2017年上海市七宝中学高考数学模拟试卷(5月份)+Word版含解析
2017年上海市七宝中学高考数学模拟试卷（5月份）一.填空题1．已知定义在[﹣1，1]上的函数f（x）值域为[﹣2，0]，则y=f（cosx）的值域为．2．5051﹣1被7除后的余数为．3．已知直线l的参数方程是（t为参数），则它的普通方程是．4．一名工人维护3台独立的游戏机，一天内3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.85，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为（结果用小数表示）5．地球的半径为R，在北纬45°东经30°有一座城市A，在北纬45°西经60°有一座城市B，则坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离是．（飞机的飞行高度忽略不计）6．如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为．7．已知定义在R上的增函数y=f（x）满足f（x）+f（4﹣x）=0，若实数a、b满足不等式f（a）+f（b）≥0，则a2+b2的最小值是．8．已知点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点（包括边界），则的取值范围是．9．椭圆（a＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，则△FAB的周长的最大值是．10．已知函数，（a＞0），若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．11．在直角坐标平面上，已知点A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0）．点M 是线段AD上的动点，如果|AM|≤2|BM|恒成立，则正实数t的最小值是．12．设ω为正实数，若存在a，b（π≤a＜b≤2π），使得cosωa+cosωb=2，则ω的取值范围是．二.选择题13．若z∈C，i为虚数单位，且，则复数z等于（）A．B．C．D．14．设M={a|a=x2﹣y2，x，y∈Z}，则对任意的整数n，形如4n，4n+1，4n+2，4n+3的数中，不是集合M中的元素是（）A．4n B．4n+1 C．4n+2 D．4n+315．直线l在平面α内，直线m平行于平面α，且与直线l异面，动点P在平面α上，且到直线l、m距离相等，则点P的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线16．设集合A=[0，），B=[，1]，函数f （x）=，若x0∈A，且f[f （x0）]∈A，则x0的取值范围是（）A．（0，]B．[，] C．（，）D．[0，]三.简答题17．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，O是BD的中点，E是棱CC1上任意一点．（1）证明：BD⊥A1E；（2）如果AB=2，，OE⊥A1E，求AA1的长．18．如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（直角△EFG，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好，设计要求管道的接口E是AB的中点，F、G分别落在AD、BC上，且AB=20m，，设∠GEB=θ．（1）试将污水管道的长度l表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当θ为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．19．若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，在其定义域均存在唯一的x2，满足f（x1）f（x2）=1，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断，y=2x是否为“依赖函数”；（2）若函数y=a+sinx（a＞1），为依赖函数，求a的值，并给出证明．20．已知椭圆（a＞b＞0）长轴的两顶点为A、B，左右焦点分别为F1、F2，焦距为2c且a=2c，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在双曲线上取点Q（异于顶点），直线OQ与椭圆C交于点P，若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4，试证明：k1+k2+k3+k4为定值；（3）在椭圆C外的抛物线K：y2=4x上取一点E，若EF1、EF2的斜率分别为、，求的取值范围．21．设T n为数列{a n}的前n项的积，即T n=a1•a2…•a n．（1）若T n=n2，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}满足T n=（1﹣a n）（n∈N*），证明数列{}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（3）数列{a n}共有100项，且满足以下条件：①a1•a2…•a100=2；②a1•a2…•a k+a k+1•a k+2…a100=k+2（1≤k≤99，k∈N*）．（Ⅰ）求a5的值；（Ⅱ）试问符合条件的数列共有多少个？为什么？2017年上海市七宝中学高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一.填空题1．已知定义在[﹣1，1]上的函数f（x）值域为[﹣2，0]，则y=f（cosx）的值域为[﹣2，0] ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】判断出cosx∈[﹣1，1]，从而求出f（cosx）的值域即可．【解答】解：∵f（x）的定义域是[﹣1，1]，值域是[﹣2，0]，而cosx∈[﹣1，1]，故f（cosx）的值域是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．2．5051﹣1被7除后的余数为0．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】根据5051﹣1=（49+1）51﹣1，按照二项式定理展开，可得它除以7的余数．【解答】解：5051﹣1=（49+1）51﹣1=•4951+•4950+•4949+…+•49+﹣1，显然，除了最后两项外，其余的各项都能被7整除，故它除以7的余数为﹣1=0，故答案为：0．3．已知直线l的参数方程是（t为参数），则它的普通方程是3x﹣4y+5=0．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】利用参数方程与普通方程的互化，消去参数求解即可．【解答】解：直线l的参数方程是（t为参数），可得，可得3x﹣4y+5=0．故答案为：3x﹣4y+5=0．4．一名工人维护3台独立的游戏机，一天内3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.85，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为0.388（结果用小数表示）【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】一天内至少有一台游戏机不需要维护的对立事件是三台都需要维护，由此利用对立事件概率计算公式能求出一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率．【解答】解：一天内至少有一台游戏机不需要维护的对立事件是三台都需要维护，∴一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率：p=1﹣0.9×0.8×0.85=0.388．故答案为：0.388．5．地球的半径为R，在北纬45°东经30°有一座城市A，在北纬45°西经60°有一座城市B，则坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离是．（飞机的飞行高度忽略不计）【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】欲求坐飞机从A城市飞到B城市的最短距离，即求出地球上这两点间的球面距离即可．A、B两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB弦长，以及球心角，然后求出球面距离．即可得到答案．【解答】解：由已知地球半径为R，则北纬45°的纬线圈半径为R，又∵两座城市的经度分别为东经30°和西经60°，故连接两座城市的弦长L=R=R，则A，B两地与地球球心O连线的夹角∠AOB=，则A、B两地之间的距离是．故答案为：．6．如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为1．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A8：复数求模．【分析】直接利用复数的几何意义，直接求解即可．【解答】解：复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），复数z的几何意义是到虚轴上的点到（0，1），（0，﹣1）的距离之和，|z|的最大值为：1，故答案为：1．7．已知定义在R上的增函数y=f（x）满足f（x）+f（4﹣x）=0，若实数a、b满足不等式f（a）+f（b）≥0，则a2+b2的最小值是8．【考点】3F：函数单调性的性质．【分析】根据函数的单调性将不等式组进行转化，结合线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=﹣f（4﹣x），∴﹣f（x）=f（4﹣x），∴f（a）+f（b）≥0可化为f（a）≥﹣f（b）=f（4﹣b），又∵f（x）在R上单调递增，∴a≥4﹣b，即a+b﹣4≥0，a2+b2表示点（0，0）到点（a，b）的距离平方，∴a2+b2的最小值是点（0，0）到直线a+b﹣4＞0的距离平方．故答案为：88．已知点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点（包括边界），则的取值范围是．【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．设P（x，y，0），（x，y∈[0，1]）．可得=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+1=++=f（x，y）．即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．A1（0，0，0），A（0，0，1），C（1，1，1），设P（x，y，0），（x，y∈[0，1]）．=（﹣x，﹣y，1），=（1﹣x，1﹣y，1），∴=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+1=++=f（x，y）．当x=，y=时，f（x，y）取得最小值．当点P取（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（1，1，0），f（x，y）取得最大值1．∴f（x，y）∈．故答案为：．9．椭圆（a＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，则△FAB的周长的最大值是8a．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的右焦点为M，则△FAB的周长AF+FB+AB≤FA+AM+FB+BM=8a 即可．【解答】解：如图，设椭圆的右焦点为M，由椭圆的方程得椭圆的长轴为2×2a=4a，△FAB的周长AF+FB+AB≤FA+AM+FB+BM=2×2a+2×2a=8a，故答案为：8a10．已知函数，（a＞0），若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．【考点】2H：全称命题．【分析】求出x2∈[0，2]时f（x2）的值域，x1∈[0，2]时g（x1）的值域；根据题意得出关于a的不等式组，求出a的取值范围．【解答】解：函数=﹣4+，（a＞0），x2∈[0，2]，x2+1∈[1，3]，∴∈[3，9]，∴﹣4+∈[﹣1，5]，即f（x2）∈[﹣1，5]；又x1∈[0，2]，x1∈[0，]，sin（x1）∈[0，1]，∴g（x）=asin（x1）+2a∈[a，3a]；对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使g（x1）=f（x2）成立，等价于，解得﹣1≤a≤；又a＞0，∴实数a的取值范围是0＜a≤．故答案为：（0，]．11．在直角坐标平面上，已知点A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0）．点M 是线段AD上的动点，如果|AM|≤2|BM|恒成立，则正实数t的最小值是．【考点】IR：两点间的距离公式；7F：基本不等式．【分析】设M（x，y），由题意可得y=，代入距离公式可得x2+（y﹣2）2≤4[x2+（y﹣1）2]，消掉y可得（3t2+12）x2﹣16tx+4t2≥0恒成立，进而可得其△≤0，解此不等式可得t的范围，进而可得最小值．【解答】解：设M（x，y），则由A、M、D三点共线可得，整理可得y=，由两点间的距离公式，结合|AM|≤2|BM|恒成立可得x2+（y﹣2）2≤4[x2+（y ﹣1）2]，整理可得3x2+3y2﹣4y≥0，代入y=化简可得（3t2+12）x2﹣16tx+4t2≥0恒成立，∵3t2+12＞0，由二次函数的性质可得△=（﹣16t）2﹣4（3t2+12）•4t2≤0，整理可得3t4﹣4t2≥0，即，解得t≥，或t≤（因为t＞0，故舍去）故正实数t的最小值是：故答案为：12．设ω为正实数，若存在a，b（π≤a＜b≤2π），使得cosωa+cosωb=2，则ω的取值范围是{2}∪[3，+∞）．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】运用三角函数的有界性，结合三角函数的周期性，分析得到答案．【解答】解：要cosωa+cosωb=2，则有cosωa=cosωb=1；余弦函数y=cosx图象如下：可知，当x=2kπ时，cosx=1，∵cosωa+cosωb=2，π≤a＜b≤2π），∴必有ωa=2kπ，ωb=2kπ+nπ，（k，n∈N+∴），得到k+1≤ω≤2k（k∈N+①k=1时，ω=2，②k=2时，3≤ω≤4，③k=3时，4≤ω≤6，④k=4时，5≤ω≤8，…可得ω的取值范围为{2}∪[3，+∞）．二.选择题13．若z∈C，i为虚数单位，且，则复数z等于（）A．B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），且，可得+i=﹣i，因此=，=﹣，解出即可得出．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），且，则+i=﹣i，∴=，=﹣，联立解得a=，b=﹣．∴z=﹣i ， 故选：B ．14．设M={a |a=x 2﹣y 2，x ，y ∈Z }，则对任意的整数n ，形如4n ，4n +1，4n +2，4n +3的数中，不是集合M 中的元素是（ ） A ．4n B ．4n +1C ．4n +2D ．4n +3【考点】12：元素与集合关系的判断． 【分析】根据平方差公式凑数判断．【解答】解：∵4n=（n +1）2﹣（n ﹣1）2，∴4n ∈M ， ∵4n +1=（2n +1）2﹣（2n ）2，∴4n +1∈M ， ∵4n +3=（2n +2）2﹣（2n +1）2，∴4n +3∈M ， 若4n +2∈M ，则存在x ，y ∈Z 使得x 2﹣y 2=4n +2， ∴4n +2=（x +y ）（x ﹣y ）， ∵x +y 和x ﹣y 的奇偶性相同，若x +y 和x ﹣y 都是奇数，则（x +y ）（x ﹣y ）为奇数，而4n +2是偶数；若x +y 和x ﹣y 都是偶数，则（x +y ）（x ﹣y ）能被4整除，而4n +2不能被4整除，∴4n +2∉M ． 故选C ．15．直线l 在平面α内，直线m 平行于平面α，且与直线l 异面，动点P 在平面α上，且到直线l 、m 距离相等，则点P 的轨迹为（ ） A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【考点】LP ：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】作出直线m 在平面α内的射影直线n ，假设l 与n 垂直，建立坐标系，求出P 点轨迹即可得出答案．【解答】解：设直线m 在平面α的射影为直线n ，则l 与n 相交， 不妨设l 与n 垂直，设直线m 与平面α的距离为d ， 在平面α内，以l ，n 为x 轴，y 轴建立平面坐标系，则P到直线l的距离为|y|，P到直线n的距离为|x|，∴P到直线m的距离为，∴|y|=，即y2﹣x2=d2，∴P点轨迹为双曲线．故选：D．16．设集合A=[0，），B=[，1]，函数f （x）=，若x0∈A，且f[f （x0）]∈A，则x0的取值范围是（）A．（0，]B．[，] C．（，）D．[0，]【考点】3T：函数的值；12：元素与集合关系的判断．【分析】利用当x0∈A时，f[f （x0）]∈A，列出不等式，解出x0的取值范围．【解答】解：∵0≤x0＜，∴f（x0）=x0 +∈[，1]⊆B，∴f[f（x0）]=2（1﹣f（x0））=2[1﹣（x0+）]=2（﹣x0）．∵f[f（x0）]∈A，∴0≤2（﹣x0）＜，∴＜x0≤．又∵0≤x0＜，∴＜x0＜．故选C．三.简答题17．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，O是BD的中点，E是棱CC1上任意一点．（1）证明：BD⊥A1E；（2）如果AB=2，，OE⊥A1E，求AA1的长．【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】（1）连结AC，A1C1，证明BD⊥平面ACC1A1得出BD⊥A1E；（2）设AA1=a，求出△A1OE的边长，利用勾股定理列方程解出a．【解答】解：（1）证明：连结AC，A1C1，∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又AC∩AA1=A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1E．（2）∵AB=2，∴AO=CO=，A1C1=2，设AA1=a，则C1E=a﹣，∴OE2=2，A1O2=a2+2，A1E2=（a﹣）2+8=a2﹣2a+10，∵OE⊥A1E，∴A1O2=OE2+A1E2，即a2+2=2+a2﹣2a+10，解得a=．∴AA1=．18．如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（直角△EFG，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好，设计要求管道的接口E是AB的中点，F、G分别落在AD、BC上，且AB=20m，，设∠GEB=θ．（1）试将污水管道的长度l表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当θ为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用三角函数定义表示出EG和FE的长度，利用勾股定理可得长度FG．三边之和可得污水管道的长度l．（2）根据（1）中的关系式利用三角函数公式化简，利用三角函数的有界限可得l的最大值，即污水净化效果最好．【解答】解：（1）由题意，∠GEB=θ．∠GEF=90°．则∠AEF=90°﹣θ，E是AB的中点，AB=20m，，∴EG=，EF==．FG==则定义域：；（2）由（1）可知则，；化简可得l=，令t=sinθ+cosθ=sin（）．∵；∴∈[，]，可得sin（）∈[，1]则：t∈[，]可得：sinθcosθ=，且t≠1．那么：l===．当t=时，长度l取得最大值为；此时：t=sin（）=，即=或∴或，故得或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为；19．若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，在其定义域均存在唯一的x2，满足f（x1）f（x2）=1，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断，y=2x是否为“依赖函数”；（2）若函数y=a+sinx（a＞1），为依赖函数，求a的值，并给出证明．【考点】57：函数与方程的综合运用；3T：函数的值．【分析】（1）根据“依赖函数”的定义进行判断即可，（2）函数y=a+sinx（a＞1）为增函数，且函数关于（0，a）对称，若函数y=a+sinx（a＞1），为依赖函数，则只需要函数的最大值和最小值满足f （x1）f（x2）=1即可，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）函数，由f（x1）f（x2）=1，得=1，即x12x22=1，对应的x1、x2不唯一，所以，x﹣2不是“依赖函数”；对于函数y=2x，由f（x1）f（x2）=1，得2=1，得x1+x2=0，所以x2=﹣x1，可得定义域内的每一个值x1，都存在唯一的值x2满足条件，故函数y=2x是“依赖函数”．（2）当时，函数y=a+sinx（a＞1）为增函数，且函数关于（0，a）对称，若函数y=a+sinx（a＞1），为依赖函数，则只需要函数的最大值和最小值满足f（x1）f（x2）=1即可，则函数的最大值为a+1，最小值为a﹣1，则由（a+1）（a﹣1）=1得a2﹣1=1，得a2=2，得a=．20．