湘教版高中数学选修4-第3章 平面和圆锥面的截线-课件(共39张PPT)
解析：解析：ຫໍສະໝຸດ 圆锥面截线的准线和 离心率
学习目标
了解圆锥面截线的准线定理
思考：
上一节我们把研究圆柱面截线的双球 法推广到了圆锥面.
在研究圆柱面的截线性质时，我们还 从一个焦球出发，引出了截线椭圆的准线 和离心率，这样的研究方法能不能推广到 圆锥面呢？
讨论这个问题的前提，是下列命题成立:
命题3.5 圆锥面的内切球和圆锥面的公共点组
线段相等；正截面截圆锥的截线是圆，其 半径等于d tanα，其中d是圆锥面顶点到 正截面的距离，α是圆锥面的半顶角.
二、圆锥面的性质
命题3.3 圆锥面的斜截面的轴面，垂直于它和
正截面的交线.
二、圆锥面的性质
命题3.4 （圆锥面截线定理）设圆锥面的半顶角
为α，平面π不经过圆锥面的顶点，且和 圆锥面的轴线交角为β，则： ① β＞α，平面π与圆锥的截线为椭圆； ② β=α，平面π与圆锥的截线为抛物线； ③ β＜α，平面π与圆锥的截线为双曲线.
可不可以想象，在平面上放两个球， 两球之间有一个点光源Q，在光的照射下. 两球在平面上的影子的边缘，就是我们感 兴趣的截线？
Q的位置在何处，才能使两球的影子的 边缘，成为一个双曲线的两支？为什么？
请比照3.2节的推理，尝试给出命题 3.4中情形(3)的证明.
继续减小截面m和轴线的交角,得到图3-16.
三、圆锥的斜截面和它的轴面
三、圆锥的斜截面和它的轴面
圆锥截面的焦球
学习目标
了解圆锥截面的焦球
圆柱面的截割平面的焦球满足两个条 件，首先它是圆柱面的内切球，其次它要 和截割平面相切.
和截割平面m相切的内切球，叫作m的 焦球.
观察右图，你发现了 什么？
PM+PN=PA+PB=AB=QA-QB, 试着在稿纸上推算一下， 这个结论是怎么得到的？
圆锥面 若锥面的准线为一圆，锥面的顶点在 过圆心且垂直于圆所在的平面的直线上， 则此锥面叫作圆锥面. 过圆锥面的顶点和它的准线圆的圆心 的直线，叫作此圆锥面的轴线.
二、圆锥面的性质
命题3.1 圆锥面的轴线和每
条母线所成的锐角相等； 轴线上任一点到每条母 线的距离相等.
二、圆锥面的性质
命题3.2 圆锥顶点到正截面之间所截母线上的
圆锥面和圆锥曲线
一、锥面
设空间有一条定曲线Σ和不在Σ上的 一定点A，动点P在Σ上运动时，直线AP上 的点的轨迹，叫做以A为顶点，以Σ为准线 的锥面.每条直线AP都叫做此锥面的母线.
和柱面的定义对比一下：柱面是由一 些相互平行的直线上的点组成的曲面，而 锥面是由一些经过同一点的直线上的点组 成的曲面.
根据上图及右 图的辅助线提示， 结合前面学过的 知识，试着将证 明过程写在稿纸 上.
拓展练习：
根据对命题3.5的探究，请给出命题 3.6更为简洁的表述方式.
圆锥面的双曲线截线的 探索
思考：
观察下图，你发现了什么？
和图3-9对比来考虑， 那里的推理哪些仍然 有效？哪些要调整？
为什么两个焦球到截面m的同侧来了？
例：已知圆锥面S,其母线与轴线所成的 角为30°,在轴线上取一点C,使SC=5,通过点 C作一截面δ使它与轴线所成的角为45°.求 圆锥曲线的离心率及圆锥曲线上任一点到两 个焦点的距离之和.
解析：
设圆锥曲线上任意一点为M,其两焦点分 别为F1,F2,MF1+MF2=AB.
设圆锥面内切球O1的半径为R1,内切球O2 的半径为R2.
在图3-12中，逐渐减小截面m和轴线的 交角，当m和右面的母线平行时。就成了图 3-13.
