一次函数与反比例函数的综合复习
y
关键是求出两个函数公共交点 A、B的坐标
A x
O
B C
S△AOB=S△BOC+S△AOC
一次函数与反比例函数所围成的 三角形面积计算
（B）k值异号。
y C A B x O
（可能无交点，可能有一个交 点，也可能有两个交点）
S△AOB=S△BOC—S△AOC
想一想
1、如图1，一次函数与反比例函数的图像 相交于A、B两点， 则图中使反比例函数的 值小于一次函数的值的x的取值范围是（ ） （A）x＜－1 （B）x＞2 （C）－1＜x＜0，或x＞2 （D）x＜－1，或0＜x＜2
1 2
一次函数与反比例函数函数值的大小比较
①② ③④
③④ ① ②
两交点的分成四段来 考虑，两交点的x值 和y轴把x轴分成四段
②③ ④ ①
② ①
③
一交点的分成三段来 考虑，交点的x值和y 轴把x轴分成三段
①
②
无交点的分成两段 来考虑，y轴把x轴 分成x ＜0和x＞0 两段
一次函数与反比例函数图像所围 成的三角形面积计算
求一次函数与反比例函数的交点坐标
从图像上看，一次函数与反比例函的交点可由值的符号来决定。 （1）K值同号，两个函数必有两个交点 （2）K值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也 可能有两个交点！ 从计算上看，一次函数与反比例的交点主要取决于两函数所组 成的方程： k k xb ， 在解的过程中，代入消元得： x 2 k 去分母得： 2 x bx k 1 0 这个一元二次方程的△的值决定两 函数的交点个数；△>0，两函数有两个交点；△=0，两函数只 有一个交点；△<0，两函数没有交点。 特别注意：△=0，两函数只有一个交点，这种特性也适用于二 次函数与一次函数只有一个交点时的情况。
分析： 1、在第二象限,反比例函数图象递增,一次函 数递减,而在A点处值相等,从A点开始看起,X减 小,一次函数增大, 反比例函数减小,所以当X<1时反比例函数的值小于一次函数的值． 2、在第四象限,反比例函数图象递增,一次函 数递减,而在B点处值相等,从B点开始看起,X减 小,一次函数增大, 反比例函数减小,所以当 0<X<2时反比例函数的值小于 一次函数的 值．所以当X<-1或0<X<2时,反比例函数的值 小于一次函数的值，所以选 D
作业布置: 复习指导P28 23、24
选做题 已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数 k y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数函y= x (k≠0)的图象交于一、三象限内的A、B两点， 与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B 2 的坐标为（n，-2），tan∠BOC= 5
．
1、求该反比例函数和一次函数 的解析式； 2、在x轴
x
C
k2 解:(1)将P点坐标(-2,1)代入 y x 中，得 k2=-2，所以反比例函数解析式为： 2 y x
2 将Q点坐标(1,m)代入 y x 中，得m=-2，
所以Q点坐标为(1,-2)。 将P (-2,1) 和Q (1,-2) 分别代入y=k1x+b中， 得 -2k1+b=1 解得： k1=-1 k1+b=-2 b=-1 所以一次函数的解析式是：y=-x-1。
(2) 令y=0 ,则-x-1 =0,即x=-1,所以一次函数与x 轴的交点坐标C为（-1，0） ∴ S△ OPQ= S△ OPC + S△ OCQ = = =
1 2
×OC ×| yP | +
1 2×OC×|
yQ |
1 ×1×1+ 1 2 2
×1×2
3 2
通过本节课的加强复习、巩固，你 对一次函数和反比例函数的性质及 应用有什么新的认识和收获呢？ 同组之间相互交流一下吧！
(3) 令 y=0 ,则-x+2 =0,即x=2。 所以 一次函数与x轴的交点坐标c为（2，0） ∴ S△ AOB= S△ AOC + S△ BOC
1 1 = 2 ×OC ×| yA | + 2 ×OC×| yB |
= ×2×4+ =6
1 2
1 2
×2×2
通过解决这个问题给我们什么启示？
3、已知一次函数 y k1 x b 与反比例函数 k2 y 。 x 的图象交于点P（-2,1)和 Q（1,m) 求： (1)求反比例函数与一次函数的解析式； y (2)求△OPQ的面积。
一次函数与反比例函 数的综合复习
教学目标： 1、通过复习一次函数和反比例函数的概念、性质和 图象，使学生对一次函数和反比例函数有个整体 认识，并掌握它们的联系和区别。 2、掌握一次函数与反比例函数函数值的大小比较。 3、掌握一次函数与反比例函数图像所围成的三角形 面积计算 教学重点： 1、求一次函数和反比例函数的解析式。 2、求一次函数和反比例函数图像所围成三角形的 面积。 教学难点： 一次函数与反比例函数函数值的大小比较。
1、完成下列表格
k y x
y kx b
相 k>0时，过_________象限；k<0时，过__________象 一、三 二、四 同 限。 点 ①x的取值范围_______； ①x的取值范围 _______ x≠0 双曲线 任意实数 ； ②图象是_______； _______ 一条直线 ③k>0时，y随x的增大而 ②图象是_______ ； 不 ___（在每个象限内） 减小 ③k>0时，y随x的增大 同 增大 k<0时，y随x的增大而 而____ 点 增大 ___ （在每个象限内） k<0时，y随x的增大而 减小 ____
2、如图，已知一次函数y=kx+b的图 8 y=象与反比例函数 的图象交于A、 x B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标 都是－2。 求：①点A和点B的坐标；
②一次函数的解析式； ③ △AOB的面积。
A
c
O B
解：(1)由于A、B两点在反比例函数 y=- 8
x
上，将A(-2, y)、B (x, -2)两点代入反比例函 数 8 y=x 中得 A（-2, 4）、B（4,-2）。 (2) 将A(-2,4)、B(4,-2)两点坐标代入一次函 数y=kx+b（k≠0）中， -2k+b=4 解得： k=-1 4k+b=-2 b=2 得一次函数的解析式是：y=-x+2。
(中考复习)第14讲 一次函数与反比例函数的综合运用
图14－2 A．2 B．4 C．6 D．8
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浙派名师中考
