(完整版)椭圆练习题(含答案)
椭圆基础题(含答案)
4．设 P 是椭圆 2 +
3
A．2√2
= 1上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（
B．2√3
5．椭圆:
2
+
4
2
2
C．2√5
B．−2
2
100
+
D．4√2
= 1的左、右焦点分别为1 , 2 ，点在椭圆上，已知|1 | = 3，则|2 | =（
A．−1
6．如果椭圆
）
2
）
D．不能确定
3．已知△ 的周长为 20，且顶点(0, −4), (0,4)，则顶点的轨迹方程是（
2
2
2
2
2
2
2
）
2
A．36 + 20 = 1( ≠ 0) B．20 + 36 = 1( ≠ 0) C． 6 + 20 = 1( ≠ 0) D．20 + 36 = 1
2
√6
A． 3
B．−
2
2
= 1有且只有一个交点，则的值是(
√6
3
C．±
2
33．直线 y＝k（x﹣2）+1 与椭圆
16
A．相离
+
2
9
2
A．相交
2
4
= 1的位置关系是（
2
A． + 3 − 4 = 0
36．已知椭圆:
2
4
+
2
2
D．无法判断
）
C．相离
D．不确定
= 1交于点 A、B,线段的中点为(1,1),则直线 l 的方程为(
(2)焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为8, = √3.
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案).doc
+ )，2=1,得(1 + 〃)宇 一2疽乂 =0 ,典型例题一例1椭圆的一个顶点为A （2,0）,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程. 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置. 解：（1）当A （2,0）为长轴端点时,。
=2, b = l,22椭圆的标准方程为：'+匕=1;（2）当A （2,0）为短轴端点时，b = 2,。
= 4,椭圆的标准方程为：土 +匕4 16说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不 能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况.典型例题二例2 —个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率.说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求Q,求C,再求 比.二是列含Q 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可.典型例题三例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线x+y-1 =。
交于A 、B 两点、, M 为AB 中点，0M 的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.h 由题意，设椭圆方程为二+），2=1,工+顶一1 =0=hL = _L = L知】43V3— + y2 = 1 为所求.4 -说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法；(2)直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.典型例题四/ V2( 9、例4椭圆一+上=1上不同三点人3，y), B 4,- , C(x2,力)与焦点F(4,0)的25 9 k 5 /距离成等差数列.(1)求证工]+ x2 = 8 ;(2)若线段AC的垂直平分线与工轴的交点为T,求直线BT的斜率证明：(1)由椭圆方程知a = 5 , b = 3, c = 4.由圆锥曲线的统一定义知：—?匕—=上,cr aAF = a-ex} =5- — ^ .4同理CF =5一一七.5 一9•/\AF\ + |CF| = 2|BF|,且BF =—,即X] + x2 = 8 .(2)因为线段AC的中点为,所以它的垂直平分线方程为I 2 ))，-心1 =也二％-4).2>1 - >,2又..•点『在人轴上，设其坐标为(工0,0),代入上式，得寸4 =若当2代一易)5 5 - /u' h -9 一259 一252%又,点A（x r yj , B（X2, %）都在椭圆上,将此式代入①，并利用凡+易=8的结论得』36"4 = -云#上一。
椭圆专题测试卷(含答案)
椭圆专题测试卷考试范围：解析几何；考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.椭圆13422=+y x 的焦距为（ ）B A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.圆222440x y x y +-+-=与直线2220()tx y t t R ---=∈的位置关系为( )CA ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )AA.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝14.与圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0都相切的直线共有( )CA ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5.已知方程22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为( )BA ．(1,2)B ．(2,3)C ．(－∞,1)D ．(3,+∞)6.椭圆2218x y m +=的焦距是2，则m 的值是（ ）CA ．9B ．12或4C ．9或7D ．207.椭圆22154x y +=上一点P ，以及点P 及1F 、2F 为顶点的三角形面积为1，则点P 的坐标为（）．DA ．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．1⎫±⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．1⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭8已知椭圆22:143x y E +=和圆22:()1C x m y -+=，当实数m 在闭区间[－3,3]内从小到大连续变化时，椭圆E 和圆C 公共点个数的变化规律是（ ）．A A ．1，2，1，0，1，2，1 B ．2，1，0，1，2 C ．1，2，0，2，1D ．1，2，3，4，2，0，2，4，3，2，19.已知圆1F ：22(2)36x y ++=，定点2(2,0)F，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是（ ）BA ．22143x y += B ．22195x y += C ．22134x y += D ．22159x y += 10.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )DA.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1D.x 264＋y 248＝111.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )AA.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，112.（文）10.已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )BA.53B.213C.253D.4312.