观察图3-16，对照命题3.6的证明，那 里的推理，是否仍然有效？
谢谢
在没找到重新开始的理由前，别给自己太多退却的借口。就在那一瞬间，我仿佛听见了全世界崩溃的声音。因为穷人很多，并且穷人没有钱，所以，他们才会在网络上聊 了答应自己要做的事情，别忘了答应自己要去的地方，无论有多难，有多远。分手后不可以做朋友，因为彼此伤害过；不可以做敌人，因为彼此深爱过，所以只好成了最 只有站在足够的高度才有资格被仰望。渐渐淡忘那些过去，不要把自己弄的那么压抑。往往原谅的人比道歉的人还需要勇气。因为爱，割舍爱，这种静默才是最深情的告 时光已成过往，是我再也回不去的远方。不要把自己的伤口揭开给别人看，世界上多的不是医师，多的是撒盐的人。这世界，比你不幸的人远远多过比你幸运的人，路要 的那一步很激动人心，但大部分的脚步是平凡甚至枯燥的，但没有这些脚步，或者耐不住这些平凡枯燥，你终归是无法迎来最后的'那些激动人心。一个人害怕的事，往往 都会有乐观的心态，每个人也会有悲观的现状，可事实往往我们只能看到乐观的一面，却又无视于悲观的真实。从来没有人喜欢过悲观，也没有人能够忍受悲观，这就是 就会缅怀过去，无论是幸福或是悲伤，苍白或是绚烂，都会咀嚼出新的滋味。要让事情改变，先改变我自己；要让事情变得更好，先让自己变得更好。当日子成为照片当 背对背行走的路人，沿着不同的方向，固执的一步步远离，再也没有回去的路。想要别人尊重你，首先就要学会尊重别人。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是 与失去自己的失败比起来，更是微不足道。生命不在于活得长与短，而在于顿悟的早与晚。既不回头，何必不忘。既然无缘，何须誓言。感谢上天我所拥有的，感谢上天 千万条，成功的人生也有千万种，选对适合自己的那条路，走好自己的每段人生路，你一定会是下一个幸福宠儿。活在别人的掌声中，是禁不起考验的人。每一次轻易的 笔。什么时候也不要放弃希望，越是险恶的环境越要燃起希望的意志。现实会告诉你，没有比记忆中更好的风景，所以最好的不要故地重游。有些记忆就算是忘不掉，也 满，现实很骨感。我落日般的忧伤就像惆怅的飞鸟，惆怅的飞鸟飞成我落日般的忧伤。舞台上要尽情表演，赛场上要尽力拼搏，工作中要任劳任怨，事业上要尽职尽责。 乐，今天的抗争为了明天的收获！积德为产业，强胜于美宅良田。爱情永远比婚姻圣洁，婚姻永远比爱情实惠。爱有两种，一种是抓住，你紧张他也紧张；一种是轻松拖 人无忧，智者常乐。并不是因为所爱的一切他都拥有了，而是所拥有的一切他都爱。原来爱情不是看见才相信，而是相信才看得见。磨难是化了妆的幸福。如果你明明知 者选择说出来，或者装作不知道，万不要欲言又止。有时候留给别人的伤害，选择沉默比选择坦白要痛多了。我爱自己的内心，慢慢通过它，慢慢抵达世界，或者，抵达 我忘记一切，时间不会改变痛，只会让我适应痛。人生不容许你任性，接受现实，好好努力。曾经以为爱情是甜蜜，幸福的，不知道它也会伤人，而且伤的很痛，很痛。 出的代价却是好些年的失败。时间几乎会愈合所有事情，请给时间一点时间。蚁穴虽小，溃之千里。多少人要离开这个世间时，都会说出同一句话，这世界真是无奈与凄 孵出来的却是失败。太完美的爱情，我不相信，途中聚聚散散难舍难分，终有一天会雨过天晴。我分不清东南西北，却依然固执的喜欢乱走。若是得手，便是随手可丢； 爱情不是寻找共同点，而是学会尊重不同点。总有一天我会从你身边默默地走开，不带任何声响。我错过了狠多，我总是一个人难过,3、戏路如流水，从始至终，点滴不 未变，终归大海。一步一戏，一转身一变脸，扑朔迷离。真心自然流露，举手投足都是风流戏。一旦天幕拉开，地上再无演员。 相信自己有福气，但不要刻意拥有；相信 绝眼泪；相信世上有好人，但一定要防范坏人；相信金钱能带来幸福，但不要倾其一生；相信真诚，但不要指责所有虚伪；相信成功，但不要逃避失败；相信缘分，但不 但不要求全责备；相信上帝，但别忘了锁上门。 