2012年重庆市高考数学试卷(理科)_试卷分析
【专家解析】2012年高考数学(理)真题精校精析(重庆卷)(纯word书稿)
2012·重庆卷(数学理科)1．[2012·重庆卷] 在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．251．B [解析] 因为{a n }是等差数列，所以a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝1＋5＝6，所以S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5×62＝15，选B.2．[2012·重庆卷] 不等式x －12x ＋1≤0的解集为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 2．A [解析] 不等式等价于⎩⎨⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0，解得－12＜x ≤1，选A.3．[2012·重庆卷] 对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心3．C [解析] 圆x 2＋y 2＝2的圆心为(0,0)，半径为2，因为圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝|0·k ＋0·(－1)＋1|k 2＋(－1)2＝1k 2＋1，因为0＜1k 2＋1≤1＜2，所以直线与圆相交但不过圆心．4．[2012·重庆卷] ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( )A.3516B.358C.354 D ．1054．B [解析] 展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 8·(x )8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k C k 8x 4－k.令4－k ＝0，则k ＝4，所以展开式中常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 48＝358.5．[2012·重庆卷] 设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．A [解析] 因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.6．[2012·重庆卷] 设x ，y ∈，向量＝(x,1)，＝(1，y )，＝(2，－4)，且⊥，∥，则|＋|＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．106．B [解析] 因为⊥，所以·＝0，即2x －4＝0，解得x ＝2，由∥，得－4＝2y ，解得y ＝－2，所以＝(2,1)，＝(1，－2)，所以＋＝(3，－1)，所以|＋|＝32＋12＝10.7．[2012·重庆卷] 已知f (x )是定义在上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件7．D [解析] 由于f (x )是的上的偶函数，当f (x )在[0,1]上为增函数时，根据对称性知f(x)在[－1,0]上为减函数．根据函数f(x)的周期性将f(x)在[－1,0]上的图象向右平移2个周期即可得到f(x)在[3,4]上的图象，所以f(x)在[3,4]上为减函数；同理当f(x)在[3,4]上为减函数时，根据函数的周期性将f(x)在[3,4]上的图象向左平移2个周期即可得到f(x)在[－1,0]上的图象，此时f(x)为减函数，又根据f(x)为偶函数知f(x)在[0,1]上为增函数(其平移与对称过程可用图表示，如图1－1所示)，所以“f(x)为[0,1]上的减函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件，选D.8．[2012·重庆卷] 设函数f(x)在上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图1－2所示，则下列结论中一定成立的是()图1－1A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)8．D[解析] 在x＝－2左侧附近时，由图象知，y＝(1－x)f′(x)＞0，则f′(x)＞0，在x＝－2右侧附近时，由图象知，y＝(1－x)f′(x)＜0，则f′(x)＜0，所以函数在x＝－2处取得极大值；在x＝1左侧附近时，由图象知，y＝(1－x)f′(x)＜0，f′(x)＜0，在x＝1右侧附近时，由图象知，y＝(1－x)f′(x)＞0，则f′(x)＜0，所以函数在x＝1处没有极值；在x＝2左侧附近时，由图象知，y＝(1－x)f′(x)＞0，则f′(x)＜0，在x＝2右侧附近时，由图象知，y＝(1－x)f′(x)＜0，则f′(x)＞0，所以函数在x＝2处取得极小值．9．[2012·重庆卷] 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是()A．(0，2) B．(0，3)C．(1，2) D．(1，3)9．A [解析] 如图所示，设AB ＝a ，CD ＝2，BC ＝BD ＝AC ＝AD ＝1，则∠ACD ＝∠BCD ＝45°，要构造一个四面体，则平面ACD 与平面BCD 不能重合，当△BCD 与△ACD 重合时，a ＝0；当△BCD 在DC 另一侧与△ACD 共面时，∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝45°＋45°＝90°，AB ＝AC 2＋BC 2＝2，所以a 的取值范围是(0，2)．10．[2012·重庆卷] 设平面点集A ＝(x ，y )⎪⎪(y －x )·y －1x ≥0，B ＝{}(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为()A.34πB.35πC.47πD.π210．D [解析] 平面点集A 表示的平面区域就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x ≥0与⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0表示的两块平面区域，而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆及圆的内部，作出它们所示的平面区域，如图所示，图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形．由于圆和曲线y ＝1x 关于直线y ＝x 对称，因此阴影部分所表示的图形面积为圆面积的12，即为π2.11．L4[2012·重庆卷] 若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.11．4 [解析] 因为(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，则根据复数相等得a ＝1，b ＝3，所以a ＋b ＝4.12．B13[2012·重庆卷] lim n →∞1n 2＋5n －n＝________.12.25 [解析] lim n →∞ 1n 2＋5n －n＝lim n →∞ n 2＋5n ＋n5n＝lim n →∞ 1＋5n ＋15＝lim n →∞ 1＋15＝25.13．C8[2012·重庆卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.13.145 [解析] 因为cos A ＝35，cos B ＝513，所以sin A ＝45，sin B ＝1213，因为sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665，由正弦定理知c sin C ＝b sin B ，即c 5665＝31213，解得c ＝145.14．H8[2012·重庆卷] 过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝________.14.56 [解析] 由抛物线方程可知p ＝1，焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝2512，所以x 1＋x 2＝1312.设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，代入抛物线y 2＝2x ，得k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x ＋14＝2x ，即k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，x 1＋x 2＝k 2＋2k 2＝1312，所以k 2＝24，将k 2＝24代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，因为|AF |＜|BF |，所以解方程得x 1＝13，所以|AF |＝x 1＋p 2＝56.15．K2[2012·重庆卷] 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．