高考理科第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形3.3

π α∈0，2，若
4． 已知
π 4 α－ ＋sinα＝ cos 6 5
3， 则
7π sinα＋ 6 的值是(
)
2 3 2 3 A．－ 5 B. 5 4 4 C．－ D. 5 5
π 4 α－ ＋sinα＝ 解析：cos 6 5
3，
5．函数 y＝cosx(sinx＋cosx)的最小正周期为( π π A.4 B.2 C．π D．2π
)
解析：∵y＝cosx(sinx＋cosx)＝cosxsinx＋cos2x 1＋cos2x 1 ＝2sin2x＋ 2 π 1 2 ＝ ＋ sin2x＋4. 2 2 2π ∴最小正周期 T＝ 2 ＝π，故选 C. 答案：C
考点自测
π 3 sin2α ，π，那么 1.已知 sinα＝5，且 α∈ 2 ) cos2α的值等于( 3 3 3 3 A．－4 B．－2 C.4 D.2 π 3 4 sin2α ，π，∴cosα＝－ ， 解析：∵sinα＝ ，且 α∈ 2 ＝ 5 5 cos2α 3 2×5 2sinαcosα 2sinα 3 cos2α ＝ cosα ＝ 4 ＝－2. －5 答案：B
2
点评：角的变换：转化为同角、特殊角、已知角或它们的 和、差、两倍、一半等；如 α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α ＋β)＋(α－β)等； 函数变换：弦切互化，化异名为同名． 综合运用和、差、倍角与平方关系时注意角的范围对函数 值的影响．当出现互余、互补关系，利用诱导公式转化．
变式探究 2 sin4α.
归纳总结 •方法与技巧 1．巧用公式变形： 和差角公式变形：tanx± tany＝tan(x± (1∓tanx· y)· tany)； 1＋cos2α 2 倍 角 公 式 变 形 ： 降 幂 公 式 cos α ＝ ， sin2α ＝ 2 1－cos2α ； 2 α α2, α sin ± 1＋cosα＝2cos2 ， 配方变形： sinα＝ 2 cos2 1± 1－cosα 2 2α ＝2sin . 2
π π 又∵ ＜A＜π， ＜B＜π，∴π＜A＋B＜2π.② 2 2 7π 由①②知，A＋B＝ . 4
点评：(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数 时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知 π 正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，2， 选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的 π π 范围为－2，2，选正弦较好． (2)解这类问题的一般步骤为：①求角的某一个三角函数 值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．
2 2 ∴sin2α＝－ 1－cos 2α＝－ ， 3 4 2 于是 sin4α＝2sin2αcos2α＝－ 9 .
2
2 2 1 方法二：由条件得 (cosα＋sinα) (cosα－sinα)＝ ， 2 2 6 1 1 2 2 即 (cos α－sin α)＝ . 2 6 1 ∴cos2α＝ . 3 2 2 4 2 由 2α∈(π，2π)得 sin2α＝－ ，∴sin4α＝－ . 3 9
题型探究 题型一 三角式的化简 例 1 化简
θ θ 1＋sinθ＋cosθsin2－cos2
2＋2cosθ
(0＜θ＜π)．
解析： 原式＝
θ θ θ θ 2θ 2sin cos ＋2cos sin －cos 2 2 2 2 2
θ 2θ 2θ cos2sin 2－cos 2 ＝ θ |cos2|
＝
α α α α α cos －sin cos ＋sin sin 2 2 2 2 2
α cos2cosα α 2α 2α cos －sin sin 2 2 2 ＝ α cos cosα 2 α ＝tan2.