一个人总要走陌生的路，看陌生的风景，听陌生的歌。最后你会发现，原本费尽心机想要忘记的事情真的就那么忘记了明 每次却总是不自觉的想起那个给与温暖的人；每每又总是在微笑沉醉时看到了现实，想到了伤痛，然后，冷的感觉再也暖和不起来了，如此反复，心，终于累了，现实就 又最终醒来，我正在行走，却找不到方向。 有些人，注定是等待别人的，有些人，注定是被人等的。一件事，再美好，你做不到，也要放弃；一个人，再留恋，不属于你 生命都免不了缺憾，最真的幸福，莫过于一杯水、一块面包、一张床，还有一双无论风雨，都和你十指相扣的手。 有些伤痕，划在手上，愈合后就成了往事；有些伤痕， 轻，也会留驻于心；有些人，近在咫尺，却是一生无缘的生命中，似乎总有一种承受不住的痛；
成一个圆，这个圆所在的平面垂直于圆锥 面的轴线.
命题3.6
设圆锥面的斜截面m的焦球中心和圆锥 面顶点在平面m的同侧；焦球切m于点F；m 与轴面q所含的母线和焦球切于B.过B作圆 锥面的正截面n和m教育直线w，则m和圆锥 面截线上的任一点P到点F的距离与到直线w 的距离比为定值.
PF =定值 PK
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上课用高二数学33平面与圆锥面的截线(选修
线)交于 E,与 AC交于F.因为 是 B D C
AEP 的外角,所以必然有 ;
2
反之,当 时,l与AB(或AB的延
长线)、AC都相交.
2当 l与 A不 B 相 ,则 l/交 /A,这 B 时时 ;有
反,当 之 时 ,l//A,那 Bl与 么 A不 B 相 . 交
11
3当 l与 B的 A 延长 A都 C 线相 、,设 交 l与 时 B的 A
所在的平面 `.设 为与`的交
SQ 1 B F1
P
图3 12
`
线为m.在椭圆上任取P,一 连点 接PF1.在中过P作m 的垂线 ,垂足为 A.过P作`的垂线 ,垂足为 B,连接AB,
则AB是PA在平面 `上的射.容 影 易,证 m明 AB .故
PAB是平面与平面`交成的二面角的. 平面
25
在RtAB中 P,APB,
双球,一个位于平面 的上方, 一个位于平面 的下方, 并且 与平面 及圆锥均相切.
S1 Q 1 F1
F2 P S2
Q2
当 时,由上面的讨论, 可知 平 面与 圆 锥 的 交 线 是 一 个图封 3 11 闭曲线 .设两个球与平的面切
点 分 别F为 1、F2,与 圆 锥 相 切S于 1、圆 S2 .
23
延长线 G,因 交 为 是 于 AP的 G外 ,所 角 以 ; 如果 ,那l么 与 B的 A 延长 A都 C 线相 、 . 交
将 图 39中 的 等 腰 三 角圆形锥 ,直 拓线 广拓 为广 为 平,则 面得 到 31图 0.
G
A
l
E
F P
BD C
图392
图3 10 12
截面与圆锥的高垂直時截痕为圆
圆锥高VH
2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
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[读教材·填要点]
1．平面与圆柱面的截线
(1)椭圆组成元素： F1，F2 叫椭圆的焦点； F1F2 叫椭圆 的焦距；AB叫椭圆的 长轴 ；CD叫椭圆 的 短轴 ．
如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦 2 a2－b2 . 距2c＝
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(2)如图(1)，AB、CD是两个等圆的直径，AB∥CD，
AD、BC与两圆相切，作两圆的公切线EF，切点分别为F1、 F2，交BA、DC的延长线于E、F，交AD于G1，交BC于G2. 设EF与BC、CD的交角分别为φ、θ.
