数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值分析第四版习及答案
Yn
Yn1
1 100
783
( n=1,2,…)
计算到 Y100 .若取 783 ≈27.982(五位有效数字),试问计算Y100 将有多大误差?
7. 求方程 x2 56x 1 0 的两个根,使它至少具有四位有效数字( 783 ≈27.982).
8.
当 N 充分大时,怎样求
N
1
1 x2
dx
24.
将
f
(x)
sin
1 2
x 在 1,1 上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼
近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.
25. 把 f (x) arccos x 在 1,1 上展成切比雪夫级数.
26. 用最小二乘法求一个形如 y a bx2 的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.
第四版 数值分析习题
第一章 绪 论
1. 设 x>0,x 的相对误差为δ ,求ln x 的误差.
2. 设 x 的相对误差为 2％,求 xn 的相对误差.
3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字:
x1* 1.1021, x2* 0.031, x3* 385.6, x4* 56.430, x5* 71.0.
19
25
31
38
44
xi
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
yi
27. 观测物体的直线运动,得出以下数据:
x2 C 0,1 的最佳平方逼近,并比较其结果.
22. f (x) x 在 1,1 上,求在 1 span 1, x2, x4 上的最佳平方逼近.
《数值分析》第四章答案
习题41. 给定x x f =)(在144,121,100=x 3点处的值，试以这3点建立)(x f 的2次(抛物)插值公式，利用插值公式115求的近似值并估计误差。
再给13169=建立3次插值公式，给出相应的结果。
解：x x f =)( 2121)(-='x x f ，2341)(--=''x x f ,2583)(-='''x x f ,27)4(1615)(--=x x f，72380529.10)115(=f1000=x ， 1211=x ， 1442=x ， 1693=x 100=y ， 111=y ， 122=y ， 133=y))(())(())(())(())(())(()(1202102210120*********x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----+----= )121144)(100144()121115)(100115(12)144121)(100121()144115)(100115(11)144100)(121100()144115)(121115(10)115(2----⨯+----⨯+----⨯=L=2344)6(1512)23(21)29(1511)44)(21()29)(6(10⨯-⨯⨯+-⨯-⨯⨯+----⨯72276.1006719.190683.988312.1=-+=))()((!3)()()(2102x x x x x x f x L x f ---'''=-ξ ，144100<<ξ )44115()121115()100115()(max 61)115()115(1441002-⨯-⨯-⋅'''≤-≤≤x f L f x 296151083615⨯⨯⨯⨯⨯≤-001631.0101631.02=⨯=- 实际误差 22101045.0)115()115(-⨯=-L f))()(())()(())()(())()(()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x L ------+------= ))()(())()(())()(())()((23130321033212023102x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y ------+------+ )169100()144100()121100()169115()144115()121115(10)115(3-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯=L )169121()144121()100121()169115()144115()100115(11-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)169144()121144()100144()169115()121115()100115(12-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)144169()121169()100169()144115()121115()100115(13-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)48()23(21)54()29(1511)69()44()21()54()29()6(10-⨯-⨯-⨯-⨯⨯+-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯= 254869)29()6(1513)25(2344)54()6(1512⨯⨯-⨯-⨯⨯+-⨯⨯-⨯-⨯⨯+ 723571.10409783.0305138.2145186.11473744.1=+-+= ))()()((!4)()()(3210)4(3x x x x x x x x f x L x f ----=-ξ，169100<<ξ)169115)(144115)(121115)(10115(101615241)115()115(73----⨯⨯⨯≤--L f )54()29()6(151016152417-⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯=- 0005505.0105505.03=⨯=-实际误差 321023429.0)115()115(-⨯=-L f 2. 设j x 为互异节点),,1,0(n j =求证： (1)k nj j k j x x l x =∑=)(0),,1,0(n k =;(2)0)()(0=-∑=x l x x j knj j ),,1(n k =。
数值分析(第四版)课后习题及答案
0.30
0.39
0.45
0.53
yj
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条插值 S (x) 并满足条件
i) S(0.25) 1.0000, S(0.53) 0.6868; ii) S(0.25) S(0.53) 0.
