第七章图的基本概念
例如:图7.1中(1)为无向图G=<V,E>,V={v1,v2,v3,v4,v5}, E={(v1,v2),(v2,v2),(v2,v3),(v1,v3),(v1,v3)(v1,v4)}; (2)为有向图D=<V,E>,V={v1,v2,v3,v4,v5}, E={<v1,v1>,<v1,v2>,<v2,v4>,<v3,v2>,<v3,v2>,<v3,v4>, <v4,v5>,<v5,v4>}
j =1
(5)若第j列与第k列相同 则说明e j与ek为平行边 , .
2.有向图的关联矩阵 2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, 令mij= 0, -1, vi为ej的始点 vi与ej不关联 vi为ej的终点
则称(mij)n×m为D的关联矩阵.记为M(D).
V1 e1 e2 e3 e4 V2 V4 图 7.10 V3 e5
1 0 M(G) = 1 0
1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0
性质:
(1)∑ mij = 2( j = 1,2,..., m)
i =1 m
n
(2)∑ mij = d (vi )(i = 1,2,..., n)
4
2
3
(1)K4
(3)
8.子图 设G=<V,E>,G’=<V’,E’>,若V’⊆V, E’⊆E, 则称G’为G的子图.记作G’⊆G. 若G’⊆G且G’≠G,则称G’为G的真子图. 若G’⊆G且V’=V,则称G’为G的生成子图. ⊆ 若V1⊆V且V1≠φ,称以V1为顶点集,以两个端点均在V1 中的边为边集的图为V1的导出子图. 若E1⊆E且E1≠φ,称以E1为边集,以E1中边关联的顶点 为顶点集的图为E1的导出子图. 注)每个图都是本身的子图.
即∑ d (vi ) = 2m
i =1
n
d + (vi ) = ∑ d − (vi ) = m ∑
i =1 i =1
n
n
其中G =< V , E >, V = {v1 , v2 ,..., vn }, | E |= m
推论:任何图G中,奇度顶点的个数为偶数. 说明:图G的度数序列为{d(v1),d(v2),…,d(vn)}
e1 e1 e2 V1 e6 V2 V5 V4 e4 e3 e5 e3 e4 e5 e7 e8 V2 V5 V1 e2
V3 (1) 图 7.1
V3 e6 (2)
V4
3.零图与平凡图 若G=<V,E>中,E=φ,则称G为零图.若|V|=1,则称G为平凡图. 4.关联与相邻 设图G=<V,E>, u,v∈V, (u,v)∈E(有向图<u,v>∈E)
2.顶点之间的连通关系 在无向图G中,若顶点vi到vj有通路,则称vi与vj连通. 规定顶点与自身连通.顶点之间的连通关系是等价关系. 在有向图G中,若顶点vi到vj有通路,则称vi可达vj. 规定任何顶点与自身可达. 3.短程线与距离 若vi与vj连通(有向图,若vi可达vj),则称vi到vj长度最短的 通路为vi到vj的短程线,短程线的长度称为vi到vj的距离,用 d(vi,vj)表示.(对于有向图,用d<vi,vj>表示). 说明:若vi与vj不连通(对于有向图,若vi不可达vj), 则规定d(vi,vj)=∞(d<vi,vj>=∞). 其他情况满足距离公式.
V0
V1
V2
V3
V4
V0
(1)v0 到 v4 长为 4 的初级通路
V1
V4
(5)v0 到 v0=v5 长为 5 的初级回路
V8 V7
V2
V3
V0 V0 V1 V2 V3 V4 V6 V1 (3)v0 到 v8 长为 8 的简单通路 V5 V2 V4 V5
图7.7
(7)v0 到 v0 长为 8 的简单回路
V3
V0
V1
V2
V3
V4
V0
(2)v0 到 v4 长为 4 的初级通路
V1
V4
(6)v0 到 v0=v5 长为 5 的初级回路
V8 V7
V2
V3
V0 V0 V1 V2 V3 V4 V6 V1 (4)v0 到 v8 长为 8 的简单通路 V5 V2 V4 (8)v0 到 v0 长为 8 的简单回路 V3 V5
V3 e2 e3 V4 e4 V5 e5 e6 V6 e9 V7 e1 e8 V2 V1 e7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵 1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
V1 V2 V1 V5 V4 V2 V5
V3 V3 (1) 图 7.1 (2) V4
6.简单图 对于无向图,若关联一对顶点的边多于1条,则称这些边 为平行边. 对于有向图,关联一对顶点的方向相同的边,如果多于1 条,则称这些边为平行边. 既不含平行边,也不含环的图,称为简单图.
