数学建模模糊数学方法
2--模糊数学建模方法
28
模糊集合及其运算
几个常用的算子： （1）Zadeh算子 (,)
a b max{a,b},a b min{a,b} （2）取大、乘积算子 (,)
a b max{a,b},a b ab （3）代数和、乘积算子 (ˆ ,)
a ˆ b a b ab,a b ab
2021年4月9日
u U
(2)A与B的代数和记作A +^ B，运算规则 由下式确定：
A +^ B(u)= A(u)+B(u) A(u)B(u) u U
2021年4月9日
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定义：称 • 、为有界算子，对a,b[0,1],有： a • b= max(0,a+b-1) a b= min(1,a+b)
可以证明： a,b[0,1], 0 max(0,a+b-1)1、 0 min(1,a+b)1
100
19
再如，Y= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属 于这一集合的程度不一样， Zadeh给出它的隶属函数：
Y
(u)
(1
(
u
1 25)2 5
)1
0 u 25 25 u 100
1 0
2021年4月9日
B（u）
25
50
U
20
则模糊集O（年老）
O 0
(1 (u 50)2 )1 5
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模糊集合及其运算
（4）有界和、取小算子 (,)
a b 1 (a b),a b min{a,b}
（5）有界和、乘积算子 (,)
a b 1 (a b),a b ab
（6）Einstain算子 ( , )
a b
ab
数学建模案例分析-- 模糊数学方法建模3股票反弹率的模糊聚类法
§3 股票反弹率的模糊聚类法将模糊集理论应用于聚类分析，便产生了模糊聚类法。
一、模糊聚类法介绍若矩阵A 的各元素ij a 满足10≤≤ij a ，则称A 为模糊矩阵。
设p n ij a A ⨯=)(和m p ij b B ⨯=)(为两个模糊矩阵，令m j n i b a c kj ik pk ij ,,2,1,,,2,1),(1 ==∧∨== 则称矩阵m n ij c C ⨯=)(为模糊矩阵A 与B 的乘积，记为B A C ∙=，其中∨和∧的含义为},max{b a b a =∨， },min{b a b a =∧ 显然，两个模糊矩阵的乘积仍为模糊矩阵。
设方阵A 为一个模糊矩阵，若A 满足A A A =∙，则称A 为模糊等价矩阵。
模糊等价矩阵可以反映模糊分类关系的传递性，即描述诸如“甲象乙，乙象丙，则甲象丙”这样的关系。
设n n ij a A ⨯=)(为一个模糊等价矩阵，10≤≤λ为一个给定的数，令⎩⎨⎧=<≥=n j i a a a ij ij ij ,,2,1,,0,1)( λλλ则称矩阵n n ij a A ⨯=)()(λλ为A 的λ—截阵。
模糊聚类法和一般的聚类方法相似，先计算变量间的相似系数矩阵（或样品间的距离矩阵），将其元素压缩到0与1之间形成模糊矩阵，进一步改造成模糊等价矩阵，最后取不同的标准λ，得到不同的λ—截阵，从而可以得到不同的类。
具体步骤如下：1、计算相似系数矩阵R 或样品的距离矩阵D其中n n ij d D ⨯=)(和p p ij r R ⨯=)(的算法与第四章§4.7消费分布规律的分类中相同。
2、将R （或D ）中的元素压缩到0与1之间形成模糊矩阵我们统一记为n n ij a A ⨯=)(；例如对相似系数矩阵p p ij r R ⨯=)(，可令p j i r a ij ij ,,2,1,),1(21 =+= 对于距离矩阵n n ij d D ⨯=)(，可令n j i d d a ij n j i ij ij ,,2,1,,max 11,1 =+-=≤≤ 3、建立模糊等价矩阵一般说来，上述模糊矩阵n n ij a A ⨯=)(不具有等价性，这可以通过模糊矩阵的乘积将其转化为模糊等价阵，具体方法是：计算,,,2242 A A A A A A ∙=∙=直到满足k k A A =2，这时模糊矩阵k A 便是一个模糊等价矩阵。
模糊数学方法在数学建模中的应用
鲁棒控制是控制理论的一个重要分支，它主要研究如程中具有广泛的应用价值。
03
模糊数学方法在数学建模中的具体应用案例
基于模糊逻辑的决策支持系统设计
总结词
模糊逻辑是一种处理不确定性、不完全性信息的数学工具，通过引入模糊集合 和模糊逻辑运算，能够更好地描述现实世界中的复杂现象和决策问题。
模糊逻辑在决策分析中的应用
01
模糊逻辑用于处理不确定性
模糊逻辑通过引入模糊集合的概念，能够处理不确定性和不精确性，使
得决策分析更加合理和可靠。
02
模糊推理系统
模糊推理系统是模糊逻辑的重要应用之一，它基于模糊逻辑的原理，通
过模糊集合和模糊规则进行推理，适用于复杂的决策问题。
03
模糊决策分析
模糊决策分析方法能够综合考虑多种因素，包括模糊因素，从而做出更
模糊数学方法的优势
处理不确定性和模糊性
模糊数学方法能够处理不确定性和模糊性，这在许多实际问题中是常见且必要的。
提高建模精度
通过引入模糊集合和隶属函数，模糊数学方法能够更准确地描述事物的模糊性和不确定性 ，从而提高建模精度。
增强模型适应性
