剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图45 载荷集剪力和
材料力学第04章(弯曲内力)-06讲解
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
§4–2 受弯杆件的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化
a
F
A
B
l
a
F
A
B
l
取梁的轴线来代替梁
2. 支座简化 (1)固定铰支座
固定铰
2个约束，1个自由度。
(2)可动铰支座
按照习惯，正值的剪力值绘于x轴上方，正的弯矩值绘于x 轴的下方(即绘于梁弯曲时受拉的一侧)。
(b)
FSx qx 0 x l
M x qx x qx2
22
(c)
0 x l
材料力学Ⅰ电子教案
(a) (b) (c)
第四章 弯曲应力
梁横截面上最大剪力值？ 最大弯矩值？ 位置？
固定铰
1个约束，2个自由度。
(3)固定端
Fx
固定端
3个约束，0个自由度。
M Fy
可动铰 可动铰
3. 梁的三种基本形式 (1)简支梁 A
F
B
F
F
F
(2)外伸梁
B A
q (3)悬臂梁
4. 载荷的简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
q
F
M
B A
集中力、集中力偶和分布载荷。
5. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式
向上的外力产生
正弯矩
9kN
M
9kN
向下的外力产生
负弯矩
左:M=9×2-4×1=14kN.m
右:M=9×4-4×3-10×1=14kN.m
材料力学-第五章
合理布置载荷
F
小结
1、熟练求解各种形式静定梁的支 座反力 2、明确剪力和弯矩的概念，理解 剪力和弯矩的正负号规定 3、熟练计算任意截面上的剪力和 弯矩的数值
4、熟练建立剪力方程、弯矩方程， 正确绘制剪力图和弯矩图
5.7 总结 回顾
毛和业，怎样快速绘制剪力图和弯
矩图，黔南民族师范学院学报， 2005，3：81-83
（ -）
1kN.m
A
FAY
1.5m
C
1.5m
D
2kN
1.5m
B
FBY
4 ．从 A 截面左测开始画 弯矩图。 从A左到A右 从A右到C左 从C左到C右 从C右到D左 从D左到D右
1.11
（+）
Fs（ kN） 0.89 M（ kN.m）
（ -）
0.330
（-）
1.330
（ -）
1.665
从D右到B左
从B左到B右
2
FS
FS x
x
0 x l 0 x l
M
ql2 / 8
依方程画出剪力图和弯矩图 ql / 2 由剪力图、弯矩图可见。最 大剪力和弯矩分别为
x
FS max＝ql
M max＝ql2 / 2
5.4
y
剪力图和弯矩图（将剪力方程和弯矩方程具体化）
q
例题 简支梁受均布载荷作用
FS ql / 2
( 2)在有均布载荷作用的 段上, 剪力图为倾斜直线, 直线由左上向右下倾斜; 弯矩图为抛物线, 抛物线 开口与均布载荷的方向一 致。
M 3ql2 / 32 x
ql2 / 8
试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程,并作剪力图和弯...
4-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
4-3 试利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。
4-4 试作下列具有中间铰的剪力图和弯矩图。
4-14 一根搁在地基上的梁承受载荷如图所示。
假设地基的反力按直线规律
连续变化。
试求反力在两端A点和B点处的集度q A和q B，并作梁的剪力图和弯矩图。
4-15 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。
4-22 厚度为h＝1.5mm的钢带，卷成直径为D＝3m的圆环，试求钢带横截面上的最大正应力。
已知钢的弹性模量E＝210GPa。
4-25 矩形截面的悬臂梁受集中力和集中力力偶作用，如图所示。
试求截面m－m和固定端截面n－n上A、B、C、D四点处的正应力。
4-32 简支梁的荷载情况及尺寸如图所示，试求梁的下边缘的总伸长。
4-39 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。
已知F ＝5kN ，a ＝1.5m ，[σ]＝10MPa 。
试确定弯曲截面系数为最大时矩形截面的高宽比h /b ，以及梁所需木料的最小直径d 。
4-48 一矩形截面木梁，其截面尺寸及载荷如图，q ＝1.3kN/m 。
已知[σ]＝10MPa ，[τ]＝2MPa 。
试校核梁的正应力和切应力强度。
4-52 图示木梁受一可移动的载荷F ＝40kN 作用。
已知[σ]＝10MPa ，[τ]＝
3MPa 。
木梁的横截面为矩形，其高宽比23=b h 。
试选择梁的截面尺寸。
材料力学第5章-剪力图与弯矩
q(x) FP2
M1
FP4 M2
FP1
FP3
FP5
精选课件
第5章 剪力图与弯矩图
梁横截面上的内力——剪力和弯矩
总体平衡与局部平衡的概念
FP2
q(x)
FQ
q(x) FP4
M'
M1 FP1
M F 'Q FP3
精选课件
M2 FP5
第5章 剪力图与弯矩图
梁横截面上的内力——剪力和弯矩
q(x)
FP2
FP4
dFQ q 0 FQconst.=C 平行于x轴的直线
dx
dM dxFQC, MCxD
精选课件
斜直线
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
FQ
FQ const.=C
q=0
dFQ q 0 dx
dM dx
FQ=const.
