第52讲 椭圆的几何性质(原卷版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
第 52 讲 椭圆的几何性质
一、课程标准
1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质
2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围
3、掌握直线与椭圆的位置关系
二、基础知识回顾
1、 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程
x2＋y2＝1(a＞b＞0) a2 b2
x2＋y2＝1(a＞b＞0) b2 a2
|F1F2|＝2c
e＝c， a
e∈(0,1)
c2＝a2－b2
2、焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1 与右(上)焦点 F2 之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分
别记作 r1＝|PF1|，r2＝|PF2|. (1)ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (2)ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
五、优化提升与真题演练
1、（江苏省南通市通州区
2019-2020
学年高三第一次调研抽测）设
A，B
分别为椭圆
C：
x a
2 2
y2 b2
1(a＞b
＞0)的右顶点和上顶点，已知椭圆 C 过点 P(2，1)，当线段 AB 长最小时椭圆 C 的离心率为_______.
2、【2019
年全国Ⅲ卷】设
F1，F2
为椭圆
三、自主热身、归纳总结
1、直线 y＝kx－k＋1(k 为实数)与椭圆x2＋y2＝1 的位置关系为(
)
94
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 相交、相切、相离都有可能
第 2 题图 2、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B1，B2 分别为椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a>b>0)的右、下、上顶点， F 是椭圆 C 的右焦点．若 B2F⊥AB1，则椭圆 C 的离心率是____．
考点二 椭圆离心率的范围 例 2、(2020·福州模拟)过椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的右焦点作 x 轴的垂线，交 C 于 A，B 两点，直线 l 过 C 的左焦点和上顶点．若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点，则 C 的离心率的取值范围是________．
变式 1、设 F1，F2 是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 P，使∠F1PF2＝120°，则椭圆离心率 e 的取值范围 是____．
3、焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2 的面积
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2021 届新课改地区高三数学一轮专题复习
为 S，则在椭圆x2＋y2＝1(a＞b＞0)中 a2 b2
(1)当 P 为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝1|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan θ＝c|y0|，当|y0|＝b 时，即点 P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为 bc.
xOy
中，
已知
椭
圆x2＋ a2
y2 b2
＝
1(a
＞
b
＞0)
的
左
顶
点
为
A，左焦点为
F，
第(1)题图 上顶点为 B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是____． (2)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a>b>0)的左焦点，A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点．P 为椭圆 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为____．
变式 2、（四川省乐山一中 2019 届质检）设 F 是椭圆 C：x2＋y2＝1(a＞b＞0)的一个焦点，P 是椭圆 C 上的 a2 b2
点，圆 x2＋y2＝a2与线段 PF 交于 A，B 两点，若 A，B 三等分线段 PF，则椭圆 C 的离心率为( ) 9
A. 3
B. 5
3
3
C. 10 4
D. 17 5
(2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P.
①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；
②直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若△AOB 的面积为2 6，求直线 l 的方程． 7
变式 1、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2＋y2＝b2 经过椭圆 E：x2＋y2＝1(0<b<2)的焦点．(1)求椭 4 b2
圆 E 的标准方程； (2)设直线 l：y＝kx＋m 交椭圆 E 于 P，Q 两点，T 为弦 PQ 的中点，M(－1，0)，N(1，0)，记直线 TM，
TN 的斜率分别为 k1，k2，当 2m2－2k2＝1 时，求 k1·k2 的值．
变式 2、（浙江杭州高级中学 2019 届模拟）已知椭圆x2＋y2＝1(a>b>0)的一个顶点为 B(0,4)，离心率 e＝ 5，
a2 b2
5
直线 l 交椭圆于 M，N 两点．
(1)若直线 l 的方程为 y＝x－4，求弦|MN|的长；
(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般式．
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方法总结：直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略 (1)求直线方程：可依题设条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程． (2)求面积：先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出面积的值． (3)弦长问题：利用根与系数的关系、弦长公式求解． (4)中点弦或弦的中点问题：一般利用点差法求解，注意判断直线与椭圆是否相交．
F2(3,0)，离心率为
e.
