∴四边形AEDF 是平行四边形，又∵∠BAC ＝90°，∴四边形AEDF 是矩形；（2）由（1）得，当DE ＝DF 时，四边形AEDF 是正方形．设DE ＝DF ＝x ，建立面积方程S △ABC =12AC •BD =12DE （AB +AC ）；即：12×6×8=12x ×（6+8）， 解得：x =247，∴DE ＝AE =247，BE ＝AB ﹣AE =187，在Rt △DEB 中，由勾股定理得：BD =√BE 2+DE 2=√(187)2+(247)2=307； （3）依题意得，当AD 是∠BAC 角平分线时，四边形AEDF 是菱形．点B 作AC 的垂线段交于点G ，又∵∠BAG ＝60°，∴AG ＝3，CG ＝5，BG =3√3，由勾股定理得：BC =2√13，∵AD 平分∠BAC ，∴S ▲ABD ：S ▲ACD ＝AB ：AC ＝BD ：CD ，即BD ：CD ＝3：4．∴BD =6√137， 故答案为：6√137． 12．（2020春•鄂城区校级月考）如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，AB 上的点，且AE ＝AF ，连接并延长EF ，与CB 的延长线交于点G ，连接BD ．（1）求证：四边形EGBD 是平行四边形；（2）连接AG ，若∠FGB ＝30°，GB ＝AE ＝2，求AG 的长．【分析】（1）连接AC ，再根据菱形的性质得出EG ∥BD ，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．（2）过点A 作AH ⊥BC ，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．【解析】证明：（1）连接AC ，如图1：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 平分∠DAB ，且AC ⊥BD ，∵AF ＝AE ，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四边形EGBD是平行四边形．（2）过点A作AH⊥BC于H．∵∠FGB＝30°，∴∠DBC＝30°，∴∠ABH＝2∠DBC＝60°，∵GB＝AE＝2，∴AB＝AD＝4，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∴AH＝2√3，BH＝2．∴GH＝4，∴AG=√AH2+GH2=√16+12=2√7．13．（2017秋•沙坪坝区校级期末）如图1，AC是菱形ABCD的对角线，E是BC上的点，连接AE且AE＝AC．（1）若∠D＝30°，BE＝4，求AC的长；（2）如图2，过C作CH⊥AB于H，F为CD上一点，连接AF，若∠DAF＝∠BAE，DF＝AH，求证：3AH＝AB．【分析】（1）由菱形的性质得出∠B＝30°，∠ACB＝∠ACD=12∠BCD＝75°，过点E作EF⊥AB于F，则∠BEF＝60°，由AE＝AC，得出∠ACE＝∠AEC＝75°，则∠AEF＝180°﹣∠AEC﹣∠BEF＝45°，推出△AEF是等腰直角三角形，得出AE=√2EF，由含30°直角三角形的性质得出EF=12BE＝2，即可得出结果；（2）在线段AB上取点G，使BG＝BE，由ASA证得△BAE≌△DAF，得出BE＝DF，AE＝AF，推出BG ＝DF，由SAS证得△CBG≌△BAE，得出CG＝AE＝AC，由等腰三角形的性质得出AH＝HG，证出AH ＝HG＝BG，即可得出结论．【解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝30°，∴∠B＝30°，∠ACB＝∠ACD=12∠BCD=12×（180°﹣30°）＝75°，过点E作EF⊥AB于F，如图1所示：则∠BEF＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝75°，∴∠AEF＝180°﹣∠AEC﹣∠BEF＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE=√2EF，在Rt△BEF中，EF=12BE=12×4＝2，∴AC＝AE＝2√2；（2）证明：在线段AB上取点G，使BG＝BE，如图2所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD＝BC，在△BAE和△DAF中，{∠B=∠DAB=AD∠BAE=∠DAF，∴△BAE≌△DAF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF，∴BG＝DF，在△CBG和△BAE中，{BG=BE ∠B=∠B BC=AB，∴△CBG≌△BAE（SAS），∴CG＝AE＝AC，∵CH⊥AB，∴AH＝HG，∵AH＝DF，BG＝DF，∴AH＝HG＝BG，∴3AH＝AB．14．（2020•桂林）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若BE=√3，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△ADF即可；（2）证△ABD是等边三角形，得出BE⊥AD，求出AD即可．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AF＝AE，在△ABE 和△ADF 中，{AB =AD∠A =∠A AE =AF，∴△ABE ≌△ADF （SAS ）；（2）解：连接BD ，如图：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∠A ＝∠C ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∵点E 是边AD 的中点，∴BE ⊥AD ，∴∠ABE ＝30°，∴AE ＝√33BE ＝1，AB ＝2AE ＝2， ∴AD ＝AB ＝2，∴菱形ABCD 的面积＝AD ×BE ＝2×√3=2√3．15．（2020•新华区校级一模）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，E 是CD 边上一点，作等边△BEF ，连接AF ．（1）求证：CE ＝AF ；（2）EF 与AD 交于点P ，∠DPE ＝46°，求∠CBE 的度数．【分析】（1）根据四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°和等边△BEF ，可以证明△F AB ≌△ECB ，进而可得CE ＝AF ；（2）延长F A 交BE 于点G ，结合（1）根据三角形的外角定义可得∠BAD ＝∠BFE +∠DPE +∠CBE ，即可求出∠CBE 的度数．【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵△BEF是等边三角形，∴FB＝EB，∠FBE＝60°，∴∠FBE＝∠ABC＝60°，∴∠FBA＝∠EBC，∴△F AB≌△ECB（SAS），∴CE＝AF；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°，延长F A交BE于点G，根据三角形的外角定义可知：∠GAD＝∠AFP+∠APF，∠BAG＝∠AFB+∠ABF，∴∠GAD+∠BAG＝∠AFP+∠APF+∠AFB+∠ABF，∵∠APF＝∠DPE＝46°，∠ABF＝∠CBE，∴∠BAD＝∠BFE+∠DPE+∠CBE，即120°＝60°+46°+∠CBE，∴∠CBE＝14°．答：∠CBE的度数为14°．16．（2013•株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD ＝30°，求CE 的长．【分析】（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO ＝CO ，对边平行可得AD ∥BC ，再利用两直线平行，内错角相等可得∠OAE ＝∠OCF ，然后利用“角边角”证明△AOE 和△COF 全等；（2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO ＝30°，然后求出∠AEF ＝90°，然后求出AO 的长，再求出EF 的长，然后在Rt △CEF 中，利用勾股定理列式计算即可得解．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO ，AD ∥BC ，∴∠OAE ＝∠OCF ，在△AOE 和△COF 中，{∠OAE =∠OCFAO =CO ∠AOE =∠COF，∴△AOE ≌△COF （ASA ）；（2）解：∵∠BAD ＝60°，∴∠DAO =12∠BAD =12×60°＝30°， ∵∠EOD ＝30°，∴∠AOE ＝90°﹣30°＝60°，∴∠AEF ＝180°﹣∠DAO ﹣∠AOE ＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∵菱形的边长为2，∠DAO ＝30°，∴OD =12AD =12×2＝1，∴AO =√AD 2−OD 2=√22−12=√3，∴AE ＝CF =√3×√32=32，∵菱形的边长为2，∠BAD ＝60°，∴高EF ＝2×√32=√3，在Rt △CEF 中，CE =√EF 2+CF 2=√(32)2+(√3)2=√212．17．（2019春•睢县期中）如图，四边形ABCD 为菱形，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接DE 并延长交AE 于点F ，连接BE ．（1）如图1，求证：∠AFD ＝∠EBC ；（2）如图2，若DE ＝EC ，且BE ⊥AF ，求∠DAB 的度数．【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE ≌△BCE （SAS ），即可得出答案；（2）利用等腰三角形的性质结合垂直的定义得出∠DAB 的度数．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴DC ＝CB ，在△DCE 和△BCE 中{DC =CB ∠DCE =∠BCE EC =EC，∴△DCE ≌△BCE （SAS ），∴∠EDC ＝∠EBC ，由DC ∥AB 得，∠EDC ＝∠AFD ，∴∠AFD ＝∠EBC ；（2）解：∵DE＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，设∠EDC＝∠ECD＝∠CBE＝x°，则∠CBF＝2x°，由BE⊥AF得：2x+x＝90°，解得：x＝30°，∴∠DAB＝60°．