题组一 函数图象的对称性 【例 1】 如图 14－3 所示，正比例函数 y k2 ＝k1x 与反比例函数 y＝ 的图象相交于 x 点 A、B 两点，若点 A 的坐标为(2，1)， 则点 B 的坐标是 ( D ) A．(1，2) C．(－1，－2) 1)．
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B．(－2，1) D．(－2，－1)
图14－3
解析：由题意可知：A与B关于原点对称，名师中考
4 [变式训练] 正比例函数 y＝4x 和反比例函数 y＝ 的图象相交于 x 点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，求 8x1y2－3x2y1 的值．
D．y＝－x2＋1
)
3．(2013· 南京)在同一直线坐标系中，若正比例函数 y＝k1x 的图 k2 象与反比例函数 y＝ 的图象没有公共点，则 ( C ) x
A．k1＋k2<0
C．k1k2<0
B．k1＋k2>0
D．k1k2>0
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图14－9 (1)求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式； (2)若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．
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解 ：( 1 ) 由 A(－ 2， 0)，得 OA＝ 2；∵点 B(2， n)在 第 一 象 限 内 ， 1 S△ A 坐 标 是 (2， 4)， O B ＝ 4，∴ OA· n＝ 4，∴ n＝ 4，∴点 B 的 2 a 设 该 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y＝ (a≠ 0)，将 点 B的 坐 标 代 入 ， x a 8 得 4＝ ，∴ a＝ 8.∴反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y＝ .设 直 线 AB 的 2 x 解析式为 y＝ kx＋ b(k≠ 0)，将点 A， B 的坐标分别代入，得
一次函数与反比例涵数的专题复习
一次函数与反比例函数专题复习第一部分 知识梳理考点一、平面直角坐标系 （3分） 1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征 （3分） 1、各象限内点的坐标的特征（1） 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x（2）点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x （3）点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x （4）点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x 2、坐标轴上的点的特征（1）点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数（2）点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数（3）点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征（1）点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等（2）点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征（1）位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
（2）位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征（1）点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数 （2）点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数 （3）点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +考点三、函数及其相关概念 （3~8分） 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
综合题：一次函数二次函数反比例函数中考综合题复习
第一部分：一次函数考点归纳：一次函数：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。
☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0)直线位置与k ，b 的关系：（1）k ＞0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为锐角； （2）k ＜0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为钝角； （3）b ＞0直线与y 轴交点在x 轴的上方； （4）b ＝0直线过原点；（5）b ＜0直线与y 轴交点在x 轴的下方；平移1，直线x y 31=向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。
2， 直线143+-=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________方法：直线y=kx+b ，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。
直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。
