单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式三角函数是数学中常用的一类函数，包括正弦函数和余弦函数。
正弦函数和余弦函数的定义基于三角形中的对应比例关系，而它们的诱导公式则是通过将定义域从锐角扩展到任意角来推导得出的。
下面将逐步介绍正弦函数和余弦函数的定义和诱导公式。
1.正弦函数定义：在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的y坐标称为该点的正弦值，记作sinθ。
当点P位于单位圆的角度θ处时，sinθ的值等于P点在y轴上的投影长度与圆的半径1之比。
因此正弦函数的定义可以表示为：sinθ = P点的纵坐标/1 = y/1 = y2.余弦函数定义：同样在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的x坐标称为该点的余弦值，记作cosθ。
当点P位于单位圆的角度θ处时，cosθ的值等于P点在x轴上的投影长度与圆的半径1之比。
因此余弦函数的定义可以表示为：cosθ = P点的横坐标/1 = x/1 = x正弦函数和余弦函数是周期函数，它们在定义域内的取值范围都在[-1,1]之间。
接下来介绍正弦函数和余弦函数的诱导公式：3.正弦函数的诱导公式：根据正弦函数的定义，我们可以将定义域从锐角扩展到任意角。
设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α，其中α是锐角。
根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的正弦值，因此我们可以推导出正弦函数的诱导公式：sinθ = sin(π - α) = sinπ·cosα - cosπ·sinα但根据单位圆的性质，sinπ = 0，cosπ = -1，因此上式可以简化为：sinθ = -sinα4.余弦函数的诱导公式：同样，设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α。
根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的余弦值，因此我们可以推导出余弦函数的诱导公式：cosθ = cos(π - α) = cosπ·cosα + sinπ·sinα但根据单位圆的性质，sinπ = 0，cosπ = -1，因此上式可以简化为：cosθ = cosα通过正弦函数和余弦函数的定义和诱导公式，我们可以在单位圆上准确地计算任意角的正弦和余弦值。
第一章44.1单位圆与任意角的正弦函数余弦函数定义教学设计高中数学新北师大版()
【基础铺垫】1．任意角的正弦、余弦函数的定义（1）单位圆的定义在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆．（2）如图所示，设α是任意角，其顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点P (u ，v )，那么：正弦函数 余弦函数 定义 点P 的纵坐标v 定义为角α的正弦函数，记作v ＝sin_α 点P 的横坐标u 定义为角α的余弦函数，记作u ＝cos_α正弦、余弦函数定义的推广:设P x ，y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r. 思考1：对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？[提示] 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义．【合作探究】所以⎩⎨⎧ x ＝55，y ＝255，于是sin α＝y ＝255， cos α＝x ＝55. 法二：在角α的终边上任取一点P (x ，y )(x >0)，则OP ＝x 2＋y 2＝x 2＋4x 2＝5|x |，又因为x >0，所以OP ＝5x .所以sin α＝y 5x ＝255，cos α＝x 5x ＝55. 【规律方法】求任意角的正弦函数、余弦函数值有两种方法：1利用单位圆中的正、余弦函数的定义.即若角α的终边与单位圆交于点P u ，v ，则v ＝sin α，u ＝cos α.2利用正弦、余弦函数定义的推广.根据初中锐角三角函数的定义，设Px ，y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r .。
单位圆与任意角的正弦余弦函数的定义课件
对于任意一个角x，每增加2π的整数倍，其正弦、余弦
函数值均不变.所以，正弦、余弦函数值均是随角的变化 呈周期性变化的.我们把这种随自变量的变化呈周期性变 化的函数叫作周期函数.有
sin(x 2k) sin x,k Z cos(x 2k) cos x,k Z
正弦函数、余弦函数是周期函数，称 2 k(k Z, k 0) 为正弦函数、余弦函数的周期.