18．（2020•鄞州区模拟）如图，▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，连结AE，CF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF为菱形，∠AFC＝120°，BE＝CE＝4，求▱ABCD的面积．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，再由BE＝DF可得AF与EC 平行且相等，进而可以证明四边形AECF是平行四边形；（2）根据四边形AECF为菱形，∠AFC＝120°，可以证明△ABE是等边三角形，过点A作AG⊥BE于点G，根据特殊角三角函数即可求出AG的长，进而求出▱ABCD的面积．【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝DF，∴EC＝AF，又∵EC∥AF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）∵四边形AECF为菱形，∴AE＝EC，∠AEC＝∠AFC＝120°，∴∠AEB＝60°，∵BE＝CE＝4，∴AE＝BE＝4，∴△ABE是等边三角形，过点A作AG⊥BE于点G，∴AG ＝AB •sin ∠B ＝2√3，∵BC ＝BE +EC ＝8，∴▱ABCD 的面积＝BC •AG ＝8×2√3=16√3．19．（2020•文成县二模）如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在BC ，CD 上，且CE ＝CF ．（1）求证：△ABE ≌△ADF ．（2）若∠BAE ＝∠EAF ＝40°，求∠AEB 的度数．【分析】（1）由“SAS ”可证△ABE ≌△ADF ；（2）由（1）可得：∠BAE ＝∠DAF ＝40°，由菱形的性质可求∠B ＝60°，进而可求出∠AEB 的度数．【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，∠B ＝∠D ，AB ∥CD ，∵CE ＝CF ，∴BE ＝DF ，在△ABE 和△ADF 中{AB =AD ∠B =∠D BE =DF，∴△ABE ≌△ADF （SAS ）（2）∵△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE ＝∠DAF ＝40°，∴∠BAD ＝∠BAE +∠DAF +∠EAF ＝120°，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴∠B ＝180°﹣∠BAD ＝60°，∴∠AEB ＝180°﹣∠B ﹣∠BAE ＝80°．20．（2017秋•高新区校级月考）如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，BC ＝5cm ，点E 从点A 出发沿射线AD 以1cm /s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为t （s ）．（1）连接EF ，当EF 经过BD 边的中点G 时，求证：△DGE ≌△BGF ；（2）四点A 、C 、F 、E 能否组成平行四边形？若能，求出t 值；若不能，请说明理由．【分析】（1）由题意得到BG ＝DG ，再由AD 与BC 平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS 即可得证；（2）分别从当点F 在C 的左侧时与当点F 在C 的右侧时去分析，由当AE ＝CF 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴∠EDG ＝∠FBG ，∠DEG ＝∠BFG ，∵G 为BD 的中点，∴BG ＝DG ，∵在△GDE 和△GBF 中，{∠EDG =∠FBG ∠DEG =∠BFG BG =DG，∴△DGE ≌△BGF （AAS ）；（2）解：①当点F 在C 的左侧时，根据题意得：AE ＝tcm ，BF ＝2tcm ，则CF ＝BC ﹣BF ＝5﹣2t （cm ），∵AD ∥BC ，∴当AE ＝CF 时，四边形AFCE 是平行四边形，即t ＝5﹣2t ，解得：t =53；②当点F 在C 的右侧时，根据题意得：AE ＝tcm ，BF ＝2tcm ，则CF＝BF﹣BC＝2t﹣5（cm），∵AD∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝2t﹣5，解得：t＝5；综上可得：当t=53或5s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．21．（2018秋•天心区校级期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，延长BA至点F，延长CB至点E，使BE ＝AF，连结CF，EA，AC，延长EA交CF于点G．（1）求证：△ACE≌△CBF；（2）求∠CGE的度数．【分析】（1）先判断出△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质可得BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，再求出CE＝BF，然后利用“边角边”证明即可；（2）由（1）知△ABC是等边三角形，△ACE≌△CBF，根据全等三角形对应角相等可得∠E＝∠F，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGE＝∠ABC即可．【解析】（1）证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC，∵BE＝AF，∴BE+BC＝AF+AB，即CE＝BF，在△ACE和△CBF中，{CE=BF∠ACB=∠ABC BC=AC，∴△ACE≌△CBF（SAS）；（2）解：由（1）可知：△ABC是等边三角形，△ACE≌△CBF，∴∠E＝∠F，∵∠BAE＝∠F AG，∴∠E+∠BAE＝∠F+∠F AG，∴∠CGE＝∠ABC，∵∠ABC＝60°，∴∠CGE＝60°．22．已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P为射线AC上一点，E为射线BC上一点，且PD＝PE．（1）如图1，①求证：∠DPE＝60°．②求证：AP＝CE，③求证：CP+CE＝CD；（2）在图2中，（1）中的三个结论是否仍都成立？请说明理由．【分析】（1）①只需说明∠CEP＝∠CDP即可；②连接DE，证明△ADP与△CDE全等即可；③延长CE至F，使EF＝CP，连接DF，依次去证明△ADP≌△CDE，△DPC≌△DEF即可．（2）①②证明方法与（1）大致相同，③延长CD至F，使DF＝CP，连接EF，然后依次去证明△ADP ≌△CDE，△EPC≌△EDF即可．【解析】解：（1）①∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BCA＝∠DCA＝∠DAC＝∠BAC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC与△ADC均为等边三角形，∴∠BCA＝∠DCA＝∠DAC＝∠BAC＝60°，AC＝CD＝DA＝AB＝BC，②如图1，连接BP，则BP＝DP，∠CBP＝∠CDP，∵PD ＝PE ，∴PB ＝PE ，∴∠CBP ＝∠CEP ，∴∠CEP ＝∠CDP ，∴∠DPE ＝∠DCE ＝180°﹣∠BCD ＝60°．连接DE ，则△PDE 是等边三角形，∴DE ＝DP ，∠PDE ＝60°＝∠ADC ，∴∠ADP ＝∠CDE ，在△ADP 和△CDE 中：{AD =CD ∠ADP =∠CDE DP =DE∴△ADP ≌△CDE （SAS ），∴AP ＝CE ．③延长CE 至F ，使EF ＝CP ，连接DF ．∵∠PDE ＝60°，∠PCE ＝120°，∴∠PDE +∠PCE ＝180°，∴∠DPC +∠DEC ＝180°，∵∠DEC +∠DEF ＝180°，∴∠DPC ＝∠DEF ，在△DPC 和△DEF 中：{DP =DE ∠DPC =∠DEF PC =EF∴△DPC ≌△DEF （SAS ），∴DC ＝DF ，∵∠DCE ＝60°，∴△DCF 是等边三角形，∴DC ＝CF ＝CE +EF ＝CE +CP ．（2）结论①②仍然成立，结论③变为CE ＝CP +CD ．①如图2，连接PB ，则PB ＝PD ，∠PBC ＝∠PDC ，∵PD ＝PE ，∴PB ＝PE ，∴∠PBC ＝∠PCE ＝∠PDC ，∴∠DPE ＝∠DCE ＝60°．②连接DE ，则△PDE 是等边三角形，∴DP ＝DE ＝PE ，∠PDE ＝60°，∵∠ADC ＝60°，∴∠ADP ＝∠CDE ，在△ADP 和△CDE 中：{AD =CD ∠ADP =∠CDE DP =DE∴△ADP ≌△CDE （SAS ），∴AP ＝CE ．③延长CD 至F ，使DF ＝CP ，连接EF ．∵∠DEP ＝60°，∠DCP ＝∠DCE +∠PCE ＝∠ACB +∠DCE ＝120°，∴∠DEP +∠DCP ＝180°，∴∠CDE +∠CPE ＝180°，∵∠CDE +∠EDF ＝180°，∴∠EDF ＝∠EPC ，在△EPC 和△EDF 中：{EP =ED ∠EPC =∠EDF PC =DF∴△EPC ≌△EDF （SAS ），∴EF ＝EC ，∵∠ECF ＝60°，∴△ECF 为等边三角形，∴CE ＝CF ＝CD +DF ＝CD +CP ．23．（2020•新都区模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ，如图1所示．（1）证明平行四边形ECFG 是菱形；（2）若∠ABC ＝120°，连结BG 、CG 、DG ，如图2所示，①求证：△DGC ≌△BGE ；②求∠BDG 的度数；（3）若∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝14，M 是EF 的中点，如图3所示，求DM 的长．