练习：直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________；函数图形的性质例题：1．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）A．y=2x-1 B．y=3xC．y=2x2 D．y=-2x+12，一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）A．一、二、三 B．二、三、四C．一、二、四 D．一、三、四3，若函数y=（2m+1）x2+（1-2m）x（m为常数）是正比例函数，则m的值为（）A．m>12B．m=12C．m<12D．m=-124、直线y kx b=+经过一、二、四象限，则直线y bx k=-的图象只能是图4中的（）5，若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（）A．k>3 B．0<k≤3 C．0≤k<3 D．0<k<36，已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（）A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x+10 D．y=-x-17，已知关于x的一次函数27y mx m=+-在15x-≤≤上的函数值总是正数，则m的取值范围是（）A．7m>B．1m>C．17m≤≤D．都不对8、如图，两直线1y kx b=+和2y bx k=+在同一坐标系内图象的位置可能是（）9，一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0)在同一坐标系中的图象可能是（）xyo xyoxyoxyoA B C D10，,已知一次函数（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）当m 取何值时，函数的图象过原点？函数解析式的求法：正比例函数设解析式为： ,一个点的坐标带入求k. 一次函数设解析式为： ；两点带入求k,b1，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且OA=OB（1） 求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；第二部分：二次函数（待讲）课前小测：1，抛物线3)2x (y 2-+=的对称轴是（ ）。
2022年中考数学专题复习练习 反比例函数与一次函数综合题
反比例函数与一次函数的综合题1.如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．2．已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x 轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．3.如图，矩形ABCD 的两边AD 、AB 的长分别为3、8，E 是DC 的中点，反比例函数m y x=的图象经过点E ，与AB 交于点F . （1）若点B 坐标为(6,0)-，求m 的值及图象经过A 、E 两点的一次函数的表达式；（2）若2AF AE -=，求反比例函数的表达式.4.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为（0，3），点A 在x 轴的负半轴上，点D 、M 分别在边AB 、OA 上，且AD ＝2DB ，AM ＝2MO ，一次函数y ＝kx +b 的图象过点D 和M ，反比例函数y ＝的图象经过点D ，与BC 的交点为N ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）若点P 在直线DM 上，且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．5．一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，4），B（2，n）两点，直线AB交x轴于点D．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S．6.如图，点在第一象限，轴，垂足为，，，反比例函数的图象经过的中点，与交于点．求值；求的面积．7.如图，点P 为函数112y x =+与函数(0)m y x x =>图象的交点，点P 的纵坐标为4，PB x ⊥轴，垂足为点B ．（1）求m 的值；（2）点M 是函数(0)my x x =>图象上一动点，过点M 作MD BP ⊥于点D ，若1tan 2PMD ∠=，求点M 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的斜边OA 在x 轴的正半轴上，∠OBA ＝90°，且tan ∠AOB ＝，OB ＝2，反比例函数y ＝的图象经过点B ．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AMB 与△AOB 关于直线AB 对称，一次函数y ＝mx +n的图象过点M 、A ，求一次函数的表达式．9．如图①，△OAB中，A（0，2），B（4，0），将△AOB向右平移m个单位，得到△O′A′B′．（1）当m＝4时，如图②．若反比例函数y＝的图象经过点A′，一次函数y＝ax+b的图象经过A′、B′两点．求反比例函数及一次函数的表达式；（2）若反比例函数y＝的图象经过点A′及A′B′的中点M，求m的值．10．如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过点A、C，（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．11.如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2，OD＝4，△AOB的面积为1．（1）求一次函数与反比例的解析式；（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＞0的解集．12．如图，一次函数y＝k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．。
中考数学复习 查补重难点 反比例函数与一次函数的综合运用(原卷版)
查补重难点03反比例函数与一次函数的综合运用考点一：反比例函数与一次函数综合反比例函数与一次函数进行综合考查的题型是江苏历年中考数学对于函数考查的重点内容，那么关于反比例函数与一次函数的综合专题当中，我们主要涉及到函数共存问题，交点和不等式（比大小）问题、最值问题以及与几何综合压轴类的题型。
无论是哪一类型的题型，在综合的考察过程当中都是对于反比例函数与一次函数的图像和性质有充分的了解，借助数形结合思想、方程思想、化归思想等。
通过函数的图像来得到我们所需要的求解问题。
在这过程当中，如果对于这两类函数没有全面的了解，那么在解题过程当中就要花费大家很多的时间而导致其解题效率的降低，那么在解决这三大类型的提醒过程当中，该如何利用这些函数的性质来进行解题，该专题可供大家在备考阶段能够进行专项的突破。