x
x
MCxD
精选课件
M
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
FQ
q<0
FQ qxC
dFQ q 0
x
dx
d2M
dx2 q<0.
x
精选课件
M
M1qx2 CxD 2
第5章 剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图
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第5章 剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图
作用在梁上的平面载荷如果不包含纵向力，这时
dFQ qconst. , dx
FQ qxC
斜直线
d d M xF Q q x C ,M 1 2q x2 C xD 抛物线
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
截面位置对剪力和弯矩的影响
总结词
截面位置对剪力和弯矩具有显著影响。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发生变化。
详细描述
在结构分析中，截面位置是影响剪力和弯矩的重要因素之一。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发 生变化，从而影响结构的整体受力性能。例如，在梁中选取不同的截面位置进行支撑或固定，会对梁的剪力和弯 矩产生显著影响。
05 剪力、弯矩与材料力学性 能的关系
材料弹性对剪力和弯矩的影响
弹性材料在剪力和弯矩作用下会发生弹性变形，变形量与外力成正比，当外力去 除后，材料能够恢复原状。
弹性材料的剪切模量和弯曲刚度决定了剪力和弯矩的大小，剪切模量越大，材料 抵抗剪切变形的能力越强；弯曲刚度越大，材料抵抗弯曲变形的能力越强。
根据绕顺时针方向观察确定，使上侧 纤维受拉时为正。
02 剪力方程与弯矩方程
剪力图与弯矩图的绘制
1
剪力图和弯矩图是表示梁上剪力和弯矩随截面位 置变化的图形。
2
这些图的绘制基于剪力方程和弯矩方程的计算结 果，通过将计算得到的剪力和弯矩值标在图中相 应的位置上，并连接成线。
3
剪力图和弯矩图的绘制有助于直观地了解梁在不 同截面位置的受力状态和应力分布情况。
弯矩
在梁或结构中，由于弯曲而产生 的力矩，表示弯曲变形的大小。
剪力与弯矩在力学中的作用
剪力
主要影响结构的剪切变形，对梁的剪切承载能力有重要影响 。
弯矩
主要影响结构的弯曲变形，对梁的弯曲承载能力有重要影响 。
剪力与弯矩的符号规定
剪力正方向
根据右手定则确定，从杆件的受压一 侧指向受拉一侧。
弯矩正方向
02
材料强度越高，抵抗剪力和弯矩等外力的能力越强， 所能承受的剪力和弯矩越大。
材料力学第5章-剪力图与弯矩图
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所 介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的 ，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。
需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量， 而FQ(x)和M(x)则是x的函数。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
例题2
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl
的作用。梁的全长为2l。 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
l
FP
B l
解：1．确定控制面和分段
本例将通过考察截开截面的右
边部分平衡建立剪力方程和弯矩方 程，因此可以不必确定左端的约束 力。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；讨论载荷、 剪力、弯矩之间的微分关系；怎样根据载荷、剪力、弯矩之间 的微分关系绘制剪力图与弯矩图；然后应用平衡、变形协调以 及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲 强度设计方法。
第5章 梁的强度问题
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论(1)
根据以上分析，不难得到结论： 杆件各截面上内力变化规律随着外力的 变化而改变。
第5章 梁的强度问题
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变 化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力 作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁 所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程 或者同一图线描述。
梁的剪力弯矩方程和剪力弯矩图
5.4.1 梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图梁在外力作用下，各个截面上的剪力和弯矩一般是不相等的。
若以横坐标表示横截面沿梁轴线的位置，则剪力Q 和弯矩M 可以表示为坐标的函数，即它们分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
与绘制轴力图或扭矩图一样，可用图线表明梁的各截面上剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。
作图时，取平行于梁轴线的直线为横坐标轴，值表示各截面的位置；以纵坐标表示相应截面上的剪力、弯矩的大小及其正负，这种表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形，称为剪力图和弯矩图。
例5-1 简支梁AB 承受承受均布荷载作用，如图 5 - 10a 所示。
试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。