(1)若 e＝ 3，求椭圆的方程； 2
(2)设直线 y＝kx 与椭圆相交于 A，B 两点，M，N 分别为线段 AF2，BF2 的中点，若坐标原点 O 在以 MN
为直径的圆上，且 2＜e≤ 3，求 k 的取值范围．
2
2
变式
4、(2018
苏中三市、苏北四市三调）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆
2，则
线段 AB 的长是( )
A.2 2 3
B.4 2 3
C. 2
D．2
5、(一题两空)已知点
F1，F2
分别是椭圆 x2 ＋y2＝1 25 9
的左、右焦点，点
P
在此椭圆上，则椭圆离心率为________，
△PF1F2 的周长为________．
四、例题选讲
考点一 椭圆的离心率的值
例1
(1)如图，在平面直角坐标系
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圆与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离心率为( )
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A． 6 3
B． 3 3
C． 2 3
D．1 3
6、(2017 扬州期末）如图，椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)，圆 O：x2＋y2＝b2，过椭圆 C 的上顶点 A 的直线
l：y＝kx＋b 分别交圆 O、椭圆 C 于不同的两点 P，Q，设A→P＝λP→Q.
C：x2＋y2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为 a2 b2
A1，A2，且以线段
A1A2
为直径的圆
与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离心率为( )
A. 6 3
B. 3 C. 2 D.1 3 33
5、(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1轮专题复习
变式 2、(2020·上饶模拟)已知两定点 A(－1,0)和 B(1,0)，动点 P(x，y)在直线 l：y＝x＋2 上移动，椭圆 C 以 A，
B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的离心率的最大值为________．
变式
3、已知椭圆x2＋y2＝1(a＞b＞0)的右焦点为 a2 b2
1(a＞b＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆 C 的右焦点．若 B2F⊥AB1，则椭圆 C 的离心率是________．
方法总结：求离心率的值关键是找到等式关系，解出 a 与 c 的关系，进而求出离心率。常见的等式关系主要 有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等 式关系。
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
的右焦点为 F ， P 为右准线上一点．点 Q 在椭圆上，且 FQ FP ．
（1）若椭圆的离心率为 1 ，短轴长为 2 3．
2 ① 求椭圆的方程；
（2）若在 x轴上方存在 P，Q 两点，使 O， F， P， Q 四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．
求离心率的值关键是找到不等关系，解出 a 与 c 的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有： 1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点到焦
2
2
(3)焦点三角形的周长为 2(a＋c)．
4、．AB 为椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则
(1)弦长 l＝ 1＋k2|x1－x2|＝
(2)直线 AB 的斜率 kAB＝－ba22yx00. 5、直线与椭圆的关系
1＋k12|y1－y2|；
C:
x2 36
+
y2 20
1
的两个焦点，M
为
C
上一点且在第一象限.若 △MF1F2
为等腰三角形，则 M 的坐标为___________.
