最新(黄倩霞)大学生数学竞《解析几何》培训讲义

(黄倩霞)大学生数学竞《解析几何》培训

讲义

大学生数学竞赛解析几何培训讲义第三章平面与空间直线

二、本章重点及难点

解析几何最显著的特点就是用代数方法来研究几何.因此学习解析几何不仅要有良好空间图形的认知能力，而且更要有一些必要的代数知识，特别是向量代数知识.作为最简单的曲面与曲线——平面与空间直线来说，图形的认知应该是比较容易的，关键是要学会灵活运用有关它们的一些数量、向量以及向量形式的方程，比如平面上或直线上的点的坐标、平面的法向量、直线的方向向量、平面的向量式方程以及直线的向量式参数方程等来解决有关几何问题.

本章的重点是：

●平面的各种形式的方程及其相互转换；

●直线的各种形式的方程及其相互转换；

●点、平面及直线的关系.

本章的难点是：

●点与平面的离差，平面划分空间问题；

●向量式方程的运用；

●灵活运用某些点、平面的法向量、直线的方向向量，平面束等来解

决一些几何问题.

三、本章的基本知识要点

1.平面的方程

在中学的立体几何中，读者知道了一个公理：空间中不在一条直线上的三个点可以确定唯一的平面，还知道两个定理：①空间的两条相交直线可以确定

准一的平面，②垂直于平面的直线同时垂直平面内的一切直线．通过上述的知识和利用矢量运算，可以得到以下平面的方程．

(1)向量式方程：

?Skip Record If...? (3.1)

其中u,v为参数．

在仿射坐标系下，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?

将它们代人式(3．1)，可得到下述参数式方程．

(2)参数式方程

?Skip Record If...? (3.2)

由于向量?Skip Record If...?共面，可以得到下述混合积方程．

(3)混合积方程：

?Skip Record If...?（3.3）

将对应的向量的坐标代入式(3. 3)中，可得到下述点位式方程．

(4)点位式(或行列式)方程

?Skip Record If...? (3.4)

将式(3．4)中的行列式按第一行展开，可得到下述一般方程．

(5)一般方程(或称为普遍式方程)

?Skip Record If...? (3.5)

这是一个三元一次方程．当D不等于零时，可以得到下述截距式方程．

(6)裁距式方程

?Skip Record If...?（3.6）

为了便于讨论点到平面的距离和点与平面的位量关系，将平面方程的讨论限制在直角坐标系下．在空间直角坐标系下．设平面上点Mo的径矢?Skip

Record If...?，平面上任意一点M的径矢?Skip Record If...?以及平面的法向量?Skip Record If...?，由于?Skip Record If...?，所以通过?Skip Record If...? (3．7)

可以得到平面的点法式方程．

(7)点法式方程

?Skip Record If...?（3. 8)

格式(3. 8)展开整理后，仍可以得到与式(3．5)类似的三元一次方程.

为了计算点到平面距离和讨论点与平面的相对位置，需要指定平面的法矢．将取自原点O出发，垂直于平面?Skip Record If...?的矢量指定为平面?Skip Record If...?的法矢，有了指定法矢的平面常被称为有向平面．此时平面?Skip Record If...?上任意点M的径矢?Skip Record If...?与平面?Skip Record If...?的单位法矢?Skip Record If...?有下面的关系：

?Skip Record If...? (3．9)

其中p是非负的．是原点O到平面?Skip Record If...?的距离．将式(3 9)中各矢量的坐标代入，可得到下述的法式方程．

(8)法式方程

?Skip Record If...?（3.10）

将一般方程?Skip Record If...?转化为法式方程时，需要在方程两边同时乘上法化因子?Skip Record If...?

其中?Skip Record If...?的正负号选取应满足?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?时，取?Skip Record If...?与D异号，当D=0时，取

?Skip Record If...?与第一个变量的系数同号．例如，?Skip Record If...?取?Skip Record If...?