V1
V1
V4 V2 V5 V2 V5
1.通路与回路 设Γ=v0e1v1e2…ekvk为图G中的顶点与边的交替序列, 若Γ满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始 点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ为G中通路,v0,vk分 别称为通路的始点和终点,Γ中边的数目k称为通路长度. 若v0=vk,则通路称为回路. 若Γ中各边互不相同,则称Γ为简单通路,若v0=vk,则称Γ 为简单回路. 若Γ中各顶点互不相同,则称Γ为初级通路,若Γ中除 v0=vk外,各顶点各不相同,并且各边也互不相同,则称Γ为 初级回路或圈. 有边重复出现的通路和回路分别称为复杂通路和回路.
1 1 1
2
5
2
5
2
5
3 (1)
4 (1)与(2)互为补图
3 (2)
4
3 5 阶完全图
4
1 1
1
2
3 2 (1) (1)与(2)互为补图 (2) 图 7.4 3
2 3 阶有向完全图
3
二.握手定理(图论基本定理) 握手定理(图论基本定理)
任何图G中各顶点的度数之和等于边数的2倍. 若G为有向图,则各顶点的入度之和等于各顶点的出度之和. 都等于边数.
j =1 m n n m n
1 0 M(G) = 1 0
1 1 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 2 0
(3)∑∑ mij = ∑∑ mij = ∑ d (vi ) = 2m
j =1 i =1 m i =1 j =1 i =1
(4)∑ mij = 0 ⇔ vi是孤立点
1 4 1 4 1 4
2 (1)强32 ()单32 (3)弱
3
二.点割集与边割集
1.点割集与割点 若无向图G=<V,E>中,存在V’⊂V,使得p(G-V’)>p(G),而任 意的V”⊂V’,均有p(G-V”)=p(G),则称V’为G的点割集.若 V’={v},称v为G的割点. 2.边割集及桥 若无向图G=<V,E>中,存在E’⊆E,使得p(G-E’)>p(G),而任意的 ⊆ E”⊂E’,均有p(G-E”)=p(G),则称E’为G的边割集或割集.若 E’={e},称e为G的割边或桥. {v3,v5},{v2}, {v6}为点割集. {e3,e4},{e4,e5},{ e1,e2,e3},{e1,e2, e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
第7 章
图的基本概念
7.1 无向图及有向图
7.2 通路、回路、图的连通性
7.3 图的矩阵表示
7.4 最短路径及关键路径
7.1 无向图及有向图
一.基本概念和术语
1.无向图与有向图 图:图G=<V,E>,其中V为(非空)顶点集合,E是V中顶点偶对 的集合,称为边.通常用V(G)和E(G)分别表示图G的顶点集 合和边集合. 无向图:若图G中边集合E(G)为无向边的集合,则称该图为无 向图. 有向图:若图G中边集合E(G)为有向边的集合,则称该图为有 向图.有时用D=<V,E>表示有向图. 2.有限图与n阶图 若G=<V,E>中V,E都是有穷集合,则称G为有限图. 若|V|=n,则称G为n阶图.
