济南大学2014级高数BW期末试题
0910高等数学B( 二)试题答案济南大学
解
所求直线的一个方向向量 n (3, 7,5)
所求直线方程为 x 3 y0 z 1 3 7 5
2.设函数 z f ( x , y )是由方程 x 2 y 2 z 2 4z 给出， 则全微分 dz ；xdx ydy
2 n 1 x n arctan x ( 1) 2n 1 n 0
见教材P282
二、选择题 （每小题2分，共10分） 1、 f ( x, y )在点 ( x0 , y0 ) 可微是两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )
都存在的 [ A. C.
(1)
n 1
n 1
n ; n 1 3
解 (1) 记 un sin
而级数
n 1
3
n
,
vn
3
n
.
因为 limsin
n
3
n
3
n
1
3
n
收敛，故原级数收敛.
n 1
un1 n1 3 1 lim n . ( 2) lim n u n 3 n 3 n
2 z u z v 2x 3x z 2 ln(3 x 2 y ) 2 x u x v x y y (3 x 2 y )
2. 计算
D
yd , 其中D 是抛物线
及直线
y 2 y2 x
所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 则
济南大学2009～2010学年第一学期课程考试试卷(A卷)答案
概念 极限 性质 计算方法
概念 连续 基本结论 性质 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
左右极限
第二章主要内容回顾
导数的概念、几何意义 定义求导 导数 求导方法 基本公式、四则运算、复合求导 反函数求导 特殊函数求导 隐函数求导 高阶导数
0
证明至少存在一点 (0,1) ，使得 f ( )(1 ) f ( x)dx
证:
令F ( x) (1 x) f (t )dt
0
x
F ( x) f (t )dt (1 x) f ( x)
0
x
显然，F ( x)在[0,1]上连续，在 0,1)内可导，且 (0) F (1), ( F
原积分
xdf ( x )
2
2
xf ( x)
f ( x)dx
2
4
1
五、解答题（8分）
y f ( x)
的极值。
dy t 2 1 2 0 dx t 1
由参数方程
x t 3 3t 1 3 y t 3t 1
确定，求
f ( x)
3 1 x 3 2 x x
x0 x0
5．设
x ln(1 t an t )dt 0 f ( x) x2 a
2
在原点处连续，则
a
0
lim
x 0
x2 0
ln( tan t )dt 1 x
2
2 x ln( tan | x |) 1 lim x 0 2x
济南大学高等数学下历年考题答案
L
是抛物线 2 x y
解
2
上从点 (0, 0) 到点 ( 2 ,1) 的一段弧.
2
Q x
P 2 y cos x 6 xy y
L1
积分与路径无关
L2 : x
选取积分路径 O(0,0) A( ,0) B( ,1) 2 2
L2
L1 : y 0, x [0, ] 2
得f x ( x, x) f x ( x, x) x 2
y( x) -2e 2 x f ( x, x) x 2e 2 x
一阶线性微分方程
P( x) 2
Q( x ) x 2e 2 x
P ( x ) dx
ye
P ( x ) dx
[C Q( x )e
x y (0 z 1) 取下侧.
2 2
解：
2 2 x dydz y dzdx ( z x )dxdy
1 2
1
影 为0 对于 1 : z 1. 向yoz和xoz投
x 2 dydz y 2 dzdx ( z x )dxdy
1
( z x )dxdy
2 2
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式 解：
1
补充 1 : z 1 ( x 2 y 2 1) (上侧)
1围成空间区域 . 在上使用高斯公式,
1 2 2 x dydz y dzdx ( z x )dxdy ( 2 x 2 y 1)dv
2
4
y c1e x c2e 2 x
r2 r 2 0
2
2
2014级高等数学第二学期期末试卷(B类)
3.
交换二次积分
1 0
dx
2 x2
x
x2
f
(x, y)dy 的积分次序，结果为
（
）
（
）
(A)
1dy y 0 1 1 y2
f (x, y)dx ；
(B)
1dy y
0
1 1 y2
f (x, y)dx ；
(C)
1 0
dy
1 y
1 y2
f (x, y)dx ；
(D)
1dy 0
2 y y2 y2
f (x, y)dx 。
n1
(2)
若级数 xn
n1
收敛，且级数
an
n1 xn
收敛，请猜测级数 an 是否收敛，
n1
并证明（或说明）你的猜测结论。
第2页
2014 级第二学期《高等数学》期中考试试卷 (B 类) （多元微分学部分试题）
1.
