梁地剪力方程和弯矩方程常用弯矩图
常用弯矩图
题型：计算题题目：试作图所示悬臂梁A B的剪力图和弯矩图。
【解】1、列剪力方程和弯矩方程取坐标原点与梁左端点A对应。
选取距梁左端点A为x的任一截面，如图(a)所示，以该截面左侧梁段上的外力，写该截面上的剪力和弯矩表达式，即可得到梁A B的剪力方程和弯矩方程为上面两式后的括号内，表明方程适用范围。
由于截面A,B处有集中力作用，则其剪力为不定值，第一式的适用范围为。
由于截面B有集中力偶作用，则其弯矩也为不定值，第二式的适用范围为关于这个问题，待后面作进一步说明。
2、作剪力图和弯矩图剪力方程表明，梁各截面上的剪力都相等，因此剪力图应是一条平行于横轴的直线。
取直角坐标系x—，画出梁的剪力图为一水平直线。
因各横截面的剪力为负值，故画在横轴下面，如图（b）所示。
弯矩方程表明，弯矩M是x的一次函数，因此弯矩图应是一条倾斜直线。
可以确定其上两点，在x = 0处，M=0；在x=L处（应理解为x略小于L处），M=P L。
取直角坐标系O x M，表示弯矩的纵坐标以向下为正，画出梁的弯矩图，如图（c）所示。
由图可见，最大弯矩发生在固定端B稍偏左的横截面上，其值为常见问题题2题型：计算题题目：试作图（a）所示简支梁A B的剪力图和弯矩图。
【解】1、求支座反力由梁的平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为2、列剪力方程和弯矩方程取坐标原点与梁左端点A对应。
列出梁A B的剪力方程和弯矩方程为3、作剪力图和弯矩图剪力方程表明，剪力是x的一次函数，剪力图应是一条倾斜直线。
因此，只要确定其上两点，即可绘出该梁的剪力图。
在处（应理解为x略大于0）,；处（应理解为x略小于），。
画出梁的剪力图，如图(b)所示。
由剪力图可见，，该梁最大剪力发生在支座内侧的横截面上，其值为弯矩方程表明，弯矩M是x的二次函数，弯矩图应是一条抛物线。
因此，只要确定其上三个点，即可绘出该梁的弯矩图。
在处，M=0；在处，M=0；在处，。
画出弯矩图，如图6-12(c)所示。
快速绘制梁的剪力图和弯矩图
CB段： Ｆ
3、依方程而作图
简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和 弯矩图。 解：1.求约束反力
2.列剪应力方程和弯矩方程 AC段: V
CB段：V
3、依方程而作图
荷载图、剪力图、弯矩图的规律
从左往右做图
在无荷载作用的梁段：剪力图为水平线，弯矩图为斜直线， 斜率的大小等于对应梁段上剪力的大小。V>0时向右下方斜斜， V<0时向右上方倾斜，V=0时为水平线。 在均布荷载作用的梁段上：剪力图为斜直线，斜率等于荷载 集度，q<0（ ）向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。 弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸起；q>0（ ）向上凸。 遇到集中荷载：剪力图突变，突变方向与集中荷载方向相同， 突变大小等于集中荷载的大小。弯矩图出现转折，转折方向与 集中力的方向相反。 遇到集中力偶：剪力图不变，弯矩图突变，突变方向由力偶的 转向决定，逆上顺下。突变大小等于力偶矩的大小。 极值弯矩：集中力作用截面、集中力偶截面或弯矩为零的截面。
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 分段建立方程，依方程而作图
简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力 由对称关系，可得：
2、建立内力方程
Fs
RA
qx
1 2
ql
qx
(0<x<l)
3、依方程作剪力图和弯矩图
载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 1.求约束反 力
vv vv
vv v v
v
利用上述规律：
1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。 2、可以快速的绘制剪力图和弯矩图，步骤如下： （1）将梁正确分段 （2）根据各段梁上的荷载情况，判断剪力图和弯矩图的 形状
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
截面位置对剪力和弯矩的影响
总结词