3、(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆 C：x2＋y2＝1 的一个焦点为(2,0)，则 C 的离心率为( ) a2 4
椭圆及其性质课件高三数学一轮专题复习
如图，△F1AB的周长为：
|AF1|＋|BF1|＋|AB|
＝|AF1|＋|BF1|＋（|AF2|＋|BF2|）
F2 x
B
＝（|AF1|＋|AF2|）＋（BF1|＋|BF2|）＝2a＋2a＝4a=20
对点训练
2：若
F1，F2
是椭圆x2＋y2＝1
97
的两个焦点，A
为椭圆
上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2 的面积为( C )
=1
c2 a2
=
1 2
e
c a
c2 = a2
1 2
2 2
对点训练 3：已知椭圆 x2＋ y2 ＝1 的离心率为4，则 k＝________
9 4－k
5
解析：当9 4－k 0, 即-5<k 4时，a2 =9，b2 4－k
c2 =a2－b2 9－(4－k) 5 k
此时椭圆的离心率为：e c a
合，图形变为圆， 它的方程为：x2 y2 a 2
[3]e与a， b的关系：
e c a
c2 a2
a2 b2 a2
1
b2 a2
标准方程 范围 对称性 焦点坐标 顶点坐标
半轴长
离心率 a、b、c的 关系
x2 y2 a2 b2 1(a b 0) －a≤x≤a，－b≤y≤b
y2 x2 a2 b2 1(a b 0) －a≤y≤a，－b≤x≤b
如图1，当焦点在x轴上时， c=2，b=1
y
则a2
=b2
+c2 =5，所求椭圆的标准方程为
x2 5
(-2，0)
+y2 =1
B1
F2(0，1)
如图2，当焦点在y轴上时， b=2，c=1
椭圆及其几何性质课件-高三数学一轮复习
B 分别为 C 的左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l
与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C
的离心率为( A )
A．13
B．12
C．23
D．34
[解析] 设点 M(－c，y0)，OE 的中点为 N，则直线 AM 的斜率 k＝a－y0 c， 从而直线 AM 的方程为 y＝a－y0 c(x＋a)， 令 x＝0，得点 E 的纵坐标 yE＝aa－y0c.同理，OE 的中点 N 的纵坐标 yN＝aa＋y0c. 因为 2yN＝yE，所以a＋2 c＝a－1 c，即 2a－2c＝a＋c，所以 e＝ac＝13.故选 A．
(2)已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)上有一点 A，它关于原点的对称点为 B，点 F
为椭圆的右焦点，且 AF⊥BF.设∠ABF＝α，且 α∈1π2，π6，则该椭圆的离 心率 e 的取值范围为( A )
A．
3－1，
6
3
B．[ 3－1，1)
C．
46，
6
3
D．0，
6
3
[解析] 如图所示，设椭圆的左焦点为 F′，连接 AF′，BF′，则四边形 AFBF′
为矩形，因此|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＋|BF|＝2a，|AF|＝2csin α，|BF|＝2ccos
α，∴2csin α＋2ccos α＝2a，
∴e＝sin
1 α＋cos
α＝
2sin1α＋π4.∵α∈1π2，π6，∴α＋π4∈π3，51π2，
∴sinα＋π4∈ 23，
2＋ 4
6，∴
2sinα＋π4∈ 26，1＋2
椭圆的几何性质课件-2025届高三数学一轮复习
微思考 椭圆的范围经常在什么情况下使用?
提示:在解答求值域、最值范围是否存在等题目时,使用范围这个性质.
微点拨
(1)椭圆焦点位置与x2,y2的系数有关.
(2)离心率表示椭圆的扁平程度,e越接近0,椭圆越接近于圆;e越接近1,椭圆越扁平.
常用结论
1.设P为椭圆上不同于长轴两端点的点,F1,F2为椭圆的两个焦点,则
【解析】(1)由题意得:2a=8,2b=6,所以a=4,b=3,结合焦点在x轴上,
2 2
故椭圆方程为 + =1.
16 9
求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(2)中心在原点,一个焦点坐标为(0,5),短轴长为4;
【解析】(2)由题意得:c=5,2b=4,故a2=b2+c2=4+25=29,因为焦点在y轴上,故椭圆方程
16 4
2 2
2 2
综上所述:椭圆的标准方程为 +y =1或 + =1.
4
16 4
1
(2)(2024·南昌模拟)已知椭圆的离心率为 ,焦点是(-3,0),(3,0),则椭圆方程为(
2
2 2
A. + =1
36 27
2 2
B. - =1
36 27
2 2
C. + =1
27 36
2 2
(负值舍去).
2
(2)(2024·成都模拟)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足1 ·2 =0的点M总在椭圆
内部,则椭圆离心率的取值范围是(
A. (0,
2
)
2
B.
1
(0, ]
2
C.(0,1)
)
D.[
2
,1)
椭圆的方程与性质课件-2024届高考数学一轮复习
动圆圆心的轨迹方程为 ＋ ＝1.
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总结提炼
1. 椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周
长、面积及求弦长、最值和离心率等.
