【金版学案】2016高考数学理科二轮复习习题：专题8第三讲 不等式选讲
专题八选修专题
第三讲不等式选讲
1．绝对值三角不等式．
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋B|≤|a|＋|b|，
当且仅当ab≥0时，等号成立．
(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，
当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法．
(1)不等式|x|<a与|x|>a的解集：
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的
思想；
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
3．柯西不等式的二维形式．
(1)柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则(a21＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2(当且仅当a1b2＝a2b1时，等号成立)．
(2)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|.
(3)二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.
4．柯西不等式的一般形式．
柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，a n，b1，b2，…，b n为实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)·(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2.
5．基本不等式的一般形式．
a＋a2＋…＋a n
n≥n
a1a2…a n(a1，a2，…，a n∈R＋)．
1．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为(A) A．2 B. 2 C．4 D．6
解析：y ＝|x －1|＋|x －6|≥|x －4＋6－x|＝2.
2．不等式3≤|5－2x|<9的解集为(D )
A ．[－2，1)∪[4，7)
B ．(－2，1]∪(4，7]
C ．(－2，－1]∪[4，7)
D ．(－2，1]∪[4，7)
解析：⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3⇒⎩
⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<7，x ≥4或x ≤1，得(－2，1]∪[4，7)．
3．(2015·皖南八校联考)不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为(A )
A ．[－1，4]
B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C ．[－2，5]
D ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)
解析：由绝对值的几何意义易知|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，所以不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.
4．(2015·延边州质检)函数y ＝x 2＋5x ＋15x ＋2
(x ≥0)的最小值为(B ) A ．6 B ．7 C.7 D ．9
解析：原式变形为y ＝（x ＋2）2＋（x ＋2）＋9x ＋2＝x ＋2＋9x ＋2
＋1，因为x ≥0，所以x ＋2>0，所以x ＋2＋9x ＋2
≥6.所以y ≥7，当且仅当x ＝1时取等号．所以y min ＝7(当且仅当x ＝1时)．
一、选择题
1．不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是(D)
A．[－5，7] B．[－4，6]
C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
解析：当x≤－3时，|x－5|＋|x＋3|＝5－x－x－3＝2－2x≥10，即x≤－4，∴x≤－4.当－3<x<5时，|x－5|＋|x＋3|＝5－x＋x＋3＝8≥10，不成立，∴无解．当x≥5时，|x－5|＋|x＋3|＝x－5＋x＋3＝2x－2≥10，即x≥6，∴x≥6.综上可知，不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)，故选D.
2．(2015·延边州质检)函数y＝x2＋5x＋15
x＋2
(x≥0)的最小值为(B)
A．6 B．7 C.7 D．9
解析：原式变形为y＝（x＋2）2＋（x＋2）＋9
x＋2
＝x＋2＋
9
x＋2
＋
1，因为x≥0，所以x＋2>0，所以x＋2＋
9
x＋2
≥6.所以y≥7，当且
仅当x＝1时取等号．所以y min＝7(当且仅当x＝1时)．
3．若x，y∈R且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的最小值是(D)
A．33
9 B．1＋2 2
C．6 D．7
解析：3x＋33y＋1≥23x·33y＋1＝23x＋3y＋1＝7.当且仅当3x ＝33y时，即x＝3y＝1时取等号．
4．设x>0，y>0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y 1＋y
，则A ，B 的大小关系是(B )
A ．A ＝
B B ．A<B
C ．A ≤B
D ．A>B
解析：B ＝x 1＋x ＋y 1＋y >x 1＋x ＋y ＋y 1＋y ＋x ＝x ＋y 1＋x ＋y
＝A ，即A<B.
5．设a ，b ，c 为正数且a ＋2b ＋3c ＝13，则3a ＋2b ＋c 的最大值为(C )
A.1693
B.133
C.1333
D.13 解析：(a ＋2b ＋3c)⎣
⎢⎡⎦⎥⎤（3）2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(3a ＋2b ＋c)2，∵a ＋2b ＋2c ＝13，∴(3a ＋2b ＋c)2≤1693
.∴3a ＋2b ＋c ≤1333，当且仅当a 3
＝2b 1＝3c 13
时取等号．∵a ＋2b ＋3c ＝13，∴a ＝9，b ＝32，c ＝13时，3a ＋2b ＋c 取最大值1333
. 二、填空题
6．不等式1<|x ＋1|<3的解集为(－4，－2)∪(0，2)．
7．不等式|x －8|－|x －4|>2的解集为{x|x<5}．
解析：令f(x)＝|x －8|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，－4，x>8，
4<x ≤8，当x ≤4时，f(x)＝4>2；当4<x ≤8，时f(x)＝－2x ＋12>2，得x<5，∴4<x<5；当x>8时，f(x)＝－4>2不成立．故原不等式的解集为{x|x<5}．
8．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x|≤k 无解，则实数k 的取值范围是k<1．
解析：∵|x －1|＋|x|≥|x －1－x|＝1，∴当k<1时，不等式|x －1|＋|x|≤k 无解，故k<1.
三、解答题
9．(2015·柳州一模)已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a(其中a>0)．
(1)当a ＝4时，求不等式的解集；
(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．
解析：(1)当a ＝4时，不等式即|2x ＋1|－|x －1|≤2.
当x<－12时，不等式为－x －2≤2，解得－4≤x<－12
. 当－12≤x ≤1时，不等式为3x ≤2，解得－12≤x ≤23
. 当x>1时，不等式为x ＋2≤2，此时x 不存在．
综上，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|－4≤x ≤23. (2)设f(x)＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x<－12
，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x>1.