5.顶点的度数 设v为无向图G中的一个顶点,称v作为边的端点的次数之 和为v的度数或度,记作d(v). 若v为有向图G中的一个顶点,称v作为边的始点次数之和 为v的出度,记作d+(v);v作为边的终点的次数之和为v的入 度,记作d-(v),称d+(v)+d-(v)为v的度数或度,记作d(v). G的最大度:Δ(G)=max{d(v)|v∈V(G)} G的最小度:δ(G)=min{d(v)|v∈V(G)}
4.无向图的连通性 若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图. 对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的 等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1 e2 e3 e4 V2 V4 V3
a
d
e
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则 称D是弱连通图(或称D是连通图). 若D中任何两顶点至少一个可达另一个,则称D是单向连通图 若D中任何两顶点都是相互可达的,则称D是强连通图. 注)D是强连通图⇒D是单向连通图⇒D是弱连通图.
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苏教版七下数学第七章-平面图形的认识PPT
建筑学
平面图形在建筑设计中广 泛应用，如窗户、门、屋 顶的设计等。
工程制图
在工程制图中，平面图形 是表达设计意图和进行施 工的基础。
日常生活
在日常生活中，平面图形 也随处可见，如桌子的形 状、瓶盖的设计等。
02
平面图形的性质与判定
平行线的性质与判定
平行线的性质 两条平行线被一条横截线所截，同位角相等。
扇形、弓形和椭圆等特殊图形的面积计算
扇形面积计算
扇形面积 = (θ/360) × πr²， 其中θ为扇形的圆心角，r 为半径
弓形面积计算
弓形面积 = 扇形面积 - 三 角形面积
椭圆面积计算
椭圆面积 = πab，其中a 和b分别为椭圆的长半轴和 短半轴
04
平面图形的变换与对称
平移、旋转和对称的基本概念
邻补角互补。
两直线相交， 邻补角互补。
角的概念与性质
01
角的概念：从一个点出发的两 条射线所组成的图形称为角。
02
角的性质
03
04
角的大小与其两边的长度无关 ，只与两边张开的角度有关。
角可以平分，角的平分线是一 条射线，它将角平分为两个相
等的部分。
三角形的基本性质与判定
在此添加您的文本17字
三角形的基本性质
平移
在平面内，将图形沿某一方向移 动一定的距离，图形的大小和形 状不发生变化，只是位置发生了
改变。
旋转
在平面内，将图形绕某一点转动一 定的角度，图形的大小和形状不发 生变化，只是位置和方向发生了改 变。
对称
图形沿某条直线折叠后，两边的部 分能够完全重合，这种特性称为对 称。
平面图形的对称性质与判定
对称性质
离散数学 7-1图概念7-2路与回路
若一条路中所有的边e1, …, en均不相同,称作迹 。 若一条路中所有的结点v0, v1,…, vn均不相同,称作通路 。 闭的通路,即除v0=vn之外,其余结点均不相同的路,称作圈。
例如
路：v1e2v3e3v2e3v3e4v2e6v5e7v3 迹：v5e8v4e5v2e6v5e7v3e4v2 通路：v4e8v5e6v2e1v1e2v3
学习本节要熟悉如下术语(22个)： 路、 路的长度、 回路、 迹、 通路、 圈、 割点、
连通、连通分支、 连通图、 点连通度、
点割集、
边割集、 割边、 边连通度、 可达、 弱分图、
单侧连通、 强连通、 弱连通、 强分图、 单侧分图 掌握5个定理，一个推论。
7-2 路与回路
路
无向图的连通性
7-1 图的基本概念
图的定义
点的度数
特殊的图 图同构
三、特殊的图
