2021《单元滚动检测卷》高考数学(浙江专用)精练四 平面向量
(2021年整理)高中数学平面向量习题及答案
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第二章 平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ,E 分别是AB ，AC 的中点,则（ ）． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线C ．AD 与AE 相等 D ．AD 与BD相等2．下列命题正确的是（ )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ,则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A （3，1)，B （－1，3），若点C 满足OC ＝OA ＋OB ，其中,∈R ，且＋＝1，则点C 的轨迹方程为（ ）．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1）2＋(y －1）2＝5 C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足（a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是（ )．A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP ＝( ）． A ．λ(AB ＋AD ）,λ∈(0，1) B ．λ（AB ＋BC ),λ∈（0，22） C ．λ(AB －AD ),λ∈（0，1）D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22） 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝（ ）． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b ｜＝4，(a ＋2b ）·（a －3b )＝－72，则向量a 的模(第1题)为( )．A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA,则点O是△ABC的（ )．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b,DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（）．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中,|AD|＝｜BC｜,EF∥AB∥CD则相等向量是（ )．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k,12)，OB＝（4，5)，OC＝(－k,10)，且A，B，C三点共线,则k ＝．12．已知向量a＝（x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M（－1,3),N(1，3）,则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足｜AB|＝3，｜BC｜＝4，|CA|＝5,则AB·BC＋BC·CA ＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3,4），b＝（2，－1），且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC 的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，若a＋c＝b＋d,则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3），B(5，4),C(7，10),若点P满足AP＝AB＋λAC（λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5),C(4，3），M，N，D分别是AB，AC，BC的中点,且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE（利用向量证明）．(第19题)20．已知向量a＝（cos θ，sin θ），向量b＝(3，－1），则|2a－b｜的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行,AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB＝DC ，可能A ，B ,C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等,方向相同,故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝（x ，y ），OA ＝（3，1),OB ＝(－1，3)，OA ＝(3，)，OB ＝（－，3），又OA ＋OB ＝(3－，＋3），∴ （x ,y ）＝(3－，＋3），∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又＋＝1，由此得到答案为D ．4．B解析:∵(a －2b ）⊥a ，（b －2a )⊥b ,∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0,（b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即｜a |＝|b ｜．∴｜a |2＝2｜a ｜｜b ｜cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21．∴ a 与b 的夹角是3π．5．A解析:由平行四边形法则,AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1）．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第1题)（第6题)7．C解析：由(a＋2b）·（a－3b）＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．而|b|＝4，a·b＝｜a｜|b|cos 60°＝2|a｜，∴｜a|2－2|a｜－96＝－72，解得|a|＝6．8．D解析：由OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，得OA·OB＝OC·OA，即OA·(OC－OB)＝0，故BC·OA＝0,BC⊥OA，同理可证AC⊥OB，∴O是△ABC的三条高的交点．9．C解析:∵AD＝＋＋DC＝－8a－2b＝2BC,∴∥BC且|｜≠｜BC｜．∴四边形ABCD为梯形．10．D解析：AD与BC,AC与BD,OA与OB方向都不相同,不是相等向量．二、填空题2．11．－3解析：A，B，C三点共线等价于，共线，AB＝OB－OA＝（4，5)－(k，12)＝（4－k，－7)，BC＝OC－OB＝（－k，10)－（4，5）＝(－k－4，5），又A，B,C三点共线，2．∴ 5（4－k)＝－7(－k－4),∴k＝－312．－1．解析:∵ M (－1，3)，N （1，3)， ∴ MN ＝(2，0），又a ＝MN ， ∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ,∴AB ·BC ＝0, ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ） ＝－(CA )2＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°，∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC ＝54．根据数积定义，结合图（右图)知AB ·BC ＝0，BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54）＝－16, CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝（3＋2m ,4－m )，a －b ＝(1，5)．D(第13题)∵ （a ＋m b )⊥(a －b ），∴ (a ＋m b )·(a －b )＝（3＋2m )×1＋（4－m )×5＝0⇒m ＝323． 15．答案：重心．AC 于点E ，则OF解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交＝OA ＋OC ,又 OA ＋OC ＝－OB ,∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ,∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析:设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝（x ,y ）－(2，3）＝（x －2，y －3)．AB ＋λAC ＝(5，4)－（2，3)＋λ［(7，10）－(2，3)]＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ （x －2,y －3)＝（3＋5λ，1＋7λ）． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝（47，2）．解析：∵ A (7,8)，B (3,5)，C (4,3）， AB ＝(－4，－3），AC ＝(－3,－5)． (第15题)又 D 是BC 的中点,∴ AD ＝21(AB ＋AC ）＝21(－4－3，－3－5）＝21(－7,－8）＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27,－4）＝（47，2)． 19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b ）·（b －21a ）＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1:2a －b ＝（2cos θ－3,2sin θ＋1)，∴ ｜2a －b |2＝(2cos θ－3）2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos 3π－cos θsin 3π）＝8sin （θ－3π），最大值为8,∴ ｜2a －b ｜2的最大值为16，∴｜2a －b ｜的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移,使它们的起点与原点重合，则｜2a －b ｜表示2a ，b 终点间的距离．｜2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ,b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ ｜的最大值为直径的长为4．(第19题)。
