步步高《单元滚动检测卷》高考数学(理)(北师大,全国)精练：10统计与统计案例(含答案解析)
单元滚动检测卷 高考数学(理)
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。
3．本次考试时间120分钟，满分150分。
单元检测一集合与常用逻辑用语第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·重庆)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B等于()A．[－2，－1]B．[－1,1]C．[－1,2) D．[1,2)3．(2015·长春外国语学校高三期中)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|1≤2x<4}，则A∩B等于()A．{－1,0,1} B．{0,1,2}C．{0,1} D．{1,2}4．(2015·宜昌调研)下列说法中，正确的是()A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题B．命题“存在x0∈R，x20－x0>0”的否定是“对任意的x∈R，x2－x≤0”C．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件5．(2015·吉林三模)已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]6．已知命题p：存在x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，命题q：任意x∈(0,1)，log2x<0，则下列命题为真命题的是()A ．p 且qB ．p 或(綈q )C ．(綈p )且qD ．p 且(綈q )7．(2015·赣州市十二县市期中)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]8．已知两个集合A ＝{x |y ＝ln(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |2x ＋1e －x≤0}，则A ∩B 等于( ) A ．[12，2) B ．(－1，－12] C ．(－1，e) D ．(2，e)9．(2015·大连二模)已知集合A ＝{(x ，y )|x (x －1)＋y (y －1)≤r }，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2}，若A ⊆B ，则实数r 可以取的一个值是( ) A.2＋1 B. 3 C ．2 D ．1＋2210．(2016·黄冈中学月考)下列四种说法中，①命题“存在x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“对于任意x ∈R ，x 2－x <0”；②命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2，22)，则f (4)的值等于12； ④已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，则向量a 在向量b 方向上的射影是25. 说法正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．(2015·宜春模拟)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．512．若p ：a ∈R ，|a |<1，q ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________________.14．给定两个命题，命题p ：对任意实数x 都有ax 2>－ax －1恒成立，命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围是________________．15．(2015·石家庄二模)已知命题p ：x 2－3x －4≤0；命题q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若綈q 是綈 p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________________．16．(2015·河南顶级名校入学定位考试)已知有限集A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ≥2，n ∈N )．如果A 中元素a i (i ＝1,2,3，…，n )满足a 1a 2…a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1＋52，－1－52是“复活集”；②若a 1，a 2∈R ，且{a 1，a 2}是“复活集”，则a 1a 2>4；③若a 1，a 2∈N ＋，则{a 1，a 2}不可能是“复活集”；④若a i ∈N ，则“复活集”A 有且只有一个，且n ＝3.其中正确的结论有________．(填上你认为正确的所有结论的序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数m 的值组成的集合．18．(12分)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．19．(12分)(2015·宿迁剑桥国际学校上学期期中)已知集合A ＝{x |y ＝1－2x ＋1x ＋1}，B ＝{x |[x －(a ＋1)][x －(a ＋4)]<0}．(1)若A ∩B ＝A ，求a 的取值范围；(2)若A ∩B ≠∅，求a 的取值范围．20．(12分)设函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ,函数g (x )＝3－|x |的定义域为集合B .(1)求A ∩B ；(2)若C ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，C ⊆B ，求实数m 的取值范围．21．(12分)(2015·潍坊高三质检)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}．命题p ：A ∩B ≠∅，命题q ：A ⊆C .(1)若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 且q 为真命题，求实数a 的取值范围．22．(12分)(2015·湖北省教学合作联考)已知集合U ＝R ，集合A ＝{x |(x －2)(x －3)<0}，函数y＝lg x －(a 2＋2)a －x的定义域为集合B . (1)若a ＝12，求集合A ∩(∁U B )； (2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．答案解析1．D [由于2∈A,2∈B,3∈A,3∈B,1∈A,1∉B ，故A ，B ，C 均错，D 是正确的，选D.]2．A [A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]，选A.]3．C [B ＝{x |1≤2x <4}＝{x |0≤x <2}，则A ∩B ＝{0,1}，故选C.]4．B [对于A ，当m ＝0时，逆命题不正确；对于B ，由特称命题与全称命题的关系知显然正确；命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 中至少有一个是真命题，不一定全为真命题，故C 不正确；“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，D 不正确．选B.]5．A [设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1，故选A.]6．C [命题p ：存在x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0为假命题，命题q ：任意x ∈(0,1)，log 2x <0为真命题，所以(綈p )且q 为真命题．]7．B [∵3x ＋1<1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1<0， 即(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，∵p 是q 的充分不必要条件，∴k >2，故选B.]8．B [由A 中的函数y ＝ln(－x 2＋x ＋2)，得到－x 2＋x ＋2>0，即x 2－x －2<0， 整理得：(x －2)(x ＋1)<0，即－1<x <2，∴A ＝(－1,2)，由B 中的不等式变形得：(2x ＋1)(e －x )≤0，且e －x ≠0，即(2x ＋1)(x －e)≥0，且x ≠e ，解得：x ≤－12或x >e ， 即B ＝(－∞，－12]∪(e ，＋∞)， 则A ∩B ＝(－1，－12]．故选B.] 9．A [A ＝{(x ，y )|(x －12)2＋(y －12)2≤r ＋12}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2}，由于A ，B 都表示圆上及圆内的点的坐标，要满足A ⊆B ，则两圆内切或内含．故圆心距满足22≤|r |－r ＋12，将四个选项中的数分别代入，可知只有A 选项满足，故选A.]10．A [①命题“存在x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“对于任意x ∈R ，x 2－x ≤0”，故①不正确；②命题“p 且q 为真”，则命题p 、q 均为真，所以“p 或q 为真”．反之“p 或q 为真”，则p 、q 不见得都真，所以不一定有“p 且q 为真”，所以命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2，22)，所以2α＝22，所以α＝－12，所以幂函数为f (x )＝x －12， 所以f (4)＝4－12＝12，所以命题③正确； ④向量a 在向量b 方向上的射影是|a |cos θ＝a ·b |b |＝25＝255，θ是a 和b 的夹角，故④错误．故选A.]11．B [当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0；当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12； 当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12； 当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12； 当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12. 故P *Q ＝{0，－12，12}，该集合中共有3个元素．] 12．A [p ：a ∈R ，|a |<1⇔－1<a <1⇒a －2<0，可知满足q 的方程有两根，且两根异号，条件充分；条件不必要，如a ＝1时，方程的一个根大于零，另一个根小于零．也可以把命题q 中所有满足条件的a 的范围求出来，再进行分析判断，实际上一元二次方程两根异号的充要条件是两根之积小于0，对于本题就是a －2<0，即a <2.]13．{1,2,5}解析 由A ∩B ＝{2}可得：log 2(a ＋3)＝2，∴a ＝1，∴b ＝2，∴A ∪B ＝{1,2,5}．14．(－∞，0)∪(14，4) 解析 若p 为真命题，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，即0≤a <4；若q 为真命题，则(－1)2－4a ≥0，即a ≤14. 因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，所以p ，q 中有且仅有一个为真命题．若p 真q 假，则14<a <4；若p 假q 真，则a <0. 综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(14，4)． 15．(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析 綈q 是綈p 的充分不必要条件，等价于p 是q 的充分不必要条件．由题意可得p ： －1≤x ≤4，q ：(x －3＋m )(x －3－m )≤0.当m ＝0时，显然不符合题意；当m >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m <－1，3＋m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m ≤－1，3＋m >4⇒m ≥4； 当m <0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋m <－1，3－m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≤－1，3－m >4 ⇒m ≤－4.综上，m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．16．①③④解析 ∵－1＋52×－1－52＝－1＋52＋－1－52＝－1，故①是正确的．②不妨设a 1＋a 2＝a 1a 2＝t ，则由一元二次方程根与系数的关系，知a 1，a 2是一元二次方程x 2－tx ＋t ＝0的两个根，由Δ>0，可得t <0或t >4，故②错．③不妨设A 中a 1<a 2<a 3<…<a n ，由a 1a 2…a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n <na n ，得a 1a 2…a n －1<n ，当n ＝2时，即有a 1<2，∴a 1＝1，于是1＋a 2＝a 2，无解，即不存在满足条件的“复活集”A ，故③正确．当n ＝3时，a 1a 2<3，故只能a 1＝1，a 2＝2，解得a 3＝3，于是“复活集”A 只有一个，为{1,2,3}．当n ≥4时，由a 1a 2…a n －1≥1×2×3×…×(n －1)，得n >1×2×3×…×(n －1)，也就是说“复活集”A 存在的必要条件是n >1×2×3×…×(n －1)，事实上，1×2×3×…×(n －1)≥(n －1)(n －2)＝n 2－3n ＋2＝(n －2)2－2＋n >n ，矛盾，∴当n ≥4时不存在“复活集”A ，故④正确．17．解 A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .①当m ＝0时，B ＝∅，B ⊆A ，故m ＝0；②当m ≠0时，由mx ＋1＝0，得x ＝－1m. ∵B ⊆A ，∴－1m ＝2或－1m ＝3，得m ＝－12或m ＝－13. ∴实数m 的值组成的集合为{0，－12，－13}． 18．解 因为y ＝(x －34)2＋716，x ∈[34，2]，所以y ∈[716，2]．又因为A ⊆B ，所以1－m 2≤716.解得m ≥34或m ≤－34. 19．解 若x ∈A ，则1－2x ＋1x ＋1≥0，即－x x ＋1≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)≤0，x ＋1≠0，解得－1<x ≤0，所以A ＝{x |－1<x ≤0}；若x ∈B ，则[x －(a ＋1)]·[x －(a ＋4)]<0，解得a ＋1<x <a ＋4，所以B ＝{x |a ＋1<x <a ＋4}．(1)若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤－1，a ＋4>0，解得－4<a ≤－2. (2)若A ∩B ＝∅，则a ＋4≤－1或a ＋1≥0，即a ≤－5或a ≥－1，所以若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是(－5，－1)．20．解 (1)要使函数f (x )有意义，则x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．要使g (x )有意义，则3－|x |≥0，解得－3≤x ≤3，即B ＝{x |－3≤x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |x >2或x <－1}∩{x |－3≤x ≤3}＝{x |－3≤x <－1或2<x ≤3}．(2)若C ＝∅，则m ≤－2，C ⊆B 恒成立；若m >－2，要使C ⊆B 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m >－2，m －1≥－3，2m ＋1≤3，解得－2<m ≤1. 综上，m ≤1.即实数m 的取值范围是(－∞，1]．21．解 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，(1)由命题p 为假命题可得A ∩B ＝∅，∴a －1>2，∴a >3.(2)∵命题p 且q 为真命题，∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ≠∅且A ⊆C .∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得0≤a ≤3.22．解 (1)因为集合A ＝{x |2<x <3}，又a ＝12， 所以函数y ＝lg x －(a 2＋2)a －x ＝lg x －9412－x ， 由x －9412－x >0，可得集合B ＝{x |12<x <94}， ∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}， 故A ∩(∁U B )＝{x |94≤x <3}． (2)因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A ⊆B ， 由A ＝{x |2<x <3}，而集合B 应满足x －(a 2＋2)a －x>0， 因为a 2＋2－a ＝(a －12)2＋74>0， 故B ＝{x |a <x <a 2＋2}，依题意就有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3，即a ≤－1或1≤a ≤2， 所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[1,2]．。