故f(x)∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，＋∞，即f(x)的最小值为－32.所以当f(x)≤log 2a 有解，则有log 2a ≥－32，解得a ≥24，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞.
10．(2014·辽宁卷)设函数f(x)＝2|x －1|＋x －1，g(x)＝16x 2－8x ＋1.记f(x)≤1的解集为M ，g(x)≤4的解集为N.
(1)求M ；
(2)当x ∈M ∩N 时，求证：x 2f(x)＋x[f(x)]2
≤14. 解析：(1)由f(x)＝2|x －1|＋x －1≤1可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x －3≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x<1，1－x ≤1.
解⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x －3≤1得1≤x ≤43，解⎩
⎪⎨⎪⎧x<1，1－x ≤1得0≤x<1. 综上，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，43. (2)由g(x)＝16x 2
－8x ＋1≤4，得－14≤x ≤34， ∴N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.∴M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，34. ∵当x ∈M ∩N 时，f(x)＝1－x ，
∴x 2f(x)＋x[f(x)]2
＝xf(x)[x ＋f(x)]＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14， 故要证的不等式成立．
11．已知不等式|a －2|≤x 2＋2y 2＋3z 2对满足x ＋y ＋z ＝1的一切实数x ，y ，z 都成立，求实数a 的取值范围．
解析：由柯西不等式，得[x 2＋(2y)2＋(3z)2
]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(x ＋y ＋z)2.
∴x 2＋2y 2＋3z 2
≥611. 当且仅当x 1＝2y 12＝3z 13
时取等号， 即x ＝611，y ＝311，z ＝211
取等号．
则|a －2|≤611
. 所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1611，2811.。
金版教程2016高考数学理二轮复习课件：1-3-2 高考中的数列
第七页，编辑于星期日：二十一点 三十五分。
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热点探究悟道
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(2)设 bn＝log an，求 Tn＝b21－1 1＋b22－1 1＋…＋bn2－1 1.
大二轮·理
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第一编 专题整合突破
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专题三 数列
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第二讲 高考中的数列(解答题型)
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适考素能特训
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2016版高考数学二轮复习配套课件：专题七 选考部分第3讲
(1)比较法：作差或作商比较． (2)综合法：根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻 辑推理导出结论． (3)分析法：执果索因的证明方法． (4)反证法：反设结论，导出矛盾． (5)放缩法：通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法．
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第十五页，编辑于星期五：二十三点 与 b2＋b<2 同时成立，则由 a2＋a<2 及 a>0，得
0<a<1；
同理，0<b<1，从而 ab<1，这与 ab＝1 矛盾． 故 a2＋a<2 与 b2＋b<2 不可能同时成立．
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第十六页，编辑于星期五：二十三点 五十三分。
专题七 选考部分
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第十七页，编辑于星期五：二十三点 五十三分。
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第十三页，编辑于星期五：二十三点 五十三分。
专题七 选考部分
(2)因为 a6＋8b6＋217c6≥3 3 287a6b6c6 ＝3×23a2b2c2＝2a2b2c2， 所以 a6＋8b6＋217c6≥2a2b2c2.
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第十四页，编辑于星期五：二十三点 五十三分。
专题七 选考部分
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第八页，编辑于星期五：二十三点 五十三分。
专题七 选考部分
[解] (1)不等式 f(x)≤6，即|2x＋1|＋|2x－3|≤6，
所以①x<－12，
或
－2x－1＋（3－2x）≤6
②－12≤x≤32，
或③x>23，
2x＋1＋（3－2x）≤6 2x＋1＋（2x－3）≤6，
解①得－1≤x<－12，解②得－12≤x≤32，
第二页，编辑于星期五：二十三点 五十三分。
(通用版)2016年高考数学二轮复习 专题十三 选考部分 第3讲 不等式选讲课件 理
3．已知函数 f(x)＝ |x＋ 1|＋ |x－3|－ m的定义域为 R. (1)求实数 m 的取值范围； 2 1 (2)若 m 的最大值为 n， 当正数 a， b 满足 ＋ ＝ n 时， 3a＋ b a＋2b 求 7a＋ 4b 的最小值．
解：(1)因为函数的定义域为 R， 所以|x＋1|＋ |x－ 3|－m≥ 0 恒成立， 设函数 g(x)＝ |x＋ 1|＋|x－3|，则 m 不大于函数 g(x)的最小值， 又 |x＋1|＋ |x－ 3|≥|(x＋ 1)－ (x－3)|＝4， 即 g(x)的最小值为 4，所以 m≤4.
(2)法一： 因为 (a＋ b＋ c)2＝ a2＋ b2＋ c2＋2ab＋2bc＋ 2ca≤ 3(a2 1 ＋ b ＋ c )，又 a＋ b＋ c＝ 1，所以 a ＋ b ＋ c ≥ . 3
2 2 2 2 2
法二：由柯西不等式得(a2＋ b2＋ c2)(12＋ 12＋12)≥ (a＋b＋ c)2 ＝ 1， 1 即 a ＋b ＋c ≥ . 3
当 f(x)取最小值时， f(x)＝ |x＋ 1|＋ |x－1|， (x＋1)(x－ 1)≤ 0，∴－ 1≤ x≤ 1. (2)f(0)<3，即为 m2＋ |2m＋3|<3.