(9)三点式方程

?Skip Record If...?（3.11）

这个方程可以看做与式(3．4)为同一类．

2．平面与点的相关位置

(1)点?Skip Record If...?与平面间?Skip Record If...?的离差?Skip Record If...?（3.12）

其中?Skip Record If...?为原点指平面?Skip Record If...?的单位法矢矢,

?Skip Record If...?p为原点O到平面?Skip Record If...?的距离．式(3．12)也可以写成代数表达式

?Skip Record If...? (3．13)

原点?Skip Record If...?与平面?Skip Record If...?间的离差为?Skip Record If...?，反映出原点O、平面?Skip Record If...?、及其单位法矢

?Skip Record If...?之间的关系．点与平面间的离差是一个代数值，它的正负号反映出点在平面的侧向．在平面?Skip Record If...?同侧的点，?Skip Record If...?的符号相同；对于在平面?Skip Record If...?异仍的点，?Skip Record If...?的符号相反；平面?Skip Record If...?上的点，?Skip Record If...?等于零．点与平面向的离差公式(3.13)可以将空间不在平面上的点分成两部分．同理，两个相交的平面将空间的点分成四部分．

(2)点?Skip Record If...?与平面?Skip Record If...?间的距离为

?Skip Record If...?（3.14）

3.两平面的相关位置

空间两平面

?Skip Record If...?

有以下的关系：

（1）?Skip Record If...?与?Skip Record If...?相交?Skip Record If...?

(2) ?Skip Record If...?与?Skip Record If...?平行?Skip Record If...?

(3) ?Skip Record If...?与?Skip Record If...?重合?Skip Record If...?

在空间直角坐标系下，两平面?Skip Record If...?与?Skip Record If...?间的交角是用两平面二面角的平面角?Skip Record If...?，?Skip Record If...?)来表示，并且常取其中的锐角来表示．根据平面与其法矢垂直的关系，记?Skip Record If...?，可以得到

?Skip Record If...? (3.15)

同时，两平面?Skip Record If...?与?Skip Record If...?垂直的充要条件是?Skip Record If...?

4．空间直线的方程

在中学的立体几何课程中有一个公理：空间不重合的两点可以确定唯一的直线．读者容易知道直线上任意两个不重合的点可以确定一个直线的方向向量．因此，在空间取定坐标系，并设直线?Skip Record If...?上一定点Mo的径矢?Skip Record If...?，直线?Skip Record If...?上任意点M的径矢为?Skip Record If...?，直线?Skip Record If...?的方向向量?Skip Record If...?，可以得到直线?Skip Record If...?的向量式方程“

（1）向量式方程

数学建模培训课程体系设计

数学建模培训课程体系设计探讨王茂芝，徐文皙，郭科（成都理工大学信息管理学院，四川成都 610059）摘要：数学建模培训的目标是培养学生应用数学解决实际问题的能力．对参与数学建模培训的学生的能力要求主要包括：对数学学科的宏观驾驭能力，分析和解决问题以及数学建模的能力，数学模型的求解能力以及对计算机工具和数学软件的使用能力，数学迁移能力和创新能力等．数学建模培训课程体系设计包括以下几个阶段：准备阶段，建模预处理阶段，专题培训阶段及模拟和实战阶段．关键词：数学建模；工科数学；数学教学改革中图分类号： G642.3，O29 文献标识码： A 文章编号：1004–9894（2005）01–0079–03 全国大学生数学建模活动对于全方位提高学生的素质和能力；提升教师的教学水平、业务能力和科研水平；促进工科数学的教学改革等方面都起到了积极有效的推动作用．《数学模型》和《数学实验》课程的开设，数学实验室的建立等多种教学方式、措施和手段的出现都是数学建模活动的开展带来的实际教学改革成果．本文作者根据多年来组织、指导全国大学生数学建模的实际，针对在数学建模培训过程中所讲授的内容以及开设的专题，从数学学科的角度对数学建模培训课程体系的设置进行一些探讨． 1 数学建模培训的目标数学建模是把数学作为一种工具，并应用它解决实际问题的教学活动方式．由于实际问题背景的复杂性和广泛性，同时也因为数学学科涵盖范围的广泛性，导致在数学建模培训过程中相关课程（或专题）的开设既要考虑到点，又要照顾到面．在点和面相结合的同时，重点培养并提高学生的多

