理论力学21

理论力学
第23讲
4. 均质圆柱开始时静止于水平台边上, = 0, 受 小扰动后无滑动的的滚下,试求园柱脱离平台时的 角。
应 用 问 题

C
解: 以圆柱为研究对象。 脱离前圆柱绕A作定轴转 动, 脱离时接触点的约束 反力变为零。脱离前， 由定轴转动微分方程有

A
FNA FA
C mg
JA = mgr sin (JA = 3mr2/2)
maCn =mg cos – FNA
式中
aCn= r2 = 4g(1－cos )/3
脱离时, FNA = 0, 解出脱离时的角为
= arc cos (4/7)
5. 均质杆OA可绕水平轴O转动,初始时刻与水平 成一不大的倾角0,无初速自由释放。当OA倒在 水平软垫上时,发现原在外杯里的小球竟在里面 一个杯子里。试解释这一现象。
例1. 图示绞车鼓轮的半径为r，绞车在常力偶M 的作用下拖动倾角为的斜面上的重物。重物的质 量为m, 与斜面间的动摩擦系数为f。试求鼓轮转过 角时作用于质点系的全部力做功的总和。
M

解: 系统受力如图示。 鼓轮转动时，作用于 质点系的做功的力有M、 mg和摩擦力F。 设当鼓轮转过角时， 重物运动的路程为s，则 作用于质点系的全部力 做功总和为
F =－k(r－l)r/r
W = F· dr =－k(r－l)(r · dr)/r
r· dr = d(r · r / 2) = d(r2/2) = rdr
W =－k(r－l)dr r2 k 2 2 W k (r l )dr [( r1 l ) ( r2 l ) ] r1 2
x
W =g(∑mi zi1－∑mi zi2 )
W = mg(zC1－zC2)
式中m =∑mi, zC1和zC2分别为质点系在位置1和 位置2的重心的z坐标。若令h =∣zC1－zC2∣表 示重心下降或上升的高度,则有
W = ±mgh 即重力的功等于质点系的总重量与其重心高度差 之乘积,重心降低为正,重心升高为负。 重力的功与路径无关,仅取决于重心的始末位置。
3g (sin 0 sin ) l
2
式中
h l (sin0 sin )
为A端下降的高度,而小球作自由落体运动,下降h时 的速度为
u
2gh
A
vA > u
mg
O

当0不大时, vA近似在垂直方向,因为 vA > u ,故 杆端A比小球下降得更快,小球将脱离外侧的杯子 铅直下落,最终落入内侧的杯子里。
1 2 T' mi vir 2
1 2 T mvC T' 2
1 2 T mvC T' 2
上式称为柯尼希定理(König’s theorem),即质点 系的动能等于其质心的动能与质点系相对于质心 运动的动能之和。
■ 刚体运动的动能
(1) 平动 因为 T' = 0, 故 (2) 定轴转动 T = mvC2/ 2
即作用于作转动刚体上的力的功等于该力对转 轴的矩对刚体转角的积分,当角位移与力矩转向 一致时W为正, 反之为负。 若 Mz(F) 为常量, 则有
W = Mz(F)(2－ 1)
■ 理想约束力的功
约束力的元功之和等于零的约束称为理想约 束(ideal constraint)。常见的理想约束有 （1）光滑固定面或辊轴约束(FN⊥dr) （2）光滑铰链支座或轴承约束(FN⊥dr) （3）刚性连接的约束(刚体内力)
A
应 用 问 题
O
0
解: 设OA=l, 杆的质量为m。时刻t, 杆与水平的夹 角为, 由定轴转动微分方程有
l ( JO = ml2/3 ) J O mg cos 2 1 J O d mgl cos d 0 0 2
A mg
O

t时刻A端的速度 vA l 3gh
1 1 1 2 2 T mi vi mi ( ri ) J z 2 2 2 2
(3) 平面运动
1 T' mi vi2r 2
设刚体的质心速度为vC , 相对质心转动的角速 度为, 则:
1 2 T' J C 2
1 2 1 2 T mvC J C 2 2

x
例3. 质量为m的均质细圆环半径为R，其上固结一 个质量也为m的质点A，细圆环沿水平面纯滚,图示 瞬时角速度为，试求系统的动能。 解：由运动学关系有
vC R,

vC
vA 2R
C
A
vA
故系统的动能 1 2 1 2 1 T mv A mvC J C 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 mR mR mR 2 2 2 2
vi = vC + vir
z
vi = vC + vir
vi2 = vC2 + vir2 + 2vC· vir
故质点系的动能为
mi
z'
C O x
x'
y'
y
1 1 1 2 2 T mi vi mvC mi vi2 r vC mi vir 2 2 2
定义为质点系相对质 心平动系运动的动能
谢谢!
1 1 1 2 2 2 J O 2m vC J CAB 2 2 2
式中
AB
vC
●
A
CAB

