2018-2019学年辽宁省六校协作体高二下学期期中考试数学(文)试卷(含答案)
辽宁六校协作体2018－2019学年高二下学期期中考
数学（文）试题
命题学校：东港市第二中学命题人：林丹校对人：阮征负责人：梁景玉
第Ⅰ卷
一选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表
示的集合是（）
A．B．
C．D．
2．设，则在复平面对应的点位于第()象限
A．一B．二C．三D．四
3．函数的图象与函数的图象的交点个数为( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．已知向量，且，则（）
A．B．8C．D．6
5．已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且在轴上的投影为点，则
的值为（）
A．1B．2C．3D．4
6．已知，并且成等差数列，则的最小值为( )
A．16B．12C．9D．8
7．若a，b都是实数，则“>0”是“a2－b2>0”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．一个盒子里装有标号为1-6的6个大小和形状都相同的小球，其中1到4号球是红球，其
余两个是黄球，若从中任取两个球，则取的两个球颜色不同，且恰有1个球的号码是偶数的概率是（）
A．B．C．D．
9．已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
10．在中，、、分别为内角、、的对边，若，，，则
（）
A．B．或C．D．或
11．已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线
分别交于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则
的外接圆半径为( )
A．B．C．2 D．
12．已知函数的图像上存在两个点关于轴对称，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.
二填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为______．
14．设满足约束条件，则的最大值为___________．
15．设为锐角，若，则的值为___________．
16．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若平面，，
，，则球的表面积为__________．
三解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分）
已知：数列的前项和为，且。
（1）求证：数列等比数列；
（2）等差数列满足，设，求数列的前项和。
18．（本小题满分12分）
某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：
（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；
（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关？
（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率.
附：，，
19．（本小题满分12分）
已知多面体中，，，
，，为的中点。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值。
20．（本小题满分12分）
已知是焦距为的椭圆：的右顶点，点，直线交椭圆于点，为线段的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点，若，求直线的斜率．
21．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值点个数.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22．（本小题满分10分）
选修4-4:坐标系与参数方程
设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合.直线
（t为参数)，曲线
(I)求曲线的直角坐标方程；
(Ⅱ)直线与曲线交相交于A，B两点，求AB中点M的轨迹的普通方程.
23．（本小题满分10分）
选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）解不等式：；
（2）当时，，求实数的取值
辽宁六校协作体2018－2019学年高二下学期期中考
数学（文）试题答案
选择题：1C 2D 3B 4B 5B 6D7A 8D 9A 10A 11 C 12B
填空题：1314 2 15 16
解答题：
17（1）证明：由题意，因为，
当时,，
当时，，
可得，即，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列…………………….6分
（2）由（1）得数列的通项公式和前n项和公式，可得, 设的公差为，且，解得，
所以…………………….9分
所以，
所以。
……………12分18（1）
……………………3分
（2），
所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关；…………6分
（3）记5人为，其中表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：
共10个，其中至多1位教师有7个基本事
件:，所以所求概率是.…………………12分
19(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).
(Ⅰ)取CE中点F，连接BF，OF，
∵O为CD的中点，∴OF∥DE，且OF=DE，
∵AB//DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，∴OF∥AB，OF=AB，
则四边形ABFO为平行四边形，
∴AO//BF，BF⊆平面BCE，AO⊊平面BCE，∴AO//平面BCE；…………………6分(Ⅱ)由题意可得BF//AO，
∵，∴DE⊥AO，∵AO⊥CD，∴AO⊥平面CDE，∴BF⊥平面CDE BF⊥DF.∵CD=DE，∴DF⊥CE，∵BF∩CE=F，∴DF⊥平面CBE；
∴∠DBF就是直线BD与平面BEC所成角.…………………9分
在△BDF中，，
.…………………12分
20（1）由题意得焦距，∴．
又点在椭圆上，
∴，解得，
∴．
∴椭圆的方程为．…………………4分
（2）根据题意得直线的方程为，即．
由消去整理得．
∵直线与椭圆交于、两点，
∴，解得．
设，，
则，．…………………6分
∵，且∴，即．
∴，
∴．∴，解得，满足，
∴．即直线的斜率．…………………12分
21（1）；（2）见解析
（1）依题意，，故，
又，故所求切线方程为. …………………4分
（2）依题意.
令，则，且当时，当时，，
所以函数在单调递减，在单调递增，，
当时，恒成立，.
函数在区间单调递增，无极值点；
当时，，
故存在和，使得，
当时，，
当时，，
当时，，所以函数在单调递减，在和单调递增，所以为函数的极大值点，为函数的极小值点.
综上所述，当时，无极值点；当时，有个极值点. (12)
分
22．(Ⅰ) (Ⅱ)
解：（Ⅰ）由，，代入曲线
得，即…………………5分
（Ⅱ）将代入得，，
设直线上的点对应的参数分别为，
则，
所以中点M的轨迹方程为（为参数），
消去参数，得M点的轨迹的普通方程为…………………10分23．（1）（2）
（1）当时，原不等式化简为，即；
当时，原不等式化简为，恒成立，
即；
当时，原不等式化简为，即．
综上，原不等式的解集为．
（2），…………………5分
画出的图像
当时，等价于的图像在直线的上方．
直线恒过定点，点，由图像可知：．
…………………10分。
2018-2019学年辽宁省六校协作体高二下学期期中考试数学(文)试题Word版含答案
2018-2019学年度下学期省六校协作体高二期中考试高二数学（文科）第Ⅰ卷一选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．2．设，则在复平面对应的点位于第()象限A．一B．二C．三D．四3．函数的图象与函数的图象的交点个数为( )A．0个B．1个C．2个D．3个4．已知向量，且，则（）A．B．8C．D．65．已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且在轴上的投影为点，则的值为（）A．1B．2C．3D．46．已知，并且成等差数列，则的最小值为( )A．16B．12C．9D．87．若a，b都是实数，则“>0”是“a2－b2>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．一个盒子里装有标号为1-6的6个大小和形状都相同的小球，其中1到4号球是红球，其余两个是黄球，若从中任取两个球，则取的两个球颜色不同，且恰有1个球的号码是偶数的概率是（）A．B．C．D．9．已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．在中，、、分别为内角、、的对边，若，，，则（）A．B．或C．D．或11．已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的外接圆半径为( )A．B．C．2 D．12．已知函数的图像上存在两个点关于轴对称，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为______．14．设满足约束条件，则的最大值为___________．15．设为锐角，若，则的值为___________．16．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若平面，，，，则球的表面积为__________．三解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）已知：数列的前项和为，且。
辽宁省六校协作体2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题
2018—2019学年度上学期省六校协作体高二期中考试数学试题（文科）一、 选择题1.若等差数列}{n a 中，已知311=a ，452=+a a ，35=n a 则=n ( ) A ． 50 B.51 C.52 D.532.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1S 、3S 、2S 成等差数列，则数列}{n a 的公比q 等于（ ）A.1B.21C. 21- D.2 3．在各项均不为零的等差数列}{n a 中，若112-+=-n n n a a a (n≥2，n ∈N * )， 则2014S 的值为( )A ．2013 B.2014 C.4026 D.4028 4. 设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知324=S S ，则422a a -的值是( ) A. 0 B.1 C.2 D.35. 已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ） A.1>d a ，04>dS B. 01<d a ，04<dS C. 01>d a ，04<dS D.1<d a ，04>dS6.正项等比数列}{n a 中,8165=a a ，则 1032313log .........log log a a a +++的值是（ ）A.2B.5C.10D.207. 设0＜b ＜a ＜1,则下列不等式成立的是 （ ） A ．12<<b ab B ．0log log 2121<<a bC ．222<<abD ．12<<ab a8.已知不等式052>+-b x ax 的解集为}23|{<<-x x ,则不等式052>+-a x bx 的解集为( )A. 31|{-<x x 或}21>xB. }2131|{<<-x x C. }23|{<<-x x D. 3|{-<x x 或}2>x 9. 已知)1,0(=，),33(x =,向量与的夹角为3π,则x 的值为 ( ) A ．3± B ．3± C ．9± D ．3 10. 下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．x x y 4+=B ．2)3(222++=x x yC ．xxee y -+=4 D ．)0(sin 4sin π<<+=x xx y 11. x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为7，则ba 43+的最小值为（ ） A.14 B.7 C.18 D.1312. 有下列结论：（1）命题 R x p ∈∀:，02>x 为真命题 （2）设02:>+x xp ，02:2>-+x x q 则 p 是 q 的充分不必要条件 （3）命题：若0=ab ，则0=a 或0=b ，其否命题是假命题。
2017-2018年辽宁省六校协作体高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2017-2018学年辽宁省六校协作体高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2﹣2x≤0}，则P∩Q=（）A．[0，2]B．（0，2]C．（1，2]D．[1，2] 2．（5分）已知i是虚数单位，则满足z﹣i=|1+2i|的复数z在复平面上对应点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=32，则a3=（）A．B．2C．D．4．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1C．D．6．（5分）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm37．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．B．﹣1C．2D．﹣38．（5分）将长宽分别为2和1的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．5πC．10πD．20π9．（5分）执行图中的程序框图，输出的T=（）A．5B．20C．30D．4210．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣12．（5分）在△ABC，∠C=90°，AB=2BC=4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|=1，则的取值范围为（）A．B．[5，9]C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是．14．（5分）甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话．甲说：是乙做的．乙说：不是我做的．丙说：不是我做的．则做好事的是．（填甲、乙、丙中的一个）15．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是．16．（5分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）=﹣2x+sinx，如果f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则实数a的取值范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，已知内角A，B，C对边分别是a，b，c，且2ccosB=2a+b．（Ⅰ）求∠C；（Ⅱ）若a+b=6，△ABC的面积为，求c．18．（12分）某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为[80，90）、[90，100）、[100，110）、[110，120）、[120，130），由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：（1）完成下面2×2列联表，你能有97.5%的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由；（2）根据所给数据可估计在这次测试中，甲班的平均分是105.8，请你估计乙班的平均分，并计算两班平均分相差几分？