【分析】（1）平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线的性质证明∠CEF ＝∠CFE ，根据等角对等边可得CE ＝CF ，再有条件四边形ECFG 是平行四边形，可得四边形ECFG 为菱形，即可解决问题；（2）先判断出∠BEG ＝120°＝∠DCG ，再判断出AB ＝BE ，进而得出BE ＝CD ，即可判断出△BEG ≌△DCG （SAS ），再判断出∠CGE ＝60°，进而得出△BDG 是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG 为正方形，再证明△BME ≌△DMC 可得DM ＝BM ，∠DMC ＝∠BME ，再根据∠BMD ＝∠BME +∠EMD ＝∠DMC +∠EMD ＝90°可得到△BDM 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解析】解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG=12∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）方法一：如图3中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵{BE=CD∠BEM=∠DCM EM=CM，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝2√65，∴DM=√22BD=√130．方法二：过M作MH⊥DF于H，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形，∴∠CEF＝45°，∴∠AEB＝∠CEF＝45°，∴BE＝AB＝8，∴CE＝CF＝14﹣8＝6，∵MH∥CE，EM＝FM，∴CH＝FH=12CF＝3，∴MH=12CE＝3，∴DH＝11，∴DM=√112+32=√130．24．（2019春•秦淮区期末）已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．【分析】（1）连接AC，由平行四边形的性质和已知条件得出E、F分别为OB、OD的中点，证出GF为△AOD的中位线，由三角形中位线定理得出GF∥OA，GF=12OA，同理：EH∥OC，EH=12OC，得出EH＝GF，EH∥GF，即可得出结论；（2）连接GH，证出四边形ABHG是平行四边形，再证明GH⊥EF，即可得出四边形GEHF是菱形；（3）①由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，得出GH＝AB，证出GH＝EF，即可得出四边形GEHF 是矩形；②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，则AM∥GN，证出GN是△ADM的中位线，得出GN=12AM，证出∠BAM＝30°，由直角三角形的性质得出BM=12AB＝1，AM=√3BM=√3，得出GN=√32，求出△EFG的面积=12EF×GN=√32，即可得出结果．【解析】（1）证明：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴BD的中点在AC上，∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，∴E、F分别为OB、OD的中点，∵G是AD的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF=12OA，同理：EH∥OC，EH=12OC，∴EH＝GF，EH∥GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：连接GH，如图2所示：则AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB∥GH，∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四边形GEHF是菱形；故答案为：AB⊥BD；（3）解：①四边形GEHF是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，∵BD＝2AB，∴AB=12BD＝EF，∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形；②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，如图3所示：则AM∥GN，∵G是AD的中点，∴GN是△ADM的中位线，∴GN=12AM，∵∠ABD＝120°，∴∠ABM＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM=12AB＝1，AM=√3BM=√3，∴GN=√3 2，∵BD＝2AB＝4，∴EF=12BD＝2，∴△EFG的面积=12EF×GN=12×2×√32=√32，∴四边形GEHF的面积＝2△EFG的面积=√3．25．（2018春•江都区期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°．（1）如图①，若点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF．求证：△CEF是等边三角形；（2）小明发现若点E、F分别在边AB、AD上，且∠CEF＝60°时△CEF也是等边三角形，并通过画图验证了猜想；小丽通过探索，认为应该以CE＝EF为突破口构造两个三角形全等；小倩受到小丽的启发，尝试在BC上截取BM＝BE，连接ME，如图②，很快就证明了△CEF是等边三角形，请你根据小倩的方法，写出完整的证明过程．【分析】（1）想办法证明△BEC≌△AFC（SAS），即可解决问题；（2）想办法证明△ECM≌△FEA（ASA），即可解决问题；【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠B＝60°，∴△ABC，△ADC都是等边三角形，∴∠B＝∠CAF＝∠ACB＝60°，∵BC＝AC，BE＝AF，∴△BEC≌△AFC（SAS），∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∴∠ECF＝∠BCA＝60°，∴△ECF是等边三角形．（2）证明：∵BE＝BM，∠B＝60°，∴△BEM是等边三角形，∴∠EMB＝∠BEM＝60°，∠EMC＝∠AEM＝120°，∵AB＝BC，∠EAF＝120°，∴AE＝CM，∠EAF＝∠EMC，∵∠FEC＝60°，∴∠AEF+∠CEM＝60°，∵∠CEM+∠ECM＝60°，∴∠AEF＝∠ECM，∴△ECM≌△FEA（ASA），∴EF＝EC，∵∠FEC＝60°，∴△EFC是等边三角形．26．（2020春•海淀区校级月考）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝3，求AG的长．【分析】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．【解析】（1）证明：连接AC，如图1：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，∵AF＝AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四边形EGBD是平行四边形．（2）解：过点A作AH⊥BC于H．∵∠FGB＝30°，∴∠DBC＝30°，∴∠ABH＝2∠DBC＝60°，∵GB＝AE＝3，∴AB＝AD＝6，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∴AH＝3√3，BH＝3．∴GH＝6，在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AG=√AH2+GH2=3√7．27．（2020春•赣州期末）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．【分析】（1）（1）先求证AB＝AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4＝60°，AC＝AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE＝CF；（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE＝S△ACF，故根据S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC 即可解题；由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的周长会随着AE的变化而变化，求出当AE最短时，△CEF的周长即可．【解析】解：（1）如图，连接AC，∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∵△AEF 是等边三角形，∴∠EAF ＝60°，∴∠1+∠EAC ＝60°，∠3+∠EAC ＝60°，∴∠1＝∠3，∵∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝60°，∴△ABC 和△ACD 为等边三角形，∴∠4＝60°，AC ＝AB ，∴在△ABE 和△ACF 中，{∠1=∠3AB =AC ∠ABC =∠4，∴△ABE ≌△ACF （ASA ）．∴BE ＝CF ；（2）四边形AECF 的面积不变，△CEF 的周长发生变化．理由如下： 由（1）得△ABE ≌△ACF ，则S △ABE ＝S △ACF ，故S 四边形AECF ＝S △AEC +S △ACF ＝S △AEC +S △ABE ＝S △ABC ，是定值，作AH ⊥BC 于H 点，则BH ＝2，S 四边形AECF ＝S △ABC =12BC ⋅AH =12BC ⋅√AB 2−BH 2=4√3．△CEF 的周长＝CE +CF +EF ＝CE +BE +EF ＝BC +EF ＝BC +AE由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．故△AEF 的周长会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，△CEF 的周长会最小＝4+√AB 2−BH 2=4+2√3．。
鲁教版2019-2020八年级数学下册6.1菱形的性质与判定自主学习基础达标测试题4(附答案)
10．C
【解析】
【分析】
根据中位线的性质及菱形的周长即可求解.
【详解】
∵E是AB的中点，F点是AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，又EF=4，
∴BC=2EF=8，
∴菱形ABCD的周长为4×8=32，
故选C
【点睛】
此题主要考查中位线的定义与性质，解题的关键是熟知中位线的定义.
