用画树状图法求概率的格式
练习:
甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字 母A、B;乙口袋中装有3个相同的小球,它们分 别写有字母C、D、E;丙口袋中装有2个相同的 小球,它们分别写有字母H、I,从3个口袋中各随 机地取出1个小球.求结果中有两个元音字母和 一个辅音字母的概率？
解:
甲袋
开始
A B
乙袋
C I H
D
E
C I H
解：设两双袜子分别为A1、A2、B1、B2，其中A1、A2为一双，B1、 B2为另一双。
左脚
开始Biblioteka A1A2B1
B2 A1 A2 B1
右 脚
A2 B1 B2
A1 B1 B2
A1 A1 B2
所有机会均等的可能结果共有12种，而正好穿的是相同的一双袜子有4种，
∴ P(正好穿的是相同的一双袜子) = 4/12 = 1/3
D
E
丙袋
H
I
H
I H
I
H
I
所有机会均等的可能结果共有12种，而结果中有两个元 音字母和一个辅音字母有4种， ∴ P(结果中有两个元音字母和一个辅音字母) = 4/12 = 1/3
用画树状图法求概率 的格式
问题1.将一个均匀的硬币上抛三次，求结果为 两反一正的概率是多少？ 解：
第一次： 第二次： 正 第三次： 正
开始
正
反 正 正 反 反 反 正 反
反 正 反
所有机会均等的可能结果共有8种，而结果为两反一 正有3种， ∴ P(结果为两反一正) = 3/8
问题2：小明是个小马虎，晚上睡觉时将两双不同的袜 子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只就去上学， 问小明正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少？
【课件】用画树状图法求概率课件+2024-2025学年人教版数学九年级上册
∴这两个数字之和为奇数的概率为 ＝ .
返回
当堂小练
2. 老师为帮助学生正确理解物理变化和化学变化，将四种
生活现象：“滴水成冰”“酒精燃烧”“光合作用”“木已成
舟”制作成无差别卡片，置于暗箱中摇匀，随机抽取两
1
张均为物理变化的概率是________.
6
当堂小练
字之积恰好是有理数的概率为 ＝ .
返回
当堂小练
5. [2023 沈阳]为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典
诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元曲”三类
(分别用A，B，C依次表示这三类比赛内容). 现将正面
写有A，B，C的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由
选手抽取卡片确定比赛内容. 选手小明先从三张卡片中
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当堂小练
6. 暗箱内有三个形状、大小完全相同的小球，分别标注数
字1，2，3，甲、乙两人按照下列规则决定胜负. 从箱中
连续摸出两个小球(摸出后不放回)，并将第一次摸出的
数作为十位数字，将第二次摸出的数作为个位数字，组
成一个两位数，如果这个两位数是2的倍数，则甲获胜，
如果这个两位数是3的倍数，则乙获胜，你认为这样的
胜；若m，n都不是方程x2 －5x＋6＝0的解，则小刚获
胜，请说明此游戏规则是否公平？
课堂讲练
【解】解x2－5x＋6＝0，得x1＝2，x2＝3.当m，n都是方
程x2－5x＋6＝0的解时，共有(2，2)，(2，3)，(3，3)，
(3，2)这4种情况，则小明获胜的概率为 ＝
，当m，n
用画树状图法求概率(22张PPT)
⑴.取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率 分别是多少？ ⑵.取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
分析： 前面“两步试验的树状图”的例题和练习其实用“列表 法”也是可以的，但本例当一次试验是从三个口袋中取球时, 列表法就不方便了,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常 采用画树状图法．
从树形图可以看出总共有（红1，红2），（红1，蓝1），……12 种等可能情矿，而都是蓝色球体有（蓝1，蓝2），（蓝2，蓝1） 两种，故：
用树状图法求概率的“四个步骤”：
1.定:确定该试验的几个步骤、顺序、每一步可能产生的结果. 2.画:列举每一环节可能产生的结果,得到树状图. 3.数:数出全部均等的结果数m和该事件出现的结果数n. 4.算:代入公式 .
1.学习用树形图法计算概率,并通过比较概率 大小作出合理的决策. 2.会运用树形图法计算事件的概率(重点)；能 根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决 较复杂事件概率的计算问题(难点). 3.经历探索知识过程，感受数学知识的价值和 魅力，培养合作学习的意识和探索精神.
