第23课时 矩形、菱形、正方形
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第23.章旋转小结教学课件人教版
解：先找到平行四边形的两条对角 线的交点A，过A，B两点作一条直 线就可以了.
AB
“把由中心对称图形构成的图形分割成面 积相等的两部分的方法”见《教材帮》数 学RJ九上23.2节方法帮点
7.下列说法不正确的是( B )
A. 任何一个具有对称中心的四边形都是平行四边形 B. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C. 线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心 对称图形 D. 正三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形， 且对称轴都不止一条
到三角形COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是( C )
A. 15 ° C. 45 °
B. D.
6利常705用用°°旋方转法变:(换1)求利角用C 度旋数转D的前
后的图形全等求解;(2)利A
解：关键找出旋转角∠BOD用=旋60转°角，相等求O解.
B
∴ ∠AOD= ∠BOD－∠AOB=60°－15°=45°，
并证明你的猜想．
解：(2)∴∠GBF＝∠DBE＝60°，
G
∴△BGF是等边三角形，
∴GF＝BF＝AF，
∴DF＝DG＋FG＝2AF．
2．如图，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD绕
点O逆时针旋转一定角度后得到△OAC，此时点
B,D,C在同一直线上,且点D是BC的中点.
(1)求△OBD旋转的角度；
(2)求证：四边形ODAC是菱形． 证明：(2) ∵ △ OAC≌△OBD， △ OCD是等边三角形， ∴AC＝BD＝CD， ∠OCA＝∠ODB＝180°－60°＝120°， ∴∠ACD＝∠OCA－∠OCD＝60°，
定 义
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够
与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于 这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心
2015年陕西省中考数学总复习课件：第23讲 矩形、菱形与正方形
对角线相等且互相平分
；
的四边形．
要点梳理 2．有一组 相等 的平行四边形叫做菱形． 邻边相等 ，对角线 互相垂直平分 ，且 ．
菱形的四条边都 每一条对角线
平分一组对角
要点梳理 菱形的判定方法：
Байду номын сангаас
(1)四条边都 相等 (2)有一组 邻边相等 (3)对角线
互相垂直 (4)对角线 互相垂直平分
；
的平行四边形；
边形的基础上，需有四边相等则可判定为菱形．
(3)菱形、矩形与正方形的联系： 正方形的判定可简记为：菱形＋矩形＝正方形，
其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它
有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四
边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互
相垂直(即菱形)．
1．(2014· 陕西)如图，在菱形 ABCD 中，AB＝5，对角线 AC＝ 6.若过点 A 作 AE⊥BC ，垂足为 E，则 AE 的长为( C ) A．4 B. 12 5 24 C. 5 D．5
C．55°
D．50°
4．(2014· 陕西)问题探究
(1)如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果BC边上存在点P ，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形 △APD，并求出此时BP的长； (2)如图②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的 高，E，F分别为边AB，AC的中点，当AD＝6时，BC边上存在一点Q， 使∠EQF＝90°，求此时BQ的长； 问题解决 (3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员 想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使 ∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A＝ ∠E＝∠D＝90°，AB＝270 m，AE＝400 m，ED＝285 m，CD＝340 m ，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB＝60°？若存在，请求出符 合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．
；
的四边形．
要点梳理 2．有一组 相等 的平行四边形叫做菱形． 邻边相等 ，对角线 互相垂直平分 ，且 ．
菱形的四条边都 每一条对角线
平分一组对角
要点梳理 菱形的判定方法：
Байду номын сангаас
(1)四条边都 相等 (2)有一组 邻边相等 (3)对角线
互相垂直 (4)对角线 互相垂直平分
；
的平行四边形；
边形的基础上，需有四边相等则可判定为菱形．
(3)菱形、矩形与正方形的联系： 正方形的判定可简记为：菱形＋矩形＝正方形，
其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它
有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四
边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互
相垂直(即菱形)．
1．(2014· 陕西)如图，在菱形 ABCD 中，AB＝5，对角线 AC＝ 6.若过点 A 作 AE⊥BC ，垂足为 E，则 AE 的长为( C ) A．4 B. 12 5 24 C. 5 D．5
C．55°
D．50°
4．(2014· 陕西)问题探究
(1)如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果BC边上存在点P ，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形 △APD，并求出此时BP的长； (2)如图②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的 高，E，F分别为边AB，AC的中点，当AD＝6时，BC边上存在一点Q， 使∠EQF＝90°，求此时BQ的长； 问题解决 (3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员 想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使 ∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A＝ ∠E＝∠D＝90°，AB＝270 m，AE＝400 m，ED＝285 m，CD＝340 m ，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB＝60°？若存在，请求出符 合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．
2020届中考数学总复习课件：第23课时 矩形、菱形、正方形
第 2 题答图
3．[2019·眉山]如图 23－1，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点 O 作 EF⊥AC 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，则 DE 的长是( B )
图 23－1
A．1
B.74
C．2
D.1பைடு நூலகம்2
【解析】 如答图，连结 CE.∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6， AD＝BC＝8，OA＝OC，∵EF⊥AC，∴AE＝CE，设 DE＝x，则 CE＝AE＝8－x，在 Rt△CDE 中，由勾股定理，得 x2＋62＝(8－x)2，解得 x＝74，即 DE＝74.