【步步高】高考数学总复习 第十章 概率与统计、统计案例章末检测 理 北师大版
第十章 章末检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )A ．4B ．5C ．6D ．7 2．(2011·威海模拟)下图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是( )A ．56分B ．57分C ．58分D ．59分 3．(2010·广州一模)商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元 4．(2011·烟台模拟)从2 010名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2 010人中，每人入选的概率( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为5201D ．都相等，且为1405.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为( )A ．0.9,35B ．0.9,45C ．0.1,35D ．0.1,45 6．(2011·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.34 7.如图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字．从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为( )A ．304.6B ．303.6C ．302.6D ．301.6 8．(2011·广州联考)为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是( )A ．32B ．27C ．24D ．339．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回的抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )A.227B.19C.29D.12711．掷一枚硬币，若出现正面记1分，出现反面记2分，则恰好得3分的概率为( ) A.58 B.18 C.14 D.12 12．(2010·安徽)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )A.318B.418C.518D.618二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(2010·北京)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．14．如图所示，墙上挂有一长为2π，宽为2的矩形木板ABCD，它的阴影部分是由函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象和直线y＝1围成的图形．某人向此木板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是________．15．(2011·广东五校联考)某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下的判断：p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；r：这种血清预防感冒的有效率为95%；s：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列结论中，正确结论的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)①p∧綈q②綈p∧q③(綈p∧綈q)∧(r∨s)④(p∨綈r)∧(綈q∨s)16．(2011·江苏通州调研)将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(2011·福建龙岩一中模拟)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数之和为5的概率；(2)两数中至少有一个为奇数的概率；(3)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部的概率．18．(12分)为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)，解答下列问题：(1)填充频率分布表中的空格；(2)补全频率分布直方图；(3)若成绩在80.5～90.5分的学生可以获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？19．(12分)(2011·安庆模拟)对某班学生是爱好体育还是爱好文娱进行调查，根据调查得到的数据，所绘制的二维条形图如下图.(1)根据图中数据，制作2×2列联表；(2)若要从更爱好文娱和从更爱好体育的学生中各选一人分别做文体活动协调人，求选出的两人恰好是一男一女的概率；(3)是否可以认为性别与是否爱好体育有关系？参考数据：20．(12分)(2010·天津)有编号为A 1，A 2，…，A 10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率． (2)从一等品零件中，随机抽取2个：①用零件的编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2个零件直径相等的概率．21．(12分)(2011·苍山期末)已知关于x 的一元二次函数，f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．22．(12分)从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155 cm 和195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)；…；第八组[190,195]，上图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180 cm 以上(含180 cm)的人数； (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x 、y ，求满足|x －y |≤5的事件概率．第十章 章末检测1．C [抽样比k ＝2040＋10＋30＋20＝20100＝15，∴抽取植物油类与果蔬类食品种数之和是10×15＋20×15＝2＋4＝6.]2．B [由图可知甲的中位数为32，乙的中位数为25，故和为57.]3．C [由0.40.1＝x2.5，得x ＝10(万元)．]4．C [从2 010名学生中选取50名学生，不论采用何种抽样方法，每名学生被抽到的可能性均相同，谁被剔除或被选中都是机会均等的．所以每人入选的概率都相等，且为502 010＝5201.] 5．A [x ＝0.02＋0.18＋0.34＋0.36＝0.9； y ＝(0.36＋0.34)×50＝35.]6．D [甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为12，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为14＋12＝34.]7．B [x ＝291×2＋295＋298＋302＋306＋310＋312＋314＋31710＝303.6.]8．D [80～100间两个长方形高占总体的比例：5＋62＋3＋5＋6＋3＋1＝1120即为频数之比．∴x 60＝1120.∴x ＝33.] 9．D [∵x ＋y ＋10＋11＋95＝10，∴x ＋y ＝20.∵(x －10)2＋(y －10)2＋0＋1＋15＝2，∴(x －10)2＋(y －10)2＝8， ∴x 2＋y 2－20(x ＋y)＋200＝8， ∴x 2＋y 2－200＝8，∴x 2＋y 2＝208.由x ＋y ＝20知(x ＋y)2＝x 2＋y 2＋2xy ＝400， ∴2xy ＝192，∴|x －y|2＝x 2＋y 2－2xy ＝208－192＝16，∴|x －y|＝4.]10．B [有放回地取球三次，假设第一次取红球共有如下所示9种取法．同理，第一次取黄球、绿球分别也有9种情况，共计27种．而三次颜色全相同，共有3种情况，故颜色全相同的概率为327＝19.]11．A [有三种可能的情况：①连续3次都掷得正面，其概率为⎝⎛⎭⎫123；②第1次掷得正面，第2次掷得反面，其概率为⎝⎛⎭⎫122；③第1次掷得反面，第2次掷得正面，其概率为⎝⎛⎭⎫122， 因此恰好得3分的概率为 ⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝58.] 12．C [甲共得6条，乙共得6条，共有6×6＝36(对)，其中垂直的有10对，∴P ＝1036＝518.] 13．0.030 3解析 ∵小矩形的面积等于频率，∴除[120,130)外的频率和为0.700，∴a ＝1－0.70010＝0.030.由题意知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]的学生分别为30人，20人，10人，∴由分层抽样可知抽样比为1860＝310，∴在[140,150]中选取的学生应为3人． 14.12解析 方法一 由余弦函数图象的对称性知，阴影部分的面积为矩形ABCD 的面积的一半，故所求概率为12.方法二 也可用积分求阴影部分的面积： ∫2π0(1－cos x)d x ＝(x －sin x)|2π0＝2π.∴P ＝2π4π＝12.15．①④解析 本题考查了独立性检验的基本思想及常用逻辑用语．由题意，得K 2≈3.918，P(K 2≥3.841)≈0.05，所以，只有第一位同学的判断正确，即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．由真值表知①④为真命题．16.112解析 基本事件有6×6×6＝216(个)，点数依次成等差数列的有： (1)当公差d ＝0时，1,1,1及2,2,2，…，共6个．(2)当公差d ＝±1时，1,2,3及2,3,4；3,4,5；4,5,6，共4×2个．(3)当公差d ＝±2时，1,3,5；2,4,6，共2×2个．∴P ＝6＋4×2＋2×26×6×6＝112.17．解 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件．(1)记“两数之和为5”为事件A ，则事件A 中含有4个基本事件，所以P(A)＝436＝19.答 两数之和为5的概率为19.(3分)(2)记“两数中至少有一个为奇数”为事件B ，则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件，所以P(B)＝1－936＝34.答 两数中至少有一个为奇数的概率为34.(6分)(3)基本事件总数为36，点(x ，y)在圆x 2＋y 2＝15的内部记为事件C ，则C 包含8个事件，所以P(C)＝836＝29.答 点(x ，y)在圆x 2＋y 2＝15的内部的概率为29.(10分)18．解 (1)(4分)(2)频率分布直方图如图所示：(8分)(3)因为成绩在80.5～90.5分的学生的频率为0.32且有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.32×900＝288(人)．(12分)19．解 (1)(3分)(2)恰好是一男一女的概率是： 15×10＋5×1020×20＝12.(6分) (3)K 2＝n (ac －bd )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝40×(15×10－5×10)220×20×25×15＝83≈2.666 7…<2.706，(9分) ∴我们没有足够的把握认为性别与是否更喜欢体育有关系．(12分)20．解 (1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A ，则P(A)＝610＝35.(4分)(2)①一等品零件的编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共有15种．(8分) ②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：(A 1，A 4)，(A 1，A 6)，(A 4，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 5)，(A 3，A 5)，共有6种，所以P(B)＝615＝25.(12分) 21．解 (1)∵函数f(x)＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba，∴要使f(x)＝ax 2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，则a>0且2ba≤1，即2b ≤a.(3分)若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1,1； 若a ＝3，则b ＝－1,1.∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.(5分) 又∵总事件数为15，∴所求事件的概率为515＝13.(6分)(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a>0时，函数f(x)＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )|⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8≤0a>0b>0.如图所示．构成所求事件的区域为阴影部分．(8分)由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝⎛⎭⎫163，83.(10分) ∴所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.(12分)22．解 (1)由频率分布直方图知，前五组频率为 (0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82， 后三组频率为1－0.82＝0.18， 人数为0.18×50＝9(人)，(2分)这所学校高三男生身高在180 cm 以上(含180 cm )的人数为800×0.18＝144(人)．(4分) (2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2(人)， 设第六组人数为m ，则第七组人数为9－2－m ＝7－m ，又m ＋2＝2(7－m)，所以m ＝4， 即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08,0.06.(6分) 频率除以组距分别等于0.016,0.012，见图．(9分)(3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为4人，设为a ，b ，c ，d.身高在[190,195]的人数为2人，设为A ，B.若x ，y ∈[180,185)时，有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6种情况． 若x ，y ∈[190,195]时，有AB 共1种情况．若x ，y 分别在[180,185)，[190,195]内时，有aA ，bA ，cA ，dA ，aB ，bB ，cB ，dB 共8种情况．所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15(种)．(11分) 事件|x －y|≤5所包含的基本事件个数有6＋1＝7(种)，故P(|x －y|≤5)＝715.(12分)。
步步高 高三数学(理)二轮专题突破课件 专题六 第3讲《统计与统计案例》
取 40 名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按 1～
200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组(1～5 号，6～10 号，…，
196～200 号)．若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号
本 讲
码应是________．若用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应
栏 目
抽取________人．
热点分类突破
专题六 第3讲
附表：
P(K2(χ2)≥k) 0.050 0.010 0.001
k
3.841 6.635 10.828
本 参照附表，得到的正确结论是
()
讲 栏
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项
目 开
运动与性别有关”
关 B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项
两个数据的平均数) 横坐标
平均数
样本数据的算术平均 数
每个小矩形的面积乘 以小矩形底边中点的 横坐标之和
主干知识梳理
专题六 第3讲
(2)方差：s2＝n1[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]．
标准差：
本
s＝ n1[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2].