模糊数学方法允许模型参数具有一定的模糊范围，增强了模型的适应性和鲁棒性，能够更 好地应对实际问题的复杂性和不确定性。
模糊数学方法在数学建模中的 应用
目
CONTENCT
录
• 模糊数学方法简介 • 模糊数学方法在数学建模中的应用
领域 • 模糊数学方法在数学建模中的具体
应用案例 • 模糊数学方法在数学建模中的优势
和局限性 • 结论
01
模糊数学方法简介
模糊数学方法的起源和发展
起源
模糊数学方法起源于20世纪60年代，由L.A.Zadeh教授提出，旨 在解决传统数学方法无法处理的模糊性问题。
数学建模-模糊数学
A : U [0,1],
~
x A ( x ) [0,1]
A 称为 A 隶属函 确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 ~ ~ ~
~
A ( x ) 称为 x 对 A 数， 的隶属程度，简称隶属度。 ~
~
模糊子集 A 由隶属函数 A 唯一确定，故认为二者
A 。 是等同的。为简单见，通常用A来表示 A 和 ~
模糊集合及其运算
一、经典集合与特征函数 集合：具有某种特定属性的对象集体。 通常用大写字母A、B、C等表示。 论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。 通常用大写字母U、V、X、Y等表示。
论域U中的每个对象u称为U的元素。
模糊集合及其运算
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个 经典集合A，则必有 u A 或者u A ，用函数表示为：
c
0.6 1 B 0.7 0.8
c
模糊集合及其运算
（2）模糊矩阵的合成 定义：设 A (aij )ms , B (bij )sn , 称模糊矩阵
A B (cij )mn
为A与B的合成，其中 cij max{(aik bkj ) 1 k s}。 0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 , B 0.3 0.4 , 则 例：设A 0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.1 0.2 0.2 0.5 0.6 A B B A 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.4 0.5 0.5
模糊聚类分析
（1）标准差标准化
对于第 i 个变量进行标准化，就是将 xij 换成
x ij ，即
xij xi x ij Si (1 j m )
模糊数学在数学建模中的应用
则称R为U上的等价关系 。
特殊的等价关系
例10： 设Ｕ={u1,u2,u3}, 则 U×U={(u1, u1),(u1, u2),(u1, u3),(u2, u1),(u2, u2),(u2, u3) ,(u3, u1),(u3, u2),(u3, u3)}全称关系; I ={(u1, u1),(u2, u2), (u3, u3)}恒等关系。 用方阵表示如下：
模糊集合的表示方法
Zadeh 表示法
(1)
若论域U 为有限集，即U ={u1 , u2 , … , un}，
则 A F ( U ) 可表示为
Au1 u1 Au2 u2 Aun un
A
例4：设U ={u1 , u2 , u3 , u4 , u5 }，
A 0.87 u1 0.75 u2 0.96 u3 0.78 u4 0.56 u5
(2)如果RT= R；则称R为对称的；
(3) 如果R ◦ R R ，则称 R 为传递的。 自反的，对称的，传递的模糊关系称为模糊等价关系。
模糊等价关系
例17： 设Ｕ={u1,u2,u3,u4,u5}, 如下R为模糊等价关系
1 0.80 R 0.80 0.20 0.85
１、模糊聚类分析
(１)、模糊数学的基本思想； (２)、普通关系与布尔矩阵；
(３)、模糊关系与模糊矩阵；
(４)、模糊聚类分析原理。
模糊数学的基本思想
经典 集合：是指具有某种特定属性的对象集体。
例1：“延大09级的学生”； 模糊集合： 例2：“延大09级个子高的学生”。 区别: 是否满足排中率。
经典集合与特征函数
若记 P ( U )和 F ( U )分别为 U 上的所有经典集合和所有模糊集合
数学建模案例分析-- 模糊数学方法建模2小麦品种的模糊模式识别
§2 小麦品种的模糊模式识别把一批来自同一品种的小麦称为一个小麦亲本。
小麦有各种不同的品种，某一品种的小麦有它自己的很多特性，如抽穗期、株高、有效穗数、主穗粒数和百粒重量等数量性质。
然而对于小麦的一个亲本，我们不能凭其中某一粒或某一株小麦去鉴定它的品种。
实际上，同一品种的小麦中，各株小麦的抽穗期显然是不完全相同的。
在同一种小麦中，百粒重量的每一次样本也是不完全相同的，但总是在各自的均值附近摆动。
这样我们就可以把某一品种的小麦看成是一个模糊集。
不同品种的小麦就对应着不同的模糊集。
如果能肯定待识别小麦亲本的模糊集与某一已知品种小麦的模糊集最贴近，那就可以断言它属于该种小麦了。
由于模糊集合是用隶属函数来表示的，而隶属函数又不同于普通的函数，怎样来度量模糊集的模糊性以及怎样比较两个模糊集是否相贴近还是差别很大，这就要引入一些有关模糊集度量的概念。