1、多重图 定义7-1.4：含有平行边的图称为多重图。 2、简单图：不含平行边和环的图称为简单图。 3、完全图 定义7-1.5：简单图G=<V，E>中，若每一对结点 间均有边相连，则称该图为完全图。 有n个结点的无向完全图记为Kn。 无向完全图：每一条边都是无向边 不含有平行边和环 每一对结点间都有边相连
3、图的分类：
①无向图：每条边均为无向边的图称为无向图。 ②有向图：每条边均为有向边的图称为有向图。
③混合图：有些边是无向边，有些边是有向边的图称
为混合图。
v1 (孤立点) v5 V1’ v1 环
v2
v4 v3 (a)无向图
V2’
V3’ (b)有向图 V4’
v2
v4 v3 ( c ) 混合图
4、点和边的关联：如ei=(u，v)或ei=<u，v>称u， v与ei关联。 5、点与点的相邻：关联于同一条边的结点称为邻 接点。
例如
路：v1e2v3e3v2e3v3e4v2e6v5e7v3 迹：v5e8v4e5v2e6v5e7v3e4v2 通路：v4e8v5e6v2e1v1e2v3
学习本节要熟悉如下术语(22个)： 路、 路的长度、 回路、 迹、 通路、 圈、 割点、
连通、连通分支、 连通图、 点连通度、
点割集、
边割集、 割边、 边连通度、 可达、 弱分图、
单侧连通、 强连通、 弱连通、 强分图、 单侧分图 掌握5个定理，一个推论。
7-2 路与回路
路
无向图的连通性
7-1 图的基本概念
图的定义
点的度数
特殊的图 图同构
三、特殊的图
1、多重图 定义7-1.4：含有平行边的图称为多重图。 2、简单图：不含平行边和环的图称为简单图。 3、完全图 定义7-1.5：简单图G=<V，E>中，若每一对结点 间均有边相连，则称该图为完全图。 有n个结点的无向完全图记为Kn。 无向完全图：每一条边都是无向边 不含有平行边和环 每一对结点间都有边相连
3、图的分类：
①无向图：每条边均为无向边的图称为无向图。 ②有向图：每条边均为有向边的图称为有向图。
③混合图：有些边是无向边，有些边是有向边的图称
为混合图。
v1 (孤立点) v5 V1’ v1 环
v2
v4 v3 (a)无向图
V2’
V3’ (b)有向图 V4’
v2
v4 v3 ( c ) 混合图
4、点和边的关联：如ei=(u，v)或ei=<u，v>称u， v与ei关联。 5、点与点的相邻：关联于同一条边的结点称为邻 接点。
第七章 地形图的基本知识
用来对地图所采用的资料进行说明，一般 位于地图的左下方。
7-3
地形图的图外注记
五、测图单位、时间、方式、人员
用来对地图所采用的资料进行说明，一般 位于地图的左下方和右下方。
7-4
地形图图式
比例符号：形状和大小严格按照测图比例尺缩 小，并用规定的符号绘在图纸上。
一、 地 物 符 号
非比例符号：对于轮廓较小的地物，不考虑其 形状和大小，仅用规定符号表示。 半比例符号：对于带状延伸地物，将长度按比 例表示，宽度不按比例表示。 地物注记：用文字、数字或特有符号对地物加 以说明。
上部等高线投影到
水平面，与下部的 等高线相交，下部 凹进的等高线用虚 线表示。
7-5
三、等高线的特性
等高线
★同一条等高线上的高程相等； ★等高线是一条闭合曲线，不在同一幅图内闭合，则必定跨越 多幅闭合，且不能中断； ★不同高程的等高线不能相交。当等高线重迭时，表示陡坎或
绝壁；
★等高线平距与坡度成正比。在同一幅图上，平距小表示坡度 陡，平距大表示坡度缓，平距相等表示坡度相同。换句话说，
7-4
1、比例符号
地形图图式
7-4
地形图图式
7-4
2、非比例符号
地形图图式
7-4Βιβλιοθήκη 地形图图式7-4地形图图式
7-4
3、半比例符号
地形图图式
7-4
地形图图式
7-4
二、地貌符号
地形图图式
地貌是指地球表面的各种起伏形态，它
包括山地、丘陵、高原、平原、盆地等。地
形图上表示地貌的方法有很多种，目前最常
图名 图号
7-3
地形图的图外注记
二、比例尺和图廓线
比例尺供地图上量取距离和坡度时使用， 一般位于地图的正下方。
7-3
地形图的图外注记
五、测图单位、时间、方式、人员
用来对地图所采用的资料进行说明，一般 位于地图的左下方和右下方。