(2)2
热点分类突破
专题六 第3讲
(1)反映样本数据分布的主要方式有：频率分布
表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确
每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的
本 讲
大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考
栏 目
查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征
开 关
目
开 深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围．但无论哪种抽样
步步高《单元滚动检测卷》高考数学(理)(北师大,全国)精练：滚动检测四(含答案解析)
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。
3．本次考试时间120分钟，满分150分。
滚动检测四第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·九江模拟)如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义A*B 表示阴影部分的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x|y ＝2x －x 2}，B ＝{y|y ＝3x ，x>0}，则A*B 等于( )A ．(2，＋∞)B ．[0,1)∪(2，＋∞)C ．[0,1]∪(2，＋∞)D ．[0,1]∪(2，＋∞)2．若“0<x<1”是“(x －a)[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0]∪[1，＋∞) B ．(－1,0)C ．[－1,0]D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)3．(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x≤1，－log 2(x ＋1)，x>1， 且f(a)＝－3，则f(6－a)等于( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－144．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f(2x －1)<f(13)的x 的取值范围是( )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC.若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ等于( )A.12B.23C.56D.7126．(2015·荆州中学模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝4，S 3＝9，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋2 C ．a n ＝2n －1D ．a n ＝2n ＋17．(2015·上饶一模)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c 若A ＝π3，b ＝2acos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34 C.36 D.388．(2015·河南中原名校高三期中)已知数列{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且满足：a 1 003＋a 1 013＝π，b 6·b 9＝2，则tan a 1＋a 2 0151＋b 7b 8等于( )A ．1B ．－1 C.33D. 3 9．关于函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4与函数g(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，下列说法正确的是( ) A ．函数f(x)和g(x)的图像有一个交点在y 轴上 B ．函数f(x)和g(x)的图像在区间(0，π)内有3个交点 C ．函数f(x)和g(x)的图像关于直线x ＝π2对称D ．函数f(x)和g(x)的图像关于原点(0,0)对称10．已知{a n }为等差数列，0<d<1，a 5≠kπ2，sin 2a 3＋2sin a 5·cos a 5＝sin 2a 7，S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ≥S 10对一切n ∈N ＋都成立，则首项a 1的取值范围是( ) A ．[－98π，－π)B ．[－98π，－π]C ．(－54π，－98π]D ．[－54π，－98π]11．设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x<0，x ，0≤x<1，则f(32)等于( )A.32 B ．1 C ．2 D.1212．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝lg ⎝⎛⎭⎫1＋2n 2＋3n ，n ＝1,2，…，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n 等于( )A ．0B ．lg n ＋1n ＋3＋lg 3C ．lg nn ＋2＋lg 2 D ．lgn －1n ＋1＋lg 3第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则f(0)的值是________________________________________________________________________．14．(2015·河南十校联考)设数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，记数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .若a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，则a 7＋a 5b 7＋b 5＝________. 15．(2015·南阳质检)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B的值是________． 16．已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f(x)＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.18．(12分)设f(x)＝4cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω>0. (1)求函数y ＝f(x)的值域；(2)若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值．19．(12分)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x 的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x ∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x)x －4ln x 的零点个数．20．(12分)已知函数f(x)＝cos x(sin x －3cos x)(x ∈R)． (1)求函数f(x)的最大值以及取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f(A 2)＝－32，a ＝3，b ＋c ＝23，求△ABC 的面积．21．(12分)(2015·安徽八校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C)，且p ∥q. (1)求sin A 的值；(2)求三角函数式－2cos 2C 1＋tan C ＋1的取值范围．22．(12分)(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x 3＋ax ＋14，g(x)＝－ln x.(1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f(x)的切线；(2)用min{m ，n}表示m ，n 中的最小值，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数．答案解析1．C 2.C 3.A 4.A 5.C 6．C 设数列的公差为d ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d －a 1－d ＝4，3a 1＋3d ＝9，解得d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 故选C.7．B [由正弦定理得sin B ＝2sin Acos B ， 故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bcsin A ＝12×1×1×32＝34.] 8．D [因为数列{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且满足：a 1 003＋a 1 013＝π，b 6·b 9＝2，所以a 1＋a 2 015＝a 1 003＋a 1 013＝π，b 7·b 8＝b 6·b 9＝2， 所以tan a 1＋a 2 0151＋b 7b 8＝tan π3＝ 3.故选D.]9．D [g(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－π2＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，与f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像关于原点对称，故选D.] 10．D [由sin 2a 3＋2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7， 得1－cos 2a 32＋sin 2a 5＝1－cos 2a 72⇒2sin 2a 5＝cos 2a 3－cos 2a 7 ＝cos 2(a 5－2d)－cos 2(a 5＋2d) ＝2sin 2a 5sin 4d.因为a 5≠k π2，所以sin 4d ＝1，所以4d ＝2k π＋π2⇒d ＝k π2＋π8，k ∈Z ，又因为0<d<1，所以d ＝π8.因为S n ≥S 10对一切n ∈N ＋都成立，所以⎩⎨⎧a 10≤0a 11≥0⇒⎩⎨⎧a 1＋9d ＝a 1＋9π8≤0a 1＋10d ＝a 1＋10π8≥0⇒⎩⎨⎧a 1≤－9π8a 1≥－5π4，即首项a 1的取值范围是[－54π，－98π]．故选D.] 11．B [∵f(x)是周期为2的函数，∴f(32)＝f(－12＋2)＝f(－12)＝－4×(－12)2＋2＝1.]12．B [a n ＝lg n 2＋3n ＋2n(n ＋3)＝lg(n 2＋3n ＋2)－lg[n(n ＋3)]＝[lg(n ＋1)－lg n]－[lg(n ＋3)－lg(n ＋2)]，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝[lg(n ＋1)－lg n]＋[lg n －lg(n －1)]＋…＋(lg 2－lg 1)－{[lg(n ＋3)－lg(n ＋2)]＋[lg(n ＋2)－lg(n ＋1)]＋…＋(lg 4－lg 3)}＝[lg(n ＋1)－lg 1]－[lg(n ＋3)－lg 3] ＝lg n ＋1n ＋3＋lg 3.] 13.62解析 由题图可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.又2πω＝T ，∴ω＝2ππ＝2. 根据函数图像可得2×π3＋φ＝kπ(k ∈Z)，∴φ＝kπ－23π(k ∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3，则f(x)＝2sin(2x ＋π3)，∴f(0)＝2sin π3＝62.14．－513解析 由S 7－S 5＝4(T 6－T 4)得，a 6＋a 7 ＝4(b 5＋b 6)，又a 5＝b 5，a 6＝b 6，所以a 6＋a 7＝4(a 5＋a 6)，所以6a 1＋25d ＝0，所以a 1＝－256d ，又q ＝b 6b 5＝a 6a 5＝－256d ＋5d －25d6＋4d ＝－5，所以a 7＋a 5b 7＋b 5＝2a 6b 5(q 2＋1)＝2b 6b 5(q 2＋1)＝2q q 2＋1＝－513.15．4 16.(0，12)17．(1)解 由a n ＋1＝3a n ＋1 得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)证明 由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.即1a n ＝23n －1≤13n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32(1－13n )<32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.18．解 (1)f(x)＝4⎝⎛⎭⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin ωx ＋cos 2ωx＝23sin ωxcos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1. 因为－1≤sin 2ωx≤1，所以函数y ＝f(x)的值域为[1－3，1＋ 3 ]．(2)因为y ＝sin x 在每个闭区间⎣⎡⎦⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k ∈Z)上为增函数，故f(x)＝3sin 2ωx ＋1(ω>0)在每个闭区间⎣⎡⎦⎤kπω－π4ω，kπω＋π4ω(k ∈Z)上为增函数． 依题意知⎣⎡⎦⎤－3π2，π2⊆⎣⎡⎦⎤kπω－π4ω，kπω＋π4ω对某个k ∈Z 成立， 由ω>0知，此时必有k ＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧－3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，ω>0，解得0<ω≤16，故ω的最大值为16.19．解 (1)∵f(x)是二次函数，且关于x 的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x ∈R}， ∴设f(x)＝a(x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a>0. 又∵a>0，f(x)＝a[(x －1)2－4]≥－4， 且f(1)＝－4a ，∴f(x)min ＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x 2－2x －3. (2)∵g(x)＝x 2－2x －3x －4ln x＝x －3x －4ln x －2 (x>0)，∴g′(x)＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2.x ，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表：当g(x)在(3，＋∞)上单调递增 g(3)＝－4 ln 3<0，取x ＝e 5>3，又g(e 5)＝e 5－3e 5－20－2>25－1－22＝9>0.故函数g(x)只有1个零点，且零点x 0∈(3，e 5)． 20．解 (1)f(x)＝cos x(sin x －3cos x) ＝sin xcos x －3cos 2x＝sin 2x 2－3cos 2x 2－32＝sin(2x －π3)－32.当2x －π3＝2kπ＋π2(k ∈Z)，即x ＝kπ＋5π12，k ∈Z ，即x ∈{x|x ＝kπ＋5π12，k ∈Z}时，f(x)取最大值1－32. (2)由f(A 2)＝－32，可得sin(A －π3)＝0，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3，则a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝b 2＋c 2－bc ， 由a ＝3，b ＋c ＝23，解得bc ＝1， 所以S △ABC ＝12bcsin A ＝34.21．解 (1)∵p ＝(2b －c ，cos C)，q ＝(2a,1)，且p ∥q ， ∴2b －c ＝2acos C ，由正弦定理得2sin Acos C ＝2sin B －sin C ， 又∵sin B ＝sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋cos Asin C ， ∴12sin C ＝cos Asin C. ∵sin C≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A<π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32. (2)－2cos 2C 1＋tan C＋1＝1－2(cos 2C －sin 2C)1＋sin C cos C ＝1－2cos 2C ＋2sin Ccos C ＝sin 2C －cos 2C＝2sin(2C －π4)，∵0<C<23π，∴－π4<2C －π4<1312π，∴－22<sin(2C －π4)≤1， ∴－1<2sin(2C －π4)≤ 2，即三角函数式－2cos 2C1＋tan C ＋1的取值范围为(－1，2]．22．解 (1)设曲线y ＝f(x)与x 轴相切于点(x 0,0)， 则f(x 0)＝0，f′(x 0)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0，解得x 0＝12，a ＝－34. 因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f(x)的切线． (2)当x ∈(1，＋∞)时，g(x)＝－ln x<0，从而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0，故h(x)在(1，＋∞)内无零点．当x ＝1时，若a≥－54，则f(1)＝a ＋54≥0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝g(1)＝0，故x ＝1是h(x)的零点；若a<－54，则f(1)<0，h(1)＝min{f(1)，g(1)} ＝f(1)<0，故x ＝1不是h(x)的零点．当x ∈(0,1)时，g(x)＝－ln x>0.所以只需考虑f(x)在(0,1)内的零点个数．(ⅰ)若a≤－3或a≥0，则f′(x)＝3x 2＋a 在(0,1)内无零点，故f(x)在(0,1)单调．而f(0)＝14，f(1)＝a ＋54，所以当a≤－3时，f(x)在(0,1)内有一个零点；当a≥0时，f(x)在(0,1)没有零点． (ⅱ)若－3<a<0，则f(x)在⎝⎛⎭⎫0， －a 3内单调递减，在⎝⎛⎭⎫ －a 3，1内单调递增，故在(0,1)内，当x ＝－a 3时，f(x)取得最小值，最小值为 f ⎝⎛⎭⎫ －a 3＝2a 3 －a 3＋14. ①若f ⎝⎛⎭⎫ －a 3>0，即－34<a<0，f(x)在(0,1)内无零点； ②若f ⎝⎛⎭⎫ －a 3＝0，即a ＝－34，则f(x)在(0,1)内有唯一零点； ③若 f ⎝⎛⎭⎫ －a 3<0，即－3<a<－34，由于f(0)＝14，f(1)＝a ＋54，所以当－54<a<－34时，f(x)在(0,1)内有两个零点；当－3<a≤－54时，f(x)在(0,1)内有一个零点． 综上，当a>－34或a<－54时，h(x)有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h(x)有两个零点；当－54<a<－34时，h(x)有三个零点．。