第五单元 四边形
第23课时 矩形、菱形、正方形
一、选择题(每题 3 分，共 15 分)
1．[2019·十堰]矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A 对边相等
B．对角相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
2．[2019·泸州]一个菱形的边长为 6，面积为 28，则该菱形的两条对角线的长度之和为
图 23－9
解：(1)证明：在矩形 EFGH 中，EH＝FG，EH∥FG， ∴∠GFH＝∠EHF. ∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF， ∴∠BFG＝∠DHE. 在菱形 ABCD 中，AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH. ∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG＝DE；
第12题答图
【解析】 ∵阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2∶3，∴S 阴影＝23×9＝6， ∴S 空白＝9－6＝3， ∵CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF，∴△BCE≌△CDF， ∴∠DCF＝∠CBE，∵∠DCF＋∠BCF＝90°， ∴∠CBE＋∠BCF＝90°，∴∠BGC＝90°， ∴S△BCG＝S 四边形 DEGF＝12×3＝32， 设 BG＝a，CG＝b，则12ab＝32，
3．[2019·眉山]如图 23－1，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点 O 作 EF⊥AC 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，则 DE 的长是( B )
图 23－1
A．1
B.74
C．2
D.1பைடு நூலகம்2
【解析】 如答图，连结 CE.∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6， AD＝BC＝8，OA＝OC，∵EF⊥AC，∴AE＝CE，设 DE＝x，则 CE＝AE＝8－x，在 Rt△CDE 中，由勾股定理，得 x2＋62＝(8－x)2，解得 x＝74，即 DE＝74.
第五单元 四边形
第23课时 矩形、菱形、正方形
一、选择题(每题 3 分，共 15 分)
1．[2019·十堰]矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A 对边相等
B．对角相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
2．[2019·泸州]一个菱形的边长为 6，面积为 28，则该菱形的两条对角线的长度之和为
图 23－9
解：(1)证明：在矩形 EFGH 中，EH＝FG，EH∥FG， ∴∠GFH＝∠EHF. ∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF， ∴∠BFG＝∠DHE. 在菱形 ABCD 中，AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH. ∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG＝DE；
第12题答图
【解析】 ∵阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2∶3，∴S 阴影＝23×9＝6， ∴S 空白＝9－6＝3， ∵CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF，∴△BCE≌△CDF， ∴∠DCF＝∠CBE，∵∠DCF＋∠BCF＝90°， ∴∠CBE＋∠BCF＝90°，∴∠BGC＝90°， ∴S△BCG＝S 四边形 DEGF＝12×3＝32， 设 BG＝a，CG＝b，则12ab＝32，
菱形(1)——性质 —初中数学课件PPT
3. 如图18-23-6，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， 过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E． 证明：四边形ACDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD. ∴AE∥CD，∠AOB=90°． ∵DE⊥BD，即∠EDB=90°， ∴∠AOB=∠EDB.∴DE∥AC. ∴四边形ACDE是平行四边形.