7-4
地形图图式
比例符号：形状和大小严格按照测图比例尺缩 小，并用规定的符号绘在图纸上。
一、 地 物 符 号
非比例符号：对于轮廓较小的地物，不考虑其 形状和大小，仅用规定符号表示。 半比例符号：对于带状延伸地物，将长度按比 例表示，宽度不按比例表示。 地物注记：用文字、数字或特有符号对地物加 以说明。
上部等高线投影到
水平面，与下部的 等高线相交，下部 凹进的等高线用虚 线表示。
7-5
三、等高线的特性
等高线
★同一条等高线上的高程相等； ★等高线是一条闭合曲线，不在同一幅图内闭合，则必定跨越 多幅闭合，且不能中断； ★不同高程的等高线不能相交。当等高线重迭时，表示陡坎或
绝壁；
★等高线平距与坡度成正比。在同一幅图上，平距小表示坡度 陡，平距大表示坡度缓，平距相等表示坡度相同。换句话说，
7-4
1、比例符号
地形图图式
7-4
地形图图式
7-4
2、非比例符号
地形图图式
7-4Βιβλιοθήκη 地形图图式7-4地形图图式
7-4
3、半比例符号
地形图图式
7-4
地形图图式
7-4
二、地貌符号
地形图图式
地貌是指地球表面的各种起伏形态，它
包括山地、丘陵、高原、平原、盆地等。地
形图上表示地貌的方法有很多种，目前最常
图名 图号
7-3
地形图的图外注记
二、比例尺和图廓线
比例尺供地图上量取距离和坡度时使用， 一般位于地图的正下方。
离散数学7-1图论
图7-1.9 不同构的图
作业
P279 (1) (4)
如图7-1.6中的(a)和(b)互为补图。
[定义] 子图(subgraph) 设图G=<V,E>，如果有图G’= <V’,E’>，若有 V’ V ，E’ E，则称图G’是图G的子图。 [定义] 生成子图(spanning subgraph) 如果图G的子图G’包含G的所有结点,则称该图 G’为G的生成子图。如图7-1.8中G'和G"都是 G的生成子图。
[定义] 相对于图G的补图 设图G'＝〈V',E'〉是图G＝〈V,E〉的子图,若 给定另外一个图G"＝〈V",E"〉使得E"＝EE', 且 V" 中仅包含 E"的边所关联的结点。则 称G"是子图G'的相对于图G的补图。
图7-1.7 (c )为(b)相对于(a)的补图
如图 7-1.7 中的图 (c) 是图 (b) 相对于图 (a) 的补 图。而图 (b) 不是图 (c) 相对于图 (a) 的补图 , 因为图(b)中有结点c。在上面的一些基本概 念中,一个图由一个图形表示,由于图形的结 点的位置和连线长度都可任意选择 , 故一个 图的图形表示并不是唯一的。下面我们讨 论图的同构的概念。
表7-1.1
结 点 出 度 入 度
a 2 0
b 1 1
c 0 2
d 1 1
结 点 出 度
入 度
v1 1 1
v2 0 2
v3 2 0
v4 1 1
分析本例还可以知道 , 此两图结点的度数也 分别对应相等,如表7-1.1所示。
两图同构的一些必要条件: 1.结点数目相等; 3.边数相等; 3.度数相等的结点数目相等。 需要指出的是这几个条件不是两个图同构的 充分条件,例如图7-1.9中的(a)和(b)满足上 述的三个条件,但此两个图并不同构。
无向图及有向图
度
设G＝<V,E>为一无向图,vj∈V,称vj作 为边的端点的次数之和为vi的度数,简 称度,记作d(vj). 称度数为1的顶点为悬挂顶点,它所对 应的边为悬挂边.
设D＝<V,E>为一有向图,vj∈V,
称vj作为边的始点的次数之和,为vj的 出度,记作d+(vj)； 称vj作为边的终点的次数之和,为vj的 入度,记作d-(vj)； 称vj作为边的端点的次数之和,为vj的 度数,简称度,记作d(vj). 显然d(vj)＝d + (vj)＋d- (vj).
第七章 图的基本概念
7.1 无向图及有向图 7.2 通路、回路、图的连通性 7.3 图的矩阵表示
作
业
7.1 无向图及有向图
设A,B为两集合,称 {{a,b}｜a∈A∧b∈B} 为A与B的无序积,记作A＆B． 将无序对{a,b}记作(a,b).