15.35 [解析] 6节课共有A 66＝720种排法，相邻两节文化课间最多间隔1节艺术课排法分两类：(1)两节相邻文化课之间没有艺术课间隔：可将三节文化课捆绑为一个元素，然后再与另三节艺术课进行全排列，排法有A 33A 44＝144种；(2)三节文化课间都有1节艺术课间隔：有“文艺文艺文艺”与“艺文艺文艺文”两种形式，其排法有2A 33A 33＝72种；(3)三节文化课中有两节之间有一节艺术课，而另一节文化课与前两节文化课之一无间隔，可先对文化课进行全排，然后从3节艺术课选一节放入排好的3节文化课之间，再将此4节课看作一个元素与余下的2节艺术课进行全排，其排法有：A 33C 13C 12A 33＝216种．综上可知，相邻两节文化课间最多间隔1节艺术课排法有144＋72＋216＝432种， 所以课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为432720＝35.16．B11、B12、E3[2012·重庆卷] 设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．16．解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1， 故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x ＞0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32 ＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，无极大值．17．K4、K5、K6[2012·重庆卷] 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望． 17．解：设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则 P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)，(1)记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1)＋P (A 1 B 1A 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)·P (B 2)P (A 3) ＝13＋23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×13＝13＋19＋127＝1327.(2)ξ的所有可能值为1,2,3， 由独立性知P (ξ＝1)＝P (A 1)＋P (A 1B 1)＝13＋23×12＝23.P (ξ＝2)＝P (A 1 B 1A 2)＋P (A 1 B 1 A 2B 2)＝23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝29，P (ξ＝3)＝P (A 1 B 1 A 2 B 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝19.综上知，ξ有分布列为： 从而，Eξ＝1×23＋2×29＋3×19＝13918．C5、C2、C3[2012·重庆卷] 设f (x )＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω＞0.(1)求函数y ＝f (x )的值域；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值．18．解：(1)f (x )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin ωx ＋cos2ωx＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin2ωx ＋1.因－1≤sin2ωx ≤1，所以函数y ＝f (x )的值域为[1－3，1＋3]．(2)因y ＝sin x 在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上为增函数，故f (x )＝3sin2ωx＋1(ω＞0)在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω(k ∈Z )上为增函数．依题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω对某个k ∈Z 成立，此时必有k ＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧－3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，解得ω≤16，故ω的最大值为16.19．G5、G6、G10、G11[2012·重庆卷] 如图1－2，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AC ＝BC ＝3，D 为AB 的中点．(1)求点C 到平面A 1ABB 1的距离；(2)若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1－CD －C 1的平面角的余弦值．图1－219．解：(1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB .又CD ⊥AA 1，故CD ⊥面A 1ABB 1，所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为CD ＝BC 2－BD 2＝ 5.(2)解法一：如图，取D 1为A 1B 1的中点，连结DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1.又由(1)知CD ⊥面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1，所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1－CD －C 1的平面角．因A 1D 为A 1C 在面A 1ABB 1上的射影，又已知AB 1⊥A 1C ，由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A .因此AA 1AD ＝A 1B 1AA 1，即AA 21＝AD ·A 1B 1＝8，得AA 1＝2 2. 从而A 1D ＝AA 21＋AD 2＝2 3.所以，在Rt △A 1DD 1中， cos ∠A 1DD 1＝DD 1A 1D ＝AA 1A 1D ＝63.解法二：如图，过D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于点D 1，在直三棱柱中，易知DB ，DC ，DD 1两两垂直．以D 为原点，射线DB ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz .设直三棱柱的高为h ，则A (－2,0,0)，A 1(－2,0，h )，B 1(2,0，h )，C (0，5，0)，C 1(0，5，h )，从而AB 1→＝(4,0，h )，A 1C →＝(2，5，－h )．由AB 1→⊥A 1C →，有8－h 2＝0，h ＝2 2. 故DA 1→＝(－2,0,22)，CC 1→＝(0,0,22)，DC →＝ (0，5，0)．设平面A 1CD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则m ⊥DC →，m ⊥DA 1→，即 ⎩⎨⎧5y 1＝0，－2x 1＋22z 1＝0，取z 1＝1，得m ＝(2，0,1)，设平面C 1CD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ⊥DC →，n ⊥CC 1→，即⎩⎨⎧5y 2＝0，22z 2＝0，取x 2＝1，得n ＝(1,0,0)，所以 cos 〈m ，n 〉＝m·n|m ||n |＝22＋1·1＝63. 所以二面角A 1－CD －C 1的平面角的余弦值为63.20．H5、H8、F3[2012·重庆卷] 如图1－3，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．图1－3(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程． 20．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)． 因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c 2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c 2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5， 又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5， 由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2. 