11．
【解析】
【分析】
根据菱形的性质得出AB＝BC，进而得出△ABC是等边三角形，再利用等边三角形的性质得出BE＝2，再利用勾股定理求出AE的长．
21．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B=60°，AB=6，求EF的长．
22．教材习题第3题变式如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F.求证：四边形AEDF是菱形．
A．是轴对称图形B．是中心对称图形
C．对角线互相垂直D．对角线一定相等
8．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，DH⊥AB于H，则DH=（）
A． B． C．12 D．24
9．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等B．两条对角线相等
C．四个内角都是直角D．每一条对角线平分一组对角
菱形的性质与判定 填空题练习(含答案)
菱形的性质与判定填空题练习1、一个菱形的周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为cm2．2、已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比3:4，则菱形面积为______________cm2．3、如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．4、如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为_______．5、如图，正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB= ．6、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD=4，则四边形CODE的周长．7、已知菱形的周长为 40 cm ，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________．8、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH 的长等于 .9、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD 是菱形，那么所添加的条件可以是____________(写出一个即可)．10、如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O， E是CD的中点，且OE=2，则菱形ABCD的周长等于．11、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6 cm，则AB=________cm.12、两对角线分别是6cm和8cm的菱形面积是 cm2，周长是 cm．13、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= 时，平行四边形CDEB为菱形。
14、如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线BD=22，则点D到直线AB的距离DE= ，点D到直线BC的距离等于．15、如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为．16、如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加条件，就能保证四边形EFGH是菱形．17、如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD．DA的中点，则四边形EFGH的周长等于 cm．18、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于．19、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．20、．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为．21、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=120°，则∠AOE= ．22、如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．23、如图，点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE= 度．24、在如图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为．25、如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10cm，24cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是cm．26、将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好落在对角线BD上，得到菱形BEDF．若BC=6，则AB的长为．27、如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC 的长为．28、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为．29、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80º，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于．30、如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC.若AB=2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2.则OC的长为________cm.31、把两张宽为2 cm的矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，则重叠部分(图中的阴影部分)的四边形ABCD的形状为________，其面积的最小值为________cm2.32、如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是．33、如图，菱形ABCD周长为16，∠ADC=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．34、如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是．35、已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．36、如图，菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为．37、如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是_________.38、如图，在平面直角坐标系中有一菱形OABC且∠A=120°，点O、B在y轴上，OA=1，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转60°，点B的落点依次为B1、B2、B3……，连续翻转2017次，则B2017的坐标为__ ______.39、如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1=60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，做第二个菱形AB2C2D2，使∠B2=60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3，使∠B3=60°…依此类推，这样做的第n个菱形AB n C n D n的边AD n的长是．40、已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第4个图形中直角三角形的个数有_____________个；第2014个图形中直角三角形的个数有_____________个．参考答案1、答案为：120．2、答案为：243、答案为：1：2，．4、答案为：96．5、答案为：22.5°．6、答案为：16．7、答案为：96 cm 28、答案为：3；9、答案为：AB=AD(答案不唯一)10、答案为：1611、答案为：1212、答案为：24，20．13、答案为：1.4；14、答案为：11，11．15、答案为：4.8；16、答案为：AC=BD．17、答案为：16．18、答案为：3.5；19、答案为：2.4．20、答案为：50°．21、答案为：60°．22、答案为：（4，4）；23、答案为：45；24、答案为：12．25、答案为：．26、答案为：2．27、答案为：6．28、答案为：2.5；29、答案为：60度30、答案为：431、答案为：菱形，432、答案为：15．33、答案为：2．34、答案为：．35、答案为：5．36、答案为：2．37、答案为：38、答案为：（1345.5，）39、答案为：（）n﹣1．40、答案为：8， 4028。
鲁教版2019-2020八年级数学下册6.1菱形的性质与判定自主学习基础达标测试题3(附答案)
鲁教版2019-2020八年级数学下册6.1菱形的性质与判定自主学习基础达标测试题3（附答案）1．如图，菱形ABCD 中，AB ∥y 轴，且B （﹣10，1）、C （2，6），则点A 的坐标为（ ）A ．（﹣10，12）B ．（﹣10，13）C ．（﹣10，14）D ．（2，12） 2．如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（ ）A ．24B ．18C ．12D ．93．在A B C 中，点D 是边BC 上的点（与B ，C 两点不重合），过点D 作DE //AC ，DF//AB ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，下列说法正确的是（ ）A ．若AD BC ⊥，则四边形AEDF 是矩形B ．若AD 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是矩形C ．若BD CD =，则四边形AEDF 是菱形D ．若AD 平分BAC ∠，则四边形AEDF 是菱形4．在菱形ABCD 中，AE BC ⊥，AF CD ⊥，且E ，F 分别为BC ，CD 的中点，那么EAF ∠的度数为（ ）A ．75B ．60C ．45D ．305．菱形不具备的性质是（ ）A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形6．若顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是菱形，则原四边形一定是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．平行四边形D ．对角线相等的四边形7．如图，在菱形ABCD 中，23DAF ∠=︒，60ADC ∠=︒，AF 交对角线BD 于点E ，交CD 边于点F ，则BEC ∠=（ ）A ．53︒B ．63︒C ．73︒D ．83︒8．如图，△ABC 中，点P 是AB 边上的一点，过点P 作PD ∥BC ，PE ∥AC ，分别交AC ，BC 于点D ，E ，连按CP ．若四边形CDPE 是菱形，则线段CP 应满足的条件是（ ）A ．CP 平分∠ACBB ．CP ⊥ABC ．CP 是AB 边上的中线D ．CP ＝AP9．菱形的两条对角线长分别是6cm 和8cm ，则它的面积是（ ）A ．6cm 2B ．12cm 2C ．24cm 2D ．48cm 210．如图，已知四边形ABCD 是菱形，过顶点D 作DE AD ⊥，交对角线AC 于点E ，若20DAE ∠=，则CDE ∠的度数是（ ）A ．70B ．60C ．50D ．4011．已知四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，AC=8cm ，DB=6cm ，菱形的边长是________ cm ，面积是________ cm 2 ．12．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和______.13．菱形的两对角线长分别为10和24，则它的面积为____________.14．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB 8=，E 是AB 的中点，则OE 的长等于________．15．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠DAB=60°，点E 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，则PB+PE 的最小值为__________.16．如图，在ABC 中，D 为BC 上一点，//DE AC 交AB 于E 点，//DF AB 交AC 于F 点，当AD 满足条件________时，四边形AEDF 是菱形．17．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF 分别与AB 、DC 相交于E 、F 两点，若AC ＝10，BD ＝4，则图中阴影部分的面积等于_____．18．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG =BD ，连接 BG ，DF ．若AF =8，CF =6，则四边形BDFG 的周长为_______________．19．如图，正方形ABCO 的顶点A 、C 在坐标轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠EBD=120°，BC=2，则点E 的坐标是_____．20．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且OC=OD,PD ∥AC ，PC ∥BD ，PD ，PC 相交于点P ，四边形PCOD 是菱形吗？试说明理由．21．如图，在ABC 中，AB AC =，O 过点B 、C ，且交边AB 、AC 于点E 、F ，已知A ABO ∠=∠，连接OE 、OF 、OB ．() 1求证：四边形AEOF 为菱形；()2若BO 平分ABC ∠，求证：BE BC =．22．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且6A C c m =，8BD cm =，动点P ，Q 分别从点B ，D 同时出发，运动速度均为1/cm s ，点P 沿B C D →→运动，到点D 停止，点Q 沿D O B →→运动，到点O 停止1s 后继续运动，到点B 停止，连接AP ，AQ ，PQ ．