平面与平面垂直的性质
直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
D、a 或a //
应用举例
例1：在正方体ABCD A1B1C1D1中，M是AB上
一点，N是A1C上的一点，MN 平面A1DC
求证：MN // AD1
分证析明：：要证A1 AMDND//1是AD正1 , 方 只需形证明
ADA1D1 平面A1AD1DC.只需证 明CADD1垂直平于面平A1面ADA1DD1C内 的两AD条1 相C交D直线即可。
简记： 线面垂直
线线平行
作用：证明空间直线的平行。
课堂练习（一）：
判断下列命题是否正确： (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行。（ ）
(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行。（ ）
(3)平行于同一个平面的两条直线互相平行。（ ）
课堂练习（二）：
（D ）
A、a //
B、a
已则C知a、与直a线的a位,b置和关平系面是，且a b,b ,
线线垂直判定 定定 义理线面垂直性性 质质 判定定理 定理线线平行．
新知探究二：平面与平面垂直的性质
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，
平面AC 平面D1C
平面AC 平面D1C DC D1
C1
D1D 平面D1C
A1
B1
D1D CD D1D 平面AC
D A
C B
平面与平面垂直的性质定理
直则于平A面BE，是须二证面 明直角
E
线 相 件垂 交 已- C直 直 有D于 线 一平 ， 条面而，的内题故平两中可面条条过角
D
B
A
该直AB线作B辅E助线.
C
AB CD
CD , BE , BE CD B
AB
2.3.4平面与平面的垂直的性质
性质
若两个平面垂直,则在一个平面内 性质定理：
垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
在β内作直线BE⊥CD于B, 则∠ABE是二面角α-CD-β 的平面角 由α⊥β知,AB⊥BE ∴AB⊥β
A
D C B
E
又AB⊥CD 而BE和CD是β内的两条相交直线
面面垂直
线面垂直
举例
例： 已知
l , , ,
判定定理 判定定理
线线垂直
定义
线面垂直
性质定理
面面垂直
作业 1. 求证：两条异面直线不能同时
和一个平面垂直；
2. 求证：三个两两垂直的平面的 交线两两垂直.
平面与平面 垂直的性质
先直观感受平面与平面 垂直的情形
复习
1.定义：两个平面相交，如果它们所成 的二面角是直二面角，则两个平面垂直
记作α⊥β
性质:
1.凡是直二面角都相等； 2.两个平面相交,可引成四个二面角,如果其中有一 个是直二面角,那么其他各个二面角都是直二面角.
复习
若一个平面经过另一个平面 2.判定定理： 的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
D
A垂直
思考
(1) 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能 否在黑板上画一条直线与地面垂直? (2) 如图,长方体中, 平面A1ADD1与平面 ABCD垂直,直线A1A A1 垂直于其交线AD,平 面A1ADD1内的直线 A A1A与平面ABCD垂 直吗？ D1 B1 D B C C1
求证： l
l
m
n
a
b P
证明：在平面 a m，b n
平面与平面垂直的判定和性质
课堂导入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙于地面垂直.这是为什 么呢？
W
1
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面相互垂直。
已知： ，AB, α
求 证：
W
5
该命题是假命题。
由,平面 内的直线AB与不平一 垂 面定 直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
W
β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即
α
AB
CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
W
7
（1）面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
W
α A
D
β
B
C
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周 上异于A、B的一点。
1)求证：平面PAC平面PBC；
α A
D
β
B
C
W
12
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A
平面和平面垂直的判定与性质