2021年高考数学的平面向量多选题及答案
2021年高考数学的平面向量多选题及答案一、平面向量多选题1．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则（ ）A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=【答案】BC 【分析】以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，再利用向量坐标的线性运算以及向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】作出图形如图所示，以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ； 观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -， 设(),E x y ，则2236x y +=，故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--， 故ED =()2,2x y ---，故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅()()24144EA EC EB ED EO =+⋅+==，56EA EC EB ED ⋅+⋅=.故选：BC2．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，则（ ）A ．()a b a +⊥B ．|2|5a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影是2D ．向量a 的单位向量是⎝⎭【答案】ABD 【分析】多项选择题需要要对选项一一验证: 对于A:利用向量垂直的条件判断； 对于B:利用模的计算公式； 对于C:利用投影的计算公式； 对于D:直接求单位向量即可． 【详解】(2,1),(3,1)a b ==-对于A: (1,2),()(1)2210,a b a b a +=-+⋅=-⨯+⨯=∴()a b a +⊥，故A 正确；对于B:222(2,1)2(3,1)(4,3),|2|(4)35a b a b +=+-=-∴+=-+=，故B 正确；对于C: 向量a 在向量b 上的投影是2||(3)a b b ⋅==--，故C 错误；对于D: 向量a 的单位向量是55⎛ ⎝⎭，故D 正确．故选：ABD ． 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．3．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（ ）A ．1233AE AC AD =+B ．25DF DB =C ．,3AB AD π=D ．2725FB FC ⋅=【答案】BCD 【分析】根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：()22233133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确； 对于选项B ：易证DEF BFA ，所以23DF DE BF AB ==，所以2235DF FB DB ==，故选项B 正确；对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()223AD A B D AB A ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以 2221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以1142332AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=，11cos ,212AB AD AB AD AB AD⋅===⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3AB AD π=，故选项C 正确； 对于选项D ：()()332555AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫⋅=⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭()()()3233255555AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫=-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22969362734252525252525AB AB AD AD =⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEF BFA ，即可得23DF DE BF AB ==，选项D 的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.4．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边AC 上的点，且2AD DC =，E 是AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，那么（ ）A ．0OE OC +=B ．1AB CE ⋅=-C ．3OA OB OC ++=D ．13DE =【答案】AC 【分析】建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析. 【详解】建立平面直角坐标系如下图所示：取BD 中点M ，连接ME ，因为,M E 为,BD BA 中点，所以1//,2ME AD ME AD =，又因为12CD AD =， 所以//,ME CD ME CD =，所以易知EOM COD ≅，所以O 为CE 中点， A ．因为O 为CE 中点，所以0OE OC +=成立，故正确； B ．因为E 为AB 中点，所以AB CE ，所以0AB CE ⋅=，故错误；C ．因为()()(30,,1,0,1,0,32O A B C ⎛- ⎝⎭，所以33331,1,0,OA OB OC ⎛⎛⎛⎛++=+-+= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3OA OB OC ++= D ．因为()123,0,03D E ⎛ ⎝⎭，所以123,3DE ⎛=- ⎝⎭，所以13DE =，故错误， 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：对于规则的平面图形（如正三角形、矩形、菱形等）中的平面向量的数量积和模长问题，采用坐标法计算有时会更加方便.5．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条不同的直径，2BF FO =，则（ ）A ．13BF FC = B ．89FD FE ⋅=-C ．41cos ,5FD FE -<<->≤ D ．满足FC FD FE λμ=+的实数λ与μ的和为定值4 【答案】BCD 【分析】A. 根据2BF FO =易得12BF FC =判断；B. 由()()FD FE OD OF OE OF ⋅=-⋅-运算求解判断；，C.建立平面直角坐标系：设,0,2DOF παα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，得到11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由cos ,FD FE FD FE FD FE ⋅<>=⋅利用三角恒等变换和三角函数的性质判断；D. 将FC FD FE λμ=+，利用线性运算变形为()()4OF OD OF λμλμ-=--+判断；【详解】A. 因为2BF FO =，所以12BF FC =，故错误；B. ()()2FD FE OD OF OE OF OD OE OD OF OF OE OF ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+，()22181099OE OF OD OE OF =-+++=-++=-，故正确； C.建立如图所示平面直角坐标系：设,(0,]2DOF παα∠=∈，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 所以11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以222289cos ,11cos sin cos sin 33FD FE FD FE FD FEαααα-⋅<>==⋅⎛⎫⎛⎫-+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，849(1,]5822cos2819α----⋅，故正确；D. 