无向图
一个无向图G是一个二元组<V,E>,即 G＝<V,E>,其中, (1)V是一个非空的集合,称为G的顶 点集,V中元素称为顶点或结点； (2)E是无序积V＆V的一个多重子集, 称E为G的边集,E中元素称为无向边 或简称边.
1
vi≠vj,
vi ＝ vj, vi(vj)不是ek的端点
b V’
ek与vi(或 vj)的关联 次数
ห้องสมุดไป่ตู้
2 0
v a
设G＝<V,E>为一无向图或有向图
(1)若V,E都是有穷集合,则称G是有限图.
(2)若｜V｜＝n,则称G为n阶图．
(3)若E＝,则称G为零图．特别是,若此时 又有｜V｜＝1,则称G为平凡图.
平行边、重数、多重图、简单图
在无向图中,关联一对顶点的无向边如果多 于1条,称这些边为平行边.平行边的条数称 为重数. 在有向图中,关联一对顶点的有向 边如果多于1条,且它们的始点与终点相同, 则称这些边为有向平行边,简称平行边. 含平行边的图称为多重图.既不含平行边,也 不含环的图称为简单图.
第七章图论
• 现实世界中许多关系是由图形来形象而直观地描绘出来,
人们常用点表示事物, 用点之间是否有连线表示事物之间
是否有某种关系, 于是点以及点之间的若干条连线就构成 了图。 • 当研究的对象能够被抽象为离散的元素集合和集合上的二 元关系时, 用关系图进行表示和处理是很方便。
• 图论研究的图是不同于几何图形、机械图形的另一种数学
图论
实例
a a
7.1 图的基本概念
e1 b e3
e2
f
e6 e5 e e7
f
e6 e5 e7 d (2) e b
e1 e3 c (3)
f
e5 e7 d e
c e4 d (1)
•(1),(2),(3)是(1)的子图, (2),(3)是真子图. •(1),(3)是(1)的生成子图.
第七章
图论
7.1 图的基本概念
图论是近年来发展迅速而又应用广泛的一门新兴 学科。它最早起源于一些数学游戏的难题研究，如 1736 年欧拉(L.Euler) 所解决的哥尼斯堡(Konigsberg) 七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏难题，如迷 宫问题，匿门博奕问题，棋盘上马的行走路线问题等。 这些古老的难题，当时吸引了很多学者的注意，在这些 问题研究的基础上又继续提出了著名的四色猜想，汉密 尔顿(环游世界)数学难题。
第七章
图论
7.1 图的基本概念
7.1.1 图的基本类型
邻接边：关联于同一结点的两条边。 自回路或环：关联于同一结点的一条边。
（vi = vj，方向无意义）
平行边：连接于同一对结点间的多条边（无向图）。 简单图：不含平行边和环（自回路）的图。
同始点、同终点的多条边(有向图)。(<a,b>与<b,a>不同结点对)
第七章 图论
f ( v1 ), f ( v2 )
若 ( e ) v1 , v2 若 ( e ) v1 ,v2
则称G与G‘同构，记作 G G ，并称f和g为G和G'之 ' 间的同构映射，简称同构。
两个同构的图有同样多的结点和边，并且映 射f保持结点间的邻接关系，映射g保持边之 间的邻接关系。
第七章 图论
完全有向图和完全无向图
注意：完全无向图的任意两个不同结点都邻接，完 全有向图的任意两个不同结点之间都有一对方向相 反的有向边相连接。
一至五阶完全无向图
完全有向图
一至三阶完全有向图
图的同构
从图的定义可以看出，图的最本质的内容是结点和 边的关联关系。两个表面上看起来不同的图，可能 表达相同的结点和边的关联关系。下图的两个图， 不仅结点和边的数目相同，而且结点和边的关联关 系也相同。 为了说明这种现象，我们引进两个图同 构的概念。
(2)如果 V V , E E, ，则称G‘是G的真子图， 记作 G。 G (3)如果 V V , E E, ，则称G'是G的生成子 图。
子图
V 定义： 设图 G V , E, ， V 且 V 。以V‘为结 点集合，以起点和终点均在V’中的边的全体为边集 合的G的子图，称为由V‘导出的G的子图，记为G[V’]。 若V V ，导出子图G[V V ] ，记为 G V 。