椭圆M ：22a x +22b y =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|•|PF 2|的最大值的取值范围是[2b 2，3b 2]，椭圆M 的离心率为e ，则e ﹣e 1的最小值是（ ）A A ．﹣22 B ．﹣2C ．﹣66 D ．﹣36第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.过点 ，且与椭圆221259y x +=有相同焦点的椭圆标准方程为________. 202y ＋42x ＝1 14.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．3－115.椭圆11625:C 22=+y x 的左右焦点为F 1，F 2，M 为椭圆C 上的动点，则21MF 1MF 1+的最小值为__________．5216.(文)将圆224x y +=上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线的方程为 _________ . 2214x y +=16.（理）已知F 1，F 2为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若椭圆上存在点P使2||PF c =（c 为半焦距）且12F PF ∠为锐角，则椭圆离心率的取值范围是 ．1(1)2二、解答题（本题共6题,第17题10分,其余每题12分,共70分）17.（1）已知6AB =，求到A ，B 两点的连线的斜率之积为94-的点的轨迹C（2）直线l 过点A （1,0）且倾斜角为65π，求l 与曲线C 相交的弦长AB（1）)3(14922±≠=+x y x（2）7516=AB18.如果点）（y x ,M 总满足关系式10)3()3(2222=-++++y x y x ，（1）点M 的轨迹是什么曲线C ？写出它的方程（2）已知直线04045:=+-y x l ，曲线C 上是否存在一点，使它到直线l 的距离最大？最大距离是多少？（1）曲线C 是以）（）（3,0,3,0-为焦点，长轴长为10的椭圆12516:22=+y x C（2）设与直线l 平行且与椭圆相切的直线045:=+-m y x m距离最大值为4122040+19.点）（y x ,M 与定点）（0,F c 的距离和它到定直线c a x l 2:=的距离之比为a c， （1）求出点M 的轨迹方程C（2）利用题干的结论证明曲线C 上任意一点),(00y x P 到F 的距离为：0ex a PF -=19.（1）12222=+b y a x（2）002)(,ex a x c a a c PF a c d PF -=-==20. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆C 上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆C 的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于（1）求椭圆C 的离心率及其方程．（2）求与椭圆C 离心率相同且经过点）（230,5-的椭圆E 方程 20.（1）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆的右顶点(,0)A a ，上顶点(0,)B b . 令x c =-，得242222(1)c b y b a a =-=，所以2b y a=±.因为点P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，所以2(,)b P c a-，由OPAB k k =得2b bac a-=-，解得，b c =.从而22222a b c c =+=，所以a =，c e a ==；又因为a c -=a =c b =，所以所求椭圆C 的标准方程为221105x y +=.（2）1102022=+y x 21.（文）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，且经过点)23,1(，21,F F 是椭圆的左右焦点。
高中椭圆练习题(答案-基础题)
一、选择题：1.下列方程表示椭圆的是（）A.22199x y += B.2228x y --=- C.221259x y -= D.22(2)1x y -+= 2.动点P 到两个定点1F （- 4，0）.2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（） A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D .不能确定3.已知椭圆的标准方程22110y x +=，则椭圆的焦点坐标为（）A.(B.(0,C.(0,3)±D.(3,0)±4.椭圆222222222222211()x y x y a b k a b a k b k+=+=>>--和的关系是 A ．有相同的长.短轴B ．有相同的离心率 C ．有相同的准线D ．有相同的焦点5.已知椭圆22159x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（）A.3B.2C.3D.66.如果22212x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--⋃+∞ C.(,1)(2,)-∞-⋃+∞ D.任意实数R 7.“m>n>0”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的”（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 8.椭圆的短轴长是4，长轴长是短轴长的32倍，则椭圆的焦距是（）B.4C.6D.9.关于曲线的对称性的论述正确的是（） A.方程220x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程330x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2210x xy y -+=的曲线关于原点对称D.方程338x y -=的曲线关于原点对称第11题10.方程 22221x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22221x y a b+=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）. A.有相同的离心率；B.有共同的焦点；C.有等长的短轴.长轴； D.有相同的顶点. 二、填空题：（本大题共4小题，共20分.）11.（6分）已知椭圆的方程为：22164100x y +=，则a=___，b=____，c=____，焦点坐标为：___ __，焦距等于______;若CD 为过左焦点F1的弦，（如图）则∆2F CD 的周长为________.12.（6分）椭圆221625400x y +=的长轴长为____，短轴长为____，焦点坐标为 四个顶点坐标分别为___ ，离心率为 ；椭圆的左准线方程为 13.（4分）比较下列每组中的椭圆：（1）①229436x y += 与②2211216x y += ，哪一个更圆 （2）①221610x y +=与②22936x y +=，哪一个更扁 14.（4分）若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（30分）求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，-3），（0,3），椭圆的短轴长为8；（2）两个焦点的坐标分别为（），），并且椭圆经过点2)32F CcD1F（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点12P P 、16.（12分）已知点M 在椭圆221259x y +=上，M 'P 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为'P ，并且M 为线段P 'P 的中点，求P 点的轨迹方程17.