【北师大版】2020届高三数学步步高(理)第十编 计数原理
第十编计数原理§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础自测1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数（）A.7B.64C.12D.81答案C2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为（）A.6B.5C.3D.2答案B3.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有不同的选法种数为（）A.9B.20C.54D.45答案B4.将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（）A.34种B.43种C.18种D.36种答案D5.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？（3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？解（1）“完成这件事”只需从老师、学生中选1人即可，共有3+8+5=16种.(2)“完成这件事”需选2人，老师、学生各1人，分两步进行：选老师有3种方法，选学生有8+5=13种方法，共有3×13=39种方法.(3)“完成这件事”需选3人，老师、男同学、女同学各一人，可分三步进行，选老师有3种方法，选男同学有8种方法，选女同学有5种方法，共有3×8×5=120种方法.例1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解方法一按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有：8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）.方法二按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个，所以按分类计数原理共有：1+2+3+4+5+6+7+8=36（个）.例2已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:(1)P可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?解（1）确定平面上的点P(a,b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法.根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是6×6=36.（2）确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0,所以有3种确定方法；第二步确定b,由于b＞0，所以有2种确定方法.由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是3×2=6.（3）点P（a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y=x 上的点有6个.由（1）得不在直线y=x上的点共有36-6=30个.例3（12分）现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解（1）分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34（种）. 3分（2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N=7×8×9×10=5 040（种）. 6分（3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，10分所以共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431（种）. 12分1.从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法?解当一个加数是1时,另一个加数只能是20,1种取法.当一个加数是2时,另一个加数可以是19,20,2种取法.当一个加数是3时,另一个加数可以是18,19,20,3种取法.……当一个加数是10时,另一个加数可以是11,12,…,20,10种取法.当一个加数是11时,另一个加数可以是12,13,…,20,9种取法.……当一个加数是19时,另一个加数是20,1种取法.由分类加法计数原理可得共有1+2+3+…+10+9+8+…+1=100种取法.2.某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？解先分三步选号，再计算总钱数.按号段选号，分成三步.第一步从01至17中选3个连续号，有15种选法；第二步从19至29中选2个连续号，有10种选法；第三步从30至36中选1个号，有7种选法.由分步乘法计数原理可知，满足要求的号共有15×10×7=1 050(注),故至少要花1 050×2=2 100(元).3.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.（1）任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（3）选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？解（1）分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选一个班，有7种不同方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法.由分类计数原理，共有6+7+8=21种不同的选法.（2）每种选法分三步：第一步从高一年级选一个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法.由分步计数原理，共有6×7×8=336种不同的选法.（3）分三类，每类又分两步.第一类从高一、高二两个年级各选一个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7+6×8+7×8=146种不同选法.一、选择题1.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A.10种B.20种C.25种D.32种答案D2.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”个数为（）A.2 000B.4 096C.5 904D.8 320答案C3.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（）A.3B.4C.6D.8答案D4.如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有（）A.180种B.120种C.96种D.60种答案A5.一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有（）A.6种B.8种C.36种D.48种答案D6.（2020·全国Ⅰ文，12）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A.6种B.12种C.24种D.48种答案B二、填空题7.在2020年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有种.答案 2 8808.若一个m,n均为非负整数的有序数对（m,n)，在做m+n的加法时各位均不会进位，则称（m,n)为“简单的”有序数对，m+n称为有序数对（m,n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序数对的个数是 .答案300三、解答题9.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解（1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四个都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有：3×3×3×3=81种报名方法.（2）完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能的情况，于是共有：4×4×4=43=64种可能的情况.10.用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？解完成该件事可分步进行.涂区域1，有5种颜色可选.涂区域2，有4种颜色可选.涂区域3，可先分类：若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种颜色可选.若区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选.所以共有5×4×（1×4+3×3）=260种涂色方法.11.在平面直角坐标系内，点P（a，b）的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又点P到原点的距离|OP|≥5.求这样的点P的个数.解按点P的坐标a将其分为6类:(1)若a=1,则b=5或6,有2个点;(2)若a=2,则b=5或6,有2个点;(3)若a=3,则b=5或6或4,有3个点;(4)若a=4,则b=3或5或6,有3个点;(5)若a=5,则b=1,2,3,4,6,有5个点;(6)若a=6,则b=1,2,3,4,5,有5个点;∴共有2+2+3+3+5+5=20（个）点.12.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？解设由左到右五块田中要种a,b,c三种作物，不妨先设第一块种a,则第二块可种b,c,有两种选法.同理，如果第二块种b,则第三块可种a和c,也有两种选法，由分步乘法计数原理共有1×2×2×2×2=16.其中要去掉ababa和acaca两种方法.故a种作物种在第一块田中时的种法数有16-2=14（种）.同理b种或c种作物种在第一块田中时的种法数也都为14种.所以符合要求的种植方法共有3×(2×2×2×2-2)=3×(16-2)=42(种).§10.2 排列与组合1.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（ ）A .9个B .24个C .36个D.54个答案 D2.（2020·福建理，7）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）A .14B .24C .28D.48答案 A3.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3个空车位连在一起的排法有 （ ）A .A 77B .A 37C .C 18A 77D.C 18A 37答案 C4.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法种数是（ ）A .C 16C 294B .C 16C 299C .C 3100-C 394D.A 3100-A 394答案 C5.（2020·上海理，12）组合数C r n （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ）A .11++n r C 11--r nB .(n +1)(r +1)C 11--r nC .nr C 11--r nD.rn C 11--r n 答案 D例1 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ （1）甲不站两端； （2）甲、乙必须相邻； （3）甲、乙不相邻； （4）甲、乙之间间隔两人； （5）甲、乙站在两端； （6）甲不站左端，乙不站右端.解 （1）方法一 要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A 14种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A 55种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A 14·A 55=480（种）.方法二 由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A 25种站法，然后中间4人有A 44种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A 25·A 44=480（种）.方法三 若对甲没有限制条件共有A 66种站法，甲在两端共有2A 55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：A 66-2A 55=480（种）.基础自测（2）方法一先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有A22种站法，根据分步乘法计数原理，共有A55·A22=240（种）站法.方法二先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A44种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有A15种方法，最后让甲、乙全排列，有A22种方法，共有A44·A15·A22=240（种）.（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A44种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A25种站法，故共有站法为A44·A25=480（种）.也可用“间接法”，6个人全排列有A66种站法，由（2）知甲、乙相邻有A55·A22=240种站法，所以不相邻的站法有A66-A55·A22=720-240=480（种）.（4）方法一先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A44种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A22种，故共有A44·（3A22）=144（种）站法.方法二先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A24种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A33种方法，最后对甲、乙进行排列，有A22种方法，故共有A24·A33·A22=144（种）站法.（5）方法一首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A44种，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44=48（种）站法.方法二首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A22种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有A44种站法，由分步乘法计数原理共有A22·A44=48（种）站法.（6）方法一甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A55种，且甲在左端而乙在右端的站法有A44种，共有A66-2A55+A44=504（种）站法.方法二以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A55种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A14·A14·A44种，故共有A55+A14·A14·A44=504（种）站法.例2（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.解（1）第一步：选3名男运动员，有C36种选法.第二步：选2名女运动员，有C24种选法.共有C36·C24=120种选法. 3分（2）方法一至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46+C24C36+C34C26+C44C16=246种. 6分方法二“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种.所以“至少有1名女运动员”的选法为C510-C56=246种. 6分（3）方法一可分类求解：“只有男队长”的选法为C48；“只有女队长”的选法为C48；“男、女队长都入选”的选法为C38；所以共有2C48+C38=196种选法. 9分方法二间接法：从10人中任选5人有C510种选法.