由FC FD FE λμ=+，得()()()()4OF OD OF OE OF OD OF λμλμλμ-=-+-=--+，所以4λμ+=，故正确； 故选：BCD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b ⊥，则tan 2θ=B ．若b 在a 上的投影为12-，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得||||||a b a b +=+D ．a b 3【答案】BCD 【分析】若a b ⊥，则tan θ=A 错误； 若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；2cos sin a b θθ+==)θϕ+， a b D 正确.【详解】若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan θ=A 错误； 若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若2()2a b a b a b =+22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C正确；2cos sin a b θθ+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ，故D 正确，故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列 D ．14nn n a a +-=【答案】BD 【分析】 证明1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，选项C 不正确.【详解】因为2AE EC =，所以23AE AC =，所以2()3AB BE AB BC+=+,所以1233BE BA BC=+，所以选项B正确；设BD tBE=（0t>），则当n≥2时，由()()1123n n n nBD tBE a a BA a a BC-+==-+-，所以()()111123n n n nBE a a BA a a BCt t-+=-+-，所以()11123n na at--=，()11233n na at+-=，所以()11322n n n na a a a+--=-，易得()114n n n na a a a+--=-，显然1n na a--不是同一常数，所以选项A错误；因为2a-1a=4，114n nn na aa a+--=-，所以数列{1n na a--}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn na a+-=，所以选项D正确，易得321a=，显然选项C不正确.故选：BD【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中1OA=，则下列结论正确的有（）A ．22OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为22- 【答案】AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =， 对于32:11cos4A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．9．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.10．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个 【答案】BCD 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，设(,)B m n ，若10OA OB -=，所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确． 若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．。
2021高考数学浙江专用一轮习题：专题5+第35练+平面向量的应用
答案精析
1．C 2.A 3.A 4.A 5.C 6.D 7.A
8．D 9.－1 －1 4
－3，1 1，＋∞
10. 4 2 ∪ 2
11.A
12．C
[因为∠A＝90°，所以以A→B，A→C的方向为 x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，
所以 A(0,0)，B(2,0)，C(0,4)，∴D(1,2)，P(x，y)，t－1 42＋3 Nhomakorabea，
4
4
24
16
(c－a)2＝
－1a＋tb－a 2
2＝
－3a＋tb 2
2＝9a2－3ta·b＋t2b2＝t2－3t＋9
4
24
＝
t－3 4
2＋27，
16
∴|c|＝
t－1 4
2＋
3
16
＝
t－1 4
2＋
0－
3 4
2，
|c－a|＝
t－3 4
2＋27
16
＝
t－3 4
2＋
0－3 3 4
2，
∴|c|＋|c－a|的几何意义为点(t,0)到
C．正方形
D．梯形
3．若 O 为△ABC 所在平面内一点，(O→B－O→C)·(O→B＋O→C－2O→A)＝0，则△ABC 的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．正三角形
D．以上答案均错
4．已知 O 为△ABC 内一点且满足O→A＋O→B＋O→C＝0，若△AOC 的面积为 3，A→B·B→C＝－2， 3
11．设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝12AB，BE＝23BC，若D→E＝λ1A→B＋λ2A→C(λ1，
最新-2021年高考数学浙江省专用复习专题测试：第五章 平面向量与解三角形 §52 平面向量的数量积
∵φ≤α+φ≤60°+φ, ∴|a·e|+|b·e|的最大值为 7 .
同理可得另三种情况下所求最大值均为 7 . 故|a·e|+|b·e|的最大值为 7 .
16.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别
在线段BC和DC上,且
x, y,
x x
y, y,
min{x,y}=
y, x,
x x
y, y,
设a,b为平面向量,则
(
)
A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}
B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}
C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2
D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2
A.
-
பைடு நூலகம்
3 2
a2
B.-
3 4
a2
C.
3 4
a
2
D.
3 2
a
2
答案 D
BD·CD=(
BC+
CD)·CD=
2
BC·CD+ CD =
1a2+a2=
3a2.
2
2
11.(2017课标全国Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=
.
答案 2 解析 ∵a⊥b,∴a·b=0,又a=(-2,3),b=(3,m),∴-6+3m=0,解得m=2.
12.(2017北京文,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则
高考数学(浙江专用)精练四 平面向量 Word版含解析
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测四 平面向量第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·宜昌一中模拟)已知向量a ＝(4,2)，向量b ＝(x,3)，且a 平行b ，则x 等于( ) A ．9 B ．6 C ．5D ．32．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，－2)，若(a ＋2b )⊥c ，则k 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．8D ．－83．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ等于( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.124．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则DA →等于( ) A ．(2,4) B ．(3,5) C ．(1,1)D ．(－1，－1)5．设e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，AB →＝(a －1)e 1＋e 2，AC →＝b e 1－2e 2(a >0，b >0)，若A ，B ，C 三点共线，则ab 的最大值是( ) A.14 B.12 C.16D.186．已知a ，b 为平面向量，若a ＋b 与a 的夹角为π3，a ＋b 与b 的夹角为π4，则|a ||b |等于( )A.33 B.64 C.53D.637．(2015·芜湖模拟)已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.AC ＝3，BC ＝4，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|，则xy 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．如图为函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ) (ω>0)的部分图象，B ，C 分别为图象的最高点和最低点，若AB →·BC →＝|AB →|2，则ω等于( )A.π3B.π4C.π6D.π12 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，共36分．