问：你知道孙膑给田忌将军的是怎样的建议吗？
6.一个不透明的盒子中有三张卡片,卡片上面分别标有字母a,b,c,每 张卡片除字母不同外其他都相同,小玲先从盒子中随机抽出一张卡 片,记下字母后放回并搅匀;再从盒子中随机抽出一张卡片并记下 字母,用画树状图的方法,求小玲两次抽出的卡片上的字母相同的 概率. a b c 略解:画出树状图为
a
b
c
a
b
c
第一摸取 第二摸取 共12种等可能的情况；即：A 1 A 2 ，A 1 B2 ,……其中恰好能组
成一张完整图片的结果有4种，则：
新课引入的）
第一场
画树状图求概率
3
（1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
4
（1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
5
（1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6
（1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时， 列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有
B A
甲口袋
D E
C
乙口袋
本题中元音字母: A E I
辅音字母: B C D H
I H
丙口袋
解:根据题意,我们可以画出如下的树形图
甲
A
B
乙C
D
E
CD
E
丙H I H I H I H I H I H I
解：由树形图得，所有可能出现的结果有12个， 它们出现的可能性相等。
解：根据树形图,可以看出,所有可能出现的结果 是12个,这些结果出现的可能性相等,
（1）三辆车全部继续直行的结果有1个，则
P（三辆车全部继续直行）=
1 27
（2）两辆车右转，一辆车左转的结果有3个，则
P（两辆车右转，一辆车左转）= 2=37
1 9
（3）至少有两辆车左转的结果有7个，则
7
P（至少有两辆车左转）= 27
4、不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球 （除颜色不同外，其他都一样），其中红球2个，蓝球 1个，现在从中任意摸出一个红球的概率为 （1）求袋中黄球的个数；
作为升旗手，则小明和小红同时入选的概率 是．
练习2：在一个不透明的盒子里，装有3个小球，其中有2个白 球，1个红球，它们除颜色外完全相同．先从盒子里随机取出 一个小球，记下颜色不放回，把剩下的小球摇匀后再随机取 出一个小球，记下颜色．请你用列表的方法，求两次都摸到 白球的概率．
用列表法或画树状图法求概率 (3)
用列表法或画树状图法求概率（放回、不放回）【方法】使用列表法或画树状图法求概率时，首先要通过列表或画树状图列出所有可能出现的结果数n ,然后找出符合事件A 出现的结果数m ,用公式求出nmA P =)(即得所求事件的概率。
【分类】放回、不放回类型一：明确写出放回、不放回类型例1：一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2,-1,0,1.卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是？例2：一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2,-1,0,1.卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取一张卡片后放回再抽取的一张卡片上数字之积为负数的概率是？类型二：隐含放回、不放回类型例3：（指定特殊条件）如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A 和B 为入口，C ，D ，E 为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，先她选择从A 入口进入、从C ，D 出口离开的概率是( ) A ．12B ．13C ．16D ．23答：根据题意，列表如下： 共有 6 种可能的结果，每种结果出现的可能性都相同。
其中恰好选中“A 入口进入、从C ，D 出口”的结果有2种，所以3162)出口D ，C 入口A (==P例4：选人（不放回）（2019济南）该年级学生会宣传部有 2 名男生和 2 名女生，现从中随机挑选 2 名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣 传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1 男 1 女”的概率．有 8 种，所以32128)(==选择一男一女P 出口出口【同类题】1.（2019历下一模）调查结果中，该校九年级（2）班有四名同学相当优秀，了解程度为“很了解”，他们是三名男生、一名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人去市里参加“舜文化”知识竞赛，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．2.（2019年市中一模）在被调查的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．3.（2019长清一模）已知受访的教师中，E 组只有2名女教师，F 组只有1名男教师，现要从E 组、F 组中分别选派1名教师写总结报告，请用列表法或画树状图的方法，求所选派的两名教师恰好是1男1女的概率．例5：选课（放回）(2018济南中考)小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．A （A,A ） （B,A ） （C,A ）B （A,B ） （B,B ） （C,B ） C（A,C ）（B,C ）（C,C ）共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为：39＝13．【同类题】1. （2015年中考）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．2. （2014年中考）学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率为（ ） A ．32 B ．21 C ．31 D ．41。
用树状图法求概率
方法技巧练
解：∵a2＋b2＝12a＋8b－52， ∴a2－12a＋b2－8b＋52＝0. ∴(a－6)2＋(b－4)2＝0. ∴a－6＝0，b－4＝0.∴a＝6，b＝4. 又 ∵ a ， b ， c 为 正 整 数 且 是 △ABC 的 三 边 长 ， c 是 △ABC的最短边长，∴6－4<c≤4(c是正整数)． ∴c＝3或c＝4，即c的值是3或4.