题型1.反比例函数和一次函数图像共存问题函数图象共存问题是一次函数和反比例函数当中含有共同的参数，根据分类讨论的形式，由函数的图像特点来判定符合两个函数参数的图形。
解决这类型的题不仅是反比例函数和一次函数进行综合考查，连同二次函数在内的题型进行考查也是比较常见的，所以解决这类型的问题时，我们先要根据一次函数或反比例函数中参数的共性，通过分别进行讨论的形式逐一进行排除，最终确定满足要求的函数图像。
．B ．．．变式1.（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y kx =k x的图象可能是（）．B ．C ．D ．变式2.（2022·广西·中考真题）已知反比例函数(0)b y b x=≠的图象如图所示，则一次函数()0y cx a c =-≠和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．题型2.反比例函数和一次函数的交点问题一次函数图像与反比例函数相关问题，牵扯到的知识点比较多，如求它们的函数解析式，或是通过两者的图像相交，需要考生结合两个函数解析式转化成一元二次方程，从而求得交点坐标等。
专题02 反比例函数与一次函数综合(解析版)
专题02 反比例函数与一次函数综合类型一、解不等式例．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形DOBC 是矩形，且D （0，4），B （6，0），若反比例函数y =1k x（x ＞0）的图象经过线段OC 的中点A ，交DC 于点E ，交BC 于点F ．设直线EF 的解析式为y =k 2x +b ．(1)求反比例函数和直线EF 的解析式；(2)求△OEF 的面积；(3)请直接写出不等式k 2x +b ﹣1k x＜0的解集．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点B 在y 轴正半轴上，点C 在x 轴负半轴上，且点C 的坐标为(2,0)-，30CBO Ð=°，将BCO D 沿着BC 翻折得到BCA D ，点O 的对应点A 恰好落在反比例函数m y x=的图象上，一次函数y kx b =+的图象经过点A ，C ．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)直接写出当0x >时，不等式0m kx b x+->的解集．【变式训练2】如图，一次函数()1y kx b k 0=+¹与反比例函数()2m y m 0x=¹的图像交于点()1,2A 和(),1B a -，与y 轴交于点M ．(1)求一次函数和反比例函数的解析式．(2)在x 轴上求一点N ，当ABN V 的面积为3时，则点N 的坐标为______．(3)将直线1y 向下平移2个单位后得到直线3y ，当函数值123y y y >>时，求x 的取值范围．类型二、交点问题例1．已知：如图1，点(4,)A n 是反比例函数8(0)y x x=>图象上的一点．(1)求n 的值和直线OA 的解析式；(2)如图2，将反比例函数8(0)y x x=>的图象绕原点O 逆时针旋转45°后，与y 轴交于点M ，求线段OM 的长度；(3)如图3，将直线OA 绕原点O 逆时针旋转45°，与反比例函数8(0)y x x =>的图象交于点B ，求点B 的坐标．例2．如图，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴负半轴，B 在x 轴正半轴，D 在第二象限，C 在第一象限，CD 交y 轴于点M ．△ABD 沿直线BD 翻转，A 点恰好落在y 轴的点E 处，BE 交CD 于点F ．EM ＝3，DM ＝4．双曲线过点C ．(1)分别求出直线BE 和双曲线的解析式；(2)把直线BE 向上平移n 个单位长度，平移后的直线与双曲线只有一个交点，求n 的值．∴CD y ^轴，∴在Rt DME V 中，2232345DE EM DM =+=+=．由折叠的性质可得5AD DE ==，BE =∵在矩形ABCD 中，BAD ABC Ð=Ð=Ð例3.在平面直角坐标系中，直线l：y＝32x与反比例函数y＝kx（x＞0）的图象交于点A（2，a）．(1)a＝，k＝；(2)横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P（m，n）为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数y＝kx（x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝kx（x＞0）的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W．利用函数图象解决下列问题：①若PA＝OA，则区域W内有个整点；②若区域W内恰有5个整点，求m的取值范围．结合函数图象可知，区域W内有5个整点，故答案为：5；②当点P在点A下方时，如图，结合函数图象可知，当23≤m ＜1时，区域当点P 在点A 上方时，如图，结合函数图象可知，当103＜m ≤4时，区域综上所述：当103＜m ≤4或23≤m ＜1，区域【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线l 与反比例函数(0)ky x x =>的图像交于点A （a ，4－a ）点B（b ，4－b ），其中a b <，与坐标轴的交点分别是C 、D ．(1)求a b +的值；(2)求直线l 的函数表达式(3)若1a =，过点(0,)(0)P t t >作平行于x 轴的直线与直线AB 和反比例函数k y x =的图象分别交于点E 、F ．①当1EF £时，求t 的取值范围．②若线段EF 上横坐标为整数的点只有1个（不包括端点），直接写出t 的取值范围．类型三、定值、最值问题例1．如图1，在平面直角坐标系中，点()1,2A -绕原点顺时针旋转90°至点B ，恰好落在反比例函数k y x=的图像上，连接OA ，OB ，过点B 作BC x ^轴交于点C ，点(),P m n 是第一象限内双曲线上一动点．(1)求反比例函数的解析式；(2)若4POC PBC S S =△△，求P 的坐标；(3)如图2，连接PO 并延长交双曲线于(),C m n --，平面内有一点()1,2Q m n -+，PQ 与GA 的延长线交于点H ；①若2m =，求点H 的坐标；②当1m ¹时，记H 的坐标为(),a b ，试判断()()24a b +-是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由．