附：，其中n=a+b+c+d 19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，B 1B=B 1A=BA=BC=2，∠B 1BC=90°，D 为AC 的中点，AB ⊥B 1D ．（Ⅰ）求证：平面ABC ⊥平面ABB 1A 1；（Ⅱ）求B 到平面AB 1D 的距离．20．（12分）抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点到其焦点F的距离是2．（Ⅰ）求C的方程．（Ⅱ）过点M作圆D：（x﹣a）2+y2=1的两条切线，分别交C于A，B两点，若直线AB的斜率是﹣1，求实数a的值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax．（1）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）在（1）的条件下，求证：f（x）＞0；（3）当a＞1时，求函数f（x）在[0，a]上的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在极坐标系中，点M坐标是（3，），曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是﹣1的直线l 经过点M．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求证直线l和曲线C相交于两点A、B，并求|MA|•|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设关于x的不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a．（1）若a=5，求此不等式解集；（2）若此不等式解集不是空集，求实数a的取值范围．2017-2018学年辽宁省六校协作体高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2﹣2x≤0}，则P∩Q=（）A．[0，2]B．（0，2]C．（1，2]D．[1，2]【解答】解：集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，则P∩Q={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：C．2．（5分）已知i是虚数单位，则满足z﹣i=|1+2i|的复数z在复平面上对应点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由z﹣i=|1+2i|得．复数z在复平面上对应点（，1）所在的象限为第一象限．故选：A．3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=32，则a3=（）A．B．2C．D．【解答】解：根据等差数列的性质，S5=5a3，∴．故选：A．4．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．5．（5分）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos（﹣x+）=sin（x+）+sin（x+）=sin（x+）．故选：A．6．（5分）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm3【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选：B．7．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．B．﹣1C．2D．﹣3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（1，）将C的坐标代入目标函数z=2x﹣y，得z=2﹣=．即z=2x﹣y的最大值为．故选：A．8．（5分）将长宽分别为2和1的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．5πC．10πD．20π【解答】解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，所以长宽分别为2和1的长方形ABCD沿对角线AC折起二面角，得到四面体A ﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的球心O为AC中点，半径，所求四面体A﹣BCD的外接球的表面积为4π×（）2=5π．故选：B．9．（5分）执行图中的程序框图，输出的T=（）A．5B．20C．30D．42【解答】解：根据程序框图，运行如下：S=0 n=0 T=0S=5 n=2 T=2S=10 n=4 T=6S=15 n=6 T=12S=20 n=8 T=20S=25 n=10 T=30此时满足条件S＜T，退出循环，故输出T=30．故选：C．10．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为﹣1，面积为4﹣2故飞镖落在阴影区域的概率为=1﹣．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由题意，a≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解；a＞1时，﹣log2（a+1）=﹣3，∴α=7，∴f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．12．（5分）在△ABC，∠C=90°，AB=2BC=4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|=1，则的取值范围为（）A．B．[5，9]C．D．【解答】解：以CA，CB为坐标轴建立坐标系如图所示：∵AB=2BC=4，∴∠BAC=30°，AC=2设AN=a，则N（2﹣，），M（2﹣，），∴=（2﹣）（2﹣）+=a2﹣5a+9．∵M，N在AB上，∴0≤a≤3．∴当a=0时，取得最大值9，当a=时，取得最小值．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是y=x．【解答】解：双曲线E的标准方程是，则a=2，b=1，即有渐近线方程为y=x，即为y=x．故答案为：y=x．14．（5分）甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话．甲说：是乙做的．乙说：不是我做的．丙说：不是我做的．则做好事的是丙．（填甲、乙、丙中的一个）【解答】解：假设做好事的是甲，则甲说的是假设，乙和丙说的都是真话，不合题意；假设做好事的是乙，则甲和丙说的是真话，乙说的是假话，不合题意；假设做好事的是丙，则甲和丙说的是假话，乙说的是真话，符合题意．综上，做好事的是丙．故答案为：丙．15．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是4．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，a1＞0．∵a8=a6+2a4，∴，化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2．∴a6===1×22=4．故答案为：4．16．（5分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）=﹣2x+sinx，如果f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则实数a的取值范围为．【解答】解：根据题意，函数f（x）=﹣2x+sinx，有f（﹣x）=﹣2（﹣x）+sin（﹣x）=﹣（﹣2x+sinx）=﹣f（x），即f（x）为奇函数，又由f′（x）=﹣2+cosx＜0，函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，则f（1﹣a）＞﹣f（1﹣a2），即f（1﹣a）＞f（a2﹣1），则有，解可得：1＜a＜，即a的取值范围为（1，）；故答案为：（1，）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，已知内角A，B，C对边分别是a，b，c，且2ccosB=2a+b．（Ⅰ）求∠C；（Ⅱ）若a+b=6，△ABC的面积为，求c．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得2sinCcosB=2sinA+sinB，又sinA=sin（B+C），∴2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，∴2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，（sinB＞0）∴，又C∈（0，π）∴；（Ⅱ）由面积公式可得，即ab=2，∴ab=8，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab=36﹣8=28，∴．18．（12分）某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为[80，90）、[90，100）、[100，110）、[110，120）、[120，130），由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：（1）完成下面2×2列联表，你能有97.5%的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由；（2）根据所给数据可估计在这次测试中，甲班的平均分是105.8，请你估计乙班的平均分，并计算两班平均分相差几分？附：，其中n=a+b+c+d【解答】解：（1）a=12，b=38，e=36，f=64，…（2分），…（4分）∵P （ K 2＞5.204）=0.025，∴有97.5%的把握认为这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关” …（6分）（2）乙班各段人数分别是：…（8分）估计乙班的平均分为：…（10分）两班平均分相差4（分）．…（12分）19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B=B1A=BA=BC=2，∠B1BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B1D．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求B到平面AB1D的距离．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点为O，连接OD，OB1．因为B1B=B1A，所以OB1⊥AB．又AB⊥B1D，OB1∩B1D=B1，所以AB⊥平面B1OD，因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD，由已知，BC⊥B1B，又OD∥BC，所以OD⊥⊥B1B，因为AB∩B1B=B，所以OD⊥平面ABB1A1．又OD⊂平面ABC，所以平面平面ABC⊥平面ABB1A1；…（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，B1O=，S△ABC==2，B 1A=2，AC=B1C=2，=，因为B 1O⊥平面ABC，所以==，设B到平面AB 1D的距离是d，则==d，得B到平面AB1D的距离d=．…（12分）20．（12分）抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点到其焦点F的距离是2．（Ⅰ）求C的方程．（Ⅱ）过点M作圆D：（x﹣a）2+y2=1的两条切线，分别交C于A，B两点，若直线AB的斜率是﹣1，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）C的准线是，根据抛物线定义有，p=2，故C的方程是y2=4x．…（4分）（Ⅱ）设，，则，所以y1+y2=﹣4．…（6分）因为M（1，2），所以MA斜率，同理MB斜率，所以．…（8分）可设经过点M的圆D切线方程是y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0，则，得（a2﹣2a）k2+4（a﹣1）k+3=0，故．因此，a=1．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax．（1）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）在（1）的条件下，求证：f（x）＞0；（3）当a＞1时，求函数f（x）在[0，a]上的最大值．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．所以f（0）=1，f′（0）=﹣1，切线方程为y=﹣x+1即x+y﹣1=0；（2）证明：由（Ⅰ）知f′（x）=0，则x=ln2．当x＜ln2时，f′（x）＜0；当x＞ln2时，f′（x）＞0．所以f（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．当x=ln2时，函数最小值是f（ln2）=2（1﹣ln2）＞0，因此f（x）＞0；（3）f′（x）=e x﹣a，令f′（x）=0，则x=lna＞0．当a＞1时，设g（a）=a﹣lna，因为，所以g（a）=a﹣lna在（1，+∞）上单调递增，且g（1）=1﹣ln1=1，所以g（a）=a﹣lna＞0在（1，+∞）恒成立，即a＞lna．当0＜x＜lna，f′（x）＜0，当lna＜x＜a，f′（x）＞0；所以f（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，a）上单调递增．所以f（x）在[0，a]上的最大值等于max{f（0），f（a）}．因为f（0）=1，f（a）=e a﹣a2．设h（a）=f（a）﹣f（0）=e a﹣a2﹣1（a＞1），所以h′（a）=e a﹣2a．由（2）知h′（a）=e a﹣2a＞0在（1，+∞）恒成立，所以h（a）在（1，+∞）上单调递增，又因为h（1）=e﹣1﹣1=e﹣2＞0，所以h（a）＞0在（1，+∞）恒成立，即f（a）＞f（0），因此当a＞1时，f（x）在[0，a]上的最大值为f（a）=e a﹣a2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在极坐标系中，点M坐标是（3，），曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是﹣1的直线l 经过点M．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求证直线l和曲线C相交于两点A、B，并求|MA|•|MB|的值．【解答】解：（1）∵点M的直角坐标是（0，3），直线l倾斜角是1350，…（1分）∴直线l参数方程是，即，…（3分）即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ化简得x2+y2﹣2x﹣2y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0；…（5分）（2）代入x2+y2﹣2x﹣2y=0，得，∵△＞0，∴直线l和曲线C相交于两点A、B，…（7分）设的两个根是t1，t2，t1t2=3，∴|MA|•|MB|=|t1t2|=3．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设关于x的不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a．（1）若a=5，求此不等式解集；（2）若此不等式解集不是空集，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=5时，不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜5⇔，或 ，或 ．解得1＜x ＜3，或 3≤x ＜4，或 4≤x ＜6．因此此不等式解集是{x|1＜x ＜6}． …………（5分） （2）因为|x ﹣4|+|x ﹣3|≥|（x ﹣4）﹣（x ﹣3）|=1， 当（x ﹣4）（x ﹣3）≤0， 即3≤x ≤4时取等号，所以此不等式解集不是空集时，实数a 的取值范围是{a|a ＞1}．…………（10分）。