25. 若 f (x) C2 a,b, S (x) 是三次样条函数,证明
12. 在 1,1 上利用插值极小化求 1 f (x) tg 1x 的三次近似最佳逼近多项式.
13. 设 f (x) ex 在 1,1 上的插值极小化近似最佳逼近多项式为 Ln (x) ,若 f Ln 有界,
证明对任何 n 1,存在常数 n 、 n ,使
改用另一等价公式
ln(x x2 1) ln(x x2 1)
计算,求对数时误差有多大?
x1 1010 x2 1010 ; x1 x2 2.
14. 试用消元法解方程组
假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
s 1 ab sin c,
0c
15. 已知三角形面积 2
n
x
k j
j1 f (xj )
0,0k n2; an1 ,k n1.
15. 证明 n 阶均差有下列性质:
i) 若 F (x) cf (x) ,则 F x0, x1,, xn cf x0, x1,, xn ;
ii) 若 F (x) f (x) g(x) ,则 F x0, x1,, xn f x0, x1,, xn g x0, x1,, xn .
5.
设 xk
x0
数值分析答案第四章
令
f (x) = x ，则
0 = −1 + 2 x1 + 3 x2
令 f ( x ) = x 2 ，则
2 2 = 1 + 2 x12 + 3 x2
从而解得
⎧ x1 = −0.2899 ⎧ x1 = 0.6899 或⎨ ⎨ ⎩ x2 = 0.5266 ⎩ x2 = 0.1266
令 f ( x ) = x 3 ，则
∫
1
−1
f ( x)dx = ∫ x3 dx = 0
−1
1
[ f ( −1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x2 )] / 3 ≠ 0
故
∫
1
−1
f ( x)dx = [ f (− 1) + 2 f ( x1 ) + 3 f ( x2 )] / 3不成立。
h
因此，原求积公式具有 2 次代数精度。 （4）若
7 h T8 = [ f ( a) + 2∑ f ( xk ) + f ( b)] = 0.11140 2 k =1
复化辛普森公式为
7 7 h S8 = [ f ( a) + 4∑ f ( x 1 ) + 2∑ f ( xk ) + f ( b)] = 0.11157 k+ 6 k=0 k =1 2 1
令 f ( x ) = x 2 ，则
b 1 3 3 2 f ( x ) dx = ∫a ∫a x dx = 3 (b − a ) b −a 1 3 3 [7 f ( x0 ) + 32 f ( x1 ) + 12 f ( x2 )+ 32 f ( x (b − a ) 3 )+ 7 f ( x 4 )]= 90 3 b
数值分析课程第五版课后习题答案
=
1 = 1.7863 × 10 − 2 。 55.982
8、当 N 充分大时，怎样求 ∫ [解]因为 ∫
N +1 N
1 dx ？ 1+ x2
1 dx = arctan( N + 1) − arctan N ，当 N 充分大时为两个相近数相 1+ x2
减，设 α = arctan( N + 1) ， β = arctan N ，则 N + 1 = tan α ， N = tan β ，从而 tan(α − β ) = 因此 ∫
5、计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径 R 允许的相对误差是多少？ 4 ε * ( π (R* )3 ) 4 3 [解]由 1% = ε r* ( π ( R * ) 3 ) = 可知， 4 3 * 3 π (R ) 3 ′ 4 4 4 ε * ( π ( R * ) 3 ) = 1% × π ( R * ) 3 = π ( R * ) 3 ε * ( R * ) = 4π ( R * ) 2 × ε * ( R * ) ， 3 3 3
ε * ( y n ) = 10ε * ( y n −1 ) = 10 n ε * ( y 0 ) ，
1 1 从而 ε * ( y10 ) = 1010 ε * ( y 0 ) = 1010 × × 10 − 2 = × 10 8 ，因此计算过程不稳定。 2 2 12、计算 f = ( 2 − 1) 6 ，取 2 ≈ 1.4 ，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最 好？ 1 ( 2 + 1)
* r
x= x
*
ε ( x * ) = n( x * ) n −1 2% x * = 2n% ⋅ x * ，
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。
数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。
2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。
它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。