其中不选队长的方法有C58种.所以“至少1名队长”的选法为C510-C58=196种. 9分（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法.不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法.其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时的选法共有C48-C45种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有C49+C48-C45=191种. 12分例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？解（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13×A22=144种.（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有C24种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有C34C11A22种方法；第二类有序均匀分组有222 22 4 A CC·A22种方法.故共有C24( C34C11A22+222 22 4 A CC·A22）=84种.1.用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：(1)奇数；(2)偶数；(3)大于3 125的数.解 (1)先排个位，再排首位，共有A13·A14·A24=144（个）.(2)以0结尾的四位偶数有A35个，以2或4结尾的四位偶数有A12·A14·A24个，则共有A35+ A12·A14·A24=156（个）.(3)要比3 125大，4、5作千位时有2A35个，3作千位，2、4、5作百位时有3A24个，3作千位，1作百位时有2A13个，所以共有2A35+3A24+2A13=162（个）.2.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解（1）只需从其他18人中选3人即可，共有C318=816（种）.（2）只需从其他18人中选5人即可，共有C518=8 568（种）.（3）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C12C418+C318=6 936（种）.（4）方法一（直接法）至少一名内科医生一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C112C48+C212C38+C312C28+C412C18=14 656（种）.方法二（间接法）由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C520-（C58+C512)=14 656(种）.3.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本.解（1）分三步：先选一本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25种选法；对于余下的三本全选有C33种选法，由分步乘法计数原理知有C16C25C33=60种选法.（2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）的基础上，还应考虑再分配的问题，因此共有C 16C 25C 33A 33=360种选法.（3）先分三步，则应是C 26C 24C 22种选法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A 、B 、C 、D 、E 、F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为（AB ，CD ，EF ），则C 26C 24C 22种分法中还有（AB 、EF 、CD ），（CD 、AB 、EF ）、（CD 、EF 、AB ）、（EF 、CD 、AB ）、（EF 、AB 、CD ）共有A 33种情况，而且这A 33种情况仅是AB 、CD 、 EF 的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分法有33222426A C C C =15种.（4）在问题（3）的工作基础上再分配，故分配方式有33222426A C C C ·A 33= C 26C 24C 22=90种.一、选择题1.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有（ ）A .60个B .48个C .36个D .24个答案 C2.将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里，每个盒子内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法的种数为（ ）A .6B .10C .20D .30答案 B3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）A .1 440种B .960种C .720种D .480种答案 B4.在图中，“构建和谐社会，创美好未来”，从上往下读（不能跳读），共有不同的读法种数是（ ）A .250B .240C .252D .300答案 C5.(2020·天津理，10)有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 （ ）A .1 344种B .1 248种C .1 056种D .960种答案 B6.（2020·安徽理，12）12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）A .C 28A 23B .C 28A 66C .C 28A 26D .C 28A 25答案C二、填空题7.（2020·海滨模拟）平面α内有四个点，平面β内有五个点，从这九个点中任取三个，最多可确定个平面，任取四点，最多可确定个四面体.（用数字作答）.答案72 1208.（2020·浙江理，16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻.这样的六位数的个数是 .（用数字作答）答案40三、解答题9.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？解可先分组再分配，据题意分两类，一类：先将3个项目分成两组，一组有1个项目，另一组有2个项目，然后再分配给4个城市中的2个，共有C23A24种方案；另一类1个城市1个项目，即把3个元素排在4个不同位置中的3个，共有A34种方案.由分类加法计数原理可知共有C23A24+A34=60种方案.10.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？（1）只有一名女生；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选.解（1）一名女生，四名男生，故共有C15·C48=350（种）.（2）将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311=165（种）.（3）至少有一名队长含有两类：有一名队长和两名队长.故共有：C12·C411+C22·C311=825（种）.或采用间接法：C513-C511=825（种）.（4）至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生.故选法为C25·C38+C15·C48+C58=966（种）.11.已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点.（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？（3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解（1）所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个；②α内2点，β内1点确定的平面，有C24·C16个；③α，β本身.∴所作的平面最多有C14·C26+C24·C16+2=98（个）.（2）所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C14·C36个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C 24·C 26个；α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C 34·C 16个.∴最多可作出的三棱锥有：C 14·C 36+C 24·C 26+C 34·C 16=194（个）.（3）∵当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等, 且平面α∥β，∴体积不相同的三棱锥最多有C 36+C 34+C 26·C 24=114（个）.12.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，共有多少种不同排法？ 解 ∵前排中间3个座位不能坐， ∴实际可坐的位置前排8个，后排12个.（1）两人一个前排，一个后排，方法数为C 18·C 112·A 22种；（2）两人均在后排左右不相邻，共A 212-A 22·A 111=A 211种；（3）两人均在前排，又分两类：①两人一左一右，共C 14·C 14·A 22种；②两人同左同右，有2（A 24-A 13·A 22）种.综上可知，不同排法种数为C 18·C 112·A 22+A 211+C 14·C 14·A 22+2（A 24-A 13·A 22）=346种.§10.3 二项式定理1.在（1+x ）n (n ∈N *)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n 等于（ ）A .8B .9C .10D .11答案 C2.在（a 2-2a 31）n 的展开式中，（ ）A .没有常数项B .当且仅当n =2时，展开式中有常数项 C.当且仅当n =5时，展开式中有常数项 D.当n =5k (k ∈N +)时，展开式中有常数项 答案 A3.若多项式0C n (x +1 n ）-C 1n (x +1)n -1+…+(-1)r C r n (x +1)n -r +…+(-1)n C n n =a 0x n +a 1x n -1+…+a n -1x +a n ,则a 0+a 1+…+a n -1+a n 等于（ ）A .2nB .0C .-1D .1答案 D4.（2020·山东理，9）(x -31x)12展开式中的常数项为（ ）基础自测A .-1 320B .1 320C .-220D .220答案 C5.（2020·福建理，13）若(x -2)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5= .（用数字作答） 答案 31例1 在二项式(x +421x)n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项.解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，2n ，81n (n -1)， ∴2·2n =1+81n （n -1）， 解得n =8或n =1（不合题意，舍去）， ∴T k +1=C k 8x28k -k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421x =C k 82-k x 4-43k ， 当4-43k ∈Z 时，T k +1为有理项， ∵0≤k ≤8且k ∈Z ,∴k =0，4，8符合要求. 故有理项有3项，分别是 T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=2561x -2.∵n =8，∴展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大.T 5=835x . 例2 已知(1-2x )7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 7x 7. 求:(1)a 1+a 2+…+a 7; (2)a 1+a 3+a 5+a 7; (3)a 0+a 2+a 4+a 6;(4)|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|.解 令x =1,则a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=-1 ①令x =-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7=37②(1)∵a 0=C 07=1,∴a 1+a 2+a 3+…+a 7=-2. (2)(①-②)÷2,得a 1+a 3+a 5+a 7=2317--=-1 094.(3)(①+②)÷2, 得a 0+a 2+a 4+a 6=2317+-=1 093. (4)∵(1-2x )7展开式中,a 0,a 2,a 4,a 6都大于零, 而a 1,a 3,a 5,a 7都小于零, ∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7| =(a 0+a 2+a 4+a 6)-(a 1+a 3+a 5+a 7),∴由(2)、（3）即可得其值为2 187.例3（12分）（1）已知n∈N+,求证：1+2+22+23+…+25n-1能被31整除；（2）求0.9986的近似值，使误差小于0.001.（1）证明 1+2+22+23+…+25n-1=21215--n=25n-1=32n-1 3分=（31+1）n-1=31n+C1n·31n-1+C2n·31n-2+…+C1-n n·31+1-1=31（31n-1+C1n·31n-2+…+C1-n n）5分显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除. 6分（2）解∵0.9986=（1-0.002）6=1-C16（0.002）+C26（0.002）2-C36（0.002）3+…8分第三项T3=15×(0.002)2=0.000 06＜0.001,以后各项更小,∴0.9986≈1-0.012=0.988. 12分1.在（3x-2y）20的展开式中，求：（1）二项式系数最大的项；（2）系数绝对值最大的项；（3）系数最大的项.解（1）二项式系数最大的项是第11项，T11=C1020310（-2）10x10y10=C1020610x10y10.（2）设系数绝对值最大的项是第r+1项，于是⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅≥⋅⋅⋅⋅≥⋅⋅----+-+-1211202020119120202023C23C23C23Crrrrrrrrrrrr，化简得⎩⎨⎧≥--≥+rrrr3)21(2)20(2)1(3，解得752≤r≤852.所以r=8,即T9=C820312·28·x12y8是系数绝对值最大的项.（3）由于系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项系数最大，于是⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅≥⋅⋅⋅⋅≥⋅⋅----------rrrrrrrrrrrr222022022222222042224422022222222023C23C23C23C，化简得⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+9241631007711431022rrrr.解之得r=5,即2×5-1=9项系数最大.T9=C820·312·28·x12y8.2.求x (1-x )4+x 2(1+2x )5+x 3(1-3x )7展开式中各项系数的和. 解 设x (1-x )4+x 2(1+2x )5+x 3(1-3x )7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n在原式中，令x =1,则1×(1-1)4+12×(1+2)5+13×(1-3)7=115, ∴展开式中各项系数的和为115. 3.求证:3n ＞(n +2)·2n -1（n ∈N +，n ＞2）.证明 利用二项式定理3n =(2+1)n 展开证明.因为n ∈N +，且n ＞2,所以3n =(2+1)n 展开后至少有4项.（2+1）n =2n +C 1n ·2n -1+…+C 1-n n ·2+1≥2n +n ·2n -1+2n +1＞2n +n ·2n -1=(n +2)·2n -1,故3n ＞(n +2)·2n -1.一、选择题1.（1-2x )6=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 6|的值为（ ）A .1B .64C .243D .729答案 D2.（2020·安徽理，6）设（1+x ）8=a 0+a 1x +…+a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为（ ） A .2 B .3 C .4 D .5答案 A3.（2020·全国Ⅱ理，7）(1-x )6(1+x )4的展开式中x 的系数是（ ）A .-4B .-3C .3D .4答案 B 4.已知(x -xa )8展开式中常数项为1 120，其中实数a 为常数，则展开式中各项系数的和为 （ ）A .28B .38C .1或38D .1或28答案 C5.若(1+5x 2)n 的展开式中各项系数之和是a n ,（2x 3+5)n 的展开式中各项的二项式系数之和为b n ,则nn n b a 13+的值为（ ） A .31B .21 C .1 D .3答案 A6.设m ∈N +,n ∈N +,若f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n 的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A .31B .40C .31或40D .不确定答案 C 二、填空题7.（1+x ）6(1-x )4展开式中x 3的系数是 . 答案 -88.（2020·天津理，11）52⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中x 2的系数是 .（用数字作答） 答案 40 三、解答题 9.已知(x +22x)n (n ∈N +)的展开式中第5项的系数与第3项的系数之比为10∶1.求展开式中系数最大的是第几项？解 依题意，第5项的系数为C 4n ·24，第三项的系数为C 2n ·22，则有2244C 2C 2nn ⋅⋅=110，解得n =8. 设展开式中第r +1项的系数最大，则⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--118811882C 2C ,2C 2C r r rr r r r r 解得5≤r ≤6. ∴第6项和第7项的系数相等且最大， 即最大为56×25=7×28=1 792.10.已知（32x +3x 2）n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项.解 令x =1，得各项的系数和为(1+3)n =4n ，而各项的二项式系数和为：C 0n +C 1n +…+C n n =2n ，∴4n =2n +992. ∴(2n -32)(2n +31)=0∴2n =32或2n =-31（舍去），∴n =5 设第r +1项的系数最大，则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--;3C 3C ,3C 3C 11551155r r rr r r r r 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥--≥;1351,613r r r r ∴27≤r ≤29，又r ∈Z ，∴r =4， ∴系数最大的项是T 5=C 45x 32(3x 2)4=405x326.11.（1）求(x 2-x21)9的展开式中的常数项； （2）已知(x a -2x )9的展开式中x 3的系数为49，求常数a 的值；（3）求（x 2+3x +2）5的展开式中含x 的项. 解 （1）设第r +1项为常数项，则T r +1=C r9(x 2）9-r ·(-x 21)r =(-21)r C r 9x r318- 令18-3r =0,得r =6,即第7项为常数项.。