设APQ 的面积为()2y cm （这里规定：线段是面积0的几何图形），点P 的运动时间为()x s ．()1填空：AB =________cm ，AB 与CD 之间的距离为________cm ；()2当410x ≤≤时，求y 与x 之间的函数解析式；()3直接写出在整个运动过程中，使PQ 与菱形ABCD 一边平行的所有x 的值．23．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE∥AC，CE∥BD，△ABO 是等边三角形，试判断四边形BECO的形状，并给出证明．24．如图，已知：△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC 交AC于F.请问四边形DECF是菱形.吗?说明理由.25．在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y 轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．（1）如图1，顶点F在边AB上，当CG=OD时，①求m的值；②菱形DEFG是正方形吗?如果是请给予证明.（2）如图2，连接BF，设CG=a，△FBG的面积为S，求S与a的函数关系式；（3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，请直接写出m的值．26．如图，将ABCD沿EF折叠，恰好使点C与点A重合，点D落在点G处，连接AC、CF．()1求证：ABE AGF≅．()2判断四边形AECF的形状，说明理由．27．（提高题）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD•交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．参考答案1．C【解析】【分析】根据两点间距离公式求出BC，再根据菱形的性质即可解决问题．【详解】∵B（﹣10，1）、C（2，6），∴BC=13．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=13，∴点A坐标为（﹣10，14）．故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质、两点间距离公式、坐标与图形性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．2．A【解析】【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故选A．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.3．D【解析】【分析】根据矩形、菱形的判定定理逐一进行判断即可.【详解】AD BC⊥，不能证明四边形AEDF有直角，故A选项错误，AD垂直平分BC，不能证明四边形AEDF有直角，故B选项错误，BD CD=，与四边形AEDF是菱形没有关系，故C选项错误.∵AD平分BAC∠，∴∠BAD=∠DAC∵DE//AC，DF//AB，∴∠EAD=∠ADF，∴∠DAC=∠ADF，∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形，D选项正确，故选D.【点睛】本题考查矩形、菱形的判定，熟练掌握矩形、菱形的性质及判定定理是解题关键. 4．B【解析】【分析】如图，根据已知条件和四边形的内角和为360度可得∠C+∠EAF=180°，又因为∠B+∠C=180°，再由已知条件证得BE=12BC，AB=BC，BE=12AB，即可求得∠EAF=60°．【详解】如图，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AFC+∠AEC=180°，∴∠C+∠EAF=180°．又∵∠B+∠C=180°，∴∠EAF=∠B．又∵BE=12BC，AB=BC，∴BE=12 AB，∴∠BAE=30°，∴∠B=60°，∴∠EAF=60°．故选B．【点睛】本题主要考查的知识点：（1）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半的逆定理；（2）菱形的两个邻角互补；（3）同角的补角相等；（4）菱形的四边相等．5．B【解析】【分析】根据菱形的性质逐项进行判断即可得答案.【详解】菱形的四条边相等，菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，菱形对角线垂直但不一定相等，故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．6．D【解析】【分析】画出图形，由菱形的四边相等和中位线性质可知该四边形的两条对角线相等.【详解】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF=FG=GH=EH，BD=2EF，AC=2FG，∴BD=AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：D．【点睛】本题考查了菱形和三角形中位线的知识，注意只能得到对角线相等，无法进一步确定该四边形的特点.7．A【解析】【分析】根据对称性可知：∠DAE=∠DCE=23°，∠ADE=∠CDE=30°，再利用三角形的外角的性质即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，∴点A、点C关于直线BD对称，∴∠ADF=∠CDB=30°，∠DAE=∠DCE=23°，∴∠BEC=∠CDE+∠ECD=53°，故选：A．【点睛】本题考查菱形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．A【解析】【分析】根据菱形的性质进行解答即可.【详解】∵四边形CDPE是菱形，∴∠DCP=∠ECP，∴CP平分∠ACB，故选：A．【点睛】本题考点：菱形的性质.解此题的关键在于熟练掌握菱形的有关知识点. 9．C【解析】【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．【详解】根据对角线的长可以求得菱形的面积，根据S=12ab=12×6cm×8cm=24cm2．故选：C．【点睛】考查菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积的两种计算方法是解题的关键.10．C【解析】【分析】利用菱形的对角线平分每组对角，进而得出∠ADC的度数，进而得出∠CDE的度数．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAC=∠BAC，∵∠DAE=20°，∴∠BAC=20°，∴∠ADC=180°−40°=140°，∵DE⊥AD，∴∠CDE=140°−90°=50°.故答案选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形的性质与运用.11．5； 24【解析】 分析：先根据菱形的性质得142AC BD OA OC AC ⊥===，， 132BO DO BD ===，则可利用勾股定理计算出AB =5，即得到菱形的边长为5cm ，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半计算菱形ABCD 的面积．详解：如图，∵四边形ABCD 为菱形， ∴142AC BD OA OC AC ⊥===，，132BO DO BD ===，在Rt △ABO 中,5AB ===，∴菱形的边长为5cm ,菱形的面积216824().2cm =⨯⨯= 故答案为：5，24.点睛：考查菱形的性质，熟记菱形的面积公式是解题的关键.12．【解析】【详解】如图所示： 3,4,AB AC BD ===∵四边形ABCD 是平行四边形112,22OA AC OB BD ∴====∵22223+=，90.AOB ∴∠=即两条对角线互相垂直，∴这个四边形是菱形，∴142S =⨯⨯=故答案为13．120【解析】根据菱形的面积等于对角线之积除以2，可知其面积为10×24÷2=120. 故答案为：120.14．4【解析】【分析】题目已知O 是菱形对角线交点，于是可以得到O 是AC 的中点；结合E 是AB 的中点，就能得到OE 是△CAB 的中位线；利用中位线的性质得到1OE BC 2=，进而结合已知求出OE 的长.【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴OA=OC.∵E 是AB 的中点，∴OE 是△CAB 的中位线， ∴1.2OE BC = ∵8AB BC ==，∴OE=4.故答案为：4.【点睛】考查菱形的性质以及三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键.15【解析】试题分析：连接DE，与AC相交于点P’，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，∴P′D＝P′B，∴PB＋PE的最小长度为DE的长，∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△BCD是等边三角形，BD＝BC＝2，∵E为BC中点，∴DE⊥BC，BE＝1，∴DE，即PB＋PE点睛：本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、等边三角形的性质，熟练掌握最短距离问题的模型并能进行推理计算是解决问题的关键．∠16．平分BAC【解析】【分析】因为有一直角的平行四边形是矩形，可添加条件：∠BAC=90°；邻边相等的平行四边形是菱形，可添加条件：AD平分∠BAC；【详解】若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC,DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴∠DAF=∠FDA.∴AF=DF.∴平行四边形AEDF为菱形。
22.14菱形的性质与判定大题专练(重难点培优)(原卷版)【沪教版】
2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪教版】专题22.14菱形的性质与判定大题专练姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一．解答题（共24小题）1．（2021春•黄浦区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，点E为BC的中点（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）联结BD，如果BD平分∠ABC，AD＝2，求BD的长．2．（2020春•万州区期末）已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若四边形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．3．（2019春•闵行区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D、E分别在边AB、BC上，且DE∥AC，AD ＝DE，点F在边AC上，且CE＝CF，联结FD．（1）求证：四边形DECF是菱形；（2）如果∠A＝30°，CE＝4，求四边形DECF的面积．4．（2019•松江区二模）如图，已知▱ABCD中，AB＝AC，CO⊥AD，垂足为点O，延长CO、BA交于点E，联结DE．（1）求证：四边形ACDE是菱形；（2）联结OB，交AC于点F，如果OF＝OC，求证：2AB2＝BF•BO．5．（2017•新区一模）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．6．（2021秋•浦东新区校级月考）已知：点E在菱形ABCD的边BC的延长线上，AE交CD于点F，FG∥CE交DE于点G．求证：FG＝FC．7．（2021春•青浦区期末）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，FC与对角线BD交于点G，过G作GE⊥BC于点E，∠ADB＝∠FCB．（1）求证：AB＝2BE；（2）求证：DG＝CF+GE．8．（2019•兴化市模拟）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，且E为边AB的中点．（1）求∠A的度数；（2）如果AB＝4，求对角线AC的长．9．（2021春•临沧期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC．（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝6，AB＝5，求BF的长．10．（2021春•永城市期末）如图，在▱ABCD中，G是CD的中点，E是边长AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形．（2）若BC＝2AB＝8，∠B＝60°．填空：①当AE＝时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝时，四边形CEDF是菱形．11．（2021•饶平县校级模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，求四边形AODE的面积．12．（2020•中山市一模）如图，已知平行四边形ABCD．（1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形；（2）若∠BAD＝120°，CD＝4，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积．13．（2020春•濮阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝50°，①则当∠ADE＝°时，四边形BECD是矩形；②则当∠ADE＝°时，四边形BECD是菱形．14．（2021•黄冈模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．15．（2020秋•西城区校级月考）如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连接AE，交OD于点F，连接CF，若CF＝CE＝1，求AC长．16．（2021•房山区一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，点F在BC上，且CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接BD，若∠ABD＝90°，AE＝4，CF＝2，求BD的长．17．（2020春•雨花区校级期末）如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）求证：四边形CDMN为菱形；（3）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE＝1，∠1＝∠2，求NC的长．