曲线与方程知识点题型梳理

曲线与方程知识点题型梳理

【要点梳理】

要点一：圆锥曲线的统一定义

当点P 到定点(,0)F c 的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c

c a a >>时，这个点的轨迹是

双曲线，方程为22221x y a b

-=（其中222

b c a =-），这个常数就是双曲线的离心率．

这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹．

当01e <<时，它表示椭圆； 当1e >时，它表示双曲线； 当1e =时，它表示抛物线． 其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线．

根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，

与焦点12(,0),(,0)F c F c -对应的准线方分别为22

,a a x x c c

=-=． 要点二：曲线与方程概念的理解

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程,0f x y =（）的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线C 上所有点的坐标都是方程,0f x y =（）的解； （2）以方程,0f x y =（）的解为坐标的点都在曲线C 上.

那么，方程,0f x y =（）叫做曲线C 的方程；曲线C 叫做方程,0f x y =（）的曲线. 要点诠释：

（1）如果曲线C 的方程为,0f x y =（），那么点00(,)P x y 在曲线C 上的充要条件为00,0f x y =（

）； （2）曲线C 可看成是平面上满足一定条件的点的集合，而,0f x y =（）正是这一定条件的解析表示.因此我们可以用集合的符号表示曲线C ：{(,)|,0}C x y f x y ==（）.

（3）曲线C 也称为满足条件,0f x y =（）的点的轨迹.定义中的条件(1)叫轨迹纯粹性，即不满足方程,0f x y =（）的解的点不在曲线C 上；条件(2)叫做轨迹的完备性，即符合条件的所有点都在曲线上.“纯粹性”和“完备性”是针对曲线C 是否为满足方程,0f x y =（）的点的轨迹而言. （4）区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程是“数”． 要点三：关于坐标法与解析几何

1.解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科.

2.解析几何的两个基本问题：

①根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； ②通过方程，研究平面曲线的性质.

3.根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是同一关系下的两种不同的表现形式.曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的的性质也完全反映在它的曲线上，这正好说明了几何问题与代数问题可以互相转化，这就是解析几何的基本思想方法，也就是数形结合，形与数达到了完美的统一.

我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，又称解析法. 定义：

在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x ，y ）所满足的方程(,)0f x y =表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法. 要点四：求曲线方程

①建系：建立适当的直角坐标系； ②设点：设动点坐标P(x,y)；

③列式：写出动点P 满足的几何条件，把条件坐标化，得方程F(x, y)=0；

④化简：化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解； ⑤证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线是。 判断点是否在曲线上的方法 把点的坐标代入曲线的方程：

点P(x 0，y 0)在曲线C ：f(x ，y)=0上00(,)0f x y ⇔= 点P(x 0，y 0)不在曲线C ：f(x ，y)=0上00(,)0f x y ⇔≠． 要点诠释：

①求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程.

②建系要适当，经常利用特殊点以及曲线的对称性，以尽可能方便写相关点坐标为基本原则，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单.

③根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式.仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M 有关的相等关系，结合基本公式列出等式，并进行化简. ④化简前后解集没变可省略证明。但别忘记删去增加的或者补上丢失的解 要点五：求曲线的交点

联立f （x ，y ）=0与g （x ，y ）=0，方程组(,)0

(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩

的解即为两曲线的交点坐标，解的个数为交点的

个数

要点六：求轨迹方程的常用方法：

求动点的轨迹方程既是平面解析几何中的主要问题之一，又是高考中的一个热点问题.求动点轨迹方程的方法主要有以下几种 直接法；间接法；参数法． 经典例题透析

类型一：曲线与方程的概念

例1. 已知坐标满足方程,0f x y =（）的点都在曲线C 上，那么（ ）. （A ）曲线C 上点的坐标都满足方程,0f x y =（） （B ）坐标不满足方程,0f x y =（）的点都不在曲线C 上 （C ）不在曲线C 上的点，其坐标必不满足方程,0f x y =（）

（D ）不在曲线C 上的点，其坐标有些满足方程,0f x y =（），有些不满足方程,0f x y =（）. 【变式】 “曲线C 上的点的坐标都满足(,)0F x y =”是“方程(,)0F x y =是曲线C 的方程”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 例2. 已知方程2

2

()()36x a y b -+-=的曲线经过点O （0，0）和点A （0，－12），求a 、b 的值. 【变式1】曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ．

【变式2】已知02απ≤<，点(cos ,sin )P αα在曲线2

2

(2)3x y -+=上，则α的值为（ ） A ．

3π B ．53π C ．3π或53π D ．3π或6

π

例3.求证：圆心为(,)P a b 、半径等于r 的圆的方程是2

2

2

()()x a y b r -+-=.

【变式1】证明圆心在坐标原点，半径为5的圆的方程是x 2+y 2=25，并判断点M 1(3,-4),2M 是否在这个圆上.

类型二：坐标法求曲线的方程

例4．已知点A 与B 为平面内两定点，若平面内动点P 到点A 与B 的距离之比||1

||2

PA PB =，求动点P 的轨迹.

【变式1】已知点A (10,0)与圆2

2

:16O x y +=，设点P 是圆O 上一动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程.