2019-2020学年辽宁省协作校2018级高二下学期期中考试数学试卷参考答案
h′(x) = ex - x2 - 1 - mx ≥ 0 对任意 x > 0 都成立即可 ……8 分
从而可得
ex
-
x2 x
-
1
≥
m
，故只需求 m 使其小于或等于函数
ex
-
x2 x
-1
在
(0, +∞)
上的最小值
即可。 ……9 分
令
t(x) =
ex
-
x2 x
-
1,x
∈(0, +∞)
，则
t′(x) =
(x
t(x) 为增函数，所以 t(x) 在 x = 1 处取得最小值，其最小值为 e - 2 ，
所以只要 m ≤ e - 2 即可。……12 分
22（. 1）由
f (x) 可得
f ′(x) = x +
1 x
-a=
x2 - ax + 1 x
，（x>0）,
……1 分
因为
x+
1 x
≥2
，所以当 a ≤ 2 时，f ′(x) ≥ 0 ，所以
|GH| =
2 ，|MN| = 2
2
，故
|GH|2 + |MN|2 S
=
1 2
×
2+8 2 ×2
2 = 5 ；……5 分
当 lGH 、lMN 两直线斜率都存在时，则设 lGH 、lMN 的斜率分别为 k、k1 ，则：kk1 = -1 ，
ìy = k(x + 1)
( ) 设 lGH
的方程为：y = k(x + 1) ，由 íïx2
a
+
a2 2
-
D_辽宁省六校协作体2018-2019学年高二下学期期初考试数学(理)试题(解析版)
辽宁省六校协作体2018-2019学年高二下学期期初考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则 A ={x||x|<1}B ={x|x(x ‒3)<0}A ∪B =()A. B. C. D. (‒1,0)(0,1)(‒1,3)(1,3)【答案】C【解析】解：集合，A ={x||x|<1}={x|‒1<x <1}，B ={x|x(x ‒3)<0}={x|0<x <3}则．A ∪B ={x|‒1<x <3}=(‒1,3)故选：C ．解不等式得出集合A 、B ，根据并集的定义写出．A ∪B 本题考查了不等式的解法与集合的运算问题，是基础题．2.已知命题p ：，，则为 ∀x ∈R x 2‒2x +4≤0¬p ()A. ， B. ∀x ∈R x 2‒2x +4≥0∃x 0∈R,x 20‒2x 0+4>0C. ， D. ∀x ∉R x 2‒2x +4≤0∃x 0∉R,x 20‒2x 0+4>0【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：，，则为：∀x ∈R x 2‒2x +4≤0¬p ．∃x 0∈R,x 20‒2x 0+4>0故选：B ．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.已知等差数列的前n 项和为，若，则 {a n }S n a 2+a 6=14S 7=()A. 13B. 35C. 49D. 63【答案】C【解析】解：等差数列的前n 项和为，，∵{a n }S n a 2+a 6=14．∴S 7=72(a 1+a 7)=72(a 2+a 6)=72×14=49故选：C ．由等差数列性质得：，由此能求出结果．S 7=72(a 1+a 7)=72(a 2+a 6)本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．4.已知为锐角，且，则的值是 αtan(π‒α)+3=0sinα()A.B.C.D.1331010377355【答案】B【解析】解：为锐角，且，即，∵αtan(π‒α)+3=‒tanα+3=0tanα=3，∴cosα=11+tan 2α=1010则．sinα=1‒cos 2α=31010故选：B ．已知等式利用诱导公式变形，求出的值，根据为锐角，求出的值，即可求出的值．tanααcosαsinα此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5.已知向量，满足，，，则 ⃗a ⃗b |⃗a|=1|⃗a‒⃗b|=3⃗a⋅(⃗a‒⃗b)=0|⃗b ‒2⃗a |=()A. 2B. C. 4D. 2343【答案】A 【解析】解：，，可得|⃗a|=1|⃗a‒⃗b|=3⃗a2‒2⃗a ⋅⃗b+⃗b2=3，可得，⃗a⋅(⃗a‒⃗b)=0⃗a 2‒⃗a ⋅⃗b=0解得，．⃗a ⋅⃗b=1⃗b2=4则．|⃗b‒2⃗a|=⃗b2‒4⃗a ⋅⃗b+4⃗a2=4‒4+4=2故选：A ．利用已知条件求出，求出的值，然后求解向量的模即可．|⃗b|⃗a ⋅⃗b 本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查计算能力．6.函数且的图象恒过定点A ，若点A 在直线上，其中y =log a (x ‒3)+1(a >0a ≠1)mx +ny ‒1=0，则的最小值为 m ⋅n >04m +1n ()A. 16B. 24C. 25D. 50【答案】C【解析】解：令，解得，，x ‒3=1x =4y =1则函数且的图象恒过定点，y =log a (x ‒3)+1(a >0a ≠1)A(4,1)，∴4m +n =1，当且仅当时取等∴4m +1n =(4m +1n )(4m +n)=16+1+4n m +4m n ≥17+24nm⋅4m n=17+8=25m =n =15号，故则的最小值为25，4m+1n故选：C ．最值问题长利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键函数且.y =log a (x ‒3)+1(a >0的图象恒过定点A ，知，点A 在直线上，得又，，a ≠1)A(4,1)mx +ny ‒1=04m +n =1mn >0∴m >0，下用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．n >0均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，.特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单.调性求最值也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立有时也可利用柯西不等式以确保..等号成立，取得最值．7.已知m ，n ，是直线，，，是平面，给出下列命题：αβγ若，，，则或．①α⊥βα∩β=m n ⊥m n ⊥αn ⊥β若，，，则．②α//βα∩γ=m β∩γ=n m//n 若，，，，则③m ⊂αn ⊂αm//βn//βα//β若，且，，则且④α∩β=m n//m n⊄αn⊄βn//αn//β其中正确的命题是 ()A. B. C. D. ①②②④②③③④【答案】B【解析】解：若，，，则n 和和两个平面之间有相交，在面上故不正确，α⊥βα∩β=m n ⊥m αβ.①若，，，则这是两个平面平行的性质定理，故正确．α//βα∩γ=m β∩γ=n m//n.②若，，，，则，缺少两条直线相交的条件，故不正确，m ⊂αn ⊂αm//βn//βα//β③若，且，，则且，正确，α∩β=m n//m n⊄αn⊄βn//αn//β④故选：B ．和和两个平面之间有相交，在面上故不正确，根据两个平面平行的性质定理，得到正确缺少①n αβ.①②.③两条直线相交的条件，故不正确，正确．③④本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，本题解题的关键是正确写出几个元素之间的关系，不要理解不全面，这里题目中出错的地方也是我们经常出错的地方．8.已知函数的部分图象如图所示，则函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)图象的一个对称中心可能为 g(x)=Acos(φx +ω)()A.B.C.D.(‒52,0)(16,0)(‒13,0)(56,0)【答案】D【解析】解：由图观察可知：，，，，A =23T2=6‒(‒2)=8∴T =16ω=2πT=2π16=π8代入最高点得，，，(10,23)sin (π8×10+φ)=1∴φ=π2+2kπ‒5π4k∈Z 又，，，|φ|<π∴k =o φ=‒3π4，∴g(x)=23cos (‒3π4x +π8)由，，‒34πx +π8=kπ+π2k ∈Z ，，∴x =‒43k ‒12k ∈Z 当时，，所以一个对称中心可能为k =‒1x =56(56,0)故选：D ．由图观察可得A ，T ，再求得代入最高点可得，所以可得的解析式，再求得对称中心横坐标．ω.φg(x)本题考查了由的部分图象确定其解析式属中档题．y =Asin(ωx +φ).9.过抛物线的焦点F 作倾斜角为的直线，交抛物线于A 、B 两点，则 y 2=2px(p >0)π6|AF||BF|=()A. B. C. D. 7+437‒437±437±23【答案】C【解析】解：抛物线的焦点坐标为，y 2=2px(p >0)(p2,0)直线l 倾斜角为，∵30∘直线l 的方程为：∴y ‒0=33(x ‒p2).设直线与抛物线的交点为、，A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)，，∴|AF|=x 1+p2|BF|=x 2+p2联立方程组，消去y 并整理，得，4x 2‒28px +p 2=0解得，，或，，x 1=7+432px 2=7‒432px 2=7+432px 1=7‒432p当，时，x 1=7+432px 2=7‒432p，，∴|AF|=x 1+p2=(4+23)p |BF|=x 2+p2=(4‒23)p ：，∴|AF||BF|=4+234‒23=7+43当，时，x 2=7+432px 1=7‒432p：，∴|AF||BF|=4‒234+23=7‒43故选：C ．写出抛物线的焦点坐标，然后，求解直线的方程，利用焦半径公式求解比值．本题重点考查了抛物线的几何性质、方程、直线与抛物线的位置关系等知识，属于中档题．10.已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，若C 上存在一点P 满足，且x 2m 2‒y 2m 2‒1=1F 1F 2PF 1⊥PF 2的面积为3，则该双曲线的离心率为 △PF 1F 2()A. B. C. 2 D. 35272【答案】B【解析】解：不妨设双曲线右支上存在一点P ，使，可得，∵PF 1⊥PF 2|PF 1|‒|PF 2|=2a ，，∴|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2∴|PF 1|⋅|PF 2|=2b 2的面积为，即，，．∴△PF 1F 212|PF 2|⋅|PF 2|=b 2=3m 2‒1=3∴a 2=m 2=4c 2=7则该双曲线的离心率为．e =c a =72故选：B ．根据双曲线的定义结合直角三角形的性质建立方程关系进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据向量垂直的等价条件结合直角三角形的边角关系以及双曲线的定义是解决本题的关键．11.已知，若有四个不同的实根，，，且，f(x)={|log 2(x ‒1)|,1<x ≤312x 2‒5x +232,x >3f(x)=m x 1x 2x 3x 4x 1<x 2<x 3<x 4则的取值范围为 (mx 1+mx 2)⋅(x 3+x 4)()A. B. C. D. (0,10)[0,10](0,4)[0,4]【答案】A【解析】解：的图象如右：f(x)={|log 2(x ‒1)|,1<x ≤312x 2‒5x +232,x >3有四个不同的实根，，，且，f(x)=m x 1x 2x 3x 4x 1<x 2<x 3<x 4可得，x 3+x 4=10且，|log 2(x 1‒1)|=|log 2(x 2‒1)|即为，log 2(x 1‒1)+log 2(x 2‒1)=0即有，(x 1‒1)(x 2‒1)=1即为，x 1x 2=x 1+x 2可得(m x 1+mx 2)(x 3+x 4)=10m ⋅x 1+x 2x 1x 2，=10m 由，可得，0<m <10<10m <10故选：A ．画出的图象，由对称性可得，对数的运算性质可得，代入要求的式子，结合f(x)x 3+x 4=10x 1x 2=x 1+x 2图象可得所求范围．本题考查分段函数的图象和应用：求自变量的范围，考查图象的对称性和对数的运算性质，属于中档题．12.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于M 、N 两点，MN 中点F(0,33)4x +3y ‒13=0的横坐标为1，则此椭圆的方程是 ()A.B.C.D.y 232+x 25=1x 232+y 25=1y 236+x 29=1x 236+y 29=1【答案】C【解析】解 设椭圆方程为，依题意，y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)c =33设，，可得：；，M(x 1,y 1)N(x 2,y 2)y 21a 2+x 21b 2=1y 22a 2+x 22b 2=1两式作差化简可得：，y 2‒y 1x 2‒x 1=‒a 2b2⋅x 1+x 2y1+y 2=‒43直线与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，4x +3y ‒13=0则，则，，，解得x 1+x 2=2y 1+y 2=6∴a 2b2⋅13=43a 2‒b 2=27b 2=9.a 2=36椭圆的标准方程是：∴y 236+x 29=1..故选：C ．先设出椭圆的方程，然后利用平方差法，及MN 的中点的横坐标为1，即得a ，b ，然后求解椭椭圆标准方程．本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单性质，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x ，y 满足约束条件则的最大值为______．{x ≥0x ‒y ≥02x ‒y ‒2≤0z =3x ‒2y 【答案】4【解析】解：依题意，画出可行域如图示，()则对于目标函数，z =3x ‒2y 当直线经过时，A(0,‒2)z 取到最大值，．Zmax =4故答案为：4．先根据约束条件画出可行域，设，再利用z 的几z =3x‒2y 何意义求最值，只需求出直线过可行域内的点A z =3x ‒2y 时，从而得到的最大值即可．z =3x ‒2y 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最.优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．14.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为______．y =x +1(x ‒3)2+y 2=1【答案】7【解析】解：从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．圆心到直线的距离为：．42=22切线长的最小值为：，(22)2‒1=7故答案为：7从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．本题考查直线和圆的方程的应用，圆的切线方程，考查转化的数学思想，是基础题．15.三棱锥，平面ABC ，，，单位：，则三棱锥P ‒ABC PA ⊥∠ABC =90∘PA =AB =1,BC =2(cm)外接球的体积等于______．P ‒ABC cm 3【答案】4π3【解析】解：三棱锥中，平面ABC ，，P ‒ABC PA ⊥AB ⊥BC ，，PA =AB =1BC =2画出几何图形如图所示；补充图形为长方体，则棱长分别为1，1，；2对角线长为，∵12+12+(2)2=2三棱锥的外接球的半径为1，∴D ‒ABC 该三棱锥外接球的体积为．∴43×π×13=4π3cm 3故答案为：．4π3补充图形为长方体，三棱锥的外接球，与棱长为1，1，的长方体外接球是同一个外接球，用长方P ‒ABC 2体的对角线长求外接球的半径，可得球的体积．本题考查了空间几何体的性质，构建容易操作的几何体，把问题转化求解是关键．16.已知数列中，，，若对于任意的，，不等式{a n }a 1=2n(a n +1‒a n )=a n +1n ∈N ∗.t ∈[0,1]n ∈N ∗恒成立，则实数a 的取值范围为______．