18．（2021秋•丹东期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P，BF⊥CD于点F．（1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由；（2）如果BE＝3，BF＝6，求出DP的长．19．（2020•新华区校级一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．（1）求证：CE＝AF；（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝46°，求∠CBE的度数．20．（2017秋•莲湖区校级月考）如图，菱形ABCD中，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足CF＝DE，∠A＝60°．（1）求证：△BEF是等边三角形．（2）若菱形ABCD的边长为6，当△DEF的面积为时，求DE的长．21．（2020•滦州市二模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明：四边形ADCF是菱形；（3）若AC＝4，AB＝5，直接写出菱形ADCF的面积．22．（2020•易门县二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数．（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．23．（2021•西湖区校级三模）如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝AE；（2）连接CM，DF＝2．①求菱形ABCD的周长；②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．24．（2020•衢州模拟）【猜想】如图1，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD．BC于点E．F．若平行四边形ABCD的面积是8，则四边形CDEF的面积是．【探究】如图2，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，若AC＝5，BD＝10，求四边形ABFE的面积．【应用】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BC到点D，使DC＝BC，连接AD，若AC＝3，AD＝2，则△ABD的面积是．。
人教版八年级下册数学 18.2矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明 习题精选(含答案)
矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选矩形的性质和判定1．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的和为15，则短边的长是________。
2．如图32-3-1，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1____S2。
3．如果矩形一个角的平分线分一边为4 cm和3 cm两部分，那么矩形的周长为_______。
4．现有一张长为40cm, 宽为20 cm的长方形纸片（如图32-3-2所示），要从中剪出长为18 cm，宽为12 cm的长方形纸片，则最多能剪出___张。
5．矩形的一条较短边的长为5 c m，两条对角线的夹角为60°，则它的对角线的长等于_____ cm。
6．如图32-3-3，在矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE=____度。
7．下列说法中正确的是( )A．一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形。
B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形。
C．对角线互相垂直的平行四边开是矩形。
D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形。
8．四边形ABCD的对角线相交于O，在下列条件中，不能说明它为矩形的是（）A．AB=CD,AD=BC, BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°, ∠BAD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD, ∠ABC+∠ADC=180°★菱形的性质和判定9．己知菱形的锐角是60°，边长是20 cm，则较长对角线是_____。
10．菱形两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，它的高为______。
11．菱形的一个内角是120°，平分这个内角的一条对角钱长为13 cm，则菱形的周长是____。
12．菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是_____。
_2020—2021学年鲁教版(五四制)数学八年级下册6.1-菱形的性质与判定 练习
鲁教版数学八年级下册6.1-菱形的性质与判定练习一、选择题1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 对角相等2.四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD=30°，BD=2，则菱形ABCD的面积为()A. 2√3B. 4√3C. 4D. 83.在菱形ABCD中，∠A=110°，E、F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD，垂足为P，则∠EPF=()A. 35°B. 45°C. 50°D. 55°4.如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是()A. 95B. 125C. 165D. 2455.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的周长是()A. 28 cmB. 20 cmC. 16 cmD. 14 cm6.不同颜色的丝带，代表着不同的意义--象征“平安归来”的黄丝带，象征“健康归来”的绿丝带，如图所示，丝带重叠部分形成的图形是()A. 矩形B. 正方形C. 菱形D. 等腰梯形7.如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()A. AC⊥BDB. AB=ADC. AC=BDD. ∠ABD=∠CBD8.已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是()A. 165°B. 150°C. 135°D. 120°9.已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5,0)，OB=4√5，点P是对角线OB上的一个动点，D(0,1)，当CP+DP最短时，点P的坐标为()A. (0,0)B. (1,12)C. (65,3 5 )D. (107,5 7 )10.如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD=6，DE⊥AB于点E，则DE的长为()A. 4.8B. 5C. 9.6D. 1011.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE=CB，连接AE.下列结论①AE=2OD；②∠EAC=90°；③四边形ADBE为平行四边形；④S四边形AEBO=34S菱形ABCD中，正确的个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.如图，已知AB=8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60°.M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为()A. 4B. 2√3C. 4√3D. 6二、填空题13.已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则该菱形面积是______．14.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=2√3，BD=2，求菱形边上的高DE为______．15.在菱形ABCD中，对角线AC=2，BD=4，则菱形ABCD的周长是______．16.如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P坐标是(3,4)，则顶点M、N的坐标分别是______．17.已知菱形ABCD的周长为40cm，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，菱形的边长是______ cm，面积是______ cm2．18.如图，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为_____．19.如图，菱形ABCD的边长为6，M、N分别是边BC、CD上的点，且MC=2MB，ND=2NC，点P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是______．三、计算题20.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE//AC，且DE：AC=1：2，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．(1)求证：OE=CD；(2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．四、解答题21.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BA=BC，BD平分∠ABC．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC=5，BD=8，求四边形ABED的周长．22.如图(1)，菱形ABCD的边长为√3，∠ABC=60°，点E是边AB上任意一点(端点除外)，线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F、G，连接AF．(1)求证：AF=EF；(2)如图(2)，取AE，EF的中点分别为M，N，连接MN、GN．①求MN+NG的最小值；②当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？若不变，请求出其角度；若变化，请说明理由．答案1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】D10.【答案】A11.【答案】D12.【答案】B13.【答案】2414.【答案】√315.【答案】4√516.【答案】(5,0)，(8,4)17.【答案】5 2418.【答案】7√319.【答案】6AC．20.【答案】(1)证明：在菱形ABCD中，OC=12∵DE：AC=1：2，∴DE=OC，∵DE//AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE=CD．(2)解：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2．∴在矩形OCED中，CE=OD=√AD2−AO2=√22−12=√3．在Rt△ACE中，AE=√AC2+CE2=√22+(√3)2=√7．21.【答案】(1)证明：∵AD//BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AD=AB，∵BA=BC，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BA=BC，∴四边形ABCD是菱形；(2)解：∵DE⊥BD，∴∠BDE=90°，∴∠DBC+∠E=∠BDC+∠CDE=90°，∵CB=CD，∴∠DBC=∠BDC，∴∠CDE=∠E，∴CD=CE=BC，∴BE=2BC=10，∵BD=8，∴DE=√BE2−BD2=6，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=5，∴四边形ABED的周长=AD+AB+BE+DE=26．22.【答案】解：(1)连接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF=EF，∵四边形ABCD为菱形，∴A和C关于对角线BD对称，∴CF=AF，∴AF=EF；(2)①连接AC，∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，∴MN=12AF，NG=12CF，即MN+NG=12(AF+CF)，当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，AF+CF最小，即此时MN+NG最小，∵菱形ABCD边长为√3，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，AC=AB=√3，即MN+NG的最小值为√32；②不变，理由是：延长EF，交DC于H，∵∠CFH=∠FCE+∠FEC，∠AFH=∠FAE+∠FEA，∴∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA，∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：∠AFD=∠CFD=12∠AFC，∵AF=CF=EF，∴∠AEF=∠EAF，∠FEC=∠FCE，∴∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FAE+∠CEF，∴∠ABF=∠CEF，∵∠ABC=60°，∴∠ABF=∠CEF=30°，为定值．。
菱形的性质与判定之八大考点(解析版)--初中数学专题训练 (2)