所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2. 由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平 面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时， 平面π与圆锥的交线是以F1、F2为焦点的椭圆．
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[悟一法]
由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广
为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成
2 解：由题意知，椭圆的长半轴长 a＝ ＝2 2， sin 45° 短半轴长 b＝2，则半焦距 c＝ a2－b2＝ 8－4＝2. 所以焦距 2c＝4.
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0)，则
①β>α ②β＝α ③ β<α ，平面π与圆锥的交线为椭圆； ，平面π与圆锥的交线为抛物线； ，平面π与圆锥的交线为双曲线．
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[小问题·大思维] 用平面截球面和圆柱面所得到的截线分别是什么 形状？
提示：联想立体图形及课本方法，可知用平面截
球面所得截线的形状是圆；用平面截圆柱面所得截线 的形状是圆或椭圆．
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①G2F1＋G2F2＝ AD；②G1G2＝ AD； G2F1 ＝cosφ＝sinθ. ③ G2E (3)如图(2)，将两个圆拓广为球面，将矩形 ABCD 看 成是圆柱面的轴截面，将 EB、DF 拓广为两个平面 α、β， EF 拓广为平面 γ，则平面 γ 与圆柱面的截线是 椭圆 ．即 得定理 1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．
[读教材·填要点]
1．平面与圆柱面的截线
(1)椭圆组成元素： F1，F2 叫椭圆的焦点； F1F2 叫椭圆 的焦距；AB叫椭圆的 长轴 ；CD叫椭圆 的 短轴 ．
如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦 2 a2－b2 . 距2c＝
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(2)如图(1)，AB、CD是两个等圆的直径，AB∥CD，
AD、BC与两圆相切，作两圆的公切线EF，切点分别为F1、 F2，交BA、DC的延长线于E、F，交AD于G1，交BC于G2. 设EF与BC、CD的交角分别为φ、θ.
所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2. 由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平 面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时， 平面π与圆锥的交线是以F1、F2为焦点的椭圆．
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[悟一法]
由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广
为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成
2 解：由题意知，椭圆的长半轴长 a＝ ＝2 2， sin 45° 短半轴长 b＝2，则半焦距 c＝ a2－b2＝ 8－4＝2. 所以焦距 2c＝4.
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0)，则
①β>α ②β＝α ③ β<α ，平面π与圆锥的交线为椭圆； ，平面π与圆锥的交线为抛物线； ，平面π与圆锥的交线为双曲线．
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[小问题·大思维] 用平面截球面和圆柱面所得到的截线分别是什么 形状？
提示：联想立体图形及课本方法，可知用平面截
球面所得截线的形状是圆；用平面截圆柱面所得截线 的形状是圆或椭圆．
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①G2F1＋G2F2＝ AD；②G1G2＝ AD； G2F1 ＝cosφ＝sinθ. ③ G2E (3)如图(2)，将两个圆拓广为球面，将矩形 ABCD 看 成是圆柱面的轴截面，将 EB、DF 拓广为两个平面 α、β， EF 拓广为平面 γ，则平面 γ 与圆柱面的截线是 椭圆 ．即 得定理 1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．
2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采 用与上节中定理1的证明相同的方法，即Danelin双球法， 这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使 问题得到解决．
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[通一类] 2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角
为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任
取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)， 求证：β＝α时，平面π与圆锥的交线是抛 物线．(如图)
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证明：如图，设平面 π 与圆锥内切球相切于点 F1，球与圆 锥的交线为圆 S，过该交线的平面为 π′，π 与 π′相交于 直线 m. 在平面 π 与圆锥的截线上任取一点 P，连接 PF1.过点 P 作 PA⊥m，交 m 于点 A，过点 P 作 π′的垂线，垂足为 B，连 接 AB，则 AB⊥m，∴∠PAB 是 π 与 π′所成二面角的平面 角．连接点 P 与圆锥的顶点，与 S 相交于点 Q1，连接 BQ1， 则∠BPQ1＝α，∠APB＝β. 在 Rt△APB 中，PB＝PAcos β.