（12分）设点A ，B 的坐标为(,0),(,0)(0)a a a ->，直线AM,BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为(01)k k k ->≠且求点M 的轨迹方程，并讨论k 值与焦点的关系.18.（12分）当m 取何值时，直线l ：y x m =+与椭圆22916144x y +=相切，相交，相离？19.(14分)椭圆221(045)45x y m m+=<<的焦点分别是1F 和2F ，已知椭圆的离心率3e =过中心O 作直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为原点，若2ABF V 的面积是20， 求：（1）m 的值（2）直线AB 的方程参考答案1.选择题：二.填空题：11 10,8，6，（0，6±），12，40 12 10，8，（3,0±），（-5,0）.（5,0）.（0，-4）.（0,4），35，253x=-13 ②，② 1435三.解答题：15.（1）解：由题意，椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)y xa ba b+=>>由焦点坐标可得3c=，短轴长为8，即28,4b b==，所以22225a b c=+=∴椭圆的标准方程为2212516y x+=（2）由题意，椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)x ya ba b+=>>由焦点坐标可得c=2a==6 所以2b=22a c-=9-5=4，所以椭圆的标准方程为22194x y+=(3)设椭圆的方程为221mx ny+=（0,0m n>>），因为椭圆过12P P、61321m nm n+=+=⎧∴⎨⎩解得1913mn==⎧⎨⎩所以椭圆的标准方程为：22193x y+=16.解：设p点的坐标为(,)p x y，m点的坐标为00(,)x y，由题意可知022yyx xx xy y====⎧⎧⇒⎨⎨⎩⎩①因为点m在椭圆221259x y+=上，所以有22001259x y += ② ， 把①代入②得2212536x y +=，所以P 点的轨迹是焦点在y 轴上，标准方程为2212536x y +=的椭圆. 17.解：设点M 的坐标为(,)x y ，因为点A 的坐标是(,0)a -，所以，直线AM 的斜率()AM y k x a x a =≠-+，同理直线BM 的斜率()BM y k x a x a=≠-.由已知有(),y y k x a x a x a=-≠±+-g 化简得点M 的轨迹方程为22221()x y x a a ka +=≠±当01k <<时，表示焦点在x 轴上的椭圆；当1k >时，表示焦点在y 轴上的椭圆.18.解：{22916144y x m x y =++=…… … … ①②①代入②得22916()144x x m ++=化简得222532161440x mx m ++-=222(32)425(16144)57614400m m m ∆=-⨯-=-+当0,∆=即5m =±时，直线l 与椭圆相切； 当0∆>，即55m -<<时，直线与椭圆相交； 当0∆<，即5m <-或5m >时，直线与椭圆相离.19.解：（1）由已知3c e a ==，a ==5c =， 所以222452520m b a c ==-=-=（2）根据题意21220ABF F F B S S ==V V ，设(,)B x y ，则121212F F B S F F y =V g ，12210F F c ==，所以4y =±，把4y =±代入椭圆的方程2214520x y +=，得3x =±，所以B 点的坐标为34±±（，），所以直线AB 的方程为4433y x y x ==-或。
《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11422=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3331-=e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，4112===ax y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：ac x ca AF =-12， ∴ 11545x ex a AF -=-=． 同理 2545x CF -=．∵ BF CF AF 2=+，且59=BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-．将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=， 112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --． 解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-． 所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，； （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ①又过点()62-，，因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ． （2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九 例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ，其中0>>b a 待定．由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-． 如果21<b ，则当b y -=时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()34722+=b，可得1=b ，2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+y x ． 由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离为d ，则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21<b ，则当1sin -=θ时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾，因此必有121≤b成立． 于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值． 由题设知()34722+=b，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，．典型例题十一例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，则 ()1122+=++m y x它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使 120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据120=∠AQB 得到32222-=-+a y x ay ，将22222y ba a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222， 于是()a c a b k AP+=2，()a c ab k BP -=2．∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ． （2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=，ax y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ， ∴2232c ab y = ∵b y ≤， ∴b c ab ≤2232 232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ．