理论力学期期末考试试卷

物理与电信工程学院2006 /2007学年（2）学期期末考试试卷
《理论力学》 试卷（A 卷）
专业 物理教育 年级 2005 班级 姓名 学号
题号 一 二 三 四 五
六 七 八 总分 得分
一、 单项选择题 (每小题4分，共32分)
1 在自然坐标系中，有关速度的说法，正确的是（ ） A 只有切向分量； B 只有法向分量；
C 既有切向分量，又有法向分量；
D 有时有切向分量，有时有切向分量。

2 确定刚体的位置需要确定（ ）
A 刚体内任意一点的位置；
B 刚体内任意两点的位置；
C 刚体内同一条直线上任意两点的位置；
D 刚体内不在同一条直线上任意三点的位置
3 关于刚体惯量积，正确的说法是（ ）
A 有具体物理意义；
B 跟所选坐标系无关；
C 坐标轴选惯量主轴时惯量积也不为零；
D 没有具体物理意义。

4 平面转动参考系的角速度为ω，对运动质点产生牵连速度r ω⨯，一质点相对该参考系速度为v '，转动和相对运动相互作用而产生科里奥利加速度，则下列说法正确的是（ ） A 牵连速度r ω⨯改变相对速度v '的方向，相对速度v '也改变牵连速度r ω⨯的方向从而
产生科里奥利加速度2v ω⨯；
B 牵连速度r ω⨯改变相对速度为v '的方向而相对速度v '改变牵连速度r ω⨯的大小从
而产生科里奥利加速度2v ω⨯；
C 牵连速度r ω⨯改变相对速度为v '的大小，相对速度v '改变牵连速度r ω⨯的方向从而
产生科里奥利加速度2v ω⨯；
D 牵连速度r ω⨯改变相对速度v '的大小，相对速度v '也改变牵连速度r ω⨯的大小从而
产生科里奥利加速度2v ω⨯。

5关于质点组的机械能，下列说法正确的是：（ ） A 所有内力为保守力时，总机械能才守恒； B 所有外力为保守力时，总机械能才守恒；
C 只有所有内力和外力都为保守力时，总机械能才守恒；
D 总机械能不可能守恒。

6 真实力与惯性力的区别（ ） A 两者都有施力物体和反作用力；
B 真实力有施力物体和反作用力，而惯性力有施力物体，但无反作用力；
C 惯性力无施力物体，但有反作用力；
D 惯性力无施力物体，也无反作用力。

7 一质点在平面转动参考系中运动，受到的惯性力有（ ）
A 离心惯性力和因平面转动参考系作变角速转动引起的惯性力；
B 科里奥利力和因平面转动参考系作变角速转动引起的惯性力；
C 离心惯性力、科里奥利力和因平面转动参考系作变角速转动引起的惯性力；
D 离心惯性力和科里奥利力。

8一质点在有心力作用下沿θ
cos 1)
1(2e e a r +-=椭圆运动。

式中r 和θ是以椭圆焦点为原点、长
轴为极轴的极坐标，a 表示半长轴；e 表示偏心率且10<<e ，则质点在近日点处和远日点处的速率之比为：（ ）
A e e +-11；
B e
e
-+11； C e -1； D e +1。

二 填空题（每小题3分，共24分）
1 相对质心参考系，质点组内各质点惯性力所作功之和为 。

2 刚体的转动角速度大小为ω，在某时刻的转动瞬心为C 。

刚体上任意一点P 到转动瞬心为C 点的距离为r ，则P 点的线速度大小为 。

3 如果作用在力学体系上的诸约束反力在任意虚位移中所作的虚功之和为零，这种约束称为 。

4 在几何约束的条件下，用来表示力学体系独立变量的参数叫 。

5 在一光滑水平直管中有一质量为m 的小球，管绕过通过一端的竖直轴以恒定角速度ω转动，小球相对于管的线速度大小为v ，则小球所受的科里奥利力的大小为 。

6 质量为m 的质点在极坐标中的轨道方程为1cos p
r e θ
=+，其中,p e 为常数，则它受到的
力为 F = 。

7 设质点组中任一质点i P 相对某固定点O 的位矢为0r ，相对质心的位矢为i r '
，而质心相对O 的位矢为C r
，则
∑'i i r m = ；
8设平面极坐标系中i 和j 分别为径向和横向单位矢量，则： =dt i
d
， =dt
j
d
（用i 、j 和θ 表示）。