则∠AHO =90°，∴∠HAO +∠AOH =90°∵BC ⊥x 轴，∴∠BCO =90°，例2．如图，一次函数(0)y kx b k =+>的图像与反比例函数8(0)y x x=>的图像交于点A ，与x 轴交于点B，与y 轴交于点C ，AD x ^轴于点D ，CB CD =，点C 关于直线AD 的对称点为点E ．(1)点E 是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；(2)连接AE 、DE ，若四边形ACDE 为正方形．①求k 、b 的值；②若点P 在y 轴上，当PE PB -最大时，求点P 的坐标．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，有函数13y x=（0x >），2k y x =（0k <，0x >），36y kx =+．(1)若2y 与3y 相交于点()2A m ，①求k 与m 的值；②结合图像，直接写出23y y <时x 的取值范围；(2)在x 轴上有一点(),0P a 且0a >，过点P 作y 轴平行线，分别交1y 、2y 、3y 于点B 、C 、D ，经计算发现，不论k 取何值，BC BD -的值均为定值，请求出此定值和点B 的坐标．【答案】(1)①m 的值为-2，k 的值为-4．②0＜x ＜2．(2)BC BD -=6，点B 的坐标为（1，3）【变式训练2】将直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也V为此一次称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数y=kx-7的图像与x、y轴分别交于点A、B，那么ABO函数的坐标三角形（也称为直线AB的坐标三角形）．(1)如果点C 在x 轴上，将ABC V 沿着直线AB 翻折，使点C 落在点()0,18D 上，求直线BC 的坐标三角形的面积；(2)如果一次函数y =kx -7的坐标三角形的周长是21，求k 值；(3)在（1）（2）条件下，如果点E 的坐标是()0,8，直线AB 上有一点P ，使得PDE △周长最小，且点P 正好落在某一个反比例函数的图像上，求这个反比例函数的解析式．。
一次函数和反比例函数知识点总结
一次函数知识点总结:函数性质：1. y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）当x增加m，k（x+m)+b=y+km, km/m=k。
2. 当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。
3. 当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
4. 一次函数的图像：直线5. 在两个一次函数表达式中：当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。
若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数图像性质1．作法与图形：通过如下3个步骤：（1）列表.（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。
一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。
正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。
（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。
因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）.2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。
3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4．k，b与函数图像所在象限：y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。
中考数学专题复习《一次函数与反比例函数的综合》经典题型讲解
中考数学专题复习《一次函数与反比例函数的综合》经典题型讲解【经典母题】如图Z6－1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)．求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围．【解析】利用待定系数法设出反比例函数的表达式后，代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式．解：设反比例函数的表达式为y＝k x ，∵一个端点B的坐标为(80，10)，∴k＝80×10＝800，∴反比例函数的表达式为y＝800x.∵端点A的纵坐标为80，∴80＝800x，x＝10，∴点A的横坐标为10，∴自变量的取值范围为10≤x≤80.【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设y＝kx，把已知一点代入函数表达式求出k的值即可．【中考变形】1．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝bx的图象有一个公共点A(1，2)．(1)求这两个函数的表达式；图Z6－1(2)在图Z6－2中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．图Z6－2中考变形1答图解：(1)把A (1，2)代入y ＝ax ，得2＝a ， 即y ＝2x ；把A (1，2)代入y ＝b x ，得b ＝2，即y ＝2x ； (2)画草图如答图所示．由图象可知，当x ＞1或－1＜x ＜0时，正比例函数值大于反比例函数值． 2．如图Z6－3，已知一次函数y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x 的图象交于第一象限内P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，Q (4，m )两点，与x 轴交于A 点．(1)分别求出这两个函数的表达式； (2)写出点P 关于原点的对称点P ′的坐标； (3)求∠P ′AO 的正弦值．图Z6－3【解析】①将P 点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将Q 点代入反比例函数关系式，即可求出m 的值；将P ，Q 两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式．