金融数学课件第五章因素模型--套利定价理论APT
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APT套利定价理论
xn nk 0 x11k x2 2 k
同时为了满足特征1和2的解，要求 n k 。
• 特征三；套利组合的期望收益率必须为正 值。公式表示为：
x1E r1 x2 E r2 xn E rn 0
当一个组合可以同时满足上述三点要求时， 该组合就是一个套利组合。当市场给出了期 望收益率和敏感性的时候，利用同时特征一 和特征二可以得到无穷多个满足上述特征一 和特征二的组合。最后利用特征三来检验。 如果期望收益率可以大于0，则是套利组合。
套利定价模型
• 假设一个组合中有三种证券，并且满足套 利定价组合，加入证券1和证券2收益率高， 而证券3收益率低。由于每个投资者必定买 入证券1和证券2并卖出证券3，届时他们的 期望收益率做出相应的调整。具体来说由 于不断增加的买方压力，证券1和证券2的 价格将上升，进而导致期望收益率的下降， 相反证券3的价格下降和期望收益率上升。
在实际运用中，通常用市场指数近似代替市 场组合，得到证券i的收益率为： ri ai i Rm i 同时为了分析的需要，通常对随机项 i 做出 如下假设：
COV i , j 0 COV i , R m
E i 0
0
有了随机项的这些假设，可以根据市场模型 求出证券i的期望收益率和方差：
*
E rp* rf 1
1 E rp
r
*ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
于是 1 称为单位敏感性的组合的期望超额收 益率（即表示高出无风险利率的那部分期望 收益率），也被称作因素风险溢价。用 1 E rp* 表示对因素有单位敏感性的组合的期望收益 1 rf 1 则套利定价的第 率，则可以得到： 二种形式为： E ri rf (1 rf )i
同时为了满足特征1和2的解，要求 n k 。
• 特征三；套利组合的期望收益率必须为正 值。公式表示为：
x1E r1 x2 E r2 xn E rn 0
当一个组合可以同时满足上述三点要求时， 该组合就是一个套利组合。当市场给出了期 望收益率和敏感性的时候，利用同时特征一 和特征二可以得到无穷多个满足上述特征一 和特征二的组合。最后利用特征三来检验。 如果期望收益率可以大于0，则是套利组合。
套利定价模型
• 假设一个组合中有三种证券，并且满足套 利定价组合，加入证券1和证券2收益率高， 而证券3收益率低。由于每个投资者必定买 入证券1和证券2并卖出证券3，届时他们的 期望收益率做出相应的调整。具体来说由 于不断增加的买方压力，证券1和证券2的 价格将上升，进而导致期望收益率的下降， 相反证券3的价格下降和期望收益率上升。
在实际运用中，通常用市场指数近似代替市 场组合，得到证券i的收益率为： ri ai i Rm i 同时为了分析的需要，通常对随机项 i 做出 如下假设：
COV i , j 0 COV i , R m
E i 0
0
有了随机项的这些假设，可以根据市场模型 求出证券i的期望收益率和方差：
*
E rp* rf 1
1 E rp
r
*ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
于是 1 称为单位敏感性的组合的期望超额收 益率（即表示高出无风险利率的那部分期望 收益率），也被称作因素风险溢价。用 1 E rp* 表示对因素有单位敏感性的组合的期望收益 1 rf 1 则套利定价的第 率，则可以得到： 二种形式为： E ri rf (1 rf )i
第五讲 静态套利定价理论(APT)
第五讲 静态套利定价理论第一节 套利机会考虑一个无摩擦经济，假定投资者在期初进行投资决策，期末的资产回报具有不确定性。
假定该经济中存在2≥N 种可以进行交易的风险资产，其随机回报率向量1~r 、2~r 、…、N r ~线性无关，具有有限方差和期望回报率，其它风险资产和投资组合都是这N 种风险资产的线性组合。
假定风险资产可以无限卖空。
记Z 为这N 种资产的回报率矩阵，即：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΩΩ)()()()(||||1111ωωωωN N r r r r则对任意一个可行投资组合w ，投资一份该组合的成本为w T1 ，回报率向量为Zw 。
定义：一个投资组合被称为套利组合，如果其成本为零，即01=w T。
定义：一个投资组合（或资产）被称为无风险组合（或资产），如果该组合（或资产）在每个自然状态上具有相同的回报，即1R Zw =，其中R为无风险利率。
定义：一个特定的投资组合1w 被称为可复制的(duplicable)，如果存在其它不同的投资组合12w w ≠，满足21Zw Zw =。
定义：称一个投资组合是第一类套利机会，如果它满足：01≤ηT，0≥ηZ 。
其中第二个不等号至少有一个分量严格大于零。
第一类套利机会代表了一种投资，具有非正的成本，却在将来有可能获得正的收益，获得负的收益的可能为零。
定义：称一个投资组合是第二类套利机会，如果它满足：01<ηT，0)(=>ηZ第二类套利机会代表了一种投资，其成本为负，未来收益非负。
在一个经济中可能只有第二类套利机会，而没有第一类套利机会。
例如：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2525Z 并不存在η，满足01≤ηT ，0≥ηZ ，因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=)25(253121ηηηηηZ 。
但)5,2(-=T η时，满足31-=ηT，但T Z )0,0(=η。
在一个经济中可能只有第一类套利机会，而没有第二类套利机会。
例如：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111101Z 。
对任意投资组合),(21ηηη=T ，其回报率向量为T Z ))(),(,(21211ηηηηηη++-=。
套利定价模型APTPPT课件
第16页/共31页
解：
令三种股票市值比重变化量分别为x1、x2和x3。根据(条 件1)和(条件2)我们有：
x1x2x3 0 0.9x13.1x21.9x30
上述方程组有多种解.作为其中的一个解，我们令x1，则 可解出x2=0.083, x3=－。
为了检验这个解能否提高预期收益率，我们把这个解用 (条件3)检验。则有：