a n +1n +1<‒2t 2‒(a +1)t +a 2‒a +3【答案】或a ≤‒1a ≥3【解析】解：根据题意，数列中，，{a n }n(a n +1‒a n )=a n +1，∴na n +1‒(n +1)a n =1，∴a n +1n +1‒a nn ═1n(n ‒1)=1n ‒1n +1，∴a n +1n +1=(a n +1n +1‒a nn )+(a nn ‒a n ‒1n ‒1)+…+(a 2‒a 1)+a 1，=(1n ‒1n +1)+(1n ‒1‒1n )+…+(1‒12)+2=3‒1n +1<3不等式恒成立，∵a n +1n +1<‒2t 2‒(a +1)t +a 2‒a +3∴3≤‒2t 2‒(a +1)t +a 2‒a +3，在上恒成立，∴2t 2+(a +1)t ‒a 2+a ≤0t ∈[0,1]设，，f(a)=2t 2+(a +1)t ‒a 2+a t ∈[0,1]，即，解得或，∴{f(0)≤0f(1)≤0{‒a 2+a ≤02+a +1‒a 2+a ≤0a ≤‒1a ≥3故答案为：或．a ≤‒1a ≥3根据题意，数列中，，可得，利用迭代法和裂项求和，以{a n }n(a n +1‒a n )=a n +1a n +1n +1‒a nn ═1n(n ‒1)=1n ‒1n +1及放缩法可得，则原不等式可转化为，在上恒成立，构造函数a n +1n +1<32t 2+(a +1)t ‒a 2+a ≤0t ∈[0,1]，，可得，解得即可f(a)=2t 2+(a +1)t ‒a2+a t ∈[0,1]{f(0)≤0f(1)≤0本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对的变形，属于难题n(a n +1‒a n )=a n +1三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，，△ABC C =60∘2c =3b.求角A ，B 的大小；(1)若D 为边AC 上一点，且，的面积为，求BD 的长．(2)a =4△BCD 3【答案】本题满分为12分()解：，可得：，由，可得：，(1)∵C =60∘sinC =322c =3b cb=32又由正弦定理，可得：，解得：，∵cb=sinCsinB 32sinB=32sinB =22由已知可得，可得B 为锐角，∵b <c 可得：，．∴B =45∘A =π‒B ‒C =75∘的面积为，即：，解得：，(2)∵△BCD 312a⋅CD ⋅sinC =12×4×CD ×32=3CD =1由余弦定理可得：．∴BD =BC 2+CD 2‒2BC ⋅CD ⋅cosC =42+12‒2×4×1×12=13【解析】由，可得，由，可得：，又由正弦定理可得：，解得，(1)C =60∘sinC 2c =3b cb=323sinB =32sinB 结合，可得B 为锐角，利用三角形内角和定理可求B ，A 的值．b <c 利用三角形面积公式及已知可求CD ，由余弦定理即可解得BD 的值．(2)本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，考查了数形结合思想的应用和计算能力，属于中档题．18.已知数列的前n 项和满足，且{a n }S n 2S n =a 2n +n ‒1a n >1求数列的通项公式；(1){a n }求的值．(2)T n =a 1⋅2a 1+a 2⋅2a 2+…+a n ⋅2an 【答案】解：当时，，，解得．(1)n =12S 1=2a 1=a 21+1‒1a 1>1a 1=2当时，，n ≥22a n =2(S n ‒S n ‒1)=a 2n +n ‒1‒(a 2n ‒1+n ‒2)化为：，又，(a n +a n ‒1‒1)(a n ‒a n ‒1‒1)=0a n >1，∴a n ‒a n ‒1=1数列是公差为1的等差数列，公差为1．∴{a n }．∴a n =2+(n ‒1)=n +1．(2)a n ⋅2a n=(n +1)⋅2n +1，∵T n =2×22+3×23+4×24+…+(n +1)⋅2n +1，2T n =2×23+3×24+…+n ⋅2n +1+(n +1)⋅2n +2两式相减得：，‒T n =23+(23+24+…+2n +1)‒(n +1)⋅2n +2=8+8(2n ‒1‒1)2‒1‒(n +1)⋅2n +2=‒n ⋅2n +2．∴T n =n ⋅2n +2【解析】当时，，，解得当时，，又，(1)n =12S 1=2a 1=a 21+1‒1a 1>1a 1.n ≥22a n =2(S n ‒S n ‒1)a n >1，利用等差数列的通项公式即可得出．a n ‒a n ‒1=1利用错位相减法即可得出．(2)a n ⋅2a n=(n +1)⋅2n +1.本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：分组频数频率[40,50)a 0.04[50,60)3b [60,70)140.28[70,80)150.30[80,90)c d[90,100]40.08合计501写出a ，b ，c ，d 的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分同一组中的数据用该组区间的中(1)(点值作代表；)现从成绩在内的学生中任选出两名同学，从成绩在内的学生中任选一名同学，共三(2)[90,100][40,50)名同学参加学习习惯问卷调查活动若同学的数学成绩为43分，同学的数学成绩为95分，求，.A 1B 1A 1两同学恰好都被选出的概率．B 1【答案】解：由频率分布表，得：，(1){a 50=0.04350=ba +3+14+15+c +4=500.04+b +0.28+0.30+d +0.08=1解得，，，，a =2b =0.06c =12d =0.24估计本次考试全年级学生的数学平均分为：．45×0.04+55×0.06+65×0.28+75×0.3+85×0.24+95×0.08=73.8设数学成绩在内的四名同学分别为，，，，(2)[90,100]B 1B 2B 3B 4成绩在内的两名同学为，，[40,50)A 1A 2则选出的三名同学可以为：、、、、、、、A 1B 1B 2A 1B 1B 3A 1B 1B 4A 1B 2B 3A 1B 2B 4A 1B 3B 4A 2B 1B 2、、、、，共有12种情况．A 2B 1B 3A 2B 1B 4A 2B 2B 3A 2B 2B 4A 2B 3B 4，两名同学恰好都被选出的有、、，共有3种情况，A 1B 1A 1B 1B 2A 1B 1B 3A 1B 1B 4所以，两名同学恰好都被选出的概率为．A 1B 1P =312=14【解析】由频率分布表，列出方程组，能求出a ，b ，c ，d 的值，由此能估计本次考试全年级学生的数学(1)平均分．设数学成绩在内的四名同学分别为，，，，成绩在内的两名同学为，，利(2)[90,100]B 1B 2B 3B 4[40,50)A 1A 2用列举法能求出，两名同学恰好都被选出的概率．A 1B 1本题考查频率分布表曲的应用，考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20.已知抛物线C ：的焦点为，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点．y 2=2px(p >0)F(1,0)求抛物线C 的方程；(I)Ⅱ若直线OA ，OB 的斜率之积为，求证：直线AB 过定点．()‒12【答案】解：Ⅰ因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以．()y 2=2px(p >0)(1,0)p2=1p =2所以抛物线C 的方程为分y 2=4x (4)Ⅱ证明：当直线AB 的斜率不存在时，()①设 ，，A(t 24,t)B(t 24,‒t)因为直线OA ，OB 的斜率之积为，‒12所以，化简得．tt24⋅‒tt24=‒12t 2=32所以，，此时直线AB 的方程为分A(8,t)B(8,‒t)x =8 (7)当直线AB 的斜率存在时，设其方程为，，，②y =kx +b A(x A ,y A )B(x B ,y B )联立得化简得分{y 2=4xy =kx +b ky 2‒4y +4b =0 (8)根据根与系数的关系得，y A y B =4b k 因为直线OA ，OB 的斜率之积为，‒12所以，yA xA⋅yB xB =‒12即．x A x B +2y A y B =0即，y 2A4⋅y 2B4+2y A y B =0解得舍去或．y A y B =0()y A y B =‒32所以，即，所以，y A y B =4b k=‒32b =‒8k y =kx ‒8k 即．y =k(x ‒8)综上所述，直线AB 过x 轴上一定点分(8,0) (12)【解析】利用抛物线的焦点坐标，求出p ，然后求抛物线C 的方程；(I)Ⅱ通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化()求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，设而不求方法的应用．21.如图，在直角梯形中，，，直角梯形通过AA 1B 1B ∠A 1AB =90∘A 1B 1//AB AB =AA 1=2A 1B 1=2.AA 1C 1C 直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面，M 为线段BC 的中点，AA 1B 1B AA 1AA 1C 1C ⊥AA 1B 1B P 为线段上的动点．BB 1Ⅰ求证：；()AC ⊥AB Ⅱ当点P 是线段中点时，求二面角的余弦值；()BB 1P ‒AM ‒B Ⅲ是否存在点P ，使得直线平面AMP ？请说明理由．()A 1C//【答案】证明：Ⅰ由已知，平面平面()∠A 1AC =90∘AA 1C 1C ⊥，AA 1B 1B 平面，平面平面，AC ⊂ACC 1A 1ACC 1A 1∩ABB 1A 1=AA 1平面，∴AC ⊥ABB 1A 1平面，．∵AB ⊂ABB 1A 1∴AC ⊥AB 解：Ⅱ由Ⅰ知AC 、AB 、两两垂直，()()AA 1分别以AC 、AB 、为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，AA 1由已知，AB =AC =AA 1=2A 1B 1=2A 1C 1=20，，2，，0，，1，，0，∴A(0,0)B(0,0)C(2,0)B 1(0,2)A 1(0,，2)为线段BC 的中点，P 为线段的中点，∵M BB 11，，，1，，，∴M(1,0)P(0,32,1)⃗AM =(1,0)⃗AP=(0,32,1)设平面APM 的一个法向量y ，，⃗n=(x,z)则，取，得，{⃗n ⋅⃗AM =x +y =0⃗n ⋅⃗AP=32y +z =0x =2⃗n =(2,‒2,3)平面ABM 的法向量0，，⃗m=(0,1)由图知二面角的大小为锐角，P ‒AM ‒B ，∴|cos <⃗m ,⃗n>|=|⃗m ⋅⃗n||⃗m|⋅|⃗n|=317=31717二面角的余弦值为．∴P ‒AM ‒B 31717Ⅲ存在点P ，使得直线平面AMP ．()A 1C//理由如下：设，且，，则，P(x 1,y 1,z 1)⃗BP =λ⃗BB 1λ∈[0,1](x 1,y 1‒2,z 1)=(0,‒λ,2λ)设平面AMP 的一个法向量y ，，⃗p=(x,z)则，取，得1，，不符合题意，{⃗p ⋅⃗AM=x +y =0⃗p ⋅⃗AP=(2‒λ)y +2λz =0y =1⃗p=(‒1,λ‒22λ)(λ=0)0，，平面AMP ，，∵⃗A 1C=(2,‒2)A 1C//∴⃗A 1C⊥⃗p ，解得，∴⃗A 1C ⋅⃗p =‒2‒λ‒2λ=0λ=23存在点P ，使得直线平面AMP ．∴A 1C//【解析】Ⅰ平面平面，从而平面，由此能证明．()AA 1C 1C ⊥AA 1B 1B AC ⊥ABB 1A 1AC ⊥AB Ⅱ以AC 、AB 、为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．()AA 1P ‒AM ‒B Ⅲ设，且，，则，求了平面AMP 的一个法向量，利()P(x 1,y 1,z 1)⃗BP =λ⃗BB 1λ∈[0,1](x 1,y 1‒2,z 1)=(0,‒λ,2λ)用向量法能求出存在点P ，使得直线平面AMP ．A 1C//本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面平行的证明是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：的离心率为，点在椭圆C 上．x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)12M(1,32)Ⅰ求椭圆C 的方程；()Ⅱ已知与为平面内的两个定点，过点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边()P(‒2,0)Q(2,0)(1,0)形APBQ 面积的最大值．【答案】解：由可得，，又因为，所以(I)ca=12a =2c b 2=a 2‒c 2b 2=3c 2所以椭圆C 方程为，又因为在椭圆C 上，所以x 24c 2+y 23c 2=1M(1,32)124c 2+(32)23c 2=1所以，所以，，故椭圆方程为．c 2=1a 2=4b 2=3x 24+y 23=1方法一：设l 的方程为，联立，(II)x =my +1{x 24+y 23=1x =my +1消去x 得，设点，，(3m 2+4)y 2+6my ‒9=0A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)有，△>0,y 1+y 2=‒6m 3m 2+4,y 1y 2=‒93m 2+4所以令|y 1‒y 2|=(y 1+y 2)2‒4y 1y 2=(‒6m 3m 2+4)2‒4×‒93m 2+4=12m 2+13m 2+4S =12×4×12m 2+1(3m 2+4)，t =1+m 2,t ≥1有，由函数，S =24t 3t 2+1=243t +1ty =3t +1tt ∈[1,+∞)y'=3‒1t 2>0,t ∈[1,+∞)故函数，在上单调递增，y =3t +1t[1,+∞)故，故3t +1t≥4S =24t3t 2+1=243t +1t≤6当且仅当即时等号成立，t =1m =0四边形APBQ 面积的最大值为6．方法二：设l 的方程为，联立，x =my +1{x 24+y 23=1x =my +1消去x 得，设点，，(3m 2+4)y 2+6my ‒9=0A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)有，△>0,y 1+y 2=‒6m 3m 2+4,y 1y 2=‒93m 2+4有，|AB|=1+m2121+m 23m 2+4=12(1+m 2)3m 2+4点到直线l 的距离为，P(‒2,0)31+m 2点到直线l 的距离为，Q(2,0)11+m 2从而四边形APBQ 的面积，S =12×12(1+m 2)3m 2+4×41+m 2=241+m 23m 2+4令，t =1+m 2,t ≥1有，S =24t 3t 2+1=243t +1t 函数，y =3t +1tt ∈[1,+∞)y'=3‒1t 2>0,t ∈[1,+∞)故函数，在上单调递增，y =3t +1t[1,+∞)有，故3t +1t≥4S =24t3t 2+1=243t +1t≤6当且仅当即时等号成立，四边形APBQ 面积的最大值为6．t =1m =0方法三：当l 的斜率不存在时，l ：，①x =1此时，四边形APBQ 的面积为6．当l 的斜率存在时，设l 为：，②y =k(x ‒1)(k ≠0)y =k(x ‒1)(k ≠0)则，，{x 24+y 23=1y =k(x ‒1)∴(3+4k 2)x 2‒8k 2x +4k 2‒12=0，△>0,x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2‒123+4k 2，∴|y 1‒y 2|=|k(x 1‒x 2)|=k 2×[(x 1+x 2)2‒4x 1x 2]=12×k 2(k 2+1)(3+4k 2)2四边形APBQ 的面积，∴S =12×4×|y 1‒y 2|=24×k 2(k 2+1)(3+4k 2)2令t =3+4k 2(t >3)t =3+4k 2(t >3)则，．k 2=t ‒34k 2=t ‒34S =6×‒3×(1t )2‒2×1t +1(0<1t <13)综上，四边形APBQ 面积的最大值为6．∴S =6×‒3×(1t )2‒2×1t +1,(0<1t <13)∴0<S <6【解析】由可得，，又，，题意C 方程为，又在椭圆C(I)ca=12a=2c b 2=a 2‒c 2b 2=3c 2x 24c2+y 23c2=1M(1,32)上，可得，基础即可得出．124c 2+(32)23c 2=1方法一：设l 的方程为，联立与椭圆方程联立化为，设点，(II)x =my +1(3m 2+4)y 2+6my ‒9=0A(x 1,y 1)，利用根与系数的关系，可得S ，利用求导研究函数的单调性即可得B(x 2,y 2)|y 1‒y 2|=(y 1+y 2)2‒4y 1y 2出．方法二：设l 的方程为，与椭圆方程联立化为，设点，x =my +1(3m 2+4)y 2+6my ‒9=0A(x 1,y 1)，利用弦长公式可得，点到直线l 的距离为，点到直线l 的距离为，B(x 2,y 2)|AB|P(‒2,0)31+m 2Q(2,0)11+m 2即可得出从而四边形APBQ 的面积利用导数研究函数的单调性即可得出．S.方法三：当l 的斜率不存在时，l ：，此时，四边形APBQ 的面积为6．①x =1当l 的斜率存在时，设l 为：，，联立，可得②y =k(x ‒1)(k ≠0)y =k(x ‒1)(k ≠0){x 24+y 23=1y =k(x ‒1)，利用根与系数的关系、弦长公式可得可得四边形APBQ 的面积(3+4k 2)x 2‒8k 2x +4k 2‒12=0|AB|.，通过换元利用导数研究函数的单调性即可得出．S =12×4×|y 1‒y 2|=24×k 2(k 2+1)(3+4k 2)2本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程的根与系数、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