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[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆 锥的交线为椭圆． 分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要 明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．
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证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入 Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的 下方，并且与平面π及圆锥均相切．
所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2. 由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平 面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时， 平面π与圆锥的交线是以F1、F2为焦点的椭圆．
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[通一类] 2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角
为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任
取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)， 求证：β＝α时，平面π与圆锥的交线是抛 物线．(如图)
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证明：如图，设平面 π 与圆锥内切球相切于点 F1，球与圆 锥的交线为圆 S，过该交线的平面为 π′，π 与 π′相交于 直线 m. 在平面 π 与圆锥的截线上任取一点 P，连接 PF1.过点 P 作 PA⊥m，交 m 于点 A，过点 P 作 π′的垂线，垂足为 B，连 接 AB，则 AB⊥m，∴∠PAB 是 π 与 π′所成二面角的平面 角．连接点 P 与圆锥的顶点，与 S 相交于点 Q1，连接 BQ1， 则∠BPQ1＝α，∠APB＝β. 在 Rt△APB 中，PB＝PAcos β.
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[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆 锥的交线为椭圆． 分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要 明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．
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证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入 Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的 下方，并且与平面π及圆锥均相切．
所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2. 由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平 面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时， 平面π与圆锥的交线是以F1、F2为焦点的椭圆．
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2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
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[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆 锥的交线为椭圆． 分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要 明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．
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证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入 Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的 下方，并且与平面π及圆锥均相切．
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2．平面与圆锥面的截线
(1)如图，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝α，
直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为β(0<β<)，则： ① β>α ，l与AB(或AB的延长线)、AC相交； ② β＝α ③ β<α ，l与AB不相交； ，l与BA的延长线、AC都相交．
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(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O 点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥 面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝
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在 Rt△PBQ1 中，PB＝PQ1cos α. PQ1 cos β ∴ ＝ . PA cos α PF1 又∵PQ1＝PF1，α＝β，∴ ＝1， PA 即 PF1＝PA， 动点 P 到定点 F1 的距离等于它到定直线 m 的距 离，故当 α＝β 时，平面与圆锥的交线为抛物线．
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本课时考点在高考中很少考查.2012年梅州模拟以
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当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个
封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切 于圆S1、S2. 在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1 于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因
湘教版高中数学选修4-1几何证明选讲：圆锥面的双曲线截线的探索
请比照3.2节的推理，尝试给出命题 3.4中情形(3)的证明.
继续减小截面m和轴线的交角,得到图3-16.
在图3-12中，逐渐减小截面m和轴线的 交角，当m和右面的母线平行时。就成了图 3-13.
观察图3-16，对照命题3.6的证明，那 里的推理，是否仍然有效？
谢谢
圆锥面的双曲线截线的 探索
思考：
观察下图，你发现了什么？
Байду номын сангаас
和图3-9对比来考虑， 那里的推理哪些仍然 有效？哪些要调整？
为什么两个焦球到截面m的同侧来了？
可不可以想象，在平面上放两个球， 两球之间有一个点光源Q，在光的照射下. 两球在平面上的影子的边缘，就是我们感 兴趣的截线？
Q的位置在何处，才能使两球的影子的 边缘，成为一个双曲线的两支？为什么？
继续减小截面m和轴线的交角,得到图3-16.
在图3-12中，逐渐减小截面m和轴线的 交角，当m和右面的母线平行时。就成了图 3-13.
观察图3-16，对照命题3.6的证明，那 里的推理，是否仍然有效？
谢谢
圆锥面的双曲线截线的 探索
思考：
观察下图，你发现了什么？
Байду номын сангаас
和图3-9对比来考虑， 那里的推理哪些仍然 有效？哪些要调整？
为什么两个焦球到截面m的同侧来了？
可不可以想象，在平面上放两个球， 两球之间有一个点光源Q，在光的照射下. 两球在平面上的影子的边缘，就是我们感 兴趣的截线？
Q的位置在何处，才能使两球的影子的 边缘，成为一个双曲线的两支？为什么？
上课用高二数学33平面与圆锥面的截线(选修4-1)
S1 于Q1 ,交S2于Q2 ,于是 PF1和 PQ1是从P到上方球的两条切 线,因此PF1 PQ1. 同理, PF2 PQ2.所以PF1 PF2
S1 Q1 F1
F2 P S2
Q2
PQ1 PQ2 Q1Q2 . 由正圆锥的对称性, Q1Q2长度
图3 11
等于两圆S1、S2 所在平行平面间的母线段的
G1 ,交BC于G2 ，设EF 与BC,CD的交角分别
为φ，θ。
G1 F1
D
F2Φ G2
ΘF
O2
C
(1)G2F1 G2F2 AD
G2F1 G2F2 G2B G2C BC AD
(2)AD G1G2
G1G2 G1D F2G2
EA
G1D G2C
G1D G1A ?