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.21．D1、D3、E1、M3[2012·重庆卷] 设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a 2S n ＋a 1，其中a 2≠0.(1)求证：{a n }是首项为1的等比数列；(2)若a 2＞－1，求证：S n ≤n 2(a 1＋a n )，并给出等号成立的充要条件．21．解：(1)证法一：由S 2＝a 2S 1＋a 1得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1，即a 2＝a 2a 1.因a 2≠0，故a 1＝1，得a 2a 1＝a 2. 又由题设条件知S n ＋2＝a 2S n ＋1＋a 1，S n ＋1＝a 2S n ＋a 1，两式相减得S n ＋2－S n ＋1＝a 2(S n ＋1－S n )，即a n ＋2＝a 2a n ＋1，由a 2≠0，知a n ＋1≠0，因此a n ＋2a n ＋1＝a 2. 综上，a n ＋1a n＝a 2对所有n ∈N *成立，从而{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列． 证法二：用数学归纳法证明a n ＝a n －12，n ∈N *.当n ＝1时，由S 2＝a 2S 1＋a 1，得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1，即a 2＝a 2a 1，再由a 2≠0，得a 1＝1，所以结论成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a k ＝a k －12，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(a 2S k ＋a 1)－(a 2S k －1＋a 1)＝a 2(S k －S k －1)＝a 2a k ＝a k 2， 这就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立．综上可得，对任意n ∈N *，a n ＝a n －12.因此{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列．(2)当n ＝1或2时，显然S n ＝n 2(a 1＋a n )，等号成立．设n ≥3，a 2＞－1且a 2≠0，由(1)知a 1＝1，a n ＝a n －12，所以要证的不等式化为1＋a 2＋a 22＋…＋a n －12≤n 2(1＋a n －12)(n ≥3)， 即证：1＋a 2＋a 22＋…＋a n 2≤n ＋12(1＋a n 2)(n ≥2)． 当a 2＝1时，上面不等式的等号成立．当－1＜a 2＜1时，a r 2－1与a n －r 2－1(r ＝1,2，…，n －1)同为负；当a 2＞1时，a r 2－1与a n －r 2－1(r ＝1,2，…，n －1)同为正．因此当a 2＞－1且a 2≠1时，总有(a r 2－1)(a n －r 2－1)＞0，即a r 2＋a n －r 2＜1＋a n 2(r ＝1,2，…，n －1)．上面不等式对r 从1到n －1求和得2(a 2＋a 22＋…＋a n －12)＜(n －1)(1＋a n 2)，由此可得1＋a 2＋a 22＋…＋a n 2＜n ＋12(1＋a n 2)． 综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤n 2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立．证法二：当n ＝1或2时，显然S n ≤n 2(a 1＋a n )，等号成立．当a 2＝1时，S n ＝n ＝n 2(a 1＋a n )，等号也成立．当a 2≠1时，由(1)知S n ＝1－a n 21－a 2，a n ＝a n －12，下证： 1－a n 21－a 2＜n 2(1＋a n －12)(n ≥3，a 2＞－1且a 2≠1)． 当－1＜a 2＜1时，上面不等式化为(n －2)a n 2＋na 2－na n －12＜n －2(n ≥3)． 令f (a 2)＝(n －2)a n 2＋na 2－na n －12.当－1＜a 2＜0时，1－a n －22＞0，故f (a 2)＝(n －2)a n 2＋na 2(1－a n －22)＜(n －2)|a 2|n ＜n －2，即所要证的不等式成立．当0＜a 2＜1时，对a 2求导得f ′(a 2)＝n [(n －2)a n －12－(n －1)a n －22＋1]＝ng (a 2)．其中g (a 2)＝(n －2)a n －12－(n －1)a n －22＋1，则g ′(a 2)＝(n －2)(n －1)(a 2－1)a n －32＜0，即g (a 2)是(0,1)上的减函数，故g (a 2)>g (1)＝0，从而f ′(a 2)＝ng (a 2)>0，进而f (a 2)是(0,1)上的增函数，因此f (a 2)＜f (1)＝n －2，所要证的不等式成立．当a 2＞1时，令b ＝1a 2，则0＜b ＜1，由已知的结论知 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n 1－1a 2＜n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n －1， 两边同时乘以a n －12得所要证的不等式．综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤n 2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立．。
2012年高考数学卷试卷分析及2013届教学建议
2012年高考数学卷试卷分析及2013届教学建议试卷整体分析2012年高考试卷整体难度略显偏难，各考点分布比较合理，与2011年高考数学卷题型相当，重点考察学生解决问题的能力。
前8题较容易，学生看到题目后就有一些解题想法，9，10，11，12,13各题难度上去了，但学生只要静心计算，认真思考，一定能算出来，14难度太大。
解答题15、16比较平稳，自然过度，受到中等成绩的学生一致好评，17题题目理解有困难，学生不知如何解答，18（1）、（2），19（1）、20（1）算正常考察的题目学生该能做出来，但其它问难度就太大了。
总之整份试题难度比2011年试题难度略显偏大。
对2013年的教学工作起到较好的导向作用。
典型题分析9.本题主要考察向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，两角和的余弦公式，锐角三角函数定义。
解：解法一：由AB AF = cos AB AF FAB ∠=cos =AF FAB DF ∠ 。
∵AB =DF =1DF =。
∴1CF =。
记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。
又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =。
∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF θαβαβαβ+- )=cos cos sin sin =121AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯=解法二 ：本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。
10.本题主要周期函数的性质。
最关键的一步是()()11f f -=解：∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，即21=2b a +-+①。
又∵311=1222f f a ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴141=23b a +-+②。
高考数学真题试卷分析报告
高考数学真题试卷分析报告为了更好地了解高考数学真题的命题特点和考生答题情况，我们进行了一次深入的分析研究。
通过对历年高考数学真题试卷的梳理和统计，我们得出了以下报告，希望能为广大高中生在备战高考数学中提供一定的参考和帮助。
一、选择题分析高考数学试卷中的选择题一直是考生得分的重要突破口。
我们发现，选择题中以代数、函数、图形几何和概率统计为主，常规思维题和灵活应用题并重的特点依然明显。
对于代数题，考查的主要内容包括方程、不等式、函数和数列等，多为基础题型，较为简单。
而图形几何部分则主要考察平面几何和立体几何，其中涉及到的知识点较为繁多，需要考生具备较强的几何直观和分析能力。
在题量上，选择题基本上占据了试卷的一半左右，考查的知识面相对较广，但难度适中，适合考生快速把握，争取满分。
二、填空题分析填空题在高考数学试卷中也占据着一定的比重，主要考察考生对数学知识的掌握和应用能力。
填空题题目结构相对简单，通常为简单代数式的运算和变形，或者直接利用特定公式计算或推理。
这部分题目需要考生熟练掌握基础知识，灵活运用，尤其在易错题上需要注意审题和解题思路，避免低级错误导致失分。
三、解答题分析解答题在高考数学试卷中的比重相对较大，难度也相对较高。