2m＋3≥ 0 2m＋3<0， 即 2 或 2 ， m ＋2m＋ 3<3 m －2m－ 3<3
3 3 解得－ ≤ m<0 或 1－ 7<m<－ . 2 2 3 3 ∴ m 的范围为 －2， 0 ∪ 1－ 7，－2 ， 即 (1－ 7， 0)．
1 1＋1 3 3＋1 解：(1)① ＜ ， ＜ ，即在真分数的分子与分母上同 2 2＋1 5 5＋1 时加上同一个正数，值变大了． ②盐水变咸了，即浓度变高了． ③ kOA＜ kOC，即 a＞ b＞ 0， m＞ 0 时， b b＋ m ＜ . a a＋ m 故提炼的不等式为 b b＋ m 若 a＞ b＞ 0，且 m＞0，则有 ＜ . a a＋ m
专题18 不等式选讲(讲学案)-2016年高考理数二轮复习精品资料(原卷版)
专题18 不等式选讲（讲学案）-2016年高考理数二轮复习精品资料【2016考纲解读】预测2016年对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查.【重点知识梳理】一、含有绝对值不等式的解法1.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)若c>0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可.(2)若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.(1)零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|<c(c>0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.3.|f(x)|>g(x)，|f(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法(1)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).(2)|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x).知识点二不等式的证明1.证明不等式的常用结论(1)绝对值的三角不等式定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0，等号成立.定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.推论1：||a |－|b ||≤|a ＋b |.推论2：||a |－|b ||≤|a －b |.(2)三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立.(3)基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，并且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时等号成立. (4)一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，并且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立.2.证明不等式的常用方法(1)比较法一般步骤：作差—变形—判断—结论.为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负.(2)综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法.(3)分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法.(4)反证法和放缩法①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法.②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法.【高频考点突破】考点一 解绝对值不等式例1．(2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________.【变式探究】(2014·广东，9)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．考点二 不等式的证明例2．(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a 、b 、c 、d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ； (2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．【变式探究】(2014·天津，19)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }． (1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ；(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .【经典考题精析】1．(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．2．(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．1.【2014高考安徽卷理第9题】若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A.5或8B.1-或5C.1-或4-D.4-或82. 【2014陕西高考理第15题】设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=的最小值为3. 【2014高考广东卷理第9题】不等式521≥++-x x 的解集为 .4. 【2014高考湖南卷第13题】若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =________.5. 【2014江西高考理第11题】对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.46. 【2014重庆高考理第16题】若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是____________. 7. 【2014高考福建理第21（3）题】 已知定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a . （I ）求a 的值；（II ）若r q p ，，为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p .9. 【2014高考江苏第21题】已知0,0x y >>，证明22(1)(1)9x y x y xy ++++≥ 10. 【2014高考江苏第21B 题】已知矩阵1211,121A B x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量2a y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,x y 是实数，若Aa Ba =，求x y +的值.11. 【2014高考辽宁理第24题】设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N .（Ⅰ）求M ；(Ⅱ)当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.12. 【2014高考全国1第24题】若0,0ab >>，且11a b +=. （Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.13. 【2014高考全国2第24题】设函数()f x =1(0)x x a a a++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.（2013·新课标I 理）（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g(x )=x +3.（Ⅰ）当a =-2时，求不等式f (x )＜g(x )的解集；（Ⅱ）设a ＞－1，且当x ∈[－错误！未找到引用源。
金版教程2016高考数学理二轮复习课件：2-4-3 解答题的解题程序模板
∵0<θ<π2，∴θ＝π4.
∴平面CED与平面ABC所成二面角(锐角)的大小为π4.
第十八页，编辑于星期日：二十一点 三十六分。
概率与统计 模板三
MOBAN 例3 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修甲的概
率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没
∴－ 2x＋2y＋z＝20z＝. 0，
取x＝1，∴n1＝(1，－2，－2)．
又NB⊥平面ABCD，
∴NB⊥DC，又DC⊥BC.
∴DC⊥平面BNC.
∴平面BNC的法向量n2＝D→C＝(0,2,0)，cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|＝3－×42＝－32.
设所求的锐二面角大小为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝32.
(1)求频数分布表中a，b的值； 解 (1)依题意，a＝0.04×5×800＝160，b＝0.02×5×800＝80.
(2)现在要用分层抽样的方法从这800人中抽取40人进行成绩分析，求其中获一等奖的学生人数； 解 (2)设其中获一等奖的学生人数为x，则84000＝8x0，解得x＝4，即其中获一等奖的学生人数为4.
故平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值为32.
第十三页，编辑于星期日：二十一点 三十六分。
审题视角
(1)P是△ABM的一边BM上的点→在另一边AB上一定存在一点Q使PQ∥AM→
BQ QA
＝
BP PM
＝
MNBD＝12.
(2)建立坐标系→构造法向量→求夹角．
第十四页，编辑于星期日：二十一点 三十六分。
变式训练2 [2015·云南高三统测一]如图，在四棱锥C－ABDE中，F为CD的中点，DB⊥平面ABC，AE ∥BD，AB＝BC＝CA＝BD＝2AE.
【2017参考】金版教程2016高考数学理二轮复习课件2-2-1 集合、函数与导数、不等式
考前冲刺攻略
第二步
易错失分大清查
1.集合、函数与导数、不等式
忽视互异性致误 例1 [ 错解] 已知 1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，求实数 a 的值． 由题意，得 a＋2＝1 或(a＋1)2＝1 或 a2＋3a＋3＝1，∴a＝－1 或 a＝－2 或 a＝0.
当 a＝－2 时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1，不符合集合元素的互异性；同理 a＝－1 时，
②若 B≠∅， 则 m＋1≤2m－1，即 m≥2. 由 B⊆A，如图所示，得
－2≤m＋1， 2m－1≤5.
解得－3≤m≤3. 又∵m≥2，∴2≤m≤3. 由①②知，当 m≤3 时，A∪B＝A.