三 证明题（每小题8分，共16分）
1试证明：质点在有心力作用下必作平面运动。

（6分）
2质量为m 的质点随时间t 作一维运动，其运动方程为 0
ln(1)v x k t k
=+
其中0v 是初速度，k 为不为零的常数。

试证：作用在质点上的合外力为
2
m F v k
=-
其中v 是t 时刻的速度。

四 计算题（第一、二小题每小题9分，第三小题10分，共28分）
1 设椭圆规尺AB 的端点A 与B 沿OX 及OY 滑动，B 端以匀速度c 运动。

求椭圆规尺上M 点的坐标随时间的变化规律。

设θ=∠==OBA b MB a MA ,,。

2 一均匀圆柱体，质量为m 、半径为R ，放在倾斜角为θ的斜面上，圆柱体轴沿斜面的加速度为a ，圆柱体于斜面间的摩擦系数为μ，若θ小于某一临界角c θ，则圆柱体无滑动的沿斜面滚下。

（1）求c θ的值； （2）若c θθ<，求加速度a 。

（第1小题图） （第2小题图） （第2小题图）
3 质量M 为的滑块约束在水平的OX 轴上无摩擦地滑动，滑块上带有一个质量为m 的平面
单摆，摆长为l 。

滑块通过弹性系数为k 原长为0x 的弹簧和固定点O 相连。

用拉格朗日方程求体系的运动微分方程。

《理论力学》试卷（A ）评分标准与参考解答
一、单项选择题(每小题4分，共32分)
二、填空题（每空3分，共24分）
1 零； 2、r ω； 3、理想约束； 4 广义坐标； 5、2m v ω； 6、22
h m
pr -；
7 0； 8 j θ，i
θ
-。

三、推证题（每小题8分，共16分）
1、证：对有心力，r 与F
共线，有：
0=⨯F r
（1分）
故质点在有心力作用下角动量J
为一恒矢量，即：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=-=-321)()()(C x y y x m C z x x z m C y z z
y m （3分） 其中321,,C C C 为常数。

上面三式分别乘
z y x ,,，并相加，得：
0321=++z C y C x C
上式为一平面，表明质点只能在这个平面上运动。

（2分）
2 证：运动方程对时间求一次导数得
0kv v x k v t
==
+ （2分）
运动方程对时间再求一次导数得
22
2002
001()()kv kv v a x k v t k k v t k
==-=-=-++ （3分） 根据牛顿第二定律得质点所受合外力
2
v F ma m k
==- （3分）
四 计算题（第一、二小题每小题9分，第三小题10分，共28分）
1 解：M 点的坐标为：θθcos ,sin a y
b x ==
速度分量：θθθθsin ,cos a y b x
-== （2分） 而B 点坐标为：θcos )(,011
b a y x +==
c b a y
-=+-=⇒θθsin )(1 （2分） θ
θ
sin 1
b a
c +=⇒ ，1
sin d c dt a b θθ
⇒
=
+ 0
0sin t
c
d dt a b
θ
θθ⇒=+⎰⎰
cos 1,sin c t a b θθ=-
=+
（2分） x = (1)c
y a t a b
=-
+ （2分）
（第1小题图）
（第2小题图） 2 解：
（1）圆柱体受重力mg ，滑动摩擦力f 。

运动微分方程
sin mg f ma
fR I θβ-=⎧⎨
=⎩
（2分）
而cos f mg μθ=，212I mR =
，a
R
β= 得 cos 3mg f θ=，tan 3θμ= （2分）
仅当cos 3mg f θ≥，即tan 3
θ
μ≥时，圆柱体不滑动。

故
arctan(3)c θμ= （2分）
（2）若c θθ<，圆柱体只滚不滑，此时
2
sin 3
a g θ=
（3分）
3解：体系为滑块和单摆，自由度为2，取滑块坐标x 和摆球与竖直轴夹角θ为广义坐标。

则
滑块坐标（x ，0），摆球坐标（sin x l θ+，cos l θ），分别对时间求导数并相加，得 体系动能 22211
()cos 22T M m x ml mlx θθθ=
+++ （4分） 取OX 轴为势能零位置，则体系势能 201
cos ()2
V mgl k x x θ=-+- （2分） 拉格朗日函数
22220111
()cos cos ()222
L T V M m x ml mlx mgl k x x θθθθ=-=
++++-- （1分） 代入拉格朗日方程得
20()cos sin ()0
cos sin sin 0M m x ml ml k x x l x x g θθθθθθθθθ⎧++-+-=⎨+-+=⎩
（3分）。