截面位置对剪力和弯矩具有显著影响。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发生变化。
详细描述
在结构分析中，截面位置是影响剪力和弯矩的重要因素之一。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发 生变化，从而影响结构的整体受力性能。例如，在梁中选取不同的截面位置进行支撑或固定，会对梁的剪力和弯 矩产生显著影响。
05 剪力、弯矩与材料力学性 能的关系
材料弹性对剪力和弯矩的影响
弹性材料在剪力和弯矩作用下会发生弹性变形，变形量与外力成正比，当外力去 除后，材料能够恢复原状。
弹性材料的剪切模量和弯曲刚度决定了剪力和弯矩的大小，剪切模量越大，材料 抵抗剪切变形的能力越强；弯曲刚度越大，材料抵抗弯曲变形的能力越强。
根据绕顺时针方向观察确定，使上侧 纤维受拉时为正。
02 剪力方程与弯矩方程
剪力图与弯矩图的绘制
1
剪力图和弯矩图是表示梁上剪力和弯矩随截面位 置变化的图形。
2
这些图的绘制基于剪力方程和弯矩方程的计算结 果，通过将计算得到的剪力和弯矩值标在图中相 应的位置上，并连接成线。
3
剪力图和弯矩图的绘制有助于直观地了解梁在不 同截面位置的受力状态和应力分布情况。
弯矩
在梁或结构中，由于弯曲而产生 的力矩，表示弯曲变形的大小。
剪力与弯矩在力学中的作用
剪力
主要影响结构的剪切变形，对梁的剪切承载能力有重要影响 。
弯矩
主要影响结构的弯曲变形，对梁的弯曲承载能力有重要影响 。
剪力与弯矩的符号规定
剪力正方向
根据右手定则确定，从杆件的受压一 侧指向受拉一侧。
弯矩正方向
02
材料强度越高，抵抗剪力和弯矩等外力的能力越强， 所能承受的剪力和弯矩越大。
梁的剪力方程和弯矩方程常用弯矩图
5-7.试列出下列梁的画力方程和弯拒方程，并ntuw 力图和弯拒图。
解：首先求出支座反力。
考虑梁的整休平何由 £M fi =0, Fg/ + M<,=o由工M 「0, F 加/-M 严0则距左端为X 的任一横截面上的剪力和 弯葩表达式为：两力方程为常数，表明囲图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是X 的一次函 数，表明弯矩图是一条斜直线。
（如图）解：首先求岀支座反力。
考虑梁的平衡由工瓯=0,你小-“£心0 得F RB =討由》％=0,甩./ + *厂=0 得 F RC = - * qi则相应的画力方程和弯犯方程为：©M./1兀⑴=F RA = --—•X剪力图0」25g/8KN.M6.4KN.M弯矩图解：由梁的平求出支座反力：梯=8KN, F42KNAB段作用有均布荷裁，所以AB I?的剪力图为下颐直线，弯矩图为下凹二次I!物线；BC段没有荷教作用，所以BCI3的卿力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。
在B支座处，卿力图有突变，AB段：心是）心（“）=一处BC段：（*弓）集（小¥-如qiTAB段剪力方程为冷的一次函数，弯矩方程为冷的二次函数，因lit ABH的卿力图为斜直线，弯矩图为二次枢物线；BC段卿力方程为常数，弯拒方程为X2的一次函数，所以BC段勢力图为平行梁轴线的水平线fL弯葩图为斜直线。
（如图）5-9用简便方法画下列各梁的卿力图和弯葩图。
A/ (x2) = -q ・—・ x2(2 ) g=5KN/m Mr =8KN.mF RA4m F RB 2m解：由梁的平求岀支座反力：匚=3.5KN, F KB = 6.5KNAB 与BC 段没有外载作用，所 以AB 、BCB 的勇力图为平行 梁轴线的水平线段，弯矩图为 直线；CD 段作用均布荷载， 所以CD 段的卿力图为下颐直 线，弯拒图为下凹二次拋物 线。
在B 处，剪力图有突变，突变5)反力F RB ）的大小;弯矩图有 转折，转折方向习集中力方向 一致。
梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
突变，顺下逆上，大小与M 同，FS图不发生变化。
例题
4.9
作图示梁的内力图
3kN 4.5kN m
2kN m
D
A
C
B
FA 10kN
1m 2m
2m
7
3
x 1.56 2
3
2
2.44 2
E FB 2kN 1m
kN
kNm
例题
4.10
4kN m
6kN
1m
1m
4.5
kN
FL
0 xL 0x L
kNm
例题 4.6
图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图.