把答案填在题中横线上) 9．向量a ＝(3,4)在向量b ＝(1，－1)方向上的投影为__________．10．(2015·云南统一检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝________.11.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．12．已知向量OA →＝(3，－1)，OB →＝(0,2)，若OC →·AB →＝0，AC →＝λOB →，则实数λ的值为________．13．(2015·攸县一中模拟)若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则MA →·MB →＝________.14．如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝________.15．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(14分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．17.(15分)(2015·惠州二调)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]．(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．18．(15分)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．19.(15分)(2015·德州高三期末)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(sin A,1)，n ＝(cos A ，3)，且m ∥n . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，b ＝22，求△ABC 的面积．20．(15分)(2015·浙江建人高复月考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为原点．且|OQ →|＝2，|OP →|＝52，|PQ →|＝132.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈[0,2]时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的最大值．答案解析1．B [由题意得4×3－2x ＝0得到x ＝6，故选B.]2．C [因为a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，所以a ＋2b ＝(1,4)，又(a ＋2b )⊥c ，c ＝(k ，－2)， 所以(a ＋2b )·c ＝0⇒k －8＝0⇒k ＝8，故选C.]3．C [若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则2e 1－e 2＝k (e 1＋λe 2)＝k e 1＋λk e 2，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，λk ＝－1，解得λ＝－12.故选C.]4．C [∵AC →＝AB →＋BC →，∴BC →＝AC →－AB →，而DA →＝－BC →＝－(AC →－AB →)＝－(－1，－1)＝(1,1)，故选C.]5．B [若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λAC →， ∴(a －1)e 1＋e 2＝λ(b e 1－2e 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝λb ，1＝－2λ，∴b ＝2－2a . ∴ab ＝a (2－2a )＝2a (1－a )≤[a ＋(1－a )]22＝12，当且仅当a ＝12，b ＝1时，(ab )max ＝12.]6．D [如图所示．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝a ＋b ，∠BAC ＝π3，∠DAC ＝∠ACB ＝π4.在△ABC 中，由正弦定理得|a ||b |＝sin π4sin π3＝2232＝63. 故选D.]7．C [CP →＝CA →＋AP →＝CA →＋λAB →＝CA →＋λ(CB →－CA →)＝(1－λ)CA →＋λCB →(0≤λ≤1)， 又CP →＝x 3CA→＋y 4CB →，∴⎩⎨⎧1－λ＝x 3，λ＝y4.∴xy ＝12(1－λ)λ＝－12⎝⎛⎭⎫λ－122＋3≤3，当且仅当λ＝12时取“＝”， ∴xy 的最大值是3.故选C.]8．C [由题意知|BC →|＝2|AB →|，由AB →·BC →＝|AB →|2知－|AB →|·|BC →|cos ∠ABC ＝|AB →|2，得cos ∠ABC ＝－12，则∠ABC ＝120°，过B 作BD 垂直于x 轴于D ，则|AD →|＝3，所以T 4＝3，则T ＝12，ω＝2πT ＝π6，故选C.] 9．－22解析 依题意得a·b ＝－1，|b |＝2，因此向量a 在向量b 方向上的投影为a·b|b |＝－22.10.61解析 由题意可得a·b ＝|a|·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝(2a －3b )2＝4|a |2＋9|b |2－12a·b ＝16＋81－36＝61. 11．2解析 ∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →， ∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.则m ＋n ＝2.12．2解析 设OC →＝(x ，y )，∵AB →＝(－3,3)， ∴由向量的运算可知， OC →·AB →＝－3x ＋3y ＝0， ∴x ＝y ，AC →＝(x －3，y ＋1) ＝λOB →＝(0,2λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，y ＋1＝2λ， ∴λ＝2. 13．－29解析 MA →·MB →＝(CA →－CM →)·(CB →－CM →) ＝(12CA →－13CB →)·(23CB →－12CA →) ＝12CA →·CB →－14(CA →)2－29(CB →)2＝－29. 14．5解析 由于AB →＝AC →＋CB →，DC →＝DB →＋BC →， 所以AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →－BD →. (AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →) ＝|AC →|2－|BD →|2＝9－4＝5. 15．5解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝m ，P (0，t ) (t ∈[0，m ])，由题意可知，A (2,0)，B (1，m )，所以P A →＝(2，－t )，PB →＝(1，m －t )，P A →＋3PB →＝(5,3m －4t )，所以|P A →＋3PB →|＝52＋(3m －4t )2≥5，当且仅当t ＝34m 时取等号，故|P A →＋3PB →|的最小值为5.16．解 (1)因为a ∥b ， 所以2sin θ＝cos θ－2sin θ. 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝12＋22， 所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5. 从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4， 即sin2θ＋cos2θ＝－1， 于是sin(2θ＋π4)＝－22.又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.所以θ＝π2或θ＝3π4.17．解 (1)由|a |＝(3sin x )2＋(sin x )2＝2sin 2x ，|b |＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得sin 2x ＝14.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12. 当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]，所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，sin(2x －π6)取得最大值1，所以f (x )的最大值为32.18．解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 两式相减，得m －n ＝y －x . 令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1. 19．解 (1)根据m ∥n ，可得到tan A ＝33. 注意到A ∈(0，π)，得到A ＝π6.(2)由正弦定理可得：sin B ＝b sin A 2＝22，因为a <b ，所以A <B ，所以B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A ·sin B ＝2(1＋3)4，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝1＋3；当B ＝3π4时，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A ·sin B ＝2(3－1)4，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝3－1.故△ABC 的面积为1＋3或3－1. 20．解 (1)由余弦定理得cos ∠POQ ＝|OP →|2＋|OQ →|2－|PQ →|22|OP →||OQ →|＝15，∴sin ∠POQ ＝25，得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1. ∴A ＝1，2πω＝4⎝⎛⎭⎫2－12＝6，ω＝π3. 由f ⎝⎛⎭⎫12＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1,0<φ<π2，得φ＝π3. ∴y ＝f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π3. (2)g (x )＝sin π3x ，h (x )＝f (x )·g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π3sin π3x ＝12sin 2π3x ＋32·sin π3x cos π3x ＝1－cos 2π3x 4＋34sin 2π3x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2π3x －π6＋14. 当x ∈[0,2]时，2π3x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π6， ∴当2π3x －π6＝π2，即x ＝1时，h (x )max ＝34.。