主要考查考生的数学建模、证明推理和实际问题应用能力。
解答题覆盖了代数、几何、概率统计等多个模块，需要考生全面掌握知识，具备扎实的数学基础和逻辑推理能力。
在解答题中，常见的题型包括证明题、计算题和应用题，对于证明题需要考生灵活运用数学定理和方法，善于分析和推理；而计算题和应用题则需要考生熟练掌握计算方法，理解题意，合理建模。
四、总体分析综合分析高考数学试卷，难度适中，题目内容基本围绕高中数学课程标准，考查的知识面广，涵盖代数、几何、概率统计等多个模块。
整体来看，选择题占据试卷的主要比重，填空题和解答题相对较少，但难度更大。
考生应该在备考过程中注重加强基础知识的掌握，灵活运用所学知识解题，同时要多做真题，熟悉考题命制和命题特点，加强解题技巧和应试能力。
新课标高考理科数学试卷分析
新课标高考理科数学试卷分析一.题型、题量全卷包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷为选择题。
第Ⅱ卷为非选择题。
考试时间为120分钟，总分为150分。
试题分选择题、填空题和解答题.其中，选择题有12个小题，每题5分，共计60分；填空题有4个小题，每题5分，共计20分；解答题有8个题,其中第17题～21题各12分，第22～24题（各10分)选考一题内容分别为选修4—1（几何选讲)、选修4-4（坐标系与参数方程）、4-5（不等式选讲)，共计70分.全部试题都要求在答题卡上作答.题型、题量同教育部考试中心近几年命制的新高考数学理科卷相同。
二。
试题考查内容试题内容与考试要求都与2012年新课程高考《考试大纲》的考试内容与要求相吻合,考查的知识内容与方法分布与高中数学新课标和考试大纲所规定的相同.三.试题考查的知识和方法四. 2012年新课标高考理科数学试卷分析2012年全国新课标理科数学试卷突出主干、强化综合；突出应用、体现创新；强化思想、能力立意。
总体难度高于近几年全国新课标卷,平均分将明显下降，对2012年首次参加新课标高考的省份是一个不小的打击，试卷是否会是新课标卷的一个分水岭，值得思考。
（一）、小题综合、难度上升。
相比近几年新课标卷，小题更趋综合，难度提升，基本没有送分题,没有稳定情绪的题目.1、选择题部分。
第1题考查集合，就有一定难度，要求学生对集合语言有一定的理解，更要求学生具有一定的实际操作能力；第2题考查排列组合分配问题，这是教学的一个难点，学生多有恐惧心理,位置太靠前，造成学生一定心理负担，影响全卷解答，试题排列顺序值得商榷；第3题考查复数，结合命题真假命制,题目简单，有创新；第5题考查等比数例性质与运算，要求学生运算能力强、有方程思想;第六题考查程序框图，字母较多、结构复杂，难度相比往年上升一档;第8题考查解析几何，双曲线与抛物线综合,要求学生概念清楚，综合能力强；第11题考查立体几何，三棱锥外接球问题，空间想象能力要求非常高，难度高于往年相同位置的题目；第12题考查指对函数，可结合反函数的思想，利用导数的几何意义进行求解，显然，这部分超出了课标与考纲对反函数知识的要求；2、填空题部分。
试卷分析报告(通用)
试卷分析报告（通用）试卷分析总结篇一本次测试卷在难度、结构、题型等方面与以前的测试卷基本保持一致，下面就本卷特点、学生答题得失分析、对今后的启示等方面作些分析、谈点看法。
一、试题特点本卷分为三大块，综合考察了学生各方面的能力。
全卷考查的三大块、知识点及分数见下表：略综观这份试卷，体现以下特点：1、试卷强调基础。
从以上对积累与运用的考查类型的列举不难看出，试卷强调学生应全面掌握知识、重点把握基础。
2、试卷重视以人为本、强调情感熏陶。
无论是《鸟的天堂》的阅读，还是课外阅读，都有意识的将情感的熏陶贯穿其中，让学生在学习中学做人、在考试中被感动。
3、命题贴近学生的思想和生活实际，使他们有话可说。
要求以“感动”为话题作文，内容范围比较宽泛，可写物、人或事件，学生个个有话说，有内容写，给予学生广阔的、自由发挥空间，有利于学生表达自己的主观感受，能引发学生的真情实感。
二、批改中发现的问题。
1、学生对成语意思掌握不够熟练，因此容易张冠李戴，引号的用法不够明确。
文学常识掌握较差，词语的感情色彩理解不够，古诗名句的默写中易出错别字。
2、课内阅读出自本册略读课文，但学生掌握情况不容乐观。
3、作文时详略的把握，主题的凸显、句子的训练都有待进一步提高。
4、试卷中共有五处错误。
其中看拼音写生字共两处拼音误写，其余题目共三处，影响学生答题，建议加强校对。
5、病句的判断较为隐蔽，大多数学生不知所云。
对说明方法的判断，建议不要从记忆的角度去考查，从理解的角度考查更能显现学生掌握情况。
三、试卷对今后教学的启示1、注重对学生基础知识的积累。
万丈高楼平地起，日常教学中应注重基础的积累，同时，注意积累的多样化，注重从各个不同方面给学生充实语文知识。
2、加强学生的阅读辅导。
相信所有老师对学生课内阅读都能做得无可挑剔，但是，学生语文知识的掌握，并不全靠老师讲解，真正的高分学生是一些喜欢阅读、喜欢看课外书的孩子。
在课外书中，学生能接触到更多的词语，能欣赏到更多优美而不拘一格的句子，能得到与课文不一样的人生体验，自然能促进学生语文知识的长促进步。
(完整版)2012年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）（2012•重庆）在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7B．15 C．20 D．25考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，∴a2+a4=a1+a5=6，∴S5=（a1+a5）=故选B．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，熟练运用性质是关键．2．（5分）（2012•重庆）不等式≤0的解集为（）A．B．C．D．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：由不等式可得，由此解得不等式的解集．解答：解：由不等式可得，解得﹣＜x≤1，故不等式的解集为，故选A．点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．3．（5分）（2012•重庆）对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是（）A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心考点：直线与圆的位置关系．专题：探究型．分析：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x2+y2=2内，故可得结论．解答：解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在∵（0，1）在圆x2+y2=2内∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在．4．（5分）（2012•重庆）的展开式中常数项为（）A．B．C．D．105考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：在的展开式通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求得展开式中常数项．解答：解：的展开式通项公式为T r+1==，令=0，r=4．故展开式中常数项为=，故选B．点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5．（5分）（2012•重庆）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1D．3考点：两角和与差的正切函数；根与系数的关系．专题：计算题．分析：由tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解答：解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2，则tan（α+β）===﹣3．故选A点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．6．（5分）（2012•重庆）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．10考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：由两个向量垂直的性质可得2x﹣4=0，由两个向量共线的性质可得﹣4﹣2y=0，由此求出x=2，y=﹣2，以及的坐标，从而求得||的值．解答：解：∵向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则有2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，解得x=2，y=﹣2，故=（3，﹣1 ）．故有||==，故选B．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．7．