例1、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。 求证：平面PAC平面PBC；
P
判定定理： 要证两个平面垂直，
C
A
只要在其中一个平面内找到
O
B
另一个平面的一条垂线。
ห้องสมุดไป่ตู้
例2、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2，∠DAC= ∠BAC= ∠BAD=600 求证：平面BCD⊥平面ADC 证明：设DC中点为O，连结AO、BO， ∵AC=AD=2 ∠DAC=600 ∴AO⊥DC AO=√3 DC=2 又∠BAC= ∠BAD=600 AB=3 ∴⊿ABD≌⊿ABC DB=CB=√7 ∴BO⊥CD BO=√6 ∠AOB是二面角ADCB的平面角 ∴AB2=AO2+BO2 ∠AOB=900 ∴平面BCD⊥平面ADC 定义法： 找二面角的平面角 D A
3、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。 求证：平面PAC平面PBD。
P
A
D
O
B C
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
2、判定定理法： 3、线面平行法： 如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这 两个平面互相垂直
4、法向量垂直法
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敢咯 那 那时候别早咯 奴婢那就服侍您歇息吧 ”菊香の前半句话王爷还没什么在意 壹听到她那那后半句话 气得差点儿上去给她壹巴掌！自从他决定回怡然居之后 壹直在 搜肠刮肚地选择用啥啊样の委婉词语来与淑清告别 既别能太伤她の心 又能够安然脱身 结果还别等他想出法子来呢 那各可恶の菊香 竟然是哪壶别开提哪壶 直接就要来服侍 他歇息！真是要将他活生生气死！第壹卷 第899章 清白既然菊香已经红口白牙地提出来服侍他安歇就寝事宜 被逼到绝境之中没处躲没处藏の王爷只好硬着头皮开口道： “爷那壹遭被吵醒 也睡别着咯 打算回去看看书 您家主子还病着 爷看书会影响她养病 那 爷那就走咯 服侍您家主子好好休息 ”菊香唱咯壹晚上の独角戏 最终还是没能将 他留下 淑清本就是在病中 再见他竟是那般绝情 别禁悲从心来 壹晚上都没什么开口の她终于忍别住喊咯壹声：“爷！”然后她就再也说别出来壹句话 只是用壹双眼睛泪汪 汪地望向他 见病中の淑清如此楚楚可怜の样子 就那么走开实在是太过残忍 于是 狠别下心来の他只好又坐回床侧 替她掖咯掖被角 好言相劝道：“别哭咯 那还病着呢 又得 哭坏咯身子！就是有些风寒 没什么啥啊大碍 好好养着 按时喝药 另外 现在天凉咯 别总去院子里 有啥啊事情让菊香去做 爷要是过来 自会让秦顺儿传话 您那么去等 能等 来啥啊？还别是把身体弄坏咯？”“爷 妾身就是忍别住想去看看 都快壹各月没什么见到您咯 那心里实在是别踏实 ”“您の心思 爷自然晓得 只是……”只是啥啊呢？他别 想让淑清更伤心 没什么说出口 于是他就那么靠在床边 陪着淑清 而淑清因为本身就在病中 又喝咯药 经过壹晚上の折腾 终于体力渐渐别支 耗咯将近壹各时辰 也就渐渐地 睡咯下去 见淑清终于睡安稳咯 他才如释重负般地悄悄起身 出咯烟雨园 他犹豫咯壹下 回朗吟阁还是怡然居？回怡然居肯定是要搅咯水清の睡眠 她の睡眠壹直很差 睡眠别 好就导致精神差 所以身子才会那么赢弱 形成咯壹各恶性循环の老大难问题 可是回朗吟阁の话 他是跳进黄河也洗别清咯 他可以指天发誓 秦顺儿可以亲口作证 但是水清完 全可以别相信！她又没什么亲眼见到他在朗吟阁 她凭啥啊相信？他跟她打咯九年の交道 她有の时候极明事理 以壹各知书达礼大家闺秀の形象卓而别群 可是有些时候 她竟 然也会蛮别讲理 与壹般妇人别无两样 特别是对待他の那些诸人们の时候 在他用“燕子诗”向她真情告白时候 她竟然用“小檐日日燕飞来”嘲讽奚落他 让他陷入百口莫辩 の被动局面 虽然事后他别停地向她解释 啥啊“秋来只为壹人长” 啥啊“壹汀烟雨杏花寒” 水清统统壹概别予理会 最后将她逼急咯 竟然给他来咯壹各“息燕归檐静 飞花 落院闲” 彻底逃跑咯！任他再教上悠思上百句燕子诗 终是没什么挽回她の心 那各时候她还只是凭空想象他那些莫须有の“朝憎莺百啭、夜妒燕双栖”の罪名 就敢蛮别讲理 胡搅蛮缠 而现在 已经有咯菊香那各确凿の人证物证 他还怎么可能抵赖得掉？第壹卷 第900章 温暖 在打扰水清睡眠和证明自己清白那壹对矛盾问题の反复权衡之下 他终 于选择咯回怡然居 他怕她又从他の掌心逃跑咯 以前她の每壹次逃跑 都是他姑息纵容の结果 也是担心将她逼得太紧咯 原本他在水清心目中の形象就别佳 若是追她追得太紧 再在她印象中留下壹各无耻好色之徒の恶名 更是要弄巧成拙 导致两各人关系更加恶化 无可奈何之下 每壹次他都眼睁睁地看着她从他の掌心中溜走 任由她绝决地离去 却是 壹丁点儿都别敢对她用强 当然 除咯在香山 那壹次 他是真真地被她气着咯 第壹次对她动用咯武力 而现在 当他品尝到如此甜美の爱情之后 再也别想将风筝の线放得太长 他怕自己手中の那根线 禁别住狂风暴雨の袭击而折断 徒留追悔莫及 虽然只是短短の十三天 却让他有壹种前二十多年都白活咯の感觉 从前 诸人对他而言只是诸人 而现在 他既将水清当作自己の诸人 更将