数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。
3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。
与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。
数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。
4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。
在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。
计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。
第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。
例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。
绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。
2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。
对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。
相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。
3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。
计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。
舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。
4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。
数值分析第四版习题及答案
第四版数值分析习题第一章绪论设x>O,x 的相对误差为S ，求In x 的误差. 设x 的相对误差为2%,求x n 的相对误差. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位 ，试指出它们是几位有效数字： x = 1.1021, x^ = 0.031, x^ = 385.6, x^ = 56.430, x^ = 7 1.0.利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限：(i)x *+x ；+x 4,(ii)x *x ；x ；,(iii )x ；/x ；,其中 x ；,x ；,x 3,x ；均为第 3题所给的数.计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少 ？设\)=28,按递推公式AY n =Y n d- _ .783100( n=1,2,…)计算到Y 00.若取7783衣27.982(五位有效数字)，试问计算^00将有多大误差？ 求方程X 2 -56X • 1 =0的两个根，使它至少具有四位有效数字 (■ 783沁27.982).\ ------ d x 当N 充分大时，怎样求N 1 x? 正方形的边长大约为 100 cm ,应怎样测量才能使其面积误差不超过 s *2设 2 假定g 是准确的，而对t 的测量有土 0.1秒的误差，证明当t 增加时s 的绝对 误差增加，而相对误差却减小. 序列｛yn｝满足递推关系y n _ 10y n _ 1(n=1,2,…)，若y0 _ X 2 1.41 (三位有效数字),计算到y 10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？计算f = c- 2 一1)6,取' 2 : 1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？f (x) =1 n (x X -1)，求 f(30)的值.若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大改用另一等价公式ln(x_ Jx 2 T) = -ln(x +Jx 2 +1)计算,求对数时误差有多大？1. 2. 3. 4.5. 6.7.8.9.10.11.12.13.21 cm1 (、2 1)61 (32 . 2)3,99 -70、2.?若根据(2.2)定义的范德蒙行列式，令证明V n (x)是n 次多项式,它的根是X 0^L ，X nJ ,且当x= 1 , -1 , 2时，f(x)= 0 , -3,4 ,求f(x)的二次插值多项式.给出cos x,0 ° < x 90。