已知椭圆（a＞b＞0）长轴的两顶点为A、B，左右焦点分别为F1、F2，焦距为2c且a=2c，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在双曲线上取点Q（异于顶点），直线OQ与椭圆C交于点P，若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4，试证明：k1+k2+k3+k4为定值；（3）在椭圆C外的抛物线K：y2=4x上取一点E，若EF1、EF2的斜率分别为、，求的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的通径公式及a=2c，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程方程；（2）根据直线的斜率公式，求得k1+k2=﹣，k3+k4=，由与共线，则=，即可求得k1+k2+k3+k4=0；（3）EF1的斜率=，（y2＞且y≠﹣2），EF2的斜率=，（y2＞且y≠2），则=，（y2＞且y≠±2），根据函数单调性即可求得的取值范围．【解答】解：（1）由题意a=2c，椭圆的通径丨AB丨==3，a2=b2+c2，则a=2，b=，c=1，∴椭圆的标准方程：；（2）由（1）可知：A（﹣2，0），B（2，0），F1（﹣1，0），F2（1，0），设P（x1，y1），则，则x12﹣4=﹣，k1+k2=+===﹣，设Q（x2，y2），则，则x12﹣4=，则k3+k4=+===，又与共线，∴x1=λx2，y1=λy2，∴=，k1+k2+k3+k4=（﹣+）=0；（3）设E（，y），由，解得：，由E在椭圆C外的抛物线K：y2=4x上一点，则y2＞，则EF1的斜率=，（y2＞且y≠﹣2），EF2的斜率=，（y2＞且y≠2）则=×==，（y2＞且y≠±2）则=，（y2＞且y≠±2）令t=y2，（t＞且t≠4，）设f（t）==﹣，（t＞且t≠4，），求导f′（t）=+＞0∴f（t）在（，4），（4，+∞）上单调递增，∴f（t）的取值范围（﹣，0）∪（0，+∞）∴的取值范围．21．设T n为数列{a n}的前n项的积，即T n=a1•a2…•a n．（1）若T n=n2，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}满足T n=（1﹣a n）（n∈N*），证明数列{}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（3）数列{a n}共有100项，且满足以下条件：①a1•a2…•a100=2；②a1•a2…•a k+a k+1•a k+2…a100=k+2（1≤k≤99，k∈N*）．（Ⅰ）求a5的值；（Ⅱ）试问符合条件的数列共有多少个？为什么？【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）利用作商法求a n；（2）利用等差数列的定义证明数列{}为等差数列，并求得{a n}的通项公式；（3）（Ⅰ）由题意联立方程组求得T4，T5，则a5=即得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得T k是方程x2﹣（k+2）x+2=0的一个实根（△＞0），当数列前k（2≤k≤98）项确定后，其前k项积T k确定，由T k+1可得到两个a k+1，即得符合条件的数列共有299个．【解答】解：（1）当n=1时，a1=T1=1；当n≥2时，a n==，∴a n=…（2）当n=1时，a1=T1=（1﹣a1），所以a1=，当n≥2时，2T n=1﹣a n=1﹣，所以﹣=2，数列{}为等差数列…=3+2（n﹣1）=2n+1，T n=，a n=1﹣2T n=…（3）（Ⅰ）由a1•a2…•a100=2，a1•a2…•a4+a5•a6…a100=6；可得T4=3±，由a1•a2…•a100=2，a1•a2…a5+a6•a7…a100=7，可得T5=，所以a5==或a5=．…（Ⅱ）a1+a2…•a100=3，所以a1=1或2T k是方程x2﹣（k+2）x+2=0的一个实根（△＞0），当数列前k（2≤k≤98）项确定后，其前k项积T k确定，由T k+1可得到两个a k+1所以符合条件的数列共有299个．…2017年6月18日。
2017七宝中学高三数学高考模拟试题A
高考预测数学试卷A一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．已知集合{},1,21|,1,log |2⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫⎝⎛==>==x y y B x x y y A x，则B A ⋂等于2．若) )( 2(i b i ++是实数（i 是虚数单位，b 是实数），则=b3．等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =，使得0n a >的最小正整数n 为4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a sin A +c sin C sin C =b sin B ． 则B ∠=5（文） 一次课程改革交流会上准备交流试点校的5篇论文和非试点校的3篇论文，排列次序可以是任意的，则最先和最后交流的论文不能来自同类校的概率是 6．设2n ≥，若n a 是(1)n x +展开式中含2x 的系数，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭ =7．（文）若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 则z =2x ＋4y 的最小值是7．（理）在极坐标系中，若直线l 的方程是1)6sin(=+πθρP (2,)π，则点P 到直线l 的距离=d .8．（文）如图，直三棱柱111B A O OAB -中，90AOB ∠=，12AA =，OA =2OB =,则此三棱柱的主视图的面积为 .8．（理）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为23π扇形，则此圆锥的高为 cm ．9．不等式1011ax x <-的解集为{}|12x x x <>或，那么a 的值等于10. 已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=π，且当( )22x ππ∈-，时，x x x f +=sin )(，则7()6f π= .11.在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：10kx y -+=与圆C ：224x y +=相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k =12．（文）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动。
上海市上海中学2017届高考数学模拟试题(9)(含解析)
年上海中学高考数学模拟试卷（）一．选择题．（分）已知函数（）（≤≤）的图象的一段圆弧（如下图）若＜＜＜，则（）．．．．当时，当≥时．（分）已知函数（）ω 在区间[] 上的最小值为﹣，则ω 的取值范围是（）．．．（﹣∞，﹣] ∪ [ ，∞）．．（分）假如数列 {} 知足：首项且那么以下说法中正确的选项是（）．该数列的奇数项，，，．成等比数列，偶数项，，，．成等差数列．该数列的奇数项，，，．成等差数列，偶数项项，，，．成等比数列．该数列的奇数项，，，．分别加后构成一个公比为的等比数列．该数列的偶数项项，，，．分别加后构成一个公比为的等比数列．（分）点为△内一点，且存在正数，设△，△的面积分别为、，则：（）．λ ：λ．λ ：λ．λ ：λ．λ ：λ二．填空题．（分）已知方程（）的两根为，，且＜＜＜，则的取值范围是．．（分）已知函数的值为．．（分）已知有最大值，那么当获得最小正当时，．．（分）一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上搁置个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个极点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，则个正方体裸露在外面部分的面积和为．．（分）已知函数（）（ω ?），（＞，ω ＞，≤ ?≤ π ）的部分图象如下图，记则的值为．．（分）在一次珠宝博览会上，某商家展出一套珠宝金饰，第一件金饰是颗珠宝，第二件金饰是由颗珠宝构成如下图的正六边形，第三件金饰是由颗珠宝构成如下图的正六边形，第四件金饰是由颗珠宝构成如下图的正六边形，第五件金饰是由颗珠宝构成如下图的正六边形，此后每件金饰都在前一件上，依据这类规律增添必定数目的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推测第件金饰上应有颗珠宝；则前件金饰所用珠宝总数为颗．（结果用表示）．（分）已知复数，又，而的实部和虚部相等，求．．（分）定义，设实数，知足拘束条件，{ ，﹣ } ，则的取值范围是．．（分）已知函数（）﹣，给出以下命题：①当时，（）的图象对于点（，）成中心对称；②当＞时，（）是递加函数；③（）至多有两个实数根；④当≤≤时，（）的最大值为．此中正确的序号是．．（分）、是双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，，且△的面积为，则的值是．．（分）平面上有相异的个点，每两点连成一条直线，共得条直线，则任取此中的三个点，构成三角形的概率是．．（分）已知，（，），（，）∈* （，∈ * ）且对随意，∈ * 都有①（，）（，）；②（，）（，）．则（，）的值．三．解答题．已知函数．（）若函数（）（）的图象对于点对称，且∈（，π ），求的值．（）设的充足条件，务实数的取值范围．．如图，⊥平面，四边形是矩形，，与平面所成的角是°，点是的中点，点在边上挪动．（）当点为的中点时，试判断与平面的地点关系，并求出到平面的距离；（）命题：“不论点在边上哪处，都有⊥”，能否成立，并说明原因．．已知定点（，），（，﹣），（，），动点知足：?，（）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的曲线种类；（）当，求的最大，最小值．．阳光商场节日时期为促销，采纳“满一百送三十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钱满元（这元能够是现金，也能够是奖赏券，或两者共计），就送元奖赏券（奖赏券不可以兑换现金）；满元就送元奖赏券（注意：一定满元才送奖赏券元，花销超出元不足元也只好得元奖赏券，以此类推）．（）按这类酬宾方式，一位顾客只用元现金在阳光商场最多能购回多少元钱的货物？（）在一般状况下，顾客有元现金，而同时新世纪百货在进行折优惠活动，即每件商品按原价的销售，试问该顾客在哪个商场购物才能获取更多优惠．．已知一次函数（）的图象对于直线﹣对称的图象为，且（（））﹣，若点在曲线上，并有．（）求（）的分析式及曲线的方程；（）求数列 {} 的通项公式；（）设，求的值．年上海中学高考数学模拟试卷（）参照答案与试题分析一．选择题．已知函数（）（≤≤）的图象的一段圆弧（如下图）若＜＜＜，则（）．．．．当时，当≥时【考点】：函数的图象与图象变化．【剖析】由题设条件及图象知，此函数是图象是先增后减，观察四个选项，研究的是比较的是两个数大小，由它们的形式知几何意义是（，（））与原点（，）连线的斜率，由此规律即可选出正确选项．【解答】解：由函数的图象知，此函数的图象先增后减，其变化领先正后负，渐渐变小观察四个选项，要比较的是两个数大小，由其形式，其几何意义是（，（））与原点（，）连线的斜率由此函数图象的变化特点知，跟着自变量的增大，图象上的点与原点连线的斜率渐渐变小，当＜＜＜，必定有观察四个选项，应选应选【评论】本题观察函数的图象及图象变化，解题的重点是观察四个选项，找出问题研究的方向，再联合图象的变化得出答案，本题形式新奇，由图象给出题设，由形入数，观察了数形联合的思想及理解能力．．已知函数（）ω 在区间[] 上的最小值为﹣，则ω 的取值范围是（）．．．（﹣∞，﹣] ∪ [ ，∞）．【考点】：三角函数的最值；：（ω φ ）中参数的物理意义．【剖析】先依据的范围求出ω 的范围，依据函数（）在区间[] 上的最小值为﹣，可获取﹣ω ≤﹣，即ω ≥，而后对ω 分大于和小于两种状况议论最值可确立答案．【解答】解：当ω＞时，﹣ω ≤ ω≤ω ，由题意知﹣ω ≤﹣，即ω ≥，当ω ＜时，ω ≤ω ≤﹣ω ，由题意知ω ≤﹣，即ω≤﹣，综上知，ω的取值范围是（﹣∪ [）．应选：．【评论】本题主要观察正弦函数的单一性和最值问题．观察三角函数基础知识的掌握程度，三角函数是高考的一个重要考点必定要加强复习．．假如数列 {} 知足：首项且那么以下说法中正确的选项是（）．该数列的奇数项，，，．成等比数列，偶数项，，，．成等差数列．该数列的奇数项，，，．成等差数列，偶数项项，，，．成等比数列．该数列的奇数项，，，．分别加后构成一个公比为的等比数列．该数列的偶数项项，，，．分别加后构成一个公比为的等比数列【考点】：数列递推式．【剖析】先依据首项和递推式求出前项，而后拿出奇数项依据等差数列和等比数列的定义可判断选项、的真假，将数列的奇数项，，，，分别加后可判断的真假，数列的偶数项项，，，．分别加后可判断的真假．【解答】解：∵首项且∴，，，，，，该数列的奇数项，，，既不可等差数列，也不可等比数列，应选项、不正确；该数列的奇数项，，，，分别加后为，，，，，不可等比数列，故不正确；该数列的偶数项项，，，．分别加后为，，，，，构成一个公比为的等比数列，故正确．应选．【评论】本题主要观察了数列递推式，以及等差数列与等比数列的判断，属于中档题．．点为△内一点，且存在正数，设△，△的面积分别为、，则：（）．λ ：λ．λ ：λ．λ ：λ．λ ：λ【考点】：向量在几何中的应用．【剖析】本选择题利用特别化方法解决．取正数，联合向量的运算法例：平行四边形法例获取是三角形的重心，获取三角形面积的关系．【解答】解：取正数，∵知足即：，∴，设，如图，则是三角形的重心，故三角形和的面积相等，△与△的面积分别是三角形和的面积的一半和三分之一，则△与△的面积之比是．即λ ：λ应选．【评论】本小题主要观察向量在几何中的应用、向量的运算法例等基础知识，观察运算求解能力，观察数形联合思想、特别化思想．属于基础题．二．填空题．已知方程（）的两根为，，且＜＜＜，则的取值范围是（﹣，﹣）．【考点】：一元二次方程的根的散布与系数的关系；：二次函数的性质．【剖析】依据方程（）的两根知足＜＜＜，联合对应二次函数性质获取，获取关于的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：由程（），知对应的函数（）（）图象张口方向向上又∵方程（）的两根知足＜＜＜，则即即，∴﹣＜＜﹣故答案为（﹣，﹣）【评论】本题观察一元二次方程的根的散布与系数的关系，三个二次之间的关系，本题解题的重点是由方程（）的两根知足＜＜＜，联合二次函数图象获取．．已知函数的值为．【考点】：函数的值．【剖析】推导出（），从而获取﹣，由此能求出（）．【解答】解：∵函数，∴（），∴﹣﹣，即﹣，∴（）﹣．故答案为：．【评论】本题观察函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．．已知有最大值，那么当获得最小正当时，．【考点】：数列与函数的综合．【剖析】要求获得最小正当时的值，重点是要找出什么时候小于或等于，而大于，由，我们不难获取＜＜，依据等差数列的性质，我们易求出当获得最小正当时，的值．【解答】解：∵有最大值，∴＜则＞，又，∴＜＜∴＜，（）（）＜，＞又＞＞＞＞＞＞∴＞＞＞＞＞，＞＞＞＞＞＞又∵﹣（）＜∴为最小正当故答案为：【评论】本题观察数列的函数性质，一般的 {} 为等差数列，若它的前项和有最小值，则数列的公差小于； {} 为等差数列，若它的前项和有最大值，则数列的公差大于．．一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上搁置个小正方体形积木摆成塔形，此中上面正方体中下底的四个极点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，则个正方体裸露在外面部分的面积和为．【考点】：棱柱的构造特点．【剖析】由已知中一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上搁置个小正方体形积木摆成塔形，此中上面正方体中下底的四个极点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，我们易得相邻两个正方体中，上面一个正方体的侧面积为下面一个正方体的侧面积的一半，从而获取各个正方体的侧面积构成一个以首项，以为公比的等比数列，由此求出各侧面的和，加上顶面裸露在外面部分的面积和为，累加后即可获取答案．【解答】解：最下面正方体的侧面积为×从下面数第二个正方体的侧面积为×从下面数第三个正方体的侧面积为×即相邻两个正方体中，上面一个正方体的侧面积为下面一个正方体的侧面积的一半．各个正方体的侧面积构成一个以首项，以为公比的等比数列故当时而除侧面外其余面的和为，故个正方体裸露在外面部分的面积和为故答案为：【评论】本题观察的知识点是棱柱的构造特点，等比数列的前项和，此中依据已知条件将问题转变为等比数列的前项和问题，是解答本题的重点．解答时易忽视个正方体裸露在外面部分不包含下底面，但包含上底面，而错解为或．．已知函数（）（ω ? ），（＞，ω＞，≤ ? ≤ π）的部分图象如图所示，记则的值为．【考点】：由（ω φ）的部分图象确立其分析式．【剖析】先求出函数（）（），求出（）、（）、（）、（）的值，依据函数的周期性求出的值．【解答】解：由函数（）的图象可得，此函数的周期等于，，∴，ω．故函数（）（）．（），（），（），（），（）﹣，（）﹣，（）﹣，（）．故（）（）（）（）．∴（）（）（）（）（）（）．故答案为：．【评论】本题主要观察函数（）（ω ?）的周期性以及依据图象求分析式，求出函数（）（），是解题的重点．．在一次珠宝博览会上，某商家展出一套珠宝金饰，第一件金饰是颗珠宝，第二件金饰是由颗珠宝构成如下图的正六边形，第三件金饰是由颗珠宝构成如下图的正六边形，第四件金饰是由颗珠宝构成如下图的正六边形，第五件金饰是由颗珠宝构成如下图的正六边形，此后每件金饰都在前一件上，依据这类规律增添必定数目的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推测第件金饰上应有颗珠宝；则前件金饰所用珠宝总数为颗．（结果用表示）【考点】：数列的应用．【剖析】由题意可知，，，，的值，则﹣，﹣，﹣，﹣，猜想﹣，从而得的值和﹣﹣﹣；所以（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣﹣）﹣求得通项公式，从而求得前项和．【解答】解：由题意，知，，，，，，；∴﹣，﹣，﹣，﹣，﹣，，﹣﹣﹣；∴（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣﹣）﹣（﹣）﹣﹣；∴﹣，其前项和为（）﹣（）×﹣．故答案为：，．【评论】本题观察了数列的递推关系以及乞降公式的综合应用，解题时要研究数列的递推关系，得出通项公式，并能正确乞降．．已知复数，又，而的实部和虚部相等，求．【考点】：复数代数形式的混淆运算；：复数的基本观点．【剖析】由条件求出（﹣），可得，解出、的值，即可获取．【解答】解：∵，∴（﹣）．∴，（分）∴或﹣，∴或﹣﹣（分）【评论】本题观察复数的基本观点，复数代数形式的混淆运算，属于基础题．．定义，设实数，知足拘束条件，{，﹣}，则的取值范围是﹣≤≤．【考点】：简单线性规划的应用．【剖析】先找出可行域，即四边形上及其内部，（）与（﹣）相等的分界限，令时，点（，）在四边形上及其内部，求得范围；令﹣，点（，）在四边形上及其内部（除边）求得范围，将这个范围取并集可得答案．【解答】解：当≥﹣时可得≥则原题可转变为：当，作出不等式组所表示的平面地区如下图的暗影部分的，作直线：而后把直线向可行域平移则可知直线平移到（，）时，平移到点（﹣，）时﹣当，﹣作出不等式组所表示的平面地区如下图的作直线：﹣，而后把直线﹣向可行域平移则可知直线平移到（﹣，）时﹣，平移到点（，﹣）时，此时有﹣≤≤综上可得，﹣≤≤【评论】本题表面上看拘束条件和目标函数都是静态的，实质上两者都是动向变化的，目标函数是仍是﹣并无明确确立下来，直线又将原可行域分为两部分．解题的重点是经过比较与﹣的大小，同时目标函数及可行域都将发生变化．本题构想比较奇妙．．已知函数（）﹣，给出以下命题：①当时，（）的图象对于点（，）成中心对称；②当＞时，（）是递加函数；③（）至多有两个实数根；④当≤≤时，（）的最大值为．此中正确的序号是①②④．【考点】：命题的真假判断与应用．【剖析】依据函数的单一性和奇偶性，对各个选项加以判断．利用奇函数图象对于原点对称，可得①正确；利用二次函数图象及其单一性，得出②正确；举出一个反例，可得③不正确；利用二次函数图象与性质，求函数的最值可得出④正确．【解答】解：对各个选项分别加以鉴别：对于①，当时，（），可得（﹣）﹣∴（）（﹣），可得（）的图象对于点（，）成中心对称；对于②，当＞时，（）（﹣），图象的对称轴为，张口向上所以在对称轴的右边为增函数，所以当＞时，（）是递加函数；对于③，能够取，﹣时，（）有三个实数根：，故③不正确；对于④，当≤≤时，（）﹣当时，函数的最大值为（）．故答案为：①②④【评论】本题以函数的奇偶性和单一性为载体，观察了命题真假的判断，属于中档题，娴熟掌握函数的基天性质是解决本题的重点所在．．、是双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，，且△的面积为，则的值是或﹣．【考点】：双曲线的简单性质．【剖析】议论＞，＜，运用双曲线的定义和向量垂直的条件，以及三角形的面积公式，联合勾股定理，解方程即可获取所求值．【解答】解：设为双曲线右支上一点，当＞时，由双曲线的定义可得﹣，，可得⊥，△的面积为，可得?，即有 ?，由勾股定理可得，，即有（﹣） ?，解得；当＜时，双曲线即为﹣，由双曲线的定义可得﹣，，可得⊥，△的面积为，可得?，即有 ?，由勾股定理可得，﹣，即有（﹣） ?﹣﹣，解得﹣．综上可得或﹣．故答案为：或﹣．【评论】本题观察双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的勾股定理和面积公式的运用，观察分类议论思想方法，以及运算能力，属于中档题．．平面上有相异的个点，每两点连成一条直线，共得条直线，则任取此中的三个点，构成三角形的概率是．【考点】：等可能事件的概率．【剖析】经过议论先判断出个点中有一个点共线，一个点共线，而后利用组合的方法求出从个点中任取三个点的方法及任取三个点能构成三角形的方法，利用古典概型的概率公式求出答案．【解答】解：若随意三点不共线，则任两点一条直线，共有直线，由于共得条直线，少了条，所以存在多点共线的状况，若点共线的话则减少﹣条，若点共线减少﹣条，若点以上共线减少超出条，所以个点中有一个点共线，一个点共线，从个点中任取三个点共有种，共线有种由古典概型的概率公式得构成三角形概率是．故答案为：．