②根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出点P ′的坐标；③过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D ，可构造出′AD ，又∵点A 在一次函数的图象上，∴可求出点A 坐标，得到OA 长度，利用P ′ 点坐标，可以求出P ′D ，P ′A ，即可得到∠P ′AO 的正弦值． 解：(1)∵点P 在反比例函数的图象上，∴把点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8代入y ＝k 2x ，得k 2＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ，∴Q 点坐标为(4，1)．把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8，Q (4，1)分别代入y ＝k 1x ＋b 中，得⎩⎨⎧8＝12k 1＋b ，1＝4k 1＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－2，b ＝9.∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋9； (2)P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－8；(3)如答图，过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D . ∵P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－8，中考变形2答图∴OD ＝12，P ′D ＝8.∵点A 在y ＝－2x ＋9的图象上，∴点A 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0，即OA ＝92，∴DA ＝5，∴P ′A ＝P ′D 2＋DA 2＝89. ∴sin ∠P ′AD ＝P ′D P ′A ＝889＝88989.∴sin ∠P ′AO ＝88989.3．[2017·成都]如图Z6－4，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y ＝12x与反比例函数y ＝kx 的图象交于A (a ，－2)，B 两点． (1)求反比例函数表达式和点B 的坐标；(2)P 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连结PO ，若△POC 的面积为3，求点P 的坐标．图Z6－4 中考变形3答图解：(1)∵点A (a ，－2)在正比例函数y ＝12x 图象上， ∴－2＝12a ，∴a ＝－4， ∴点A 坐标为(－4，－2)．又∵点A 在反比例函数y ＝kx 的图象上， ∴k ＝xy ＝－4×(－2)＝8， ∴反比例函数的表达式为y ＝8x .∵A ，B 既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上， ∴A ，B 两点关于原点O 中心对称， ∴点B 的坐标为(4，2)；(2)如答图，设点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，8a (a ＞0)，∵PC ∥y 轴，点C 在直线y ＝12x 上，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12a ，∴PC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12a －8a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－162a ， ∴S △POC ＝12PC ·a ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－162a ·a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－164＝3， 当a 2－164＝3时，解得a ＝28＝27， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫27，477. 当a 2－164＝－3时，解得a ＝2，∴P (2，4)．综上所述，符合条件的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫27，477，(2，4)． 4．如图Z6－5，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝mx 的图象交于A (1，4)，B (4，n )两点．(1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式；(3)P 是x 轴上的一个动点，试确定点P 并求出它的坐标，使得P A ＋PB 最小．图Z6－5解：(1)∵点A (1，4)在函数y ＝mx 上， ∴m ＝xy ＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x ； (2)把B (4，n )代入y ＝4x ，4＝xy ＝4n ，得n ＝1， ∴B (4，1)，∵直线y ＝kx ＋b 经过A ，B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝k ＋b ，1＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝5， ∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋5； (3)点B 关于x 轴的对称点为B ′(4，－1)， 设直线AB ′的表达式为y ＝ax ＋q ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a ＋q ，－1＝4a ＋q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－53，q ＝173，∴直线AB ′的表达式为y ＝－53x ＋173， 令y ＝0，解得x ＝175，∴当点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫175，0时，P A ＋PB 最小．