认为，证券收益是跟某些因素相关的。 为此，在介绍套利定价理论之前，我们先得了解因素模型（ Factor Models）。因素模型认为各种证券的收益率均受某 个或某几个共同因素影响。各种证券收益率之所以相关主要 是因为他们都会对这些共同的因素起反应。因素模型的主要 目的就是找出这些因素并确定证券收益率对这些因素变动的 敏感度。
第13页/共31页
四、套利组合
根据套利定价理论，在不增加风险的情况下，投资 者将利用组建套利组合的机会来增加其现有投资组合的预 期收益率。那么，什么是套利组合呢？
根据套利的定义，套利组合要满足三个条件： 条件1： 套利组合要求投资者不追加资金,即套利组合属于自 融资组合.如果我们用xi表示投资者持有证券i金额比例的 变化(从而也代表证券i在套利组合中的权重,注意xi可正 可负)，则该条件可以表示为：
－0.13=0.881%
由于0.881%为正数，因此我们可以通过卖出万元的第三 种股票(等于－1500万元)同时买入150万元第一种股票(等于 1500万元)和万元第二种股票(等于1500万元)就能使投资组 合的预期收益率提高0.881%。
第17页/共31页
五、套利定价模型
投资者的套利活动是通过买入收益率偏高的证 券同时卖出收益率偏低的证券来实现的，其结果是使收 益率偏高的证券价格上升，其收益率将相应回落；同时 使收益率偏低的证券价格下降，其收益率相应回升。这 一过程将一直持续到各种证券的收益率跟各种证券对各 因素的敏感度保持适当的关系为止。下面我们就来推导 这种关系：
解：
令三种股票市值比重变化量分别为x1、x2和x3。根据(条 件1)和(条件2)我们有：
x1x2x3 0 0.9x13.1x21.9x30
上述方程组有多种解.作为其中的一个解，我们令x1，则 可解出x2=0.083, x3=－。
为了检验这个解能否提高预期收益率，我们把这个解用 (条件3)检验。则有：
认为，证券收益是跟某些因素相关的。 为此，在介绍套利定价理论之前，我们先得了解因素模型（ Factor Models）。因素模型认为各种证券的收益率均受某 个或某几个共同因素影响。各种证券收益率之所以相关主要 是因为他们都会对这些共同的因素起反应。因素模型的主要 目的就是找出这些因素并确定证券收益率对这些因素变动的 敏感度。
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四、套利组合
根据套利定价理论，在不增加风险的情况下，投资 者将利用组建套利组合的机会来增加其现有投资组合的预 期收益率。那么，什么是套利组合呢？
根据套利的定义，套利组合要满足三个条件： 条件1： 套利组合要求投资者不追加资金,即套利组合属于自 融资组合.如果我们用xi表示投资者持有证券i金额比例的 变化(从而也代表证券i在套利组合中的权重,注意xi可正 可负)，则该条件可以表示为：
－0.13=0.881%
由于0.881%为正数，因此我们可以通过卖出万元的第三 种股票(等于－1500万元)同时买入150万元第一种股票(等于 1500万元)和万元第二种股票(等于1500万元)就能使投资组 合的预期收益率提高0.881%。
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五、套利定价模型
投资者的套利活动是通过买入收益率偏高的证 券同时卖出收益率偏低的证券来实现的，其结果是使收 益率偏高的证券价格上升，其收益率将相应回落；同时 使收益率偏低的证券价格下降，其收益率相应回升。这 一过程将一直持续到各种证券的收益率跟各种证券对各 因素的敏感度保持适当的关系为止。下面我们就来推导 这种关系：
因素模型与套利定价理论课件
因素模型与套利定价理论课件1. 简介在金融领域，因素模型与套利定价理论（APT）是两个重要的概念和理论。
它们能够帮助我们理解和解释资产价格的波动，并为投资者提供有益的指导。
本课件将介绍因素模型的基本原理、套利定价理论的应用以及相关的实证研究。
2. 因素模型2.1 基本概念因素模型是用来解释资产收益的模型。
它假设资产的收益可以由若干个因素来解释，而这些因素与资产的风险和回报有关。
常见的因素可以包括市场的整体表现、某个行业的表现、特定的经济指标等。
因素模型的基本公式如下：$$R_i = \\beta_0 + \\beta_1 F_1 + \\beta_2 F_2 + \\cdots + \\beta_n F_n +\\varepsilon_i$$其中，R i代表资产i的收益，$F_1, F_2, \\cdots, F_n$代表因素1至n，$\\beta_1, \\beta_2, \\cdots, \\beta_n$代表资产对各个因素的敏感度，$\\varepsilon_i$代表误差项。
2.2 套利定价理论套利定价理论是基于因素模型的理论。
它认为，如果存在一个因素模型可以很好地解释不同资产之间的收益差异，那么这个模型所确定的因子与资产的风险和回报之间存在着一种固定的关系。
通过利用这种关系，投资者可以识别出被错误定价的资产，并进行套利操作。
2.3 应用案例因素模型和套利定价理论在实际投资中有广泛的应用。
下面是一些常见的应用案例：•资产配置：通过分析资产收益的因素结构，投资者可以根据自身的风险偏好和预期回报来选择适当的资产配置，以实现最优的投资组合。
•风险管理：通过识别和监测不同因素对资产收益的影响，投资者可以及时调整投资组合，降低风险并提高回报。
•套利交易：通过利用因素模型的定价关系，投资者可以发现被低估或高估的资产，并进行相应的套利交易。
3. 实证研究3.1 因素选取在实证研究中，选择适当的因素是十分重要的。
套利定价理论和风险收益多因素模型PPT课件
图 11.5 积累异常收益对盈利宣布的反映
INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS
11-45
强势有效检验：内幕消息
• Jaffe, Seyhun, Givoly和Palmon的研究表 明内幕人员能够通过交易本公司的股票来 获利。
• 美国证券交易委员会（SEC）要求所有的 内部人员登记他们的交易活动。
有效市场假设
INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS
11-24
有效市场假设(EMH)
• 莫里斯·肯德尔(1953) 发现股价不存在 任何可预测范式。
• 价格在任何一天都可能上升或下降。 • 我们如何解释股价的随机变化?
INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS
• Keim和Stambaugh – 债券收益之间的差幅可以预测收益。
INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS
11-41
半强式检验：市场异象
• 市盈率效应 • 小公司效应(1月效应) • 被忽略的公司效应和流动性效应 • 净市率效应 • 盈余报告后的价格漂移
INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS
11-25
有效市场假说(EMH)
• 股价可以反映所有已知信息的观点称之为 有效市场假说EMH。
• 由于市场参与者急需新的交易信息，关于 未来良好表现的预测导致目前表现良好。
– 结果: 价格变化到与股票风险相称的收益率。
INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS
11-26
有效市场假设(EMH)
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11-45
强势有效检验：内幕消息
• Jaffe, Seyhun, Givoly和Palmon的研究表 明内幕人员能够通过交易本公司的股票来 获利。
• 美国证券交易委员会（SEC）要求所有的 内部人员登记他们的交易活动。
有效市场假设
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11-24
有效市场假设(EMH)
• 莫里斯·肯德尔(1953) 发现股价不存在 任何可预测范式。
• 价格在任何一天都可能上升或下降。 • 我们如何解释股价的随机变化?
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• Keim和Stambaugh – 债券收益之间的差幅可以预测收益。
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半强式检验：市场异象
• 市盈率效应 • 小公司效应(1月效应) • 被忽略的公司效应和流动性效应 • 净市率效应 • 盈余报告后的价格漂移
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11-25
有效市场假说(EMH)
• 股价可以反映所有已知信息的观点称之为 有效市场假说EMH。
• 由于市场参与者急需新的交易信息，关于 未来良好表现的预测导致目前表现良好。
– 结果: 价格变化到与股票风险相称的收益率。
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11-26
有效市场假设(EMH)
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金融数学第五章套利定价理论
p 充分风险投资组合的双因子套利定价模型
n
n
rp xiri xi[E (ri)i1F 1i2F 2ei]
i 1
i 1
nxiE (ri) nxi i1 F 1 nxi i2 F 2xiei
i 1
i 1 i 1
E (rp)p 1 F 1p 2F 2 ep
13 第13页，本讲稿共27页
ri E(rp)pF
显然，单个证券收益率与共同因子不存在完全的线性关系，但是充分分 散证券组合的收益率与共同因子间具有线性关系。
证明 如图所示，假设有两个充分分散投资组合P和Q,它们的收益率分别表示为
rP0.101.0F rQ0.081.0F
因此，无论共同因子处于何种水平，证券组合 P都要优于证券组合Q，这样就会产生一个无风险 套利机会。
18
第18页，本讲稿共27页
l共同因子的数目
第五章 套利定价理论
理论上，通过上述检验的因素都可以作为共同因子，但是雷曼和莫德 斯特（Lehman&Modest,1988）运用统计方法发现，共同因素数目一旦达 到5个，资产收益对共同因子数目的增加就不敏感了。
法玛和弗伦奇发现，因素数目从3个增加倒个，模型的效果有所提高。 如果仅有股票，必须要有3个因素。如果包含债券资产，必须要有5个因素。
可以证明单个证券的双因子套利定价模型与充分分散投资组合的双因子套利定价 模型是一致的，即对于任意证券（或证券组合）而言，双因子套利定价模型为 :
E(r)rf 1122
15 第15页，本讲稿共27页
p多因子套利定价模型
第五章 套利定价理论
如果影响证券收益率的共同因子不止两个，采用同样的分析方法， 可以得出与双因素完全类似的均衡定价模型:
n
n
rp xiri xi[E (ri)i1F 1i2F 2ei]
i 1
i 1
nxiE (ri) nxi i1 F 1 nxi i2 F 2xiei
i 1
i 1 i 1
E (rp)p 1 F 1p 2F 2 ep
13 第13页，本讲稿共27页
ri E(rp)pF
显然，单个证券收益率与共同因子不存在完全的线性关系，但是充分分 散证券组合的收益率与共同因子间具有线性关系。
证明 如图所示，假设有两个充分分散投资组合P和Q,它们的收益率分别表示为