0
1 2
2 31
22
1
3 2
2 2
1 2
0
31 0
22
1 2
1 3 -1 3
22
2
3 -1 3
2
2
10
2
1 2
0
1 2
31
2
如图，已知角x，作出2π+x
y
P(x,y) x
O
x
终边相同的角的正弦函数值相等，
即 sin(x 2k) sin x, k Z ；
终边相同的角的余弦函数值相等， 即 cos(x 2k) cos x,k Z .
设op=r,根据三角形相似可知，
sin v y yBiblioteka r x2 y2 cos v x x
r x2 y2
. P(yu,v) P'(x, y)
O M M' x
说明：①三角函数的值与点在终边上的位置无关， 仅与角的大小有关
②上式为计算正、余弦函数值的第二种方式
当α在第一、二等象限时，sinα的符号如何？cosα呢？
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P
c a
O bM
a
sin c
b
cos c
a
tan b
新知学习
4知识讲解_正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式_提高
正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式【学习目标】1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义. 3．会应用三角函数的定义解决相关问题。
【要点梳理】要点一：任意角的正弦函数、余弦函数 1．单位圆定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆称为单位圆． 作用：单位圆是研究三角函数的有利工具． 2．任意角的正弦、余弦函数的定义在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P (u ，v )，那么点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数，记作sin v α=；点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数，记作cos u α=．若用x 表示角的大小，y 表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y ＝sinx ，y ＝cos x (x ∈R )．要点诠释：(1)三角函数值只与角α的终边所在位置有关，与P 点在终边上的位置无关．(2)设角α终边上任一点P (x ，y )，||OP r =，则sin y r α=，cos x rα=。
(3)定义域：sin y x =和cos y x =的定义域都是R ．值域：sin y x =和cos y x =的值域都是[-1，1]． 要点二：正弦、余弦函数在各象限的符号在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三全负，四余弦。
要点诠释：口诀的含义是在第一象限正弦、余弦函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限为负，在第四象限余弦值为正。
要点三：三角函数的周期性 1．周期函数的定义及理解(1)定义：一般地，对于函数f (x )，若存在一个非零的常数T ，对定义域内任意一个x ，都有f (x+T )＝f (x )．我们就把f (x )称为周期函数，T 称为这个函数的一个周期．(2)规定：对于周期函数，若所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．今后提到的函数周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期． (3)理解：①以T (T ≠0)为周期的函数f (x )，对于定义域M 内的任意x 值，x+T 也必属于M ，否则f (x+T )没有意义．因此，若一个周期函数的周期T ＞0，则其定义域必无上界；若T ＜0，则其定义域必无下界． ②周期函数的定义中“对定义域内的任意一个x ”的“任意一个x ”的含义是指定义域内的所有的x值，即如果有一个0x ，使00()()f x T f x +≠，那么T 就不是函数()f x 的周期． ③周期函数定义中的“T ”是不为0的实数． 2．周期函数()y f x =具有的特殊性质(拓展)(1)定义域：在周期函数()y f x =中，T 是周期，若x 是定义域内的一个值，则x+kT 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集．(2)解析式：当T 是函数()y f x =的周期时，对定义域中任意x ，总有()()f x T f x +=都成立． (3)周期函数的周期有无限多个．若T 是周期，则对定义域中的任意x ，总有f (x+kT )＝f (x+(k -1)T )＝f (x+(k -2)T )＝…＝f (x )都成立，即f (x+kT )＝f (x )，所以kT (k ∈Z )也是周期．(4)值域：由于对定义域中的任意x ，总有()()f x T f x +=都成立，则周期函数()y f x =的值域与函数()y f x =在一个周期内的值域相同．(5)图像：每隔一个周期，函数()y f x =的图像重复出现，即周而复始．