典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=． 由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32． 解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅． ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π， ∴ααπcos 4sin 323tan=，即2tan =α．而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(．典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=． 分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，ca x PQ 20+=，由椭圆第二定义，e PQPF =1，∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九 例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by a x ，两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ∆的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF ∆中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，则11ex a PF +=，12ex a PF -=． 在21F PF ∆中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒， 解得2222134ea c x -=． (1)∵],0(221a x ∈，∴2222340a ea c <-≤，即0422≥-a c ． ∴21≥=a c e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =，即cb y 321=．∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆． 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12FPF ，β=∠21F PF ， 则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中，由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα． ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα，∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ．(2)在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=． ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆． 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-ba b ，又222c a b -= ∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。
(完整word版)椭圆基础训练题(含答案提示)(2),推荐文档
椭圆基础训练题1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ）（A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9x 2＋25y 2＝12．椭圆5x 2＋4y 2＝1的两条准线间的距离是（ ）（A ）52 （B ）10 （C ）15 （D ）3503．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）（A ）21（B ）22（C ）23（D ）334．椭圆25x 2＋9y 2＝1上有一点P ，它到右准线的距离是49，那么P 点到左准线的距离是（ ）。
（A ）59（B ）516 （C ）441 （D ）5415．已知椭圆x 2＋2y 2＝m ，则下列与m 无关的是（ ）（A ）焦点坐标 （B ）准线方程 （C ）焦距 （D ）离心率6．椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是23，则它的长半轴的长是（ ）（A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）21或17．椭圆的中心为O ，左焦点为F 1，P 是椭圆上一点，已知△PF 1O 为正三角形，则P 点到右准线的距离与长半轴的长之比是（ ）（A ）3－1 （B ）3－3 （C ）3 （D ）18．若椭圆my 12m 3x 22-+=1的准线平行于y 轴，则m 的取值范围是 。
9．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是 。
10. 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x －y －4=0被此椭圆所截得的弦长为354，求此椭圆的方程。
11．证明：椭圆上任意一点到中心的距离的平方与到两焦点距离的乘积之和为一定值。
12. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e =32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。
（A ） 36x 2+20y 2=1 （B ）36x 2+20y 2=1或20x 2+36y 2=1（C ） 9x 2+5y 2=1 （D ）9x 2+5y 2=1或5x 2+9y 2=113. 椭圆25x 2＋16y 2=1的焦点坐标是（ ）。
(完整版)高二数学椭圆试题(有答案)
dAllthingstheirbeingaregoodforso高二数学椭圆试题一：选择题1.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ） A．m＞2或m＜﹣1B．m＞﹣2C．﹣1＜m＜2D．m＞2或﹣2＜m＜﹣1解：椭圆的焦点在x轴上∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0解得m＞2或m＜﹣1又∵2+m＞0∴m＞﹣2∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1故选D2.已知椭圆，长轴在y轴上、若焦距为4，则m等于（ ） A．4B．5C．7D．8解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选D3．椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1的长轴长是（ ） A．B．C．D．解：由椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1，化成标准方程：由于an dAl l th i n gn th e i r be i ng a r e g o o d f o r ，∴椭圆（1﹣m ）x 2﹣my 2=1的长轴长是2a=2=．故选B ．4．已知点F 1、F 2分别是椭圆+=1（k ＞﹣1）的左、右焦点，弦AB 过点F 1，若△ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D．解：由椭圆定义有4a=8∴a=2，所以k+2=a 2=4∴k=2．