图5-10解：(1) 计算支反力以整梁为研究对象，利用平衡条件计算支反力。
由于简支梁上的载荷对于跨度中央截面是对称的，所以 A 、 B 两端的支反力应相等，即(1)方向如图。
(2) 建立剪力、弯矩方程以梁左端A 为的坐标原点，取坐标为的任意横截面的左侧梁段为研究对象。
设截面上的剪力Q () 、弯矩M () 皆为正，如图5-10b 所示。
由平衡方程将(1) 式代入上面两式，解得（ 2 ）（ 3 ）(2) 、(3) 两式分别为剪力方程和弯矩方程。
(3) 绘制剪力图、弯矩图由式(2) 可知，剪力图为一直线。
只需算出任意两个截面的剪力值，如A 、B 两截面的剪力，即可作出剪力图，如图5 - 10c 所示。
由式(3) 可知，弯矩图为一抛物线，需要算出多个截面的弯矩值，才能作出曲线。
例如计算下列五个截面的弯矩值：当时, M =0 ；当时，；当时，。
由此作出的弯矩图，如图5-10d 所示。
由剪力图和弯矩图可知，在靠近A 、B 支座的横截面上剪力的绝对值最大，其值为在梁的中央截面上，剪力Q ＝0 ，弯矩为最大，其值为例5-2 简支梁AB 承受集中力偶M0作用，如图 5 - 11a 所示。
试作梁的剪力图、弯矩图。
图5-11解：(1) 计算支反力由平衡方程分别算得支反力为反力R A的方向如图，R B为负值，表示其方向与图 5 - 11a 中假设的方向相反。
职称专业晋级材料力学考试填空题
职称专业晋级材料力学考试大纲1、绪论构件的承载能力，变形固体的基本假设，外力及其分类，内力、应力的概念，线应变与角应变，杆件变形的基本形式。
2、拉伸与压缩轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力，轴向拉伸压缩时的强度计算，直杆轴向拉伸（压缩）时的强度计算，直杆轴向拉伸（压缩）时斜截面的应力，材料在拉伸时的机械性质，材料在压缩时的机械性质，塑型材料与脆性材料的机械性质、许用应力与安全系数，轴向拉伸压缩时变形、应力集中的概念。
3、剪切剪切的概念，纯剪切的概念，剪应力互等定理。
4、扭转外力偶计算，扭矩和扭矩图，圆轴扭转时的应力和强度条件，圆轴扭转时的变形及刚度条件。
5、弯曲强度静定梁的基本形式，剪力和弯矩、剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图，载荷集度和剪力与弯矩间的微分关系，横力弯曲时梁的正应力、正应力强度条件，弯曲时的剪应力，提高弯曲强度的措施。
6、弯曲变形挠曲线微分方程，挠曲线刚度条件，用叠加法求弯曲变形提高弯曲刚度的措施。
7、应力状态理论与强度理论二向应力状态和三向应力状态，二项应力状态分析——图解法，广义虎克定律，强度理论的概念，常用的四种强度理论组合变形下的强度计算。
8、静不定系统静不定系统的概念，职称专业晋级材料力学考试题一、材料力学填空题1、构件的承载能力包括_______ 、 _______ 和_______ 3 个方面。
标准答案强度,刚度,稳定性答题时间 2 难易级别12、为简化材料力学的分析和计算，对变形固体的材料主要性能作的假设有 _____________________ 、_______ 和 ___________ 3 点。
标准答案连续性假设,均匀性假设,各向同性假设答题时间 2 难易级别23、杆件变形的基本形式有___________ 、_______ 、 _____ 和 ____ 。
标准答案轴向拉伸或压缩,剪切,扭转,弯曲答题时间2 难易级别14、在轴向拉压杆中，只有一种沿杆轴作用的内力，这种内力称为__________________ 。
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A
B
xC
x
FAY
l
FBY
FS ql / 2
2．写出剪力和弯矩方程
FS x＝ql / 2 qx 0 x l
x
ql /
ql 2 / 8
M 3ql2 / 32
3ql2 / 32
M x＝qlx / 2 qx2 / 2 0 x l
x
明德 砺志 博学 笃行
总结
❖在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一 斜直线。 ❖在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为 一抛物线。且弯矩M最大值发生于FS=0处。 ❖集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小; 弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。 ❖在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力 偶的大小而剪力图无改变。
例 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN
A 2m
FA 1.5m
1 1 1.5m
q=12kN/m
2
B
2
1.5m
FB
3m
解： 1、求支反力
MB
0
FA
6
F
4.5
q
3
3 2
0
FA
15kN
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
(也可由 M A 0求FB或校核FB的正误)
q F
纵向对称面
FA
FB
非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上 但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与 外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。
明德 砺志 博学 笃行
弯 曲 实 例
明德 砺志 博学 笃行
§4-2 受弯构件的简化
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
M
M
M
M
弯矩为正
弯矩为负
明德 砺志 博学 笃行
例如图所示的简支梁，试求1－1及C左右截面上的内力。
解：1.求支座反力
Fy 0, FA FB F 0
M
A
(F)
0,
FB
l
F
l 3
0
得
FA
2 3
F,
FB
1 3
F
2.求截面1－1上的内力
FS D
FA
2 3
F
M
D
FA
a
2 3
Fa
明德 砺志 博学 笃行
同理,对于C左截面：
FSC左
FA
2 3