2021《单元滚动检测卷》高考数学(浙江专用)精练八 平面解析几何
高三单元滚动检测卷·数学考生留意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上． 3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测八 平面解析几何第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积最大时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α的值为( ) A.3π4 B.π4 C.3π2D.5π42．已知点P (x ，y )在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q (x ′，y ′)＝(x ＋y ，xy )的轨迹是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．椭圆D ．双曲线3．(2021·西安质检)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 2＝1 4．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14D.1165．若AB 是过椭圆x 225＋y 216＝1中心的弦，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( )A ．6B ．12C ．24D ．486．(2021·武汉调研)已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( ) A ．2 B ．22 C ．2 3D ．47．(2021·北京海淀区期末练习)双曲线C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰好为抛物线y 2＝4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B ．1＋2 C ．1＋ 3D ．2＋38．已知P (x ，y )是圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点，欲使不等式x ＋y ＋c ≥0恒成立，则实数c 的取值范围是( ) A ．[－1－2，2－1] B ．[2－1，＋∞) C ．(－1－2，2－1) D ．(－∞，－2－1)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，共36分．把答案填在题中横线上)9．点M (a ，b )是圆x 2＋y 2＝r 2内异于圆心的一点，则直线ax ＋by －r 2＝0与圆的交点的个数是________． 10．(2021·福州质检)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F 2关于直线y ＝bxa对称，则该双曲线的离心率为________．11．已知三个数2，m,8构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 22＝1的离心率为________．12．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为2π3，离心率为e ，则a 2＋e 22b 的最小值为______，此时a ＝________.13．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AB |＝163，则α＝________. 14．(2022·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.15．(2021·浙江名校模拟)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________________． 三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(14分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2M B →，求直线l 的方程．17.(15分)(2021·浙江重点中学协作体其次次适应性测试)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32.过它的两个焦点F 1，F 2分别作直线l 1与l 2，l 1交椭圆于A ，B 两点，l 2交椭圆于C ，D 两点，且l 1⊥l 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ACBD 的面积S 的取值范围．18．(15分)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，M ∈C ，以M 为圆心的圆M 与l 相切于点Q ，Q 的纵坐标为3p ，E (5,0)是圆M 与x 轴除F 外的另一个交点． (1)求抛物线C 与圆M 的方程；(2)已知直线n ：y ＝k (x －1)(k ＞0)，n 与C 交于A ，B 两点，n 与l 交于点D ，且|FA |＝|FD |，求△ABQ 的面积．19.(15分)(2021·江西百所重点中学诊断)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，△PF 1F 2的周长为16，直线2x ＋y ＝4经过椭圆的上顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆同时被直线l 1：10x －5y －21＝0与l 2：10x －15y －33＝0平分，求直线l 的方程．20．(15分)(2021·青岛质检)已知椭圆C 1的中心为原点O ，离心率e ＝22，其一个焦点在抛物线C 2：y 2＝2px的准线上，若抛物线C 2与直线l ：x －y ＋2＝0相切． (1)求该椭圆的标准方程；(2)当点Q (u ，v )在椭圆C 1上运动时，设动点P (2v －u ，u ＋v )的运动轨迹为C 3.若点T 满足：O T →＝M N →＋2OM→＋O N →，其中M ，N 是C 3上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，试说明：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|TF 1|＋|TF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析1．A [若方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0表示圆， 则有k 2＋4－4k 2＞0， 解得0≤k 2＜43，而此时圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝12－3k 2＋4，要使圆的面积最大，只需r 最大，即当k ＝0时，r 取得最大值1，此时直线方程为y ＝－x ＋2， 由倾斜角与斜率的关系知，k ＝tan α＝－1， 又由于α∈[0，π)，所以α＝3π4.]2．B [设P 在以原点为圆心，1为半径的圆上，则P (x 0，y 0)，有x 20＋y 20＝1，∵Q (x ′，y ′)＝(x ＋y ，xy )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 0＋y 0，y ′＝x 0·y 0.∴x ′2＝x 20＋y 20＋2x 0y 0＝1＋2y ′， 即Q 点的轨迹方程为y ′＝12x ′2－12，∴Q 点的轨迹是抛物线．]3．C [依题意，所求椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝1，e ＝ca ⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此其方程是x 24＋y 23＝1，故选C.]4．D [依题意得双曲线中a ＝2，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝4，∴e ＝c a ＝2，抛物线方程为y 2＝12p x ，故18p ＝2，得p ＝116.] 5．B [如图，设A 的坐标为(x ，y )，则依据对称性得B (－x ，－y )，则△F 1AB 面积S ＝12|OF 1|×|2y |＝c |y |.∴当|y |最大时，△F 1AB 面积最大，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其△F 1AB 面积最大，则△F 1AB 面积的最大值为cb ＝25－16×4＝12，故选B.]6．