2. 通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积
问题.
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[对点训练]
1. 已知圆（ x ＋ 2 ）2＋ y 2＝16的圆心为 M ， P 是圆 M 上的动点，点 N
2
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回归课本
1. 判断：
（1）
2
（RA选一P109练习第2题改编）椭圆 ＋ x 2＝1的焦点坐标为
16
（0，± 15 ），短轴长为1.
（2）
（
✕
）
2
2
（RA选一P109练习第3题（1）改编）经过椭圆 2 ＋ 2 ＝1（ a ＞
b ＞0）的右焦点 F 2作直线 AB ，交椭圆于 A ， B 两点， F 1是椭圆的左焦
由椭圆经过点
−
＋
,−
，可得2 a ＝
−
＝2
+
＋
−
＋
，所以 a ＝ ，则 b 2＝ a 2－ c 2＝6.所以
椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
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（2） 椭圆的焦点在坐标轴上，且经过 A （ 3 ，－2）和 B （－2 3 ，
1）两点；
6
2
2
B. ＋ ＝1
18
9
2
2
C. ＋ ＝1
第60讲 椭圆的几何性质(原卷版)(新高考专用)-《考点解透》高考数学一轮复习必备
第60讲 椭圆的几何性质【基础知识回顾】1、 椭圆的标准方程和几何性质20012圆的焦半径，分别记作r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|.(1)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ex 0，r 2＝a －ex 0； (2)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，r 1＝a ＋ey 0，r 2＝a －ey 0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．3、焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中 (1)当P 为短轴端点时，θ最大．(2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．1、若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率 是（ ）A ．14 B C D ．122、已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到右准线的距离为10，则点P 到它的左焦点的距离为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．103、经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为（ ）A ．2a bB ．22a bC ．2b aD ．22b a4、若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.245、(2021·重庆诊断)已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A.长轴长为12B.焦距为34 C.短轴长为14D.离心率为32考向一 椭圆的离心率的值例1(1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23B.12C.13D.14(2)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________.变式1、(1)(2022·湛江模拟)已知F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过椭圆C 的下顶点且斜率为34的直线与以点F 为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C 的离心率为( )A.55B.12C.33D.22(2)(2022·济南质检)设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( ) A.2－1 B.5－12C.22D.2＋1变式2、焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A.14B.13C.12D.23变式3、 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．方法总结：求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。
2021版新高考数学(文科)一轮复习集训52 椭圆及其性质
椭圆及其性质建议用时：45分钟一、选择题1．椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( )A.72B.32C.3 D ．4 A [由题意知F 1(－3，0)，把x ＝－3，代入方程x 24＋y 2＝1得34＋y 2＝1，解得y ＝±12，则|PF 1|＝12，所以|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72，故选A.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223C [不妨设a >0，因为椭圆C 的一个焦点为(2,0)，所以c ＝2，所以a 2＝4＋4＝8，所以a ＝22，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.]3．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．12C [由题意知，⎩⎨⎧10－m ＞0，m －2＞0，即2＜m ＜10.又2c ＝4，即c ＝2，则(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4， 解得m ＝4或m ＝8，故选C.]4．(2019·呼和浩特模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是椭圆上的动点．若∠A 1P A 2的最大值可以取到120°，则椭圆C 的离心率为( )A.12B.22C.32D.63D [由题意知，当点P 在椭圆的短轴端点处时，∠A 1P A 2有最大值，则tan 60°＝a b ，即ab ＝ 3.所以e 2＝1－b 2a 2＝1－13＝23，即e ＝63，故选D.]5．△ABC 的周长是8，B (－1,0)，C (1,0)，则顶点A 的轨迹方程是( ) A.x 29＋y 28＝1(x ≠±3) B.x 29＋y 28＝1(x ≠0) C.x 24＋y 23＝1(y ≠0)D.x 23＋y 24＝1(y ≠0)A [由题意知|BC |＝2，|AB |＋|AC |＝6，∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆且2a ＝6，c ＝1，则b 2＝8. 所以顶点A 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1(x ≠±3)．] 二、填空题6．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为 ．y 216＋x24＝1[由题意知⎩⎨⎧c ＝23，a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝16，b 2＝4，因此所求椭圆方程为y 216＋x 24＝1.]7．已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是 ．2 [由题意知⎩⎨⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得⎩⎨⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝22，则|F 1F 2|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2， 即PF 2⊥F 1F 2.