【评论】本题观察古典概型的概率的求法，重点是求失事件包含的基本领件的个数，常用的方法有：摆列组合的方法、列举法、列表法、树状图的方法等．．已知，（，），（，）∈ *（，∈ * ）且对随意，∈ * 都有① （，）（，）；②（，）（，）．则（，）的值．【考点】：抽象函数及其应用．【剖析】依据条件可知 { （，）} 是认为首项，为公差的等差数列，求出（，），以及{（，）} 是认为首项为公比的等比数列，求出（，）和（，），从而求出所求．【解答】解：∵（，）（，）∴{ （，） } 是认为首项，为公差的等差数列∴（，）﹣又∵（，）（，）∴{ （，） } 是认为首项为公比的等比数列，∴（，）﹣∴（，）﹣∴（，）故答案为：．【评论】本题主要观察了抽象函数及其应用，推出（，）﹣，（，）﹣，（，）﹣，是解答本题的重点，属中档题．三．解答题．（ ?徐汇区校级模拟）已知函数．（）若函数（）（）的图象对于点对称，且∈（，π ），求的值．（）设的充足条件，务实数的取值范围．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；：正弦函数的图象．【剖析】（）求出（）的表达式，利用图象对于点（﹣，）对称，成立条件关系即可求的值；（）求出当∈ [ ，] ，函数（）的值域，利用是的充足条件，即可求出的取值范围．【解答】解：（）∵（）（）﹣﹣﹣（）﹣﹣（﹣），∴（）（）（﹣），∵（）（）的图象对于点（﹣，）对称∴（﹣）（﹣×﹣）（﹣），即﹣π，∴，∵∈（，π），∴当时，，当时，．（）∵（）﹣＜，∴：﹣＜（）﹣＜，即﹣＜（）＜，当∈[，]，﹣∈[，]，此时（﹣）∈[，]，即（）∈ [，]，要使是的充足条件，则，即，∴﹣≤≤，即实数的取值范围是[﹣，]．【评论】本题主要观察三角函数的图象和性质，要求娴熟掌握三角函数的周期，对称性和最值的性质，波及的知识点许多，综合性较强，运算量较大．．（ ?徐汇区校级模拟）如图，⊥平面，四边形是矩形，，与平面所成的角是°，点是的中点，点在边上挪动．（）当点为的中点时，试判断与平面的地点关系，并求出到平面的距离；（）命题：“不论点在边上哪处，都有⊥”，能否成立，并说明原因．【考点】：点、线、面间的距离计算．【剖析】（）由题设中的条件，为中点可得∥，由此可判断出与平面的地点关系是平行，再依据体积相等即可求出到平面的距离；（）由题设条件及图形可得出⊥平面，由线面垂直的定义可得出不论点在边的哪处两线都垂直．【解答】解：（）当点为的中点时，与平面平行．∵在△中，、分别为、的中点，∴∥又?平面而? 平面∴∥平面．所以：点到平面的距离和到平面的距离相等．∵与平面所成的角是°，∴，．设到平面的距离为．∵﹣﹣ ???△??△?．所以：到平面的距离为：．（）∵⊥平面， ? 平面，∴⊥．又⊥，∩，， ? 平面，∴⊥平面，又?平面，∴⊥．又，点是的中点，∴⊥，又∵∩，，? 平面，∴⊥平面．∵?平面，∴⊥．即不论点在边上哪处，都有⊥成立．即命题成立．【评论】本题中波及到点、线、面间的距离计算．一般在求点到面的距离当垂线直接不好求时，常用体积相等来求．．（ ?徐汇区校级模拟）已知定点（，），（，﹣），（，），动点知足：?，（）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的曲线种类；（）当，求的最大，最小值．【考点】：轨迹方程；：向量的模；：平面向量数目积的运算．【剖析】（）设出点坐标，求出向量的坐标，而后分和≠由?获取点轨迹；（）把代入（）求出的轨迹方程，获取﹣，利用向量的坐标运算求出，把﹣整体代入后转变为求﹣的最值，令﹣，由圆心到直线﹣的距离不大于圆的半径求的范围，从而获取结论．【解答】解：（）设（，），，．当时，由?，得﹣（﹣），整理得：，表示过（，）且平行于轴的直线；当≠时，由?，得﹣（﹣），整理得：，表示以点为圆心，以为半径的圆．（）当时，方程化为（﹣），即﹣，∵，∴，又﹣，∴．问题归纳为求﹣的最值，令﹣，∵点在圆（﹣），圆心到直线﹣的距离不大于圆的半径，∴，解得﹣．∴．【评论】本题观察了平面向量的数目积运算，观察了轨迹方程的求法，观察了向量模的求法，表现了数学转变思想方法及整体运算思想方法，属有必定难度题目．．（?徐汇区校级模拟）阳光商场节日时期为促销，采纳“满一百送三十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花销满元（这元能够是现金，也能够是奖赏券，或两者共计），就送元奖赏券（奖赏券不可以兑换现金）；满元就送元奖赏券（注意：一定满元才送奖赏券元，花销超出元不足元也只好得元奖赏券，以此类推）．（）按这类酬宾方式，一位顾客只用元现金在阳光商场最多能购回多少元钱的货物？（）在一般状况下，顾客有元现金，而同时新世纪百货在进行折优惠活动，即每件商品按原价的销售，试问该顾客在哪个商场购物才能获取更多优惠．【考点】：函数模型的选择与应用．【剖析】（）依据规则，一定满元才能得元奖赏券，所以要想所得奖券最多，一定每次尽可能使用元整数倍的钱，故可得解；（）依据（）的求解得悉：阳光商场用元钱最多能购回小于元钱的货物，而新世纪百货用元钱能购回元钱的货物，故可解．【解答】解：（）依据规则，一定满元才能得元奖赏券，所以要想所得奖券最多，一定每次尽可能使用元整数倍的钱，所以这位顾客按下述方法可获取最多货物，第一次使用元，可得奖赏券第二次使用元，可得奖赏券第三次使用元，可得奖赏券（此时剩下奖赏券元）第四次使用元，可得奖赏券元（此时剩下奖赏券元）最后一次使用元，没有奖赏券故共可购回（元）货物分（）设阳光商场用元钱最多能购回元钱的货物，则由（）小题知：新世纪百货用元钱能购回元钱的货物，故新世纪的优惠更多．分【评论】本题的考点是函数模型的选择与应用，主要观察实质问题向数学识题的转变，重点是理解题意，合理剖析．．（ ?徐汇区校级模拟）已知一次函数（）的图象对于直线﹣对称的图象为，且（（））﹣，若点在曲线上，并有．（）求（）的分析式及曲线的方程；（）求数列 {} 的通项公式；（）设，求的值．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；：数列的乞降．【剖析】（）设（）（≠），所以[ （） ] ﹣．由于（）的图象对于直线﹣的对称为，所以曲线为：﹣（）﹣，故﹣（）﹣﹣（﹣）．由此能够推导出（）的分析式及曲线的方程．（）由﹣（），知，由此能够求出数列{} 的通项公式．（）由﹣，知（﹣）（﹣）（﹣）﹣，由此能够求出求的值．【解答】解：（）设（）（≠），∴[（）]﹣．①由于（）的图象对于直线﹣的对称为，∴曲线为：﹣（）﹣，∴﹣（）﹣，﹣（﹣）﹣，﹣（）﹣﹣（﹣）．又点（，）（∈ *）在曲线上，∴﹣（）②﹣（﹣），∴﹣（）﹣﹣（﹣）﹣，∴，﹣．∴（）﹣，曲线：；（）由② ﹣（）∴，∴?? ? ? （﹣） ?! ，∵，∴!；（）∵﹣，∴（﹣）（﹣）（﹣）﹣．则（﹣）．【评论】本题观察数列与函数的综合，解题时要认真审题，认真解答，注意发掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转变．。
2017年上海市闵行区七宝中学高考数学二模试卷(解析版)
2017年上海市闵行区七宝中学高考数学二模试卷一.填空题1．（3分）若集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|2x＞1}，则A∪B＝．2．（3分）若a为实数，则，则|1+ai|＝．3．（3分）函数的最小正周期为．4．（3分）将满足的封闭图形绕y轴旋转一周所得的几何体的主观图面积为．5．（3分）多项式的展开式中，x2项的系数为．6．（3分）已知等差数列{a n}满足a4＝a2+a1，则＝．7．（3分）A盒中有3张足球票和3张篮球票，B盒中有2张足球票和4张篮球票，甲盒A 中任意抽取一张票，乙从B盒中任取抽取一张票，则两人至少抽到一张足球票的概率为．8．（3分）方程9x+m•3x+m﹣1＝0有唯一解，则实数m的取值范围是．9．（3分）记椭圆的左右焦点分别为F1，F2，斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F2（1，0），且与椭圆在第一象限交于点P，∠PF1F2＝15°则椭圆的长轴长为．10．（3分）若函数f（x）＝|x|﹣1+ax（x∈R）存在反函数，则a的取值范围是．11．（3分）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2﹣ax，对于不相等的实数x1，x2，设，都有现有如下命题：①对于不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有m＝n；④存在实数a，对任意不相等的实数x1，x2，都有m＝n，其中所有的真命题是．12．（3分）在△ABC中，内角A＜B＜C，记，则的取值范围为．二.选择题13．（3分）已知两条直线“”是“直线l 1与直线l2的夹角为60°”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＜0B．a＞0，b＞0，c＜0C．a＜0，b＞0，c＞0D．a＞0，b＜0，c＞015．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个非零向量，与x轴正半轴的夹角分别为和，向量满足＝，则与x轴正半轴夹角取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，）16．（3分）已知函数，集合A＝{x|f（x）＝k，n∈N}，若不相等的实数a，b∈A且都有a+b∈Z，则满足条件的a，b（不考虑a，b的顺序）的组数为（）A．36B．58C．62D．74三.简答题17．某小区打造休闲场地，将一块直角三角形空地ABC用一条长为16m的道路MN分成两部分（点M在边AB上）．分别种植花卉和铺设草坪，其中花卉面积为S1，草坪面积为S2，且S1≤S2，已知AB＝32m，AC＝24m，∠A＝90°，求S1的最大值（本题中道路都指线段）．18．如图，把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的高度为3，矩形的对角线和三棱柱的侧棱BB1，CC1的交点记为E，F．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求三棱柱中异面直线AE与A1F所成角的大小．19．函数f（x）对任意的x∈R满足：f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+2）＝f（x），当x∈（0，1）时，．（1）求出函数在R上零点；（2）求满足不等式f（sinθ）＞﹣f（cosθ）的实数θ的范围．20．已知双曲线的左右顶点分别为A，B，A（﹣2，0）．直线l：x＝1和两条渐近线交于点E，F，点E在第一象限且，P是双曲线上的任意一点．（1）求双曲线的标准方程；（2）是否存在点P使得△OEP为直角三角形？若存在，求出点P的个数；（3）直线P A，PB与直线l分别交于点M，N，证明：以MN为直径的圆必过定点．21．已知n位数满足下列条件：①各个数字只能从集合{1，2，3，4}中选取；②若其中有数字4，则在4的前面不含2．将这样的n位数的个数记为a n．（1）求a2，a3；（2）探究a n+1与a n之间的关系，求出数列{a n}的通项公式；（3）对于每个正整数k，在a k与a k+1之间插入2k﹣1个得到一个新数列{b n}，设S n是数列{b n}的前n项和，试探究S n＝2017能否成立？写出你探究得到的结论并给出证明．2017年上海市闵行区七宝中学高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）若集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|2x＞1}，则A∪B＝{x|x＞﹣1}．【解答】解：集合A＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，则A∪B＝{x|x＞﹣1}．故答案为：{x|x＞﹣1}．2．（3分）若a为实数，则，则|1+ai|＝．【解答】解：由，得（a+）i＝2i，即a+＝2．解得a＝1．∴|1+ai|＝|1+i|＝．故答案为：．3．（3分）函数的最小正周期为π．【解答】解：∵＝2﹣2sin x cos x＝2﹣sin2x．∴最小正周期T＝＝π．故答案为：π．4．（3分）将满足的封闭图形绕y轴旋转一周所得的几何体的主观图面积为8．【解答】解：将满足的封闭图形绕y轴旋转一周所得的几何体是圆锥，圆锥的底面半径为：2，高为4，几何体的主视图图是等腰三角形，面积为：＝8．故答案为：8．5．（3分）多项式的展开式中，x2项的系数为56．【解答】解：∵多项式＝（1+）•（x7+7x6+21x5+35x4+35x3+21x2+7x+1），故展开式中x2项的系数为21+35＝56，故答案为：56．6．（3分）已知等差数列{a n}满足a4＝a2+a1，则＝2．【解答】解：等差数列{a n}满足a4＝a2+a1，设公差为d，则a1+3d＝2a1+d，可得d＝a1，通项公式：a n＝a1+（n﹣1）d＝a1+a1（n﹣1），S n＝na1+＝na1+，则＝＝＝＝＝2．故答案为：2．7．（3分）A盒中有3张足球票和3张篮球票，B盒中有2张足球票和4张篮球票，甲盒A 中任意抽取一张票，乙从B盒中任取抽取一张票，则两人至少抽到一张足球票的概率为．【解答】解：A盒中有3张足球票和3张篮球票，B盒中有2张足球票和4张篮球票，甲盒A中任意抽取一张票，乙从B盒中任取抽取一张票，则两人至少抽到一张足球票的概率为：p＝1﹣＝．故答案为：．8．（3分）方程9x+m•3x+m﹣1＝0有唯一解，则实数m的取值范围是{m|m＜1}．【解答】解：令t＝3x，方程9x+m•3x+m﹣1＝0化为t2+mt+m﹣1＝0，方程9x+m•3x+m﹣1＝0有唯一解，等价于t2+mt+m﹣1＝0只有1个正数解，可得：m﹣1＜0或，解得m＜1．故答案为：{m|m＜1}．9．（3分）记椭圆的左右焦点分别为F1，F2，斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F2（1，0），且与椭圆在第一象限交于点P，∠PF1F2＝15°则椭圆的长轴长为．【解答】解：斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F2（1，0），则直线的倾斜角为45°，则∠PF1F2＝135°，∵∠PF1F2＝15°，∴∠F1PF2＝30，∴sin15°＝sin（45°﹣30°）＝由正弦定理可得＝＝，∴|PF1|＝2c，|PF2|＝（﹣）c，∴2a＝|PF1|+|PF2|＝（+）c＝，故答案为：+．10．（3分）若函数f（x）＝|x|﹣1+ax（x∈R）存在反函数，则a的取值范围是a＞1或a ＜﹣1．【解答】解：函数f（x）＝|x|﹣1+ax存在反函数，当x＞0时，f（x）＝（1+a）x﹣1，a＞﹣1时，递增；a＜﹣1减；当x＜0时，f（x）＝（a﹣1）x﹣1，a＞1递增；a＜1递减，综上可得a＞1或a＜﹣1时，f（x）在R上存在反函数，故答案为：a＞1或a＜﹣1．11．（3分）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2﹣ax，对于不相等的实数x1，x2，设，都有现有如下命题：①对于不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有m＝n；④存在实数a，对任意不相等的实数x1，x2，都有m＝n，其中所有的真命题是①④．【解答】解：对于①，任取x1≠x2，则，①正确；对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，）单调递减，在（，+∞）单调递增，可取x1＝0，x2＝a，则，②错误；对于③，由①知，m＝2，＝x2﹣a，则m＝n不恒成立，③错误；对于④，由①知，m＝2，由③知，n＝x1+x2﹣a，若m＝n，则x1+x2﹣a＝2，只需x1+x2＝a+2即可，④正确．故答案为：①④．12．（3分）在△ABC中，内角A＜B＜C，记，则的取值范围为（1，）．【解答】解：内角A＜B＜C，可得a＜b＜c，则＞1，＞1，则＝min{，}，当≤，可得min{，}＝，由＞≥，即1+＞，即有（）2﹣﹣1＜0，解得1＜＜；当＞，可得min{，}＝，由＜＜，即﹣1＜，即有（）2﹣﹣1＜0，解得1＜＜，综上可得的取值范围为（1，）．故答案为：（1，）．二.选择题13．（3分）已知两条直线“”是“直线l 1与直线l2的夹角为60°”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：直线l2：x﹣y+1＝0，化为：y＝x+1，可得斜率为，倾斜角为60°．由直线l1与直线l2的夹角为60°，可得直线l1的倾斜角为0°或120°．∴﹣m＝0或﹣m＝tan120°，解得m＝0，或．∴”是“直线l1与直线l2的夹角为60°”的充分不必要条件．故选：B．14．（3分）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＜0B．a＞0，b＞0，c＜0C．a＜0，b＞0，c＞0D．a＞0，b＜0，c＞0【解答】解：由x+b≠0得x≠﹣b，由﹣b＞0得b＜0，排除B，C，f（0）＝＞0，则c＜0，排除D，由f（x）＝0得ax2+c＝0，即ax2＝﹣c，∵f（x）＝0有两个根，则a＞0，故选：A．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个非零向量，与x轴正半轴的夹角分别为和，向量满足＝，则与x轴正半轴夹角取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：由得，即与x轴正半轴的夹角的取值范围应在向量，与x轴正半轴的夹角之间，由于非零向量，与x轴正半轴的夹角分别为和，∴向量，与x轴正半轴的夹角范围是（，）∴与x轴正半轴的夹角的取值范围是（，）故选：B．16．（3分）已知函数，集合A＝{x|f（x）＝k，n∈N}，若不相等的实数a，b∈A且都有a+b∈Z，则满足条件的a，b（不考虑a，b的顺序）的组数为（）A．36B．58C．62D．74【解答】解：函数，集合A＝{x|f（x）＝k，k∈N}，若k＝0，可得x＝1，4，6，8，10，12，14，16，18；若k＝1可得x＝，，，，，，，，；若k＝2可得x＝，5，9，13，17；若不相等的实数a，b∈A且都有a+b∈Z，则k＝0有＝36个；k＝1有5×4＝20个；k＝2有＝6个．综上可得，共有36+20+6＝62．故选：C．三.简答题17．某小区打造休闲场地，将一块直角三角形空地ABC用一条长为16m的道路MN分成两部分（点M在边AB上）．分别种植花卉和铺设草坪，其中花卉面积为S1，草坪面积为S2，且S1≤S2，已知AB＝32m，AC＝24m，∠A＝90°，求S1的最大值（本题中道路都指线段）．【解答】解：如图设BN＝x，BM＝y，∵AB＝32m，AC＝24m，∠A＝90°，∴cos，sin，S1＝，在△BMN中，由余弦定理得，，162，∴xy≤40×16．∴S1＝≤192，故S1的最大值为192．18．如图，把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的高度为3，矩形的对角线和三棱柱的侧棱BB1，CC1的交点记为E，F．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求三棱柱中异面直线AE与A1F所成角的大小．【解答】解：（1）∵把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的高度为3，∴正三棱柱的底面边长为2，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V＝S△ABC×AA1＝＝3．（2）∵矩形的对角线和三棱柱的侧棱BB1，CC1的交点记为E，F，∴CF＝4，BE＝2，以A为原点，在平面ABC中过A作AB的垂线为x轴，以AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），E（0，2，2），A1（0，0，6），F（，1，4），（0，2，2），＝（），设三棱柱中异面直线AE与A1F所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝arccos，∴三棱柱中异面直线AE与A1F所成角为arccos．19．函数f（x）对任意的x∈R满足：f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+2）＝f（x），当x∈（0，1）时，．（1）求出函数在R上零点；（2）求满足不等式f（sinθ）＞﹣f（cosθ）的实数θ的范围．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，则有f（0）＝0，又由f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为2的周期函数，当x∈（0，1）时，，该区间上不存在零点，又由函数f（x）为奇函数，则当x∈（﹣1，0）时，f（x）也不存在零点，当x＝﹣1时，f（﹣1+2）＝f（﹣1）＝f（1）又f（﹣1）＝﹣f（1），即f（﹣1）＝f（1）＝﹣f（1），则f（﹣1）＝f（1）＝0，即在区间[﹣1，1]上的零点为﹣1，1，0，又由函数f（x）是周期为2的周期函数，则f（x）在R的零点为x＝k，即{x|x＝k，k∈Z}（2）根据题意，f（x）为奇函数，则不等式f（sinθ）＞﹣f（cosθ）等价为f（sinθ）＞f（﹣cosθ），当﹣1＜x＜1时，函数的导数f′（x）＝＝＞0，即函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，则此时不等式等价为sinθ＞﹣cosθ，则不等式的解集为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z，20．已知双曲线的左右顶点分别为A，B，A（﹣2，0）．直线l：x＝1和两条渐近线交于点E，F，点E在第一象限且，P是双曲线上的任意一点．（1）求双曲线的标准方程；（2）是否存在点P使得△OEP为直角三角形？若存在，求出点P的个数；（3）直线P A，PB与直线l分别交于点M，N，证明：以MN为直径的圆必过定点．【解答】解：（1）由题意可得a＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±x，可得E（1，），F（1，﹣），即有＝2，解得b＝2，双曲线的方程为﹣＝1；（2）由E（1，），OE的斜率为，与OE垂直的直线的斜率为﹣，可得以O为直角顶点的P有两个；以E为直角顶点的P有两个；以P为直角顶点，则P在以OE为直径的圆上，圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2＝1，联立双曲线的方程﹣＝1，无实数解，综上可得满足题意的点P的个数为4；（3）证明：设P（m，n），可得3m2﹣n2＝12，由P，A，M三点共线可得k P A＝k AM，即＝，可得y M＝；由P，B，N三点共线可得k PB＝k BN，即＝，可得y N＝，即有MN的中点为（1，），|MN|＝||，即有MN为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2＝（）2，化为（x﹣1）2+y2+y﹣9＝0，由y＝0且（x﹣1）2＝9，可得x＝4或x＝﹣2，即以MN为直径的圆必过定点（﹣2，0），（4，0）．21．已知n位数满足下列条件：①各个数字只能从集合{1，2，3，4}中选取；②若其中有数字4，则在4的前面不含2．将这样的n位数的个数记为a n．（1）求a2，a3；（2）探究a n+1与a n之间的关系，求出数列{a n}的通项公式；（3）对于每个正整数k，在a k与a k+1之间插入2k﹣1个得到一个新数列{b n}，设S n是数列{b n}的前n项和，试探究S n＝2017能否成立？写出你探究得到的结论并给出证明．【解答】解：（1）先考虑两位数，若个位数为1或2或3，则每种情况下，十位上都有4种选择；若个位数为4，则十位数上有3种选择．所以，a2＝3×4+3＝15；接下来考虑三位数，若个位数是1或2或3，每种情况下符合条件的数字都有a2个；若个位数字为4，则百位和十位都不能选2，每个数位上都有三种选择，此时，有32＝9种．因此，a3＝3a2+9＝3×15+9＝54；（2）若个位数为1或2或3，则每种情况符合条件的都有a n种情况；若个位数为4，则前面n个数位上，每个数位上只能选择1、2、3种的某一个，共有3n种情况．a1＝4，综上所述，，且a1＝4．在等式的两边同时除以3n+1，可得，即，所以，数列{}是以为首项，以为公差的等差数列，所以，，∴；（3）由a n＝（n+3）•3n﹣1，可得a1＝4，a2＝15，a3＝54，a4＝189，a5＝648，a6＝2187，显然S36＝4+15+54+189+648+×（1+2+4+8+16）＝920＜2017，S37＝3107＞2017，故S n＝2017不能成立．。