辽宁省六校协作体2018-2019学年高二下学期期中考试语文试卷含答案
2019年5月辽宁省六校协作体2018-2019学年高二下学期期中考试语文试题一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题,9分)阅读下面的文字，回答1-3题。
入宋以后城市发展空前兴盛，但城市人口的不断增长和社会关系的快速变化，也带来激烈的社会竞争，导致居民贫富分化日趋严重，引发一系列的社会问题，有时影响到统治秩序的稳定。
在这种情况下，政府不得不调整政策，结合城市社会的特点，探索有别于传统荒政的救助体制。
宋代城市官方救助体制是在北宋中后期逐渐建立起来的。
嘉祐二年，宋仁宗下诏，今天下设置广惠仓，用以救助各地“在城老幼贫乏不能自存者”。
这是宋廷首次颁布面向全国的城市救助政策，由此形成以广惠仓救助城市、常平仓救助乡村的格局。
此后，宋廷又陆续颁布一系列救助政策和措施。
及宋徽宗即位，进一步推进救助活动的制度化，形成了济、养、赈结合的较为全面和系统的城市救助体系。
宋室南渡后，城市官方救助的主体由中央朝廷逐渐转向地方政府，各地根据自身的实际情况自主地开展救助活动。
与传统侧重对灾荒民众的临时性救助不同，围绕城市建立的官方救助以日常性的贫困救济和生活保障为重点，其救助对象涉及各种城市“贫民”和“穷民”。
所谓“贫民”，包括资产微薄的坊郭下等主户和没有资产的客户等；所谓“穷民”，包括老幼孤寡、疾病残废、流浪乞丐等，需要依靠救助才能生存。
前者重在对各类贫穷群体的日常救济，以帮助他们维持最基本的生活；后者是对诸如贫困士人、宗室、老人、寡妇等特定群体的优待抚恤，以帮助他们稳定生活。
方式有无偿（免费发放钱米等）、有偿（平价或减价出售粮食等生活必需品）、收养（集中安置）、放免（减免税收和相关费用）、资助（针对特定情況的额外救助）等。
民间救助是宋代城市社会救助体系的重要组成部分，它是随着市民阶层的发展壮大和市民社会意识的不断增强而兴起的。
参与城市民间救助的涉及工商业者、官僚士人、佛道人员等众多社会群体。
其中，官僚士人大多本着传統儒学所倡导的仁义思想和社会理想，将参与社会救助活动视为仁义的实践与推广。
辽宁省六校协作体2018-2019学年高二下学期期初考试数学(文)试卷(有答案)
辽宁省六校协作体2018-2019学年高二下学期期初考试数学（文）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1.设集合{}|1A x x =<，(){}|30B x x x =-<，则A B =（ ） A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,3 D ．()1,3- 2．命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为A ．042,2≥+-∈∀x x R xB ．042,0200>+-∈∃x x R xC ．042,2≤+-∉∀x x R xD ．042,0200>+-∉∃x x R x3、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1462=+a a ，则7S =（ ） A ．13 B ．35 C ．49 D ．634.已知α为锐角，且03)tan(=+-απ，则αsin 等于 A ．31B.10103 C ．773 D ．5535. 已知向量,a b r r满足||1a =r，||a b -=r r ()0a a b ⋅-=r r r ，则|2|b a -=rr（）A.2B.C.4D. 6. 函数（且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A.16B.24C.50D.25 7．已知m n ，,是直线，αβγ，，是平面，给出下列命题： ①若αβ⊥，m αβ=，n m ⊥，则n α⊥或n β⊥．②若αβ∥，m αγ=，n βγ=，则m n ∥．③ 若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β． ④若m αβ=，n m ∥且n α⊄，n β⊄，则n αβ∥且n ∥．其中正确的命题是 （ ）A.①,②B.②,③C.②,④D.③,④8.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>><的部分图象如图所示，则函数()cos()g x A x ϕω=+图象的一个对称中心可能为（ ）A ．5(,0)2-B ．1(,0)6 C. 11(,0)6- D ．1(,0)2-9.已知点M （，0），椭圆+y 2=1与直线y=k （x +）交于点A 、B ，则△ABM 的周长为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16 10. 已知双曲线2222:11x y C m m -=-的左、右焦点分别为1F 、2F ，若C 上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ） A．3 11．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3=S 6，则数列的前5项和为（ ） A ．或5B ．或5C ．D ．12. 已知 ，若m x f =)(有四个不同的实根4321,,,x x x x ，且4321x x x x <<<，则()4321x x x m x m +⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的取值范围A ．()10,0B ．[]10,0C ．()4,0D ．[]4,0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<-=3,22352131,)1(log )(22x x x x x x f13.设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y =-的最大值为 .14．已知具有线性相关关系的两个量x ，y 之间的一组数据如表：且回归直线方程是=0.95x+2.6，则m 的值为 ．15.三棱锥ABC P -,ABC PA 平面⊥,90ABC ∠=︒,1,PA AB BC ===（单位：cm ）则三棱锥ABC P -外接球的体积等于 3cm .16. 已知P 是抛物线24y x =上的动点，点Q 是圆22:(3)(3)1C x y ++-=上的动点，点R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,, ， 60=C ，b c 32=.（1）求角B A ,的大小；（2）若D 为边AC 上一点，且4=a ，BCD ∆的面积为3，求BD 的长.18.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =3a n ﹣1，其中n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设，数列{b n }的前n 项和为T n ，若对n ∈N *恒成立，求实数c 的取值范围．19．(本小题满分12分)某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（满分为100分），将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表： （1）写出d c b a ,,,的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在]100,90[内的学生中任选出两名同学，从成绩在)50,40[内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动.若1A 同学的数学成绩为43分，1B 同学的数学成绩为95分，求11,B A 两同学恰好都被选出的概率.20.(本小题满分12分)已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为)0,1(F ，O 为坐标原点，B A 、是抛物线C 上异于O 的两点．（ I ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线OB OA 、的斜率之积为21-，求证：直线AB 过定点． 21.(本小题满分12分) 如图1，菱形ABCD 的边长为6，∠BAD=60°，AC ∩BD=O ．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ﹣ACD ，点M 是棱BC 的中点，．（Ⅰ）求证：OM ∥平面ABD ； （Ⅱ）求三棱锥M ﹣ABD 的体积．22.(本小题满分12分) 已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为，求△AOB 面积的最大值．答案1—5 D B C B A 6-----10 D C D B B 11—12 C A 13—16 4 4.834π317. (1)75,45A B ︒︒== ………………………5分(2)BD = ……………………… 10分18. 解：（1）∵，①当，∴a 1=1，当n≥2，∵，②①﹣②：，即：a n =3a n ﹣1（n≥2）…（4分）又∵a 1=1，∴对n ∈N *都成立，所以{a n }是等比数列，∴…（6分）（2）∵，∴，∴，∴，…（8分）∵，∴T n ＜3对n ∈N *都 成立…（10分）∴3≤c 2﹣2c ，∴c≥3或c≤﹣1，∴实数c 的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），…（12分）19. (1)24.0,12,06.0,2====dc b a ………………………2分估计本次考试全年级学生的数学平均分为8.7308.09524.0853.07528.06506.05504.045=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ (6)分（2）设数学成绩在]100,90[内的四名同学分别为4321,,,B B B B ， 成绩在)50,40[内的两名同学为21,A A ， 则选出的三名同学可以为：211B B A 、311B B A 、411B B A 、321B B A 、421B B A 、431B B A 、212B B A 、312B B A 、412B B A 、322B B A 、422B B A 、432B B A ，共有12种情况.11,B A 两名同学恰好都被选出的有211B B A 、311B B A 、411B B A ，共有3种情况，所以11,B A 两名同学恰好都被选出的概率为41123==P .………………………12分 20.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），所以=1，所以p=2． 所以抛物线C 的方程为y 2=4x ． (4)分（Ⅱ）证明：①当直线AB 的斜率不存在时， 设 A （，t ），B （，﹣t ），因为直线OA ，OB 的斜率之积为﹣，所以=﹣，化简得t 2=32．所以A （8，t ），B （8，﹣t ），此时直线AB 的方程为x=8．…（7分） ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y=kx+b ，A （x A ，y A ），B （x B ，y B ）， 联立得化简得ky 2﹣4y+4b=0．…（8分）根据根与系数的关系得y A y B =，因为直线OA ，OB 的斜率之积为﹣， 所以•=﹣，即x A x B +2y A y B =0．即+2y A y B =0，解得y A y B =0（舍去）或y A y B =﹣32． 所以y A y B ==﹣32，即b=﹣8k ，所以y=kx ﹣8k ，即y=k （x ﹣8）．综上所述，直线AB 过x 轴上一定点（8，0）． (12)分21.证明：（Ⅰ）因为点O是棱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点，又点M是棱BC的中点，所以OM是△ABC的中位线，所以OM∥AB，因为OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD所以OM∥平面ABD．——————————6分解：（Ⅱ）三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积．由题意，OM=OD=3因为，所以∠DOM=90°，OD⊥OM，又因为棱形ABCD，所以OD⊥AC．因为OM∩AC=O，所以OD⊥平面ABC即OD⊥平面ABM所以OD=3为三棱锥D﹣ABM的高，△ABM的面积为所求体积．………………………12分22.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．---------4（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．_____12。
辽宁省鞍山2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷(文科)Word版含解析