高考数学一轮复习 第十章 概率与统计检测试题 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题
第十章检测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1、某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。
现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A. 6B. 7C. 8D.92 ．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，1x ，2x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s ==C ．1212,x x s s =<D ．1212,x x s s =>3、某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2⨯2列联表进行独立性检验，经计算K 2=7．069，则所得到的统计学结论为：有多大把握认为“学生性别与支持该活动有关系”． P(K≥k 0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 02.7063.841 5.024 6.635 10.828(A)0．1％ (B)1％ (C)99％ (D)99．9％4、集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是（ ）A ．23B ．13C ．12D ．165．四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-； ②y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+； ③y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+； ④y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--. 其中一定不正确．．．的结论的序号是 A ．①②B ．②③C ．③④D ． ①④6、对一批产品的长度(单位: mm )进行抽样检测, 图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为（ ）A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.457、如图面积为4的矩形ABCD 中有一个阴影部分，若往矩形ABCD 投掷1000个点，落在矩形ABCD 的非阴影部分中的点数为400个，试估计阴影部分的面积为 A.2.2 B.2.4 C.2.6 D.2.88、从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14 D ．169、记集合{}22(,)|16A x y x y =+≤和集合{}(,)|40,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为12,ΩΩ若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为A ．12πB ．1πC ．14D ．24ππ- 10．在2013年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：y ^＝－3.2 x ＋a (参考公式：回归方程y ^＝bx ＋a ，a ＝y －b x )，则a ＝( )A ．－24B ．35.6C ．40.5D ．4011、总体编号为01,02,…19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．08B ．07C ．02D ．0112、气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续5天的日平均温度均不低于22 (0C)”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数):① 甲地:5个数据的中位数为24,众数为22;② 乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24;③ 丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8;则肯定进入夏季的地区有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13 ．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为________.14 ．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，…，第十组46—50号，若在第三组中抽得为12的学生，则在第八组中抽得为___的学生.15平行四边形ABCD中，E为CD的中点．若在平行四边形ABCD内部随机取一点M，则点M 取自△ABE内部的概率为______．16、若在区域340x yxy+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩内任取一点P，则点P落在单位圆221x y+=内的概率为.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)（2013某某文17）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,x x ，估计12x x -的值.18．(本小题满分12分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.19．(本小题满分12分)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率;(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个?(3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.20．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入i x (单位:千元)与月储蓄i y (单位:千元)的数据资料,算得10180ii x==∑,10120i i y ==∑,101184i i i x y ==∑,1021720i i x ==∑.(Ⅰ)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+; (Ⅱ)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程ˆˆˆybx a =+中,1221ˆni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑,ˆˆay bx =-, 其中x ,y 为样本平均值,线性回归方程也可写为y bx a =+.21．(本小题满分12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[]90,100分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率.(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成22⨯列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?附表:K2=2()()()()()n ad bca b c d a c b d-++++P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 K 2.706 3.841 6.635 10.82822．(本小题满分12分) 某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A型车出租天数 3 4 5 6 7B 型车（1） 试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；（2）现从出租天数为3天的汽车（仅限A ，B 两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A 型车的概率；（3）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据 所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.参考答案一、选择题 1、【答案】C【解析】设从高二应抽取x 人，则有30:406:x =，解得8x =，选C.2、【答案】C【解析】由样本中数据可知115x =，215x =，由茎叶图得12s s <，所以选C. 3、4、【答案】B【解析】从A,B 中各取任意一个数,共有6种。
全国统考2022高考数学一轮复习单元质检卷十算法初步统计与统计案例理无答案北师大版
单元质检卷十 算法初步、统计与统计案例(时间:60分钟满分:81分)一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的为29,则抽到的32人中,编号落入区间[200,480]的人数为()A.7B.9C.10D.122.(2020全国3,理3)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p 1,p 2,p 3,p 4,且∑i=14p i =1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是()A.p 1=p 4=0.1,p 2=p 3=0.4B.p 1=p 4=0.4,p 2=p 3=0.1C.p 1=p 4=0.2,p 2=p 3=0.3D.p 1=p 4=0.3,p 2=p 3=0.23.我们可以用随机模拟的方法估计π的值,如下算法框图表示其基本步骤(函数RAND 是产生随机数的函数,它能随机产生(0,1)内的任何一个实数),若输出的结果为527,则由此可估计π的近似值是()A.126B.3.132C.3.151D.3.1624.(2020某某某某高三检测)已知一组数据点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3),…,(x 7,y 7),用最小二乘法得到其经验回归方程为y ^=-2x+4.若数据x 1,x 2,x 3,…,x 7的平均数为1,则∑i=17y i =()A.2B.11C.12D.145.在某次高中学科竞赛中,4 000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间中点作代表,则下列说法中错误的是()A.成绩在[70,80]分的考生人数最多B.不及格的考生人数为1 000人C .考生竞赛成绩的平均分约70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为756.节能降耗是企业的生存之本,树立一种“点点滴滴降成本,分分秒秒增效益”的节能意识,以最好的管理,来实现节能效益的最大化.为此某国企进行节能降耗技术改造,下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润:预测第8年该国企的生产利润约为()。
步步高《单元滚动检测卷》高考数学(理)(北师大,全国)精练：12推理与证明、算法、复数(含答案解析)
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。
3．本次考试时间120分钟，满分150分。
单元检测十二 推理与证明、算法、复数第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·桂林模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 1＝1，S n ＝n 2a n ，试归纳猜想出S n 的表达式为( ) A ．S n ＝2n n ＋1B ．S n ＝2n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋1D ．S n ＝2nn ＋22．如图所示，阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1,3]上，则输入的实数x 的取值范围是( ) A ．{x ∈R|0≤x≤log 23} B ．{x ∈R|－2≤x≤2}C ．{x ∈R|0≤x≤log 23或x ＝2}D ．{x ∈R|－2≤x≤log 23或x ＝2}3．(2015·渭南模拟)关于复数z ＝(1＋i)21－i ，下列说法中正确的是( )A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 的共轭复数z ＝1－iC ．若复数z 1＝z ＋b (b ∈R)为纯虚数，则b ＝1D ．设a ，b 为复数z 的实部和虚部，则点(a ，b)在以原点为圆心，半径为1的圆上 4．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1,2,3,4号位子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 009次互换座位后，小兔的座位对应的是( )A.C ．编号3D ．编号45．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当F B →⊥A B →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( ) A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋16．(2015·宜春模拟)设a>0，不等式－c<ax ＋b<c 的解集是{x|－2<x<1}，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2D ．3∶2∶17．设整数n≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n}，令集合S ＝{(x ，y ，z)|x ，y ，z ∈X ，且三条件x<y<z ，y<z<x ，z<x<y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z)和(z ，w ，x)都在S 中，则下列选项正确的是( ) A ．(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)∉S B ．(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)∈S C ．(y ，z ，w)∉S ，(x ，y ，w)∈S D ．(y ，z ，w)∉S ，(x ，y ，w)∉S8．某班有24名男生和26名女生，数据a 1，a 2，…，a 50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图所示的算法用来同时统计全班成绩的平均数：A ，男生平均分：M ，女生平均分：W.为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( )A ．T ＞0，A ＝M ＋W 50B ．T ＜0，A ＝M ＋W50C ．T ＜0，A ＝M －W 50D ．T ＞0，A ＝M －W509．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x ，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x ，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x ，y)的个数为12……，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x ，y)的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．9210．