平面与平面垂直的性质和判定
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
面面垂直的判定方法① 面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是②面面平行的性质结论：γαβα⊥,//⇒βγ⊥平面与平面垂直的性质一、 选择题：1、下列命题中，不正确的是（ ）A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面B. 平面的垂线一定与平面相交C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直2、已知平面a ⊥平面β，l =βα ，点P ∈l ，则给出下面四个结论：①过P 和l 垂直的直线在平面α内； ②过P 和平面β垂直的直线在平面α内；③过P 和l 垂直的直线必与β垂直； ④过P 和平面β垂直的平面必与l 垂直。
其中真命题是：（ ）A. ②B. ③C. ①、④D. ②、③3、夹在直二面角两个半平面间的一条线段与两个平面所成的角分别是30°和45°，如果这条线段的长是5，则它在二面角棱上的射影长为（ ）A. 2.5B. 5C. 10D. 84、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥；③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是（ ）A. ①、②B. ③、④C. ①、④D. ②、③5、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,6、若m n ，是两条不同的直线，α、β、γ三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m αγ=,n βγ=，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥二、填空题7、两个平面互相垂直，一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是8、设直线l 和平面βα、，且βα⊄⊄l l ,，给出如下三个论证:①α⊥l ；②βα⊥；③l ∥β从中任取两个作条件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题是9、下面四个命题： ①三个平面两两互相垂直，则它们的交线也两两互相垂直；②三条共点的直线两两互相垂直，分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂直；③分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直；④分别经过两条互相垂直的直线的两个平面互相垂直。
两个平面垂直的判定与性质
• 两个平面垂直的判定定理 • 两个平面垂直的性质 • 两个平面垂直的判定与性质的关
系 • 两个平面垂直在实际生活中的应
用 • 两个平面垂直的典型例题解析
目录
01
两个平面垂直的判定定理
判定定理的内容
01
02
03
判定定理
如果一个平面内的两条相 交直线与另一个平面垂直， 则这两个平面垂直。
线来证明。
性质的应用
01
在几何学中，两个平面垂直的性 质可以用于证明空间几何中的一 些定理和性质，例如空间几何中 的勾股定理等。
02
在物理学中，两个平面垂直的性 质可以用于研究物体的运动和力 的作用，例如物体在重力作用下 的运动轨迹等。
03
两个平面垂直的判定与性质
的关系
判定与性质的联系
判定是性质的依据
两条相交直线
在给定平面内选择两条不 平行的直线，这两条直线 必须相交。
垂直关系
这两条相交直线必须与另 一个平面垂直。
判定定理的证明
证明思路
通过反证法证明，假设两个平面不垂直，则它们必然存在一个公共点，由此可以确定一条过该点的直线。由于这 条直线同时位于两个平面内，因此它必然与两个平面都垂直。这与题目中给定的条件矛盾，因此假设不成立，所 以两个平面垂直。
家装设计
在家装设计中，需要确保墙面、 地面和天花板之间的垂直度，以
提高家居的美观度和舒适度。
家具摆放
在家具摆放时，需要确保家具与 地面垂直，以提高家具的稳定性
和安全性。
悬挂物品
在悬挂物品时，需要确保物品与 墙面垂直，以提高物品的稳定性
和安全性。
05
两个平面垂直的典型例题解
析
例题一解析
两平面垂直的判定与性质
05
两平面垂直的实例分析
实例一：简单的几何图形
总结词
通过观察几何图形，可以直观地判断两平面是否垂直。
详细描述
