线性规划模型
线性规划模型
汽车厂生产计划模型引申： ★ 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。
Max s.t . z 2x1 3x2 4x 3 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000 x1 , x2 , x3 0或 80
对于整数线性规划模型大致可分为两类： (1) 变量全限制为整数时，称纯整数规划； (2) 变量部分限制为整数的，称混合整数规划； (3) 变量只能取0或1时，称之为0-1整数规划。
3、整数线性规划的求解
在Lindo软件中最后加上语句：gin n
二、汽车厂生产计划模型
模型求解 整数规划（Integer Programming,简记IP）
二、Lindo软件求解 Lindo软件是解决线性规划求解问题 的对症良药，而Lingo则用来求解非线性 规划问题。
运用此软件注意的事项：
◆（1）“<, >”与“<= , =>”相同。
◆ （2）变量与系数间可以有空格（回车 符），但不能有运算符。 ◆ （3）变量以字母开头，不允许超过8个 字符。 ◆ （4）变量名不区分大小写。 ◆ （5）目标函数所在行为第一行，第二 行为约束符。
• 分析： • 1. 求什么？ • 生产多少桌子？ • 生产多少椅子？ • 2. 优化什么？ • 收益最大 • 3. 限制条件？ • 原料总量 • 劳力总数
x1 x2
Max f=80 x1+45 x2
0.2 x1 +0.05 x2 ≤4 15 x1 +10 x2 ≤450
模型I ：以产值为目标取得最大收益. 设：生产桌子 x1张, 椅子 x2张,(决策变量) • 将目标优化为：max f=80x1+45x2 • 对决策变量的约束： • 0.2x1+0.05x2≤4 • 15x1+10x2 ≤ 450, • x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,
线性规划模型
线性规划模型● 知道线性规划模型的一般形式● 知道什么是可行解、可行域、最优解、最优值 ● 会用图解法求解二个变量的线性规划问题● 会利用软件WINQSB 求线性规划问题的最优解、最优值 ● 会建立简单的线性规划问题● 知道什么是缩减成本、影子价格，会利用软件WINQSB 进行灵敏度分析一、基本概念1. 线性规划模型的一般形式可以表示为：目标函数 max (或min )=c l x 1+c 2x 2+ … + c n x n 。
约束条件： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≤+++≥=≤+++≥=≤+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ),(),(),(22112222212111212111或或或 非负条件： x 1≥0, x 2≥0, …, x n ≥0可简写为 max(或min)=∑=n j j j x c 1 约束条件： ∑=n j j ij x a1≤(或=，≥) b i ，i=1，2，…，m非负条件： x j ≥0，j=1，2，…，n目标函数中的系数c i , i=1,2, …，n , 常称为价值系数，它反映某种价值（如利润、收益或效益）；约束条件中的右端项bj ，j=1,2, …，m ，右端系数，它反映某种资源的限制（如劳动力、原材料等）；约束条件中的a ij 常称为技术系数。
一般，它们都是已知的常数。
2.一个线性规划问题有解，是指能找出一组x j（j=1，2，…，n），使其满足所有的约束条件和非负条件。
称任何一组这样的x j（j=1，2，…，n）是线性规划问题的一个可行解。
通常，线性规划问题含有多个可行解。
称全部可行解的集合为该线性规划问题的可行域。
使目标函数值达到最优的可行解称为该线性规划问题的最优解，最优目标函数值称为该线性规划问题的最优值。
对不存在可行解的线性规划问题，称该线性规划问题无解。
二、两个变量的线性规划问题的图解法图解法的步骤为：第1步：在平面上建立直角坐标系；第2步：图示约束条件和非负条件，找出可行域；第3步：图示目标函数，并寻找最优解。
第二章线性规划模型
m
n
ai bj ,
i 1
j 1
又从产地 Ai到需求点 B j的单位运输成本为 cij , 求相应的运
输方案.
模型建立
设 xij表示从产地 Ai到需求点B j 的运输量, 则合适的运输
方案表现为
n
对产量的要求
xij ai
i 1, 2, ,m;
j 1
m
对需求量的要求 xij bj i 1
第五年 x54 1.0235x44 1.06x31,
投资收益函数为
z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54.