2.如何计算平行四边形的面积？你有几种方法？
__略__.__________________________________________；
课前学习任务单
任务三：学习教材第55~56页，完成题目
1.____一___组__邻__边__相__等___的__平__行__四__边__形________叫做菱形.
典型例题
知识点1：菱形的性质 【例1】如图18-23-1，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O. 若AC=8 cm，BD=12 cm，则AO=_____4__cm，BO=___6___cm， 周长=__________cm，面积=_______4_8__cm2.
知识点2：菱形面积的计算 【例2】如图18-23-3，菱形ABCD的边长为2 cm，∠BAD=120°， 对角线AC,BD交于点O,求这个菱形的对角线长和菱形的面积.
4.（20分） 如图X18-22-5，在 ABCD中，AB=5，AD=12， BD=13，求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵AB=5， AD=12，BD=13, ∴AB2+AD2=BD2. ∴∠BAD=90°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ABCD是矩形.
2.菱形的性质：
启后 （1）具备_____平__行__四___边__形______的一切性质. （2）边：菱形的四条边都___相__等_____. （3）对角线：菱形的对角线______互__相__垂__直___并__且____ _每__一___条__对__角__线__平___分__一__组__对__角_____________________.
初中考数学专题总复习《四边形》矩形、菱形、正方形
∵BE＝DF，
∴OE＝OF.(2分)
在△AOE和△COF中，
OA＝OC
∠AOE＝∠COF
OE＝OF ∴△AOE≌△COF(SAS)， ∴AE＝CF；(4分)
第2题图
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
(2)解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴OA＝OB. ∵∠AOB＝∠COD＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝6， ∴AC＝2OA＝12，(6分) 在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝ AC 2 AB2 ＝6 3 ， ∴S矩形ABCD＝AB·BC＝6×6 3 ＝36 3 .(8分)
第5题图
(1)证明：∵对角线AC的中点为O， ∴AO＝CO. ∵AG＝CH， ∴AO－AG＝CO－CH.即GO＝HO. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD. ∴∠OAE＝∠OCF. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△OAE≌△OCF(ASA)．
第5题图
∴OE＝OF. ∴GH与EF互相平分， ∴四边形EHFG是平行四边形；
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
第1题图
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD. ∴OC＝OD，∴四边形OCED是菱形．
母题变式 改变条件、增加设问→在矩形基础上构造菱形，增加设问及解题难度． 2. (2020德阳)如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，连接GC并延长 至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE.连接CE. (1)判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论；
第6题图
(2)若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE为矩形．
(2)∵点D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠DEB＝∠ABE，∴BD＝DE， ∵AD＝BD，DF＝DE， ∴AD＋BD＝DE＋DF，即AB＝EF， ∴四边形AFBE是矩形．
最新人教版中考数学知识点复习第23课时 菱形
知识点1 菱形的定义和性质
定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. (1)具有平行四边形的一切性质． (2)四条边①___相__等_____． (3)两条对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线
性质 平分一组对角．
(4)菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形． (5)菱形的面积等于其两条对角线乘积的②__一__半____.
(1)菱形被每条对角线分成一对全等的等腰三角形． 拓展
(2)菱形被两条对角线分成6对全等的直角三角形和 性质
③____2____对全等的等腰三角形.