20kN 40kN m
X1 A 1m 35kN
15
20
kN
20
10kN m
4m
2.5
FS x1 20kN
X2
B
0 x1 1
25kN
M x1 20x1
0 x1 1
FS x2 25 10x2
2Fl
lC
l
FCs
l
C MC
2Fl
FCs
MC
C
l
F
B D
FCs F FCs F
MC Fl MC Fl
MC 2Fl Fl 0
F
B
D
FDs
MD
F
DB
FDs F MD 0
截开后取左边为示力对象：
❖向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力； ❖向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩； ❖顺时针引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。
剪力图是斜直线. 弯矩图是二次抛物线.
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
(0 x 1m)
(1m x 2m) (1m x 2m)
FS3 1 2x (2m x 4m)
M3 x2 x 10 (2m x 4m)
22
DE段：
FS4 2kN (4m x 5m)
M4 2x 10 (4m x 5m)
例：试建立图示梁的剪力、弯矩方程，并画剪力、弯矩图。
F1=10kN
q=2kN/m
AB FA
C M0=4kN.m
F2=2kN
DE FD
解： (1) 求支反力，
由梁的平衡： FA=7kN
FD=9kN
1m 1m
2m
1m (2) 建立剪力方程和弯矩
方程（由载荷形式将梁分
AB段：
成四个区域）
M1
FA FS1 0 FS1 FA 7kN
F[(4
x)
A
1]
M3 x FS3
0
q
M
FD
3
F2 D
x2
E
x
10
FS3 1 2x (2m x 4m) M3 x2 x 10 (2m x 4m)
郭德伟 6
§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
F1=10kN
q
AB FA
1m
C
M0=4kN.m
1m
7
| FS |max 7kN
(kN.m)
| M |max 8kN m
2
郭德伟 8
§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
•剪力、弯矩方程：剪力、 弯矩沿梁轴（x轴）变化的
解析表达式。
AC段(0<x1<a)：
静定梁的弯矩
静定梁的弯矩、剪力
静定梁有三种形式：简支梁、悬臂梁、外伸梁。
这三种梁的支座反力和弯矩、剪力只要建立平衡方程，就可以求解。
图 1.5.1左右两列分别是简支梁在均布荷载和集中荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。
图1.5.2左右两列分别是简支梁在2个对称集中荷载作用和一个非居中集中荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。
图1.5.3左右两列分别是悬臂梁在均布荷载作用和一个端点集中荷载作用下的计算简图、弯矩图和剪力图。
图1.5.4左右两列分别是外伸梁在集中荷载均布荷载作用和均布荷载作用下的计算简图、弯
矩图和剪力图。
从图1.5.1～图1.5.4，我们看到，正确的弯矩图和正确的剪力图之间有如下对应关系：每个区段从左到右，弯矩下坡，剪力为正；弯矩上坡，剪力为负；弯矩为水平线时，对应区段的剪力为零；在均布荷载作用下，剪力为零所对应的截面，弯矩最大；在集中荷载作用下，弯矩最大值一般在集中荷载作用点，该点的剪力有突变，突变的绝对值之和等于集中荷载的大小。
如果不满足这个对应关系，那么弯矩图和剪力图必有一个画错了，或者两个全不对。
多跨连续梁是超静定梁，单单用平衡方程不能求解，还需要“变形协调条件”才能解联立方程进行求解。
图1.5.5是某多跨连续梁在均布荷载力作用下的变形简图、受力钢筋配置区域和弯矩图示意图。
负弯矩表示截面的上翼缘受拉、下翼缘受压；正弯矩表示截面下翼缘受拉、上翼缘受压；反弯点截面，该点弯矩等于零，在这个截面，上下截面既不受压，也不受拉。
梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
40kN m
40kN
BF
310kN
4m
2m
kN
kNm
q
q
A
C
B
a
a
q
q
A
C
B
a
a
q
A
qa
结构对称， 2 a
载荷反对称，
则FS图对称，
qa 2
M图反对称
a2
B
q
qa
a
2
qa 2
qa
2
a2
qa2
8
qa2 8
F
F
A
B
F
a aa a
F2 F2
F2
F2
Fa 2
Fa 2
结构对称，载荷对称，则FS图反对称， M图对称
2、计算1-1 截面的内力 FA
3、计算2-2 截面的内力
F=8kN
FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