由此得到该问题的数学模型
max z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54,
s.t.x11 x14 120,
项目C: 于第二年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成 成投资, 投资收益为21.5%, 投资额不超过40万； 项目D: 于每年的年初可进行投资, 并于当年末完成, 投资 收益为2.35%.
该公司现有资金120万, 试为该公司制定投资计划.
模型建立
以i 1, 2,3, 4,5代表年份, j 1, 2,3, 4分别表示4个项
0.1x1 0.3x2 0.9x3 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8,
由此得到该问题的数学表达式:
min z 2.92x1 x2 x3 x4 200 2.12x2 x3 3x5 2x6 x7 200 1.5 x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200
3 2
x2
C
D
E
A
1
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型引言线性规划（Linear Programming, LP）是数学规划的一种方法，用于解决一类特殊的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为一个线性的目标函数和一系列线性约束条件。
本文将介绍线性规划的数学模型及其应用。
数学模型线性规划的数学模型可以用以下形式表示：最大化：$$ \\max_{x_1,x_2,...,x_n} Z=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n $$约束条件：$$ \\begin{align*} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n&\\leq b_1 \\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n &\\leq b_2 \\\\ &\\vdots \\\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n&\\leq b_m \\\\ x_1,x_2,...,x_n &\\geq 0 \\end{align*} $$其中，Z为目标函数的值，Z1,Z2,...,Z Z为目标函数的系数，Z1,Z2,...,Z Z为决策变量，Z ZZ为约束条件的系数，Z1,Z2,...,Z Z为约束条件的右侧常数。
线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，其应用领域包括但不限于以下几个方面：生产计划线性规划在生产计划中的应用是最为常见的。
通过建立适当的数学模型，可以最大化生产线的产能，同时满足客户需求和资源限制。
例如，一个工厂需要决定每个月生产的产品数量，以最大化利润。
这个问题可以通过线性规划来解决。
运输问题线性规划在运输问题中的应用也非常广泛。
运输问题涉及到将特定产品从供应地点运送到需求地点，以满足需求并尽量降低运输成本。
线性规划可以用来决定每个供应地点到每个需求地点的运输量，以最小化总运输成本。
资源分配在资源有限的情况下，线性规划可以用于优化资源的分配。
线性规划模型
j 1
i 1
将目标函数和约束条件放在一起，即得指派问题的数学模型.
第i人花费在第j项工作的时间用cijxij表示，在所有的工作中，第i人干仅干一项工作，
若第i人被分配去干第j0项工作，则当j0≠j时，cijxij=0，所以花费的总时间为T
nn
cij xij
.
i1 j 1
n
n
对于第i人，应有 xij 1 ；对于第j项工作，应有 xij 1 .
cT x
Ax b
A
eq
x beq
l b x u b
Matlab中求解线性规划的命令为：
[x，fval]=linprog(c，A，b，Aeq，beg，lb，ub)
其中，x返回的决策变量x的取值，fvla返回的是目标函数的最优值.
注：若没有某种约束，则相应的系数矩阵赋值为空矩阵，如没有等式约束，则令Aeq=[]， beq=[].
（7）模型的分析与评价
在建立线性模型是，总是假定aij，bi，cj都是常数，但实际上这些系数往往是估计值 和预测值，如市场条件一变，aij值就会变化；bi往往因工艺条件的改变而改变；cj是根据 资源投入后的经济效果决定的一种决策选择.因此，这些参数在什么范围内变化时，线 性规划问题的最优解不变.