C [由于抛物线C ：y 2＝42x 的准线方程是x ＝－2， 所以由|PF |＝42得x p ＝32， 代入抛物线方程得y p ＝±26，所以△POF 的面积为12|OF ||y p |＝12×2×26＝23，故选C.]7．B [依题意可知，点A (1，±2)，F 1(－1,0)，F 2(1,0)， |AF 1|＝22＋22＝22，|AF 2|＝|F 1F 2|＝2，双曲线C 的离心率为e ＝|F 1F 2||AF 1|－|AF 2|＝222－2＝2＋1，故选B.]8．B [欲使不等式x ＋y ＋c ≥0恒成立，则c ≥(－x －y )max .令t ＝－x －y ，由题意知，当直线y ＝－x －t 与圆相切时，t 可取到最大值． 由数形结合可知，圆心到直线的距离为d ＝|1＋t |2＝1，解得t ＝±2－1，所以t ＝2－1时，取得最大值． 即c ≥2－1.] 9．0解析 由于点M (a ，b )是圆x 2＋y 2＝r 2内异于圆心的一点，所以0<a 2＋b 2<r 2，所以0<a 2＋b 2<r ，则圆心(0,0)到直线ax ＋by －r 2＝0的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r ，所以直线ax ＋by －r 2＝0与圆x 2＋y 2＝r 2无交点．10.5解析 记线段PF 2与直线y ＝bax 的交点为M ，依题意，直线y ＝ba x 是题中的双曲线的一条渐近线，M 是PF 2的中点，且|PF 2|＝2|MF 2|＝2b ；又点O 是F 1F 2的中点，因此有|PF 1|＝2|OM |＝2a ；由点P 在双曲线的左支上得|PF 2|＝|PF 1|＋2a ＝4a ＝2b ，b ＝2a ，该双曲线的离心率是e ＝ 1＋(ba)2＝ 5.11.22或3 解析 ∵2，m,8成等比数列，∴m 2＝16，m ＝±4， 当m ＝4时，e ＝c a ＝22；当m ＝－4时，e ＝62＝ 3. 12.2332解析 由题意，ba＝3，∴b ＝3a ，∴c ＝2a ，e ＝2，a 2＋e 22b ＝a 2＋423a ＝a 23＋23a ≥233(当且仅当a ＝2时取等号)，则a 2＋e 22b 的最小值为233.13．60°或120°解析 当α＝90°时，|AB |＝4不成立；当α≠90°时，设直线方程为y ＝tan α(x －1)，与抛物线方程联立得：(tan α)2x 2－[2(tan α)2＋4]x ＋(tan α)2＝0，∴由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝2(tan α)2＋4(tan α)2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2(tan α)2＋4(tan α)2＋2＝163，∴tan α＝±3，∴α＝60°或120°.14．12解析 取MN 的中点G ，G 在椭圆上，由于点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ， 故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12. 15．x ±2y ＝0解析 a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 1的离心率为a 2－b 2a， 双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 2的离心率为a 2＋b 2a， ∵C 1与C 2的离心率之积为32， ∴a 2－b 2a·a 2＋b 2a ＝32， ∴⎝⎛⎭⎫b a 2＝12，即b a ＝22， C 2的渐近线方程为y ＝±22x ，即x ±2y ＝0. 16．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由于c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则由AM →＝2M B →得x 1＝－2x 2.又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k 2，消去x 2，得(8k 3＋4k 2)2＝43＋4k 2，解得k 2＝14，k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 17．解 (1)由c a ＝12得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P 的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)当l 1与l 2中有一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积为S ＝6. 若l 1与l 2的斜率都存在，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k .∴直线l 1的方程为y ＝k (x ＋1)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，消去y 整理得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.① ∴x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴|x 1－x 2|＝12k 2＋14k 2＋3，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3.②留意到方程①的结构特征，或图形的对称性，可以用－1k 代替②中的k ，得|CD |＝12(k 2＋1)3k 2＋4，∴S ＝12|AB |·|CD |＝72(1＋k 2)2(4k 2＋3)·(3k 2＋4)，令k 2＝t ∈(0，＋∞)，∴S ＝72(1＋t )2(4t ＋3)·(3t ＋4)＝6(12t 2＋25t ＋12)－6t12t 2＋25t ＋12＝6－612t ＋12t ＋25≥6－649＝28849，∴S ∈⎣⎡⎭⎫28849，6.综上可知，四边形ACBD 的面积S 的取值范围为⎣⎡⎦⎤28849，6.18．解 (1)由抛物线的定义知，圆M 经过焦点F (p 2，0)，Q (－p2，3p )，点M 的纵坐标为3p ，又M ∈C ，则M (3p2，3p )，|MF |＝2p .由题意，M 是线段EF 的垂直平分线上的点， 故3p 2＝p 2＋52，解得p ＝2. 故抛物线C ：y 2＝4x ， 圆M ：(x －3)2＋(y －23)2＝16.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x ＝－1得y ＝－2k ，则D (－1，－2k )，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1) 得ky 2－4y －4k ＝0(k ＞0)， 即y ＝2＋21＋k 2k或y ＝2－21＋k 2k .∵|F A |＝|FD |，则A 的纵坐标为2＋21＋k 2k，且2＋21＋k 2k＝2k ，解得k ＝ 3.∴A (3,23)，B (13，－233)，直线n ：y ＝3(x －1)，Q (－1,23)， 则|AB |＝163，点Q 到直线n 的距离d ＝23， △ABQ 的面积S ＝12|AB |·d ＝1633.19．解 (1)设椭圆的半焦距为c ， 则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，2a ＋2c ＝16，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝3，故椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)设AB 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧10x －5y －21＝0，10x －15y －33＝0，解得M (32，－65)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1≠x 2，依题意有⎩⎨⎧x 2125＋y 2116＝1，x 2225＋y2216＝1，两式相减得x 21－x 2225＋y 21－y 2216＝0，∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)25＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，又AB 的中点为M (32，－65)，∴x 1＋x 2＝3，y 1＋y 2＝－125，∴325(x 1－x 2)＝320(y 1－y 2)，y 1－y 2x 1－x 2＝45， 即直线l 的斜率为45，故直线l 的方程为y ＋65＝45(x －32)，即4x －5y －12＝0.20．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x －y ＋2＝0⇒y 2－2py ＋22p ＝0，∵抛物线C 2：y 2＝2px 与直线l ：x －y ＋2＝0相切， ∴Δ＝4p 2－82p ＝0⇒p ＝2 2. ∴抛物线C 2的方程为y 2＝42x ， 其准线方程为x ＝－2， ∴c ＝ 2.∵离心率e ＝c a ＝22，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ′，y ′)，T (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2v －u ，y ′＝u ＋v ⇒⎩⎨⎧u ＝13(2y ′－x ′)，v ＝13(x ′＋y ′).∵点Q (u ，v )在椭圆C 1上，∴u 24＋v 22＝1⇒[13(2y ′－x ′)]2＋2[13(x ′＋y ′)]2＝4 ⇒x ′2＋2y ′2＝12，∴点P 的轨迹方程为x 2＋2y 2＝12. 由O T →＝M N →＋2OM →＋O N →得(x ，y )＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＋2(x 1，y 1)＋(x 2，y 2) ＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率， 由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0.∵点M ，N 在椭圆x 2＋2y 2＝12上，∴x 21＋2y 21＝12，x 22＋2y 22＝12， 故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝60＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)． ∴x 2＋2y 2＝60，从而可知点T 是椭圆x 260＋y 230＝1上的点．∴存在两个定点F 1，F 2，且为椭圆x 260＋y 230＝1的两个焦点，使得|TF 1|＋|TF 2|为定值，其坐标为F 1(－30，0)，F 2(30，0)．。