上海市七宝中学2017届高三下学期综合测试数学试卷Word版含答案b
2017年七宝中预测调研试卷2017.5一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.若集合|1,|21xAx x Bx ，则AB .2.若a 为实数，则12a iii a，则1ai .3.函数12cos sin 2x f xx的最小正周期为.4.将满足23001x y x y的封闭图形绕y 轴旋转一周所得的几何体的主观图面积为.5．多项式7111x x的展开式中，2x 项的系数为.6.已知等差数列n a 满足423a a a ，则limn nnna S .7.A 盒中有3张足球票和3张篮球票，B 盒中有2张足球票和4张篮球票，甲盒A 中任意抽取一张票，乙从B 盒中任取抽取一张票，则两人至少抽到一张足球票的概率为.8.方程9310xxm m 有唯一解，则实数m 的取值范围是.9.记椭圆的左右焦点分别为12,F F ，斜率为1的直线l 过椭圆的右焦点21,0F ，且与椭圆在第一象限交于点P ，1215PF F 则椭圆的长轴长为.10.若函数1f xx ax xR 存在反函数，则a 的取值范围是.11.已知函数22,f x x g x xax ，对于不相等的实数12,x x ，设12121212,f x f x g x g x mnx x x x ，都有现有如下命题：①对于不相等的实数12,x x ，都有0m ；②对于任意实数a 及不相等的实数12,x x ，都有0n；③对于任意实数a 及不相等的实数12,x x ，都有m n ；④存在实数a ，锐任意不相等的实数12,x x ，都有m n ，其中所有的真命题是.12.在ABC 中，内角A BC ，记,min ,,a a ba bb ab ，则sin sin min ,sin sin B CA B的取值范围为.二、选择题：13.已知两条直线12:10,:310l mxy l xy “3m”是“直线1l 与直线2l 的夹角为60”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件14.函数2axcf xx b 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A.0,0,0a b c B. 0,0,0a b c C. 0,0,0abcD. 0,0,0abc15．在平面直角坐标系xoy 中，两个非零向量,OA OB 与x 轴正半轴的夹角分别为6和23，向量OC 满足320OA OB OC，则OC 与x 轴正半轴夹角的取值范围是()A.0,3 B.5,36C.2,23D.25,3616．已知函数3log ,032sin,3182x x fxx x ，集合|,A x f x k n N ，若不相等的实数,a bA且都有a b Z ，则满足条件的,a b （不考虑,a b 的顺序）的组数为()A. 36B. 58C. 62D. 74三、解答题：17.（本题满分14分）某小区打造休闲场地，将一块直角三角形空地ABC 用一条长为16m 的道路MN 分成两部分（点M 在边AB 上）.分别种植花卉和铺设草坪，其中花卉面积为1S ，草坪面积为2S ，且12S S ，已知32,24,90ABm ACm A ，求1S 的最大值（本题中道路都指线段）.18.（本题满分14分）如图，把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱111ABC A B C ，三棱柱的高度为3，矩形的对角线和三棱柱的侧棱11,BB CC 的交点记为E,F. （1）求三棱柱111ABCA B C 的体积；（2）求三棱柱中异面直线AE 与1A F 所成角的大小.19.（本题满分14分）函数f x 对任意的x R 满足:,2f x f x f x f x ，当0,1x 时，2.1x f xx（1）求出函数在R 上零点；（2）求满足不等式sincos f f 的实数的范围.20.（本题满分16分）已知双曲线222210,0x ya bab的左右顶点分别为,,2,0A B A .直线:1l x 和两条渐近线交于点,E F ，点E 在第一象限且23EF，P 是双曲线上的任意一点.（1）求双曲线的标准方程；（2）是否存在点P 使得OEP 为直角三角形？若存在，求出点P 的个数；（3）直线,PA PB 与直线l 分别交于点,M N ，证明：以MN 为直径的圆必过定点.21.（本题满分16分）已知n 位数满足下列条件：①各个数字只能从集合1,2,3,4中选取；②若其中有数字4，则在4的前面不含 2.将这样的n 位数的个数记为.n a （1）求23,a a ；（2）探究1n a 与n a 之间的关系，求出数列n a 的通项公式；（3）对于每个正整数k ，在1a 与1k a 之间插入12k 个13得到一个新数列n b ，设n S 是数列nb 的前n 项和，试探究2017nS 能否成立？写出你探究得到的结论并给出证明.。
2017年上海市高考数学模拟试卷 Word版含解析
2017年上海市高考数学模拟试卷一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=．4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=．+112．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣121015年（1﹣121016年（1﹣11月）月）月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．2017年上海市高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=﹣2．【考点】二阶矩阵．【分析】利用二阶行列式对角线法则直接求解．【解答】解：=4×1﹣3×2=﹣2．故答案为：﹣2．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=16．【考点】反函数．【分析】先求出x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，由此能求出f﹣1（4）．【解答】解：∵函数f（x）=y=的反函数是f﹣1（x），∴x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，∴f﹣1（4）=42=16．故答案为：16．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数（i为虚数单位），则|z|==2．故答案为：2、4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值．【解答】解：函数=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由若存在锐角θ满足f（θ）=2，即有2sin（θ+）=2，解得θ=﹣=．故答案为：．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】两点A、B间的球面距离为，可得∠AOB=，即可求出两点A，B 间的距离．【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB=．∴两点A，B间的距离为R，故答案为：R．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=8．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=256，解得n．【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．故答案为：8．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=2k2﹣1．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵，∴（cosα+sinα）=k，可得：cosα+sinα=k，∴两边平方可得：cos2α+sin2α+2cosαsinα=2k2，可得：1+sin2α=2k2，∴sin2α=2k2﹣1．故答案为：sin2α=2k2﹣1．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1﹣，=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，则x2∈[0，4]，的取值范围为[﹣2，1]．【解答】解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1﹣；=（﹣﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y）；=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，由题意可知：x∈[﹣2，2]，则x2∈[0，4]，∴的取值范围为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=•2b2，即a2=7b2，则cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故答案为：10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，∴1﹣a＞a＞0，∴a∈，故答案为11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=﹣．+1【考点】极限及其运算．【分析】由已知推导出S2n=（1﹣），S2n﹣1=1+，从而a2n=S2n =﹣[1+（1﹣）]，由此能求出．﹣S2n﹣1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*，∴（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）===（1﹣）=（1﹣），∴S2n=（1﹣），a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+a2n﹣1）﹣2=1+=1+=1+，=1+，∴S2n﹣1∴a2n=S2n﹣S2n﹣1=﹣[1+（1﹣）]，∴=﹣[1+（1﹣）]==﹣．故答案为：．12．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为90．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，利用相似比，可得结论．【解答】解：取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，∵△ABC的面积为360，∴△PAB的面积=△ADE的面积==90．故答案为90．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可得结论．【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B 正确．故选B．14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．当x=1，y=0时，满足|x|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．B．当x=1，y=0时，满足|x+y|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．C．当y≤﹣2时，|y|≥2，则|x|+|y|＞1成立，即充分性成立，满足条件．D．当且，则|x|+|y|≥1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件．故选：C．15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．【考点】曲线与方程．【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），即可得出结论．【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），故选C．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．【解答】解：由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，故选：A．三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ，则OA ⊥平面BCD ．由经能求出S 圆锥侧．（2）该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ，由此能求出结果． 【解答】解：（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ， ∵A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径， ∴OA ⊥平面BCD ．∵BD=2，BC=1，AC 与底面所成角的大小为，过点A 作截面ABC ，ACD ，∴在Rt △AOC 中，OC=1，，AC=2，AO=，∴S 圆锥侧=πrl==2π．（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， ∵AO=，∠BCD=90°，∴CD=，该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ==．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），即可求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求出P的坐标，利用夹角公式，即可求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【解答】解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴双曲线方程为x2﹣y2=2；（2），显然∠F1PF2的角平分线所在直线斜率k存在，且k＞0，，，于是．∴为所求．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣12月）1015年（1﹣12月）1016年（1﹣11月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据空驶率的计算公式为，带入计算即可；（2）根据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程．【解答】解：（1），，∴2014、2015年，该公司空驶率分别为41.14%和38.00%．（2），T2016=38%﹣20%=18%．由，∴2016年前11个月的平均每单油费为12.98元，平均每单里程为15.71km．20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a4，a7，a8成等比数列，可得=a4•a8，可得（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a4，a7，a8成等比数列，∴=a4•a8，∴（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化为：d2+2d=0，∵d≠0，∴d=﹣2．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，∴，∴．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，，∴当n=15或16时，T n最大．21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m ﹣2m=2m（2x﹣1）即可，（2）依题意，是奇函数，求出φ；（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．【解答】解：（1）对于f（x）=2x+1，f（x+m）﹣f（m）=2（x+m）+1﹣（2m+1）=2x，∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于g（x）=2x，记h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m﹣2m=2m（2x﹣1），由h（x）+h（﹣x）=2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）=0，当且仅当x=0等式成立，∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；（2）依题意，是奇函数，∴（k∈Z）．（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意都不是奇函数，若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．2017年2月1日。
2017年上海中学高考数学模拟试卷(1)+Word版含解析