从而b 2=k+1=3，c 2=a 2﹣b 2=1，所以，故选A5．已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（ ） A ．（x ≠0）B ．（x ≠0） C ．（x ≠0）D ．（x ≠0）解：∵△ABC 的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，∵12＞8∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是椭圆，∵a=6，c=4∴b 2=20，∴椭圆的方程是故选B ．6．方程=10，化简的结果是（ ）andAllthinintheirbeingaegoodforso A．B．C．D．解：根据两点间的距离公式可得：表示点P（x，y）与点F1（2，0）的距离，表示点P（x，y）与点F2（﹣2，0）的距离，所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10，因为|F1F2|=2＜10，所以由椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，并且a=5，c=2，所以b2=21．所以椭圆的方程为：．故选D．7．设θ是三角形的一个内角，且，则方程x2sinθ﹣y2cosθ=1表示的曲线是（ ） A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在x轴上的椭圆 C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在y轴上的椭圆解：因为θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=，所以，θ∈（，π），且|sinθ|＞|cosθ|，所以θ∈（，），从而cosθ＜0，从而x2sinθ﹣y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆．故选D．8.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A．B．C．D．解：设点P在x轴上方，坐标为，∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|=|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e=an dAl l th i n gs i n th ei r be i n r ego o d f o r s o 故选D 9.从椭圆上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） A ．B ．C ．D ．解：依题意，设P （﹣c ，y 0）（y 0＞0），则+=1，∴y 0=，∴P （﹣c ，），又A （a ，0），B （0，b ），AB ∥OP ，∴k AB =k OP ，即==，∴b=c ．设该椭圆的离心率为e ，则e 2====，∴椭圆的离心率e=．故选C ．10.若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．8解：由题意，F （﹣1，0），设点P （x 0，y 0），则有，解得，因为，，andtheirbeingaregors 所以==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．11.如图，点F为椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（ ） A．B．C．D．解：设线段PF的中点为M，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM是△FPF′的中位线，∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知PF=2a﹣PF′=2a﹣2b，又MF=PF=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF=c，直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可求得离心率e==，故答案选B．12．椭圆顶点A（a，0），B（0，b），若右焦点F到直线AB的距离等于，则椭圆的离心率e=（ ） A．B．C．D．n dAl l th i n g s i n t h ei r br eg o o d f o r 解：由题意可得直线AB 的方程为即bx+ay ﹣ab=0，F （c ，0）∴F （c ，0）到直线AB 的距离d==，|AF|=a ﹣c则∴a 2=3b 2∴a 2=3a 2﹣3c 2即3c 2=2a 2∴=故选B13．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，且|PF 1||PF 2|的最大值的取值范围是[2c 2，3c 2]，其中c=．则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A．[，]B ．[，1）C ．[，1）D．[，]解：∵|PF 1|•|PF 2|的最大值=a 2，∴由题意知2c 2≤a 2≤3c 2，∴，∴．故椭圆m 的离心率e 的取值范围．故选A ．an dAl l th i n h ei r ba r e g o o d o 14．在椭圆中，F 1，F 2分别是其左右焦点，若|PF 1|=2|PF 2|，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．解：根据椭圆定义|PF 1|+|PF 2|=2a ，将设|PF 1|=2|PF 2|代入得，根据椭圆的几何性质，|PF 2|≥a ﹣c ，故，即a ≤3c，故，即，又e ＜1，故该椭圆离心率的取值范围是．故选B ．二：填空题15.已知F 1、F 2是椭圆C ：（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且．若△PF 1F 2的面积为9，则b= 3 ．解：由题意知△PF 1F 2的面积=，∴b=3，故答案为3．16．若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 4＜k ＜7 ．解：∵+=1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴k ﹣1＞7﹣k ＞0．∴4＜k ＜7．故k 的取值范围是4＜k ＜7．故答案为：4＜k ＜7．17.已知椭圆的焦距为2，则实数t= 2，3，6 ．解：当t 2＞5t ＞0即t ＞5时，a 2=t 2，b 2=5th i n gs ing o o d f o r s o 此时c 2=t 2﹣5t=6解可得，t=6或t=﹣1（舍）当0＜t 2＜5t 即0＜t ＜5时，a 2=5t ，b 2=t 2此时c 2=a 2﹣b 2=5t ﹣t 2=6解可得，t=2或t=3综上可得，t=2或t=3或t=6故答案为：2，3，618.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A （﹣4，0）和C （4，0），顶点B 在椭圆上，则= ．解：利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8由正弦定理得=故答案为19.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的焦距为2c ，以O 为圆心，a为半径作圆M ，若过作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 ．解：设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故，解得，故答案为．th i n g s i n t h e i r be i n g a r e r s 20.