已知数列{a n }：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( ) A.3724 B.76 C.1115D.71511．(2015·亚安模拟)设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)单调递减，若x 1＋x 2>0，则f(x 1)＋f(x 2)的值( ) A ．恒为负值 B ．恒等于零 C ．恒为正值D ．无法确定正负12．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n ＋k|n ∈Z}，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]；②－2∈[2]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”． 其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎪⎨⎪⎧3，5，33＝⎩⎪⎨⎪⎧7，9，11，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13，15，17，19，….依此，若m 3的“分裂数”中有一个是2 015，则m ＝________.14．执行如图所示的算法框图，若输出的结果是8，则输入的数是________．15.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第2个数应是________．16．执行下面的算法框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共扼复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．18．(12分)有一种密英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的a ，b ，c ，…，z 的26个字母(不分大小写)，依次对应1,2,3，…，26这26个自然数，见如下表格：X′＝⎩⎨⎧x ＋12(x ∈N ，1≤x≤26，x 不能被2整除)x2＋13(x ∈N ，1≤x≤26，x 能被2整除)将明文转换成密文，如8→82＋13＝17，即h 变成q ；如5→5＋12＝3，即e 变成c.(1)按上述规定，将明文good 译成的密文是什么？(2)按上述规定，若将某明文译成的英文是shxc ，那么原来的明文是什么？19．(12分)已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b 2＋1－2m ＝0.(1)求证：1a 2＋4b 2≥9a 2＋b 2；(2)求证：m≥72.20．(12分)如图的算法可产生一系列随机数，其工作原理如下：①从集合D 中随机抽取1个数作为自变量x 输入；②从函数f(x)与g(x)中随机选择一个作为H(x)进行计算；③输出函数值y.若D ＝{1,2,3,4,5}，f(x)＝3x ＋1，g(x)＝x 2. (1)求y ＝4的概率；(2)将算法运行一次，求输出的结果是奇数的概率．21．(12分)一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b件．经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S(件)与电视广告每天的播放量n(次)的关系可用如图所示的算法框图来体现．(1)试写出该产品每天的销售量S(件)关于电视广告每天的播放量n(次)的函数关系式；(2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需多少次？22．(12分)(2015·安庆模拟)已知数列{a n }满足a 1＝a ＞2，a n ＝a n －1＋2(n≥2，n ∈N ＋)． (1)求证：对任意n ∈N ＋，a n ＞2；(2)判断数列{a n }的单调性，并说明你的理由；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证：当a ＝3时，S n ＜2n ＋43.答案解析1．A [S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)， ∴S n ＝n 2n 2－1S n －1，S 1＝a 1＝1，则S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2nn ＋1，故选A.]2．C [依题意及框图可得，⎩⎪⎨⎪⎧ －2＜x ＜2，1≤2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧|x|≥2，1≤x ＋1≤3，解得0≤x≤log 23或x ＝2.]3．C [z ＝(1＋i)21－i ＝2i1－i＝－1＋i ，若复数z 1＝z ＋b(b ∈R)为纯虚数，则b ＝1.]4．A [由图，经过四次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4，∵2 009＝4×502＋1， ∴第2 009次互换座位后， 小兔的座位对应的是编号1.]5．A [根据“黄金椭圆”的性质是F B →⊥A B →，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)， 在“黄金双曲线”中，∵F B →⊥A B →，∴F B →·A B →＝0， 又F B →＝(c ，b)，A B →＝(－a ，b)， ∴b 2＝ac ，而b 2＝c 2－a 2， ∴c 2－a 2＝ac ，在等号两边同除以a 2得e ＝5＋12， 故选A.]6．B [∵－c<ax ＋b<c ，又a>0，∴－b ＋c a <x<c －ba .∵不等式的解集为{x|－2<x<1}，∴⎩⎨⎧－b ＋ca＝－2，c －ba ＝1，∴⎩⎨⎧b ＝a2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3.]7．B [方法一 因为(x ，y ，z)∈S ，则x ，y ，z 的大小关系有3种情况，同理，(z ，w ，x)∈S ，则z ，w ，x 的大小关系也有3种情况，如图所示，由图可知，x ，y ，w ，z 的大小关系有4种可能，均符合(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)∈S.故选B.方法二 (特殊值法)因为(x ，y ，z)和(z ，w ，x)都在S 中，不妨令x ＝2，y ＝3，z ＝4，w ＝1，则(y ，z ，w)＝(3,4,1)∈S ，(x ，y ，w)＝(2,3,1)∈S ，故(y ，z ，w)∉S ，(x ，y ，w)∉S 的说法均错误，可以排除选项A 、C 、D ，故选B.]8．D [依题意得，全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数，注意到当T ＞0时，输入的成绩表示的是某男生的成绩；当T ＜0时，输入的成绩表示的是某女生的成绩的相反数，因此结合题意得，选D.]9．B [由已知条件知|x|＋|y|＝n 的不同整数解(x ，y)的个数为4n ， ∴|x|＋|y|＝20的不同整数解(x ，y)的个数为4×20＝80.]10．A [通过将数列的前10项分组得到第一组有一个数：11，分子、分母之和为2；第二组有两个数：21，12，分子、分母之和为3；第三组有三个数：31，22，13，分子、分母之和为4；第四组有四个数，依次类推，a 99，a 100分别是第十四组的第8个数和第9个数，分子、分母之和为15，所以a 99＝78，a 100＝69.故a 99＋a 100＝3724.故选A.]11．A [由f(x)是定义在R 上的奇函数， 且当x≥0时，f(x)单调递减， 可知f(x)是R 上的单调递减函数， 由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2， f(x 1)<f(－x 2)＝－f(x 2)， 则f(x 1)＋f(x 2)<0，故选A.]12．C [因为2 014＝402×5＋4，所以2 014∈[4]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a ，b 属于同一“类”，因为整数a ，b 被5除的余数相同，从而a －b 被5除的余数为0，反之也成立，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个，故选C.] 13．45解析 由题意不难找出规律，23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，m 增加1，累加的奇数个数便多1，我们不难计算2 015是第1 008个奇数，若它是m 的分解，则1至m －1的分解中，累加的奇数一定不能超过1 008个．∴1＋2＋3＋…＋(m －1)<1 008,1＋2＋3＋…＋(m －1)＋m≥1 008，即m(m －1)2<1 008，m(m ＋1)2≥1 008，解得m ＝45. 14．2或－2 2解析 由 a≥b ，得x 2≥x 3， 解得x≤1，所以当x≤1时，输出a ＝x 2， 当x ＞1时，输出b ＝x 3， 当x≤1时， 由a ＝x 2＝8， 解得x ＝－8＝－2 2. 当x ＞1时，由b ＝x 3＝8，得x ＝2， 所以输入的数为2或－2 2. 15．2 015解析 由题意可知：每行的行号数和这一行的数字的个数相同， 奇数行的数字从左向右依次减小， 偶数行的数字从左向右依次增大， 第63行的数字从左向右依次减小， 可求出第63行最左边的一个数是63×(63＋1)2＝2 016，从左至右的第2个数应是2 016－1＝2 015. 16．3解析 输入ε＝0.25后，程序执行如下：①⎩⎪⎨⎪⎧ε＝0.25，F 0＝1，F 1＝2，n ＝1，②⎩⎪⎨⎪⎧F 1＝F 0＋F 1＝3，F 0＝F 1－F 0＝2，n ＝2，1F 1＝13＞0.25，③⎩⎪⎨⎪⎧F 1＝F 0＋F 1＝5，F 0＝F 1－F 0＝3，n ＝3，1F 1＝15≤0.25.此时满足条件，结束循环，故输出的n 的值为3. 17．解 由题意得z ＝(m 2＋m －1)－(4m 2－8m ＋3)i. 因为z 对应的点位于第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＞0，－(4m 2－8m ＋3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞0，4m 2－8m ＋3＜0， 解得⎩⎨⎧m ＜－5－12或m ＞5－12，12＜m ＜32.所以5－12＜m ＜32，所以m 的集合为{m|5－12＜m ＜32}． 18．解 (1)g→7→7＋12＝4→d ；o→15→15＋12＝8→h ；d→4→42＋13＝15→o ；则明文good 的密文为dhho. (2)逆变换公式为x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x′－1，(x′∈N ，1≤x′≤13)2x′－26，(x′∈N ，14≤x′≤26) 则有s→19→2×19－26＝12→l ； h→8→2×8－1＝15→o ； x→24→2×24－26＝22→v ； c→3→2×3－1＝5→e. 故密文shxc 的明文为love.19．证明 (1)(分析法)要证1a 2＋4b 2≥9a 2＋b 2成立，只需证(1a 2＋4b 2)(a 2＋b 2)≥9.即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b2≥9，即证b 2a 2＋4a 2b 2≥4. 根据基本不等式有b 2a 2＋4a 2b 2≥2b 2a 2·4a 2b 2＝4成立． 所以原不等式成立．(2)(综合法)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b2＝2m －1. 由(1)，知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2－5m －7≥0，解得m≤－1或m≥72. 因为a 2＋b 2＝m －2＞0，1a 2＋4b2＝2m －1＞0， 所以m≥72. 20．解 (1)∵D ＝{1,2,3,4,5}，f(x)＝3x ＋1，g(x)＝x 2.∴第一步：从集合D 中随机抽取1个数作为自变量x 输入，共有5种方法，第二步：从函数f(x)与g(x)中随机选择一个作为H(x)进行计算，共有2种方法，∴该运算共有f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)，g(1)，g(2)，g(3)，g(4)，g(5)，10种方法， 而满足y ＝4的有f(1)，g(2)两种情况，∴由古典概型概率公式得y ＝4的概率P ＝210＝15. (2)输出结果是奇数有以下几种情况：f(2)，f(4)，g(1)，g(3)，g(5)共5种，∴由古典概型概率公式得输出的结果是奇数的概率P ＝510＝12. 21．解 (1)设电视广告播放量为每天i 次时，该产品的销售量为S i (0≤i≤n ，i ∈N ＋)．由题意得，S i ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，i ＝0，S i －1＋b 2i，1≤i≤n ，i ∈N ＋， 于是当i ＝n 时，S n ＝b ＋(b 2＋b 22＋…＋b 2n )＝b(2－12n )(n ∈N ＋)． 所以,该产品每天销售量S(件)与电视广告每天播放量n(次)的函数关系式为S ＝b(2－12n )，n ∈N ＋. (2)由题意，有b(2－12n )≥1.9b ⇒2n ≥10⇒n≥4(n ∈N ＋)． 所以，要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需4次．22．(1)证明 用数学归纳法证明a n ＞2(n ∈N ＋)；①当n ＝1，a 1＝a ＞2，结论成立；②假设n ＝k(k≥1)时结论成立，即a k ＞2， 则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋2＞2＋2＝2， 所以n ＝k ＋1时，结论成立．故由①②及数学归纳法原理知，对一切的n ∈N ＋，都有a n ＞2成立．(2)解 {a n }是递减的数列．因为a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋2－a 2n ＝－(a n －2)(a n ＋1)，又a n ＞2，所以a 2n ＋1－a 2n ＜0，所以a n ＋1＜a n .这说明{a n }是递减的数列．(3)证明 由a n ＋1＝a n ＋2，得a 2n ＋1＝a n ＋2，所以a 2n ＋1－4＝a n －2.根据(1)知 a n ＞2(n ∈N ＋)，所以a n ＋1－2a n －2＝1a n ＋1＋2＜14， 所以a n ＋1－2＜14(a n －2)＜(14)2·(a n －1－2)＜…＜(14)n (a 1－2)． 所以，当a ＝3时，a n ＋1－2＜(14)n ， 即a n ＋1＜(14)n ＋2， 当n ＝1时，S 1＝3＜2＋43，当n≥2时， S n ＝3＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜3＋(14＋2)＋[(14)2＋2]＋…＋[(14)n －1＋2] ＝3＋2(n －1)＋141－14[1－(14)n －1] ＝2n ＋1＋13[1－(14)n －1]＜2n ＋43. 综上，当a ＝3时，S n ＜2n ＋43(n ∈N ＋)．。
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高三单元转动检测卷· 数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分，共 4 页。
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色笔迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应地点上。
3．本次考试时间120 分钟，满分150 分。