（5分）（2012•重庆）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（）A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：由题意，可由函数的性质得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数的周期性即可得出f（x）为[3，4]上的减函数，由此证明充分性，再由f（x）为[3，4]上的减函数结合周期性即可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数即可得出f（x）为[0，1]上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴若f（x）为[0，1]上的增函数，则f（x）为[﹣1，0]上是减函数，又∵f（x）是定义在R上的以2为周期的函数，且[3，4]与[﹣1，0]相差两个周期，∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为[3，4]上的减函数，故充分性成立．若f（x）为[3，4]上的减函数，同样由函数周期性可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为[0，1]上的增函数，故必要性成立．综上，“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的充要条件．故选D．点评：本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由那个条件到那个条件的证明是充分性，那个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错误．8．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）考点：函数在某点取得极值的条件；函数的图象．专题：计算题．分析：利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．解答：解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．故选D．点评：本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应用．9．（5分）（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（1，）D．（1，）考点：异面直线的判定；棱锥的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：先在三角形BCD中求出a的范围，再在三角形AED中求出a的范围，二者相结合即可得到答案．解答：解：设四面体的底面是BCD，BC=a，BD=CD=1，顶点为A，AD=在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：0＜a＜2 （1）取BC中点E，∵E是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE，所以在三角形AED中，AE=ED=∵两边之和大于第三边∴＜2得0＜a＜（负值0值舍）（2）由（1）（2）得0＜a＜．故选：A．点评：本题主要考察三角形三边关系以及异面直线的位置．解决本题的关键在于利用三角形两边之和大于第三边这一结论．10．（5分）（2012•重庆）设平面点集，则A∩B所表示的平面图形的面积为（）A．B．C．D．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；交集及其运算．专题：计算题；压轴题．分析：先分别画出集合A与集合B表示的平面区域，再画出它们的公共部分，最后利用圆的面积公式及图形的对称性，计算所求面积即可解答：解：∵⇔或其表示的平面区域如图，（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1表示以（1，1）为圆心，1为半径的圆及其内部区域，其面积为π∴A∩B所表示的平面图形为上述两区域的公共部分，如图阴影区域，由于圆和y=均关于y=x对称，故阴影部分面积为圆的面积的一半，即故选：D．点评：本题主要考查了二元不等式表示平面区域的知识和延伸，准确的画出两集合表示的平面区域是解决本题的关键，属基础题二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2012•重庆）若（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b=4．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由条件可得a+bi=1+3i，根据两个复数相等的充要条件求出a和b的值，即可求得a+b 的值．解答：解：∵（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，∴a+bi=1+3i，∴a=1，b=3，∴a+b=1+3=4，故答案为4．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，属于基础题．12．（5分）（2012•重庆）=．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：把要求的式子化为，即，再利用极限及其运算法则求得所求式子的值．解答：解：由于====，故答案为：．点评：本题主要考查极限及其运算法则的应用，把要求的式子化为，是解题的关键，属于基础题．13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：由A和B都为三角形的内角，且根据cosA及cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinA和sinB的值，将sinC中的角C利用三角形的内角和定理变形后，将各自的值代入求出sinC的值，由sinC，b及sinB的值，利用正弦定理即可求出c 的值．解答：解：∵A和B都为三角形的内角，且cosA=，cosB=，∴sinA==，sinB==，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，又b=3，∴由正弦定理=得：c===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．14．（5分）（2012•重庆）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：设出点的坐标与直线的方程，利用抛物线的定义表示出|AF|、|BF|再联立直线与抛物线的方程利用根与系数的关系解决问题，即可得到答案．解答：解：由题意可得：F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．因为过抛物线y2=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，所以|AF|=+x1，|BF|=+x2．因为，所以x1+x2=设直线l的方程为y=k（x﹣），联立直线与抛物线的方程可得：k2x2﹣（k2+2）x+=0，所以x1+x2=．∴∴k2=24∴24x2﹣26x+6=0，∴，∴|AF|=+x1=故答案为：点评：解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及掌握直线与抛物线位置关系，并且结合准确的运算也是解决此类问题的一个重要方面15．（5分）（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•=216，三门文化课中相邻排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，由此求得所求事件的概率．解答：解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为=72，②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•=216，③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为为一个整体，然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为=，故答案为．点评：本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）（2012•重庆）设，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：综合题．分析：（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，可得f′（1）=0，从而可求a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（x＞0），=，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极值．解答：解：（Ⅰ）求导函数可得∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．