菱形的性质与判定之八大考点【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】【考点二利用菱形的性质求线段长】【考点三利用菱形的性质求面积】【考点四利用菱形的性质证明】【考点五添一个条件使四边形是菱形】【考点六证明四边形是菱形】【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】【考点八根据菱形的性质与判定求面积】【过关检测】【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】1(2023秋·陕西汉中·九年级统考期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAD =110°，则∠OBC的度数为________．【变式训练】1(2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BCD=50°，则∠DHO的度数为．2(2023春·八年级单元测试)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AE=FE，∠BEC=58°，则∠AFE的度数为．【考点二利用菱形的性质求线段长】1例题：(2023·辽宁鞍山·统考一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为8和6，DE⊥AB，垂足为E，则DE的长为______．【变式训练】1(2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模)如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长为．2(2022秋·陕西榆林·九年级校考期末)如图，已知四边形ABCD是菱形，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．(1)求证：AE=AF；(2)若AB=10，CE=4，求菱形ABCD的面积．【考点三利用菱形的性质求面积】1(2023春·广东韶关·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=7，BD=4，则菱形ABCD的面积为_______．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习)菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为，面积为．2(2023春·浙江·八年级专题练习)如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB= 25cm，AC=4cm，则BD的长为__cm，菱形ABCD的面积为cm2．【考点四利用菱形的性质证明】1(2023春·湖北襄阳·八年级统考阶段练习)如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边AB，AD的延长线上，且BE=DF，连接CE，CF．求证：CE=CF．【变式训练】1(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF(1)求证：AE=AF；(2)若∠B=60°，求∠AEF的度数．2(2023春·广东肇庆·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF．(1)求证：AF=DF；(2)若∠BAD=70°，求∠FDC的度数．【考点五添一个条件使四边形是菱形】1(2023·黑龙江牡丹江·统考二模)如图，四边形ABCD是平行四边形．请添加一个条件_______，使平行四边形ABCD为菱形．(只填一种情况即可)【变式训练】1(2023·安徽·校联考一模)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB∥CD，AO= CO，想要判断四边形ABCD是菱形，则可以添加一个条件是．2(2023春·湖南永州·八年级统考期中)如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC 的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．【考点六证明四边形是菱形】1(2023·吉林长春·统考一模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．过点D分别作DE⊥AB 于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考期中)▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E，F，求证：四边形AFCE是菱形？2(2023·吉林长春·统考二模)如图，AC为▱ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，AE= AF，连接EF交AC于点G．若AC⊥EF，求证．四边形ABCD是菱形．【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】1(2023春·全国·八年级专题练习)如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⎳BC交AB于点E，DF⎳AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)如果∠A=80°，∠C=30°，求∠BDE的度数．【变式训练】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD 的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠ABC=60°，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．2(2023·广东广州·校考二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=10，BD=2，求OE的长度．3(2023春·全国·八年级专题练习)如图，平行四边形ABCD中，AD=BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．(1)求证：四边形BDEC是菱形；(2)连接BE，若AB=6，AD=9，则BE的长为．【考点八根据菱形的性质与判定求面积】1(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF ⊥DC于点F，且BE=DF．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形(2)若∠EAF=60°，CF=2，求菱形ABCD的面积．【变式训练】1(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠A=75°，AC=8，求菱形DFCE的面积．2(2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学校考期中)如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AD=3，CD=2，且∠ADC=60°，求菱形AECF的面积．3(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测)如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AB=5，BC=12，EF=6，求：①BO的长；②菱形AFCE的面积．【过关检测】一、选择题1(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)如图，BD 为菱形ABCD 的对角线，已知∠A =50°，则∠BDC 的度数为()A.130°B.50°C.55°D.65°2(2023·浙江·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，则AC 的长为()A.12B.1C.32D.33(2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习)如图，在菨形ABCD 中，过顶点C 作CE ⊥BC 交对角线BD 于E 点，已知∠A =134°，则∠BEC 的大小为()A.67°B.57°C.33°D.23°4(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD 中，对角线BD =43，∠BAD =120°，则菱形ABCD 的面积是()A.83B.8C.163D.435(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是边AB，AD的中点，DE，BF相交于G，连接CG，以下结论正确的有( )个①∠BGD=120°；②SΔADE:SΔGBC=2:3；③BG+DG=CG；④S菱形ABCD=32AB2A.1B.2C.3D.4二、填空题6(2023春·天津滨海新·八年级校考期中)如图，已知菱形ABCD，AC=6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于．7(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，AB=10，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠ABO=32°，则OE的长等于，∠ADO的度数为．8(2023·全国·八年级假期作业)如图，已知菱形ABCD的顶点A和B的坐标分别为-2，0、3，0，点C在y轴的正半轴上．则点D的坐标是．9(2023·河南新乡·统考三模)如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°,AB=2，点E是AB的中点，点F 在AC上．若∠BEF=45°，则线段FG的长为．10(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是．三、解答题11(2023春·湖南郴州·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=30°，BD=6，求菱形的边长和对角线AC的长．12(2023·福建泉州·统考二模)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，CE⊥AB，已知OC =2，BE=7．(1)求菱形ABCD的面积．(2)求BD的长．13(2023·江苏镇江·统考二模)如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，连接BF并延长，交AD的延长线于点E，连接CE．(1)求证：△DFE≌△CFB；(2)当BD、BC满足关系时，四边形BCED是菱形．14(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，过点C作CE⊥AD于点E，过点A作AF⊥CD于点F，且AF=CE．(1)求证：四边形ABCD为菱形．(2)若OB=8，OC=6，求AF的长．15(2023·浙江温州·校考三模)如图，在▱ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF=BE，连接AE，DF，EF，ED平分∠AEF．(1)求证：四边形AEFD是菱形．(2)若∠BDC=45°，DE=2CF，AB=102，求▱ABCD的面积．16(2023春·浙江·八年级专题练习)已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，CF．(1)求证：四边形ABGE是菱形；(2)若∠ABC=60°，AB=4，AD=5，求CF的长．17(2023春·浙江·八年级专题练习)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．18(2023·全国·模拟预测)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E，F在直线AD上，且DE=DF．(1)求证：四边形BECF是菱形；(2)若DF=BC=8，AB=AF，求AB的长．。
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-1菱形的性质与判定》同步达标测试(附答案)
2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-1菱形的性质与判定》同步达标测试（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．若菱形的两条对角线长分别为10和24，则菱形的面积为（）A．13B．26C．120D．2402．菱形的周长为8cm，两相邻角度数比是1：2，则菱形的面积是（）A．2cm2B．2cm2C．4cm2D．4cm23．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H．则DH＝（）A．6B．C．D．54．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB 交CD于点F，则EF的长为（）A．4.8B．2C．5D．65．如图，在正五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠F AE的度数为（）A．30°B．32°C．36°D．40°6．如图，平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O、E，若EC＝3，CD＝4，则BO的长为（）A．4B．3C．D．28．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB 于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．9．如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AD、CD上，且AE＝CF，BA＝BE．若∠EBF＝60°，则∠C的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．100°10．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二．填空题（共10小题，满分40分）11．菱形ABCD的周长为16，∠ABC＝120°，则AC的长为．12．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（，0），C（0，﹣2），D（，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是．13．如图，菱形ABCD的面积为30，对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，DH⊥AB于点H，连接OH，OH的长度为．14．如图，在菱形ABCD外侧作等边△CBE，连接DE、AE．若∠ABC＝100°，则∠DEA 的大小为．15．如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为10，一条对角线为12时，则阴影部分的面积为．16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC于点E，若AC ＝6，BD＝8，则OE＝．17．如图，两个宽度都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，两纸条边缘的夹角为α＝30°，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为．