平面向量单元检测-2020-2021学年高中数学
平面向量单元检测一、单选题1．下列关于向量的命题正确的是（ ） A ．若||||a b =，则a b = B ．若||||a b =，则//a bC ．若a b =，b c =，则a c =D ．若//a b ，//b c ，则//a c2．下列命题正确的是（ ） A ．AB OB A =-0 B ．0AB BA += C ．00AB ⋅= D ．AB BC AC3．已知ABC ∆中，点E 在CB 的延长线上，且满足22BE AB AC =-，则AE =（ ） A ．32AE AB AC =- B ．32AE AB AC =+ C ．23AE AB AC =+D ．23AE AB AC =-4．若向量(1,2)a =，(1,5)b =，c =（x,1）满足条件2a b -与c 共线，则x 的值为（ ） A ．1B ．3-C ．2-D ．1-5．如图，在OAB ∆中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+且3BPPA ，则（ ）A ．2133x y ==，B ．1233x y ==，C ．1344x y ==，D ．3144x y ==，6．已知向量（1，-1）则下列向量中与向量平行且同向的是（ ）A ．（2，-2）B ．（-2,2）C ．（-1,2）D ．（2，-1） 7．在△ABC 中，已知A(4，1)、B(7，5)、C(－4，7)，则BC 边的中线AD 的长是( )A ．2√5B ．52√5C ．3√5D ．72√5 8．已知向量()1,a x =，()2,4b =-，//a b ，则a b ⋅=（ ） A ．10-B ．4-C ．6D ．2-9．已知向量(1,2)=-a ，向量b 满足||2b ，,a b 的夹角为3π，则⋅=a b ( ) AB ．2CD10．在矩形ABCD 中，4AB =,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．已知M 是ABC ∆内部一点，且4AB AC AM +=,则MBC ∆的面积与ABC ∆ 的面积之比为( ) A ．13B ．12C ．2D ．1412．O 为ABC ∆所在平面上动点，点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭,,[)0λ∈+∞ ,则射线AP 过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心二、填空题13．已知向量a =（﹣1，2），b =（m ，1），若()a b a +⊥，则m=_________．14．边长为1的正方形ABCD 中，AB a =，BC b =，AC c =，则2a b c ++=__________． 15．若510a a b =⋅=，，且a 与b 的夹角为60︒，则=b ________.16．已知点O 为ABC ∆的外心，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若3450OA OB OC ++=，则cos ∠=BOC _____．三、解答题 17．如图：（1） 以A 为始点，作出b a -；（2）假设2a =，写出b a -，c d -．18．设两个非零向量12,e e 不共线，2211128,2,3()A e B e BC e e e e CD ==-=++. （1）求证:A 、B 、D 共线；（2）试确定实数k ，使12ke e +和12e ke +共线．19．已知平面向量,a b 满足：4,3,(23)(2)61.a b a b a b ==-⋅+= （1）求a 与b 的夹角θ；（2）求向量a 在向量32a b +上的投影.20．已知()()()2,4,3,1,3,4A B C ----.设,,AB a BC b CA c ===，且3,2CM c CN b ==-. （1）求33a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数,m n ； （3）求点,M N 的坐标及MN 的坐标.21．已知2=a ，1=b ，向量a 与向量b 的夹角为3π，设向量m a tb =+，向量2n ta b =+． （1）求a b ⋅的值；（2）设()f t m n =⋅，求()f t 的表达式；若m 与n 的夹角θ为锐角，求实数t 的取值范围．22．如图，在OAB ∆中，13OC OA =，12OD OB =，AD 与BC 交于点M ，设OA a =，OB b =．（1）试用向量a 和b 表示OM ；（2）在线段AO 上取一点E ，线段BO 上取一点F ，使EF 过M 点，OE OAλ=，OF OB μ=，求证：12λμ+为定值．。
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高三单元滚动检测卷·数学考生留意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上． 3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测四 平面对量第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2021·宜昌一中模拟)已知向量a ＝(4,2)，向量b ＝(x,3)，且a 平行b ，则x 等于( ) A ．9 B ．6 C ．5D ．32．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，－2)，若(a ＋2b )⊥c ，则k 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．8D ．－83．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ等于( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.124．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则DA →等于( ) A ．(2,4) B ．(3,5) C ．(1,1)D ．(－1，－1)5．设e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，AB →＝(a －1)e 1＋e 2，AC →＝b e 1－2e 2(a >0，b >0)，若A ，B ，C 三点共线，则ab 的最大值是( ) A.14B.12C.16D.186．已知a ，b 为平面对量，若a ＋b 与a 的夹角为π3，a ＋b 与b 的夹角为π4，则|a ||b |等于( )A.33 B.64 C.53D.637．(2021·芜湖模拟)已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.AC ＝3，BC ＝4，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|，则xy 的最大值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．如图为函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ) (ω>0)的部分图象，B ，C 分别为图象的最高点和最低点，若AB →·BC →＝|AB →|2，则ω等于( )A.π3B.π4C.π6D.π12第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，共36分．把答案填在题中横线上) 9．向量a ＝(3,4)在向量b ＝(1，－1)方向上的投影为__________．10．(2021·云南统一检测)已知平面对量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝________.11.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．12．已知向量OA →＝(3，－1)，OB →＝(0,2)，若OC →·AB →＝0，AC →＝λOB →，则实数λ的值为________．13．(2021·攸县一中模拟)若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则MA →·MB →＝________.14．如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝________.15．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(14分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．17.(15分)(2021·惠州二调)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]．