∴f′（1）=0，∴，∴a=﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（x＞0）=令f′（x）=0，可得x=1或x=（舍去）∵0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数递减；x＞1时，f′（x）＞0，函数递增∴x=1时，函数f（x）取得极小值为3．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的单调性与极值，正确求导是关键．17．（13分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）=，P（B k）=（k=1，2，3）（Ⅰ）记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（）+P（），利用互斥事件的概率公式即可求解；（Ⅱ）投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列与期望．解答：解：设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）=，P（B k）=（k=1，2，3）（Ⅰ）记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（）+P（）=×+=；（Ⅱ）投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3P（ξ=1）=P（A1）+P（）=P（ξ=2）=P（）+P（）== P（（ξ=3）=P（）==ξ的分布列为ξ 1 2 3P期望Eξ=1×+2×+3×=．点评：本题考查互斥事件概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，理解变量取值的含义，属于中档题．18．（13分）（2012•重庆）设f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的值域（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．专题：计算题；转化思想．分析：（I）由题意，可由三角函数的恒等变换公式对函数的解析式进行化简得到f（x）=sin2ωx+1，由此易求得函数的值域；（II）f（x）在区间上为增函数，此区间必为函数某一个单调区间的子集，由此可根据复合三角函数的单调性求出用参数表示的三角函数的单调递增区间，由集合的包含关系比较两个区间的端点即可得到参数ω所满足的不等式，由此不等式解出它的取值范围，即可得到它的最大值．解答：解：f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π）=4（cosωx+sinωx）sinωx+cos2ωx=2cosωxsinωx+2sin2ωx+cos2ωx﹣sin2ωx=sin2ωx+1，∵﹣1≤sin2ωx≤1，所以函数y=f（x）的值域是[]（II）因y=sinx在每个区间[]，k∈z上为增函数，令，又ω＞0，所以，解不等式得≤x≤，即f（x）=sin2ωx+1，（ω＞0）在每个闭区间[，]，k∈z上是增函数又有题设f（x）在区间上为增函数所以⊆[，]，对某个k∈z成立，于是有．解得ω≤，故ω的最大值是．点评：本题考查三角恒等变换的运用及三角函数值域的求法，解题的关键是对所给的函数式进行化简，熟练掌握复合三角函数单调性的求法，本题考查了转化的思想，计算能力，属于中等难度的题19．（12分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．专题：综合题；转化思想．分析：（I）由题意，由于可证得CD⊥平面A1ABB1．故点C到平面的距离即为CD的长度，易求；（II）解法一：由题意结合图象，可通过作辅助线先作出二面角的平面角∠A1DD1，然后在直角三角形A1D1D中求出二面角的余弦；解法二：根据几何体的形状，可过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，可得DB，DC，DD1两两垂直，则以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y 轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．给出各点的坐标，分别求出两平面的法向量，求出两向量的夹角即为两平面的夹角．解答：解：（I）由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB．又CD⊥AA1．故CD⊥平面A1ABB1．所以点C到平面A1ABB1的距离为CD==（II）解法一：如图1，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1．又由（I）知CD⊥平面A1ABB1．故CD⊥A1D，CD⊥D1D，所以∠A1DD1为所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角．因A1D为A1C在面A1ABB1中的射影，又已知AB1⊥A1C由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D．从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB 互余．因此∠A1AB1=∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A．因此AA1：AD=A1B1：AA1，即AA12=AD•A1B1=8，得AA1=2，从而A1D==2．所以Rt△A1D1D中，cos∠A1DD1===解法二：如图2，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，有DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．设直三棱柱的高为h，则A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h），B1（2，0，h），C（0，，0），C1（0，，h），从而=（4，0，h），=（2，，﹣h）由AB1⊥A1C，可得8﹣h2=0，h=2，故=（﹣2，0，2），=（0，0，2），=（0，，0）设平面A1CD的法向量为=（x1，y1，z1），则有⊥，⊥∴•=0且•=0，即，取z1=1，则=（，0，1）设平面C1CD的法向量为=（x2，y2，z2），则⊥，⊥，即且=0，取x 2=1，得=（1，0，0），所以cos＜，＞===，所以二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值点评：本题考查二面角的求法及点到面距离的求法，点到面的求法一般是作垂线，垂线段的长度即所求，二面角的余弦值的求法有两种，一种是几何法，找到二面角平面角所在的三角形，解三角形求出角的余弦值，第二种方法是现在比较常用的方法向量法，其特征是思维量小，计算量大，作题时对这两种方法要根据题设灵活选用20．（12分）（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2为直角，从而，利用c2=a2﹣b2，可求，又S=|B1B2||OA|==4，故可求椭圆标准方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0，利用韦达定理及PB2⊥QB2，利用可求m的值，进而可求直线l的方程．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0）∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即∵c2=a2﹣b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=|B1B2||OA|=∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20∴椭圆标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0①设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴，∵，∴=∵PB2⊥QB2，∴∴，∴m=±2所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x+2y+2=0和x﹣2y+2=0．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形的面积计算，综合性强．21．（12分）（2012•重庆）设数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a2S n+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若a2＞﹣1，求证，并给出等号成立的充要条件．考点：数列与不等式的综合；等比数列的前n项和；等比关系的确定；数列与函数的综合．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据S n+1=a2S n+a1，再写一式，两式相减，即可证得{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）当n=1或2时，等号成立，设n≥3，a2＞﹣1，且a2≠0，由（I）知a1=1，，所以要证的不等式可化为（n≥3），即证（n≥2），a2=1时，等号成立；再证明a2＞﹣1且a2≠1时，（）（）＞0，即可证得结论．解答：证明：（Ⅰ）∵S n+1=a2S n+a1，①∴S n+2=a2S n+1+a1，②②﹣①可得：a n+2=a2a n+1∵a2≠0，∴∵S n+1=a2S n+a1，∴S2=a2S1+a1，∴a2=a2a1∵a2≠0，∴a1=1∴{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）当n=1或2时，等号成立设n≥3，a2＞﹣1，且a2≠0，由（Ⅰ）知a1=1，，所以要证的不等式可化为（n≥3）即证（n≥2）a2=1时，等号成立当﹣1＜a2＜1时，与同为负；当a2＞1时，与同为正；∴a2＞﹣1且a2≠1时，（）（）＞0，即上面不等式n分别取1，2，…，n累加可得∴综上，，等号成立的充要条件是n=1或2或a2=1．点评：本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，考查叠加法的运用，需要一定的基本功，属于中档题．。