知识点2 菱形的判定
四条边相等
判定
四边形＋
两条对角线互相④__垂__直___且⑤_平__分__ 两条对角线平方各组对角
有一组邻边相等
平行四边形＋ 一条对角线平分一组⑥__对__角___
证明：∵O 是 AC 的中点，且 EF⊥AC， ∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC. ∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO＝∠CEO. 在△AOF 和△COE 中，∠ ∠AAFOOF＝ ＝∠ ∠CCEOOE， ，
OA＝OC， ∴△AOF≌△COE，∴AF＝CE， ∴CF＝AF＝CE＝AE，∴四边形AECF是菱形．
第五章 四边形 第23课时 菱形
教材梳理篇
人教：
华师：
教材
八下P55-P58 八下P110-P119
北师： 九上P2-P10
1 知识梳理 2 考点突破 3 福建5年中考题聚焦
1 知识梳理
· 知识点1 菱形的定义和性质 · 知识点2 菱形的判定 · 知识点3 菱形中的等边三角形(拓展) · 知识点4 两条对角线互相垂直的四边形的面积(拓展)
∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG， ∴∠CEF＝∠EFG， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF，∴CE＝FG， ∴四边形CEGF是平行四边形． 又∵CE＝CF， ∴四边形CEGF是菱形．
北师大版数学九年级上册《矩形的判定》说课稿
北师大版数学九年级上册《矩形的判定》说课稿一. 教材分析《矩形的判定》是人教版初中数学九年级上册第五章第二节的内容，本节内容是在学生已经掌握了四边形的性质、平行四边形的性质以及菱形的性质等知识的基础上进行学习的。
矩形作为特殊的平行四边形，具有独特的性质和判定方法。
本节内容的学习，旨在让学生掌握矩形的判定方法，并能够运用矩形的性质解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于平行四边形和菱形的性质有一定的了解。
但是，对于矩形的判定方法，他们可能还比较陌生，需要通过实例和操作来加深理解。
此外，学生可能对一些判定方法的理解不够深入，需要通过一些实际问题来提高他们的应用能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握矩形的判定方法，能够运用矩形的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验到数学的乐趣，培养他们的数学素养。
四. 说教学重难点1.教学重点：矩形的判定方法。
2.教学难点：对于一些特殊情况下矩形的判定方法的运用。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用讲授法、启发法、实践操作法等多种教学方法。
通过实例和操作，引导学生观察、推理，从而掌握矩形的判定方法。
同时，利用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习平行四边形和菱形的性质，引出矩形的判定方法。
2.讲解：讲解矩形的判定方法，通过实例和操作，让学生理解和掌握。
3.练习：让学生进行一些判断题和应用题的练习，巩固所学知识。
4.总结：对本节课的内容进行总结，强调矩形的判定方法和性质。
5.作业布置：布置一些相关的练习题，让学生进行巩固。
七. 说板书设计板书设计如下：1.对角线相等2.四个角都是直角3.对边平行且相等八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况和课后练习的成绩来进行。
1.3正方形的性质与判定(2)
◆梯形的中点四边形是平行四边形
猜想结论，分组验证
对角线相等的四边形的中点四边形 是菱形
对角线垂直的四边形的中点四边形 是矩形
对角线既相等又垂直的四边形的中 点四边形是正方形
对角线既不相等又不垂直的四边形的中 点四边形是平行四边形
猜想结论，分组验证
归纳： P23议一议
一般四边形的中点四边形：
决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原 四边形ABCD的对角线的长度和位置关系。
顺次连结正方形的各边中点，所得的四边形一定是（ Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形
A
）
Ｄ．平行四国边形
以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线 段有关系？有怎样的关系？
应用举例：
1 已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD
四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'
你觉得什么样的四边形是 正方形呢?( 判断一个四边形 是正方形有哪些方法？）
有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形 特殊的矩形
一组邻边相等
平行四边形
正方形
有一个直角 特殊的 平行四边形 有一组邻边相等 且有一个角是直角 的平行四边形 叫做正方形。
菱形
特殊的菱形
有一个角为直角的菱形是正方形
正方形的判定方法：
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形
3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，
能判定这个四边形是正 方形的是：（ A ） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC D．AC＝BD
已知在□ABCD中， ∠A=90°，如果添加一个条件，即可推出该 四边形是正方形，那么这个条件可以是（ D ） A．∠D=90° B.AB=CD C. AD=BC D. BC=CD
猜想结论，分组验证
对角线相等的四边形的中点四边形 是菱形
对角线垂直的四边形的中点四边形 是矩形
对角线既相等又垂直的四边形的中 点四边形是正方形
对角线既不相等又不垂直的四边形的中 点四边形是平行四边形
猜想结论，分组验证
归纳： P23议一议
一般四边形的中点四边形：
决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原 四边形ABCD的对角线的长度和位置关系。
顺次连结正方形的各边中点，所得的四边形一定是（ Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形
A
）
Ｄ．平行四国边形
以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线 段有关系？有怎样的关系？
应用举例：
1 已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD
四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'