rP0.101.0F rQ0.081.0F
因此，无论共同因子处于何种水平，证券组合 P都要优于证券组合Q，这样就会产生一个无风险 套利机会。
18
第18页，本讲稿共27页
l共同因子的数目
第五章 套利定价理论
理论上，通过上述检验的因素都可以作为共同因子，但是雷曼和莫德 斯特（Lehman&Modest,1988）运用统计方法发现，共同因素数目一旦达 到5个，资产收益对共同因子数目的增加就不敏感了。
法玛和弗伦奇发现，因素数目从3个增加倒个，模型的效果有所提高。 如果仅有股票，必须要有3个因素。如果包含债券资产，必须要有5个因素。
可以证明单个证券的双因子套利定价模型与充分分散投资组合的双因子套利定价 模型是一致的，即对于任意证券（或证券组合）而言，双因子套利定价模型为 :
E(r)rf 1122
15 第15页，本讲稿共27页
p多因子套利定价模型
第五章 套利定价理论
如果影响证券收益率的共同因子不止两个，采用同样的分析方法， 可以得出与双因素完全类似的均衡定价模型:
多因素模型与套利定价理论ppt课件
精选PPT课件
13
Figure 10.2 β值相等
精选PPT课件
14
Figure 10.3 β值不相等
精选PPT课件
15
当所有充分分散投资组合的期望收益率位 于图中通过无风险资产点的直线上。这条 直线的方程给出了所有充分分散化投资组 合的期望收益值。
精选PPT课件
16
APT与CAPM
APT不要求证券市场线关系的基准资产组合 是真实市场的投资组合。
精选PPT课件
8
套利
当投资者可以得到无风险利润，而不必做 净投资时，就出现了套利机会。
无风险套利资产组合的重要性质：任何投 资者不考虑风险厌恶或财富状况，都愿意 尽可能地拥有该资产组合的头寸。
精选PPT课件券价 格应该满足“无套利”条件，即要满足不 存在套利机会的价格水平。
rP = E (rP) + PF + eP
F = some factor For a well-diversified portfolio: eP approaches zero Similar to CAPM,
精选PPT课件
12
Figure 10.1 Returns as a Function of the Systematic Factor
多因素模型和套利定价理论
精选PPT课件
1
1 多因素模型 2 套利定价理论
精选PPT课件
2
1. 多因素模型
市场证券组合收益概括了宏观因素的重要 影响。（单因素模型）
ri =E(ri )+iF+ei
单因素模型认为每一种股票对每种风险因 素都有相同的敏感度。
精选PPT课件
3
多因素模型可以描述和量化任何时期影响证券收 益率的因素。
《套利定价理论A》课件
资产价格由其内在价值决定假设
资产价格由其内在价值决定假设意味着市场中 的证券价格是由其内在价值决定的，而不是由 市场情绪、投机等因素决定的。
在资产价格由其内在价值决定假设下，市场中 的所有投资者都是价值投资者，他们总是追求 购买低估的证券和卖出高估的证券。
在资产价格由其内在价值决定假设下，市场中 的所有信息都是关于证券内在价值的，即信息 是相关的和有用的。
套利定价理论需要大量的历史数据和精确 的参数估计，对于数据质量和数量要求较 高。
套利定价理论建立在严格的假设条件下， 如市场无摩擦、投资者理性等，现实市场 难以完全满足这些假设。
无法解释非理性行为
无法处理金融创新
套利定价理论难以解释市场中的非理性行 为和过度反应等现象。
随着金融市场的不断发展和创新，套利定 价理论在解释新出现的金融产品和服务方 面存在局限。
实证研究与理论建模相结合
未来的研究可以更多地采用实证研究与理论建模相结合的方法，以更 好地检验和发展套利定价理论。
06
套利定价理论的实际应用案例
基于套利定价理论的资产配置策略
资产配置策略
套利定价理论为投资者提供了基于风险和收益之间平衡的资 产配置策略。通过分析不同资产之间的风险和回报关系，投 资者可以构建有效的投资组合，实现风险和收益的优化平衡 。
多元化投资
套利定价理论强调不同资产之间的相关性，投资者可以利用 这一理论进行多元化投资，以降低整体投资组合的风险。通 过分散投资，投资者可以将风险分散到不同的资产类别中， 提高投资组合的稳定性。
利用套利定价理论进行金融衍生品定价
衍生品定价
套利定价理论为金融衍生品的定价提供了基础。通过分析衍生品与基础资产之间的价格关系，投资者 可以利用套利定价理论计算衍生品的合理价格。这有助于投资者做出更准确的投资决策，降低投资风 险。
第五章 因素模型—套利定价理论APT(金融数学-李向科)
新旧组合的比较
旧组合
权数 X1 X2 X3 0.333 0.333 0.333 16.000% 1.900 11.000%
套利组合
0.100 0.075 -0.175 0.975% 0.000 很小
新组合
0.433 0.408 0.158 16.975% 1.900 约11.000%
性质 r b ζ
第二节 多因素定价模型的推导