5．[2017·广安]如图Z6－6，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象在第一象限交于点A (4，2)，与y 轴的负半轴交于点B ，图Z6－6且OB ＝6.(1)求函数y ＝mx 和y ＝kx ＋b 的表达式．(2)已知直线AB 与x 轴相交于点C .在第一象限内，求反比例函数y ＝mx 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9.解：(1)∵点A (4，2)在反比例函数y ＝mx 的图象上， ∴m ＝4×2＝8，∴反比例函数的表达式为y ＝8x . ∵点B 在y 轴的负半轴上，且OB ＝6， ∴点B 的坐标为(0，－6)，把点A (4，2)和点B (0，－6)代入y ＝kx ＋b 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝2，b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－6. ∴一次函数的表达式为y ＝2x －6； (2)设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，8n (n ＞0)．在直线y ＝2x －6上，当y ＝0时，x ＝3， ∴点C 的坐标为(3，0)，即OC ＝3， ∴S △POC ＝12×3×8n ＝9，解得n ＝43. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，6.6．[2017·黄冈]如图Z6－7，一次函数y ＝－2x ＋1与反比例函数y ＝kx 的图象有两个交点A (－1，m )和B ，过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ；过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，且点D 的坐标为(0，－2)，连结DE . (1)求k 的值；(2)求四边形AEDB 的面积．图Z6－7 中考变形6答图解：(1)将点A (－1，m )代入一次函数y ＝－2x ＋1， 得－2×(－1)＋1＝m ，解得m ＝3.∴A 点的坐标为(－1，3)．将A (－1，3)代入y ＝kx ，得k ＝(－1)×3＝－3；(2)如答图，设直线AB 与y 轴相交于点M ，则点M 的坐标为(0，1)， ∵D (0，－2)，则点B 的纵坐标为－2，代入反比例函数，得DB ＝32， ∴MD ＝3.又∵A (－1，3)，AE ∥y 轴， ∴E (－1，0)，AE ＝3. ∴AE ∥MD ，AE ＝MD .∴四边形AEDM 为平行四边形． ∴S 四边形AEDB ＝S ▱AEDM ＋S △MDB ＝3×1＋12×32×3＝214.7．[2016·金华]如图Z6－8，直线y ＝33x －3与x ，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象交于点C ，D ，过点A 作x 轴的垂线交该反比例函数图象于点E . (1)求点A 的坐标；(2)若AE ＝AC ，①求k 的值；②试判断点E 与点D 是否关于原点O 成中心对称？并说明理由．图Z6－8中考变形7答图解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3. ∴点A 的坐标为(3，0)；(2)①如答图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F .设AE ＝AC ＝t ，点E 的坐标是(3，t )，则反比例函数y ＝k x 可表示为y ＝3tx . ∵直线y ＝33x －3交y 轴于点B ， ∴B (0，－3)．在Rt △AOB 中，tan ∠OAB ＝OB OA ＝33， ∴∠OAB ＝30°.在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°， ∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ，∴点C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3＋32t ，12t .∴⎝⎛⎭⎪⎫3＋32t ×12t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝2 3. ∴k ＝3t ＝6 3.②点E 的坐标为()3，23，设点D 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x －3，∴x ⎝ ⎛⎭⎪⎫33x －3＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是()－3，－23， ∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称． 【中考预测】如图Z6－9，一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数y ＝nx (n 为常数且n ≠0)的图象在第二象限交于点C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OB ＝2OA ＝3OD ＝6. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求两函数图象的另一个交点的坐标；(3)直接写出不等式kx ＋b ≤nx 的解集．图Z6－9解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OB ＝6，OA ＝3，OD ＝2， ∵CD ⊥DA ，∴DC ∥OB ， ∴OB DC ＝AO AD ，∴6DC ＝35， ∴DC ＝10，∴C (－2，10)，B (0，6)，A (3，0)， 代入一次函数y ＝kx ＋b ， 得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝6， ∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋6. ∵反比例函数y ＝nx 经过点C (－2，10)， ∴n ＝－20，∴反比例函数的表达式为y ＝－20x ；(2)由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋6，y ＝－20x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4， ∴另一个交点坐标为(5，－4)；(3)由图象可知kx ＋b ≤nx 的解集为－2≤x ＜0或x ≥5.。