你觉得什么样的四边形是 正方形呢?( 判断一个四边形 是正方形有哪些方法？）
有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形 特殊的矩形
一组邻边相等
平行四边形
正方形
有一个直角 特殊的 平行四边形 有一组邻边相等 且有一个角是直角 的平行四边形 叫做正方形。
菱形
特殊的菱形
有一个角为直角的菱形是正方形
正方形的判定方法：
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形
3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，
能判定这个四边形是正 方形的是：（ A ） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC D．AC＝BD
已知在□ABCD中， ∠A=90°，如果添加一个条件，即可推出该 四边形是正方形，那么这个条件可以是（ D ） A．∠D=90° B.AB=CD C. AD=BC D. BC=CD
新人教版初中数学九年级上册第23章《图形的旋转》教案
二、自主
探究
二、自主
探究
1．旋转中心不变，改变旋转角
画出以下图所示的四边形ABCD以O点为中心，旋转角分别为30°、60°的旋转图形．
2．旋转角不变，改变旋转中心
画出以下图，四边形ABCD分别为O、O为中心，旋转角都为30 °的旋转图形．
3、图案设计：（1）、如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以O 为旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°的菊花图案．
（2）、 如图，如果上面的菊花一叶，绕下面的点O′为旋转中心， 请同学画出图案，它还是原来的菊花吗？
选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究．
学生独立作图，两名同学上台展示。
画完之后相互批改、评价。
从画图中，师生共同归纳出:旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案．
（3）旋转前、后的图形全等．
根据图形思考老师所给的问题，然后分组讨论，教师参与讨论交流，最后一组推荐一人上台回答结论
1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′
2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′
3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等．
综合以上的实验操作，师生共同归纳出旋转的性质。
(5)由平面图形转动而产生的奇妙图案。
2、提出问题:
这些情境中的转动现象,有什么共同特征?
用课件展示图片并显示现实生活中部分物体的旋转现象
学生观察图片
学生思考，归纳它们的共同特征。
让学生再举一些类似的例子
通过这些画面的展示让学生切身感受到我们身边除了平移、轴对称变换等图形变换之外,生产、生活中广泛存在着转动现象，从而产生对这种变换进一步探究的强烈欲望,为本节课探究问题作好铺垫。
探究
二、自主
探究
1．旋转中心不变，改变旋转角
画出以下图所示的四边形ABCD以O点为中心，旋转角分别为30°、60°的旋转图形．
2．旋转角不变，改变旋转中心
画出以下图，四边形ABCD分别为O、O为中心，旋转角都为30 °的旋转图形．
3、图案设计：（1）、如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以O 为旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°的菊花图案．
（2）、 如图，如果上面的菊花一叶，绕下面的点O′为旋转中心， 请同学画出图案，它还是原来的菊花吗？
选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究．
学生独立作图，两名同学上台展示。
画完之后相互批改、评价。
从画图中，师生共同归纳出:旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案．
（3）旋转前、后的图形全等．
根据图形思考老师所给的问题，然后分组讨论，教师参与讨论交流，最后一组推荐一人上台回答结论
1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′
2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′
3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等．
综合以上的实验操作，师生共同归纳出旋转的性质。
(5)由平面图形转动而产生的奇妙图案。
2、提出问题:
这些情境中的转动现象,有什么共同特征?
用课件展示图片并显示现实生活中部分物体的旋转现象
学生观察图片
学生思考，归纳它们的共同特征。
让学生再举一些类似的例子
通过这些画面的展示让学生切身感受到我们身边除了平移、轴对称变换等图形变换之外,生产、生活中广泛存在着转动现象，从而产生对这种变换进一步探究的强烈欲望,为本节课探究问题作好铺垫。
2020年浙江数学中考复习第五单元四边形之第22课时 矩形、菱形、正方形
第22课时 矩形、菱形、正方形
浙江近6年中考真题精选
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中考试题中的核心素养
第22课时 矩形、菱形、正方形
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浙江近6年中考真题精选
命题点 1 与矩形有关的证明及计算（杭州3考，2次结合折叠；
温州2考；台州3考，1次结合折叠；绍兴3考）
1.(2019丽水、金华、义乌8题3分)如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB=m，
5. (2019台州8题4分)如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2 cm，BC
＝FG＝8 cm.把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，
且点D与点G重合，当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于( D )
A. 1
B. 1
C. 8
D. 8
4
2
17
15
第5题图
EAP= FAQ
A
B
=
A
D
，
A E P = A F Q
∴△AEP≌△AFQ(ASA)， ∴AP＝AQ；
第19题图
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(3)如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图①：请你编制一个计算题(不标 注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分).