G1 F1
AD
任 意 一 点 到 两 个 定 点即 双 曲 线 的 两 个 焦 点
的 距 离 之 差 的 绝 对 值 为常 数.
拋物线焦点的产生 球面与圆锥面相切(切点圆) 含切点圆的平面
(切点面) 內切球面
圆锥面
由截面截出的拋物线
截面与切点面交线 (准线)
对称轴 球的切点
(焦点)
截面
复习回顾——平行射影的概念：
直线 l与平面α相交------ l的方向称投影方向。 点的平行射影：过点A作平行于 l 的直线（称
投影线）必交α于一点A´,称点A´为A沿 l的方向
在平面 α上的平行射影。
l
A
A
图形的平行射影：
一个图形上各点在平面 α上的平行射影所 组成的图形，叫做这个图形的平行射影。
双球,一个位于平面 的上方, 一个位于平面 的下方,并且 与平面 及圆锥均相切.
2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
0)，则
①β>α ②β＝α ③ β<α ，平面π与圆锥的交线为椭圆； ，平面π与圆锥的交线为抛物线； ，平面π与圆锥的交线为双曲线．
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[小问题·大思维] 用平面截球面和圆柱面所得到的截线分别是什么 形状？
提示：联想立体图形及课本方法，可知用平面截
球面所得截线的形状是圆；用平面截圆柱面所得截线 的形状是圆或椭圆．
2 解：由题意知，椭圆的长半轴长 a＝ ＝2 2， sin 45° 短半轴长 b＝2，则半焦距 c＝ a2－b2＝ 8－4＝2. 所以焦距 2c＝4.
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[读教材·填要点]
1．平面与圆柱面的截线
(1)椭圆组成元素： F1，F2 叫椭圆的焦点； F1F2 叫椭圆 的焦距；AB叫椭圆的 长轴 ；CD叫椭圆 的 短轴 ．
如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦 2 a2－b2 . 距2c＝
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(2)如图(1)，AB、CD是两个等圆的直径，AB∥CD，
AD、BC与两圆相切，作两圆的公切线EF，切点分别为F1、 F2，交BA、DC的延长线于E、F，交AD于G1，交BC于G2. 设EF与BC、CD的交角分别为φ、θ.
选择题的形式考查了平面与圆柱面的截线的形状，是
高考模拟命题的一个新动向．
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[考题印证]
(2012· 梅州模拟)已知半径为 2 的圆柱面， 一平面与圆 柱面的轴线成 45° 角，则截线椭圆的焦距为 A．2 2 C．4 B．2 D．4 2 ( )
[命题立意]
本题主要考查平面与圆柱面的截线问题，
同时考查椭圆的相关性质．
曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采 用与上节中定理1的证明相同的方法，即Danelin双球法， 这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使 问题得到解决．
2018学年高中数学选修4-1课件：第三讲3.3平面与圆锥面的截线 精品
(3)β<α，平面 π 与圆锥的交线为双曲线．( ) (4)β＝α，平面 π 与圆锥的交线为圆．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．圆锥的顶角为 60°，截面与母线所成的角为 60°，
则截面所截得的截线是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：由题意知，截面与Байду номын сангаас锥的轴线成 90°角，即截面
答案： 2 双曲线
类型 1 圆锥曲线的判定(互动探究)
[典例 1] 如图所示，已知平面 π 与 圆锥的轴的夹角为 β，圆锥母线与轴的 夹角为α，求证：β<α 时，平面 π 与 圆锥的交线为双曲线．
证明：如图所示，当 β<α 时，平面 π 与圆锥的两部 分相交．在圆锥的两部分分别嵌入 Dandelin 球，与平面 π 的两个切点分别是点 F1、F2，与圆锥两部分截得的圆分 别为 S1、S2.
类型 2 圆锥曲线的几何性质
[典例 2] 如图所示，已知圆锥母线 与轴的夹角为 α，平面 π 与轴线夹角为 β， Dandelin 球的半径分别为 R、r，且 α<β， R>r，求平面 π 与圆锥面交线的焦距 F1F2， 轴长 G1G2.