[ 防范措施]
造成本题失分的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质．当题目中出现
A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B 时，注意对 A 进行分类讨论，即分为 A＝∅和 A≠∅两种情况讨论． 补救训练 2 已知集合 A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，p∈R}，若 A∩R＋＝∅，则实数 p 的取值范围为 (________ －4，＋∞ ) ．
解析 由题意可知，M＝ (－3,1)，N＝ [－1,1]，∴阴影部分表示的集合为 M∩(∁UN)＝ (－3，－1).
对命题的否定不当致误 例4 [ 错解] ax＋10 (－∞，2)∪[5，＋∞) ． 已知 M 是不等式 ≤0 的解集且 5∉M，则 a 的取值范围是______________________ ax－25 (－∞，－2)∪(5，＋∞)
[防范措施] 对于错解 1，解一元二次不等式时一定要将考虑抛物线的开口和含参数的讨论形成习惯. 对于错解 2，对于含参数的交、并、补集问题的运算，一定要注意界点.
补救训练 3 [2015· 太原一模] 已知全集 U＝R，集合 M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部 分表示的集合是( A.[－1,1) B.(－3,1] C.(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D.(－3，－1) )
专题18 不等式选讲(专题)-2016年高考数学(文)考纲解读及热点难点试题演练(原卷版)
专题18 不等式选讲【2016年高考考纲解读】本讲内容在高考中主要考查绝对值不等式的性质，绝对值不等式的解法以及不等式证明问题，其中绝对值不等式的解法常与集合及不等式恒成立等结合在一起综合考查.求解时要注意去掉绝对值符号的方法，绝对值的几何意义以及转化与化归、数形结合思想的应用.高考对本内容的考查主要有：(1)含绝对值的不等式的解法；B 级要求．(2)不等式证明的基本方法；B 级要求．(3)利用不等式的性质求最值；B 级要求．(4)几个重要的不等式的应用．B 级要求.【重点、难点剖析】1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式．3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1na 2i )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1nb 2i ≥(∑i ＝1n a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．5．绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.需要灵活地应用．6．不等式的性质，特别是基本不等式链11a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0)，在不等式的证明和求最值中经常用到． 7．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.【题型示例】题型一 含绝对值不等式的解法【例1】(2015·江苏，21(D))解不等式 x ＋|2x ＋3|≥2.【变式探究】 (2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________.【变式探究】(2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．【命题意图】本题主要考查绝对值三角不等式与基本不等式的应用，含绝对值的不等式的解法，意在考查考生的运算求解能力与分类讨论思想的应用．【解题思路】(1)利用“绝对值三角不等式”进行放缩，结合基本不等式即得证．(2)明确不等式后解关于a 的绝对值不等式，再分类讨论求解即可．【感悟提升】1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．3．求解绝对值不等式恒成立问题的解析(1)可利用绝对值不等式的性质求最值或去掉绝对值号转化为分段函数求最值．(2)结合“a ≥f (x )恒成立，则a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立，则a ≤f (x )min ”求字母参数的取值范围．【举一反三】(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值． 【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．题型二 不等式的综合应用例2、(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明：(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．【变式探究】(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．【变式探究】已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪f x －2f⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 【规律方法】解答含有绝对值不等式的恒成立问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值．【变式探究】 已知非负实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＋x ＋2y ＋3z ＝134，求x ＋y ＋z 的最大值．学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http://xkw.so/wksp。