2017年上海中学高考数学模拟试卷（1）一、填空题1．定义在R上的奇函数f（x）以2为周期，则f（1）=．2．如果复数（b∈R）的实部和虚部互为相反数，则b等于．3．若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n=．4．（文）若，则目标函数z=2x+y的最小值为．5．已知a＜0，则关于x的不等式的解集为．6．点P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为．7．数列{a n}满足：a n=，它的前n项和记为S n，则S n=．8．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A、B、C、D、E、F、G、H八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的概率为．9．若方程仅有一个实数根，则k的取值范围是．10．在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为．11．如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．12．若函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象分别交于点A、B，若|AB|=，则a约等于（精确到0.1）．13．老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为=．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）二．选择题14．若函数y=cos2x与函数y=sin（x+φ）在区间上的单调性相同，则φ的一个值是（）A．B．C．D．15．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（）A．4sin（B+）+3 B．4sin（B+）+3 C．6sin（B+）+3 D．6sin （B+）+316．若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上，则点P（c，），Q（，b）和l 的关系是（）A．P和Q都在l上B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上D．P不在l上，Q在l上17．数列{a n}满足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1对任何的正整数n都成立，则的值为（）A．5032 B．5044 C．5048 D．5050三．解答题18．已知函数的最小正周期为π，且当x=时，函数有最小值．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]范围内的大致图象．19．设虚数z满足|2z+15|=|+10|．（1）计算|z|的值；（2）是否存在实数a，使∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．20．如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面ABB1A1垂直于底面．（1）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论；（2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积．21．在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2008年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施：如果该公司今年有5位职工，计划从明年起每年新招5名职工．（1）若今年算第一年，将第n年该公司付给职工工资总额y（万元）表示成年限n的函数；（2）若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的p%，求p的最小值．22．已知函数f（x）=（|x|﹣b）2+c，函数g（x）=x+m．（1）当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数c的取值范围；（2）当c=﹣3，m=﹣2时，方程f（x）=g（x）有四个不同的解，求实数b的取值范围．23．若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x0，y0），则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”．（1）若N（x0，y0）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；（2）命题：“若点N（x0，y0）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；（3）若N（x0，y0）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．2017年上海中学高考数学模拟试卷（1）参考答案与试题解析一、填空题1．定义在R上的奇函数f（x）以2为周期，则f（1）=0．【考点】3Q：函数的周期性；3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据f（x）是奇函数可得f（﹣x）=﹣f（x），又根据f（x）是以2为周期的周期函数得f（x+2）=f（x），取x=﹣1可求出f（1）的值．【解答】解：∵f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（1）=f（﹣1），又函数f（x）是奇函数，∴﹣f（1）=f（﹣1）=f（1），∴f（1）=f（﹣1）=0故答案为：02．如果复数（b∈R）的实部和虚部互为相反数，则b等于0．【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成复数的代数标准形式，根据实部和虚部互为相反数，得到实部和虚部和为0，得到结果．【解答】解：∵===，∵实部和虚部互为相反数，∴，∴，∴b=0，故答案为：03．若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n=5．【考点】DC：二项式定理的应用．=C n r（2x）r=2r C n r x r分别令r=3，r=1可得含x3，x项的系【分析】由题意可得T r+1数，从而可求=C n r（2x）r=2r C n r x r【解答】解：由题意可得二项展开式的通项，T r+1令r=3可得含x3项的系数为：8C n3，令r=1可得含x项的系数为2C n1∴8C n3=8×2C n1∴n=5故答案为：54．（文）若，则目标函数z=2x+y的最小值为4．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点A（1，2）时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，A（1，2），（4，2），C（1，5），则目标函数z=2x+y的最小值为4．故答案为：4．5．已知a＜0，则关于x的不等式的解集为（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）．【考点】R2：绝对值不等式．【分析】把不等式转化为0＜|x+a|＜﹣3a，利用绝对值不等式的几何意义，即可求出不等式的解集．【解答】解：因为a＜0，则关于x的不等式，所以不等式0＜|x+a|＜﹣3a，根据绝对值不等式的几何意义：数轴上的点到﹣a的距离大于0并且小于﹣3a，可知不等式的解集为：（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）．故答案为：（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）．6．点P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10，根据椭圆方程求得焦距，利用内切圆的性质把三角形PF1F2分成三个三角形分别求出面积，再利用面积相等建立等式求得P点纵坐标．【解答】解：根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10，|F1F2|=6，令内切圆圆心为O则=++=（|PF1|r+|PF2|r+|F1F2|r）=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•1=8又∵=|F1F2|•y P=3y P．所以3y p=8，y p=．故答案为7．数列{a n}满足：a n=，它的前n项和记为S n，则S n=．【考点】8E：数列的求和；6F：极限及其运算．【分析】先分奇数与偶数分别求前n项和记为S n，再求它们的极限．【解答】解：当n=2k时，当n=2k+1时，∴S n=故答案为8．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A、B、C、D、E、F、G、H八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的概率为．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】把城市A被选中的情况和城市A未被选中的情况都找出来，即可得到城市A被选中的概率．【解答】解：从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的情况有：ACE、ACF、ACG、ACH、ADF、ADG、ADH、AEG、AEH、AFH，共10种．则城市A未被选中的情况有：BDF、BDG、BDH、BEG、BEH、BFH、CEG、CEH、CFH、DFH 共10种．故城市A被选中的概率为：=，故答案为：．9．若方程仅有一个实数根，则k的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）∪{0} ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】据题意设y1=，y2=﹣kx+2，画出函数y1=图象，结合图象，即可得到k的取值范围．【解答】解：根据题意设y1=，y2=﹣kx+2，当k=0时，方程只有一个解x=0，满足题意；当k≠0时，根据题意画出图象，如图所示：根据图象可知，当﹣k＞1或﹣k＜﹣1时，直线y=﹣kx+2与y=只有一个交点，即方程只有一个解，综上，满足题意k的取值范围为k=0或k＞1或k＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）∪{0}10．在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模；HP：正弦定理．【分析】由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，根据海仑公式得：16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，再结合二次函数的性质求出答案即可．【解答】解：由题意可得：|AC|=|BC|，设△ABC三边分别为2，a，a，三角形面积为S，所以设p=所以根据海仑公式得：S==，所以16S2=﹣a4+24a2﹣16=﹣（a2﹣12）2+128，当a2=12时，即当a=2时，△ABC的面积有最大值，并且最大值为2．故答案为．11．如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．【考点】L3：棱锥的结构特征；L2：棱柱的结构特征．【分析】先把判断几何体的形状，把展开图沿虚线折叠，得到一个四棱锥，求出体积，再计算棱长为12的正方体的体积，让正方体的体积除以四棱锥的体积，结果是几，就需要几个四棱锥．【解答】解：把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P，Q，R，S四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥，且底面四边形ABCD为边长是6的正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=6=×6×6×6=72∴V四棱锥P﹣ABCD∵棱长为12的正方体体积为12×12×12=1728∵，∴需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．故答案为2412．若函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象分别交于点A、B，若|AB|=，则a约等于8.4（精确到0.1）．【考点】4R：反函数．【分析】根据题意画出图形，如图，设A（x，a x），函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象关于直线x﹣y=0 对称，得出点A到直线y=x的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式及A（x，a x）在函数y=的图象上得到a=（）≈8.4即可．【解答】解：根据题意画出图形，如图，设A（x，a x），∵函数y=a x（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象关于直线x﹣y=0 对称，∴|AB|=，⇒点A到直线y=x的距离为，∴⇒a x﹣x=2，①又A（x，a x）在函数y=的图象上，⇒a x=，②由①②得：﹣x=2⇒x=，∴a﹣（﹣1）=2，⇒a=（）≈8.4故答案为：8.4．13．老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为=．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）【考点】F3：类比推理；LL：空间图形的公理．【分析】由题意可得：•=0，即与垂直，设D为BC的中点，则=，可得=，即可得到，进而得到点P在BC的垂直平分线上，即可得到答案．【解答】解：由题意可得：•=﹣||+||=0∴与垂直设D为BC的中点，则=，所以，所以=，因为与垂直所以，又∵点D为BC的中点，∴点P在BC的垂直平分线上，即P的轨迹会通过△ABC的外心．故答案为：．二．选择题14．若函数y=cos2x与函数y=sin（x+φ）在区间上的单调性相同，则φ的一个值是（）A．B．C．D．【考点】H5：正弦函数的单调性；HA：余弦函数的单调性．【分析】可把A，B，C，D四个选项中的值分别代入题设中进行验证，只有D项的符合题意．【解答】解：y=cos2x在区间上是减函数，y=sin（x+）[0，]上单调增，在[，]上单调减，故排除A．y=sin（x+）在[0，]单调增，在[，]上单调减，故排除B．y=sin（x+）在[0，]单调增，在[，]上单调减，故排除C．在区间上也是减函数，故选D．15．△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（）A．4sin（B+）+3 B．4sin（B+）+3 C．6sin（B+）+3 D．6sin （B+）+3【考点】HP：正弦定理．【分析】根据正弦定理分别求得AC和AB，最后三边相加整理即可得到答案．【解答】解：根据正弦定理，∴AC==2sinB，AB==3cosB+sinB∴△ABC的周长为2sinB+3cosB+sinB+3=6sin（B+）+3故选D．16．若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上，则点P（c，），Q（，b）和l 的关系是（）A．P和Q都在l上B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上D．P不在l上，Q在l上【考点】IH：直线的一般式方程与直线的性质．【分析】先根据点M、N在直线上，则点坐标适合直线方程，通过消元法可求得a与c的关系，从而可判定点P（c，），Q（，b）和l 的关系，选出正确选项．【解答】解：∵点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上∴a+=1，b+=1则b=即+=1化简得c+=1∴点P（c，）在直线l上而b+=1则Q（，b）在直线l上故选A．17．数列{a n }满足：a 1=，a 2=，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1对任何的正整数n 都成立，则的值为（ ） A ．5032B ．5044C ．5048D ．5050【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1，①；a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+a n +1a n +2=（n +1）a 1a n +2，②；①﹣②，得﹣a n +1a n +2=na 1a n +1﹣（n +1）a 1a n +2，，同理，得=4，整理，得，是等差数列．由此能求出．【解答】解：a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=na 1a n +1，① a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+a n +1a n +2=（n +1）a 1a n +2，② ①﹣②，得﹣a n +1a n +2=na 1a n +1﹣（n +1）a 1a n +2，∴， 同理，得=4，∴=，整理，得，∴是等差数列．∵a 1=，a 2=，∴等差数列的首项是，公差，．∴==5044．故选B ．三．解答题18．已知函数的最小正周期为π，且当x=时，函数有最小值．（1）求f（x）的解析式；（2）作出f（x）在[0，π]范围内的大致图象．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）=1﹣sin，再由它的周期等于π求出ω=1，故f（x）=1﹣sin．（2）由x∈[0，π]，可得2x+∈[，]，列表作图即得所求．【解答】解：（1）∵=+1﹣=1﹣sin．由于它的最小正周期为π，故=π，∴ω=1．故f（x）═1﹣sin．（2）∵x∈[0，π]，∴2x+∈[，]．列表如下：如图：19．设虚数z满足|2z+15|=|+10|．（1）计算|z|的值；（2）是否存在实数a，使∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】A8：复数求模．【分析】（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0）则代入条件|2z+15|=|+10|然后根据复数的运算法则和模的概念将上式化简可得即求出了|z|的值（2）对于此种题型可假设存在实数a使∈R根据复数的运算法则设（z=c+bi（c，b∈R且b≠0））可得=+（）∈R即=0再结合b≠0和（1）的结论即可求解．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0）则∵|2z+15|=|+10|∴|（2a+15）+2bi|=|（a+10）﹣bi|∴=∴a2+b2=75∴∴|z|=（2）设z=c+bi（c，b∈R且b≠0）假设存在实数a使∈R则有=+（）∈R∴=0∵b≠0∴a=由（1）知=5∴a=±520．如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为，且侧面ABB1A1垂直于底面．（1）判断B1C与C1A是否垂直，并证明你的结论；（2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积．【考点】MI：直线与平面所成的角；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）判断知，B1C与C1A垂直，可在平面BA1内，过B1作B1D⊥AB于D，证明B1C⊥平面ABC1，再由线面垂直的定义得出线线垂直；（2）由图形知，，变换棱锥的底与高后，求出它的体积即可；【解答】解：（1）B1C⊥C1A证明如下：在平面BA1内，过B1作B1D⊥AB于D，∵侧面BA1⊥平面ABC，∴B1D⊥平面ABC，∠B1BA是BB1与平面ABC所成的角，∴∠B1BA=π﹣=，连接BC1，∵BB1CC1是菱形，∴BC1⊥B1C，CD⊥平面A1B，B1D⊥AB，∴B 1C ⊥AB ， ∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∴B 1C ⊥C 1A ．（2）解：由题意及图，答：四棱锥B ﹣ACC 1A 1的体积为221．在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2008年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施：如果该公司今年有5位职工，计划从明年起每年新招5名职工．（1）若今年算第一年，将第n 年该公司付给职工工资总额y （万元）表示成年限n 的函数；（2）若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的p%，求p 的最小值． 【考点】8B ：数列的应用．【分析】（1）y=10n（1+10%）n +0.2n 2+1.8n ，n ∈N * （2）由0.2n 2+1.8n ≤10n ⋅1.1n ⋅p%，得p%≥，令a n =，由此能求出p 的最小值．【解答】解：（1）y=10n （1+10%）n +0.2n 2+1.8n ，n ∈N * （2）由0.2n 2+1.8n ≤10n ⋅1.1n ⋅p%， 得p%≥， 令a n =，由，得1≤n≤2，∴p%≥a1=a2=，∴p≥．22．已知函数f（x）=（|x|﹣b）2+c，函数g（x）=x+m．（1）当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数c的取值范围；（2）当c=﹣3，m=﹣2时，方程f（x）=g（x）有四个不同的解，求实数b的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）将b=2，m=﹣4代入函数解析式，根据f（x）≥g（x）恒成立将c 分离出来，研究不等式另一侧函数的最大值即可求出c的取值范围；（2）将c=﹣3，m=﹣2代入函数解析式得（|x|﹣b）2=x+1有四个不同的解，然后转化成（x﹣b）2=x+1（x≥0）有两个不同解以及（x+b）2=x+1（x＜0）也有两个不同解，最后根据根的分布建立关系式，求出b的取值范围．【解答】解：（1）∵当b=2，m=﹣4时，f（x）≥g（x）恒成立，∴c≥x﹣4﹣（|x|﹣2）2=，由二次函数的性质得c≥﹣．（2）（|x|﹣b）2﹣3=x﹣2，即（|x|﹣b）2=x+1有四个不同的解，∴（x﹣b）2=x+1（x≥0）有两个不同解以及（x+b）2=x+1（x＜0）也有两个不同解，由根的分布得b≥1且1＜b＜，∴1＜b＜．23．若给定椭圆C：ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x0，y0），则称直线l：ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”．（1）若N（x0，y0）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；（2）命题：“若点N（x0，y0）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；（3）若N（x0，y0）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ1+λ2是否为定值？说明理由．【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1），由根的差别式能得到l与椭圆C相切．（2）逆命题：若直线l：ax0x+by0y=1与椭圆C相交，则点N（x0，y0）在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得（aby02+a2x02）x2﹣2ax0x+1﹣by02=0．由△=4a2x02﹣4a（by02+ax02）（1﹣by02）＞0，能求出N（x0，y0）在椭圆C的外部．（3）此时l与椭圆相离，设M（x1，y1），A（x，y）则代入椭圆C：ax2+by2=1，利用M在l上，得（ax02+by02﹣1）λ12+ax12+by12﹣1=0．由此能求出λ1+λ2=0．【解答】解：（1）即ax2﹣2ax0x+ax02=0∴△=4a2x02﹣4a2x02=0∴l与椭圆C相切．（2）逆命题：若直线l：ax0x+by0y=1与椭圆C相交，则点N（x0，y0）在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得（aby02+a2x02）x2﹣2ax0x+1﹣by02=0则△=4a2x02﹣4a（by02+ax02）（1﹣by02）＞0∴ax02﹣by02+b2y04﹣ax02+abx02y02＞0∴by02+ax02＞1∴N（x0，y0）在椭圆C的外部．（3）同理可得此时l与椭圆相离，设M（x1，y1），A（x，y）则代入椭圆C：ax2+by2=1，利用M在l上，即ax0x1+by0y1=1，整理得（ax02+by02﹣1）λ12+ax12+by12﹣1=0同理得关于λ2的方程，类似．即λ1、λ2是（ax02+by02﹣1）λ2+ax12+by12﹣1=0的两根∴λ1+λ2=0．2017年7月7日。