q=12kN/m
FS2 q 1.5 FB 11kN
FB
M2
FB
1.5
q 1.5 1.5 2
30 kN
m
2 求图示外伸梁中的A、B、C、D、E、
例题
F、G各截面上的内力。
3kN
C A
2kN m
1kN m
6kN m
D EF BG
FA
FB
1m 1m 1m 1m 1m 1m 1m 1m
3
例题
求图示外伸梁中的1－1、2－2、3 －3、4－4和5－5各截面上的内力
6kN
6kN m
1 2 q 2kN m 3 4
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5-7．试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：首先求出支座反力。
考虑梁的整体平衡
由 0,0=+⋅=∑e RA B M l F M
得
l
M F e
RA -
= 由 0,0=-⋅=∑e RB A M
l F M 得 l
M F e
RB =
则距左端为x 的任一横截面上的剪力和
剪力图 弯矩表达式为：
()l
M F x F e
RA
S -== ()x l
M x F x M e
RA ⋅-
=⋅= 剪力方程为常数，表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x 的一次函数，表明弯矩图是一条斜直线。
(
如图) 解：首先求出支座反力。
考虑梁的平衡 由 04
5
2,0=⋅⋅-⋅=∑l l q l F M RB c 得 ql F RB 8
5= 由 021
,02=+⋅=∑ql l F M RC B
得 ql F RC 2
1
-=
则相应的剪力方程和弯矩方程为： AB 段：（2
01l
x ≤≤）
()()21
11
12
1qx x M qx x F S -=-=
BC 段：（2
322l x l
≤
≤） 剪力图 弯矩图
()()⎪
⎭⎫
⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅-==-=
285428
21852222l x ql l x l q x M ql
ql ql x F S
AB 段剪力方程为x 1的一次函数，弯矩方程为x 1的二次函数，因此AB 段的剪力图
为斜直线，弯矩图为二次抛物线；BC 段剪力方程为常数，弯矩方程为x 2的一次函数，所以BC 段剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为斜直线。
（如图）
5-9 用简便方法画下列各梁的剪力图和弯矩图。
解：由梁的平衡求出支座反力：
KN F KN F RB RA 12,8==
AB 段作用有均布荷载，所以
AB 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC 段没有荷载作用，所以BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。
在B 支座处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力（支座反力F RB ）的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。
（如图）
（5）
解：由梁的平衡求出支座反力：
KN F KN F RB RA 5.6,5.3==
AB 与BC 段没有外载作用，所以AB 、BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线；CD 段作用均布荷载，所以CD 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线。
在B 处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力F 的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。
（如图）
（7）
解：AB 段作用有均布荷载（方向向下），所以AB 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC 段作用有均布荷载（方向向上），所以BC 段的剪力图为上倾直线，弯矩图为
上凸直线。
（如图）
5.14试用叠加法画下列各梁的弯矩图。
（1）
弯矩图
q
弯矩图
（4）
题型：计算题
题目：试作图所示悬臂梁A B的剪力图和弯矩图。
+
=
弯矩图
+
【解】
1、列剪力方程和弯矩方程
取坐标原点与梁左端点A对应。
选取距梁左端点A为x的任一截面，如图(a)所示，以该截面左侧梁段上的外力，写该截面上的剪力和弯矩表达式，即可得到梁A B的剪力方程和弯矩方程为
上面两式后的括号内，表明方程适用范围。
由于截面A,B处有集中力
作用，则其剪力为不定值，第一式的适用范围为。
由于截面B有
集中力偶作用，则其弯矩也为不定值，第二式的适用范围为关于这个问题，待后面作进一步说明。