设
f
(x,
y)
2x2 y4 x2 y2
，则 lim x0
f (x, y)
y0
（A） 等于 0 ； （B）等于1； （C）等于 2 ；
2014 级高等数学第二学期期末试卷(B 类)
注 1：下面划去部分试题内容，不是 15 级(本次)期末考试范围。 注 2：后面增加的试题是本次期中考试范围内容。 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1. 设向量 a, b 满足| a b || a b |，则必有
（
）
(A) a 0 ； (B) b 0 ； (C) a b 0 ； (D) a b 0 .
n1
n1
n1
（A） 0 ；
（B）1；
2014级高数一期末A解答(多学时)1.6
（1）试求 D1 绕 y 轴旋转一周而成的旋转体体积V1 ；D2 绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体
积V2 ；
（2）问 t 为何值时，V1 V2 取得最大值？
解：（1）V1
t 2 xydx t4
0
（或V1 t2 2t2
2t2 y dy t 4 ） 02
2014 级本科高等数学（一）期末试题解答与评分标准 A
（理工类多学时）
一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
A
B
D
C
1．已知函数
y
x2
x2 1 3x
2
，则
x
1 是该函数的（
C
）.
A. 无穷间断点；
B. 跳跃间断点；
C. 可去间断点；
D. 振荡间断点.
2．当 x 0 时，函数 ln(1 x3 ) 是 tan2 x 的（ B ）.
A. 同阶无穷小，但不是等价无穷小； C. 低阶无穷小；
B. 高阶无穷小； D. 等价无穷小.
3．已知 F(x) 是 sin x2 的一个原函数，则 dF (x2 ) （ A ）.
A． 2x sin x4dx ； B． sin x4dx ； C． 2x sin x2dx ； D． sin x2dx2 .
（3 分）
V2
2 y2dx 128 4 t5
t
55
（3 分）
（2）
d dt
(V1
V2 )
4 t 3
4 t 4
高等数学B二试题答案济南大学PPT课件
有f关(，x, y ) 在点( x, yA)Δx B Δ y 称为函数 f (x, y)
在可点微，(x, y) 的全微分,
记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微,则称此函数在D 内可微.
当函数可微时 :
lim z lim ( Ax By ) o ( ) 0
a2 x2 y2d .
则 a _B__.
x2 y2 a2
A. 1 B. 3 3 C. 3 3
2
4
D. 3 1 2
解：被积函数 z a2 x2 y2表示上半球面，半径为R 1.
由二重积分的几何意义得
原式 2 a3 . a 3 3 .
3
2
3.在点P处函数 f (x, y),的全微分 df 存在的充分条件是
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x,
y) 可z微 f (x x, y y) f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
d(1z) 函d f数可Ax By 偏导数存在 (微2z) 偏A导x 数 B连y o( ) 函数可微
y (1,1)
(1,1)
因此有4 a 1 0 ，即 a 5.
补充. 设函数f (x, y) 2x2 ax xy2 2y 在 (1, 1)
处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型．
解： 求二阶偏导数
B
C
fxx (x, y) 4, fxy (x, y) 2 y , fyy (x, y) 2x
2014级高数B(I)A套参考答案重庆工商大学期末真题试卷【高等数学1】
2014级高数B （I ）A 套 参考答案－、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）1.-6；2. 2e -；3.-6;4. 2(arctan )1f x dx x '+;5. ()f x ;6. sin cos 2x x C x-+ 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共计12分）1.D ；2. C ；3.B ；4.C.三、计算题（本大题共8小题，每小题7分，共计56分）1.23200tan 1sec lim =lim 3x x x x x x x →→-- （4分） 222200tan 1lim lim 333x x x x x x →→--===-（7分） 2.00111lim()lim 1(1)x x x x x e x x e x e →→---=-- 201lim x x e x x→--=（4分） 0011lim lim 222x x x e x x x →→-===（7分） 3.221(1)(1)1(1)1()1x x dy y dx dx x x x --+'==⋅+-+- 211dx x =-+ （5分）0x dy dx ==- （7分）4.2x x y e '=（5分）x =7分） 5.221ln()2x y =+ 等式两端对x 求导，得2222112221+()xy y x yy y x x y x''-+⋅=+,（5分） 解得=x y y x y +'-.（7分） 6.22cos 1(sin )1sin 1sin x dx d x x x=++⎰⎰ （3分）arctansin x C =+ （7分） 7.4sin 4cos x t dx tdt ==令， ⎰-dx x x 2216=⋅=⎰⎰441622cos cos sin cot t t tdt tdt （3分） =-=--+⎰(csc )cot 21t dt t t c （6分）=---+1642x x x c arcsin .（7分）8.2414x x de =⎰原式24411244x x x e e xdx =-⋅⎰ （3分）2441148x x x e xde =-⎰ []=--⎰14182444x e xe e dx x x x （6分）=-++14181322444x e xe e c x x x .