辽宁省鞍山2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若（m+i）2为实数，i为虚数单位，则实数m的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．±12．设全集U={1，2，3，4}，集合P={x|x2＜2，x∈N*}，则∁U P=（）A．{2}B．{3}C．{2，3，4}D．{1，4}3．已知a1=3，a2=6且a n+2=a n+1﹣a n，则a3为（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣64．已知函数，那么f[f（）]的值为（）A．9 B．C．﹣9 D．﹣5．函数y=的定义域为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≥1或x=0}C．{x|x≥0} D．{x|x=0}6．“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．下列变量中，具有相关关系的是（）A．正方体的体积与边长B．匀速行驶的车辆所行驶距离与行驶的时间C．人的身高与视力D．人的身高与体重8．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．a＞3或a＜﹣1 B．a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤39．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角10．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形11．在平面直角坐标系xoy中，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意n∈N*，连接原点O与点P n（n，n﹣4），用g（n）表示线段OP n上除端点外的整点个数，则gA．1 B．2 C．3 D．412．已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数z==．14．函数f（x）=的值域是．15．已知x、y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且=0.95x+，则=．2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…，则第60个数对是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．定义运算|=ad﹣bc，如果（x+y）+（x+3）i=，x，y∈R，求z=y﹣xi．18．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高二年级有男生1000人，女生800人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高二年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：（2）由表一表二中统计数据完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．参考公式：x2=（其中n=a+b+c+d）临界值表：（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．设p，q是奇数，求证：方程x2+2px+2q=0没有有理根．21．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足条件：f（xy）=f（x）f（y）对所有正实数x，y成立，且f（2）=4，当x＞1时有f（x）＞1成立．（Ⅰ）求f（1）和f（8）的值；（Ⅱ）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；（Ⅲ）解关于x的不等式：16f（）≥f（x﹣3）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1：（θ为参数），曲线C2：（t为参数）．（1）指出C1，C2各是什么曲线；（2）求曲线C1与C2公共点M的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．辽宁省鞍山2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷（文科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若（m+i）2为实数，i为虚数单位，则实数m的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．±1【考点】复数的基本概念．【分析】根据条件中所给的（m+i）2为实数，根据多项式乘以多项式法则，把结果整理成最简形式，根据这是一个实数，得到它的虚部是0，得到m的值．【解答】解：∵（m+i）2为实数，∴m2﹣1+2mi是一个实数，∴2m=0，∴m=0，故选B．2．设全集U={1，2，3，4}，集合P={x|x2＜2，x∈N*}，则∁U P=（）A．{2}B．{3}C．{2，3，4}D．{1，4}【考点】补集及其运算．【分析】求出集合P中的元素，从而求出其补集即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4}，集合P={x|x2＜2，x∈N*}={1}，则∁U P={2，3，4}，故选：C．3．已知a1=3，a2=6且a n+2=a n+1﹣a n，则a3为（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6【考点】数列递推式．【分析】由递推公式得a3=a2﹣a1，由此能求出结果．【解答】解：∵a1=3，a2=6，且a n+2=a n+1﹣a n，∴a3=a2﹣a1=6﹣3=3．故选：A．4．已知函数，那么f[f（）]的值为（）A．9 B．C．﹣9 D．﹣【考点】函数的值．【分析】首先判断自变量是属于哪个区间，再代入相应的解析式，进而求出答案．【解答】解：∵，∴==﹣2，而﹣2＜0，∴f（﹣2）=3﹣2=．∴=．故选B．5．函数y=的定义域为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≥1或x=0}C．{x|x≥0} D．{x|x=0}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数y=，∴|x|（x﹣1）≥0，解得|x|≥0或x﹣1≥0，即x≥1或x=0；所以函数y的定义域为{x|x≥1或x=0}．故选：B．6．“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由不等式的基本性持得a＞b且c＞d时必有a+c＞b+d．若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b 【解答】解：∵a＞b且c＞d∴a+c＞b+d．若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b，故选A．7．下列变量中，具有相关关系的是（）A．正方体的体积与边长B．匀速行驶的车辆所行驶距离与行驶的时间C．人的身高与视力D．人的身高与体重【考点】变量间的相关关系．【分析】由正方体的体积与边长的公式和匀速直线运动的路程公式知它们都是确定的函数关系，故A、B 不对，根据经验知人的身高会影响体重但不是唯一因素，故是相关关系；人的身高与视力无任何关系．【解答】解：A、由正方体的体积V边长a公式知，V=a3，它们之间的关系是函数关系，故A不对；B、匀速行驶车辆的行驶路程s与时间t为s=vt，其中v为匀速速度，它们之间的关系是函数关系，故B不对；C、人的身高与视力无任何关系，故C不对；D、人的身高会影响体重，但不是唯一因素，故D对．故选D．8．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．a＞3或a＜﹣1 B．a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3【考点】特称命题．【分析】根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使x2+ax+1≥0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．【解答】解：∵命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是“任意实数x，使x2+ax+1≥0”命题否定是真命题，∴△=（a﹣1）2﹣4≤0，整理得出a2﹣2a﹣3≤0∴﹣1≤a≤3故选D．9．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【考点】反证法与放缩法．【分析】根据命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，从而得出结论．【解答】解：由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，故选：B．10．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形【考点】诱导公式的作用．【分析】首先根据正弦、余弦在（0，π）内的符号特征，确定△A1B1C1是锐角三角形；然后假设△A2B2C2是锐角三角形，则由cosα=sin（）推导出矛盾；再假设△A2B2C2是直角三角形，易于推出矛盾；最后得出△A2B2C2是钝角三角形的结论．【解答】解：因为△A2B2C2的三个内角的正弦值均大于0，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值也均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形．若△A2B2C2是锐角三角形，由，得，那么，，这与三角形内角和是π相矛盾；若△A2B2C2是直角三角形，不妨设A2=，则sinA2=1=cosA1，所以A1在（0，π）范围内无值．所以△A2B2C2是钝角三角形．故选D．11．在平面直角坐标系xoy中，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意n∈N*，连接原点O与点P n（n，n﹣4），用g（n）表示线段OP n上除端点外的整点个数，则gA．1 B．2 C．3 D．4【考点】数列的函数特性；进行简单的合情推理．【分析】当n=2012时，线段OP2012为：，即（0＜x＜2012）．只有当x=503，1006，1509时，分别表示整点．【解答】解：线段OP n：（0＜x＜n）．当n=2012时，线段OP2012为：，即（0＜x＜2012）．只有当x=503，1006，1509时，y=502，1004，1506，分别表示整点，，．故g已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【分析】判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣（x+sinx）=﹣f（x），即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）=f[﹣（x2﹣4x+1）]，由f'（x）=1﹣cosx≥0，∴函数单调递增．∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，∵y≥1，∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．设k=，（k＞0）则y=kx+k，即kx﹣y+k=0．当直线和圆相切是，圆心到直线的距离d=，即8k2﹣6k=0，解得k=．此时直线斜率最大．当直线kx﹣y+k=0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，此时3k﹣1+k=0，即4k=1，解得k=，∴，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．复数z==﹣1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】将代数式化简即可．【解答】解：z===﹣1，故答案为：﹣1．14．函数f（x）=的值域是．【考点】函数的值域．【分析】由，令=t≥0，可得x=t2+1，可得f（x）==g（t），通过对t分类讨论，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由，解得x≥1，令=t≥0，可得x=t2+1，∴f（x）==g（t），当t=0时，g（0）=0；当t＞0时，0＜g（t）==．∴函数f（x）的值域是故答案为：．15．已知x、y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且=0.95x+，则= 2.6．【分析】我们根据已知表中数据计算出（，），再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的值．【解答】解：==2，==4.5，∵点（，）在回归直线方程=0.95x+上，∴4.5=0.95×2+，解得：=2.6．故答案为：2.6．16．已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…，则第60个数对是（5，7）．【考点】数列的应用．【分析】把握数对的规律如下：①两个数之和为n的整数对共有n﹣1个，②在两个数之和为n的n﹣1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n﹣1起越来越小．【解答】解：规律是：①两个数之和为n的整数对共有n﹣1个，②在两个数之和为n的n﹣1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n﹣1起越来越小．设两个数之和为2的数对为第1组，数对个数为1；两个数之和为3的数对为第二组，数对个数2；…，两个数之和为n+1的数对为第n组，数对个数为n．又∵1+2+…+10=55，1+2+…+11=66∴第60个数对在第11组之中的第5个数，从而两数之和为12，应为（5，7）；故答案为（5，7）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．定义运算|=ad﹣bc，如果（x+y）+（x+3）i=，x，y∈R，求z=y﹣xi．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由题意得：（x+y）+（x+3）i=（3x+2y）+yi，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：由题意得：（x+y）+（x+3）i=（3x+2y）+yi∴x+y=3x+2y，x+3=y，解得x=﹣1，y=2，∴z=y﹣xi=2+i．18．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高二年级有男生1000人，女生800人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高二年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：（2）由表一表二中统计数据完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．参考公式：x2=（其中n=a+b+c+d）临界值表：【分析】（1）根据条件知道从男生和女生各自抽取的人数，做出频率分布表中的未知数；（2）根据所给的条件写出列联表，根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．【解答】解：（1）设从高一年级男生中抽取m人，则，∴m=25，…∴从高一年级女生中抽取20人，∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2 …∵x2==1.125＜2.706，…∴没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．…（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴===0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．20．设p，q是奇数，求证：方程x2+2px+2q=0没有有理根．【考点】反证法与放缩法．【分析】设存在有理根，则x=中至少有一个为有理数，可得存在有理数a使：4p2﹣8q=a2．设a=2b，再分类讨论，得出矛盾，即可证明结论．【解答】证明：设存在有理根则x=中至少有一个为有理数．∴为有理数即存在有理数a使：4p2﹣8q=a2．p，q是奇数，a整数可设a=2b，∴p2﹣2q=b2，∴p2﹣b2=2q∴（p﹣b）（p+b）=2q若b奇数，则p﹣b，p+b偶数，则2q=（p﹣b）（p+b）为4的倍数，q为偶数，矛盾若b偶数，则p﹣b，p+b奇数，则2q=（p﹣b）（p+b）为奇数，矛盾，∴假设不成立，∴p，q是奇数，方程x2+2px+2q=0没有有理根．21．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足条件：f（xy）=f（x）f（y）对所有正实数x，y成立，且f（2）=4，当x＞1时有f（x）＞1成立．（Ⅰ）求f（1）和f（8）的值；（Ⅱ）证明：函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；（Ⅲ）解关于x的不等式：16f（）≥f（x﹣3）【考点】抽象函数及其应用；指、对数不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用赋值法，代入计算求f（1）和f（8）的值；（Ⅱ）利用单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；（Ⅲ）利用单调性，将不等式化为具体不等式，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）解：∵f（xy）=f（x）f（y），∴f（1×2）=f（1）f（2），∵f（2）=4，∴f（1）=1，f（4）=f（2）f（2）=16，f（8）=f（2）f（4）=64；（Ⅱ）证明：设x1＞x2＞0，则＞1，∵当x＞1时有f（x）＞1成立，∴f（）＞1，∴f（x1）=f（x2•）=f（x2）f（）＞f（x2）∴函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数；（Ⅲ）解：16f（）≥f（x﹣3）可化为f（4×）≥f（x﹣3），∵函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，∴4×≥x﹣3＞0，∴﹣1≤x≤，∴不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知圆O的弦CD与直径AB垂直并交于点F，点E在CD上，且AE=CE．