新高考二轮数学理科金版学案专题复习同步练习8.3分类讨论思想(含答案解析)
第一部分知识复习专题专题八思想方法专题第三讲分类议论思想题号123456答案一、选择题1．若以连续投掷两次骰子分别获得的点数m， n 作为点 P 的坐标，则点P 落在圆 x2＋ y2＝ 16 内的概率为 ()7 B.2C.1D.1A.36964分析：解 x 2＋ y2<16， x＝1 时， y＝ 1， 2， 3； x＝2 时， y＝ 1， 2， 3； x＝ 3 时， y＝1，822.即共有 8 点，则所求概率为6×6＝9.应选B.答案： B322．若 a＞ 0 且 a≠1， p＝ log a(a ＋ 1)， q＝ log a(a ＋ 1)，则 p， q 的大小关系是()B． p＜ qC． p＞ qD．当 a＞ 1 时， p＞ q；当 0＜ a＜ 1 时， p＜ q分析：当 0＜ a＜ 1 时， y＝ a x和 y＝ log a x 在其定义域上均为减函数．∴a3＋ 1＜ a2＋ 1.∴log a(a 3＋ 1)＞ log a(a2＋ 1)，即 p＞ q.当 a＞ 1 时， y＝ a x和 y＝ log a x 在其定义域上均为增函数．∴ a3＋ 1＞ a2＋ 1.∴log a(a 3＋ 1)＞ log a(a2＋ 1)，即 p＞ q.综上可得 p＞ q.答案： C3．设函数 f(x)(x ∈R) 知足 f(－ x)＝ f(x)，f(x) ＝ f(2 － x)，且当 x∈ [0，1]时， f(x) ＝ x3.又函数 g(x)＝ |xcos π x|，则函数h(x)＝ g(x)－ f(x)在－13上的零点个数为 () 2，2A ．5个B ．6 个C ．7 个D ．8 个3分析：因为当 x ∈ [0， 1]时， f(x) ＝ x .f(x) ＝f(2 － x)＝ (2－ x)3,当 x ∈ 0， 1 时，g(x)＝ xcos(π x)；当 x ∈ 1， 3时，g(x)＝－ xcos(π x)，注意到函数 f(x),2 2 21 3g(x)都是偶函数，且 f(0) ＝ g(0)，f(1) ＝ g(1), f 2 ＝ g 2 ＝ 0，作出函数 f(x), g(x) 的大概图象，函数h(x) 除了 ， 1 这两个零点以外，分别在区间－1，0 ，1 ，1，1 ，3上各20， 221，2有一个零点，共有 6 个零点．应选 B.答案： B4．经过点 P(2 ， 3)且在 x ， y 轴上截距相等的直线方程是 ( )A ． x ＋ y － 5＝ 0， x － y ＋1＝ 0B ． x ＋ y － 5＝ 0， 3x － 2y ＝ 0C ． x ＋ y － 5＝ 0， x － y ＋1＝ 0， 3x － 2y ＝ 0D ． x － y ＋ 1＝ 0， 3x － 2y ＝ 0分析：当截距为零时，直线方程为3x － 2y ＝ 0；当截距不为零时，直线方程为x ＋ y － 5＝ 0.答案： B5．已知 A ，B 为平面内两定点， 过该平面内动点 →M 作直线 AB 的垂线， 垂足为 N ，MN2→ → M 的轨迹不行能是 () ＝ λAN · NB ，此中 λ为常数，则动点A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线分析：考察曲线方程、分类议论的思想．不如设|AB|＝ 2，以 AB 中点 O 为原点， AB所在直线为x 轴成立平面直角坐标系xOy ，则 A( －1， 0)， B(1 ， 0)，设 M(x ， y)，则 N(x ，→ → → 220)， MN ＝ (0，－ y)， AN ＝ (x ＋ 1， 0)， NB ＝ (1－ x ， 0)，代入已知式子得 λx＋ y ＝ λ，当 λ ＝ 1 时，曲线为 A ：当 λ＝2 时，曲线为 B ；当 λ＜ 0 时，曲线为 D ，所以选 C.答案：C1的值域是 ()6．函数 y ＝ x ＋ xA ． [2，＋ ∞ )B ． (－ ∞，－ 2]∪[2，＋ ∞)C ． (－∞，＋ ∞ )D ． [－ 2， 2]分析：分 x ＞ 0， x ＜ 0 两种状况，选 B.答案： B二、填空题227．设点 F 1， F 2 为椭圆 x ＋ y＝ 1 的两个焦点，点 P 为椭圆上一点，已知点P ， F 1， F 29 4 是一个直角三角形的三个极点，且 |PF 1 |＞ |PF 2|，则|PF 1|的值为 ________．|PF 2|分析：若∠ PF 2F 1＝ 90°，则 |PF 1|2＝ |PF 2|2＋ |F 1F 2|2.又∵ |PF 1|＋ |PF 2|＝ 6， |F 1F 2|＝ 2 5，14 4解得 |PF 1|＝ 3 ， |PF 2 |＝ 3，∴ |PF 1|＝ 7 . |PF 2| 2若∠ F 1PF 2＝ 90°，则 |F 1F 2|2＝ |PF 1|2＋ |PF 2|2＝|PF 1|2＋ (6－ |PF 1|)2，∴ |PF 1|＝ 4， |PF 2|＝ 2，∴ |PF 1|＝2. |PF 2||PF 1| 7综上可知， ＝或2.7答案： 或28．正三棱柱的侧面睁开图是边长分别为 6 和 4 的矩形，则它的体积为 ________．分析：分侧面矩形长、宽分别为6和4或 4和 6两种状况．8答案： 4 3或3 3三、解答题2π，值域为 [－9．已知函数 f(x) ＝ 2asin x－ 23asin xcos x＋ a＋ b(a ≠ 0)的定义域为0，2 5， 1]，求常数a， b 的值．分析： f(x) ＝ a(1－ cos 2x)－ 3asin 2x＋ a＋ b＝－ 2asin 2x＋π＋ 2a＋ b，6∵ x∈0，π，2ππ ，7π，∴－1≤ sin 2x＋π≤ 1，∴ 2x＋∈66626所以，由 f(x) 的值域为 [－ 5， 1]，a＞ 0，可得－ 2a× －12＋ 2a＋ b＝1，－2a×1＋ 2a＋ b＝－ 5，a＜ 0，或－ 2a×1＋ 2a＋ b＝ 1，1－ 2a× －＋ 2a＋ b＝－ 5，2a＝ 2，a＝－ 2，解得或b＝ 1.b＝－ 510．