单元检测十统计与统计事例第Ⅰ卷一、选择题 (本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样检查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知7 号、33 号、 46 号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应为()A ．13B．19C． 20D．512．从 N个编号中抽取n 个号码入样，若采纳系统抽样方法进行抽取，则分段间隔应为() NA. n B ．nN C． [ n ]N D． [ n ] ＋ 13．已知一组数据：a1，a2， a3，a4，a5，a6，a7组成公差为 d 的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差 d 等于 ()1 A ．±41 B ．±2C．±128D．没法求解4．高二第二学期期中考试，依据甲、乙两个班级学生数学考试成绩优异和不优异统计后，获取以以下联表：班级与成绩列联表优异不优异总计甲班113445乙班83745总计1971902)则随机变量χ的值约为 (A ． 0.600B ．0.828C． 2.712D． 6.0045．从某项综合能力测试中抽取100 人的成绩，统计以下表，则这 100 人成绩的标准差为()分数54321人数2010303010A.3B． 3 C.2 1058D.56.如图是一次选秀节目上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的均匀数为85，则a2＋ b2的最小值是()A ．24B ．32C． 36D． 487．(2014·庆重 )已知变量x 与y 正有关，且由观察数据算得样本均匀数x ＝ 3，y ＝3.5，则由该观察数据算得的线性回归方程可能是()A ． y＝ 0.4x ＋2.3B ．y＝ 2x－2.4C． y＝－ 2x＋ 9.5D． y＝－ 0.3x＋ 4.48．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持 )的关系，运用2×2 列联表进行独立性查验，经计算2“学生χ＝ 7.069，则所获取的统计学结论是：有多大的掌握以为性别与支持该活动有关系．”( )附：2P( χ≥k)0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828A.0.1% B ．1%C． 99%D． 99.9%9．一个频次散布表(样本容量为30)不当心被破坏了一部分(如图 )，只记得样本中数据在[20,60)上的频次为0.8，则预计样安分别在[40,50) ， [50,60) 上的数据个数可能是()A．7和 6 B．6和 9 C．8和 9 D．9和 1010．对四组数据进行统计，获取图所示的散点图，对于其有关系数的比较，正确的选项是()A ． r2＜ r4＜ 0＜ r3＜ r1B ．r 4＜ r2＜ 0＜ r1＜ r3C． r4＜ r2＜0＜ r3＜ r1D． r 2＜ r4＜ 0＜r1＜ r311．(2015 驻·马店模拟 )中央电视台为了检查近三年的春晚节目中各种节目的受欢迎程度，用分层抽样的方法，从 2011 年至 2013 年春晚的 50 个歌舞类节目，品类节目中抽取样本进行检查，若样本中的歌舞类和戏曲类节目共有40 个戏曲类节目， 30 个小27 个，则样本容量为()A ．36B．35C． 32D．3012． (2015·埠模拟蚌)给出以下命题：①若p 或 q 为假命题，则p 与q 均为假命题；②对拥有线性有关关系的变量x， y 有一组观察数据(x i， y i) (i ＝ 1,2，，8)，其线性回归方程是 y＝1x＋ a，且 x1＋x2＋x3＋＋ x8＝ 2(y1＋ y2＋ y3＋＋ y8)＝ 6，则实数 a＝1；3422有关系”的掌握程度越大；③对于分类变量 X 与 Y 的随机变量χ来说，χ越小，“X与 Y④已知x－11的最小值为 16. 2－x≥0，则函数f(x) ＝ 2x＋x此中真命题的个数为 ()A ．0 B．1 C．2 D．3第Ⅱ卷二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上)13．从某中学高一年级中随机抽取100 名同学，将他们的成绩(单位：分 )数据绘制成频次分布直方图 (如图 )．则这 100 名学生成绩的均匀数，中位数分别为________．14．某公司三月中旬生产 A 、 B、 C 三种产品共 3 000 件，依据分层抽样的结果，该公司统计员制作了以下的统计表格：产品类型A B C产品数目 (件 ) 1 300样本容量 (件 )130因为不当心，表格中 A 、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得 A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10，依据以上信息，可得 C 产品的数目是 ________件．15．为认识篮球喜好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到 5号每日打篮球时间 x(单位：小时 )与当日投篮命中率 y 之间的关系：时间 x12345命中率 y0.40.50.60.60.4小李这 5 天的均匀投篮命中率为________；用线性回归剖析的方法，展望小李该月6号打 6小时篮球的投篮命中率为________．16．对于统计数据的剖析，有以下几个结论：①一组数不行能有两个众数；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；③检查剧院中观众观看感觉时，从50 排 (每排人数同样)中随意抽取一排的人进行检查，属于分层抽样；④一组数据的方差必定是正数；⑤如图是随机抽取的200 辆汽车经过某一段公路时的时速频次散布直方图，依据这个直方图，能够获取时速在[50,60) 的汽车大概是60 辆，则这五种说法中错误的选项是________．三、解答题 (本大题共 6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10 分)(2015 济·南模拟 )从某高校高三年级800 名男生中随机抽取50 名学生丈量其身高，据丈量，被测学生的身高所有在155 cm 到 195 cm 之间，将丈量结果按以下方式分红8 组：第一组 [155,160) ，第二组 [160,165) ，，第八组 [190,195] ，以下图是按上述分组获取的频次散布直方图的一部分．已知第一组与第八组的人数同样，第七组与第六组的人数差恰巧为第八组与第七组的人数差．求以下频次散布表中所标字母的值，并增补达成频次散布直方图．频次散布表：分组频数频次频次 /组距[180,185)x y z[185,190)m n p18． (12 分 )(2015 江·西八所要点中学联考) “双节”时期，高速公路车辆许多，某检查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行咨询检查，将他们在某段高速公路的车速(km/h) 分红六段： [60,65) ， [65,70) ，[70,75) ， [75,80) ， [80,85) ， [85,90] 后获取以下图的频次散布直方图．(1)求这 40 辆小型汽车车速的众数和中位数的预计值；(2)若从车速在 [60,70) 内的车辆中任抽取 2 辆，求车速在 [65,70) 内的车辆恰有一辆的概率．19．(12 分)(2014 课·标全国Ⅱ ) 某地域 2007 年至 2013 年乡村居民家庭人均纯收入 y(单位：千元 )的数据以下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y2.93.33.64.44.85.25.9(1) 求 y 对于 t 的线性回归方程；(2) 利用 (1) 中的回归方程，剖析 2007 年至 2013 年该地域乡村居民家庭人均纯收入的变化状况，并展望该地域 2015 年乡村居民家庭人均纯收入．n (t i － t )(y i － y )i ＝1附：回归直线的斜率和截距的最小二乘预计公式分别为:b ＝， a ＝ y － bn(t i － t )2i ＝1t .20．(12 分 )为使学生更好地认识中华民族伟大中兴的历史知识，某校组织了一次以 “我的梦，中国梦 ”为主题的知识比赛，每班选25 名同学参加比赛，成绩分为A ，B ，C ，D 四个等级，此中相应等级的得分挨次记为100 分、 90 分、 80 分、 70 分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图：请依据以上供给的信息解答以下问题：(1) 把一班比赛成绩统计图增补完好；(2) 写出下表中 a ，b ， c 的值 .均匀数 (分 )中位数 (分 )众数 (分)一班 a b 90 二班87.680c(3) 请从以下给出的三个方面中任选一个对此次比赛成绩的结果进行剖析；①从均匀数和中位数方面来比较一班和二班的成绩；②从均匀数和众数方面来比较一班和二班的成绩；③从 B 级以上 (包含 B 级 )的人数方面来比较一班和二班的成绩．21． (12 分 )某个体服饰店经营某种服饰，一周内获纯利y(元 )与该周每日销售这类服饰的件数 x 之间的一组数据以下：x3456789y66697381899091777已知：∑x i2＝ 280，∑y i2＝ 45 309，∑x i y i＝ 3 487.i ＝1i＝1i＝1(1)求 x ， y ；(2)判断纯收益 y 与每日销售件数 x 之间能否线性有关，假如线性有关，求出线性回归方程．22．(12 分 )(2015 沈·阳质量监测二)在一次数学测试后，班级学委对选答题的选题状况进行统计，以下表：几何证明坐标系与不等式共计选讲参数方程选讲男同学 (人数 )124622女同学 (人数 )081220共计12121842(1)在统计结果中，假如把几何证明选讲和坐标系与参数方程称为几何类，把不等式选讲称为代数类，我们能够获取以下2×2 列联表：几何类代数类共计男同学 (人数 )16622女同学 (人数 )81220共计241842据此统计你能否定为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，如有关，你有多大掌握？(2)在原统计结果中，假如不考虑性别要素，按分层抽样的方法从选做不一样选做题的同学中随机选出7 名同学进行会谈，已知这名学委和两名数学课代表都在选做“不等式选讲”的同学中．(i)求在这名学委被选中的条件下，两名数学课代表也被选中的概率；(ii) 记抽取到数学课代表的人数为X ，求 X 的散布列及均值EX.下边对界值表仅供参照：20.150.100.050.0250.0100.0050.001P( χ≥ k)k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.8282n(ad－ bc)2( 参照公式：χ＝(a＋b)(c ＋ d)(a＋ c)(b＋ d))答案分析1． C [ 抽样间隔为 46－ 33＝ 13，故另一位同学的编号为 7＋ 13＝ 20，选 C.]2． C3． B[ 这组数据的均匀数为a 1 ＋a 2 ＋a 3 ＋a 4 ＋a 5 ＋a 6 ＋a 747＝7a＝ a 4.7又因为这组数据的方差等于 1，1 2＋ (a 2－ a 4) 22 2 222因此 [(a 1－ a 4 )＋(a 3－ a 4) ＋ (a 4－ a 4) ＋ (a 5 －a 4)＋ (a 6－ a 4) ＋(a 7－ a 4) ]7 ＝ (－ 3d)2 ＋(－ 2d)2 ＋(－d)2 ＋0＋ (d) 2＋(2d) 2＋ (3d)27＝ 1.即 4d 2＝ 1，1解得 d ＝ ±2.]4． A [ 由题意知 a ＝ 11， b ＝ 34， c ＝ 8， d ＝ 37， n ＝90，2n(ad － bc)0.600，则 χ＝ (a ＋ b)(c ＋d)(a ＋c)(b ＋d) 的值约为 应选 A.]5． C [ x ＝ 20×5＋10×4＋ 30×3＋ 30×2＋ 10×1＝3，100 s ＝1[20 ×(5－ 3)2＋ 10×(4－ 3)2＋ 30×(3－ 3)2 ＋30×(2－ 3)2＋ 10×(1－3) 2]100＝1160＝ 410＝2 10100(80＋10＋ 30＋ 40)＝100 105 .] 6． B[ 依据题意，得 4＋ a ＋ 6＋ b ＋ 7＝ 5，得 a ＋ b ＝ 8.5方法一由 b ＝ 8－a ，得 a 2＋ b 2＝ a 2＋ (8－ a)2＝ 2a 2－ 16a ＋64，此中 a ， b 知足 0≤a ≤9,0 ≤b ，≤9因此 0≤a ≤9,08≤－ a ≤9，即 0≤a ≤8且 a 是整数，设函数 f(a)＝ 2a 2－ 16a ＋ 64，剖析知当 a ＝ 4 时，f(a) 获得最小值32，因此 a 2＋ b 2 的最小值是 32.应选 B.方法二由 a ＋ b ＝ 8，且 a ， b ≥0，得 8≥2ab ，故 ab ≤16，则 a 2＋ b 2＝ (a ＋ b)2－ 2ab ≥64－ 32＝32，当且仅当a＝ b＝ 4 时等号建立，因此 a2＋ b2的最小值是32.]7． A [ 因为变量 x 和 y 正有关，则回归直线的斜率为正，故能够清除选项 C 和 D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5) 分别代当选项 A 和 B 中的直线方程进行查验，能够清除 B ，应选 A.]8．C [ 因为 7.069 与附表中的 6.635 最靠近，因此获取的统计学结论是：有1－ 0.010＝0.99＝ 99% 的掌握以为“学生性别与支持该活动有关系”，选 C.]9． B [ 因样本中数据在 [20,60) 上的频次为 0.8，则样本中数据在 [20,60) 上的频数为 30×0.8＝24.又因为样本中数据在[20,40) 上的频数为 4＋ 5＝ 9，因此样本在 [40,60) 上的数据的个数为 24－ 9＝15.由选项知 B 切合． ]10．A [ 易知题中图(1)与图 (3) 是正有关，图 (2)与图 (4)是负有关，且图 (1)与图 (2)中的样本点集中散布在一条直线邻近，则r 2＜ r4＜ 0＜ r3＜ r1.]11． A [ 设从 30 个小品类节目中抽取 x 个，则有x ＝27，解得 x＝ 9.则 27＋ 9＝ 36，所3050＋40以样本容量为 36.]12，因此②不正确．③中χ越小，“X与 Y 有关系”的掌握程度越12． B [ ①正确．②中 a＝8小，因此③不正确．由x－ 112＝ 4，当且仅当 x＝ 1 时取等2－x≥0可得 1≤ x<2，因为 f(x) ＝ 2x＋x≥2号，因此④不正确．]13． 125,124分析由图可知 (a＋ a－0.005)×10＝ 1－ (0.010＋ 0.015＋ 0.030)×10，解得 a＝ 0.025，则 x ＝ 105×0.1＋ 115×0.3＋ 125×0.25＋ 135×0.2＋ 145×0.15＝ 125.中位数在120～ 130 之间，设为x，则 0.01 ×10＋ 0.03 ×10＋ 0.025 ×(x－120)＝0.5，解得 x＝ 124.14． 800分析设 C 产品的数目为x， C 产品的样本容量为a，则 A 产品的数目为 1 700－ x，A 产品的样本容量为10＋ a，由分层抽样的定义可知： 1 700－ x＝ x＝1 300，a＋ 10a 130∴ x＝ 800.15． 0.5 0.53分析 均匀投篮命中率1 ＋ 0.5＋ 0.6＋ 0.6＋ 0.4)＝ 0.5，而 x ＝ 3.y ＝ (0.455 (x i － x )(y i － y )＝ ( －2) ×(－0.1)＋ (－ 1) ×0＋ 0×0.1＋ 1×0.1＋ 2×(－ 0.1)＝ 0.1，i ＝ 15(x i － x )2＝ (－ 2)2＋ (－ 1)2＋ 02＋ 12＋ 22＝ 10，i ＝1于是 b ＝ 0.01， a ＝ y － b x ＝ 0.47，∴ y ＝ 0.01x ＋0.47，令 x ＝ 6，得 y ＝ 0.53.16．①③④分析 一组数中能够有两个众数， 故①错误； 依据方差的计算法可知②正确；③属于简单随机抽样，错误；④错误，因为方差能够是零；⑤正确． 17．解 由频次散布直方图可知前五组的频次和是 (0.008＋ 0.016＋ 0.04＋0.04＋ 0.06) ×5＝ 0.82， 第八组的频次是 0.008 ×5＝ 0.04， 因此第六、七组的频次和是1－ 0.82－0.04＝ 0.14，因此第八组的人数为 50×0.04＝ 2，第六、七组的总人数为 50×0.14＝ 7.由已知得 x ＋ m ＝ 7， m － x ＝ 2－ m ， 解得 x ＝ 4， m ＝ 3.因此 y ＝ 0.08， n ＝ 0.06， z ＝ 0.016， p ＝ 0.012. 增补达成频次散布直方图以下图．18．解(1)众数的预计值为77.5，设中位数的预计值为0.06 ×(x － 75)＝ 0.5，解得 x ＝ 77.5，x ，则0.01 ×5＋ 0.02×5＋ 0.04×5＋即中位数的预计值为77.5.(2) 从题图中可知，车速在[60,65) 内的车辆数为 0.01 ×5×40＝ 2，车速在 [65,70) 内的车辆数为0.02 ×5×40＝ 4，记车速在[60,65) 内的两辆车为a ，b ，车速在[65,70) 内的四辆车为c ，d ，e ，f ，则所有基本领件有(a ，b) ，(a ， c)，(a ， d)， (a ， e)， (a ， f) ，(b ， c)，(b ， d)， (b ， e)， (b ， f) ，(c ，d) ，(c ， e)，(c ， f) ，(d ， e)，(d ， f) ，(e ，f) ，共 15个，此中车速在 [65,70) 内的车辆恰有一辆的事件有：(a ，c)， (a ，d) ，(a ， e)， (a ， f) ， (b ， c)，(b ，d)， (b ， e)， (b ， f) ，共 8 个．因此若从车速在 [60,70) 内的车辆中任抽取 2 辆，则车速在 [65,70) 内的车辆恰有一辆的概率为8P ＝ 15.19．解(1)由所给数据计算得t ＝ 17(1＋ 2＋3＋ 4＋ 5＋6＋ 7)＝ 4，1y ＝ 7(2.9＋ 3.3＋ 3.6＋ 4.4＋ 4.8＋5.2＋ 5.9)＝ 4.3，7(t i － t ) 2＝ 9＋ 4＋ 1＋ 0＋1＋ 4＋ 9＝28，i ＝17(t i － t )(y i － y )＝ ( － 3) ×(－ 1.4) ＋ ( － 2) ×(－ 1)＋ ( － 1) ×(－ 0.7) ＋ 0×0.1＋ 1×0.5 ＋ 2×0.9＋i ＝13×1.6＝ 14，7(t i － t )(y i － y )i ＝114＝ 0.5，b ＝＝7(t i － t )228i ＝1a ＝ y － bt ＝ 4.3－ 0.5 ×4＝2.3，所求线性回归方程为y ＝ 0.5t ＋ 2.3.^(2) 由 (1)知， b ＝ 0.5>0，故 2007 年至 2013 年该地域乡村居民家庭人均纯收入逐年增添，均匀每年增添 0.5 千元．将 2015 年的年份代号 t ＝ 9 代入 (1)中的回归方程，得y ＝ 0.5 ×9＋ 2.3＝ 6.8，故展望该地域 2015 年乡村居民家庭人均纯收入为6.8 千元．20．解 (1)25－6－ 12－ 5＝ 2(人 )．(2)a ＝ 87.6， b ＝ 90， c ＝ 100.(3) ①一班和二班均匀数相等，一班的中位数大于二班的中位数，故一班的成绩好于二班．②一班和二班均匀数相等，一班的众数小于二班的众数，故二班的成绩好于一班；③ B 级以上 (包含 B 级 )一班 18 人，二班 12 人，故一班的成绩好于二班．121．解(1) x ＝7(3＋ 4＋ 5＋6＋ 7＋ 8＋9)＝ 6，1y ＝ 7(66＋ 69＋ 73＋ 81＋89＋ 90＋ 91) ≈ 79.86.7 7(2) 依据已知 ∑x i 2＝ 280， ∑y i 2＝ 45 309，i ＝1i ＝17∑x i y i ＝ 3 487，得有关系数i ＝1r ＝3 487－ 7×6×79.86≈ 0.973.(280 － 7×62)(45 309 －7×79.862)因为 0.973>0.75 ，因此纯收益 y 与每日销售件数 x 之间拥有明显的线性有关关系．利用已知数据可求得线性回归方程为y ＝ 4.75x ＋ 51.36. 22．解(1)由题意得2＝42×(16 ×12－ 8×6)2＝252χ 24×18×20×22 55 ≈ 4.582>3.841.因此，据此统计有 95%的掌握以为选做 “几何类 ”或 “代数类 ”与性别有关．(2) 由题意可知在 “不等式选讲 ”的 18 位同学中，要选用 3 位同学．(i) 令事件 A 为 “这名学委被选中 ”；事件 B 为 “两名数学课代表被选中 ”，32则 P(A ∩B) ＝C33， P(A) ＝C317C 18 C 18.因此 P(B|A) ＝ P(A ∩B ) ＝ C 33 2 ＝1P(A) 2 ＝ 136.C 17 17×162另解：令事件A 为 “在这名学委被选中的条件下，两名数学课代表也被选中”，则 P(A) ＝ C 2C 17221＝17×16＝136.(ii) 由题意知 X 的可能取值有 0,1,2，3C1635依题意 P(X ＝0)＝ 3 ＝，215121C16C2C16C2P(X ＝ 1)＝C183＝17，P(X＝ 2)＝C183＝51.进而 X 的散布列为X012P 3551 511751351×51171.于是 EX＝ 0×＋＋2×＝＝511751513。