上海市七宝中学2017-2018学年高三模拟考试理数试题 Word版含解析
上海市七宝中学2017-2018学年高三模拟考试理数试题一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分．）1.函数y =______________. 【答案】(0,1] 【解析】试题分析：由0log 5.0≥x 得10≤<x ，应填答案(0,1]. 考点：对数不等式的解法．2.已知{}2,M y y x x R ==∈，{}222,,N x x y x y R =+=∈，则M N =_____.【答案】⎢⎣【解析】试题分析：因02≥=x y ,而2222≤-=y x ,故22≤≤-x ,所以]2,0[=N M .考点：集合的交集运算．3.在41(1)(1)x x++的展开式中2x 项的系数为______________.【答案】10考点：二项式定理及通项公式的运用．4.已知地球的半径为R ，在北纬045东经030有一座城市A ，在北纬045西经060有一座城市B ，则坐飞机从城市A 飞到B 的最短距离是______________.（飞机的飞行高度忽略不计） 【答案】3R π【解析】试题分析：已知纬圆所在的纬度为045,则纬圆的半径为R 22,纬圆周的两点B A ,的弦长为R R AB =⋅=222,所以点B A ,所在的球的大圆面上弧所对的圆心角为3π,则大圆的弧长为R 3π.考点：球面距离及计算．【易错点晴】球面距离的定义是经过球心的大圆上的劣弧的长.解答本题的关键是求出经过B A ,大圆的圆心角AOB ∠,为此先求045纬圆上这两点B A ,连线段的长AB ,即纬圆上的弦长AB .求的长时借助纬度的概念,求出了球心与纬圆面之间的距离=d R 22与纬圆的半径相等.由经度的定义可知0190=∠B AO ,所以R R AB =⋅=222,这样AOB ∆就是等边三角形,所以点B A ,所在的球的大圆面上弧所对的圆心角为3π,则大圆的弧长为R 3π,即球面距离是R 3π.5.已知一随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差D ξ=______________.【答案】11 【解析】试题分析：因为3)840(41)(,20)64160(41)(2=++==++=x E x E ,所以11920)()(22=-=-=x E x E D ξ.考点：数学期望和方差的计算． 6.在极坐标系中，点(2,),(2,)2A B ππ，C 为曲线2cos ρθ=的对称中心，则三角形ABC 面积等于________. 【答案】3 【解析】试题分析：将点B A ,化为直角坐标为)2,0(),0,2(B A -,极坐标方程化为直角坐标为0222=-+x y x ,所以圆心为)0,1(C ,所以ABC ∆的面积为32321=⨯⨯=S . 考点：极坐标方程及运用．7.高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是______________.（结果用最简分数表示） 【答案】3135【解析】试题分析：从7名学生中选3名的种数为3512356737=⨯⨯⨯⨯=C ,其中无女生的种数为41434==C C ,所以至少含有一个女生的概率为35313541=-=P . 考点：古典概型的计算公式及排列数组合数公式的运用．8.在复数范围内，若方程22012690x x ++=的一个根为α，则α=______________.考点：复数的模及计算．9.将()f x =sin cos xx 的图象按(,0)(0)n a a =->平移，所得图象对应的函数为偶函数，则a 的最小值为______________. 【答案】56π 【解析】试题分析：因为()f x =sin cos xx )6cos(sin cos 3π+=-=x x x ,所以按向量平移后所得的函数为)6cos()(π++=a x x g ,由题设可得1)60cos()0(±=++=πa g ,即ππk a =+6,也即6ππ-=k a ,所以a 的最小值为56π.考点：行列式的计算及三角函数的图象和性质．10.已知()y f x =是定义在R 上的增函数，且()y f x =的图象关于点(6,0)对称，若实数,x y满足不等式22(6)(836)0f x x f y y -+-+≤，则22x y +的取值范围是______________. 【答案】[16,36]考点：函数的单调性和圆的方程的等知识的综合运用．11.函数()f x 对任意12,[,]x x m n ∈都有1212()()f x f x x x -≤-，则称()f x 为在区间[,]m n 上的可控函数，区间[,]m n 称为函数()f x 的“可控”区间，写出函数2()21f x x x =++的一个“可控”区间 是________. 【答案】1[,0]2-的子集都可以 【解析】试题分析：因为)](1)(2[)()(212121x x x x x f x f -++=-,由可控函数的定义可得1|1)(2|21≤++x x ,即0121≤+≤-x x ,所以区间[,]m n 应为]0,21[-的一个子区间.考点：定义新概念和综合运用所学知识．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是不等式的有关知识及推理判断的能力.结论的开放性和不确定性是本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,合理有效地利用好可控函数及可控区间等新信息和新定义,并以此为基础进行推理论证,从而写出满足题设条件的答案.解答本题时,借助绝对值不等式的性质进行巧妙推证,从而探寻出符合题设条件的一可控区间的区间.12.椭圆22221(0)43x y a a b+=>的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点,A B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是______________.【答案】acb S 23=考点：椭圆的定义和几何性质．13.用符号(]x 表示小于x 的最大整数，如(]3,( 1.2]2π=-=-，有下列命题：①若函数()(],f x x x x R =-∈，则()f x 的值域为[1,0)-；②若(1,4)x ∈，则方程1(]5x x -=有三个根；③若数列{}n a 是等差数列，则数列{}(]n a 也是等差数列；④若57,{,3,}32x y ∈，则(](]2x y∙=的概率为29P =. 则下列正确命题的序号是______________. 【答案】①②④ 【解析】试题分析：由定义0](1<-≤-x x ,所以其值域为[1,0)-,故①正确；由于5.0](=-x x ,因此可求得2.3,2.2,2.1=x ,所以②正确；对于③,如取数列7.4,9.2,1.1成等差数列,但4]7.4(,2]9.2(,1]1.1(===不成等差数列；对于④很容易验证是正确的.故应填①②④.考点：函数的性质及分析问题解决问题的能力．【易错点晴】本题以符号函数为背景，考查的是函数与方程、等差数列和等比数列、概率等许多有关知识和运算求解及推理判断的能力.定义新概念运用新信息是解答本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,对题设中提供的几个命题进行分析推断最后作出真假命题的判断.对于命题,举出一个反例,进行了推断从而说明它是假命题.运用反例是否定一个命题是真命题的有效方式和方法.14.设()cos 2()cxf x ax bx x R =++∈，,,a b c R ∈且为常数，若存在一公差大于0的等差数列{}n x（*n N ∈），使得{()}n f x 为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组,,a b c 的值【答案】0,0,0a b c ≠=>（答案不唯一，一组即可） 【解析】试题分析：由题设可取1,0,1===c b a ,此时x x x f 2cos )(+=,存在数列25,23,2πππ,满足题设,应填答案1,0,1===c b a .考点：函数与等差等比数列以及分析探究的能力．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是等差数列和等比数列的有关知识及推理判断的能力.开放性是本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,想方设法构造出一个满足题设条件的数列.由于本题是一道结论开放型的问题,因此它的答案是不唯一的,所以在求解时只要求出一组符合题目要求的数据即可.如本题的解答时取1,0,1===c b a ,函数xx x f 2cos )(+=,取数列}25,23,2{πππ,则253322)25(,2)23(,2)2(ππππππ===f f f 成等比数列,故答案应填1,0,1===c b a . 二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）15.若直线l 的一个法向量(3,1)n =，则直线l 的一个方向向量d 和倾斜角α分别为（ ） A ．(1,3);arctan3d α== B ．(1,3);arctan(3)d α=-=- C ．(1,3);arctan3d απ==- D ．(1,3);arctan3d απ=-=- 【答案】D 【解析】试题分析：由题设可知直线l 的一个方向向量是)3,1(-=,其斜率3-=k ,即3tan -=α,故3arctan -=πα,应选D.考点：直线的法向量和反正切函数．16.在ABC ∆中，“cos cos cos 0A B C ∙∙<”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A试题分析：由题设条件可知C B A cos ,cos ,cos 中必有一个是负数,即三个内角中必有一个是钝角,所以是钝角三角形,是充分条件;反之,若三角形是钝角三角形,则C B A cos ,cos ,cos 的积必为负数,即是必要条件,应选答案A. 考点：解三角形．【易错点晴】本题以解三角形的问题的形式为背景，考查的是充分必要条件的有关知识及推理判断的能力. 解答好本题的关键是搞清楚钝角三角形的概念是什么?其外延是什么?其实钝角三角形的概念是有一个内角是钝角即可了.解答这个问题的过程中常常会出现三个内角都是钝角的错误,将锐角三角形的概念和钝角三角形的概念混淆在一起,从而误判得出不正确的答案.17.定义域是一切实数的函数()y f x =，其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—半随函数”.有下列关于“λ—半随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—半随函数”；② “12—半随函数”至少有一个零点；③2()f x x =是一个“λ—半随函数”；其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 【答案】A考点：函数及新定义的概念的灵活运用．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是函数的零点等有关知识及推理判断的能力. 命题的真假的判断及分析求解的能力是解答好本题的关键,本题给出的三个命题的真假的判断成为解答这道试题的重中之重.对于命题①,实数λ的取值是不唯一的,因此该命题是假命题；对于命题②,运用定义可得结论,显然这个方程0)(21)21(=-=+x f x f 的解是不唯一的,所以是真命题；对于命题③找不到实数λ满足题设,因此是假命题整个求解过程充满了推理和判断.18.已知数据123,,,,n x x x x 是上海普通职工n （3n ≥，*n N ∈）个人的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变；B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大；C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变；D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变. 【答案】B 【解析】试题分析：由题设可知选择支中的A,C,D 都是不正确的，所以应选B. 考点：中位数平均数方差等概念的理解和计算．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.（本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，090BAC ∠=，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于060， 设1AA a =. （1）求a 的值；（2）求直线11B C 到平面1A BC 的距离.【答案】(1)1；(2)3． 【解析】试题分析：(1)运用平几的勾股定理等知识求解；(2)运用等积法求解. 试题解析：（1）∵11//BC B C ，∴1A BC ∠就是异面直线1A B 与11B C 所成的角，即0160A BC ∠=,又连接1AC ，AB AC =，则11A B AC = ∴1A BC ∆为等边三角形，由1AB AC ==，090BAC ∠=BC ⇒=∴11A B a =⇒==.（2）易知11//B C 平面1A BC ，又D 是11B C 上的任意一点，所以点D 到平面1A BC 的距离等于点1B 到平面1A BC 的距离. 设其为d ，连接1B C ，则由三棱锥11B A BC -的体积等于三棱锥11C A B B -的体积，求d ，11A B B ∆的面积12S =，1A BC ∆的面积'242S ==，又1CA A A ⊥，CA AB ⊥，∴CA ⊥平面11A B C ，所以'11333S AC S d d ∙∙=∙∙⇒=，即11B C 到平面1A BC 的距离等于3. 考点：空间的直线与平面的位置关系及几何体的体积公式．【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一,也是上海市历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与直线所成角的计算问题和直线与平面的距离的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件中异面直线所成角的概念,通过解直角三角形而获解.关于第二问中直线与平面之间的距离问题,解答时巧妙运用转化的思想,将其转化为三棱锥的高的问题来处理,使得问题的求解过程简捷明快.20.（本小题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）某海域有,A B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发出过鱼群。
2017届上海市七宝中学高三5月模拟理科数学试题及答案
七宝中学高三数学模拟试题（理科）一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．１．为虚数单位，复数的虚部是＿＿＿＿．2．设函数若函数存在两个零点，则实数的取值范围是＿＿．3．在极坐标系中，为曲线上的点，为曲线上的点，则线段长度的最小值是＿＿．4.阅读如右图所示的程序框图，如果输入的的值为6，那么运行相应程序，输出的的值为＿＿．5．若，则方程的解为＿＿＿＿．6．已知正方形的四个顶点分别为，，，，点分别在线段上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是＿＿＿．7．年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，-1代表“生活不能自理”.按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位.则被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率是_____（用分数作答）.8．已知数列{}的通项公式为，则+++的最简表达式为_____.9 ．平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是_________________.10．祖暅原理对平面图形也成立，即夹在两条平行线间的两个平面图形被任意一条平行于这两条直线的直线截得的线段总相等，则这两个平面图形面积相等.利用这个结论解答问题：函数、与直线所围成的图形的面积为_______.11．对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n －2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2017!!)·(2017!!)=2017!；②2017!!=21007·1007!；③2017!!的个位数是0；④2017!!的个位数不是5．正确的命题是________．12．已知关于t的一元二次方程.当方程有实根时，则t的取值范围______.13．已知是内部一点，，记、、的面积分别为、、，则________.14. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：与：，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，则称与互为正交点列.则：的正交点列为二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．15．已知集合，则集合的非空真子集数为（）（A）14 （B） 512 （C）511 （D）510 16．已知函数.若存在，使成立，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有（）（Ａ） 1个（Ｂ）2个（Ｃ）3个（Ｄ）4个17. 如图，梯形中，,,, ,将沿对角线折起．设折起后点的位置为，使二面角为直二面角.给出下面四个命题：①；②三棱锥的体积为；③平面；④平面平面.其中正确命题的序号是（）（A）①②（B）③④（C）①③（D）②④18．已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）三、解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19．（本题12分）圆形广场的有南北两个大门在中轴线上，东、西各有一栋建筑物与北门的距离分别为30米和40米，且以北门为顶点（视大门和建筑物为点）的角为，求广场的直径（保留两位小数）.20．（本题14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为.（1）求球的体积和表面积；（2）与底面距离为1的平面和球的截面圆为，是圆内的一条弦，其长为，求两点间的球面距离.21．（本题14分）本题共有3小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.如图，设椭圆两顶点，短轴长为4，焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点．设直线与直线交于点.（1）求椭圆的方程；（2）求线段中点的轨迹方程；（3）求证：点的横坐标为定值.22．（本题16分）本题共有3小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.数列满足,且，是的前和.（1）求；（2）求；（3）求.23．（本题18分）本题共有3小题，第1小题满分4 分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数，为常数，且.（1）证明函数的图象关于直线对称；（2）当时，讨论方程解的个数；（3）若满足，但，则称为函数的二阶周期点，则是否有两个二阶周期点，说明理由.七宝中学５月高三数学模拟试题（理科）理科答案1、；2、；3、2；4、5；5、或；6、；7、3/5；8、；9、直线；10、1；11、①②③；12、；13、1：2：3；14、 DBBA 19．设南、北门分别为点A、B，东、西建筑物分别为点C、D.在中，，. 5分由于为的外接圆直径，所以.所以广场直径约为41.63米. 12分20．（1），…… 3分…… 6分（2），…… 12分所以AB两点间的球面距离为. …… 14分21．（1）椭圆方程为. …… 3分（2）设，，，则①，②①②得，…… 5分因，所以，即（）. ……8分用代入法求解酌情给分。
【上海中学年】2017学年高考模拟数学年试题(二)