第七章 图论
第七章 图论
• • • • • • • • 7.1图的基本概念 7.2子图和图的运算 7.3路径、回路和连通性 7.4图的矩阵表示 7.5欧拉图 7.6特殊图 7.7树 7.8网络
7.1图的基本概念
定义： 设V和E是有限集合，且V 。 (1) 如果 : E {{v1 , v2 } v1 V v2 V } ，则称 G V , E, 为 无向图。 (2) 如果 : E V V ，则称 G V , E, 为有向图。 无论是无向图还是有向图，都统称为图，其中V的元 素称为图G的结点，E的元素称为图G的边，图G的结 点数目称为图的阶。 可以用几何图形表示上面定义的图。用小圆圈 表示结点。在无向图中，若 (e) {v1 , v2 } ，就用 连接结点v1和v2的无向线段表示边e。在有向图 中，若 (e) v1 , v2 ，就用v1指向v2的有向线段 表示边e。
若 ( e ) v1 , v2 若 ( e ) v1 ,v2
则称G与G‘同构，记作 G G ，并称f和g为G和G'之 ' 间的同构映射，简称同构。
两个同构的图有同样多的结点和边，并且映 射f保持结点间的邻接关系，映射g保持边之 间的邻接关系。
第七章 图论
完全有向图和完全无向图
注意：完全无向图的任意两个不同结点都邻接，完 全有向图的任意两个不同结点之间都有一对方向相 反的有向边相连接。
一至五阶完全无向图
完全有向图
一至三阶完全有向图
图的同构
从图的定义可以看出，图的最本质的内容是结点和 边的关联关系。两个表面上看起来不同的图，可能 表达相同的结点和边的关联关系。下图的两个图， 不仅结点和边的数目相同，而且结点和边的关联关 系也相同。 为了说明这种现象，我们引进两个图同 构的概念。
(2)如果 V V , E E, ，则称G‘是G的真子图， 记作 G。 G (3)如果 V V , E E, ，则称G'是G的生成子 图。
子图
V 定义： 设图 G V , E, ， V 且 V 。以V‘为结 点集合，以起点和终点均在V’中的边的全体为边集 合的G的子图，称为由V‘导出的G的子图，记为G[V’]。 若V V ，导出子图G[V V ] ，记为 G V 。
第七章 图论
第七章 图论
• • • • • • • • 7.1图的基本概念 7.2子图和图的运算 7.3路径、回路和连通性 7.4图的矩阵表示 7.5欧拉图 7.6特殊图 7.7树 7.8网络
7.1图的基本概念
定义： 设V和E是有限集合，且V 。 (1) 如果 : E {{v1 , v2 } v1 V v2 V } ，则称 G V , E, 为 无向图。 (2) 如果 : E V V ，则称 G V , E, 为有向图。 无论是无向图还是有向图，都统称为图，其中V的元 素称为图G的结点，E的元素称为图G的边，图G的结 点数目称为图的阶。 可以用几何图形表示上面定义的图。用小圆圈 表示结点。在无向图中，若 (e) {v1 , v2 } ，就用 连接结点v1和v2的无向线段表示边e。在有向图 中，若 (e) v1 , v2 ，就用v1指向v2的有向线段 表示边e。
第七章图论
以上三个条件并 不是两图同构的 充分条件，如：
a
b
c
d
e
(a)
a'
c'
b'
e'
d'
(b)
第七章 图论
图的基本概念 路与回路 图的矩阵表示 欧拉图与哈密尔顿图
7-2 路与回路
1、路的基本概念：
路： 图G=<V, E>，设 v0, v1, …, vn∊V, e1, e2, …, en∊E, 其中
ei是关联于结点vi-1, vi的边，交替序列设 v0 e1 v1 e2 … en vn称为
若 连 通 图 G中 某 两 个 结 点 都 通 过 v， 则 删 去 v 得 到 子 图 G ， 在 G 中 这 两个结点必定不连通，故v是图G的割点。
7-2 路与回路
deg(v)为偶数 vV1
|V1|为偶数