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y2＝ 4x 订交于 A， B 两点，且l 过点→→T(4 ， 0)．求证： OA · OB＝ 0.证明：设过点 T(4， 0)的直线 l 交抛物线 y2＝ 4x 于点 A(x 1， y1) ，B(x 2， y2)．①当直线 l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 x＝ 4，此时直线 l 与抛物线交于点A(4 ，4)， B(4，－ 4)，→→∴OA· OB＝0.②当直线l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为y＝ k(x－ 4)．2 ＝ 4x ，y 2－ 4y － 16k ＝ 0，此中 k ≠0，由得 ky y ＝ k （ x － 4），则 y 1· y 2＝－ 16.又∵ x 1＝ 14y 21 ， x 2＝14y 22，→ →∴ OA · OB ＝ x 1· x 2＋ y 1· y 2＝ 161y 21y 22＋ y 1y 2＝ 0.→ →综上所述， OA ·OB ＝ 0 得证．11．如下图，已知一条线段AB ，它的两个端点分别在直二面角 P － l － Q 的两个面内挪动，若 AB 和平面 P ， Q 所成的角分别为α， β .试议论 α＋ β的取值范围．分析：①当 AB ⊥ l 时， α＋ β＝ 90° .②当 AB 与 l 不垂直且不在l 上时，在平面 P 内作 AC ⊥ l ，C 为垂足，连结 BC ，∵平面 P ⊥平面 Q ，∴ AC ⊥平面 Q.∴∠ ABC 是 AB 与平面 Q 所成的角，即∠ ABC ＝ β.在平面 Q 内作 BD ⊥ l ，垂足为 D ，连结 AD ，同理∠ BAD ＝ α.在 Rt △ BDA ，Rt △ BCD 和 Rt △ ABC 中， BD ＜ BC ，BD AB ＜ BCAB ，即 sin α ＜ sin ∠ BAC.∵ α 和∠ BAC 均为锐角，∴ α ＜∠ BAC ，而∠ BAC ＋ β＝ 90°，∴ α ＋ β＜ 90° .③若 AB 在 l 上，则α＋β＝ 0° .综上可知， 0°≤ α＋β≤ 90° .12．(2014 重·庆卷 )已知函数 f(x) ＝ ae2x－ be－2x－ cx(a，b，c∈ R) 的导函数 f ′(x)为偶函数，且曲线 y＝f(x) 在点 (0， f(0)) 处的切线的斜率为 4－ c.(1)确立 a， b 的值；(2)若 c＝ 3，判断 f (x) 的单一性；(3)若 f(x) 有极值，求 c 的取值范围．剖析： (1)由 f(x) ＝ ae2x－ be－2x－ cx(a， b， c∈ R)f′ (x) ＝ 2ae2x＋ 2be－2x－ c，因为 f ′(x)是偶函数，所以 f ′(－x)＝f ′(x)，又曲线 y＝ f(x) 在点 (0，f(0)) 处的切线的斜率为4－ c，所以有 f ′ (0)＝ 4－ c，利用以上两条件列方程组可解a， b 的值；(2)由 (1) ， f′ (x)＝ 2e x＋ 2e－x－ c，当 c＝ 3 时，利用 f ′(x)的符号判断 f(x) 的单一性；x－ x(3)要使函数 f(x) 有极值，一定 f ′ (x)有零点，因为 2e ＋ 2e ≥ 4，所以能够对 c 的取值分类议论，获得知足条件的 C 的取值范围．分析： (1)对 f(x) 求导得 f ′(x)＝ 2ae2x＋ 2be－2x－ c，由 f ′(x)为偶函数，知 f ′(－x)＝ f ′(x)恒成立，即 2(a－ b)(e2x－ e－2x)＝ 0 恒成立，所以 a＝ b，又 f ′(0)＝ 2a＋ 2b－ c，故 a＝ 1， b＝ 1.2x－ 2x(2)当 c＝ 3 时， f(x) ＝ e － e － 3x，那么f′ (x)＝ 2e2x＋ 2e－2x－ 3≥2 2e2x· 2e－2x－ 3＝1＞ 0，故 f(x) 在 R 上为增函数．(3)由 (1) 知 f ′ (x)＝ 2e2x＋ 2e－2x－ c，而 2e2x＋ 2e－2x≥ 22e2x· 2e－2x＝ 4，当 x＝ 0 时等号成立．下边分三种状况进行议论．①当 c＜ 4 时，对随意x∈ R， f′ (x) ＝ 2e2x＋ 2e－2x－ c＞ 0，此时 f(x) 无极值；②当 c＝ 4时，对随意 x≠0， f′ (x) ＝ 2e2x＋ 2e－2x－ 4＞ 0，此时 f(x) 无极值；③当 c＞ 4时，令 e2x＝ t，注意到方程2t＋2－ c＝ 0 有两根， t1，2＝c±c2－16＞0，t4即 f ′(x)＝ 0 有两个根 x1＝12ln t1或 x2＝12ln t 2.当 x1＜ x＜ x2时，f′ (x)＜ 0；又当 x＞ x2时，f′ (x)＞ 0，进而 f(x) 在 x＝ x2处获得极小值．综上，若 f(x) 有极值，则 c 的取值范围为 (4，＋∞)．。
2016年高考数学专题精解课件：3.1.利用导数研究不等式恒成立及相关问题
1 tan2
2
2
归纳拓展:几个常见的变形切入点:(1)sin αcos α可凑倍角公式;(2)1±
cos α可用升幂公式;(3)1±sin α可化为 1±cos( π -α),再用升幂公式或 2
1±sin α=(sin a ±cos a )2;(4)asin α+bcos α= a2 b2 sin(α+φ)
答案:1
第十页，编辑于星期五：二十三点 十八分。
1.怎么考 (1)考查角度:①三角函数的定义;②三角恒等变换、求值;③三角函数的解析式、 图象与性质(或由性质求参数),常与两角和与差正、余弦公式、二倍角公式、辅助 角公式及同角三角函数的基本关系式等综合命题. (2)考查方式:选择题、填空题. 2.怎么办 备考中应通过各种形式训练熟练掌握和、差、倍角公式及常用变形;熟练掌握同角 三角函数的基本关系式及诱导公式、辅助角公式以及各种常用变形技巧(一角、二 名、三结构);熟练掌握三角函数的图象、性质、图象变换等.