方法二：利用三角函数的其他公式． [sinα＋cosα－1][sinα－cosα－1] 原式＝ sin2α sin2α－cos2α＋2cosα－1 ＝ sin2α 2cosα－2cos2α 2cosα1－cosα ＝ 2sinαcosα ＝ 2sinαcosα α 2α 2sin sin 1－cosα 2 2 α ＝ ＝ ＝ ＝tan . sinα α α α 2 2sin2cos2 cos2
π π ∵2＜α＜π，0＜β＜2， π β π α π ∴ ＜α－ ＜π，－ ＜ －β＜ . 4 2 4 2 4 β β 4 5 2 ∴sinα－2＝ 1－cos α－2＝ ， 9 来自α cos2－β＝
α 5 －β＝ 1－sin 2 3. α＋β β α β ∴cos 2 ＝cosα－2cos2－β＋sinα－2· α 7 5 sin2－β＝ . 27
答 案 ： ① sinαcosβ± cosαsinβ ② cosαcosβ ∓ sinαsinβ ③ tanα± tanβ ④ tan(α ＋ β)(1 － tanαtanβ) ⑤ tan(α － β)(1 ＋ 1∓tanαtanβ tanα＋tanβ tanαtanβ) ⑥ 1 － ⑦ 2sinαcosα ⑧ cos2α － sin2α tanα＋β 1－cos2α 2tanα 2 2 ⑨ 2cos α － 1 ⑩ 1 － 2sin α ⑪ ⑫ ⑬ 2 1－tan2α 1＋cos2α ⑭ a2＋b2sin(α＋φ) ⑮ a2＋b2cos(α－φ) 2
2．已知 tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则 tan2α 等于( 1 1 A.8 B．－8 4 4 C. D．－ 7 7
)
解析：tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] tanα＋β＋tanα－β ＝ 1－tanα＋β· tanα－β 3＋5 8 4 ＝ ＝ ＝－ . 7 1－3×5 －14 答案：D
2．二倍角公式 sin2α＝⑦__________； cos2α＝⑧__________；⑨__________＝⑩__________； tan2α＝⑪__________. 其公式变形为： sin2α＝⑫__________； cos2α＝⑬__________. 3．辅助角公式 函数 f(α)＝αcosα＋bsinα(a、b 为常数)，可化为 f(α)＝⑭ __________或 f(α)＝⑮__________， 其中 φ 可由 a， 的值唯一 b 确定．
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 1.正确理解并掌握和、差角公式间的关系 理解并掌握和、差角公式间的关系对掌握公式十分有 效． cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 可用向量推导， 如 cos(α＋β) 只需转化为 cos[α－(－β)]利用上述公式和诱导公式即可．
2．辩证地看待和角与差角 为了灵活应用和、差角公式，可以对角进行适当的拆分变 换：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其 倍角的变换、两角与其和差角的变换．如 α＝(α＋β)－β＝(α－ β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝ α＋β α＋β β α 2· 2 ， 2 ＝α－2－2－β等.
1 4 3 3 4 3 ∴ 2 cosα＋2sinα＝5 3， 3 cosα＋ sinα＝5 3， 2 2 π 4 π 4 3sin6＋α＝ 3，∴sin6＋α＝ ， 5 5 π 7 4 ∴sinα＋6π＝－sin6＋α＝－ . 5 答案：C
sinα＋cosα－1sinα－cosα＋1 变式探究 1 化简： . sin2α 解析：方法一：原式 α α α α 2α 2α 2sin cos －2sin 2sin cos ＋2sin 2 2 2 2 2 2 ＝ α α 4sin2cos2cosα
3．3 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式
考纲点击 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公 式． 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正 切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内 在联系.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.两角和与差的三角函数公式 sin(α± β)＝①____________； cos(α± β)＝②____________； tan(α± β)＝③____________； 其变形为： tanα＋tanβ＝④________________； tanα－tanβ＝⑤________________； tanαtanβ＝⑥____________.
1 2×3 2tanα 3 又∵tan2α＝ ＝ 1 ＝4＞0， 1－tan2α 1－32 π ∴0＜2α＜ ， 2 3 1 tan2α－tanβ 4＋7 ∴tan(2α－β)＝ ＝ ＝1. 3 1 1＋tan2αtanβ 1－4×7
1 ∵tanβ＝－7＜0， π ∴2＜β＜π，－π＜2α－β＜0， 3 ∴2α－β＝－ π. 4
已知
π π 1 π sin4＋αsin4－α＝ ，α∈2，π，求 6
π π 解析：方法一：∵sin4＋αsin4－α π π 1 ＝sin4＋αcos4＋α＝6， π 1 1 ＋2α＝ ，即 cos2α＝ . ∴sin 2 3 3 π ∵α∈2，π，则 2α∈(π，2π)，
4cos 2
2θ
θ －cos2· cosθ ＝ . θ |cos2| θ π θ 因为 0＜θ＜π，所以 0＜ ＜ ，所以 cos ＞0， 2 2 2 所以原式＝－cosθ.
点评：①本题从变角入手，异角化同角．②根式形式的三 角函数式的化简，常以去根号为目标，为此常使被开方的式子 配成完全平方式，化简时，要注意角的范围对符号的影响．
1 变式探究 3 已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝2，tanβ 1 ＝－7，求 2α－β 的值．
解析：∵tanα＝tan[(α－β)＋β] tanα－β＋tanβ ＝ 1－tanα－βtanβ 1 1 2－7 ＝ 1 1 1＋2×7 1 ＝3＞0， π ∴0＜α＜ ， 2