F
M
C左＝
2 3
F
l 3
2 9
Fl
对于C右截面：
FSC右
FA
F
F 3
M C右
FA
l 3
2 9
Fl
FSC左 FSC右, MC左＝MC右
在集中力作用处，左右截面上剪力发生突变，突变值为该集 中力的大小；而弯矩保持不变。
负号表示假设方向与实际方向相反。
明德 砺志 博学 笃行
明德 砺志 博学 笃行
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
一、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系
假设：规定q(x)向上为正，向下为负；
dx
A
M F1
Bx
O
q(x)
y
x
dx
明德 砺志 博学 笃行
dx
A
M F1
Bx
O
q(x)
y
x
dx
q(x)
Fy 0 ：FS (x) FS (x) dFS (x) q(x) • dx 0
解：1.求支反力，由 Fx 0, mA 0
得
FA
Fb l , FB
Fa l
2.列剪力、弯矩方程
在AC段内，
FS1 ( x) M1(x)
FA FA
x
Fb ,0 x
l
Fb
x, 0
l
a
x
a
在BC段内，
FS2 (x)
FB
Fa l
, a
x
l
M
2
(x)
FB
l
x
Fa l
l
x,
a
x
l
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在某一段上若无载荷作用，剪力 图为一水平线，弯矩图为一斜直 线。 集中力作用处剪力图有突变，变 化值等于集中力的大小；弯矩图 上无突变，但斜率发生突变，折 角点。
明德 砺志 博学 笃行
例 简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画
出剪力图和弯矩图。
y
q
解：1．确定约束力
M A＝0， MB＝0
FAy＝ FBy＝ ql/2
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2、计算1-1截面的内力
FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m FA
F=8kN
M1
FS1
3、计算2-2截面的内力
q=12kN/m
FS2 q 1.5 FB 11kN
M2
M2
FB
1.5
q 1.5 1.5 2
30 kN
m
FS2
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§4-1 弯曲的概念和实例
一、弯曲的概念
受力特点： 变形特点：
以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。 ① 轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ② 有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称 为非对称梁。
明德 砺志 博学 笃行
对称弯曲：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形 后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
静定梁——仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。
(a)悬臂梁
(b)简支梁
(c)外伸梁
超静定梁——仅用静力平衡方程不能求得所有反力的梁。
§4-3 剪力和弯矩
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C M
Fy
0:
FA
FA
FS 0
l
l
aF
FS
FA
FA
x
FS
MC 0 : M FAx 0 M FAx
F
MC
FB
剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴 沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大 小。
明德 砺志 博学 笃行
例 作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程：
Fx A
B
l
FS (x) F
M (x) Fx
FS
F
| FS |max F
| M |max Fl
Fl
M
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例 试画出如图示简支梁AB的剪力图和弯矩图。
FB
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建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设，这 样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正 的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩 正负方程 剪力图和弯矩 图
剪力、弯矩方程：
MFS
FS ( x) M (x)
吊车大梁简化实例
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§4-2 受弯构件的简化
一、梁支座的简化
a)滑动铰支座
b)固定铰支座
c)固定端
MR
FRx
FRx
FR
FRy
FRy
二、载荷的简化
(a)集中荷载
F1
集中力
M
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(b)分布荷载
q(x)
q
集中力偶
任意分布荷载
均布荷载
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三、静定梁的基本形式
a l
F
FS
FB Fy 0 : FS FB F 0 FS F FB FA
MC 0: M FBx Fl x 0 M FBx Fl x FAx
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①剪力：平行于横截面的内力
符号规定：
FS
FS
剪力为正
FS
FS
剪力为负
②弯矩：绕截面转动的内力
符号规定：