种能力．这样才能达到应用数学解决实际问题的目的 [1~3]．由于大学生数学建模竞赛的主要参赛对象是大学二、三年级的学生，所以参与培训的学生一般都具有一定的数学基础（基本都学过《线性代数》《高等数学》《概率论与数理统计》这 3门基础课程）．同时，由于数学建模集中培训（集训）的时间有限，不可能在这么短的时间里把数学的相关基础课程和专业课程进行详尽地讲解．比较现实和可行的方法是：根据数学建模的目标要求以及数学学科的特点，通过开设一些专题讲座，有针对性地提高学生的能力． 1.1 数学建模培训的能力要求经过多年的实践和探索，我们认为对于参与数学建模培训的学生的能力要求有以下几个方面．第一是对数学学科的宏观驾驭能力．也就是通过培训，使学生对数学的学科划分、专业设置、相关课程设置、学科特点等都有一定的理解和认识．这实际上是一个占领制高点的过程，对于后续课程有一个清晰的脉络和清醒的认识．这一步的完成在很大程度上可以使整个培训过程达到事半功倍的效果．但前提是要求参与培训讲解的指导老师需要有较好的数学素养．第二是对于一个给定的复杂问题背景，要学会理清两个问题．一是透过问题背景知道告诉了我们什么已知信息；二是要求我们明确做什么，解决什么问题．然后紧密联系上面两个问题，实现两个量化．一是对已知条件的符号化和量化；二是对需解决问题的转化和量化．最后，再联系自己对数学知识的把握、对数学建模方法的领悟，借助一系列数学工具（方程、函数、矩阵、向量等）把量化后的符号（变量）组织起来建立数学模型．第三是数学模型的求解能力，以及对计算机和数学软件

初中数学竞赛辅导讲义

初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲分式的运算［知识点击］ 1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。［例题选讲］例1?化简x^4r^ +厂只+ 厂九 1 + 1— (x 2)(x 3) (x 3)(x 4)1 1,1 --- — ---------- ---- 十 x 1 x 2 x 2 1,1 1 ----- 十 ------ — ----- x 3 x 3 x 4 例2. 解：原式二 i (x 1)(x 2)

x y kz(1) 解：易知：-一-= -―z= -一z = k 贝y x z ky(2) 亠z y x =2 或x+y+z=O y z kx(3) (1)+(2) +(3) 得: (k -2)(x+y+z)=0 k 若k =2贝9原式=k 3 = 8 若x + y + z =0,则原式二 k 3 =-1 例3.设 2 1，求 x mx 1ft x 1 4 2 2 x m x 的值。 1 解：显然2 X 0,由已知x mx 1 “ =1 , x 贝y x +丄= x m + 1 4 2 2 .x m x 1 (2) x + 1) 2-2 x -m 2 2 ???原式二一 2m 1 =(m +1) 2-2- m 2 = 2 m -1 例4.已知多项式3x3 +ax 2 +3x +1能被x2+1整除，求a的值

解: 1- a =0 二a =1 例5:设n为正整数，求证 1111 ++ …....+v 1 3 15(2n1)( 2 n 1) 2 证：左边=1(1 - 1 1-1 + ??…? +1-1 ) 23352n 12n 1 1(1-1) 22n1 1

大学生数学竞赛辅导材料

浙江省首届高等数学竞赛试题（2002.12.7）一．计算题(每小题5分，共30分) 1 ．求极限lim x →。 2．求积分 |1|D xy dxdy -??，11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。 3．设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h 。 4．设()f x 连续，且当1x >-时，20()[()1]2(1)x x xe f x f t dt x +=+? ，求()f x 。 5．设21 1arctan 2n n k S k ==∑，求lim n n S →∞。 6．求积分1 2121(1)x x x e dx x ++ -?。 2003年浙江省大学生高等数学竞赛试题（2003.12.6）一．计算题 7．求20 50sin()lim x x xt dt x →?。 8．设31()sin x G x t t dt =?，求21()G x dx ?。 9．求2401x dx x ∞+?。 10．求∑=∞→++n k n k n k n 12lim 。浙江省大学生第三届高等数学竞赛试题 1．计算：( )()2 00cos 2lim tan 1x t x x e tdt x x x →----?。 2．计算：20cos 2004 x dx x x π ππ+-+?。