由此可得判断周期函数的方法：图像法，当函数()y f x =的图像每隔一段重复出现时，函数()y f x =是周期函数． 要点四：正弦、余弦函数的诱导公式 l ．公式内容(1)sin()sin αα-=-，cos()cos αα-=(2)sin()sin cos()cos sin()sin cos()cos απααπααπααπα+=-+=-⎧⎨-=--=-⎩，，(3)sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-(4)sin cos cos sin 22sin cos cos sin 22ππααααππαααα⎧⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，(5)sin(2)sin k παα+=，cos(2)cos ()k k παα+=∈Z要点诠释：这五组公式都是将任意角的正弦、余弦值转化为求锐角的正、余弦值． 2．公式记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”． ①角一定要写成：()2kk πα±∈Z 的形式，则k 为奇数时，函数名改变，k 为偶数时，函数名不变．②“象限”是指将α看作锐角时，()2kk πα±∈Z 所在象限的原函数值的符号．3．与正弦、余弦函数有关的计算、求值、证明的解题技巧：诱导公式的作用在于将任意负角的三角函数利用公式转化为任意正角的三角函数，然后再利用公式转化为0°～360°的三角函数，最后再利用公式转化为锐角的三角函数，最后运用特殊角的三角函数值或查表求解，它是三角变换的基础． （1）求值利用诱导公式求值有两种题型：一是无条件的求值问题；二是有条件的求值问题．解题技巧是：整体观察角的结构特征，将所求角的三角函数值中的角，转化为所给角与特殊角的和与差的形式，实现由未知向已知方面的转化，这需要一定的观察能力，和掌握一些角的常用变形技巧． （2）化简利用诱导公式化简的思路是：利用诱导公式和题设条件逐一化简，化简到不能再化简为止．化简的基本要求是：项数尽量少，次数尽量低，能不含分母的尽量不含分母，能不含根号的尽量不含根号，能合并的尽量合并，能约分的就约分，能求值的就求值．【典型例题】类型一：三角函数的定义 例1．（1）已知角α的终边经过点P （－4a ，3a ）（a ≠0），求sin α，cos α的值；（2）已知角α的终边在直线y =上，求sin α，cos α的值。
单位圆与正余弦函数的定义
单位圆与正余弦函数的定义SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数1.4.2单位圆与周期性主备人：刘红岩一、 教学目标1、 理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念2、 通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程，感悟数形结合思想方法是学习数学的重要思想方法之一二、 教学重、难点1、 正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号；会利用单位圆求三角函数值；2、 利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法三、情感态度与价值观1、由锐角的正、余弦函数推广到任意角的正、余弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；2、通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。
四、教学过程尝试回忆1、1弧度的角；2、角度制与弧度制的互化；3、弧长公式及扇形面积公式；4、用弧度制表示第一象限内的角的集合和x 轴上的角的集合。
2、特别注意：角度与弧度不要混用。
如090,k k Z π+∈，应写成0018090,k k Z ⋅+∈或,2k k Z ππ+∈3、初中所学的锐角的正、余弦函数是如何定义的？由锐角三角函数推广到任意角的三角函数，由直角中的边之比定义，推广到直角坐标系中的坐标定义。
O A P 图1问题引入如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h 0，它的直径为2R ，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA 出发（如图1所示），则（1）过了30秒后，你离地面的高度为多少？（2）过了45秒呢？过了t 秒呢？ 【设计意图】从学生感兴趣的实际问题出发，发现问题，解决问题。
探究新知1、单位圆在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆。
单位长：可以是1cm 、1m 、1km 、1光年等。
单位圆可根据需要移到其它地方。
北师大版高中数学必修4单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
课内练习
已知sinθ＜0且cosθ＞0,确定θ角的象限。
复习小结
1.任意角的正弦、余弦函数的定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆
交于点P(u，v)，则sin v,cos u
2.三角函数都是以角为自变量,以单位 圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.