∴S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|PF 2|＝12×22×1＝ 2.]8．椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是 ．(－3,0)或(3,0) [记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.∴点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．]三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．[解] 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)． ∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410， ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15. ∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.10．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m ＞0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，m ＞0.∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3＞0， ∴m ＞m m ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3， c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝2和2b ＝1，焦点坐标为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，四个顶点的坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.1．(2019·哈尔滨模拟)设椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左焦点为F ，直线l ：y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，则|AF |＋|BF |的值是( )A ．2B ．23C ．4D ．4 3C [设椭圆的右焦点为F 2，连接AF 2，BF 2.(图略)因为|OA |＝|OB |，|OF |＝|OF 2|，所以四边形AFBF 2是平行四边形，所以|BF |＝|AF 2|，所以|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF 2|＝2a ＝4.故选C.]2．(2019·衡水模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，若△F 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当R ＝4r 时，椭圆的离心率为( )A.45B.23C.12D.25B [由题意知|F 1F 2|＝2c ，根据正弦定理可得 2R ＝|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2c sin π3＝433c ，即R ＝23c3.由余弦定理得4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4a 2－3|PF 1||PF 2|，∴|PF 1||PF 2|＝43(a 2－c 2)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin π3＝3(a 2－c 2)3.又S △F 1PF 2＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)r ＝(a ＋c )r ， ∴3(a 2－c 2)3＝(a ＋c )r ，∴r ＝3(a －c )3. 由R ＝4r 得23c 3＝43(a －c )3，∴c a ＝23，故选B.]3．(2019·揭阳模拟)已知椭圆的焦点在y 轴上，中心在坐标原点，其在x 轴上的两个顶点与两个焦点恰好是边长为2的正方形的顶点，则该椭圆的标准方程为 ．y 24＋x 22＝1 [设椭圆上、下两个焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A . 由题意知|AF 1|＝|AF 2|＝a ＝2，|F 1F 2|＝22，c ＝b ＝2 则所求椭圆方程为y 24＋x 22＝1.]4．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N|，求a ，b . [解] (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)． 故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则 ⎩⎨⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.把点N (x 1，y 1)代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.② 将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.1．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，35 B.⎝⎛⎭⎪⎫0，25C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，55A [由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b2＋c ，b ＜b 2＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧(a －c )2＞14(a 2－c 2)，a 2－c 2＜2c ，解得55＜e ＜35.]2．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎨⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设M (m ，n )，则D (m,0)，N (m ，－n )． 由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2， 故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n .所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m )． 直线BN 的方程为y ＝n2－m (x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n (x －m )，y ＝n2－m (x －2)，解得点E 的纵坐标y E ＝－n (4－m 2)4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2， 所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |， S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
椭圆及其性质课件-2025届高三数学一轮复习
,
=
+
向量的数量积求解；
= ，再由 =
+ ，借助
思路二：先利用椭圆定义以及在焦点三角形中用余弦定理先求出
,
=
+
和等于四条边的平方和求解.
思路三：利用等面积，即
点的坐标.ຫໍສະໝຸດ = ，再利用平行四边形对角线的平方
2025届高考数学一轮复习讲义
平面解析几何之椭圆及其性质
1.椭圆的定义
条件
结论1
，
①________为椭
平面内与两个定点 ， 的距离的和等
于常数（大于 ）的点
+ =
>
结论2
点的轨
迹为椭圆
圆的焦点；
②_______为椭圆
求 ⋅ 的值,通过整体代入可求其面积等.