（7分）四、应用题（8分）如图所示：则过该点的切线为：，设切点为),(P 2x x 22()Y x x X x -=-2(0)8(8,16)2x x A x B x x =-切线与轴的交点，，切线与的交点， 于是所围的三角形的面积为：221(8)2(8)(16)(08)224x x S x x x x x ⎡⎤=--+=-<<⎣⎦ （3分） )316)(16(416416432x x x x S --=+-=' 1603S x '==令，得唯一驻点 01623316<''-=''=x S x S ， （7分）大处作切线，所围面积最，在点⎪⎭⎫ ⎝⎛∴9256316（8分） 五、证明题（6分）令f x e x x ()=+--12，（1分）()[0,2]f x 在上连续，0)2(,02)0(1->=<-=e f e f 又，故由零点定理知，()00,2)f x =方程在(内至少有一根.（3分）（或021)1(0=-+=e f 因，1120x x e x -=+-=故是方程的一个实根.） 1()10()x f x e x R -'=+>∀∈又因，(),f x ∞+∞故在（-）内单调递增， 于是.0)(至多有一个实根方程=x f （5分）.021有唯一实根从而方程=-+-x e x （6分）。
高数试卷A2013～2014(答案)
济南大学2013~2014学年第一学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）课程名称：高等数学A （一）一、填空题(1) e 1．(2) dx x x x )(sec )21(22++. (3) )6,1(-. (4) 2π．(5) 1．二、选择题(1) A ．(2) A . (3) B . (4) C ．(5) D ． 三、计算下列极限、导数 (1) 解：)13)(2()13)(13(lim 213lim2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 62)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x(2) 解：)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222x x xx x x x --=-→→ππππ 812sin lim 41sin 12cos lim 4122-=---=⋅--=→→x x x x x x πππ(3) 解：两边对x 求导得：01)1(ln ='+-'+y y y ，所以：yy ln 21+='3222)ln 2(1)ln 2(y y y y y dx y d +-=+'-= 四、计算下列积分（每小题8分，共32分）(1) 解：C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰)2cos(21)2()2sin(21)2sin(2222(2) 解：令t x sin =，2||π≤t ，则：⎰⎰=-tdt dx x 22cos 1C t t t C t t dt t ++=++=+=⎰cos sin 2122sin 412)2cos 1(21 C x x x +-+=2121arcsin 21 (3) 解：⎰⎰+-=10210101]arctan [arctan dx x xx x xdx 2ln 214)]1ln(21[4102-=+-=ππx (4) 解：令x t =，则2t x =，tdt dx 2=，⎰⎰=112dt te dx e t x22][221101=-==⎰⎰dt e te tde t t t五、综合题（每小题10分，共20分）(1) 解：23124tte dx dy t+=，令0=dx dy ，得0=t ，代入得：1=x 。
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济南大学2014～2015学年第二学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 高等数学（二）BW 考试时间 2015 年 7 月 7 日
………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………
一、选择题（每小题2分，共10分）
(1) 两平面1=++z y x 和2=+-z y x 2的位置关系是
(A) 相交但不垂直. (B) 垂直. (C) 平行但不重合. (D) 重合.
(2) 极限=+→22),0(),(lim
y x xy y x 0 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 不存在.
(3) 二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的全微分存在是它在该点连续的
(A) 充分条件. (B) 必要条件.
(C) 充分必要条件. (D) 既非充分也非必要条件.
(4) 点)0,0(是二元函数22),(y x y x f -=的
(A) 极大值点. (B) 极小值点. (C) 驻点但不是极值点. (D) 不是驻点.
(5) 下列级数中，收敛的是
(A) ∑∞=+11n n n . (B) ∑∞=11n n . (C) ∑∞=121n n . (D) ∑∞
=11sin n n . 二、填空题（每小题2分，共10分）
(1) 过点)5,2,3(-且与直线1
3241z y x =+=-平行的直线方程为 . (2) 极限=→x
xy y x )tan(lim ),0(),(1 . (3) 设二元函数)ln(2y x x z +=，则=z d .
(4) 幂级数∑∞
=1n n nx 的收敛半径为 .
(5) 级数∑∞
=13n n n
2的和为 . 三、计算题（每小题8分，共40分）
(1) 求过点)1,,(-01且平行于向量)1,1,(2=a 和)0,1,1(-=b 的平面方程.
(2) 设32sin y x x z y x -=+e ，求x z ∂∂，y
z ∂∂. (3) 设),(y x z z =是由方程03=---z y x z 所确定的隐函数，求
x z ∂∂和y z ∂∂.
(4) 判定级数∑∞
=12
3n n n 的收敛性. (5) 求幂级数∑∞=-1)5(n n x n
1的收敛域. 四、计算下列积分（每小题10分，共20分） (1) ⎰⎰D
y x y x d d ，其中D 是由两条抛物线x y =，2x y =所围成的闭区域.
(2) ⎰⎰+D y x y x d d )(22，其中D 是由圆周4
122=
+y x 所围成的闭区域. 五、综合题（每小题10分，共20分）
(1) 求函数x y xy x y x y x f 22),(222++++=2
3的极值. (2) 改变二次积分⎰⎰-1210x y xy y x d d 的积分次序，并计算此积分值.。