第22课时 矩形、菱形、正方形
14. (2016丽水15题4分)如图，在菱形ABCD中，过点B作
BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，
使得DG＝BD，连接EG，FG.若AE＝DE，则 EG＝
7
AB
______2_______.
15. (2016台州15题5分)如图，把一个菱形绕着它的对角线
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命题点 1 与矩形有关的证明及计算（杭州3考，2次结合折叠；
温州2考；台州3考，1次结合折叠；绍兴3考）
1.(2019丽水、金华、义乌8题3分)如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB=m，
5. (2019台州8题4分)如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2 cm，BC
＝FG＝8 cm.把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，
且点D与点G重合，当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于( D )
A. 1
B. 1
C. 8
D. 8
4
2
17
15
第5题图
EAP= FAQ
A
B
=
A
D
，
A E P = A F Q
∴△AEP≌△AFQ(ASA)， ∴AP＝AQ；
第19题图
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(3)如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图①：请你编制一个计算题(不标 注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分).
第22课时 矩形、菱形、正方形
14. (2016丽水15题4分)如图，在菱形ABCD中，过点B作
BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，
使得DG＝BD，连接EG，FG.若AE＝DE，则 EG＝
7
AB
______2_______.
15. (2016台州15题5分)如图，把一个菱形绕着它的对角线
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安徽三年中考
常考类型剖析
课堂随练
1. 如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则 ∠AED′等于 ( C)
A. 30°
C. 60°
B. 45°
D. 75°
【解析】根据题意得：∠DAE＝∠D′AE， ∠D＝∠D′＝90°.∵∠BAD′＝30°， ∴∠EAD′＝30°.∴∠AED′＝90°－30°＝60°.
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2. (’15徐州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于 点O，E为AD中点，菱形ABCD的周长是 28，则OE的长等 于 ( A )
A. 3.5
B. 4
C. 7
D. 14
【解析】菱形的对角线互相垂直平分，四条边
都相等．其周长是28，则AB＝BC＝CD＝DA＝7， OE即是Rt△AOD的斜边上的中线，则OE＝ 1 AD.
求tan∠ADP的值．
例2题图
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(1)【思路分析】利用平行四边形性质得∠DAE＝∠AEB，然
后利用角平分线性质等量代换得△ABE是等腰三角形，由AF BE判定出四边形ABEF为平行四边形，进而利用邻边相等
的平行四边形为菱形证明即可 ；
证明：在▱ABCD中，AD∥BC，
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【方法指导】1.矩形判定的一般思路：首先判定是否为 平行四边形，然后找角或者对角线的关系，若角度容易 求，则可找其一角为90°，便可判定是矩形；若对角线 容易求，则证明其对角线相等即可判定其为矩形．
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2．应用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是
直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定
理或三角函数求线段的长是常用的解题思路，又根据矩形
对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等
三角形．矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形， 在矩形性质的相关计算和证明中要注意这个结论的运用， 建立能够得到线段或角度的等量关系．
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类型二 棱形的性质及判定
例2 (’14北京)如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于
点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连
接EF，PD.
(1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠AEB＝∠BAE， ∴AB＝BE，
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同理：∵∠AFB＝∠FBE，
∠ABF＝∠FBE， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AB＝AF＝BE， ∵AF∥BE且AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
相等的平行四边形是菱形，可得由AB＝BC可以判定▱ABCD是
菱形，故③正确；由AC=BD，可以判定▱ABCD是矩形，故④错
误.