27
感悟新知
总结
在分析随机事件发生的可能性时，要
从事件发生的结果入手，从中找出所
关注的结果数，既不能遗漏任何一种
可能结果，也不能重复计算，本题易
忽略小可本身也有三种出法，而只考
虑小可出“剪子”的可能结果，从而
得到错误的树状图，如图，进而得出
错误的结果为
1. 9
知2－讲
课堂小结
用树状图法求概率
(1) 当事件涉及三个或三个以上元素时，用列表法不易列举出 所有可能结果，用树状图可以依次列出所有可能的结果， 求出n，再分别求出某个事件中包含的所有可能的结果， 求出m，从而求出概率．
故共有m·n·k…种可能情况，再分别计算各类情况的概率．
感悟新知
知1－练
例例22：一个袋中有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜 色外其余特征均相同，若从这个袋中任取2个珠子， 求都是蓝色珠子的概率．
感悟新知
解：袋中4个珠子可以分别标记为H1，H2，L1，L2. 用画“树状图”法求概率．
知1－练
第三章 概率的进一步认识
3.1 用树状图或表格求概率
第1课时 用树状图法求概率
学习目标
1 课时讲解 两步试验的树状图
两步以上试验的树状图
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
2022年数学九上《用画树状图法求概率》课件(新人教版)
知识点2 用旋转的知识设计图形
运用旋转作图应满足三要素：旋转中心、 旋转方向、旋转角，而旋转中心、旋转角固 定下来，对应点就自然而然地固定下来．因 此，选择不同的旋转中心、不同的旋转角会 作出不同效果的图案.
你能利用旋转设计出美丽的图案吗？
随堂演练
1.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，那么以下作 图正确的选项C是〔 〕
推进新课 知识点1 用旋转的知识画图
例 如图，E是正方形ABCD A
D
中CD边上任意一点，以点A为中
E
心，把△ADE顺时针旋转90°，
画出旋转后的图形.
B
C
①因为A是旋转中心，所以A点的对应点是 A . ②根据正方形的性质：AD＝AB，∠ABD＝90°，所
以点D的对应点是点 B . ③因为旋转前、后的两个图形全等，所以本例根据三
1 A .
6
1பைடு நூலகம்
1
B . C .
4
3
1 D .
2
3.从1、2、-3三个数中，随机抽取两个数相乘，
积是负数的概率是
2 3
.
4.妞妞和爸爸玩“石头、剪刀、布〞游戏.每次用一只 手可以出“石头〞“剪刀〞“布〞三种手势之一，规那 么是“石头〞赢“剪刀〞、“剪刀〞赢“布〞、“布〞赢“ 石头〞，假设两人出相同手势，那么算打平. (1)你帮妞妞算算爸爸出“石头〞手势的概率是多少？13 (2)妞妞决定这次出“布〞手势，妞妞赢的概率有多大？13
②摸甲口袋的球会出现 2 种结果，摸乙口袋的球 会出现 3 种结果，摸丙口袋的球会出现 2 种结果.
