函数与数列的极限

y = arcco x s
x ∈ [−1,1], y ∈ [0, π ]
第一讲 函数与数列的极限 反正切函数
y = arctan x
x ∈ (−∞, +∞), y ∈ (−
π π
, ) 2 2
幂函数,指数函数 对数函数 幂函数 指数函数,对数函数 三角函数和反三角函数 指数函数 对数函数,三角函数和反三角函数 统称为基本初等函数 基本初等函数. 统称为基本初等函数
{
}
tan x ⇒ x ≠ kπ +
2 log a x, ln x ⇒ x > 0
cot x ⇒ x ≠ kπ
第一讲 函数与数列的极限 三、求函数表达式的方法 直接代入法（直接代入法一般都是给出函数的具体解析式， 直接代入法（直接代入法一般都是给出函数的具体解析式， 求其他函数的表达式，比较简单） 求其他函数的表达式，比较简单）
−
3l 2
−
l 2
l 2
3l 2
函数sinx, cosx的周期是 2π . 函数 的周期是 函数tanx的周期是 π. 函数 的周期是
第一讲 函数与数列的极限 §3 初等函数 一、复合函数 在 上有 定义: 定义 设函数 y = f (u) 的定义域为 D, 函数 1 函数u=g(x)在D上有 定义,且 定义 且 g(D) ⊂ D , 则由下式确定的函数 1
第一讲 函数与数列的极限 三、初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函 数,称为初等函数 称为初等函数 e x − e− x 双曲正弦 shx = 2
e x + e− x 双曲余弦 chx = 2
双曲正切
shx e x − e − x thx = = x chx e + e − x
•
( 0 ,1)
第一讲 函数与数列的极限
(3) 对数函数
y = log a x (a > 0, a ≠ 1) y = lnx
y = lo a x g
(1,0 )
•
(a > 1)
y = lo 1 x g
a
第一讲 函数与数列的极限 (4) 三角函数 正弦函数
y = sin x
y = sinx
第一讲 函数与数列的极限
第一讲 函数与数列的极限 三、 函数的单调性 设函数f 的定义域为 的定义域为D, 设函数 (x)的定义域为 区间 I ⊂ D, 如果对于区间I上任意两点 如果对于区间 上任意两点 x1 及 x2 , 当 x1 < x 2 时,恒有 恒有
f ( x1 ) < f ( x2 ),
则称函数f 在区间 上是单调增加的; 在区间I上是单调增加的 则称函数 (x)在区间 上是单调增加的 y
第一讲 函数与数列的极限 二、基本初等函数 (1)幂函数 幂函数
y= x
µ
( µ ∈ R是常数 是常数)
y
y = x2
1
(1,1)
y= x
y= x
o
1 y= x
1
x
第一讲 函数与数列的极限 (2) 指数函数
y=a
x
y = ex (a > 0, a ≠ 1)
1x y =( ) a
y = ax
(a > 1)
第一讲 函数与数列的极限 §4 数列的极限 一、 数列极限的概念与性质
1.定义: 设{ xn}为一数列，如果存在常数 a， 定义 为一数列， 对于任意给定 不论它多么小), ),总存在正整数 的正数 ε(不论它多么小),总存在正整数 N,使得当 n> N > 时 ， 不等式
xn −a < ε都成立 , 那么就称常数 a是数列 都成立,
则称函数f 在区间 上是单调减少的; 在区间I上是单调减少的 则称函数 (x)在区间 上是单调减少的 y
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
第一讲 函数与数列的极限 四、 函数的周期性 设函数f 的定义域为 如果存在一个正数l 使得对于任 的定义域为D,如果存在一个正数 设函数 (x)的定义域为 如果存在一个正数 ,使得对于任 恒成立, 一 x ∈ D 有 ( x ± l)∈D, 且 f (x+l) = f (x) 恒成立 则称f 为周期函数 称为f 的周期 为周期函数, 的周期. 则称 (x)为周期函数 l 称为 (x)的周期 （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. 通常说周期函数的周期是指其最小正周期） 周期
f ( x) = x 2 − 2 2 2 2 4 f (x ) = (x ) − 2 = x − 2 f ( f ( x)) = ( x 2 − 2) 2 − 2 = x 4 − 2 x 2 + 2 对于形如f (ϕ ( x)) = ψ ( x)
的函数一般采用变量代换法和拼凑法 两种方法利用的原理都是若f (α (t )) = β (α (t ))
y = f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
第一讲 函数与数列的极限 设函数f 的定义域为 的定义域为D, 设函数 (x)的定义域为 区间 I ⊂ D, 如果对于区间I上任意两点 如果对于区间 上任意两点 x1 及 x 2 , 当 x1 < x 2时,恒有 恒有
f ( x1 ) > f ( x 2 ),
余弦函数
y = cos x
y = co x s
第一讲 函数与数列的极限
正切函数
y = tan x
y = tanx
第一讲 函数与数列的极限 (5) 反三角函数 反正弦函数
y = arcsin x
x ∈ [−1,1], y ∈ [−
π π
, ] 2 2
第一讲 函数与数列的极限
反余弦函数
y = arccos x
的极限,或者称数列{ { xn}的极限,或者称数列{ xn}收敛于 a,记为
limxn = a, 或 xn →a (n →∞).