O
1 2 J O mr 3 1 J C 2m (2r ) 2 12
C
vB
B
因此
3 2 2 T mr 2
习题: P.323 11.4(2),11.5(1),(2)
A
O
0
理论力学
动能定理(一)
11 动能定理
11.1 质点和质点系的动能
■ 质点的动能
质点的动能(kinetic energy)定义为
T = mv2/ 2
即质点的动能等于其质量与速度平方的乘积的一 半。质点的动能是一个恒正标量。动能与动量一 样也是量度物体机械运动的一个物理量, 只不过 前者是标量, 而后者是矢量。
由于刚体内部各质点之间不可能发生相对位 移,所以刚体在运动过程中其内力作功的总和为 零。
（4）联结两个刚体的铰(相互间的约束力，大小 相等、方向相反,并具有相同的元位移dr) （5）不可伸长的柔绳约束 （6）刚体沿固定支承面作无滑动的滚动 接触点v = 0 W = F· vdt = 0
在计算质点系的力的功时, 理想约束 力不必考虑。
2mR
2 2
例4. 均质杆OC的质量为m，绕轴O转动的角速度为 ；均质杆AB的质量为2m, 滑块的质量不计。已知 OC=AC=CB=r，试求图示位置系统的动能。
A

O
C
B
解：如图所示，杆AB作平面运动，瞬心为CAB。 由运动学关系有：
vC r,
而
T TOC TAB
vA
AB
■ 合力的功
设作用于质点的合力 FR = ∑Fi, 则合力的功
W
M2
M1
FR dr
M2 M1
M2
M1
( Fi ) dr

Fi dr Wi
即作用于质点的合力在某一段路程上所作的功等 于各分力在同一段路程上所作功的代数和。
■ 作用于质点系的力系的功
作用于质点系的力系的总元功等于各力所做 元功之和，即 W = Wi = Fi· d ri
■ 弹性力的功
er=r/r F M 设质点 M 受 MO 方向的 弹性力作用，当质点的 矢径为r时，在弹性限度 内弹性力可表示为：
•
r1
r r2
F =－k(r－l)er
=－k(r－l)r/r 这里, k 为弹簧的刚度系 数, l为弹簧的原长, r/r 为沿质点矢径方向的单 位矢量。
O
弹性力的元功为 因为
k 2 W (1 22 ) 2
k 2 W (1 22 ) 2
式中
1 = r1－l ,
2 = r2－l
分别为始末位置弹簧的变形。由此可知, 弹性力的 功等于弹簧刚度与弹簧在始末位置变形的平方差之 乘积的一半。 特别要注意, 弹性力的功, 当初变形大于末变形时 为正, 初变形小于末变形时为负,而与弹簧实际受拉 伸还是压缩无关。
•
v
r
作用于质点的任意力F在 微路程元ds上所做的功称为 元功(elementary work),记为 W = F· dr = F· vdt 变力在任意一段曲线路 程上的功则为
x
W
M2
在直角坐标系中的解析表达式为
M1
F dr
W
ห้องสมุดไป่ตู้M2
M1
( Fx dx Fy dy Fz dz )
动能的单位与功的单位相同,在国际单位制中 都是焦耳(J), 1J = 1N· m。
■ 质点系的动能
质点系的动能定义为系内各质点的动能之和,即
1 2 T mi vi 2
质系动能的计算, 常常可以利用柯尼希定理来 加以简化。 设质点系的质心为C, 第i个质点的质量为mi,相 对质心平动系的速度为vir,则它的绝对速度为:
11.1.2 常见力的功
■ 重力的功
质点的重力的功
z2 z1
W
M2
M1
( Fx dx Fy dy Fz dz )
W mgdz mg ( z1 z2 )
z • M1(x1,y1,z1) • • mg M 2(x2,y2,z2) y 若一质点系从位置1→位 置2,则重力所做的总功为 W =∑mi g(zi1－zi2) = ∑mi gzi1－∑mi gzi2