（1）求证：CA2=CE•CD；（2）已知CD=5，AE=3，求sin∠EAF．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由⊙O的弦CD与直径AB垂直于F，根据垂径定理，易证得∠C=∠D，又由AE=CE，根据等边对等角，可得∠C=∠CAE，即可得∠CAE=∠D，又由∠C是公共角，即可证得△CEA∽△CAD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；（2）求出DE，可得EF，在Rt△AFE中，求sin∠EAF．【解答】（1）证明：在△CEA和△CAD中，∵弦CD⊥直径AB，∴，∴∠D=∠C，又∵AE=EC，∴∠CAE=∠C，∴∠CAE=∠D，∵∠C是公共角，∴△CEA∽△CAD，∴，即CA2=CE•CD；（2）解：∵CD=5，AE=CE=3，∴DE=2，∴EF=DF﹣DE=0.5，在Rt△AFE中，sin∠EAF==．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1：（θ为参数），曲线C2：（t为参数）．（1）指出C1，C2各是什么曲线；（2）求曲线C1与C2公共点M的坐标．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）消去参数，得到曲线对应的普通方程，然后进行判断即可．【解答】解：（1）C1是圆，C2是直线，C1的普通方程是x2+y2=1，C2的普通方程是，（2）因为圆心C1到直线的距离是1，所以C1与C2只有一个公共点．联立，解得，即M的坐标为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值．（2）由题意可得|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，构造函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，求得y的最小值，从而求得m的范围．【解答】解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），∴|n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），∴|n﹣1|+|2n+1|+2≤m，∵y=|n﹣1|+|2n+1|+2，当n≤时，y=﹣3n+4≥，当≤n≤1时，y=n+2≥，当n≥1时，y=3n≥3，故函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2的最小值为，∴m≥，即m的范围是[，+∞）．。
2018-2019辽宁省沈阳市高二下学期期中考试数学（文）试题
2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题 1．设集合则= A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}＝{y |y >0}．B ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |x >0}∪{x |－1<x <1}＝{x |x >－1}，故选C ． 2．设，则=（ ）A ．B ．C ．D ．2 【答案】B【解析】试题分析：因，故，所以应选B.【考点】复数及模的计算．3．已知211=，22343++=，2345675++++=，…，依此规律可以得到的第n 个式子为（ ） A ．()()()21221n n n n n ++++++=- B ．()()()21231n n n n n ++++++=- C ．()()()()2122221n n n n n +++++++=-D ．()()()()2123221n n n n n ++++++-=-【答案】D【解析】根据已知中的等式：222112343345675=++=++++=，，，，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案． 【详解】 观察已知中等式：()21211=⨯-， ()2234221++=⨯-， ()234567231++++=⨯-，…，则第n 个等式左侧第一项为n ，且共有2n -1项，则最后一项为：()21132n n n +--=-， 据此可得第n 个式子为：()()()()2123221n n n n n ++++++-=-…故选：D ． 【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键是通过观察分析归纳各数的关系，考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题．4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】2014年8月到9月接待游客下降，所以A 错；年接待游客量逐年增加；各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，所以选A. 5．用反证法证明命题“已知为非零实数，且，，求证中至少有两个为正数”时，要做的假设是（ ）A ．中至少有两个为负数B ．中至多有一个为负数C ．中至多有两个为正数 D ．中至多有两个为负数【答案】A【解析】分析：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a 、b 、c 中至少有二个为负数”，由此得出结论．详解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立， 而：“中至少有二个为正数”的否定为：“中至少有二个为负数”．故选A ．点睛：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面是解题的关键，着重考查了推理与论证能力．6．两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 如下，其中拟合效果最好的模型是（ ） A ．模型1的相关指数0.21R = B ．模型2的相关指数0.080R = C ．模型3的相关指数0.50R = D ．模型4的相关指数0.98R =【答案】D【解析】根据两个变量y 与x 的回归模型中，相关指数R 的绝对值越接近1，其拟合效果越好，由此得出正确的答案． 【详解】根据两个变量y 与x 的回归模型中，相关指数R 的绝对值越接近1，其拟合效果越好， 选项D 中相关指数R 最接近1，其模拟效果最好． 故选：D ． 【点睛】本题考查了用相关指数R 描述两个变量之间的回归模型的应用问题，是基础题目． 7．设有下面四个命题 ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数满足，则；：若复数，则. 其中的真命题为 A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】令，则由得，所以，故正确； 当时，因为，而知，故不正确； 当时，满足，但，故不正确；对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B. 点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.8．已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，()13-=x x f ；当11x -≤≤时,()()f x f x -=-；当12x >时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121x f x f ,则()=6f （ ） A ．2- B ．1C ．0D ．2【答案】D【解析】由题意结合函数的奇偶性、函数的周期性和函数在给定区间的解析式即可确定()6f 的值.【详解】 ∵当12x >时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121x f x f ，∴当12x >时，()()1f x f x +=，即周期为1． ∴()()61f f =，∵当11x -≤≤时，()()f x f x -=-， ∴()()11f f =--， ∵当0x <时，()13-=x x f ，∴()12f -=-，∴()()112f f =--=， ∴()62f =． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．9．函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,4B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(]0,4【答案】B【解析】试题分析：由题意可知210mx mx ++>恒成立，当0m =时01>恒成立；当0m ≠时需满足0m >⎧⎨∆<⎩，代入解不等式可得04m <<，综上可知实数m 的取值范围是[)0,4【考点】函数定义域10．设函数()21ln 11f x x x ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）A ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】由题意结合函数的解析式分别确定函数的奇偶性和函数在区间()0,∞+上的单调性，然后脱去f 符号求解不等式即可. 【详解】∵函数()()21ln 11f x x x =+-+为偶函数， 且在0≥x 时，()()21ln 11f x x x=+-+，导数为()()2212011xf x x x '=+>++， 即有函数()f x 在[0，+∞）单调递增， ∴()()21f x f x -＞等价为()()21f x f x -＞，即21x x >-， 平方得01432<+-x x ， 解得：113x <<， 所求x 的取值范围是1,13⎛⎫⎪⎝⎭．故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．11．若函数()212ln 2f x x x a x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．10a -<< C ．1a < D ．01a <<【答案】D【解析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可． 【详解】()f x 的定义域是（0，+∞），()222a x x af x x x x-+'=-+=， 若函数()f x 有两个不同的极值点，则()22g x x x a =-+在（0，+∞）由2个不同的实数根，故14400a x ∆=->⎧⎪⎨=>⎪⎩，解得：01a <<， 故选：D ．本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题． 12．设()'f x 是函数()f x 定义在()0,∞+上的导函数，满足()()212xf x f x x'+=，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()22f e f e e e> B ．()()2394f f < C ．()()224f f e e > D ．()()239f e f e < 【答案】B【解析】由题意构造函数，结合函数的解析式和导函数的符号可确定函数的单调性，由函数的单调性即可确定题中所给的不等式是否正确. 【详解】()f x '是函数()f x 定义在（0，+∞）上的导函数，满足()()212xf x f x x '+=， 可得()()212x f x xf x x'+=， 令1>a ，则()()()2120g x x f x xf x x'='+=>， ∴函数()g x 在（0，+∞）上单调递增．∴()()()()()()2242393g f g e e f e g f =<==<，∴()()2394f f <． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数与导数的应用，正确构造函数，熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．二、填空题13．若不等式02>++c bx ax 的解集是()1,2-，则不等式20bx ax c -->的解集为【答案】(,2)(1,)-∞-⋃+∞【解析】根据02>++c bx ax 的解集求出c b a 、、的关系，再化简不等式20bx ax c -->，求出它的解集即可．【详解】02>++c bx ax 的解集为（-1，2），则0a <，且对应方程的为-1和2， ∴121ba-=-+=， 122ca=-⨯=-，且0a <， 不等式20bx ax c -->可化为220ax ax a --+>， 即220x x +->， 解得2x <-或1>x ．故答案为：（-∞，-2）∪（1，+∞）． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，属于基础题．14．如果函数()()32,2,2x a x x f x a x ⎧-+<=⎨≥⎩满足对任意的12x x ≠，都有()()02121>--x x x f x f 成立，那么实数a 的取值范围是______．【答案】[)2,3【解析】由已知可知()()32,2,2x a x x f x a x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上单调递增，结合分段函数的性质即可求解． 【详解】∵()()32,2,2x a x x f x a x ⎧-+<=⎨≥⎩满足对任意的12x x ≠，都有()()02121>--x x x f x f 成立，∴()()32,2,2xa x x f x a x ⎧-+<=⎨≥⎩在R 上单调递增，根据分段函数的单调性可知，()2301232a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-+≤⎩，解可得，23a ≤<， 故答案为：[2，3）． 【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的简单应用，解题的关键是注意对端点值的处理．15．设函数()ln a f x x x x =+，()343g x x x =-+，对任意的1,,22s t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()f s g t ≥成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】1a ≥【解析】首先求得函数()g x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的最大值，然后分离参数，利用导函数求最值即可确定实数a 的取值范围. 【详解】∵在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上()21230g x x '=-+≤恒成立，∴当12x =时，()343g x x x =-+取最大值1， ∵对任意的1,,22s t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()f s g t ≥成立，∴在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上ln 1ax x x+≥恒成立， 即在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上2ln a x x x ≥-+恒成立，令2ln h x x x x =-+（），则()()2ln 11h x x x '=-++，()2ln 3h x x ''=--， ∵在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上()0h x ''<恒成立，∴()h x '在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上为减函数，∵当1x =时，()0h x '=，故当1x =时，()h x 取最大值1，故1a ≥， 故答案为：1a ≥ 【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，难度中档．