若椭圆的焦点在x 轴上，过点（1，）做圆x 2+y 2=1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是 ．解：设切点坐标为（m ，n ）则即∵m 2+n 2=1∴m 即AB 的直线方程为2x+y ﹣2=0∵线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点∴2c ﹣2=0；b ﹣2=0解得c=1，b=2所以a 2=5故椭圆方程为故答案为三：解答题21.已知F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上一点．（1）求|PF 1|•|PF 2|的最大值；（2）若∠F 1PF 2=60°且△F 1PF 2的面积为，求b 的值．解：（1）∵P 点在椭圆上，∴|PF 1|+|PF 2|=|2a=20，llthinaregoodforso ∵|PF1|＞0，|PF2|＞0，∴|PF1|•|PF2|≤=100，∴|PF1|•|PF2|有最大值100．（2）∵a=10，|F1F2|=2c．设|PF1|=t1，|PF2|=t2，则根据椭圆的定义可得：t1+t2=20①，在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，所以根据余弦定理可得：t12+t22﹣2t1t2•cos60°=4c2②，由①2﹣②得3t1•t2=400﹣4c2，所以由正弦定理可得：=．所以c=6，∴b=8．22.如图，F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a，b 的值．解：（Ⅰ）∠F1AF2=60°⇔a=2c⇔e==．（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2﹣2|BF2||F1F2|cos120°⇔（2a﹣m）2=m2+a2+am．⇔m=．△AF1B面积S=|BA||F1F2|sin60°⇔=40n th i n gs i n th ei r be i ng ar e g o⇔a=10，∴c=5，b=5．23.已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：（1）依题意，可设椭圆C 的方程为（a ＞0，b ＞0），且可知左焦点为F （﹣2，0），从而有，解得c=2，a=4，又a 2=b 2+c 2，所以b 2=12，故椭圆C 的方程为．（2）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y=x+t ，由得3x 2+3tx+t 2﹣12=0，因为直线l 与椭圆有公共点，所以有△=（3t ）2﹣4×3（t 2﹣12）≥0，解得﹣4≤t ≤4，另一方面，由直线OA 与l 的距离4=，从而t=±2，由于±2∉[﹣4，4]，所以符合题意的直线l 不存在．24.设F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线ℓ与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列．（1）求E 的离心率；（2）设点P （0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E 的方程n d Al l th i n gs in t h e i r b e i ng ar s o 解：（I ）由椭圆定义知|AF 2|+|BF 2|+|AB|=4a ，又2|AB|=|AF 2|+|BF 2|，得l 的方程为y=x+c ，其中．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A 、B 两点坐标满足方程组化简的（a 2+b 2）x 2+2a 2cx+a 2（c 2﹣b 2）=0则因为直线AB 斜率为1，得，故a 2=2b 2所以E 的离心率（II ）设AB 的中点为N （x 0，y 0），由（I ）知，．由|PA|=|PB|，得k PN =﹣1，即得c=3，从而故椭圆E 的方程为．25.设椭圆的左焦点为F ，离心率为，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ） 求椭圆的方程；（Ⅱ） 设A ，B 分别为椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若，求k 的值．解：（I ）根据椭圆方程为．l l th i n gs i n th e i r b eg o o d f o rs o ∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=．∴椭圆的方程为；（II ）直线CD ：y=k （x+1），设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），由消去y 得，（2+3k 2）x 2+6kx+3k 2﹣6=0，∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，又A （﹣，0），B （，0），∴=（x 1﹣，y 1）•（﹣x 2．﹣y 2）+（x 2+，y 2）•（﹣x 1．﹣y 1）=6﹣（2+2k 2）x 1x 2﹣2k 2（x 1+x 2）﹣2k 2，=6+=8，解得k=．26.设椭圆E ：，O 为坐标原点（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒在两个交点A ，B且？若存在，写出该圆的方程，关求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）因为椭圆E ：（a ，b ＞0）过M （2，），N （，1）两点，所以解得l l th i n gs in t h ei r be i n g a r e g o o df o r s o所以椭圆E 的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且，设该圆的切线方程为y=kx+m 解方程组得x 2+2（kx+m ）2=8，即（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣8=0，则△=16k 2m 2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣8）=8（8k 2﹣m 2+4）＞0，即8k 2﹣m 2+4＞0，要使，需使x 1x 2+y 1y 2=0，即，所以3m 2﹣8k 2﹣8=0，所以又8k 2﹣m 2+4＞0，所以，所以，即或，因为直线y=kx+m 为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，，，所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m 都满足或，dA l l t h i n g s i n th e i r be i n g 而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且．因为，所以，①当k ≠0时因为所以，所以，所以当且仅当时取”=”．2当k=0时，27.已知直线x ﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线分别交于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求线段MN 的长度的最小值；（3）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得△TSB 的面积为？若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由．e an dAl l t h i n gs in t h ei r be i n g a r eg oo d f o rs 解：（1）由已知得，椭圆C 的左顶点为A （﹣2，0），上顶点为D （0，1），∴a=2，b=1故椭圆C 的方程为（4分）（2）依题意，直线AS 的斜率k 存在，且k ＞0，故可设直线AS 的方程为y=k （x+2），从而，由得（1+4k 2）x 2+16k 2x+16k 2﹣4=0设S （x 1，y 1），则得，从而即，（6分）又B （2，0）由得，∴，（8分）故又k ＞0，∴当且仅当，即时等号成立．∴时，线段MN 的长度取最小值（10分）（2）另解：设S （x s ，y S ），依题意，A ，S ，M 三点共线，且所在直线斜率存在，n d A l l th i n gs in th ei r b 由k AM =k AS ，可得同理可得：又所以，=不仿设y M ＞0，y N ＜0当且仅当y M =﹣y N 时取等号，即时，线段MN 的长度取最小值．（3）由（2）可知，当MN 取最小值时，此时BS 的方程为，∴（11分）要使椭圆C 上存在点T ，使得△TSB 的面积等于，只须T 到直线BS 的距离等于，所以T 在平行于BS 且与BS 距离等于的直线l'上．设直线l'：x+y+t=0，则由，解得或．又因为T 为直线l'与椭圆C 的交点，所以经检验得，此时点T 有两个满足条件．（14分）。