2.整数规划模型
3. 0-1整数模型
在部分规划问题中，每个需要做的决策只有两种时，可以使用0-1整数规划建模，它的 变量xi仅取值0或1.此类模型可用Lingo和Matlab求解.Matlab中规定0-1整数规划模型中的标准形 式为：
min cT x Ax b
s.t. Aeq x beq
Matlab中求解0-1规划的命令为： [x，fval]=bintprog(c，A，b，Aeq，beq)
线性规划基本模型
在每次迭代中，单纯形法会根据目标函数的 系数和约束条件，通过一系列的数学运算， 将问题转化为更简单的形式，直到找到最优 解或确定无解。
单纯形法具有简单易懂、易于实现 的特点，是解决线性规划问题最常 用的方法之一。
对偶问题
等式约束
等式约束优化是指在优化问题中包含等式约束的线性规划问题。等式约束通常 表示决策变量之间的关系，满足等式约束是找到最优解的必要条件。
求解算法
对于包含等式约束的线性规划问题，可以采用一些特殊的算法进行求解，如消 元法或拉格朗日乘子法。这些算法能够更高效地处理等式约束，并找到最优解。
05
线性规划的扩展模型
线性规划基本模型
• 线性规划概述 • 线性规划的基本概念 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的优化方法 • 线性规划的扩展模型 • 线性规划的实际应用案例
01
线性规划概述
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化方法，通过 在一定的约束条件下最大化或最小化 一个线性目标函数，来找到一组变量 的最优解。
现状
目前，线性规划已经发展成为一 个成熟的学科分支，有许多成熟 的算法和软件工具可用于解决各 种实际问题。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组
01
线性规划问题通常由一组线性方程组成，这些方程描述了决策
变量之间的关系。
线性方程的解
02
线性方程组可能有多个解，但在线性规划中，我们通常只关心
满足特定约束条件的解。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化 利润。
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
线性规划模型
第一节 线性规划模型
（一）制定生产计划
例1：某炊具生产企业生产四种产品，生产过程中要经过5 个车间，每个车间所能提供的工时数量、每种产品的工时定额、 各种产品的单位成本、销售价格、市场需求量预测等如下表。 下月生产产品B和D的金属板供应量紧缺，最大供应量为2000 平方米，若产品B每件需要2平方米，产品D每件需要1平方米。 希望实现最大利润，制定下月的生产计划。
X 11 X 21 X 31 5000 X 12 X 22 X 32 7500 X 13 X 23 X 33 7500 X 14 X 24 X 34 2000 （三）物资调运问题
产品 车间
单位产品的工时定额 （时）
ABCD
可用
工时 （时/ 月）
冲压 0.03 0.15 0.05 0.1 400
钻孔 0.06 0.12
0.1 400
装配 0.05 0.10 0.05 0.12 500
喷漆 0.04 0.20 0.03 0.12 450
包装 0.02 0.06 0.02 0.05 400
求总费用最小，运费= 单件运费× 运送量，因此目标函数为
Z min 8X11 6 X12 7 X13 4 X 21 3X 22
5X 23 7 X 31 4X 32 8X 33
即供应量的约束为：
X11 X12 X13 6000
X 21 X 22 X 23 4000
X 31 X 32 X 33 10000
约束条件为满足三种规格钢筋的最低需求，所以线性 规划模型为
Zmin 4X1 12X 2 2X 3 5X 5 10X 6
2 X1 X 2 XHale Waihona Puke 3 30s.t.X
2
3X 4
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线性规划模型线性规划的英文全称为：Linear Programming ，可简称为LP ． 一、线性规划所属学科线性规划是“运筹学”中应用最广泛、理论最成熟的一个分支．0-1⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩线性规划非线性规划静态规划整数规划规划论规划多目标规划动态规划运筹学对策论决策论排队论图论存储论模型论 二、线性规划发展简史早在19世纪法国数学家傅里叶关于线性不等式的研究表明，他对线性规划已有所了解，还提出了单纯形法求解线性逼近中的线性规划20世纪三是年代末，苏联数学家康托洛维奇开始研究生产组织中的线性规划问题，并写出了线性规划应用于工业生产问题的经典著作《生产组织与计划中的数学方法》．