上海中学2017年高考模拟数学试卷（二）答 案一、选择题： 1~4．BAAC 二、填空题： 5． 6．16 7．②③8．，（） 9． 10．711．12．13． 14． 15． 16三、解答题：17．解：（Ⅰ）∵侧棱与底面相邻两边、都成角，∴三棱柱的三个侧面中，四边形和是有一个角是45︒，相邻两边长分别为，的平行四边形，第三个侧面是边长分别为，的矩形．∴（Ⅱ）过作垂直于底面，交底面于点，作，交于点，连接，由题意，则，，∴， ∴ 11(1,)(,2)22-⋃1log3x y -=13x ≤＜3p≤322i±21222n rn r n r C ----⨯b c a+-32(⋃AA 'AB AC 45ABBA ACCA a b a b 2sin 451)S ab ab ab =+=侧1A 1A O ABC ABC O 1A D AB ⊥AB D DO AD =1A D =AO =1A O =21124V a b ==18．解：（Ⅰ）由得， 即；整理得 解得（舍）或60C =︒ 因为，60C =︒（Ⅱ）因为由正弦定理和余弦定理可得，，， 代入上式得 又因为，故所以19．解：（Ⅰ）设（，），又，且为实数，∴，解得． ∴， ∵为实数，∴，解得． ∴42z i =-．（Ⅱ）∵复数，∴，解得．即实数的取值范围是．20．解：（1）由已知，且，解得，， ∴函数的解析式是；（2）在（1）的条件下，，即在区间上恒成立，由于函数在区间上是减函数，且其最小值为1， ∴的取值范围为；0m n =222cos 2sin ()02CA B -+=21cos 2(1cos )0C C +--=22cos cos 10C C +-=cos 1C =-0πC ＜＜sin()sin cos sin cos A B A B B A -=-sinA 2a R =sin 2bB R =222cos 2a c b B ac +-=222cos 2b c a A bc +-=222222222()sin()22224a a c b b b c a a b A B R ac R bc cR+-+---=-=22212a b c -=21sin()sin 442c c A B C cR R -====sin()A B -=z x yi =+x y ∈R 2(2)z i x y i +=++20y +=2y =-2(2)(2)(22)(4)22(2)(2)5z x i x i i x x i i i i i --+++-===---+2zi -405x -=4x =2222()[4(2)i]16(2)8(2)(124)(816)z ai a a a i a a a i +=+-=--+-=+-+-212408160a a a ⎧+-⎨-⎩＞＞26a ＜＜a 2,6（）10a b -+=12ba-=-1a =2b =()f x 2()21f x x x =++()f x x k +＞21k x x ++＜[3,1]--21y x x =++[3,1]--k (,1)-∞（3）∵是偶函数，∴，∴，由知、异号，不妨设，则，又由得， ， 得，又，得，∴的值为正． 21．解：（1）∵，（其中为正实常数）， ∴∴当时 即，∴ （2）∵，且对任意的正整数，均有 ∴∴关于是一个单调递减的函数，最大值为． 22．解：（1）设，则过的圆的切线方程为，代入，得由即 整理可得∴∵ ∴ （当且仅当∴()f x 0b =2()1f x ax =+0mn ＜m n 0m ＞0n ＜0m n +＞0m n -＞＞2222()F()()()1(1)()F m n f m f n am an a m n +=-=+-+=-0m n -＞＞22m n ＞0a ＞()()0F m F n +＞()()F m F n +n n n n S k a kS k a k+-=-+k (2)n n S a n =-≥2n ≥11n n n n n a S S a a --=-=-+112n n a a -=212a =-11(),221,1n n n a n -⎧-⎪=⎨⎪=⎩≥()n n n n S k a k f n k S k a k+-=+-+11111(1)n n n n n n n n n n S k a k S a k a q kf n k k S k a k S a k a q k++++++-++-+=+=+-++-+10a ＞01q ＜＜n 0n S k -＞11(1)()0n n n n n n n n n n S a k a q k S k a kf n f n k k S a k a q k S k a k++++-+-+-=+-++-+-+＜()f n n 1111a k a kk a k a k+-+-+00(,)A x y A 200x x y y r +=22221x y a b+=2222242222002220002()0a x a r x a r b x x a b y y y +-+-==0△2222242222002220002()4()()a r x a x a r b a b y y y =+-2222222002)()a b x x y y a b r r-+-=+--（()f x =b x a ＜＜22222a b x ab x +=≥()f x a b -x =()f x =b x a ＜＜的最大值为()f x a b上海中学2017年高考模拟数学试卷（二）解 析一、选择题：1．B 根据复数的几何意义可知圆为以原点为圆心、2为半径的圆，设对应的点为，把整理出最简形式，根据复数是一个纯虚数，得到复数的实部等于0，虚部不等于0，据此可知点轨迹．解：由可知圆为以原点为圆心、2为半径的圆，设对应的点为，则， ∵是纯虚数， ∴，且，∴点的轨迹为以原点为圆心、1为半径的圆，除掉点， ∴复数的对应点必在圆内部， 故选B ．2．A 由关系式得到的数列满足，根据点与直线之间的位置关系，我们不难得到，的图象在上方．逐一分析不难得到正确的答案．解：由知：的图象在上方． 故选：A ．3．A 我们先论证命题：，是整数成立时，命题：有且仅有整数解是否成立，即命题命题的真假，再论证命题：有且仅有整数解时，命题：，是整数成立时是否成立，即判断命题命题的真假，然后根据弃要条件的定义易得到答案．解：，是整数时，不一定有整数解， 即命题命题为假命题，若有且仅有整数解，由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）我们易判断，是整数．即命题命题为真命题， 故是的充分不必要条件 故选：A ．4．C 根据题设，用一张正方形的包装纸将其完全包住，近似于将正四棱锥的表面展开图重新折回．因此，首先要将四棱锥的四个侧面沿底面展开，观察展开的图形易得出包装纸的对角线处在什么位置是，包装纸面积最小，进而获得问题的解答．C 1z (x,y)1111z z -+P ||2z =C 1z (,)x y 2212211(1)[(1)][(1)]12=1(1)[(1)][(1)](1)z x yi x yi x yi x y yiz x yi x yi x yi x y --+-++-+-+==++++++-++1111(1)1z z z -≠-+2210x y +-=0y ≠P (1,0)±1z P 1()n n a f a +={}n a 1n n a a +＞*n ∈N ()f x y x =1()n n n a f a a +=＞()f x y x =q a b p 20x ax b ++=p ⇒p p 20x ax b ++=q a b p ⇒q a b 20x ax b ++=p ⇒q 20x ax b ++=a b p ⇒q p q解：将正四棱锥沿底面将侧面都展开如图所示：当以为正方形的对角线时，所需正方形的包装纸的面积最小，此时边长最小． 设此时的正方形边长为则：， 又因为， ∴， 解得：． 二、填空题：5．由椭圆的标准方程可以确定的范围．∵表示椭圆， ∴， ∴或． 6．根据的展开式中二项式系数之和为512，，得到，求出了的值，求出二项展开式的通项，令的指数为3求出的值代入通项求出展开式中的系数，解出字母的值，得到结果．解：因为的展开式中二项式系数之和为512， 所以 解得 所以的展开式的通项为令得 所以展开式中的系数为 所以所以7．利用二倍角公式，和角的三角函数公式分别化简，再利用周期公式可求．解：对于①，∴； PP 'x 22()2PP x '=()2PP a a '=+=22()2a x=x =a 22121x y a a +=-+201021a a a a -⎧⎪+⎨⎪-≠+⎩＞＞112a -＜＜122a ＜＜na x（2512n =n x r 3xa na x（2512n =9n=9a x（399219(r rrr r T aC x--+=3932r-=8r =3x 916a 9916a =16a =cos 2πy x =2π12πT ==对于②，∴； 对于③； 对于④，∴． 8．本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；将看做方程解出，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可，注意原函数的定义域为．解：由解得 ∵，∴∴函数（）的反函数是（） 故答案为：，（）9．由题意，由，可得，再由，，分，两类解出参数的取值范围即可得到答案解：由，可得又， 若，即得，显然符合题意若，即有得，时，有解得，故有综上知，实数的取值范围是10．取的中点，由题意可得，，或，由余弦定理，运算求得结果．解：取的中点，则由、分别是三棱锥的棱、的中点，，，与PC 所成的角为可得，，或．中，当时，由余弦定理可得，当时，．11．设，，求得、以及，再根据条件求得的值，可得的值，再利用复数三角形式的运算法则求得的值．ππ)4y x =+2π1πT ==π2π2T =1sin 2π2y x =2π12πT ==13x y +=x 0x x -＜≤13x y +=1log3x x =-+10x -≤＜13x ≤＜13x y +=0x x -＜≤1log3x y =-+13x ≤＜1log3x y -=13x ≤＜A B ⋃B A ⊆{|25}A x x =-＜＜{|121}B x p x p =+-＜＜B =∅B ≠∅p A B A ⋃=B A ⊆{|25}A x x =-＜＜{|121}B x p x p =+-＜＜B =∅121p p +-≥2p ≤B ≠∅121p p +-＜2p ＞12215p p +-⎧⎨-⎩≥≤33p -≤≤23p ＜≤p 3p ≤PB H 3EH =5HF =60EHF ∠=120EF =PB H E F P ABC -AP BC 10PC =6AB =AB 603EH =5HF =60EHF ∠=120EHF △60EHF ∠=EF120EHF ∠=7EF 15(cos sin )z i αα=+22(cos sin )z i ββ=+1z 2z 12z z -cos()αβ+sin()αβ+12z z解：由题意得，可设，，， ，．再由，化简可得．再由同角三角函数的基本关系可得．故12．根据题意，一共抽了根，这么多次抽取动作中，有次都是操作在A 盒上，次操作在B 盒上，且最后一次一定操作在A 盒所有的抽法共有种，用完一盒时另一盒还有根的抽法有 种由古典概型的概率公式求出概率．解：根据题意，一共抽了根，这么多次抽取动作中，有次都是操作在A 盒上次操作在B 盒上，且最后一次一定操作在A 盒 所以，所有的抽法共有种，用完一盒时另一盒还有根的抽法有种由古典概型的概率公式得他发现用完一盒时另一盒还有根（）的概率为13．先画图，理解题意，再根据向量的加法法则和减法法则，将所表示向量用已知向量表示，即可得到结论．解： 故答案为：14．先作出的图象斜率为1，在曲线上方的直线部分为不等式的解集，利用图象，即可求的最小值．解：先作出的图象斜率为1，在曲线上方的直线部分为不等式的解集 ∵解集为（取不到等号） ∴只能是过点斜率为1的直线 把点的坐标代入得再将与（舍）或15(cos sin )z i αα=+22(cos sin )z i ββ=+15[cos isin ]5[cos()sin()]z i αααα=-=-+-22(cos sin )2[cos()sin()]z i i ββββ=-=-+-12(5cos 2cos )(5sin 2sin )z z i αβαβ-=-++12||z z -23(5cos 2cos )(5sin 2sin )13αβαβ-++=4cos(0=5αβ+3sin()5αβ+=±125[cos()sin()]555433[cos()][cos()sin()]=[]22(cos sin )222552z i i i i z i αααβαβαβββ-+-==⨯--=⨯+-+⨯±=±+2n r -n n r -22n r -r 212n rn r C ---2n r -n n r -22n r -r 212n rn r C ---r 1r n ≤≤21222n rn r n r C ----⨯1111BD BD DD BD CC BD AC AC b c a =+=+=+-=+-b c a +-y y x a =+m y =y x a =+x m ＞A A y x a =+0.5a =0.5y x =+y 0.5x =- 1.5即求出了交点由数形结合可知最小值为．15．先设点的坐标为，然后由点到、轴的距离之比为2得一元一次方程，再由点到点、距离之差为，满足双曲线定义，则得其标准方程，最后处理方程组通过求得的取值范围．解：设点的坐标为，依题设得，即， 因此，点、、三点不共线，得 ∵ ∴因此，点在以、为焦点，实轴长为的双曲线上，故将代入，并解得，因为，所以， 解得即的取值范围为． 16．先判断出椭圆（为参数）表示中心在直线上，长轴长和短轴长分别为4，2的一族椭圆，判断出符和条件的直线需要与直线平行，设出直线方程，先利用一个特殊的椭圆与直线方程联立求出直线的方程，在证明对于所以的椭圆都满足条件．解：椭圆（为参数）可化为 ，(1.5,2)C m 32P (,y)x P x y P (1,0)-(1,0)2m 2x m P (,)x y ||2||y x =2y x =±0x ≠(,)P x y (1,0)M -(1,0)N ||||||||2PM PN MN -=＜||||||2||0PM PN m -=＞0||1m ＜＜P M N 2||m 222211x y m m -=-2y =±222211x y m m -=-2222(1)015m m x m -=-≥210m -＞2150m -＞0||m ＜m (⋃222484840x y kx ky k +--+-=k 2y x =2y x =222484840x y kx ky k +--+-=k所以表示中心在直线上，长轴长和短轴长分别为4，2的一组椭圆， 而所求的直线与这组椭圆种的任意椭圆都相交，若所求的直线与直线不平行，则必定存在椭圆与直线l 不相交， 于是，设所求直线的方程为与椭圆由得得即解得设直线与圆（为参数），相交所得的弦长为d ，则由得 所以所以直线与椭圆（同理可证，对任意，椭圆（为参数）与直线相交所得弦三、解答题：17．解：（Ⅰ）先判断斜三棱柱的三个侧面的形状，分别求出面积再相加，即为斜三棱柱的侧面积．∵侧棱与底面相邻两边、都成角，∴三棱柱的三个侧面中，四边形和是有一个角是，相邻两边长分别为，的平行四边形，第三个侧面是边长分别为，的矩形．∴（Ⅱ）斜三棱柱的体积等于底面积乘高，因为底面三角形是边长为的正三角形，面积易求，所以只需求出高即可，利用所给线线角的大小即可求出．222484840x y kx ky k +--+-=2y x =l 2y x =2y x b =+2y x b =+2214y x +=22214y x b y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩228440x by b ++-=21212[()4]55x x x x +-=2244()41]88b b ---⨯=2b =±22y x =+222484840x y kx ky k +--+-=k 22248484022x y kx ky k y x ⎧+--+-=⎨=+⎩228(816)880x k x k k +-+-=22221212[()4]55[(21)4(8)]5d x x x x k k k =+-=---=22y x =+222484840x y kx ky k +--+-=k k ∈R 222484840x y kx ky k +--+-=k 22y x =-ABC A B C '''-AA 'AB AC 45ABBA ACCA 45a b a b 2sin 451)S ab ab ab =+=侧a过作垂直于底面，交底面于点，作，交于点，连接，由题意，则 ，，∴， ∴ 18．（Ⅰ）先根据两向量互相垂直等价于二者的数量积等于0，可得到关于的方程，进而得到答案．解：由得， 即；整理得解得（舍）或因为，（Ⅱ）先表示出的表达式，再由正弦和余弦定理将角的关系转化为边的关系后代入即得答案．解：因为由正弦定理和余弦定理可得，，，代入上式得又因为，故所以． 19．（Ⅰ）利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件即可得出．解：设（，），又，且为实数，∴，解得．∴，∵为实数，∴，解得．（Ⅱ）利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解：∵复数，1A 1A O ABC ABC O 1A D AB ⊥AB DDO AD=1A D=AO=1A O=21124V a b ==cos C 0m n =222cos 2sin ()02C A B -+=21cos 2(1cos )0C C +--=22cos cos 10C C +-=cos 1C =-60C =0πC ＜＜60C =sin()A B -sin()sin cos sin cos A B A B B A -=-sinA 2a R =sin 2b B R =222cos 2a c b B ac +-=222cos 2b c a A bc +-=222222222()sin()22224a a c b b b c a a b A BR ac R bc cR +-+---=-=22212a b c-=21sin()sin 442c c A B C cR R -====sin()A B -=z x yi =+x y ∈R 2(2)z i x y i +=++20y +=2y =-2(2)(2)(22)(4)22(2)(2)5z x i x i i x x i i i i i --+++-===---+2z i -405x -=4x =2222()[4(2)i]16(2)8(2)(124)(816)z ai a a a i a a a i +=+-=--+-=+-+-∴，解得．即实数的取值范围是．20．（1）由已知，且，解二者联立的方程求出，的值即可得到函数的解析式． 解：由已知，且，解得，， ∴函数的解析式是；（2）将，在区间上恒成立，转化成在区间上恒成立，问题变为求在区间上的最小值问题，求出其最小值，令小于其最小值即可解出所求的范围．解：在（1）的条件下，，即在区间上恒成立， 由于函数在区间上是减函数，且其最小值为1， ∴的取值范围为；（3）是偶函数，可得，求得，由，，可得、异号，设，则，故可得，代入，化简成关于，的代数式，由上述条件判断其符号即可．解：∵是偶函数，∴，∴， 由知、异号，不妨设，则，又由得， ， 得，又，得， ∴的值为正．21．（1）先根据，（其中为正实常数），求出，然后利用进行求解，注意验证首项；解：∵，（其中为正实常数）， ∴∴当时即， ∴212408160a a a ⎧+-⎨-⎩＞＞26a ＜＜a 2,6（）10a b -+=12b a -=-a b 10a b -+=12b a-=-1a =2b =()f x 2()21f x x x =++()f x x k +＞[3,1]--21k x x ++＜[3,1]--21x x ++[3,1]--k ()f x x k +＞21k x x ++＜[3,1]--21y x x =++[3,1]--k (,1)-∞()f x 0b =2()1f x ax =+0mn ＜0m n +＞m n 0m ＞0n ＜0m n -＞＞()()F m F n +m n ()f x 0b =2()1f x ax =+0mn ＜m n 0m ＞0n ＜0m n +＞0m n -＞＞2222()F()()()1(1)()F m n f m f n am an a m n +=-=+-+=-0m n -＞＞22m n ＞0a ＞()()0F m F n +＞()()F m F n +n n n n S k a k S k a k+-=-+k (2)n n S a n =-≥1n n n a S S -=-n n n n S k a k S k a k+-=-+k (2)n n S a n =-≥2n ≥11n n n n n a S S a a --=-=-+112n n a a -=212a =-11(),221,1n n n a n -⎧-⎪=⎨⎪=⎩≥（2）先求出，然后根据条件判定的符号，从而确定的单调性，从而求出最大值．解： ∵，且对任意的正整数，均有∴ ∴关于是一个单调递减的函数，最大值为． 22．先设，则过的圆的切线方程为，将其与椭圆方程联立，得一一元二次方程，由，整理后即可得，求最大值时使用均值定理，注意等号成立的条件．解：设，则过的圆的切线方程为，代入，得 由即 整理可得 ∴∵ ∴（当且仅当∴的最大值为(1)f n +(1)()f n f n +-()f n ()n n n n S k a k f n k S k a k +-=+-+11111(1)n n n n nn n n n n S k a k S a k a q k f n k k S k a k S a k a q k++++++-++-+=+=+-++-+10a ＞01q ＜＜n 0n S k -＞11(1)()0n n n n n n n n n n S a k a q k S k a k f n f n k k S a k a q k S k a k ++++-+-+-=+-++-+-+＜()f n n 1111a k a k k a k a k+-+-+00(,)A x y A 200x x y y r +==0△||()AB f r =()f x 00(,)A x y A 200x x y y r +=22221x y a b +=2222242222002220002()0a x a r x a r b x x a b y y y +-+-==0△2222242222002220002()4()()a r x a x a r b a b y y y =+-2222222002)()a b x x y y a b r r -+-=+--（()f x =b x a ＜＜22222a b x ab x +=≥()f x a b -x =()f x =b x a ＜＜()f x a b -。
