(完整版)等腰三角形三线合一性质应用

等腰三角形专题

基本知识总结：

1、基本概念：有两条边相等的三角形才是等腰三角形，所有的证明需证明至此（如：若知道三角形的两个底角相当，则需要使用等角对等边，证明边相等才可）

2、性质：①等边对等角

②三线合一

3、判定：等角对等边

常见题型：

1、等腰三角形的构造型问题：

（1）①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角

（2）找点问题

例1：如图，有直线n m ,，n m ,之间的间距为cm 2，在n 上取cm AB 3=，在m 上取点p ，使得PAB ∆为等腰三角形，则满足条件的点p 有几个？

m

n • •

A B

变式1：若取cm AB 2=，则点p 有几个？

变式2：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，︒=∠30BAC ，在直线上或AC BC 取一点P ，使得PAB ∆为等腰三角形，则符合条件的点p 有几个？

2、三线合一的性质应用（知二即知三）

应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系

例1：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB =，AD BD ⊥于D ，求证：DBC BAC ∠=∠2.

例2：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°，AB=AC ，若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：DM ＝DN.

变式1：若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。

变式2：如图，在ABC ∆中，︒=∠90A ，AC AB =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作AB PE ⊥，AC PF ⊥，垂足分别为F E 、，求证：（1）DF DE =；（2）DF DE ⊥

应用二：证垂直平分

例3：已知，如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DF DE 、分别是ABD ∆和ACD ∆的高。 求证：AD 垂直平分EF .

例4：已知四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ADB ACB ，N M 、分别为CD AB 、的中点，求证：MN 垂直平分CD .

应用三：逆命题：知二即知等腰

①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．

③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.

例5：如图，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB.

例6：已知，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。求证：∠2=∠1+∠B

例7：已知，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE∥AC、DF∥AB分别与AB、AC 相交于点E，F。求证：DE=DF