AB 甲
E CD
乙
HI 丙
画树状图法:
人教版九年级数学下册《画树状图求概率》表格式教学学案
25.2列举法求概率（3）—画树形图求概率教学目标:1．使学生会画树形图计算简单事件的概率.2．通过画树形图求概率的过程培养学生思维的条理性，提高学生分析问题、解决问题的能力.3．通过自主探究、合作交流激发学生的学习兴趣，感受数学的简捷美，及数学应用的广泛性.教学重点:画树形图计算简单事件的概率.教学难点:通过学习画树形图计算概率，培养学生思维的条理性.教学方法:学生自主探究、合作交流与教师启发引导相结合.教学用具:计算机辅助教学.教学过程:塑料木质52=；教学设计说明一、教学背景列举法求概率是建立在等可能事件的前提下，在没有排列组合相关知识的基础上，通过列举所有等可能结果来求概率的一种方法．由于学生已经初步了解随机事件和概率的有关概念，并能用直接列举和列表法求简单事件的概率，在学生已有的基础上，本节课再寻求一种更一般的列举方法求概率——画树形图求概率.在列举过程中培养学生思维的条理性，并把思考过程有条理、直观、简捷地呈现出来，使得列举结果不重不漏.二、教学过程本节课由“探究学习——交流展示——剖析例题——巩固新知”有序地展开新课，并向学生提供充分从事数学活动的机会，使学生在活动中感受列举方法由无序到有序，呈现方式由无序到有序，解决问题由无序到有序，逻辑思维由无序到有序的过程．数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，由于学生在小学或其它学科中接触过“树形图”，因此本节课在引入树形图这种新的列举方法时，以学生的生活实际为背景提出问题，在自主探究解决问题的过程中，自然地学习使用这种新的列举方法．使学习过程成为发现与创造的过程，合作交流的过程充分展示学生解题策略的多样性，挖掘每个学生的学习潜能，使学生人人有成就感，并享受学习带来的快乐．以现实生活为背景提出问题，激发学生的学习兴趣和主动参与意识．面对这些问题时，鼓励学生主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，使学生感受数学和生活的密切联系，在问题解决的过程中培养兴趣、追求简捷、重视直观、学会抽象．。
用树状图或表格求概率
用树状图求概率：当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从三个口袋中取球）时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图。
用表格求概率：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。
当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用表格求概率。
例1、一个袋中有除颜色外其余特征均相同的4个珠子，其中2个白色，2个黑色，若从这个袋中任意取2个珠子，则其颜色不同的概率是______.例2、小刚很擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，小刚左右为难，最后决定通过掷硬币来确定，游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，如果三次正面朝上或三次反面朝上，则由小刚任意挑选两球队；如果两次正面朝上一次正面朝下，则小刚加入足球阵营；如果两次反面朝上一次反面朝下，则小刚加入篮球阵营．（1）用画树形图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果；（2）小刚任意挑选两球队的概率有多大？（3）这个游戏规则对两个球队是否公平？为什么？例3、有四个除颜色外完全相同的小球，它们分别是黑色、蓝色、白色、红色，现从中任意抽取一个小球后，不放回，再随机抽取一个，则两次抽取的小球恰好一个是黑色、一个是红色的概率是________.例4、有四个除颜色外完全相同的小球，它们分别是黑色、蓝色、白色、红色，现从中任意抽取一个小球后，放回摇匀，再随机抽取一个，则两次抽取的小球恰好一个是黑色、一个是红色的概率是________.例5、大双，小双的妈妈申购到一张北京奥运会的门票，兄弟俩决定分别用标有数字且除数字以外没有其它任何区别的小球，各自设计一种游戏确定谁去．大双：A袋中放着分别标有数字1，2，3的三个小球，B袋中放着分别标有数字4，5的两个小球，且都已各自搅匀，小双蒙上眼睛从两个口袋中各取出1个小球，若两个小球上的数字之积为偶数，则大双得到门票；若积为奇数，则小双得到门票．小双：口袋中放着分别标有数字1，2，3的三个小球，且已搅匀，大双，小双各蒙上眼睛有放回地摸1次，大双摸到偶数就记2分，摸到奇数记0分；小双摸到奇数就记1分，摸到偶数记0分，积分多的就得到门票．（若积分相同，则重复第二次．）（1）大双设计的游戏方案对双方是否公平？请你运用列表或树状图说明理由；（2）小双设计的游戏方案对双方是否公平？不必说理．1、在4张卡片上分别写有1-4的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是_______.2、箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是_______.3、一不透明纸箱中装有形状，大小，质地等完全相同的4个小球，分别标有数字1，2，3，4.(1)从纸箱中随机地一次取出两个小球，求这两个小球上所标的数字一个是奇数另一个是偶数的概率;(2)先从纸箱中随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为十位上的数字;将取出的小球放回后，再随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少?试用树状图或列表法加以说明.4、完全相同的4个小球，上面分别标有数字1、-1、2、-2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀）．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m、n，以m、n分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点（m，n）不在第二象限的概率。
人教版数学九年级上册 画树状图法求概率
典例精析 例1 甲口袋中装有 2 个相同的小球，它们分别写有 字母 A 和 B；乙口袋中装有 3 个相同的小球，它们分 别写有字母 C，D 和 E；丙口袋中装有 2 个相同的小 球，分别写有字母 H 和 I. 从三个口袋中各随机取出 1 个小球． (1) 取出的 3 个小球上恰好有 1 个，2 个，3 个有元音
当堂小结 ① 关键要弄清楚每一步有几种结果；
关键 ② 在树状图下面对应写着所有可能的结
步骤
果，并找出事件所包含的结果数；
③ 利用概率公式进行计算. 树
状
图
① 弄清试验涉及试验因素个数或试验
步骤分几步； 注意 ② 在摸球试验一定要弄清“放回”还
是“不放回”.