因素模型的5个假设条件 假设1：市场是完全竞争、无摩擦、无限可分 假设2：存在K个共同因素影响整个证券市场 假设3：所有投资者对同种证券的收益具有的预期是 一致的，因而，对资产收益的预期就是对因素荷载 bik（k＝1,2,…,K）的预期。这里因素荷载bik表示证 券i对因素Fk的敏感系数 假设4：市场中存在充分多的资产。这个假设为下面 的渐进套利的概念提供了基础。 假设5：证券市场不存在渐近套利机会（asymptotic arbitrage opportunity）
多因素模型下证券或组合的 期望方差协方差计算
期望收
益率 K 2 2 2 2 方差或 i bij Fj ( i ) j 1 因素风 险 2 j s bij bis cov(F j , Fs )
E (ri ) ai k 1 bik E ( Fk )
近似套利的定义
用因素模型说明“近似套利机会” 如果不同的证券或组合对各个因素的敏感性相同，那 么，除了非因素风险之外，不同的证券或组合应该提 供相同的期望收益率 如果两种证券组合所提供的收益率不同，便提供了 “近似套利机会” 卖出收益率低的，同时买进收益率高的证券或组合， 就肯定可以获得正利益 利用这些套利的机会后，原来的套利机会消失 近似＝除了非因素风险之外 如果组合完全分散化，非因素风险将“消失”
apt模型-PPT课件
生成，因素为市场组合。在这种情况下， 和市场组合的 1
期望收益率 E 相等。因此 rM E r r r i r f i E M （9-18） f E b r r i r f i 1 f 要使得式（9-18）中CAPM和APT都成立，则 i b。 i
止下来，此时资产期望收益率之间会达到一种均衡。
如果所有资产的期望收益率只受一个因素影响，即资产的
期望收益率可用单因素模型表示，那么均衡时资产的期望 收益率和敏感性之间应满足如下的线性关系：
（9-8） Er b i 0 1i 其中 和 为常数， 是资产 对因素的敏感性。 1 bi i 0
第三节 套利对定价的影响
价格与期望收益率之间的关系： EP 1 P 0 Er P 0
其中， P 是资产当前的价格， E 是资产的预期价格。 P1 0
购买资产，会提高其当前价格，导致期望收益率下降； 出售资产，会使其当前价格下降，期望收益率上升。
这种套利行为，直至3个资产之间的套利机会完全丧失后停
（9-15） K K rf
以此类推，可以得到：
那么套利定价方程可以表述为：
（ 9-16 ） E r r r b r b r b i f 1 f i 12 f i 2 K f i K
第四节 APT和CAPM的关系
APT（套利定价模型）和CAPM（资本资产定价模型）比
较：
不同点：假设条件和推导过程完全不同
相同点：都是均衡模型，模型结果类似，CAPM模型可以
看
成是APT模型的一个特例，APT模型是CAPM模型的一般形
式。
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n n n
多因素模型下定价公式
如果风险证券收益率由K因素模型给定， 存在形如下式的线性定价公式
K ~ E ( Ri ) 0 k 1 bik k
定价公式的误差分析。n＝风险证券的数量 定理5.1：如果风险证券收益由K因素模型给定， 那么，存在的实数λ 0，λ 1，…，λ K，使得
套利定价模型的计算实例
例1。工业产值为单因素 投资者拥有3种证券，每种证券的当前市 值均为4 000 000元。 总资金＝12 000 000元。 3种证券预期回报率和敏感性如下表
ri
证券 证券1 证券2 证券3
预期回报率(%) 15 21 12
敏感性bi 0.9 3.0 1.8
期望和敏感性的改状态，是否可以引起 存在套利？ 解“方程” x1＋x2＋x3＝0 0.9x1＋3.0x2＋1.8x3＝0 15x1＋21x2＋12x3＞0 解不唯一。给x1赋予一个值，例如0.1, x2＝0.075，x3＝-0.175
近似套利的定义
用因素模型说明“近似套利机会” 如果不同的证券或组合对各个因素的敏感性相同，那 么，除了非因素风险之外，不同的证券或组合应该提 供相同的期望收益率 如果两种证券组合所提供的收益率不同，便提供了 “近似套利机会” 卖出收益率低的，同时买进收益率高的证券或组合， 就肯定可以获得正利益 利用这些套利的机会后，原来的套利机会消失 近似＝除了非因素风险之外 如果组合完全分散化，非因素风险将“消失”
多因素模型下证券或组合的 期望方差协方差计算
期望收 E (r ) a K b E ( F ) k 1 ik i i k 益率 K 2 2 2 2 方差或 i j 1 bij Fj ( i ) 因素风 险 2 j s bij bis cov(F j , Fs )
从书上的 数据计算，a= 4% ，b=2
单因素模型的一般表述
单因素模型认为：只有一个因素F对证券 收益率产生普遍的影响 建立证券I的收益率在任意时期t的估计式
rit ai bi Ft it
Ft为t期因素F的预期值； bi为证券i对因素F的敏感性； rit为证券i在第t期的实际收益率； ε it为证券i在第t期的误差
单因素模型假设：证券市场中的各个证券之 间的联动性仅仅是由单独一个因素对证券普 遍产生影响 例如，如果投资者认为证券的收益率仅仅受 到工业产值的预期增长率G 的影响 从历史数据出发，通过回归分析可以建立证 券收益率与G之间的线性关系
rt a b Gt t , t 1,2,...,T