3．求函数()22,415f x y x y y =++在 (){}22,41x y x y Ω=+≤上的最大、小值。 4．计算：()3max ,D xy x d σ?? ，其中(){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤。 5. 设()1tan 1x f x arc x -=+，求)0()(n f 。天津市竞赛题 1.证明??+≤?+020220 21cos 1sin dx x x dx x x ππ. 2. 设函数)(x f 在闭区间]2,2[-上具有二阶导数,,1)(≤x f 且 ,4)]0([)]0([22='+f f 证明：存在一点),2,2(-∈ξ使得0)()(=''+ξξf f . 3. （1）证明：当x 充分小时,不等式422tan 0x x x ≤-≤成立. （2）设,1tan 12 k n x n k n +=∑=求.lim n x x ∞ → 4. 计算??????+-??? ??+-∞→61231e 2lim n n n n n n 。5. 设()x x x f +-=11arctan ，求()()05f 。 6. 对k 的不同取值，分别讨论方程01323=+-kx x 在区间()+∞,0内根的个数。 7. 设a ，b 均为常数且2->a ，0≠a ，问a ，b 为何值时，有 ()()??-=?? ????-+++∞ +10212d 1ln d 122x x x a x x a bx x 。 8.设121-≥a ， ,,,n ,a a n n 321121=+=+，证明：n n a ∞ →lim 存在并求其值。 9.设()x f 是区间[]2+a,a 上的函数，且()1≤x f ，()1≤''x f ，证明：()2≤'x f ，[]2+∈a,a x 。北京市竞赛试题(2008、2007、2006) .______,111,1.11 =-+++-→-m x x x m x m 则的等价无穷小是时设当 .________)1(,) ()2)(1()()2)(1()(.2='+++---=f n x x x n x x x x f 则设

大学生数学竞赛

一、已知曲线积分 21 ()()L xdy ydx A x y ?-≡+?（常数）。其中()x ?是可导函数且(1)1?=，L 是绕原点（0，0）一周的任意正向闭曲线，试求出()x ?及A 。 [分析] 可添设辅助路径，使之得到不包围原点的闭路构成单连域，若没此闭路的曲线积分与路径无关，有Q p x y ??= ??，可得微分方程从而解出()x ?，取L 为221x y +=可计算A 值。图4 解：设12l l +为平面上任意一条不经过原点也不包含原点的正向闭曲线，取辅助路径3l 如图4、（使23l l -+构成闭路且包围原点）。由已知有 13 l l Pdx Qdy A ++=? （1）（13l l +构成闭路包围原点） 23 l l Pdx Qdy A -++=? （2） 2l -是2l 的负向与3l 构成闭路包围原点）（1）－（2） 13 23 1 3 2 3 1 2 1 2 12 12 00 l l l l l l l l l l l l l l l l Pdx Qdx +-+--++→ -=+--=-=+= =→+≡???????? ???? （12l l +构成闭路。但不包围原点围成单连域）所以积分与路径无关。 22 ,()()y x P Q x y x y ??-= =++。 22 2222(())2()()(())(())P x y y y x y y x y x y ?????-+---+== ?++ 222 ()() (()) Q x y x x x x y ???'?+-=?+。

所以 ,(,)(0,0)Q P x y x y ??=≠?? 22()()()x y x y x x ???'→-+=+- 即 ()2()x x x ??'= 解出 2()x Cx ?= 由2(1)11,()C x x ??=→=∴=。又可取L 为221x y +=正向， 2222 1 cos sin x y x xdy xdx A x y y θ θ+==-→=+=?令 20 2220 20cos sin sin cos 1 (cos sin )d d d d π θπ θθθθ θθθθ -=+=? ?? 二、设u 在:1cos L r θ=+所围闭域D 上连续，且二阶导数连续，又1xx yy u u +=，试证 L u ds D n ?=??，其中 u n ??是u 沿D 的边界外向法线方向导数，L 方向为逆时针方向，求此曲线积分的值。 [分析] 先考虑由方向导数，第I 、II 型曲线积分的关系写出所求曲线积分的一般形式，通过格林公式可计算结果。证明：由方向导数定义： cos sin L L u u u ds ds n x y αα?????=+ ????? ??? （沿D 边界外法线方向与x 轴正向夹角为α）设沿D 边界逆时针方向（正向）的切线正向与x 轴、y 轴正向的夹角分别为1α、1β（图22）图22 则