2012年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的（2．（5分）（2012•重庆）不等式≤0的解集为（）．．．．由不等式可得，解得﹣的解集为224．（5分）（2012•重庆）的展开式中常数项为（）B的展开式通项公式中，令的展开式通项公式为=0=5．（5分）（2012•重庆）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为==6．（5分）（2012•重庆）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）B，以及|=，==）且⊥，∥，则有，故|=7．（5分）（2012•重庆）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为8．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）9．（5分）（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的，，，AE=ED=．10．（5分）（2012•重庆）设平面点集B∵或y=故阴影部分面积为圆的面积的一半，即二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2012•重庆）若（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b=4．12．（5分）（2012•重庆）=．把要求的式子化为，即，再利用极限及其运算法===，故答案为：．把要求的式子化为13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=．cosA=，cosB==，sinB===sinAcosB+cosAsinB=×+×==得：==故答案为：14．（5分）（2012•重庆）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=．，+x|BF|=，所以）x+|AF|==故答案为：15．（5分）（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．节艺术课，则排法种数为（）=216三门文化课中相邻排列，则排法种数为=720解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有••=144而所有的排法共有=三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）（2012•重庆）设，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．由（Ⅰ）知，（，确定函数的单调性，即可求得函，∴由（Ⅰ）知，（17．（13分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．=（（（=（（（×+；（）（=（=×+2×+3×=．18．（13分）（2012•重庆）设f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的值域（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．）在区间﹣cos sin[][所以，解不等式得=[）在区间上为增函数⊆[．解得，故的最大值是19．（12分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．CD===2D==2，，从而，，h=2=，=2，的法向量为，则有⊥，⊥••，即，取=，的法向量为，则⊥，⊥，即=0=＜，＞=，20．（12分）（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．，为直角，从而|B||OA|=（Ⅰ）设椭圆的方程为，∴S=∴椭圆标准方程为；=，∴21．（12分）（2012•重庆）设数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a2S n+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若a2＞﹣1，求证，并给出等号成立的充要条件．时，等号成立，设（，∴等号成立，，所以要证的不等式可化为（时，时，与（即，等号成立的充要条件是。
(重庆卷)数学文解析版( 2012高考)
2012年普通高等学校招生统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）命题“若p 则q ”的逆命题是（A ）若q 则p （B ）若⌝p 则⌝ q （C ）若q ⌝则p ⌝ （D ）若p 则q ⌝（2）不等式102x x -<+ 的解集是为 （A ）(1,)+∞ （B ） (,2)-∞- （C ）（-2，1）（D ）(,2)-∞-∪(1,)+∞ 【答案】：C 【解析】：10(1)(2)0212x x x x x -<⇒-+<⇒-<<+ 【考点定位】本题考查解分式不等式时，利用等价变形转化为整式不等式解． （3）设A ，B 为直线y x =与圆221x y += 的两个交点，则||AB =（A ）1 （B （C （D ）2 【答案】：D【解析】：直线y x =过圆221x y +=的圆心(0,0)C 则||AB =2【考点定位】本题考查圆的性质，属于基础题． （4）5(13)x - 的展开式中3x 的系数为 （A ）-270 （B ）-90 （C ）90 （D ）270（5）sin 47sin17cos30cos17-（A ）-B ）12-（C ）12 （D【解析】：sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====【考点定位】本题考查三角恒等变化，其关键是利用473017=+（6）设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==- 且a b ⊥ ，则||a b +=（A（B（C）（D ）10 【答案】：B（7）已知2log 3log a =+，2log 9log b =-，3log 2c =则a,b,c 的大小关系是 （A ） a b c =< （B ）a b c => （C ）a b c << （D ）a b c >> 【答案】：B 【解析】：222213log 3log log 3log 3log 322a =+=+=，222213log 9log 2log 3log 3log 322b =-=-=，2322log 21log 2log 3log 3c ===则a b c =>【考点定位】本题考查对数函数运算．（8）设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是【解析】：由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-，()0f x '<，则()0xf x '>；2x >-，()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<，0x >时()0xf x '>【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题．（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1a 且长为a 面，则a 的取值范围是（A ） （B ） （C ）（D ）【答案】：A【解析】：2BE ==，BF BE <，2AB BF =【考点定位】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题．． （10）设函数2()43,()32,x f x x x g x =-+=-集合{|(())0},M x R f g x =∈>{|()2},N x R g x =∈<则M N 为（A ）(1,)+∞ （B ）（0，1） （C ）（-1，1） （D ）(,1)-∞ 【答案】：D【解析】：由(())0f g x >得2()4()30g x g x -+>则()1g x <或()3g x >即321x-<或323x ->所以1x <或3log 5x >；由()2g x <得322x -<即34x<所以3l o g 4x <故(,1)M N =-∞二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