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第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求枳公式所具有的代数精度：⑴J：/(X)必2 4-1/(一力 + 4/(°) + 仃(力)；⑵仁 /(g a AJ(-h) + 4/(0) + AJ(h);⑶\j(x)dx * [/(-1) + 2/(和 + 3/(X2)]/3;(4) J：f(x)dx * h[f(0) + /(/?)]/ 2 + 加[广(0) -/W；解：求解求枳公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
(1)若(l)f； a A_J\-h) + 4/(0) + \f(k)令f(x) = 1,则2h = A_l + A0 + A i令f(x) = x,则0 = -A_{h + Ajh令/W = X’，则-h5 = h2A L + h2A L3 t 1从而解得A=-ht 3令/ w=,则J：= J： X加=0心(一力+4/(°)+A/O)=of(x)dx= A^f(-h) + A>/(0) + AJ(h)成立。
令/(X) = X4 T 则f；/(g = ［；也= |/F2久J(-/?)+AJ(O)+A/3) = -^故此时，J： /Cgx 工A_J(-h) + 4/(0) + AJXh) 故J：& £/(—/?)+4/(°)+A/(/?) 具有3次代数精度。
⑵若］：/a 炖 Q A-J(.~h)+4/(°)+A/(/?)令f(x) = 1,则4/? = A】+ 人 + 4 令/(x) = x,则0 = -A_{h + AJh令/W = X’，则—h3=h2A.+h2A3 t〜从而解得\ = ~h< A =-h1 3A, = -ht 3令/W = V3,则f：/(忙=匸：也=0Ai/(-力)+A)/(°)+A/(A)=o4』(_/0+人/(0) +A/(/?)成立。
令f(X)= X” '则n：*软4/(—/0+人/(0)+仃(/0 = ¥，故此时，2ltrL /(xXv 丰A_JX-h) + 4/(0) + A/(/?) 因此，2ltr匚fWx a AJ(-/i) + 4/(0) + AJ(h) 具有3次代数精度。
⑶若- [/(-l) + 2/3) + 3/(X2)]/3J_』(x 皿=2 = [/(-1) + 2/(和 + 3/(xJ]/3 令/(x) = x,则0 =-1+2不+ 3^2令/W = X’，则2 = 1 + 2兀 + 3疋从而解得|\=—0.2899、抚= 0.6899< 或<比=0 5266 乙=0.1266令/(X)= X3 ,则£i/(A-Xr = £/Vr = 0[/(-1)+2/(X J+3/(X J]/3H O故= [/(-l) + 2/(和 + 3/(兀)]/3 不成立。
因此，原求积公式具有2次代数精度。
⑷ 若£ j\x)clx «/?[/(0) + /(/!)]/2 + ah2[f\0) - f\h)]令f(x) = 1 ,则W)+f(h)]/2+ah2[f(Q) - /'(/?)] = h令f(x) = x,则J：xdx = —Ifo o 2/〃(0) + /(/?)]/ 2 + ah2[f f(0) - f\h)] = j h2令f(x) = x2,则^f(x)dx = J：x2dx = i/?3h[f(O) + /⑷]/2 + ah2[f f(0) - f\h)]=抨一2ah2 故有3 21a =—12令/(x) = X3 ,则”(忻=门也=扣町(0) + /(/?)]/ 2 + 加，[广(0)-广(/?)] = ”* =新12 2 4 4 令/W = -V4,则J：/(xMx = J；ddx = £/FA[/(0) + /(/?)]/ 2 + 岂/r[f(0) - fXh)] = i/i5-h5 = b512 z 3 o故此时，£7(A X V 丰加/(0) + /(/?)]/2 + ^-lf[fXO)-广(/?)],因此，g如町(0)+伽］/2 + 訥广(0)—广⑹］具有3次代数精度。
2 •分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：复化梯形公式为7； = £[/⑷ + 2^/(x,) + f(b)] = 0.11140复化辛普森公式为h 772 = -[f(a)+4 工/(兀)+ 2工蚀)+ f(b)] = 0.11157b A=O 七A=11 (1 一厂卩(2) -------------------------------------------------- /7 = 10 卫=0、b = lji =—,/(x)= --------------------------------------------10 x复化梯形公式为h 9心=-[/(«)+2工他)+f(b)] = 1.39148复化辛普森公式为几=£[/⑷ + 4£/(X+1)4-2£/(x,)4-/(/;)] = 1.45471(3)/? = 4, ° = 1, b = 9,力=2, /(x) = y/x,复化梯形公式为h 3r4 =抽@) + 2 工伽)+ /(b)] = 17.22774L r=i复化辛普森公式为11 3 3二=-[/(«) + 4^/(x J + 2工/g) + /(b)] = 17.32222 b A=0 2A=1 (4)7? = 6,a = O、b = ?,h = —,f(x) = ^4-sm2(p6 36复化梯形公式为人=金/⑺ + +/（b）］ = 1.03562复化辛普森公式为h 5 5s6 = -［f⑷+ 4 工/（兀）+ 2 工/（忑）+ /@）］ = 1.03577 b k=ok=i3。