数学建模实践心得

数学建模实践心得大学以来的第一个暑假,我参加了数学建模培训, 来作为一次暑期社会实践。或许并不像其他社会实践队可以走出校园,接触社会,但我们可以通过这次的培训,更系统化,更具体化地学习数学建模,并进一步理解其所体现的一些思想和精神。数学建模是接触实际科学问题的第一步,利用所学的知识,利用各种数学和计算机工具,为某一具体问题建立抽象模型,并解决问题、最后撰写论文,给出客观的评价。在两个星期的数学建模培训的过程中,我学到了很多知识,比如 LINGO软件、MATLAB软件和一些算法,可以说,这是迄今为止任何一门课程都无法比拟的,各种从未接触过的高级数学软件,令人眼花缭乱的编程和神秘的多维图像。当初参加校级数学建模比赛的时候,起初我和我的队友都激情高昂的,但是随着三天的建模下来,我们的斗志越来越低迷,出于对数学建模的不了解,可以说,无从下手,自然最后只能草草结束。经过那次的接触后,我明白首先我们要加强建模技能和拓展课外知识面;再者,态度也是主导因素之一,态度决定一切,如果抱着试一试的态度,是不会有什么结果的。其实,数学建模的一些思想和为人处世之道是相通的。在生活中,无论做什么事情,我们都要端正自己的态度,时常给自己一点鼓励,要相信自己的潜力,把自己融入激情之中,不要越做越懈怠。江南春曾说过“最终你相信什么,就能成为什么”。在数学建模的培训中,我接触到一些参加过国赛的学长和学姐。执着和认真,是我在建模时从他们候身上找到的共同点。认真的人改变自己,执着的人改变命运。的确,在数学建模的过程中,只有驱除浮躁,踏实做事,全神贯注,注重每一个细节,才能把事情做好。

在和他们交流的过程中,曾有一位学姐说道,要想有进步,就要踏踏实实学好理论、弄懂原理、看会例题、做好练习,而不是浮在面上。参加数学建模培训,还要放正心态,急功近利的想法是要不得的。数学建模的思想是在潜移默化中作用于你,而非立竿见影。所以要真正学到有益的知识和思想才是最重要的,而非顾于是否获奖之类的。数学建模,通过利用数学知识,对一些生活中的实际问题建立模型。所以,它需要的不仅仅是数学的逻辑思维,还需要计算机编程能力,论文写作能力,其实更重要的是团队协作能力。我想,这对以后的工作与生活,有非常大的帮助的,对人生更是如此。在建模的三天里,初看题目,感觉摸不着头脑,没有相关理论的基础,没有高人的指点,三个伙伴只能借助唯一的网络,去找寻找问题的入手点。在反复的搜索之后,我们终于有了初步的理解。写论文的过程,我们可以说是“痛并快乐的”。当然,在数学方法上,我们很多地方也感觉困难重重,所以不断地查询资料,理解它们的含义,让比赛的过程成为我们学习的动力。虽然最终没有取得预期的结果, 但是,过程带来的快乐,远远超越了结果。令我感触最深的是,知识的扩充,和交识了一些新朋友。与我建模的两位同学,可以说,初次接触,不了解对方。相对于其他建模小组而言,我们还需要在短暂的几天内去了解彼此。不过,还好,我们都是随和的性子,很快就熟悉起来。在建模的过程中,我们仨一同讨论,一同努力,一同交上一份尽心尽力的答卷。可以说,我们合作的过程也可以算是一种锻炼,怎样才能更好的沟通,怎样才能各抒己见,但最终可以把各自的观点融于一体,也算是一种挑战。学会与他人合作,在相互的谦虚中学习彼此的长处,汲取对方的优点,接收别人的建议。或许,三天的交流,并不长,也并不深入,但起码,我们成为了朋友,曾经一起为数学建模奋斗过。我想,这也是数学建模的另一番魅力所在。短短的三天,可以拉近三个性格迥异的人。