第一节 因素模型和套利
Factor Arbitrage 风险都是由因素风险引起，只要避免了因 素风险就避免了全部的风险 APT假设证券回报率与未知数量的未知因 素相联系 分析每种证券对因素变动的敏感性 每个证券对于该因素的变化是如何应对的 套利行为必须是“没有风险”的
单因素模型
单因素模型下期望方差计算
期望收益率
E (ri ) ai bi E ( F )
2 i
方差或因素风险 证券间协方差
b ( i )
2 i 2 F 2 2 F
ij bi b j
市场模型——特殊的单因素模型
如果将市场组合m的收益率rm作为单因素 模型中的F，就得到一个特殊的单因素模型 M的收益率用市场价格指数收益率代替 以市场指数收益率作为单因素的单因素模 型称为市场模型，表达式为：
定价公式中的因素风险溢价 没有经济含义
(λ 1，…，λ K)＝factor risk premium 类似多元统计分析中的因子 定理5.2：对于任意无套利定价模型，可以 构造出与原来K个因素不同的另外K个不相 关因素，使得，这K个新因素中仅有一个具 有正的因素风险溢价
完全分散化
因素风险溢价向量在某些条件下，可以用证券组 合解释 完全分散化证券组合—fully diversified portfolio 定义：完全分散化证券组合是证券组合序列p(n) 的极限过程。p(n)满足下面两个条件
对公式的说明
可以用矩阵的方式表示 x表示权重改变量，未知，需要求解 满足公式的x都是套利组合 解一般是不唯一的
构建套利组合后的“处境”
从一个旧证券组合变成了一个新的证券组合 新的证券组合＝旧的证券组合＋套利组合 套利组合期望收益率＞0 新组合的敏感性=旧组合的敏感性 新组合因素风险＝旧组合因素风险 由于存在非因素风险 新组合风险不一定等于旧组合的风险
p(n) (W1 (n),...,Wn (n)) , n 1,2,... (1) Wi (n) 0, i 1,2,...,n; (2) lim ni 1Wi (n) C
n 2 n
对定义的说明
套利组合
为实现套利，需要买入一些证券，同时卖 出一些证券，该过程就是构建套利组合 构建套利组合需要满足的3个条件 第一，不增加额外资金。套利组合中买入 证券需要的资金来自卖出证券所的资金 第二，套利不承担风险。因素模型中的风 险是因素风险 第三，套利提供正利润。新证券组合的收 益率必须大于前组合的收益率
第二节 多因素定价模型的推导
因素模型的5个假设条件 假设1：市场是完全竞争、无摩擦、无限可分 假设2：存在K个共同因素影响整个证券市场 假设3：所有投资者对同种证券的收益具有的预期是 一致的，因而，对资产收益的预期就是对因素荷载 bik（k＝1,2,…,K）的预期。这里因素荷载bik表示证 券i对因素Fk的敏感系数 假设4：市场中存在充分多的资产。这个假设为下面 的渐进套利的概念提供了基础。 假设5：证券市场不存在渐近套利机会（asymptotic arbitrage opportunity）
1 N
渐近套利机会—对假设5的说明
存在一个证券组合序列，满足三个条件 与套利组合三个条件相对应
W (W ,...,W ) , n 1,2,...
n n 1 n n
(1) i 1Wi 0
n n
~ (2) lim E (i 1Wi Ri ) 0
n n n
~ (3) lim var(i 1Wi Ri ) 0
套利组合条件公式表示
x1 x2 ... xn 0 bP1 x1 b11 ... xn bn1 0 bPK x1 b1K ... xn bnK 0 ~) x1 E1 ... xn En 0 , Ei E ( ri
ij s 1 bis b js 证券间 协方差 2 bis b jl bil b js cov(Fs , Fl )
K 2 Fs s l
套利和近似套利
“无套利”是APT的最基本假设 如果每个投资者对各种证券的期望收益和敏感性均 有相同的估计，那么在均衡状态下各种证券取得不 同期望收益率的原因是什么 4个问题： 第一，一个实际市场是否已达到均衡状态 第二，如果市场未达到均衡状态，投资者如何行动 第三，投资者的行动会如何影响市场，最终使市场 达到均衡 第四，均衡状态下，证券的期望收益率由什么决定
套利的定义
套利是利用同一种实物资产或证券的不同价格来赚 取无风险利润的行为 套利最具代表性的是以较高的价格出售证券，同时 以较低价格购进相同的证券 现实中难以存在 套利行为是现代有效市场的一个决定性要素 套利所得到利润是无风险的，投资者一旦发现这种 机会就会设法利用它们 一些投资者要比其他人具有更多的资源和意愿去从 事套利活动 只有极少的积极投资者能够发现套利机会 随着他们的买进和卖出，套利机会将消除
bP i 1 xi bi , ( P ) x ( i )
多因素模型
假设证券收益率受K个共同因素 F1，F2，…，FK的普遍影响 用多元线性回归，建立如下的证券i的收 益率与K个因素的关系式
rit ai bi1 F1t ... biK FKt it
新旧组合的比较
旧组合
权数 X1 X2 X3 0.333 0.333 0.利组合
0.100 0.075 -0.175 0.975% 0.000 很小
新组合
0.433 0.408 0.158 16.975% 1.900 约11.000%