(完整版)椭圆综合测试题(含答案)
椭圆测试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、离心率为32，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） （A ）22195x y += （B ）22195x y +=或22159x y += （C ）2213620x y += （D ）2213620x y +=或2212036x y += 2、动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（ ）A.椭圆B.线段12F FC.直线12F F D .不能确定3、已知椭圆的标准方程22110y x +=，则椭圆的焦点坐标为（ ）A.(B.(0,C.(0,3)±D.(3,0)±4、已知椭圆22159x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（ ）A.3B.2C.3D.6 5、如果22212x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（ ） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--⋃+∞ C.(,1)(2,)-∞-⋃+∞ D.任意实数R6、关于曲线的对称性的论述正确的是（ ）A.方程220x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程330x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2210x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程338x y -=的曲线关于原点对称7、方程 22221x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22221x y a b+=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）. A.有相同的离心率B.有共同的焦点C.有等长的短轴.长轴D.有相同的顶点.8、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =( )（A ）1 （B （C （D ）29、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.54 B.53 C. 52 D. 51 10、若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．811、椭圆()222210x y a a b+=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( )（A ）（0，2] （B ）（0，12] （C ）1，1） （D ）[12，1）12 若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是( )A.[1-1+B.[1C.[-1,1+D.[1-二、填空题：（本大题共5小题，共20分.）13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是14 椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆两焦点F 1, F 2的连线的夹角为直角，则Rt △PF 1F 2的面积为 . 15 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ， 且D F F B 2=，则C 的离心率为 .16 已知椭圆22:12x c y +=的两焦点为12,F F ,点00(,)P x y 满足2200012x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17.（10分）已知点M 在椭圆221259x y +=上，M 'P 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为'P ，并且M 为线段P 'P 的中点，求P 点的轨迹方程.18.(12分)椭圆221(045)45x y m m+=<<的焦点分别是1F 和2F ，已知椭圆的离心率e =O 作直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为原点，若2ABF 的面积是20，求：（1）m 的值（2）直线AB 的方程19（12分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.20（12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.(I) 求椭圆C 的离心率； (II) 如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.21（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。
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解析几何——椭圆精炼专题
一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆6322
2
=+y x 的焦距是（ ）
A ．2
B ．)23(2-
C ．52
D ．)23(2+
2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)2
3,25(-，则椭圆方程是 （ ）
A ．14
8
2
2=+x y
B ．16102
2=+x y
C ．18
42
2=+x y
D ．16
102
2=+y x
4．方程22
2
=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）
A ．),0(+∞
B ．（0，2）
C ．（1，+∞）
D ．（0，1）
5． 过椭圆1242
2
=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2
ABF ∆的周长是（ ）
A ． 22
B ． 2
C ． 2
D ． 1
6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为
3
1
，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ．
112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14
62
2=+y x C ．