18．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，点F分别在边AB和边AD上，BE＝AF，则∠AEC+∠AFC的度数为．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，P为BC上一动点，则AP的最小值为．20．如图，菱形ABCD和菱形EFGH的面积分别为9cm2和64cm2，CD落在EF上，∠A＝∠E，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是cm2．三．解答题（共4小题，满分40分）21．如图，点E、F在菱形ABCD的对角线AC上，且AF＝CE，求证：DE＝BF．22．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，连接OE．求证：四边形ABCD是菱形．24．在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，并连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝6，∠BEF＝120°，求四边形BCFE的周长．参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：∵菱形的两条对角线长分别为10和24，∴菱形的面积为×10×24＝120，故选：C．2．解：∵菱形的周长为8cm，∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°∵两相邻角的度数之比为1：2，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC＝AB＝2cm．∴OA＝1（cm）．在Rt△AOB中，根据勾股定理可得：OB＝＝＝（cm），∴BD＝2OB＝2（cm），∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×2×2＝2（cm2），故选：A．3．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB＝＝5，则AD＝5，∵S菱形ABCD＝•AC•BD，S菱形ABCD＝DH•AB，∴DH•5＝×6×8，∴DH＝．故选：B．4．解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，AC＝8，∴OB＝BD＝3，OA＝AC＝4，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝5，∵S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•EF，即×6×8＝5EF，∴EF＝4.8．故选：A．5．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝∠ABC＝108°，∵四边形ABCF是菱形，∴AF∥BC，∴∠ABC+∠BAF＝180°，∴∠BAF＝180°﹣108°＝72°，∴∠F AE＝∠BAE﹣∠BAF＝108°﹣72°＝36°．故选：C．6．解：∵平行四边形ABCD中，AD＝DC，∴四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝55°，∵PE⊥CD，AB∥CD，∴PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°，故选：A．7．解：连接DE．在直角三角形CDE中，EC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得DE＝5．∵AB＝AD，BO＝OD，∴AE⊥BD，∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．∴DE＝BE＝5．∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE＝5，∴BC＝BE+EC＝8，∴四边形ABED是菱形，由勾股定理得出BD＝，∴BO＝BD＝2，故选：D．8．解：连接BP，如图，∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为24，面积为24，∴BA＝BC＝6，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，∵S△ABC＝S△P AB+S△PBC，∴×6×PE+×6×PF＝12，∴PE+PF＝4，故选：A．9．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＝∠C，在△ABE与△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∴BC＝BF，∴∠C＝∠BFC，设∠ABE＝∠CBF＝α，∵∠EBF＝60°，∴∠ABC＝2α+60°，∴∠C＝180°﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣60°＝120°﹣2α，∴∠BFC＝∠C＝120°﹣2α，∵∠C+∠BFC+∠CBF＝180°，∴120°﹣2α+120°﹣2α+α＝180°，∴α＝20°，∴∠C＝80°，故选：B．10．解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AE＝AC，∵∠BAC＝30°，∴∠EAF＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，∵F为AB的中点，∴AB＝2AF，∴BC＝AF，在△ABC和△EF A中，，∴△ABC≌△EF A（SAS），∴FE＝AB，∠AEF＝∠BAC＝30°，∴∠AHE＝180°﹣∠EAC﹣∠AEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴EF⊥AC，故①正确，∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，∴FH∥BC，∵F是AB的中点，∴FH是△ABC的中位线，∴FH＝BC，∵BC＝AB，AB＝BD，∴BD＝4FH，故④正确；∵AD＝BD，BF＝AF，∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，∵∠F AE＝90°，∴∠DFB＝∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF＝30°，∴∠BDF＝∠FEA，在△DBF和△EF A中，，∴△DBF≌△EF A（AAS），∵FE＝AB＝AD，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AB＞AC，∴AD＞AE，∴四边形ADFE不是菱形，故②错误；∵AG＝AF，∴AG＝AB，∵AD＝AB，则AD＝4AG，故③正确，故选：C．二．填空题（共10小题，满分40分）11．解：设AC与BD交于点E，如图所示：∵菱形ABCD的周长为16，∠ABC＝120°，∴∠ABE＝60°，AC⊥BD，AB＝AD＝4，AE＝BE，DE＝BE，∴△ADB是等边三角形，∠AEB＝90°，∴AB＝BD＝AD＝4，∴BE＝DE＝2，∴AE＝＝＝2，∴AC＝2AE＝4，故答案为：4．12．解：∵A（0，2），B（，0），C（0，﹣2），D（，0），∴OA＝OC＝2，OB＝OD＝2，∴四边形ABCD是平行四边形，∵A，C在y轴上，C，D在x轴上，∴▱ABCD是菱形．故答案为：菱形．13．解：∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝×10×BD＝30，∴BD＝6，∵DH⊥AB，在Rt△BHD中，点O是BD的中点，∴OH＝BD＝×6＝3．故答案为：3．14．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，AB∥CD，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝80°，∵△CBE是等边三角形，∴BC＝BE＝CE，∠CBE＝∠BCE＝∠BEC＝60°，∴AB＝BE，CD＝CE，∠DCE＝140°，∠ABE＝160°，∴∠CED＝∠CDE＝（180°﹣∠DCE）＝20°，∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣160°）＝10°，∴∠DEA＝∠BEC﹣∠DEC﹣∠BEA＝30°，故答案为：30°．15．解：连接AC、BD，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝10，OB＝OD＝BD＝6，OA＝OC，AC⊥BD，∴OA＝＝＝8，∴AC＝2OA＝16，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×16×12＝96，∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝×96＝48；故答案为：48．16．解：∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，∴BC＝＝＝5，∵OE⊥BC，∴S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OE，∴OE＝＝＝，故答案为：．17．解：如图，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，则AE＝AF＝1，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AE＝CD×AF，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵∠ADC＝α＝30°，∠AFD＝90°，∴CD＝AD＝2AF＝2，∴菱形ABCD的面积＝CD×AF＝2×1＝2，故答案为：2．18．解：连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠D＝∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝CD，∠BAC＝60°＝∠D，∵BE＝AF，∴AE＝DF，在△ACE和△DCF中，，∴△ACE≌△DCF（SAS），∴∠AEC＝∠DFC，∵∠DFC+∠AFC＝180°，∴∠AEC+∠AFC＝180°，故答案为：180°．19．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，AO＝CO＝1，BO＝DO＝2，∴AC＝2，BD＝4，AB＝＝，∵P为BC上一动点，∴当AP⊥BC时，AP有最小值，∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AP，∴AP＝，∴AP的最小值为，故答案为：．20．解：如图，连接FH，∵四边形ABCD是菱形，四边形EFGH是菱形，∠A＝∠E，∴∠ADC＝∠EFG，∠BDC＝∠ADC＝∠EFH＝∠EFG，△BDC的面积＝×S菱形ABCD＝4.5（cm2），∴BD∥FH，∴△BDH的面积＝△BDF的面积，∴△BDH的面积＝S△BDC+S△BCF＝8.5（cm2），故答案为8.5．三．解答题（共4小题，满分40分）21．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB，CD∥AB，∴∠DCA＝∠BAC，在△DCE和△BAF中，，∴△DCE≌△BAF（SAS），∴DE＝BF．22．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝DC，∵BE＝BF，∴AE＝CF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE．23．证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形．24．（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，BC＝2DE，又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵EF＝BE，∴平行四边形BCFE是菱形；（2）解：由（1）得：四边形BCFE是菱形，∴BC＝CF＝BE＝EF，∵∠BEF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴BC＝BE＝CE＝6，∴菱形BCFE的周长＝4BC＝24．。
人教版 八年级数学下册 第18章 菱形的性质和判定 专项练习题
人教版 八年级数学下册第18章 菱形的性质和判定 专项练习 （含答案）一、单选题（共有9道小题）1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A.对边平行B.对角线互相平分C.对边相等D.对角线互相垂直2.如图，在菱形ABCD 中， ∠BAD ＝120°． 已知△ABC 的周长是15，则菱形ABCD 的周长是（）A ．25B ．20C ．15D ．103.如图，要使□ABCD 成为菱形，则需要添加的条件是（ ）A.AB=CDB.AC=BDC.AO=OCD.AC ⊥BD4.如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC 的长等于（ ）米A.63B.6C.33D.35.下列命题是假命题的是（ ）A ．四个角相等的四边形是矩形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．对角线垂直的四边形是菱形D ．对角线垂直的平行四边形是菱形 6.以下四个命题正确的是（ ） A. 任意三点可以确定一个圆 B. 菱形对角线相等C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D. 平行四边形的四条边相等7.如图，四边形ABCD 中，E F ，分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（ ）A ．2AD BC EF +>B ．2AD BC EF +≥ C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤BD A CABCD8.如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，点E 在AB 上，点F 在CD 上，点G 、H 在对角线AC 上，若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ）A.B.C.5D.6 9.四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关二、填空题（共有8道小题）10.已知菱形一个内角为120°，且平分这个内角的一条对角线长为8cm ，则这个菱形的周长为 。