性质 r b ζ
金融数学
第五章 因素模型--套利定价理论APT
CAPM断言，证券具有不同的预期回报率 是因为有不同的β值，并进行了均衡定价 附录2中列举了CAPM的问题。市场组合难 得到 存在市场因素（市场组合）之外的因素， 引起证券价格的共同波动 罗斯(A.Ross)1976年提出了多因素定价模 型——套利定价理论（APT） CAPM可视为APT的一个特例。单一指数 模型 APT的假设大大少于CAPM假设
套利定价方程
套利定价方程是判断是否存在套利机会的 工具 Ei（i＝1，…n）满足何种条件，解不存在， 可以证明，当且仅当Ei是敏感性的线性函 数,就是说不再存在套利机会
E(ri ) Ei 0 bi1 1 ... biK K
方程中λ的含义
根据无风险证券 λ 0＝rf 构造特殊的证券组合δ j δ j对因素Fj的敏感性bj＝1，而对其他因 素的敏感性bi＝0（i≠j） δ j的期望收益率E（δ j）＝rf＋λ j λ j ＝E(δ j )－ rf 类似于标准正交基下的坐标
k i i i i
根据回归模型中的假设 用“线性变换”的构造新的因素 使得满足“标准正交”的条件
因子载荷—矩阵形式
B是敏感度系数 矩阵，或因素载 荷矩阵（factor loading matrix） 思考：用矩阵形 式表示，因素和 误差的限制条件
多因素模型下定价公式
如果风险证券收益率由K因素模型给定， 存在形如下式的线性定价公式
K ~ E ( Ri ) 0 k 1 bik k
定价公式的误差分析。n＝风险证券的数量 定理5.1：如果风险证券收益由K因素模型给定， 那么，存在的实数λ 0，λ 1，…，λ K，使得
套利定价模型的计算实例
例1。工业产值为单因素 投资者拥有3种证券，每种证券的当前市 值均为4 000 000元。 总资金＝12 000 000元。 3种证券预期回报率和敏感性如下表
ri
证券 证券1 证券2 证券3
预期回报率(%) 15 21 12
敏感性bi 0.9 3.0 1.8
期望和敏感性的改状态，是否可以引起 存在套利？ 解“方程” x1＋x2＋x3＝0 0.9x1＋3.0x2＋1.8x3＝0 15x1＋21x2＋12x3＞0 解不唯一。给x1赋予一个值，例如0.1, x2＝0.075，x3＝-0.175
近似套利的定义
用因素模型说明“近似套利机会” 如果不同的证券或组合对各个因素的敏感性相同，那 么，除了非因素风险之外，不同的证券或组合应该提 供相同的期望收益率 如果两种证券组合所提供的收益率不同，便提供了 “近似套利机会” 卖出收益率低的，同时买进收益率高的证券或组合， 就肯定可以获得正利益 利用这些套利的机会后，原来的套利机会消失 近似＝除了非因素风险之外 如果组合完全分散化，非因素风险将“消失”
多因素模型下证券或组合的 期望方差协方差计算
期望收 E (r ) a K b E ( F ) k 1 ik i i k 益率 K 2 2 2 2 方差或 i j 1 bij Fj ( i ) 因素风 险 2 j s bij bis cov(F j , Fs )
从书上的 数据计算，a= 4% ，b=2
单因素模型的一般表述
单因素模型认为：只有一个因素F对证券 收益率产生普遍的影响 建立证券I的收益率在任意时期t的估计式
rit ai bi Ft it
Ft为t期因素F的预期值； bi为证券i对因素F的敏感性； rit为证券i在第t期的实际收益率； ε it为证券i在第t期的误差
单因素模型假设：证券市场中的各个证券之 间的联动性仅仅是由单独一个因素对证券普 遍产生影响 例如，如果投资者认为证券的收益率仅仅受 到工业产值的预期增长率G 的影响 从历史数据出发，通过回归分析可以建立证 券收益率与G之间的线性关系
rt a b Gt t , t 1,2,...,T
第一节 因素模型和套利
Factor Arbitrage 风险都是由因素风险引起，只要避免了因 素风险就避免了全部的风险 APT假设证券回报率与未知数量的未知因 素相联系 分析每种证券对因素变动的敏感性 每个证券对于该因素的变化是如何应对的 套利行为必须是“没有风险”的
单因素模型
单因素模型下期望方差计算
期望收益率
E (ri ) ai bi E ( F )
2 i
方差或因素风险 证券间协方差
b ( i )
2 i 2 F 2 2 F
ij bi b j
市场模型——特殊的单因素模型
如果将市场组合m的收益率rm作为单因素 模型中的F，就得到一个特殊的单因素模型 M的收益率用市场价格指数收益率代替 以市场指数收益率作为单因素的单因素模 型称为市场模型，表达式为：
定价公式中的因素风险溢价 没有经济含义
(λ 1，…，λ K)＝factor risk premium 类似多元统计分析中的因子 定理5.2：对于任意无套利定价模型，可以 构造出与原来K个因素不同的另外K个不相 关因素，使得，这K个新因素中仅有一个具 有正的因素风险溢价
完全分散化
因素风险溢价向量在某些条件下，可以用证券组 合解释 完全分散化证券组合—fully diversified portfolio 定义：完全分散化证券组合是证券组合序列p(n) 的极限过程。p(n)满足下面两个条件