1947年美国数学家丹奇格提出了单纯形(Simplex)方法及有关理论，为线性规划奠定了理论基础．五十年代，线性规划成为经济学家分析经济问题的重要工具．随着计算机的迅猛发展，线性规划现被广泛应用于工业、农业、商业等各个领域． 三、用线性规划方法解决实际问题的两大特点1、全局性——从全局出发，将全局目标作为追求目标；2、定量性——通过建立数学模型，对实际问题进行定量分析，而不是只做定性分析． 数学模型指：将实际问题用一系列数学表达式(函数、方程、不等式等)表示出来，称这一系列数学表达式为该实际问题的数学模型． 四、线性规划方法解决的两类问题1、任务一定，如何安排，可使人、财、物最省；2、人、财、物一定，如何安排，可使任务完成量最多． 五、线性规划可解决以下几方面的问题１、运输问题：某产品有若干个产地、若干个销地，如何运输，使总运费最省；2、生产组织问题：⎩⎨⎧产，使成本最低产值一定，如何安排生最高或利润产，使产值资源一定，如何安排生)(3、配料问题：如何搭配各种原料，既符合质量(营养)要求，又使成本最低；4、投资问题：资金一定，投向谁、投多少、期限多长，使若干年后本利和最高；5、库存问题：在仓库容量有限情况下，如何确定库存物资的品种、数量、期限，使库存效益最佳；6、合理播种问题：在土地资源有限的情况下，种什么、种多少，使效益最高；……第一节 线性规划模型的基本概念 一、建立模型的方法1 根据影响所要达到的目的的因素找到决策变量2 由决策变量和所要到的目的之间的函数关系确定的目标函数3 由决策变量所受到的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件若模型满足：1 目标函数是线性函数 2 约束条件是线性等式或不等式； 则称为线性规划模型 二、常用模型 例1： 生产计划莫工厂生产I II 两种产品需要A 、B 两种原料，问怎样生产获利最大？1） 决策变量：设12,x x 分别生产I II 的数量 2） 目标函数：获利最大 12max 24x x + 3） 约束条件：1228x x +≤ 设备约束 12416,412x x ≤≤ 原料约束 12,0x x ≥ 基本约束 则我们可以建立模型12121212max 24.28416412,0z x x s tx x x x x x =++≤≤≤≥例2： 配料问题某养鸡场有一万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养，每天每只鸡平均吃混合饲料一斤，其中动物饲料不少于1/5，动物饲料每斤0.25元，谷物饲料每斤0.2元，饲料公司每周至多能供应谷物饲料5万斤，问怎样混合饲料才能使每周成本最低？ 解：1）决策变量 设动物饲料1x 斤，谷物饲料2x 斤。
2）目标函数 求120.250.2x x +最小 3）约束条件 总需求 1270000x x +≥ 动物饲料 11700005x ≥谷物饲料 250000x ≤ 基本约束 12,0x x ≥对于线性规划的常用模型还有很多在这里就不一一例举 三、线性规划标准型及解的基本概念由上面的两个模型中我们可以看到，目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式。
我们说它们是线性规划模型。
尽管模型不尽相同，但我们可以归纳为12(,,,)Tn x x x x =112211112211211222221122min(max).(,)(,)(,)n nn n n n m m n mmn z c x c x c x s ta x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b =++++++≤=≥+++≤=≥+++≤=≥ 称为一般型，我们规定：112211112211211222221122min .n n n n n n m m n mmn z c x c x c x s ta x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b =++++++=+++=+++= 0i x ≥为线性规划的标准型。
也可写成11min .(1,2,)0(1,2,)nj jj nij jij j z c x s ta xb i m x j n =====≥=∑∑其中向量12(,,,)n c c c c =称为目标函数的系数向量，列向量12(,,,)T n x x x x =称为决策变量，12(,,,)T m b b b b =称为右边向量，矩阵1112112n m m mn a a a A a a a ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭称为约束系数矩阵. 于是线性规划模型又可以写成min .0()cx s tAx bx =≥≥其中b 0根据实际问题建立的模型常常不是标准型,我们可以用以下方法转化为标准型 1) 若目标函数不是最小则在目标函数加负号 2) 若右边i b 小于0则把第i 个约束条件两边同时乘-1 3) 若约束条件为1nij ji j a xb =≤∑则可增加一个变量0n i x +≥，此约束条件转化为1nij jn i i j a xx b +=+=∑称n i x +为松弛变量。