反比例函数与一次函数综合练习题(总复习用)
y x 0反比例函数与一次函数综合练习题1.如图是反比例函数 y=m+2x 的图象的一支，根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支在哪个象限?常数m 的取值范围是什么? (2)已知点（－3，y 1）, （－1，y 2）, （2，y 3）, 则函数值y 1、y 2、y 3的大小关系怎样？2.已知：如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．OB ＝10 ，tan ∠DOB ＝13． ⑴求反比例函数的解析式：⑵设点A 的横坐标为m ，△ABO 的面积为S ，求S 与m的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；3.如图所示，已知反比例函数y= k x的图象经过点A （－ 3 ，b ），过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为 3 。
⑴求k 、b 的值；⑵若一次函数y=ax+1的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点M ，求AO ∶AM ； ⑶如果以AM 为一边的正三角形AMP 的顶点P 在二次函数y=－x 2+ 3 mx+m －9的图象上，求m 的值。
4.如图，已知C 、D 是双曲线y= m x 在第一像限内的分支上的两点，直线CD 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，设C 、D 的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，连结OC 、OD 。
⑴求证：y 1<OC<y 1+ 1y m ； ⑵若∠BOC=∠AOD=α，tan α=13，OC=10 ，求直线CD 的解析式； ⑶在⑵的条件下，双曲线上是否存在一点P ，使得S △POC =S △POD ？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由。
5.已知一次函数y=mx+b 与反比例函数y= m x(m ≠0) ⑴k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy 中的图象有两个公共点？⑵设⑴中的两个公共点为A ，B ，试判断∠AOB 是锐角还是钝角？6.已知A （m ，2）是直线l 与双曲线y= 3x的交点。
反比例函数与一次函数综合 中考数学专项训练(含解析)
反比例函数与一次函数综合一、单选题．．．．．反比例函数()10y mx=的图象与一次函数2y x b =-+的图象交于A 、B 两点，其中)，当12y y >时，的取值范围是()．1x <B 12x <<．2x >D ．01x <<或2>A ．18-B ．4．如图，双曲线my x=与直线的纵坐标为1-．根据图象信息可得关于A ．1x =C ．11x =-，21x =6．如图，一次函数2y x =-+与反比例函数(),1B n -，不等式2kx x-+>的解集为（A ．1x <-或0x <<C ．13x -<<7．直线2y x =+与双曲线A ．78．如图，已知一次函数A ．33二、填空题9．考察函数4y x=-10．如图，已知一次函数11．如图，直线2y x =与双曲线单位后，直线与双曲线交于点12．已知直线y x =与反比例函数C 为反比例函数图象第一象限上任意一点，连接点C 的坐标为．13．如图，直线3y x =-+与坐标轴分别相交于x14．如图，曲线l 是由函数y 到的，过点()42,42A -，B 面积是46，则k 的值为15．如图，一次函数y 点，则不等式1kx b x+-16．如图，点A 在双曲线y 0b >）上，A 与B 关于x 轴对称，直线有以下结论：①(),3A b b ②当三、解答题(1)请求出一次函数和反比例函数解析式：(2)连接OC，OD，求出(1)求反比例函数的关系式与(2)根据图象直接写出不等式(3)若动点P在x轴上，求PA(1)求反比例函数和一次函数的解析式；的面积；(2)求ABO(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，连接点C的坐标．参考答案：3．A【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，直角三角形的性质，设点4,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求出OA ，根据点角形的性质得到OC OA =程，解方程即可求解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的令23y x =-中0x =，代入∴()0,3B -，∴3OB =，令23y x =-中0y =，得：由图象可知，反比例函数上，第二象限内的一支符合题意，即第四象限内，与直线交点及交点上方的图象符合题意，联立两函数解析式：41y x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩解得：41x y =⎧⎨=-⎩即4x ≥，当0y =时，1042x =+，解得，8x =-，∴()80C -，，则D的坐标为2,22a a⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，直线2y x=向右平移3个单位后，直线与双曲线交于点∴B的坐标为23,22a a⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭．将0y =代入直线3y x =-+得解得3x =，②当2b =时，点A 的坐标为：∴23243k =⨯=，故②正确；③∵()3,Ab b ，A 与B 关于()3,B b b -∵28y x =+，∴令0x =，则8y =；令∴()()4,0,0,8A B -DOC AOB AOD BOC S S S S =-- 18．(1)反比例函数解析式为【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、题、利用图象求不等式的解集、轴对称性质、勾股定理，解题关键是熟练利用待定系数法求∠=∠=∠=ABO BOE AEO90。