n→ ∞
2.性质 存在性 性质 惟一性 有界性
第一讲 函数与数列的极限 二、 数列极限的计算方法 1.无穷大分裂法 无穷大分裂法——分子分母同除以分母的最高次幂 无穷大分裂法 分子分母同除以分母的最高次幂 分子次数高结果为无穷大（极限不存在） 分子次数高结果为无穷大（极限不存在） 分母次数高结果为零 分子分母次数相同结果为最高次数系数比 2.利用等差、等比数列求和公式 利用等差、 利用等差
f (− x )
-x o x 偶函数
f ( x)
x
偶函数的图形关于y轴对称 偶函数的图形关于 轴对称. 轴对称 是偶函数. 函数 y=cosx是偶函数 是偶函数
第一讲 函数与数列的极限 设函数f 的定义域为 关于原点对称,对于 ∈ 的定义域为D关于原点对称 设函数 (x)的定义域为 关于原点对称 对于∀x∈ D, 恒成立,则称 为奇函数. 有f (-x)= -f (x)恒成立 则称 (x)为奇函数 恒成立 则称f 为奇函数 y y = f ( x)
则f ( x ) = β ( x )
第一讲 函数与数列的极限 四、反函数的求法 原函数必须是一一映射才有反函数； 原函数必须是一一映射才有反函数； 单调函数一定有反函数； 单调函数一定有反函数； 原函数与反函数关于直线y=x对称； 对称； 原函数与反函数关于直线 对称 原函数的定义域是反函数的值域； 原函数的定义域是反函数的值域； 原函数的值域是反函数的定义域。 原函数的值域是反函数的定义域。
第一讲 函数与数列的极限 二、 函数的奇偶性 设函数f 的定义域为 关于原点对称,对于 ∈ 的定义域为D关于原点对称 设函数 (x)的定义域为 关于原点对称 对于∀x∈D, 恒成立,则称 为偶函数; 有f (-x)= f (x)恒成立 则称 (x)为偶函数 恒成立 则称f 为偶函数 y = f ( x) y
f ( x) + f (− x)一定是偶函数 f ( x) − f (− x)一定是奇函数
奇函数导数是偶函数 偶函数导数是奇函数 导数是奇函数的函数一定是偶函数 导数是偶函数的函数不一定是奇函数 内层是奇函数， 内层是奇函数，函数奇偶性与外层奇偶性相同 内层是偶函数， 内层是偶函数，函数一定是偶函数
(a1 + an )n Sn = 2 n a1 (1 − q ) Sn = (q ≠ 1) 1− q
第一讲 函数与数列的极限 3.裂项消项法 裂项消项法 专门解决和式数列的方法 4.夹逼法 夹逼法
f ( x)
-x o
f (− x )
x
x
奇函数 奇函数的图形关于原点对称. 奇函数的图形关于原点对称 是偶函数. 函数 y=sinx是偶函数 是偶函数 既非奇函数,又非偶函数 函数 y=sinx+cosx既非奇函数 又非偶函数 既非奇函数 又非偶函数.
第一讲 函数与数列的极限 函数奇偶性常见结论 奇*奇=偶 奇 偶 奇*偶=奇 偶 奇 偶*偶=偶 偶 偶 偶*奇=奇 奇 奇
第一讲 函数与数列的极限 §1 函数的概念 一、函数的定义域 是非空的数集， 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关 、 是非空的数集 使对于集合A中的任意一个数 系f,使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一 使对于集合 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一 确定的数f(x)和它对应。 和它对应。 确定的数 和它对应 那么就称f:A→B为从集合 到集合 的一个函数，记 为从集合A到集合 的一个函数， 那么就称 为从集合 到集合B的一个函数 作y=f(x)， x∈A ， ∈ 其中x叫做自变量，自变量 的取值范围 叫做定义域， 的取值范围A叫做定义域 其中 叫做自变量，自变量x的取值范围 叫做定义域， 叫做自变量 的值相对应的值y叫做函数值 与x的值相对应的值 叫做函数值，函数值的集合 的值相对应的值 叫做函数值， {f(x)︳x∈A}叫做函数的值域。 叫做函数的值域。 ︳ ∈ 叫做函数的值域
第一讲 函数与数列的极限 二、函数定义域的求法 求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的一切自 变量的集合 注意事项： 注意事项： 最终结果要写成区间或集合 常见函数对自变量的要求： 常见函数对自变量的要求： (a,b] [a,b] (a,b) [a,b) x x满足的条件 1 1 − [a,+ ∞) (a,+ ∞) (-n∞,b] (- ∞,b) x n (n是偶数∞,+ ∞) ≥ 0 x (n是偶数) ⇒ x > 0 (- ) ⇒ x π
y = f ( x)
Fra Baidu bibliotek
y = f ( x)
−1
第一讲 函数与数列的极限 §2 函数的性质 一、 函数的有界性 则称函数 成立， 若 X ⊂ D, ∃M > 0, ∀x ∈ X, 有 f ( x) ≤ M 成立， f (x)在X上有界 否则称为无界 上有界.否则称为无界 在 上有界 否则称为无界. y y M M y=f(x) x0 x x o o X X 无界 有界 -M -M 当一个函数有界时， 注意: (1)当一个函数有界时 它的界是不唯一的. 注意: (1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的. (2)有界与否是和 有关的 (2)有界与否是和X有关的. 有界与否是和 有关的.
y = f [g( x)], x∈D 称为由函数u=g(x)和函数 y = f (u) 构成的复合函数 它的 构成的复合函数,它的 称为由函数 和函数
定义域为D,变量 称为中间变量 定义域为 变量u称为中间变量 变量 称为中间变量. 函数g与函数 函数 与函数f 构成的复合函数通常记为 f o g. 与函数