数学竞赛教案讲义排列组合与概率

第十三章排列组合与概率一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。2 乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0 n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）1 1--+=n n m n m n C C C ；（3） k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6） k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为1 1--n r C 。

全国大学生数学竞赛简介资料

全国大学生数学竞赛第一届 2009年，第一届全国大学生数学竞赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。第二届 2011年3月，历时十个月的第二届全国大学生数学竞赛在北京航空航天大学落幕。来自北京、上海、天津、重庆等26个省(区、市)数百所大学的274名大学生进入决赛，最终，29人获得非数学专业一等奖，15人获数学专业一等奖。这次赛事预赛报名人数达3万余人，已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一。竞赛用书该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。竞赛大纲中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 1.竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 1.竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 1.集合与函数 2. 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 3. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.

暑期数学建模培训心得

暑期数学建模培训心得我在大二暑期参加了数学建模培训，培训的这段日子过得很充实，很有意义；经历了很多，也收获了很多。以前在大一时就曾听说过数学建模这一学科，但只是很肤浅的了解，还错误的以为这门学科只是跟数学有关系，只要数学学好了，学好数学建模就轻而易举了。因为自己数学一直很好，对数学建模很感兴趣，也很自信，于是，大二时毫无疑问地选修了数学建模这门专业选修课，但是选择了以后才发现根本不像自己想象的那样简单。选修课时，对数学建模有了进一步了解，数学建模主要包括三大部分的内容：统计，优化，微分和差分。但是这也只是表面上的了解而已，上课老师只针对某一部分，告诉你要针对这一部分具体该怎么做，只是一种固定的模式，没有自己的任何建模思想。前面这些都是以前对数学建模的想法和认识的不断加深。直到暑假开始进行数学建模的培训，才真正了解了数学建模，真正认识了数学建模，也更加对数学建模产生了兴趣。培训前期也就是提高班的时候，我们主要是讲基础一些的数学建模知识，比方说时间序列，灰色系统，智能算法，等等。这些都是我们从未接触过的东西，本来接受起来就很难，再加上每天课很紧，从早上八点到下午六点半，除了吃饭时间，老师都一直在不辞辛苦地给我们讲课，一天中基本没有什么课下自由学习的时间，在课上的效率一定要保证很高。更困难的是，整天坐在机房里，电脑的强辐射以及教室很大，人很多，天气燥热，听课效果极差，让我在第二天就打起了退堂鼓：真的坚持不下去了，好想回家；但是庆幸的是，我最终克服了疲倦心理，忍耐坚持了下来。刚刚开始的这次心理波动，让我很有体会，有时在做某些事时，当你感觉自己坚持不下去了，那就咬牙再多坚持一下下，挺过去，那么你就会发现，你的坚持是对的，最终你会得到比你所期待得到的更多。忍耐坚持，应该算是我在培训中上的第一课吧。在第一阶段的培训中，还有一件让人难忘的事，就是提高班也是第一次的选拔考试。考试要考一天，上午是优化，下午考编程，sas和matlab。本来做好了复习，第二天信心满满参加考试，但是，很不顺利，不是因为自己做不上题目，而是自己执行力太差，浪费了大量时间。首先，对于图片、表格的处理方面，一

初中数学竞赛辅导讲义全

专业资料初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲分式的运算 [知识点击] 1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2．已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。

专业资料解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。解：

全国大学生数学竞赛试题及答案

河北省大学生数学竞赛试题及答案一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ，所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?，由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ，综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。

【解】作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ，所以，4 π= I 。四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。【解】因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0，容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。而3 3 1 2 132> ? <

高中数学竞赛讲义

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。二、初中数学竞赛大纲 1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法；

全国大学生数学竞赛大纲(数学专业组)

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业组) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)

（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用

第一讲走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有个. 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=. 【例3】解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111，试求x 的值. 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值. 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==.