2、作剪力图和弯矩图
剪力方程表明，梁各截面上的剪力都相等，因此剪力图应是一条平行于横轴的直线。
取直角坐标系x—，画出梁的剪力图为一水平直线。
因
各横截面的剪力为负值，故画在横轴下面，如图（b）所示。
弯矩方程表明，弯矩M是x的一次函数，因此弯矩图应是一条倾斜直
线。
可以确定其上两点，在x = 0处，M=0；在x=L处（应理解为x略小于L处），M=P L。
取直角坐标系O x M，表示弯矩的纵坐标以向下为正，画出梁的弯矩图，如图（c）所示。
由图可见，最大弯矩发生在固定端B稍偏左的横截面上，其值为
常见问题题2
题型：计算题
题目：试作图（a）所示简支梁A B的剪力图和弯矩图。
【解】
1、求支座反力
由梁的平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为
2、列剪力方程和弯矩方程
取坐标原点与梁左端点A对应。
列出梁A B的剪力方程和弯矩方程为
3、作剪力图和弯矩图
剪力方程表明，剪力是x的一次函数，剪力图应是一条倾斜直线。
因此，只要确定其上两点，即可绘出该梁的剪力图。
在处（应理解为
x略大于0）,；处（应理解为x略小于），。
画出梁的剪力图，如图(b)所示。
由剪力图可见，，该梁最大剪力发生在支座
内侧的横截面上，其值为
弯矩方程表明，弯矩M是x的二次函数，弯矩图应是一条抛物线。
因此，只要确定其上三个点，即可绘出该梁的弯矩图。
在处，M=0；在
处，M=0；在处，。
画出弯矩图，如图6-12(c)所示。
由弯矩图可见，该梁最大弯矩发生在梁的跨中截面处，其值为
在此截面上剪力为零。
常见问题题3
题型：计算题
题目：试作图(a)所示简支梁A B的剪力图和弯矩图。
【解】
1、求支座反力
由梁的静力平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为
2、列剪力方程和弯矩方程
当作用在梁上的外力不连续时，通常不能角一个方程描述全梁的剪力
或弯矩，必须分段研究。
在该例题中，集中力P把梁分成A C和C B两段，
这两段梁的剪力方程和弯矩方程分别为
A C段：
C B段：
3、作剪力图和弯矩图
两段梁的剪力方程表明，两段梁的剪力图均为水平直线。
画出梁的剪
力图，如图(b)所示。
由剪力图可见，在集中力P作用的C处，其左右两侧
横截面上剪力的数值分别为和，剪力图发生突变，其突变值等于
集中力P的大小。
由此可得，在集中力作用处剪力图发生突变，其突变值
等于该集中力的大小。
如果b＞a，则最大剪力发生在A C段梁的任一截面上，其值为
两段梁的弯矩方程表明，两段梁的弯矩图均为倾斜直线。
画出梁的弯
矩图，如图(c)所示。
由弯矩图可见，A C和C B两段梁的弯攀图两直线斜
率不同，在C处形成向下凸的“尖角”，而剪力图在此处改变了正、负号。
最大弯矩发生在集中力P作用的截面上，其值为
如果a=b，则最大弯矩的值为
常见问题题4
题型：计算题
题目：试作图(a)所示简支梁A B的剪力图和弯矩图。
【解】
1、求支座反力
由梁的静力平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为
2、列剪力方程和弯矩方程
集中力偶M e把梁分成A C和C B两段，这两段梁的剪力方程和弯矩方程分别为
A C段：
C B段：
3、作剪力图和弯矩图
在集中力偶作用处的左、右梁段上，剪力方程相同，全梁剪力图为一水平直线。
画出梁的剪力图，如图(b)所示示。
由剪力图可见，在集中力偶作用处，剪力图并不发生突变，即集中力偶不影响剪力图。
两段梁的弯矩方程表明，两段梁的弯矩图均为倾斜直线。
画出梁的弯矩图，如图(c)所示。
由弯矩图可见，在集中力偶从作用的C处，其左右两
侧横截面上弯矩的数值分别为和，弯矩图发生突变，其突变值等于集中力偶M e的大小。
由此可得，在集中力偶作用处弯矩图发生突变，其突变值等于该集中力偶的大小。
如果b＞a，则最大弯矩发生在集中力偶从作用处右侧横截面上，其值为
常见问题题5
题型：计算题
题目：试作图示简支梁的剪力图和弯矩图。
【解】
1、求支座反力
由梁的静力平衡方程可知，支座A,B的反力为
2、列剪力方程和弯矩方程
当梁上荷载不连续，剪力或弯矩不能用一个统一的函数式表达时，必须分段列出剪力方程和弯矩方程。
通常分段是以集中力、集中力偶和分布荷载的起点与终点分界。
因此，该简支梁应分为A C,C D和D B三段，分别列出剪力方程和弯矩方程。
A C段：
实用文档
标准文案
C D 段：
D B 段
：
3、作剪力图和弯矩图 按上述剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图，如图(b )、（c ）所示。
在画A C 段弯矩图时，由于弯矩方程是二次函数，弯矩图应是一条抛物线，至少需要确定其上三个点，才可绘出该梁的弯矩图。
在处,M =0；在x ＝3m 处，M ＝33k N ．m 。
在剪力为零处x =2.4m ，该点处弯矩。
用光滑曲线连接这三个点即可得A C 段的
弯矩M 图。
如图（c ）所示。