在(- π +kπ, 2
π +kπ) (k∈ 2
Z)上单调递增
2
对 称 性
对称中心:(kπ,0)(k∈Z);对称
轴:x= π +kπ(k∈Z) 2
对称中心: ( π +k 2
π,0) (k∈Z);对称
轴:x=kπ(k∈Z)
对称中心:
( kπ ,0) (k∈ 2
Z);无对称轴
第十五页，编辑于星期五：二十三点 十八分。
(A) 1 2
(B) 2 (C) 3 (D)1
2
2
第二十二页，编辑于星期五：二十三点 十八分。
解析:(1)由图观察可知,T=2×( π + π )=π,所以ω= 2π =2,
【金版学案】2016高考数学理科二轮复习习题：专题9第一讲 函数与方程思想
专题九思想方法专题第一讲函数与方程思想一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题．1．方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决．2．方程思想与函数思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y ＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究，方程f(x)＝a有解，当且仅当a 属于函数f(x)的值域．函数与方程的这种相互转化关系十分重要．可用函数与方程思想解决的相关问题．1．函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：(1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的．2．方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：(1)解方程或解不等式；(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；(4)构造方程或不等式求解问题．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(√)(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(×)(5)函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．(√)(6)函数f(x)＝kx ＋1在[1，2]上有零点，则－1<k<－12.(√)1．方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 的最大值为(A )A ．1B ．0C ．－1D ．－22．(2014·湖南卷)已知f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x 3＋x 2＋1，则f(1)＋g(1)＝(C )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：分别令x ＝1和x ＝－1可得f(1)－g(1)＝3和f(－1)－g(－1)＝1，因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，即f(－1)－g(－1)＝1⇒f(1)＋g(1)＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧f （1）－g （1）＝3，f （1）＋g （1）＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝2，g （1）＝－1⇒f(1)＋g(1)＝1.故选C. 3. (2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则a 的值为－12．解析：函数y ＝|x －a|－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12.一、选择题1. (2014·安徽卷)设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ．当0≤x ＜π时，f(x)＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝(A ) A.12 B.32 C ．0 D ．－12解析：由题意，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.故选A.2．设a ＞1，若对于任意的x ∈[a ，2a]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a 的取值的集合为(B )A ．{a|1＜a ≤2}B ．{a|a ≥2}C ．{a|2≤a ≤3}D ．{2，3}解析：依题意得y ＝a 3x ，当x ∈[a ，2a]时，y ＝a 3x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a 2，a 2⊆[a ，a 2]，因此有12a 2≥a ，又a ＞1，由此解得a ≥2.故选B. 3．对任意a ∈[－1，1]，函数f(x)＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于零，则x 的取值范围是(B )A.{}x |1＜x ＜3B.{}x |x ＜1或x ＞3C.{}x |1＜x ＜2D.{}x |x ＜1或x ＞2解析：由f(x)＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0得a(x －2)＋x 2－4x ＋4>0.令g(a)＝a(x －2)＋x 2－4x ＋4，由不等式f(x)>0恒成立，即g(a)>0在[－1，1]上恒成立．∴有⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）>0，g （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－（x －2）＋x 2－4x ＋4>0，（x －2）＋x 2－4x ＋4>0. 解得x<1或x>3.4．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，其一交点为P ，则|PF 2|＝(C ) A.32 B. 3 C.72D ．4 解析：如图，令|F 1P|＝r 1，|F 2P|＝r 2，那么⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ＝4，r 22－r 21＝（2c ）2＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝4，r 2－r 1＝3⇒r 2＝72. 5．(2014·全国大纲卷)奇函数f(x)的定义域为R ，若f(x ＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝(D )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x), 又因为f(x ＋2)是偶函数，则f(－x ＋2)＝f(x ＋2)，所以f(8)＝f(6＋2)＝f(－6＋2)＝f(－4)＝－f(4)，而f(4)＝f(2＋2)＝f(－2＋2)＝f(0)＝0，f(8)＝0，同理f(9)＝f(7＋2)＝f(－7＋2)＝f(－5)＝－f(5)；而f(5)＝(3＋2)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(9)＝1，所以f(8)＋f(9)＝1.故选D.6．(2014·湖南卷)已知函数f(x)＝x 2＋e x －12(x ＜0)与g(x)＝x 2＋ln(x ＋a)图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是(B )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e B.()－∞，e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫ －1e ，e D.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e 解析：由题可得存在x 0∈(－∞，0)满足f(x 0)＝g(－x 0)⇒x 20＋ex 0－12＝(－x 0)2＋ln(－x 0＋a)⇒ex 0－ln(－x 0＋a)－12＝0，令h(x)＝e x －ln(－x ＋a)－12，因为函数y ＝e x 和y ＝－ln(－x ＋a)在定义域内都是单调递增的，所以函数h(x)＝e x －ln(－x ＋a)－12在定义域内是单调递增的，又因为x 趋近于－∞时，函数h(x)＜0且h(x)＝0在(－∞，0)上有解(即函数h(x)有零点)，所以h(0)＝e 0－ln(0＋a)－12＞0⇒ln a ＜ln e ⇒a ＜ e.故选B.二、填空题7．(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为4．