同样若约束条件为1nij ji j a xb =≥∑，可引入松弛变量0n i x +≥转化为1nij jn i i j a xx b +=-=∑松弛变量又称剩余变量，在实际问题中，常常表示未被利用的资源或超出资源数量，不能转化为价值和利润，在目标函数中的系数为04）若某一变量无约束，可另''''''(0,0)j j j j j x x x x x =-≥≥，作变量替换。
若0j x ≤，则令'j j x x =-。
例3： 将下列现行规划化为标准型max 12343425z x x x x =-+-+s.t.12341234123412434214232233,0,0,x x x x x x x x x x x x x x x x -+-≤-+-+≥+++≤-≥≤无约束解：上述问题中令33344',''','''z z x x x x x =-=-=-于是该问题的标准形式为min '12334342'2''5'z x x x x x =-+++s.t.1233451233461233471233456742'2'''1423'''2'23''''3,,','',',,,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++++=-+-+--=--+---=≥0一般的线性规划问题中，{|,0}D x Ax b x ==≥称为线性规划（LP ）的可行域，若x D ∈，则称x 为可行解。
若*x D ∈对任意x D ∈有*cx cx ≤则称*x D ∈为（LP ）的最优解线性规划可写为十分简洁的形式min x Dcx ∈第二节 模型实例一、奶制品的生产与销售某奶制品加工厂生产两种奶制品12A A 、，其中一桶原奶经过12小时的加工得到3公斤的1A ，经过8小时的加工得到4公斤的2A ；12A A 、的利润分别为24元/公斤和16元/公斤。
工厂每天用于加工的原奶最多为50桶，用于加工的工时最多为480小时，并且每天至多只能加工100公斤1A ；问怎样安排生产计划才能使得利润最大？若市场上有原奶供应，则当原奶没桶的价格为多少时可以购买？若可以雇零时工，则零时工的工资应该为多少？若每公斤1A 的获利增加到30元，是否改变生产计划？模型分析假设许多实际的优化问题的数学模型都是线性规划（特别是生产计划这样的经济管理领域）。
下面我们分析一下实际问题具有什么样的性质，其模型是线性规划。
比例性：每个决策变量对目标函数的“贡献”，与该决策变量的取值成正比;每个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与该决策变量的取值成正比。
可加性：各个决策变量对目标函数的“贡献”，与其它决策变量的取值无关；各个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与其它决策变量的取值无关。
连续性：每个决策变量的取值是连续的。
比例性和可加性保证了线性性，连续性则允许得到决策变量的实数最优解。
对于本例，先作如下假设：1）12A A 、两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出的12A A 、的数量和所需要的时间是它们各自产量无关的常数；2）12A A 、每公斤的获利是与它们相互产量无关的常数，每桶牛奶加工出的12A A 、的数量和所需要的时间是与它们相互产量无关的常数；3）加工12A A 、的牛奶的桶数可以是任意常数。
这三条假设就保证的上面的三条性质，但我们要注意的是，实际生活中这些假设只是近似成立，比如当产量很大的时候，单位获利自然会减少。
在后面的模型中对于这些假设就不一一列出。
模型建立决策变量：1x 桶牛奶生产1A ，2x 桶牛奶生产2A 目标函数： 127264Max z x x =+ 约束条件：原料供应 1250x x +≤劳动时间 12128480x x +≤ 加工能力 13100x ≤ 非负约束 12,0x x ≥模型求解图解法：这个线性规划模型时2维的，我们可以用图解法求解将约束条件全部变为等号，在12Ox x 平面生得到5条直线，并且不难判断此问题的可行域是由这五条直线围成的5边形OABCD 。
计算出5个顶点的坐标为：(0,0),(0,50),O A (20,30),(100/3,10),(100/3,0)B C D 。
目标函数值z 取不同值时，在图1中表示的是一组平行的直线，称为等值线。
在此问题中可以看出，当等值线向右上方平移时，目标函数值时增加的，所以当等值线平移到过B 点时，3360z =达到最大值，所以B 点的坐标(20,30)为最优解：1220,30x x ==我们可以直观的看到在2维情形下，可行域是直线围成的凸多边形，最优解在顶点取得。