2017届上海市闵行区七宝中学高三下学期开学数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高三（下）开学数学试卷一.填空题1．不等式的解集是 ．2．已知直线l 1： x ﹣y +2=0，l 2：3x +y ﹣5=0，则直线l 1与l 2的夹角是 ．3．函数f （x ）=的最大值是 ．4．i 为虚数单位，z=对应的点在第二象限，则θ是第 象限的角．5．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ． 6．从二项式（1+x ）11的展开式中取一项，系数为奇数的概率是 ．7．命题“对任意，tanx ＜m 恒成立”是假命题，则实数m 取值范围是 ．8．函数f （x ）=log a （x 2﹣4x +3）（a ＞0，a ≠1）在x ∈[m ，+∞）上存在反函数，则m 的取值范围是 ．9．若平面向量满足，，则的取值范围为 ．10．已知数列{a n }，a 1=1，，n ∈N *，则= ．11．已知函数f （x ）=x +（a ＞0），若对任意的m 、n 、，长为f （m ）、f （n ）、f（p ）的三条线段均可以构成三角形，则正实数a 的取值范围是 ．12．已知数列{a n }满足：对任意的n ∈N *均有a n +1=ka n +2k ﹣2，其中k 为不等于0与1的常数，若a i ∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2、3、4、5，则满足条件的a 1所有可能值的和为 ． 二.选择题13．已知实数m 、n ，则“mn ＞0”是“方程mx 2+ny 2=1代表的曲线是椭圆”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14．将半径为R 的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器（不计损耗），则其容积为（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知数列{a n }通项公式为a n =，其前m 项和为，则双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x16．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2016＞0 B．若a4＞0，则a2017＞0C．若a3＞0，则S2017＞0 D．若a4＞0，则S2016＞0三.解答题17．如图，用一平面去截球O，所得截面面积为16π，球心O到截面的距离为3，O1为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径；（1）计算球O的表面积和体积；（2）若C是截面小圆上一点，∠ABC=30°，M、N分别是线段AO1和OO1的中点，求异面直线AC与MN所成的角；（结果用反三角表示）18．△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，cosA=，tan，c=21；（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．19．已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，a∈R；（1）若函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=bx+5﹣2b，b∈R，当a=3时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x1）=f（x2），求b的取值范围．20．已知抛物线Γ：y2=2px上一点M（3，m）到焦点的距离为4，动直线y=kx（k≠0）交抛物线Γ于坐标原点O和点A，交抛物线Γ的准线于点B，若动点P满足，动点P的轨迹C的方程为F（x，y）=0；（1）求出抛物线Γ的标准方程；（2）求动点P的轨迹方程F（x，y）=0；（不用指明范围）（3）以下给出曲线C的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性；②图形范围；③渐近线；④y＞0时，写出由F（x，y）=0确定的函数y=f（x）的单调区间，不需证明．21．已知无穷数列{a n}，满足a n+2=|a n+1﹣a n|，n∈N*；（1）若a1=1，a2=2，求数列前10项和；（2）若a1=1，a2=x，x∈Z，且数列{a n}前2017项中有100项是0，求x的可能值；（3）求证：在数列{a n}中，存在k∈N*，使得0≤a k＜1．2016-2017学年上海市闵行区七宝中学高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．不等式的解集是{x|0＜x＜1} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】将不等式＞1移项后通分，即可求得不等式的解集．【解答】解：∵＞1，∴﹣1=＞0，∴＞0，∴0＜x＜1．∴不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．2．已知直线l1：x﹣y+2=0，l2：3x+y﹣5=0，则直线l1与l2的夹角是．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】先根据直线的斜率求出直线的倾斜角，再利用两条直线的倾斜角的大小求出这两条直线的夹角．【解答】解：因为直线l1的斜率为，故倾斜角为60°，直线l2的斜率为﹣，倾斜角为120°，故两直线的夹角为60°，即两直线的夹角为，故答案为．3．函数f（x）=的最大值是5．【考点】三角函数的最值．【分析】f（x）==3sinx+4cosx=5sin（x+θ），即可得出结论．【解答】解：f（x）==3sinx+4cosx=5sin（x+θ），∴函数f（x）=的最大值是5，故答案为5．4．i为虚数单位，z=对应的点在第二象限，则θ是第一、三象限的角．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用共轭复数的意义可得z==c os2θ+isin2θ对应的点在第二象限，可得cos2θ＜0，sin2θ＞0，解出θ即可得出结论．【解答】解：z===cos2θ+isin2θ对应的点在第二象限，∴cos2θ＜0，sin2θ＞0，∴＜2θ＜2kπ+π，k∈Z．解得kπ+＜θ＜kπ+，k∈Z．k=2n（n∈Z）时，2nπ+＜θ＜2nπ+，θ为第一象限角．k=2n﹣1（n∈Z）时，2nπ﹣＜θ＜2nπ﹣，θ为第三象限角．综上可得：θ是第一、三象限的角．故答案为：一、三．5．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是0.1．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴该组数据的方差：S2= [（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案为：0.1．6．从二项式（1+x）11的展开式中取一项，系数为奇数的概率是．【考点】二项式系数的性质．=x r，（r=0，1，2，…，11）．其中r=0，1，【分析】二项式（1+x）11的展开式中通项公式T r+12，3，8，9，10，11，为奇数．即可得出．=x r，（r=0，1，2，…，11）．【解答】解：二项式（1+x）11的展开式中通项公式T r+1其中r=0，1，2，3，8，9，10，11，为奇数．∴系数为奇数的概率==．故答案为：．7．命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题，则实数m取值范围是（﹣∞，1] ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由x的范围求出tanx的范围，再由tanx＜m恒成立求出m的范围，结合补集思想求得命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题的m的取值范围．【解答】解：当时，tanx∈[0，1]，若tanx＜m恒成立，则m＞1．∵命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题，∴m≤1．∴实数m取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．8．函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）上存在反函数，则m的取值范围是（3，+∞）．【考点】反函数．【分析】由反函数性质得函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）单调，由此能求出m的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）上存在反函数，∴函数f（x）=log a（x2﹣4x+3）（a＞0，a≠1）在x∈[m，+∞）单调，∵函数的定义域为（﹣∞，1）∪（3，+∞），y=x2﹣4x+3的对称轴为x=2，∴m ∈（3，+∞）， 故答案为：（3，+∞）．9．若平面向量满足，，则的取值范围为 [2，6] ．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】利用≤4||+，及≥﹣4||，求出||的取值范围．【解答】解：设的夹角为θ，∵=2•2•||cosθ+≤4||+，∴||≥2 或||≤﹣6（舍去）．又∵=2•2||cosθ+≥﹣4||，∴6≥||≥﹣2．综上，6≥||≥2， 故答案为：[2，6]．10．已知数列{a n }，a 1=1，，n ∈N *，则=．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】先根据数列关系式得到a 1+（a 2+a 3）+（a 4+a 5）+…+（a 2n ﹣2+a 2n ﹣1）=1+++…+，再根据等比数列的求和公式计算，最后求极限． 【解答】解：∵，n ∈N ，∴a 1+（a 2+a 3）+（a 4+a 5）+…+（a 2n ﹣2+a 2n ﹣1）， =1+++…+，=1+，=1+﹣， =﹣，∴=（﹣）=，故答案为：11．已知函数f （x ）=x +（a ＞0），若对任意的m 、n 、，长为f （m ）、f （n ）、f（p ）的三条线段均可以构成三角形，则正实数a 的取值范围是 （，）∪[1，） ．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】求出f （x ）的导数，讨论当≥1即a ≥1时；当≤＜1且f （）≤f （1）即≤a ≤时；当≤＜1且f （）＞f （1）即＜a ＜1时；当＜，即0＜a ＜时．由单调性可得最小值和最大值，由题意可得最小值的2倍大于最大值，解不等式即可得到所求a 的范围．【解答】解：函数f （x ）=x +（a ＞0）的导数为f′（x ）=1﹣，当x ＞时，f′（x ）＞0，f （x ）递增；当x ＜时，f′（x ）＜0，f （x ）递减．当≥1即a ≥1时，[，1]为减区间，即有f （x ）的最大值为+3a ；最小值为1+a ．由题意可得只要满足2（1+a ）＞+3a ，解得1≤a ＜； 当≤＜1且f （）≤f （1）即≤a ≤时，[，]为减区间，（，1）为增区间，即有f （x ）的最大值为1+a ；最小值为2．由题意可得只要满足1+a ＞4，解得0＜a ＜7﹣4，不成立；当≤＜1且f （）＞f （1）即＜a ＜1时，[，]为减区间，（，1）为增区间，即有f （x ）的最大值为+3a ；最小值为2．由题意可得只要满足+3a ＞4，解得0＜a ＜，不成立；当＜，即0＜a ＜时，[，1]为增区间，即有f （x ）的最小值为+3a ；最大值为1+a ．由题意可得只要满足2（+3a ）＞1+a ，解得＜a ＜．综上可得，a 的取值范围是（，）∪[1，）．故答案为：（，）∪[1，）．12．已知数列{a n }满足：对任意的n ∈N *均有a n +1=ka n +2k ﹣2，其中k 为不等于0与1的常数，若a i∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2、3、4、5，则满足条件的a1所有可能值的和为．【考点】数列递推式．+2=k（a n+2），再对a1=﹣2与a1≠﹣2讨论，特别是a1≠﹣2时对【分析】依题意，可得a n+1公比k分|k|＞1与|k|＜1，即可求得a1所有可能值，从而可得答案．=ka n+2k﹣2，【解答】解：∵a n+1+2=k（a n+2），∴a n+1∴①若a1=﹣2，则a1+1+2=k（a1+2）=0，a2=﹣2，同理可得，a3=a4=a5=﹣2，即a1=﹣2复合题意；②若a1≠﹣2，k为不等于0与1的常数，则数列{a n+2}是以k为公比的等比数列，∵a i∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2，3，4，5，a n+2可以取﹣270，﹣30，10，90，∴若公比|k|＞1，则k=﹣3，由a2+2=10=﹣3（a1+2）得：a1=﹣；若公比|k|＜1，则k=﹣，由a2+2=﹣270=﹣（a1+2）得：a1=808．综上所述，满足条件的a1所有可能值为﹣2，﹣，808．∴a1所有可能值的和为：﹣2=．故答案为：．二.选择题13．已知实数m、n，则“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1代表的曲线是椭圆”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B．14．将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器（不计损耗），则其容积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出设这个盖圆锥形底面半径r=，母线长l=R，高h==，由此能求出这个无盖圆锥形容器（不计损耗）的容积．【解答】解：将半径为R的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器，设这个盖圆锥形底面半径为r，则πR=2πr，解得r=，这个盖圆锥形母线长l=R，∴这个盖圆锥形的高h==，∴这个无盖圆锥形容器（不计损耗）的容积：V====．故选：A．15．已知数列{a n}通项公式为a n=，其前m项和为，则双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用数列求和，推出m，然后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：数列{a n}通项公式为a n=，其前m项和为，可得1﹣=，即1﹣=．解得m=9．双曲线=1的渐近线方程：y=±x．故选：C．16．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2016＞0 B．若a4＞0，则a2017＞0C．若a3＞0，则S2017＞0 D．若a4＞0，则S2016＞0【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用通项公式与求和公式即可判断出结论．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，若a3＞0，则＞0，则a1＞0．∴S2017=＞0．a2016=与0的大小关系不确定．若a4＞0，则＞0，则a1与q同号，则a2017=，S2016=与0的大小关系不确定．故选：C．三.解答题17．如图，用一平面去截球O，所得截面面积为16π，球心O到截面的距离为3，O1为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径；（1）计算球O的表面积和体积；（2）若C是截面小圆上一点，∠ABC=30°，M、N分别是线段AO1和OO1的中点，求异面直线AC与MN所成的角；（结果用反三角表示）【考点】球的体积和表面积．【分析】（1）求出小圆的半径，然后利用球心到该截面的距离为3cm，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．（2）由MN∥OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角），连接OC，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后利用反三角表示出此角即可．【解答】解：（1）连接OA，由题意得，截面小圆半径为4，在Rt△OAO1中，O1A=4，OO1=3，由勾股定理知，AO=5，∴球O的表面积为：4π•25=100π（2）由MN∥OA得，∠OAC为异面直线AC与MN所成的角（或补角）．在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，则AC=4，连接OC，在△OAC中，OA=OC=5，由余弦定理知：cos∠OAC===，∴∠OAC=，∴异面直线AC与MN所成的角为．18．△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，cosA=，tan，c=21；（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．【考点】两角和与差的正切函数；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）先根据弦切之间的关系对tan进行化简，再由二倍角公式可得到sinB 的值，结合cosA的值可判断B为锐角，进而由sinC=sin（A+B）根据两角和与差的正弦公式和（1）中的sinB，sinA，cosB，cosA的值可求得sinC的值．（2）再由正弦定理可求得a的值，最后根据三角形的面积公式可求得答案．【解答】解：（1）由tan==，得sinB=，∵cosA=，∴sinA=＞sinB，∴B为锐角，可得cosB=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=．（2）∵c=21，∴a===20，=acsinB=×20×21×=126．∴S△ABC19．已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，a∈R；（1）若函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=bx+5﹣2b，b∈R，当a=3时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x1）=f（x2），求b的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据f（x）在[﹣1，1]上单调递减且存在零点可得f（﹣1）f（1）≤0，从而解出a的范围；（2）对b进行讨论，判断g（x）的单调性，分别求出f（x），g（x）在[1，4]上的值域，令g（x）的值域为f（x）的值域的子集列出不等式组得出b的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣4x+a+3的函数图象开口向上，对称轴为x=2，∴f（x）在[﹣1，1]上是减函数，∵函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，∴f（﹣1）f（1）≤0，即a（8+a）≤0，解得：﹣8≤a≤0．（2）a=3时，f（x）=x2﹣4x+6，∴f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，∴f（x）在[2，4]上的最小值为f（2）=2，最大值为f（4）=6．即f（x）在[2，4]上的值域为[2，6]．设g（x）在[1，4]上的值域为M，∵对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得g（x1）=f（x2），∴M⊆[2，6]．当b=0时，g（x）=5，即M={5}，符合题意，当b＞0时，g（x）=bx+5﹣2b在[1，4]上是增函数，∴M=[5﹣b，5+2b]，∴，解得0＜b≤．当b＜0时，g（x）=bx+5﹣2b在[1，4]上是减函数，∴M=[5+2b，5﹣b]，∴，解得﹣1≤b＜0．综上，b的取值范围是．20．已知抛物线Γ：y2=2px上一点M（3，m）到焦点的距离为4，动直线y=kx（k≠0）交抛物线Γ于坐标原点O和点A，交抛物线Γ的准线于点B，若动点P满足，动点P的轨迹C的方程为F（x，y）=0；（1）求出抛物线Γ的标准方程；（2）求动点P的轨迹方程F（x，y）=0；（不用指明范围）（3）以下给出曲线C的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性；②图形范围；③渐近线；④y＞0时，写出由F（x，y）=0确定的函数y=f（x）的单调区间，不需证明．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【分析】（1）利用抛物线的定义，可得抛物线Γ的标准方程；（2）求出A，B的坐标，利用动点P满足，求出动点P的轨迹C的方程；（3）根据方程，可得结论．【解答】解：（1）由题意，3+=4，∴p=2，∴抛物线Γ的标准方程为y2=4x；（2）设P（x，y），则y=kx，与抛物线方程联立，可得x=，y=，即A（，），与x=﹣1联立，可得B（﹣1，﹣k），∵，∴（x，y）=（+1， +k），∴x=+1，y=+k，消去k可得；（3）由，可得①关于x轴对称；②x∈（1，+∞），y∈（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）；③渐近线x=1；④在（1，2]上递减，在[2，+∞）上递增．21．已知无穷数列{a n}，满足a n+2=|a n+1﹣a n|，n∈N*；（1）若a1=1，a2=2，求数列前10项和；（2）若a1=1，a2=x，x∈Z，且数列{a n}前2017项中有100项是0，求x的可能值；（3）求证：在数列{a n}中，存在k∈N*，使得0≤a k＜1．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）由条件分别计算前10项，即可得到所求和；（2）讨论x=1，2，3，…，计算得到数列进入循环，求得数列中0的个数，即可得到所求值；（3）运用反证法证明，结合条件及无穷数列的概念，即可得证．【解答】解：（1）数列{a n}，满足a n+2=|a n+1﹣a n|，n∈N*；a1=1，a2=2，则a3=1，a4=1，a5=0，a6=1，a7=1，a8=0，a9=a10=1．∴数列前10项和S10=1+2+6=9．（2）当x=1时，数列数列{a n}的各项为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有672项为0；当x=2时，数列数列{a n}的各项为1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有671项为0；当x=3时，数列数列{a n}的各项为1，3，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有671项为0；当x=4时，数列数列{a n}的各项为1，4，3，1，2，1，1，0，1，1，0，…所以在前2017项中恰好含有670项；当x=5时，数列数列{a n}的各项为1，5，4，1，3，2，1，1，0，1，1，0…所以在前2017项中恰好含有670项为0；…由上面可以得到当x=1144或x=1145时，在前2017项中恰好含有100项为0；当x=﹣1141或x=﹣1140时，在前2017项中恰好含有100项为0；（3）证明：假设数列{a n}中不存在a k（k∈N*），使得0≤a k＜1，则a k＜0或a k≥1（k=1，2，3，…）．由无穷数列{a n}，满足a n+2=|a n+1﹣a n|，n∈N*，可得a k≥1，由于无穷数列{a n}，对于给定的a1，a2，总可以相减后得到0，故假设不成立．在数列{a n}中，存在k∈N*，使得0≤a k＜1．2017年5月8日。