定理： 有向图中所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和
7-1 图的基本概念
（5）多重图：含有平行边的图
简单图：不含有平行边和环的图
完全图：每一对结点之间都有边关联的简单图
有向完全图：完全图中每条边任意确定一个方向所得的图
a
e
b
d
f
h
c
g
定理： n个结点的无向（有向）完全图Kn的边数为n(n-1)/2
证明： 在完全图中，每个结点的度数应为n－1，则n个结点的
度数之和为n(n-1)，因此|E|＝n(n-1)/2
7-1 图的基本概念
（6）子图：
G V , E ， 有 G ' V ', E ' ， 且 E ' E ， V ' V ，
有向图完全有向图图的基本概念邻接顶点uv
些顶点 vp1, vp2, …, vpm，到达顶点vj。则称顶点序
列 (vi vp1 vp2 ... vpm vj)为从顶点vi 到顶点 vj 的路
径。它经过的边(vi, vp1)、(vp1, vp2)、...、(vpm, vj)
应是属于E的边。
6
图的基本概念
路径长度
非带权图的路径长度是指此路径上边的条数 带权图的路径长度是指路径上各边的权之和
顶点都被访问过为止 退回一步到刚被访问的顶点，看是否有未被访问的邻
接顶点。
若有，则继续访问 否则，再退回一步
直到所有顶点都被访问
17
图的遍历
遍历方式
深度优先遍历 DFS (Depth First Search)
1
2
A
B
3 前进
E 回退
1
2
3
A
B
E
7D
C5 G4
7D
C5 G4
9
图的存储表示
邻接矩阵
一个有 n 个顶点的图G = ( V, E )， 图的邻接矩阵 是一个二维数组 A.edge[n][n]
Edge
[
i ][
j]
1, 0,
若(i, j) E 否则
0
0 1 0 1
1
2
Edge
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0 1 0
3
无向图的邻接矩阵是对称的
6F
H
I
8
9
6F
H
I
8
9
深度优先搜索过程
深度优先生成树
18
图的遍历
遍历方式
《数据结构》第 7 章 图
v3
v4 v5 v4
v3
v5 v4
v3
v5 v4
v3
v5 v4
v3
v5
注
一个图可以有许多棵不同的生成树。 所有生成树具有以下共同特点： 生成树的顶点个数与图的顶点个数相同； 生成树是图的极小连通子图； 一个有 n 个顶点的连通图的生成树有 n-1 条边； 生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的； 在生成树中再加一条边必然形成回路。 含 n 个顶点 n-1 条边的图不一定是生成树。
A1 = {< v1, v2>, < v1, v3>, < v3, v4>, < v4, v1>} v1 v2
有向图
v3
v4
制作：计算机科学与技术学院 徐振中
数据结构 边：若 <v, w>∈VR 必有<w, v>∈VR，则以 无序对 (v, w) 代表这两个有序对，表示 v 和 w 之 间的一条边，此时的图称为无向图。 G2 = (V2, E2) V2 = {v1, v2, v3, v4, v5}
第七章 图
E2 = {(v1, v2), (v1, v4), (v2, v3), (v2, v5) , (v3, v4), (v3, v5)} v1
G2
v3
v2
无向图
v4
v5
制作：计算机科学与技术学院 徐振中
数据结构
第七章 图
例：两个城市 A 和 B ，如果 A 和 B 之间的连线的涵义是 表示两个城市的距离，则<A, B> 和 <B, A> 是相同的， 用 (A, B) 表示。 如果 A 和 B 之间的连线的涵义是表示两城市之 间人口流动的情况，则 <A, B> 和 <B, A> 是不同的。 北京 <北京，上海> (北京，上海) <上海，北京> <北京，上海> 北京 上海 上海