16．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln2-【解析】试题分析：对函数ln 2y x =+求导得1y x'=，对()ln 1y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点()111,P x y ，与曲线()ln 1y x =+相切于点()222,P x y ，则()1122ln 2,ln 1y x y x =+=+，由点()111,P x y 在切线上得()()1111ln 2y x x x x -+=-，由点()222,P x y 在切线上得()()2221ln 11y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以，解得11111,2,ln 211ln22x k b x x =∴===+-=-. 【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x ）在点x 0处的导数f ′（x 0）的几何意义是曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y 0＝f ′（x 0）（x−x 0）． 注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．三、解答题17．已知复数1592i 1i 44z ⎛⎫=+-+ ⎪+⎝⎭.（1）求复数z 的模；（2）若复数z 是方程220x px q ++=的一个根，求实数,p q 的值.【答案】（1）;（2）4,10p q ==【解析】【详解】试题分析：（1）将复数化简成，；（2）将（1）得到的代入方程中的，得，所以，解出．试题解析：解：（1）159212144z i i i ⎛⎫=+-+=-+ ⎪+⎝⎭∴5z =（2）∵复数z 是方程220x px q ++=的一个根∴()6280p q p i --++-= 由复数相等的定义，得：60280p q p --+=⎧⎨-=⎩ 解得：4,10p q ==【考点】1．复数的代数运算；2．模的计算． 18．（17632< （2）已知b a ，为正实数，请用反证法证明：1a b +与1b a+中至少有一个不小于2． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用分析法的证明方法，通过变形平方，推出14＜18，即可证明结果． （2）利用反证法假设结论不成立，则12a b +<，12b a+<，推出矛盾结论，即可证得题中的结论． 【详解】（17632＜ 只需证223726<，即证92149218++<， 1418<， 即证14＜18，而14＜187632<（2）假设结论不成立，则1122a b b a++<，<， 114ab b a∴+++<，即11220a b a b ⎛⎫⎛⎫+-++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()()2222()2()20a a b b a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⋅++-⋅+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 即22()()0a b a b-+-<， 矛盾！故假设不成立，1a b∴+与1b a +中至少有一个不小于2．【点睛】本题考查不等式的证明，分析法以及反证法证明不等式的方法的应用，考查转化思想以及计算能力．19．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(]195,210内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数； （2）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（3）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有%85的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附：()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22)(（其中n a b c d =+++为样本容量）【答案】（1）390019；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【解析】（1）由题意得到关于中位数的方程，解方程可得乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（2）求出甲，乙两条流水线生产的不合格的概率，即可得出结论； （3）计算可得2K 的近似值，结合参考数值可得结论． 【详解】（1）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ， 因为()()0.480.0120.0320.05250.50.0120.0320.0520.07650.86=++⨯<<+++⨯=，则()()0.0120.0320.05250.0762050.5x ++⨯+⨯-=， 解得390019x =. （2）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件， 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为1535010P ==甲， 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为()10.0120.02855P =+⨯=乙， 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为315000150050001000105⨯=⨯=，； （3）2×2列联表：则22100(350600)41.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯，因为1.3＜2.072，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”． 【点睛】本题主要考查频率分布直方图计算中位数的方法，独立性检验的应用，古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线垂直于直线x y 21=．（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值．【答案】(1)54(2) 在(0,5)内为减函数；在(5，＋∞)内为增函数． 极小值f (5)＝－ln 5.无极大值．【解析】试题分析：（1）由曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线x y 21=可得12f '=-（），可求出a 的值；（2）根据（1）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f （x ）的单调区间与极值．试题解析：（1）对()f x 求导得211()4a f x x x=--，由()f x 在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线x y 21=知3(1)24f a =--=-，解得54a =．（2）由（1）知53()ln 442x f x x x =+--，则2245()4x x f x x --=，令()0f x =，解得1x =-或5x =．因为1x =-不在()f x 的定义域(0,)+∞内，故舍去． 当(0,5)x ∈时，()0f x '<，故()f x 在(0,5)上为减函数； 当(5,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(5,)+∞上为增函数． 由此知函数()f x 在5x =时取得极小值，(5)ln 5f =-．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 21．已知函数()21ln 2f x x mx m x =++． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0m >时，若对于区间[]1,2上的任意两个实数12x x ，，且12x x <，都有()()221221f x f x x x -<-成立，求实数m 的最大值．【答案】（1）见解析 （2）12. 【解析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可解决，（2）根据题意可得f （x 2）-x 22）＜f （x 1）-x 12，构造函数，再求导，再分离参数，利用导数求出函数的最值即可． 【详解】（1）f （x ）的定义域是（0，+∞）， f′（x ）=x+m+m x =2x mx m x++，m≥0时，f′（x ）＞0， 故m≥0时，f （x ）在（0，+∞）递增； m ＜0时，方程x 2+mx+m=0的判别式为： △=m 2-4m ＞0，令f′（x ）＞0，解得：x＞2m -，令f′（x ）＜0，解得：0＜x，故m ＜0时，f （x，+∞）递增，在（0）递减；（2）由（1）知，当m ＞0时，函数f （x ）在（0，+∞）递增， 又[1，2] （0，+∞），故f （x ）在[1，2]递增；对任意x 1＜x 2，都有f （x 1）＜f （x 2）， 故f （x 2）-f （x 1）＞0，由题意得：f （x 2）-f （x 1）＜2221x x -， 整理得：f （x 2）-22x ＜f （x 1）-21x ，令F （x ）=f （x ）-x 2=-12x 2+mx+mlnx ， 则F （x ）在[1，2]递减， 故F′（x ）=2x mx mx-++，当x ∈[1，2]时，-x 2+mx+m≤0恒成立，即m≤21x x+，令h （x ）=21x x +，则h′（x ）()2221x X x +=+＞0， 故h （x ）在[1，2]递增，故h （x ）∈[12，43］， 故m≤12． ∴实数m 的最大值为12.【点睛】本题考查了导数和函数的单调性和和最值的关系，通过构造函数，利用函数单调性转化为导函数小于等于0恒成立来求参数范围，考查了的学生的运算能力和转化能力和分类讨论的能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为5(3x t y ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为,4cos A B πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭点的极坐标分别为()222A B ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，，.（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）点P 是圆C 上任一点，求}0,1{-面积的最小值． 【答案】（1）22(5)(2)2x y ++-=，20x y -+=；（2）4．【解析】试题分析：（1）由圆C 的参数方程消去t 得到圆C 的普通方程，由直线l 的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据θρθρsin ,cos ==y x 转化为直角坐标方程即可；（2）将A 与B 的极坐标化为直角坐标，并求出|AB|的长，根据P 在圆C 上，设出P 坐标，利用点到直线的距离公式表示出P 到直线l 的距离，利用余弦函数的值域确定出最小值，即可确定出三角形PAB 面积的最小值． 试题解析：（1）由53x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩消去参数t ，得()()22532x y ++-=，所以圆C 的普通方程为()()22532x y ++-=．由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin ρθθ=20x y -+=，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=（2）()2,,2,2A B ππ⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标为()()0,2,2,0A B -在直线l 上，并且AB =P 点的坐标为()5,3t t -++，则P 点到直线l的距离为d==min d ∴=，所经PAB ∆面积的最小值是142S =⋅=23．设函数()23 1.f x x x =++- （1）解不等式()4f x >； （2）若存在3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦不等式()1a f x +>成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）(),2(0,)-∞-⋃+∞；（Ⅱ）3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】（1）先求出f （x ）的表达式，得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）问题转化为：a+1＞（f （x ））min ，求出f （x ）的最小值，从而求出a 的范围即可． 【详解】（1）∵()23 1.f x x x =++-()33223412321x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩()331142232432444x x x f x x x x ⎧⎧><--≤≤⎧⎪⎪>⇔⎨⎨⎨+>⎩⎪⎪-->+>⎩⎩或或 2011x x x ⇔<-≤或或综上，不等式()4f x >的解集为：()(),20,-∞-⋃+∞ （2）存在3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()1a f x +>成立()()min 1a f x ⇔+>由（Ⅰ）知，3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =+ 32x ∴=-时，()()min 52f x =53122a a +>⇔>∴实数a 的取值范围为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考察了绝对值不等式的解法，不等式有解问题，考察转化思想，是一道中档题．。
辽宁省六校协作体2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题(含精品解析)
B. 7
12. 有下列结论：
（1）命题 p：∀x∈R，x2＞0 为真命题
C. 18
D. 13
（2）设������：������
������ +
2＞0，q：x2+x-2＞0
则
p
是
q
的充分不必要条件
（3）命题：若 ab=0，则 a=0 或 b=0，其否命题是假命题． ⃗ ⃗ |⃗| = |⃗| = |⃗ ‒ ⃗| ⃗ ⃗ + ⃗
1.【答案】D
【解析】
解：∵等差数列{an}中，
a1= ，a2+a5=4， ∴a1+d+a1+4d=4，
答案和解析
∴5d=4- = ，
∴d= ； 又∵an=35，
∴an=a1+ （n-1）= + （n-1）= n- =35， ∴n=53． 故选：D．
根据题意，求出公差 d，代入通项公式，求出项数 n．
故选：A． 利用等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档
题．
5.【答案】B
【解析】
解：设等差数列{an}的首项为 a1，则 a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，
由 a3，a4，a8 成等比数列，得
，整理得：
．
∵d≠0，∴
，
∴
，
= 故选：B．
（4）非零向量������与������满足 ������ ������ ������ ������ ，则������与������ ������的夹角为 300
其中正确的结论有（ ）
A. 3 个
B. 2 个