解析：①当0<x ≤1时，方程为－ln x ＝1，解得x ＝1e. ②当1<x<2时，f(x)＋g(x)＝ln x ＋2－x 2单调递减，值域为(ln 2－2，1)，方程f(x)＋g(x)＝1无解，方程f(x)＋g(x)＝－1恰有一解．③当x ≥2时，f(x)＋g(x)＝ln x ＋x 2－6单调递增，值域为[ln 2－2，＋∞)，方程f(x)＋g(x)＝1恰有一解，方程f(x)＋g(x)＝－1恰有一解．综上所述，原方程有4个实根．8．(2015·湖南卷)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x>a.若存在实数b ，使函数g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则a 的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．解析：函数g(x)有两个零点，即方程f(x)－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f(x)和y ＝b 的图象有两个公共点．①若a<0，则当x ≤a 时，f(x)＝x 3，函数单调递增；当x ＞a 时，f(x)＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点.②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f(x)在R 上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点.③若a ＞1，则a 3＞a 2，函数f(x)在R 上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点．综上，a<0或a>1.三、解答题9．已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)＝2bx ax －1，a ≠0，f(1)＝1且使f(x)＝2x 成立的实数x 只有一个，求函数f(x)的表达式．解析：∵f(x)＝2bx ax －1，f(1)＝1，∴2ba－1＝1.∴a＝2b＋1.又f(x)＝2x，即2bxax－1＝2x只有一个解，也就是2ax2－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解．∴Δ＝[－2(1＋b)]2－4×2a×0＝0，即(1＋b)2＝0.得b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝2x x＋1.10．某地区要在如图所示的一块不规则用地规划建成一个矩形商业楼区，余下的作为休闲区，已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB＝BC ＝2OA＝4 km，曲线OC段是以O为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果矩形的两边分别落在AB，BC上，且一个顶点在曲线OC 段上，应当如何规划才能使矩形商业楼区的用地面积最大？并求出最大的用地面积．解析：以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝2py，由C(2，4)代入得：p＝1 2，所以曲线段OC的方程为：y＝x2(x∈[0，2])．A(－2，0)，B(－2，4)，设P(x，x2)(x∈[0，2])在OC上，过P 作PQ⊥AB于Q，PN⊥BC于N，故PQ ＝2＋x ，PN ＝4－x 2，则矩形商业楼区的面积S ＝(2＋x)(4－x 2)(x ∈[0，2])．S ＝－x 3－2x 2＋4x ＋8，令S′＝－3x 2－4x ＋4＝0得x ＝23或x ＝－2(舍去)，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23时，S ′＞0，S 是x 的增函数， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2时，S ′＜0，S 是x 的减函数， 所以当x ＝23时，S 取得最大值， 此时PQ ＝2＋x ＝83，PN ＝4－x 2＝329， S max ＝83×329＝25627(km 2)． 故该矩形商业楼区规划成长为329 km ，宽为83km 时，用地面积最大为25627km 2. 11．近年来，猪肉价格上涨，养猪所得利润比原来有所增加．某养殖户拟建一座平面图(如图所示)是矩形且面积为200平方米的猪舍养殖生猪，由于地形限制，猪舍的宽x 不少于5米，不多于a 米，如果该养殖户修建猪舍的地基平均每平方米需投入10元，房顶(房顶与地面形状相同)每平方米需投入15元，猪舍外面的四周墙壁每米需投入20元，中间四条隔墙每米需投入10元．问：当猪舍的宽x 定为多少时，该养殖户投入的资金最少？最少是多少元？解析：设该养殖户投入资金为y 元，易知猪舍的长为200x米， ∵y ＝200×10＋200×15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×200x ×20＋4x ×10＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ＋5 000(5≤x ≤a)， ∵函数f(x)＝x ＋100x在[5，10]上单调递减，在[10，＋∞)上单调递增， ∴当a ≥10时，y min ＝6 600，此时x ＝10；当5≤a ＜10时，y min ＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋100a ＋5 000，此时x ＝a. ∴若a ≥10米，猪舍的宽定为10米，该养殖户投入的资金最少是6 600元；若5≤a ＜10米，猪舍的宽就定为a 米，该养殖户投入的资金最少是[80⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋100a ＋5 000]元． 12．直线m ：y ＝kx ＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A ，B 两点，直线l 过点P(－2，0)和线段AB 的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2－y 2＝1(x ≤－1)消去y ， 得(k 2－1)x 2＋2kx ＋2＝0.①因为直线m 与双曲线的左支有两个交点，所以方程①有两个不相等的负实数根．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2＋8（1－k 2）＞0，x 1＋x 2＝2k 1－k 2＜0，x 1·x 2＝－21－k 2＞0，解得1＜k ＜ 2. 设M(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22＝k 1－k 2，y 0＝kx 0＋1＝11－k 2.由P(－2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1－k 2，11－k 2，Q(0，b)三点共线，得出b ＝2－2k 2＋k ＋2， 设f(k)＝－2k 2＋k ＋2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫k －142＋178， 则f(k)在(1，2)上为减函数，∴f(2)＜f(k)＜f(1)，且f(k)≠0.∴－(2－2)＜f(k)＜0或0＜f(k)＜1.∴b ＜－2－2或b ＞2.∴b 的取值范围是(－∞，－2－2)∪(2，＋∞)．13．若关于x 的方程4x ＋a·2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围．解析：解法一 令2x ＝t(t ＞0)，则原方程可化为 t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*)问题转化为方程(*)在(0，＋∞)上有实数解，求a 的取值范围． ①当方程(*)的根都在(0，＋∞)上时，可得下式⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4（a ＋1）≥0，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2－22或a ≥2＋22，a ＜0，a ＞－1，即－1＜a ≤2－22，②当方程(*)的根一个在(0，＋∞)上，另一根在(－∞，0]上时， 令f(t)＝t 2＋at ＋a ＋1得f(0)≤0，即a ≤－1.由①②知满足条件的a 的取值范围为(－∞，2－22]．解法二 令t ＝2x (t ＞0)，则原方程可化为t 2＋at ＋a ＋1＝0.变形为a ＝－1＋t 21＋t ＝－（t 2－1）＋21＋t＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（t －1）＋2t ＋1 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（t ＋1）＋2t ＋1－2≤－(22－2)＝2－2 2. 当且仅当t ＝2－1时取等号．所以a 的取值范围是(－∞，2－22]．。