解：连接 O1F1、O2F2、O1O2 交 F1F2 于 O 点， 在 Rt△O1F1O 中，
因为 cos 2α＝35，即 2cos2α－1＝35，所以 cos α＝255.
因为 α＋β＝90°，
所以 cos β＝sin α＝
1－（2
5
5）2＝
5 5.
5
cos 所以椭圆的离心率 e＝
cos
β α＝2
5
5＝12.
5
答案：C
湘教版高中数学选修4-1几何证明选讲：圆锥面截线的准线和离心率
成一个圆，这个圆所在的平面垂直于圆锥 面的轴线.
命题3.6
设圆锥面的斜截面m的焦球中心和圆锥 面顶点在平面m的同侧；焦球切m于点F；m 与轴面q所含的母线和焦球切于B.过B作圆 锥面的正截面n和m教育直线w，则m和圆锥 面截线上的任一点P到点F的距离与到直线w 的距离比为定值.
PF =定值 PK
圆锥面截线的准线和 离心率
学习目标
了解圆锥面截线的准线定理
思考：
上一节我们把研究圆柱面截线的双球 法推广到了圆锥面.
在研究圆柱面的截线性质时，我们还 从一个焦球出发，引出了截线椭圆的准线 和离心率，这样的研究方法能不能推广到 圆锥面呢？
讨论这个问题的前提，是下列命题成立:
命题3.5 圆锥面的内切球和圆锥面的公共点组
根据上图及右 图的辅助线提示， 结合前面学过的 知识，试着将证 明过程写在稿纸 上.
Hale Waihona Puke 展练习：根据对命题3.5的探究，请给出命题 3.6更为简洁的表述方式.
谢谢
命题3.6
设圆锥面的斜截面m的焦球中心和圆锥 面顶点在平面m的同侧；焦球切m于点F；m 与轴面q所含的母线和焦球切于B.过B作圆 锥面的正截面n和m教育直线w，则m和圆锥 面截线上的任一点P到点F的距离与到直线w 的距离比为定值.
PF =定值 PK
圆锥面截线的准线和 离心率
学习目标
了解圆锥面截线的准线定理
思考：
上一节我们把研究圆柱面截线的双球 法推广到了圆锥面.
在研究圆柱面的截线性质时，我们还 从一个焦球出发，引出了截线椭圆的准线 和离心率，这样的研究方法能不能推广到 圆锥面呢？
讨论这个问题的前提，是下列命题成立:
命题3.5 圆锥面的内切球和圆锥面的公共点组
根据上图及右 图的辅助线提示， 结合前面学过的 知识，试着将证 明过程写在稿纸 上.
Hale Waihona Puke 展练习：根据对命题3.5的探究，请给出命题 3.6更为简洁的表述方式.
谢谢
人教版高中数学选修四教学课件-平面与圆锥面的截线
∴A1H1=
������ ������
������1������1.
又 A1F1=OF1-OA1=c-a,
∴A1H1=
������(������-������) ������
.
∴
������������1
=
������������1
−
������1������1,
∴OH1=a−
������(������-������) ������
分别嵌入Dandelin球,与平面π的两个切点分别为F1,F2,与圆锥两部 分截的圆分别为S1,S2.
在截口上任取一点P,连接PF1,PF2.过点P和 圆锥的顶点O作母线,分别与两球切于Q1,Q2点, 则PF1=PQ1,PF2=PQ2,所以|PF1-PF2|=|PQ1PQ2|=Q1Q2,所以Q1Q2是两圆S1,S2所在平行平 面间的母线段的长,且为定值.
题型一 题型二 题型三
解:如图是圆锥的截面,其中点P为抛物线的顶点,点Q为抛物线的
焦点,点M为截面与轴的交点,连接OA,OQ.
设A,B为球与圆锥的母线的切点.
由∠ASB=60°,
∴∠ASO=30°.
又OA=2,OA⊥SA,∴OS=4,易知OP⊥OS,
∴OP=OStan 30°= 433,
������
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 在圆锥内部嵌入Dandelin双球,一个位于平面π的
上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π及圆锥均相切.若平面π与
双球的切点不重合,则平面π与圆锥面的截线是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解析:由于平面π与双球的切点不重合,则平面π与圆锥母线不平