全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)

首届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类）考试形式：闭卷考试时间： 150 分钟满分： 100 分. 一、计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）. (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+，求()f x .

二、（10分）求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????； (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、（10分）设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导， (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、（10分）设()f x 在[0,)+∞上连续，无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?.

五、五、（12分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明：(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=；(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、（14分）设1n >为整数， 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根.

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*）令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.

数学建模培训心得体会

学习数学建模心得体会这学期参加数学建模培训，使我感触良多：它所教给我们的不单是一些数学方面的知识，更多的其实是综合能力的培养、锻炼与提高。它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻辑推理能力和量化分析能力得到很好的锻炼和提高。它还让我了解了多种数学软件，以及运用数学软件对模型进行求解。数学模型主要是将现实对象的信息加以翻译，归纳的产物。通过对数学模型的假设、求解、验证，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、决策的结果。其实，数学建模对我们来说并不陌生，在我们的日常生活和工作中，经常会用到有关建模的概念。例如，我们平时出远门，会考虑一下出行的路线，以达到既快速又经济的目的；一些厂长经理为了获得更大的利润，往往会策划出一个合理安排生产和销售的最优方案??这些问题和建模都有着很大的联系。而在学习数学建模训练以前，我们面对这些问题时，解决它的方法往往是一种习惯性的思维方式，只知道该这样做，却不很清楚为什么会这样做，现在，我们这种陈旧的思考方式己经在被数学建模训练中培养出的多角度、层次分明、从本质上区分问题的新颖多维的思考方式所替代。这种凝聚了许多优秀方法为一体的思考方式一旦被你把握，它就转化成了你自身的素质，不仅在你以后的学习工作中继续发挥作用，也为你的成长道路印下了闪亮的一页。通过学习数学建模训练，对我的收益不逊于以前所学的文化知识，使我终生难忘。而且，我觉得数学建模活动本身就是教学方法改革的一种探索，它打破常规的那种老师台上讲，学生听，一味钻研课本的传统模式，而采取提出问题，课堂讨论，带着问题去学习、不固定于基本教材，不拘泥于某种方法，激发学生的多种思维，增强其学习主动性，培养学生独立思考，积极思维的特性，这样有利于学生根据自己的特点把握所学知识，形成自己的学习机制，逐步培养很强的自学能力和分析、解决新问题的能力。这对于我们以后所从事的教育工作也是一个很好的启发。总之，“一份耕耘，一份收获”。作为一名对数学有着浓厚兴趣的学生，我深刻地感到了自己在程序的编制和软件应用以及自学能力，有了很大的提高，并将对我今后的专业学习有很大的帮助。想到这里，我不由得被老师的良苦用心所感动，为我们创造了如此优越的学习条件，处处为学子着想。因此，在今后的学习中，我会保持这种学习的劲头，刻苦努力，争取以更优异的成绩。随着科学技术的飞速发展，人们越来越认识到数学科学的重要性：数学的思考方式具有根本的重要性，数学为组织和构造知识提供了方法，将它用于技术时能使科学家和工程师生产出系统的、能复制的、且可以传播的知识??数学科学对于经济竞争是必不可少的，数学科学是一种关键性的、普遍的、可实行的技术. 在当今高科技与计算机技术日新月异且日益普及的社会里，高新技术的发展离不开数学的支持，没有良好的数学素养已无法实现工程技术的创新与突破。因此，如何在数学教育的过程中培养人们的数学素养，让人们学会用数学的知识与方法去处理实际问题，值得数学工作者的思考。大学生数学建模活动及全国大学生数学建模竞赛正是在这种形势下开展并发展起来的，其目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，拓宽学生的知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和教学方法的改革. 这项极富意义的活动，大学组队参加了全国大学生数学建模竞赛。为了更好地组织、指导此项活动，让更多的学生投入此项活动并从中受益，学生根据组织与指导的实践，对数学建模活动的作用与实施谈一些认识，以期起到深化数学教学改革、推动课程建设的作用。方法，去近似刻画、建立相应数学模型并加以解决的过程。为检验大学生数学建模的能力，而我国大学生数学建模竞赛。参加过数学建模活动的教师与学生普遍反映，数学建模活动既丰