1.(2023·全国甲卷)设 , 为椭圆:
+ = 的两个焦点，点在上，
若 ⋅ = ，则 ⋅ =(
A.1
B.2
√
)
C.4
D.5
解析：选B.方法一：因为 ⋅ = ，所以 ⊥ ,则
的焦距
若= ，则动点的轨迹是线段 ；若< ，
则动点 的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程及几何性质
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点
+
= >>
+
2021高三数学人教B版一轮学案：椭圆及其几何性质 Word版含解析
第五节椭圆最新考纲考情分析1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．了解椭圆的简单应用．3．理解数形结合的思想.1.椭圆的定义、标准方程、几何性质以及椭圆与其他知识综合应用是近几年高考命题的热点．2．常与直线、向量、三角等知识交汇考查，考查学生分析问题、解决问题的能力．3．三种题型都有可能出现，选择、填空题一般为中低档题，解答题为高档题.知识点一椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)当2a>|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2；(3)当2a<|F1F2|时，M点不存在．知识点二椭圆的标准方程和几何性质离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c ＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(√)(5)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(×)(6)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(√)2．小题热身(1)已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(B)A. B.C. D.解析：由题意得椭圆的标准方程为＋＝1，所以a2＝，b2＝，所以c2＝a2－b2＝，e2＝＝，e＝.(2)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(D)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，所以解得故椭圆C的标准方程为＋＝1.(3)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(C)A. B.C. D.解析：∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.(4)若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是(3,4)∪(4,5)．解析：由已知得解得3<k<5且k≠4.(5)已知点M(－2,0)，N(2,0)，点P是曲线C：＋y2＝1(y≠0)上的动点，直线PM与PN的斜率之积为－.解析：设P(x0，y0)，因为点P在曲线C上，所以20＋y＝1(y0≠0)，y＝1－20，直线PM与PN的斜率之积为×＝2020－4＝2020－4＝－.第1课时椭圆及其几何性质考点一椭圆的定义及应用【例1】(1)(2020·昆明市诊断测试)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则＝()A. B.C. D．3(2)(2020·郑州市质量预测)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是()A. B.C．16 D．32【解析】(1)如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝，|AF2|＝.所以＝.故选A.(2)由椭圆＋＝1的焦点为F1，F2知，|F1F2|＝2c＝6，在△F1PF2中，不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝2a＝10，在△F1PF2中，由余弦定理|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，得(2c)2＝m2＋n2－2m·n cos60°，即4c2＝(m ＋n)2－3mn＝4a2－3mn，解得mn＝，所以S△F1PF2＝·|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝mn sin60°＝.故选A.【答案】(1)A(2)A方法技巧(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长和面积、弦长、最值、离心率等.通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.(2)椭圆的定义式|PF1|＋|PF2|＝2a中必须强调2a>|F1F2|.1．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝3.解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则21＋22＝4∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，∴S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.2．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为6＋，最小值为6－.解析：椭圆方程化为＋＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.考点二椭圆的标准方程命题方向1定义法【例2】(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【解析】方法1：由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝＝，所以＝1－2()2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.故选B.方法2：设|F2B|＝x(x>0)，则|AF2|＝2x，|AB|＝3x，|BF1|＝3x，|AF1|＝4a－(|AB|＋|BF1|)＝4a－6x，由椭圆的定义知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4x，所以|AF1|＝2x.在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF2F1①，在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2－2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1，即4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF2F1②，由①②得x＝，所以2a＝4x＝2，a＝，所以b2＝a2－c2＝2.所以椭圆的方程为＋＝1.故选B.【答案】 B命题方向2待定系数法【例3】(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为________．(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为________．【解析】(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由解得m＝，n＝.∴椭圆方程为＋＝1.(2)∵椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，∵P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴又a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝，c＝，∴椭圆方程为＋＝1.【答案】(1)＋＝1(2)＋＝1方法技巧(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．1．(方向1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(A)A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：由已知及椭圆的定义知4a＝4，即a＝，又＝＝，所以c＝1，b2＝2，所以C的方程为＋＝1.2．(方向2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆E的方程为x2＋y2＝1.解析：设点B的坐标为(x0，y0)．