任意角的正弦函数、余 弦函数的定义
复习引入
锐角的正弦、余弦函数的定义：
斜边
对边
邻边
对边
邻边
sin _斜__边__;cos _斜__边__;
引入新知下面我们在Fra bibliotek角坐标系中，利用单位圆来进 一步研究锐角 的正弦函数、余弦函数
当点P(u,v) 就是 的终边与单位圆的交点时,
锐角三角函数会有什么结果？
得。
正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。
最小正周期在图象上的意义 ：
最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。
例题讲解
例1、求 5 的正弦、余弦。
3
y
易知
5
3
的终边与单位圆
的交点为 P(1 , 3 )
22
α M x(1,0)
O
x
P (1, 3) 22
sin 3
2 cos 1
sin 3 13, cos 2 13
13
13
变式1、设角
中 a 0 ，则 sin
的 终53 边。过点P(4a,
3a)
,其
变式2.若角 的终边过点 Pa，8，且 cos 3 ，
则a ____6____。
5
确定下列各三角函值的符号： ⑴ cos250°;⑵ sin(-π/4); ⑶ sin(-672°); ⑷ cos3π;
任意角三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
任意角三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式正弦函数和余弦函数是任意角三角函数中两个最基本的函数。
它们的定义可以通过单位圆来得出，并且它们之间存在着重要的诱导公式。
首先，我们来看正弦函数的定义。
对于一个给定的角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点 P。
那么，我们定义正弦函数sin(θ) 为点P 的纵坐标值。
也就是说，sin(θ) = y / r，其中 y 是点 P 的纵坐标，r 是单位圆的半径。
接下来，我们来看余弦函数的定义。
与正弦函数类似，对于一个给定的角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点 P。
那么，我们定义余弦函数cos(θ) 为点 P 的横坐标值。
也就是说，cos(θ) = x / r，其中x 是点 P 的横坐标，r 是单位圆的半径。
正弦函数和余弦函数的定义可以用下图来表示：```θr * cos(θ) ， r----------------，--------------------r * sin(θ)```在上图中，θ 是角度，r 是单位圆的半径，P 是对应的点。
点 P 的横坐标为r * cos(θ)，纵坐标为r * sin(θ)。
接下来我们来讨论正弦函数和余弦函数的诱导公式。
诱导公式是指，如果我们知道一个角度的正弦值或余弦值，我们可以通过其他角度的正弦函数和余弦函数来计算。
首先，我们来看正弦函数的诱导公式。
对于任意角度θ，我们可以通过一个有用的等式来计算sin(θ)。
这个等式叫做“和差化积公式”或者“诱导公式”。
根据这个公式，我们有 sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)。
如果我们令a = θ 和b = 90°，那么我们可以得到sin(θ +90°) = sin(θ) * cos(90°) + cos(θ) * sin(90°)。
根据单位圆上的图像，我们知道cos(90°)=0，sin(90°)=1，所以这个等式简化为sin(θ + 90°) = cos(θ)。
4知识讲解_正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式_提高
2
cos，cos
2
sin
(4)
sin
2
cos，cos
2
sin
(5) sin(2k ) sin ， cos(2k ) cos (k Z)
要点诠释：
这五组公式都是将任意角的正弦、余弦值转化为求锐角的正、余弦值．
2．公式记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”．
①角一定要写成： k (k Z) 的形式，则 k 为奇数时，函数名改变，k 为偶数时，函数名不 2
sin
3a
3
，
2a 2
cos a 1 。 2a 2
若 a＜0，则 为第三象限角，r=－2a，所以 sin 3a 3 ， cos a 1 。
2a 2
2a 2
【总结升华】 三角函数值的大小与点 P 在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。本题应注意
3
把函数 y 3x 的图象看作以原点为端点的两条射线，故应有两种答案，要善于利用三角函数的定义及三 4
【变式 2】已知角 的终边落在 y=|2x|上，求 cos 值。
【答案】 5 或 5
5
5
【解析】 y=|2x|， y 2x
取点 P（1，2）， P' (1, 2)
r | OP || OP' | 5
cos x 1 5 或 5
r 55
5
类型二：三角函数的符号
例 2．（1）若 sin ＜0，cos ＞0，则 是第几象限角？ （2）若 sin2 ＞0，且 cos ＜0，试确定 终边所在象限？
1
②周期函数的定义中“对定义域内的任意一个 x”的“任意一个 x”的含义是指定义域内的所有的 x
值，即如果有一个 x0 ，使 f (x0 T ) f (x0 ) ，那么 T 就不是函数 f (x) 的周期．