A逐点循环递归法求哈密顿回路

逐点循环递归法求哈密顿回路

王彦祺

(石家庄经济学院信息工程系，河北石家庄 050031)

摘要：本文给出求解任意图的所有哈密顿回路算法，即“逐点循环递归算法”，用于处理复杂的“旅行商问题”，证明一个图是否是哈密顿图等。在算法中，给出一个“结点标号数组”，用于存储一个回路；还给出一个无向图的正向表，用于存储初始图。

关键词：哈密顿回路，算法，无向图正向表，结点标号数组, 递归。

An Algorithm of Cycle and Recursion by Every Vertex

for Getting Hamilton Cycle

Wang Yanqi

(Department of Information Engineering, Shijiazhuang University of Economics,Shijiazhuang,Hebei 050031)

Abstract: This paper gives out an algorithm of getting all Hamilton cycle from a common graph，that is "an algorithm of cycle and recursion by every vertex", which can solve complex "travelling salesman problem ",prove that a graph is Hamilton graph or not, and so on. In algorithm, I give out a "array of signed vertex ",for storing a cycle, and a "positive direction table for non-directed graph ",for storing a given graph.

Key Words: Hamilton cycle, algorithm, array of signed vertex, positive direction table for non-directed graph, recursion.

1．问题的提出

1)任给定一个无向图，如何求无向图的哈密顿图的回路，首先必须判断该图是否是哈密顿图。如果图很复杂又有哈密顿图回路,用手工是很难找到的，该算法很容易找到任何图的所有哈密顿回路，如果一条也找不到，即证明了该图不是哈密顿图。

2) 在求解“旅行商问题”时，考虑的是带权完全无向图，“分支定界法”只是求出最小的哈密顿回路，对于任意图是不可行的。

3) 在求解“旅行商问题”时，有时只求出路径最小的哈密顿回路不一定是最佳的哈密

顿回路。因为在旅行时，所考虑的不仅仅是费用或旅程，比如，有的路线虽短，但路线人员拥挤，如果单纯按最小的哈密顿回路旅行是不现实的，反而费用更高。此时求出若干最小的哈密顿回路，甚至求出所有的哈密顿回路，才能正确的决策旅行路线。

4)如果按边的组合方法，则运算次数将是极大的，本文给出求解一般图的所有哈密顿回路的“按结点循环递归算法”。

5)本文约定，H代表哈密顿，hn代表图的结点数，hm代表图的边数。

2．算法的依据.

2.1 有关的定理

定理 1. H回路中的每一个结点的度数d H(v)必是2 ,反之不成立。

证明:H回路的结点度数必是2。反之不成立，如图 1所示, 共7个结点,7个边，每个结点的度数为2,但不是H回路。当回路的边数不到结点数，我们称为“局部回路”。当回路的边数等于结点数hn，即为“哈密顿回路”。

v3 v4

图 1

定理2. 任何无向图的回路，如果结点号和数组下标一一对应，可采用一维数组存储，结

点标号为数组下标号，也是边的起点, 该下标的数组元素的值是边的终点标号，也是下一个

边的起点下标。（本文称为“结点标号数组”）。

证明：(构造法)首先将无向图的结点按连续的自然数编号,使结点号和数组下标号是一一

对应；因为是回路，每一个结点号在回路中必出现两次，且保证回路中的边的第一个结点的

标号（下标）不重复及第二个结点的标号（数组元素值）不重复。因为是简单图，下标号和

该下标的数组元素值一定是不同的，下标号为边的起点，该下标号下的数组元素值是该边的

终点，又是下一个边的起点下标。不妨令回路的结点数为4,其中一个H 回路的边为 {(1,2),(2,4),(4,3),(3,1)}， 即1---2---4---3---1，请看表1。结点下标数组存储H 回

路的优点是即节省空间，又便于边的连接，特别是更易于编程。如果结点下标数组包含图的

所有结点，则该回路为哈密顿回路。

表 1

定理3. 如果图G=(V,E)有n 个结点(m>=n),有n 条不同的边的组合,且结点的度数均为

2,如果按定理2的方法存储,从数组下标1开始,,将下标1的数组元素值作为下一个下标,,

再取元素值,直至元素值为1止。如果此时边计数k 等于n,则该k 条边的组合，即是一条H

回路；否则，该k 条边是个“局部回路”。

证明：显然。证明略。请看图1。

2..2 存储结构

1） 初始图的存储结构. 首先将图的结点按度数由大到小重新编号为1,2,3…,即最小号,度数最大,采用无向图的正向表存储。既结点i 的后继结点（终点号）只能是大于i,从而保证边的不重复。特点是，第一个结点的后继必然大于等于2，最后一个结点的后继必然为0，而其它结点的后继必然大于等于1（如果为0，将出现割点，不可能有H 回路）。第一个结点的度数最大是必须的，因为循环递归从第一个结点（标号为1）开始，作为第一个起始标号，必

须在终点数组中至少存在两个终点，组合构成两个边。而其它起始标号，边的构成复杂，首

先必须逐一的按一个结点构成一条边加入HC 回路数组。如果将结点度数大的放在中间，将

大大增加循环递归次数。 如图2 所示，是一个无向图，有6个结点，11条边，按无向图的

正向表的存储结构，请看表 2。一个边的起点一维数组A ，下标和结点号一一对应。每一个

下标的元素值是边的该起点的后继（第一个终点）在终点一维数组B 的地址（下标号）。最

后一个结点的元素值是m+1;该图为12（不作为地址，只用于计算上一个结点的终点数）。一

个边的终点一维数组B ，下标只是起地址作用，下标的元素值是边的终点标号。

表 2

1 2

6 3

5 4

图 2