∵x2＋＝1，∴F1(－，0)，F2(，0)．∵AF2⊥x轴，设点A在x轴上方，∴A(，b2)．∵|AF1|＝3|F1B|，∴＝3，∴(－2，－b2)＝3(x0＋，y0)．∴x0＝－，y0＝－.∴点B的坐标为.将B代入x2＋＝1，得b2＝.∴椭圆E的方程为x2＋y2＝1.考点三椭圆的几何性质命题方向1椭圆的长轴、短轴、焦距【例4】已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m 等于()A．8 B．7C．6 D．5【解析】因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，所以解得6<m<10.因为焦距为4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.【答案】 A命题方向2椭圆的离心率【例5】(2020·福建质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A.－1B.C. D.＋1【解析】不妨设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，∴椭圆E的离心率e＝＝－1.故选A.【答案】 A命题方向3最值或范围问题【例6】已知椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的倍，且过点(2，)．(1)求椭圆的标准方程．(2)若△OAB的顶点A，B在椭圆上，OA所在的直线斜率为k1，OB所在的直线斜率为k2，若k1·k2＝－，求·的最大值．【解】(1)由已知，解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设x1>0，x2>0.由k1k2＝－＝－得k2＝－(k1≠0)，直线OA，OB的方程分别为y＝k1x，y＝k2x，联立解得x1＝21，同理，x2＝22，所以x2＝＝21.因为·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＝21＝≤＝2，当且仅当|k1|＝时，等号成立．所以·的最大值为2.方法技巧1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.1．(方向1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(D)A．1 B.C．2 D．2解析：设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以×2cb＝1，bc＝1，而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)，即长轴长2a的最小值为2.2．(方向2)(2020·河北省衡水市高三大联考)已知椭圆O：＋＝1(a>)的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线l与椭圆的一个交点为M，右焦点F2关于直线l的对称点为P，若△F1MP 为正三角形，且其面积为，则该椭圆的离心率为(C)A. B.C. D.解析：设正△F1MP的边长为m，则m2＝，∴m＝2.又由椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝4，∴2a＝4，解得a＝2，又由题可知b＝，∴c＝1，e＝＝.故选C.3．(方向2)(2020·豫南九校联考)已知两定点A(－1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(A)A. B.C. D.解析：不妨设椭圆方程为＋＝1(a>1)，与直线l的方程联立消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，所以e＝＝≤，所以e的最大值为.4．(方向3)已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(C) A．4B．6 C．8D．10解析：设M(x0，y0)，F1(－3,0)，F2(3,0)．则＝(－3－x0，－y0)，＝(3－x0，－y0)，所以＋＝(－2x0，－2y0)，|＋|＝20＋420＝2020＝20，因为点M在椭圆上，所以0≤y≤16，所以当y＝16时，|＋|取最小值为8.。
2021届课标版高考数学一轮复习精品学案：平面解析几何第5节椭圆第1课时椭圆及其性质
2021届课标版高考数学一轮复习精品学案
第1课时 椭圆及其性质
[最新考纲] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．
1．椭圆的定义
(1)我们把平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的集合叫作椭圆．这两定点F 1，F 2叫作椭圆的焦点，两个焦点F 1，F 2间的距离叫作椭圆的焦距．
(2)集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. ①当2a ＞|F 1F 2|时，M 点的轨迹为椭圆； ②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹为线段F 1F 2； ③当2a ＜|F 1F 2|时，M 点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质
－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b
－b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a
1．过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b
2
a
，过焦点最长弦为长轴．
2．过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .。
椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-， 所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时， 此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1． 故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒， 则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤， 则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -， 设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =， 故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =， 所以2228a b c =+=，即22a =， 所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______． 【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ． 故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤， 设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增， 故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增， 故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<， 所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ． 故答案为：2xy =-()22-<<x ． 例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程； （2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ， 又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ， 故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-， 故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=． 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△， 所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==． 综上，||||4PA PB ⋅=． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。