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3. (’15黄山模拟)如图，菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，
∠ABD＝α，则下列结论正确的是
4 5
(
D)
A. sinα＝
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例1题图
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(1)【思路分析】四边形ABCD是矩形
⇒OA=OB=OC=OD
AE=BF=CG=DH
⇒OE＝OF＝OG＝OH
⇒四边形EFGH是矩形；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD. ∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴OE＝OF＝OG＝OH， ∴四边形EFGH是矩形．
首先判断其是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边相
等判定是菱形，这是判定菱形的最基本思路，同时也可以
考虑其他判定方法，例如若能判定对角线垂直即可应用对
角线来判定．
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2．菱形性质应用的一般思路：菱形是平行四边形，故会应 用对边平行、对角相等等性质；菱形四边相等，所以在做题 时，会利用等量代换转换为其他边的长；它的对角线相互垂
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直角 的平行四边形是矩形； (1)有一个角是⑥_____ 判定 (2)有⑦三个角 ______是直角的四边形是矩形； 相等 的平行四边形是矩形 (3)对角线⑧______ 面积 ab S＝⑨_______( a、b表示矩形的长和宽）
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第一部分
教材知识梳理
第五单元 四边形
第23课时 矩形、菱形、正方形
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考点一 矩形的性质及判定
定义
直角 的平行四边形叫 有一个角是①_____ 矩形 直角 ； (1)矩形的四个角都是②______ 相等 ； (2)矩形的对角线③_______ 中心 对称图形又是轴 (3)矩形既是④______ 性质 2 对称图形，有⑤______ 条对称轴
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考点二 菱形的性质及判定 （高频）
定义
有一组邻边⑩______的平行四边形叫做菱 相等 形
相等 ； (1)菱形的四条边都⑪_______ 互相垂直 且每一 (2)菱形的对角线⑫_________
一组对角 ； 条对角线都平分⑬_________
(3)菱形既是⑭______ 中心 对称图形，又 性质 轴 对称图形，有⑯_____ 2 条 是⑮______
又∵AB＝AF， ∴四边形ABEF是菱形；
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(2)【思路分析】过点P作PH⊥AD于点H，利用30°角所对 的直角边等于斜边的一半即可求得AH，PH，再利用三角函 数的关系即可得tan∠ADP的值．
解：如解图，过点P作PH⊥AD于点H，
∵∠ABC＝60°， ∴△ABE和△AEF是等边三角形，
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相等 的平行四边形是菱形； (1)有一组邻边⑰______ 判定 相等 的四边形是菱形； (2)四条边都⑱_______
面积
(3)对角线⑲互相垂直 ________的平行四边形是菱形 1 l1l2 S＝⑳_______( l1、l2表示菱形两条对角线的长) 2
第3题图
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(1)【思路分析】要证明四边形BFDE是矩形，首先证明
BFDE是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是
矩形得证． 解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE，
又DF＝BE， ∴四边形BFDE为平行四边形． 又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE为矩形；
菱 一组邻边相等
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形
有一个角是直角
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类型一 矩形的性质及判定
例1 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H 分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝ DH. (1)求证：四边形EFGH是矩形； (2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、 OD的中点，且 DG⊥AC， OF＝ 2 cm，求 矩形ABCD的面积．
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考点三 正方形的性质及判定 （高频）
相等 ； (1)正方形的对边平行，四边都 21 ________ 直角 ； (2)正方形的四个角都是 22 ________ (3)对角线互相 23 垂直平分且相等 _____________，每条对角线平分 一组对角 邻边 相等，并且有一个角是 25 直角 (1)有一组 24_______ ____ 的平行四边形是正方形； 矩形 是正方形； (2)有一组邻边相等的 26 _______ 棱形 正方形； (3)有一个角是直角的是 27 _______ 对角线 相等且互相垂直的平行四边形是正方形 (4) 28 _______
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(2)【思路分析】根据已知条件求出矩形的边长DC，继而求 出边长AD，再根据矩形的面积公式即可求解．
解：在△DOC中，∵OG＝GC且DG⊥OC，
∴DO＝DC， ∵OC＝OD，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠DCA＝60°，DC＝2OG＝2OF＝4， 在Rt△ADC中，AD＝tan60°· CD＝4 3 ∴S矩形ABCD＝AD· CD＝163 . ，
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第4题图
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B. cosα＝ D. tanα＝
3 5
C. tanα＝ 4
3
3 4
第3题图
【解析】∵菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，且OA＝3，OB＝4.在Rt△ABO中，根据勾股定 理得AB＝5，则sinα＝