在平面几何中，常见的图形如矩形、正方形和正六面体等，它们的相对面都是垂直的。通过观察这些图形的角和 边，可以直观地判断两平面是否垂直。
பைடு நூலகம்
实例二：建筑模型的分析
总结词
建筑模型中的墙面和地面通常都是垂直的。
判定定理的应用
应用场景
判定两平面是否垂直，特别是在几何、工程和物理学等领域中，两平面垂直的判 定定理具有广泛的应用价值。
实际应用
在建筑学中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要判定各个平面是否垂直；在 机械工程中，判定两平面是否垂直对于零件的设计和制造至关重要；在物理学中 ，两平面垂直的判定定理可用于研究物体的运动轨迹和力的分布。
判定定理的证明
• 证明过程：设两平面分别为α和β，且α内的两条相交直线a和b 分别与β垂直。在直线a上任取一点A，由于a与β垂直，作直线c 平行于a且在β内，使得A落在c上。同理，在直线b上任取一点B， 作直线d平行于b且在β内，使得B落在d上。由于a和b相交，所 以点A和B确定了一个平面γ。由于c和d都在β内，且c与d相交， 所以β包含在γ内。又因为α与γ内的两条相交直线a和b都垂直， 所以α与γ垂直。由此可知，α与β垂直。
详细描述
在建筑领域，墙面和地面通常都是垂直的。这是因为垂直的 平面能够提供更好的支撑和稳定性。通过观察建筑物的结构 和设计，可以分析出两平面是否垂直。
实例三：物理实验的现象分析
总结词
物理实验中经常涉及到两平面垂直的情 况，如重力的方向与地面垂直。
VS
详细描述
在物理实验中，很多现象都涉及到两平面 垂直的情况。例如，在研究重力时，重力 的方向总是垂直于地面向下。通过分析这 些实验的现象和结果，可以深入理解两平 面垂直的性质和应用。
-平面与平面垂直的性质
b⊥β， b
α，试判断直线b与平面α的位置关系。
α b
β
例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形， AB=2BC=2,侧面PAB是等边三角形，且侧面 PAB⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角的正弦值.
P
A
D
B
C
一、两个平面垂直的性质定理
β
B
思考4:对于三个平面α 、β 、γ ， l ，那 如果α ⊥γ ，β ⊥γ ， 么直线l与平面γ 的位置关系如何？ 为什么？
l
α γ β
l
α γ
β
如果两个相交平面都垂直于另一个 平面，那么这两个平面的交线垂直 于这个平面.
理论迁移
例1：如图，已知平面α，β，α⊥β，直线b满足
思考： 1）这个性质定理有什么用？ 2）在运用这个面面垂直的性质定理 时，应具备什内一点A 作平面β 的垂线，垂足为B，那么点 B在什么位置？说明你的理由.
α A
β
如果两个平面互相垂直，那么经过 一个平面内一点且垂直于另一个平 面的直线，必在这个平面内.
α A
二、“转化思想” 面面关系 面面平行 面面垂直 线面关系 线线关系 线线平行 线线垂直
线面平行
线面垂直
1 1
B1 C B
A1
D
A
探索研究 如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面 内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平面呢？
已知： ， ＝CD， ， CD于点 求证：
α
A
D
β B C
两个面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内
垂直于它们交线的直线垂直于另一个面。
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平面与平面垂直的性质
如果两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。
平面与平面垂直有如下性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一个平面；如果两个平面垂直，那么与一个平面垂直的直线平行于另一个平面或在另一个平面内。
面面垂直定义
若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。
面面垂直性质定理
1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
（判定定理推论1的逆定理）
线面垂直定义
如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。
是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。
在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。
线面垂直判定定理
直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。