当堂练习 1. 三女一男四人同行，从中任意选出两人，其性别 不同的概率为( C )
红3 红1红3
黑1 红1黑1
黑2 红1黑2
红2 红2红1
红2红3 红2黑1 红2黑2
红3 红3红1 红3红2
红3黑1 红3黑2
黑1 黑1红1 黑1红2 黑1红3
黑1黑2
黑2
黑2红1 黑2红2 黑2红3 黑2黑1
比较一下，用树状图法还是列表法更便捷？
(2) 解：不公平. ∵由树状图可知共有 20 种等可能的结果， ∴两人所取球的颜色相同有 8 种结果，则
(1) 解：先将两个红球分别记为“红1”，“红2”， 然后画树状图如下： 开始
甲
红1
红2
蓝
乙 红1 红2 蓝 红1 红2 蓝 红1 红2 蓝 (2) 解：不公平.
∵由树状图可知共有 9 种等可能的结果，
∴能配成紫色的有 4 种结果，则
∴这个游戏不公平.
类型二：不放回型
例3 小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不 透明的文具袋中，装有型号完全相同的 3 个红球和 2 个黑 球，两人先后从袋中取出一个球(不放回) ，若两人所取球 的颜色相同，则小明胜；否则，小军胜； (1) 请用树状图或列表法求出摸球游戏所有可能的结果； (2) 你觉得本游戏规则是否公平，请说明理由.
25.2.2画树状图求概率 课件
B
;第二个因数中有3种可能的
情况.
第二个因素 1 2 3 1 2 3
n=2×3=6
树状图法：按事件发生的次序，列出事件可能出现的结果.
温馨提示：学友要把每一个知识点讲给师傅听,师傅负责教会学友
问题 ：尝试用树状图法列出小明和小华所玩游戏（剪子、包袱 、锤的游戏）中所有可能出现的结果，并求出事件A，B，C的 概率. A：“小明胜” B：“小华胜” C “平局”
温馨提示：师友进行分层次练习,基础性习题由学友直接说给师傅听,师傅指导,纠错,拓展 性习题师友自主完成。
解: 小明 小华
结果
开 始
一次游戏共有9个可能结果，而且它们出现的可能性相等.
温馨提示：错题中的基础性问题学友讲给师傅听,错题中的拓展性问题师傅要教会学友。
事件A发生的所有可能结果： （石头，剪刀）（剪刀，布）（布，石头）；
（1）明确一次试验的几个步骤及顺序； （2）画树状图列举一次试验的所有可能结果； （3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有 可能结果数n； （4）用概率公式进行计算.
解: 小明 小华
结果
开 始
一次游戏共有9个可能结果，而且它们出现的可能性相等.
温馨提示：错题中的基础性问题学友讲给师傅听,错题中的拓展性问题师傅要教会学友。
第二十五章 概率初步
25.2 用列举法求概率（2）
画树状图法求概率
现有A、B、C三盘包子，已知A盘中有两个酸菜包和一个糖包，B盘
中有一个酸菜包和一个糖包和一个韭菜包，C盘中有一个酸菜包和一个糖 包以及一个馒头.老师就爱吃酸菜包.如果老师从每个盘中各选一个包子 （馒头除外），那么老师选的包子全部是酸菜包的概率是多少？
不同的概率为（ C ）