对公式的说明
可以用矩阵的方式表示 x表示权重改变量，未知，需要求解 满足公式的x都是套利组合 解一般是不唯一的
构建套利组合后的“处境”
从一个旧证券组合变成了一个新的证券组合 新的证券组合＝旧的证券组合＋套利组合 套利组合期望收益率＞0 新组合的敏感性=旧组合的敏感性 新组合因素风险＝旧组合因素风险 由于存在非因素风险 新组合风险不一定等于旧组合的风险
p(n) (W1 (n),...,Wn (n)) , n 1,2,... (1) Wi (n) 0, i 1,2,...,n; (2) lim ni 1Wi (n) C
n 2 n
对定义的说明
套利组合
为实现套利，需要买入一些证券，同时卖 出一些证券，该过程就是构建套利组合 构建套利组合需要满足的3个条件 第一，不增加额外资金。套利组合中买入 证券需要的资金来自卖出证券所的资金 第二，套利不承担风险。因素模型中的风 险是因素风险 第三，套利提供正利润。新证券组合的收 益率必须大于前组合的收益率
第二节 多因素定价模型的推导
因素模型的5个假设条件 假设1：市场是完全竞争、无摩擦、无限可分 假设2：存在K个共同因素影响整个证券市场 假设3：所有投资者对同种证券的收益具有的预期是 一致的，因而，对资产收益的预期就是对因素荷载 bik（k＝1,2,…,K）的预期。这里因素荷载bik表示证 券i对因素Fk的敏感系数 假设4：市场中存在充分多的资产。这个假设为下面 的渐进套利的概念提供了基础。 假设5：证券市场不存在渐近套利机会（asymptotic arbitrage opportunity）
1 N
渐近套利机会—对假设5的说明
存在一个证券组合序列，满足三个条件 与套利组合三个条件相对应
W (W ,...,W ) , n 1,2,...
n n 1 n n
(1) i 1Wi 0
n n
~ (2) lim E (i 1Wi Ri ) 0
n n n
~ (3) lim var(i 1Wi Ri ) 0
套利组合条件公式表示
x1 x2 ... xn 0 bP1 x1 b11 ... xn bn1 0 bPK x1 b1K ... xn bnK 0 ~) x1 E1 ... xn En 0 , Ei E ( ri
ij s 1 bis b js 证券间 协方差 2 bis b jl bil b js cov(Fs , Fl )
K 2 Fs s l
套利和近似套利
“无套利”是APT的最基本假设 如果每个投资者对各种证券的期望收益和敏感性均 有相同的估计，那么在均衡状态下各种证券取得不 同期望收益率的原因是什么 4个问题： 第一，一个实际市场是否已达到均衡状态 第二，如果市场未达到均衡状态，投资者如何行动 第三，投资者的行动会如何影响市场，最终使市场 达到均衡 第四，均衡状态下，证券的期望收益率由什么决定
套利的定义
套利是利用同一种实物资产或证券的不同价格来赚 取无风险利润的行为 套利最具代表性的是以较高的价格出售证券，同时 以较低价格购进相同的证券 现实中难以存在 套利行为是现代有效市场的一个决定性要素 套利所得到利润是无风险的，投资者一旦发现这种 机会就会设法利用它们 一些投资者要比其他人具有更多的资源和意愿去从 事套利活动 只有极少的积极投资者能够发现套利机会 随着他们的买进和卖出，套利机会将消除
bP i 1 xi bi , ( P ) x ( i )
多因素模型
假设证券收益率受K个共同因素 F1，F2，…，FK的普遍影响 用多元线性回归，建立如下的证券i的收 益率与K个因素的关系式
rit ai bi1 F1t ... biK FKt it
新旧组合的比较
旧组合
权数 X1 X2 X3 0.333 0.333 0.利组合
0.100 0.075 -0.175 0.975% 0.000 很小
新组合
0.433 0.408 0.158 16.975% 1.900 约11.000%
性质 r b ζ
金融数学
第五章 因素模型--套利定价理论APT
CAPM断言，证券具有不同的预期回报率 是因为有不同的β值，并进行了均衡定价 附录2中列举了CAPM的问题。市场组合难 得到 存在市场因素（市场组合）之外的因素， 引起证券价格的共同波动 罗斯(A.Ross)1976年提出了多因素定价模 型——套利定价理论（APT） CAPM可视为APT的一个特例。单一指数 模型 APT的假设大大少于CAPM假设
套利定价方程
套利定价方程是判断是否存在套利机会的 工具 Ei（i＝1，…n）满足何种条件，解不存在， 可以证明，当且仅当Ei是敏感性的线性函 数,就是说不再存在套利机会
E(ri ) Ei 0 bi1 1 ... biK K
方程中λ的含义
根据无风险证券 λ 0＝rf 构造特殊的证券组合δ j δ j对因素Fj的敏感性bj＝1，而对其他因 素的敏感性bi＝0（i≠j） δ j的期望收益率E（δ j）＝rf＋λ j λ j ＝E(δ j )－ rf 类似于标准正交基下的坐标
k i i i i
根据回归模型中的假设 用“线性变换”的构造新的因素 使得满足“标准正交”的条件
因子载荷—矩阵形式
B是敏感度系数 矩阵，或因素载 荷矩阵（factor loading matrix） 思考：用矩阵形 式表示，因素和 误差的限制条件