(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．18．(15分)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．19.(15分)(2021·德州高三期末)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(sin A,1)，n ＝(cos A ，3)，且m ∥n . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，b ＝22，求△ABC 的面积．20．(15分)(2021·浙江建人高复月考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，P是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为原点．且|OQ →|＝2，|OP →|＝52，|PQ →|＝132.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈[0,2]时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的最大值．答案解析1．B [由题意得4×3－2x ＝0得到x ＝6，故选B.]2．C [由于a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，所以a ＋2b ＝(1,4)，又(a ＋2b )⊥c ，c ＝(k ，－2)， 所以(a ＋2b )·c ＝0⇒k －8＝0⇒k ＝8，故选C.]3．C [若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则2e 1－e 2＝k (e 1＋λe 2)＝k e 1＋λk e 2，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，λk ＝－1，解得λ＝－12.故选C.]4．C [∵AC →＝AB →＋BC →，∴BC →＝AC →－AB →，而DA →＝－BC →＝－(AC →－AB →)＝－(－1，－1)＝(1,1)，故选C.] 5．B [若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λAC →， ∴(a －1)e 1＋e 2＝λ(b e 1－2e 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝λb ，1＝－2λ，∴b ＝2－2a .∴ab ＝a (2－2a )＝2a (1－a )≤[a ＋(1－a )]22＝12，当且仅当a ＝12，b ＝1时，(ab )max ＝12.]6．D [如图所示．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝a ＋b ，∠BAC ＝π3，∠DAC ＝∠ACB ＝π4.在△ABC 中，由正弦定理得|a ||b |＝sin π4sin π3＝2232＝63. 故选D.]7．C [CP →＝CA →＋AP →＝CA →＋λAB →＝CA →＋λ(CB →－CA →)＝(1－λ)CA →＋λCB →(0≤λ≤1)，又CP →＝x 3CA →＋y 4CB →，∴⎩⎨⎧1－λ＝x 3，λ＝y4.∴xy ＝12(1－λ)λ＝－12⎝⎛⎭⎫λ－122＋3≤3，当且仅当λ＝12时取“＝”， ∴xy 的最大值是3.故选C.]8．C [由题意知|BC →|＝2|AB →|，由AB →·BC →＝|AB →|2知－|AB →|·|BC →|cos ∠ABC ＝|AB →|2，得cos ∠ABC ＝－12，则∠ABC＝120°，过B 作BD 垂直于x 轴于D ，则|AD →|＝3，所以T 4＝3，则T ＝12，ω＝2πT ＝π6，故选C.]9．－22解析 依题意得a·b ＝－1，|b |＝2，因此向量a 在向量b 方向上的投影为a·b|b |＝－22.10.61解析 由题意可得a·b ＝|a|·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝(2a －3b )2＝4|a |2＋9|b |2－12a·b ＝16＋81－36＝61.11．2解析 ∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.则m ＋n ＝2.12．2解析 设OC →＝(x ，y )，∵AB →＝(－3,3)， ∴由向量的运算可知， OC →·AB →＝－3x ＋3y ＝0，∴x ＝y ，AC →＝(x －3，y ＋1) ＝λOB →＝(0,2λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，y ＋1＝2λ， ∴λ＝2. 13．－29解析 MA →·MB →＝(CA →－CM →)·(CB →－CM →) ＝(12CA →－13CB →)·(23CB →－12CA →) ＝12CA →·CB →－14(CA →)2－29(CB →)2＝－29. 14．5解析 由于AB →＝AC →＋CB →，DC →＝DB →＋BC →， 所以AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC →＝AC →－BD →. (AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →) ＝|AC →|2－|BD →|2＝9－4＝5. 15．5解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝m ，P (0，t ) (t ∈[0，m ])，由题意可知，A (2,0)，B (1，m )，所以P A →＝(2，－t )，PB →＝(1，m －t )，P A →＋3PB →＝(5,3m －4t )，所以|P A →＋3PB →|＝52＋(3m －4t )2≥5，当且仅当t ＝34m 时取等号，故|P A →＋3PB →|的最小值为5.16．解 (1)由于a ∥b ， 所以2sin θ＝cos θ－2sin θ. 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝12＋22，所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5. 从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4， 即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin(2θ＋π4)＝－22.又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.所以θ＝π2或θ＝3π4.17．解 (1)由|a |＝(3sin x )2＋(sin x )2＝2sin 2x ，|b |＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得sin 2x ＝14.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12. 当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]，所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，sin(2x －π6)取得最大值1，所以f (x )的最大值为32.18．解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x . 令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1. 19．解 (1)依据m ∥n ，可得到tan A ＝33. 留意到A ∈(0，π)，得到A ＝π6.(2)由正弦定理可得：sin B ＝b sin A 2＝22， 由于a <b ，所以A <B ，所以B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A ·sin B ＝2(1＋3)4，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝1＋3；当B ＝3π4时，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A ·sin B ＝2(3－1)4，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝3－1.故△ABC 的面积为1＋3或3－1. 20．解 (1)由余弦定理得cos ∠POQ ＝|OP →|2＋|OQ →|2－|PQ →|22|OP →||OQ →|＝15，∴sin ∠POQ ＝25，得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1. ∴A ＝1，2πω＝4⎝⎛⎭⎫2－12＝6，ω＝π3. 由f ⎝⎛⎭⎫12＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1,0<φ<π2，得φ＝π3. ∴y ＝f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π3. (2)g (x )＝sin π3x ，h (x )＝f (x )·g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π3sin π3x ＝12sin 2π3x ＋32·sin π3x cos π3x ＝1－cos 2π3x4＋34sin 2π3x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2π3x －π6＋14. 当x ∈[0,2]时，2π3x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π6， ∴当2π3x －π6＝π2，即x ＝1时，h (x )max ＝34.。