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2012年重庆市高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的
2．（5分）（2012•重庆）不等式的解集为（）
．
4．（5分）（2012•重庆）的展开式中常数项为（）
．C D
6．（5分）（2012•重庆）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）．C D
示，则下列结论中一定成立的是（）
9．（5分）（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，），，）
，则A∩B所表示的平．C D．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）（2012•重庆）若（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b=_________．12．（5分）（2012•重庆）=_________．
13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=
_________．
14．（5分）（2012•重庆）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，
则|AF|=_________．
15．（5分）（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_________（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（13分）（2012•重庆）设，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直
于y轴．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
17．（13分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影
响．
（Ⅰ）求甲获胜的概率；
（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．
18．（13分）（2012•重庆）设f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的值域
（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．
19．（12分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；
（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．
20．（12分）（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过B1做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．
21．（12分）（2012•重庆）设数列|a n|的前n项和S n满足S n+1=a2S n+a1，其中a2≠0．
（I）求证：|a n|是首项为1的等比数列；
（II）若a2＞﹣1，求证：，并给出等号成立的充要条件．
2012年重庆市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的
（
2．（5分）（2012•重庆）不等式的解集为（）
．
由不等式
由不等式可得解得﹣＜故不等式的解集为
22
4．（5分）（2012•重庆）的展开式中常数项为（）
．C D
的展开式通项公式中，令
的展开式通项公式为
=
2
==
6．（5分）（2012•重庆）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）．C D
|
向量==）且⊥，∥，则有
，故
|=
7．（5分）（2012•重庆）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f
8．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）
9．（5分）（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，），，）
AE=ED=
∴
10．（5分）（2012•重庆）设平面点集
，则A∩B所表示的平．C D．
∵⇔
y=均关于
故阴影部分面积为圆的面积的一半，即
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）（2012•重庆）若（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b=4．
12．（5分）（2012•重庆）=．
把要求的式子化为，即，再利用极限及其运算法则求得所求式子的值．
===，
本题主要考查极限及其运算法则的应用，把要求的式子化为
13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=
．
cosA=，cosB=
sinA==，=，
×+×，
由正弦定理==．
故答案为：
14．（5分）（2012•重庆）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，
则|AF|=．
，
+x
，所以
）
x+
=
∴
∴
|AF|=+x
故答案为：
15．（5分）（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1
节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．
节艺术课，则排法种数为
节艺术课，则排法种数为=216，三门文化课中相邻排列，则排法种数为
=720
=216
若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，则排法种数为
而所有的排法共有
，
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（13分）（2012•重庆）设，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直
于y轴．
（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
知，（，=
求导函数可得
，∴，
）知，
（舍去）
17．（13分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影
响．
（Ⅰ）求甲获胜的概率；
（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．
，（
）
==
（
×=
（=
）（=
）=
×+2×+3×=
18．（13分）（2012•重庆）设f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的值域
（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．
=
上为增函数，此区间必为函数某一个单调区间的子集，由此可根据复合
）
x+sin
sin
[
[
≤=[
）在区间
⊆[
．解得，故的最大值是
19．（12分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点
（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；
（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．
=
=2D==2
=
，，，从而，，﹣
h=2，故，）=，，
=，则有⊥，⊥
∴=0且=0，即，则（
=⊥，⊥，即且=0，得，＞=，所以二面角的平面角的余弦值
20．（12分）（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过B1做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．
）设椭圆的方程为，
，利用，可求S=|B
利用）设椭圆的方程为，
，即
，∴
S=
椭圆标准方程为；
∴
∵
∴
，∴
∴
21．（12分）（2012•重庆）设数列|a n|的前n项和S n满足S n+1=a2S n+a1，其中a2≠0．
（I）求证：|a n|是首项为1的等比数列；
（II）若a2＞﹣1，求证：，并给出等号成立的充要条件．
时，等号成立，，
（
，∴
等号成立
，
（
与
时，与
（
累加可得
∴
，等号成立的充要条件是。