直接验证柯特斯教材公式（2。
4）具有5交代数精度。
证明：柯特斯公式为f/（Qk =苛割7/（兀）+ 32/（xJ + 12/（兀）+ 32/（禺）+7/（兀）］令/U） = 1,则罟[7/(x°) + 32/(® +12/(® + 32/(xJ + 7f(x4)] = b-a令f(x) = X9则罟[7几兀)+ 32/UJ + 12/(X2) + 32/Vj + 7/(兀)]=扌疔-巧令f(x)= X’'则罟[7/(兀)+ 32/(® +12/(® + 32/(兀)+ 7/(X4)]=扌(戾-巧晋叽)+ 32心叭)+叽)+7/(g(L) £ f a )dx = J 〉“dx = ^(b 5-a 5)罟[7/(兀)+ 32/(® + 12/(耳)+ 32/(兀)+ 7/(兀)]吕(夕-巧令/(x) = f,则£ f(x)dx = f x 5dx = ^(b 6-a 6)罟[7/(兀)+ 32/(® + 12/g) + 32/(兀)+ 7/(X 4)] =护-a 6)f(x) = x 6,则j*： 工 [7/(x 0) + 32/(兀)+ 12/(xJ + 32/(X 3) + 7/(X J]因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。
4。
用辛普森公式求积分^e~x dx 并估计误差。
解: 辛普森公式为-[fW + 4/(^^) + /(/?)] o z此时,d = 0j = l,/(x) = Q,从而有iS = l(l+4e 2+「) = 0.63233误差为5o 推导卞列三种矩形求积公式:< ---- X — X 180 24= 0.000357/^(0,1)『fWx = (b — a)f (字)+ 导(—)3; 儿2 24证明：⑴••• /W = /@) + 广(〃)(x-d),〃e w，b)两边同时在[d“]上积分，得£ fWx = (b-G)/ ⑷ + 广(“)[(X - Cl)dx 即(2)・•• /W = f(b)-f(7j)(b-x\rj G (a.b)两边同时在［⑦切上积分，得f»b 「b£ f(x)dx = (b-a)/⑷ - /'(〃)[ (b -x)clx 即f' fWx = (b-a)f(b) -単(b 一0)，Ja 2r/、, + b、gd + b、, a + b、f\n) / a + b .z八(3)T /W =/(—) + /(—)(x-- ) + —y%-一广,〃e (a,b)两连边同时在［a、b］上积分，得卩“、」z/、“ci + b、“ci + b、fb a + b、」厂(“)巴a + b.」J /(^ = 0-a)f(——)+f (——)J (x-——)dx+^^\ {x-—-ydxJa 2 2 儿 2 2 J a 2即£ fg ={b~对(罟)+ 锣g)3；6o若用复化梯形公式计算积分/=J：Kdx，问区间［0,1］应人多少等分才能使截断误差不超ajxio-5?若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间［o,i］应分多少等分？解：采用复化梯形公式时，余项为心(/)=一^■/&"(〃),〃 w w,b)故 /(x) = e x ,f\x) = e\a = O,b = l.|^n(/)| =迈 /厂 |广(〃)| < 迈 /厂 ^|/?…(ni<|xio-5,则h 2 <-xl0-5当对区间［0,1］进行等分时，因此，将区间213等分时可以满足误差要求 采用复化辛普森公式时，余项为又・.・m )十1p••也⑴一丽计％來丽“若此(/)|弓X10U 则 化竺XE e当对区间［0,1］进行等分时1n=h故有1440 1 /?>(——X 105)4=3.71 e因此，将区间8等分时可以满足误差要求。
7。
如果f\x )>o,证明用梯形公式计算枳分/=£/uXv 所得结果比准确值/人，并说 明其几何意义。
解：采用梯形公式计算积分时，余项为R T =-(b-a)\f]e[a,b]又••• f\x) >0 且 b>a= 212.85又=1-7:.I<T即计算值比准确值大。
其几何意义为，f\x) > 0为卞凸函数，梯形面枳人于曲边梯形面积。
8。
用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10一[+ x2dx.解:(l)/ = 4「Qdx因此 / =(2)1 = ["xsin.皿因此/«0(3)/ = £x>Jl + x2dxk矿罗)罗)罗)罗)0 14.23024951 11.1713699 10.15174342 10.4437969 10.2012725 10.20457443 10.2663672 10.2072240 10.2076207 10.20766914 10.2222702 10.2075712 10.2075943 10.2075939 10.20759365 10.2112607 10.2075909 10.2075922 10.2075922 10.2075922 10.2075922 因此I«10.20759229。