1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或1462
2=+y x 7． 已知k ＜4，则曲线
14
92
2=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴
8．椭圆
19
252
2=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．8
9．椭圆13
122
2=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）
A ．4倍
B ．5倍
C ．7倍
D ．3倍
10．椭圆144942
2
=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ） A ．01223=-+y x B ．01232=-+y x
C ．014494=-+y x
D ． 014449=-+y x
11．椭圆14
162
2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是
（ ）
A ．3
B ．11
C ．22
D ．10
12．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆12
22
=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ）
，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）
A ．2
B ．－2
C ．
21 D ．－2
1 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）
13．椭圆
2214x y m +=的离心率为1
2
，则m = ． 14．设P 是椭圆2
214
x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 ． 15．直线y =x －2
1被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 ．
16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:2
2及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程
为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C ，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程．
18．椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
19．点P 到定点F （2，0）的距离和它到定直线x =8的距离的比为1：2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．
20．中心在原点，一焦点为F 1（0，52
）的椭圆被直线y =3x －2截得的弦的中点横坐标是2
1，求此椭圆的方程．
21.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=2
10
，求椭圆方程
22．椭圆12
2
22=+b
y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点．
（1）求
2
21
1b a +
的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤2
2，求椭圆长轴的取值范围．
椭圆练习题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A
C
D
D
A
B
D
13、3或
316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121
42542
2=+y
x
17、3)(x 15
92
2±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，
椭圆的标准方程为： ；
（2）当
为短轴端点时，
，
，
椭圆的标准方程为： ；
19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2
,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12 .化简，得3x 2+4y 2
=48,整理，得x 216 +y 2
12
=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。
20. 解：解法一：根据题意，设椭圆的方程为y 2a 2+x 2
a 2-50 =1,设交点坐标分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)
将椭圆方程与直线y=3x-2联立，消去y ，得：(3x-2)2a 2 +x 2
a 2-50
=1,化简，整理，得：
(10a 2-450)x 2+(600-12a 2)x+(-a 4+54a 2-200)=0,
所以，x 1,x 2为这个方程的两根，因为相交线段中点横坐标为12 ,所以x 1+x 2=— 10a 2-450
600-12a 2 = -1,解得，a 2=75.于是，因为c=5 2 ,所以，
b 2=25，所以椭圆的方程为y 275+x 2
25
=1. 解法二：设椭圆：
12
22
2=+
b
y a
x （a ＞b ＞0）
，则a 2-b 2=50…① 又设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=2
1，∴y 0=2
3－2=－2
1
由220022212122
221222212222
222
2
1221331
1b a y x b a x x y y k b x x a y y b x a
y b x a y AB =⇒=•-=--=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-⇒=+=+…② 解①，②得：a 2=75，b 2=25，椭圆为：25
752
2x y +=1
21.解 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由⎩⎨
⎧=++=1
12
2
ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0,
Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0, ∴
n m n n m n --
+-2)1(2+1=0,∴m +n =2 ①又2)210()(4=+-+n m mn n m 2,将m +n =2,代入得m ·n =4
3
② 由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21故椭圆方程为22x +23y 2
=1或23x 2+2
1y 2=1
22、（1）设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得：
又将代入x y -=1 1222
2=+b
y a x 0)1(2)(2
22222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022
221b a a x x +=+∴>∆ 2
2
2221)
1(b a b a x x +-=代入①化简得 2112
2=+b a .
(2) ,3221211311222222222
≤≤⇒≤-≤∴-==a b a
b a b a
c e 又由（1）知12222
-=a a b
2
6
252345321212122≤
≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a ，∴长轴 2a ∈ [6,5].。