一、单个模糊集度量 1、模糊度在论域U 上的任意模糊子集~A 的模糊度)(~A D 应满足：（ⅰ）对任意的U x ∈，当且仅当x 对~A 的隶属度)(~x A μ只取0和1时，)(~A D =0 ；（ⅱ）当)(~x A μ=0.5时，)(~A D 应取最大值，即)(~A D =1；（ⅲ）对任意的U x ∈，设U 的两个模糊子集~A 和~B ，若5.0)()(~~≥≥x x B A μμ或5.0)()(~~≤≤x x B A μμ，则有)()(~~A D B D ≥。
2、模糊熵在模糊数学中，用模糊熵描述模糊度，是模糊集合所含模糊性大小的一种度量，这里仅介绍较其它方法为好的仙农函数引出的模糊熵定义。
设~A 是论域U 上的任意模糊子集，当U x ∈时，记))((2ln 1)(~1~i Ai x S n A H μ∑∞==叫做模糊集~A 的熵，此处)1ln()1(ln )(x x x x x S ----=。
容易验证，上述模糊熵满足模糊度的三个条件。
二、多个模糊集度量 1、海明距离设论域U 上的两个模糊子集~A 和~B ，它们之间的海明距离定义为∑=-=ni i B i A x x B A d 1~~)()(),(~~μμ这个定义适用于论域为有限集时，n 是论域中元素的个数，它又称为绝对海明距离。
数学建模-模煳数学理论
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4
1.2 模糊集与隶属函数
• 论域：如果将所讨论的对象限制在一定范围 内，并记所讨论的对象全体构成的集合为U， 称之为论域。
•普通集合——特征函数
设U是论域，A是U的子集,定义如下映射为集合 A的特征函数 :（集合A可由特征函数唯一确定）
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•模糊集合——隶属函数
1.2.1模糊集与隶属函数的概念
模糊数学
1 模糊数学的基本概念
2 模糊关系与模糊矩阵
3 模糊聚类分析
4 模糊模式识别
5 模糊综合评判
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1 模糊数学的基本概念
1.1 模糊数学概述
模糊数学是研究和处理模糊性现象（或 概念）的数学方法，而不是把数学变成 模模糊糊的东西，它所要处理事物的概 念本身是模糊的，即一个对象是否符合 这个概念难以确定，我们称这种不确定 性为模糊性。
的一个数来表示。这就是Zadeh的隶属函数的
想法。
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2）隶属函数 设在论域U上给定了一个映射，
则定义了U上的一个模糊子集A，映射 称为模糊
集A的隶属函数，
称为x对模糊集A的隶属
程度，也可表示为A(x)。
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7
3）模糊集的表示
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4）模糊集的运算
模糊集与普通集一样，有相同的运算和相应的运 算规律。
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• 它与普遍性不同，普遍性是是指一种可用 来表达整个明确定义的现象和活动的特性。
• 它与随机不确定性不同，随机的不确定性 也是概率的不确定性，其研究的事件本身有 着明确的含义，只是由于发生的条件不充分， 而使得在条件与事件之间不能出现决定的因 果关系，从而事件的出现与否表现出不确定 性，这种不确定性称为随机性。例如“掷一 个骰子时出现4点”是一个明确的事件，但 掷骰子时并非只出现4点，我们说出现4点的 概率是1/6。
数学建模 模糊数学方法
模糊数学方法1965年美国加利福尼亚大学控制论专家扎德（Zadeh L ．A ．）教授在《Information and Control 》杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets ”，这标志着模糊数学的诞生。
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法。
众所周知，经典数学是以精确性为特征的。
然而，与精确性相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的。
甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好。
例如，要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”。
尽管这里只提供了一个精确信息——男人，而其他信息——大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人。
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用。
§1 模糊集的基本概念要想掌握模糊数学方法，必须先了解模糊集的基本概念，特别是隶属函数的建立方法。
1.1 模糊子集与隶属函数定义1 设U 是论域，称映射():[0,1]A x U →确定了一个U 上的模糊子集A ，映射()A x 称为A 的隶属函数，它表示x 对A 的隶属程度。
使()0.5A x =的点称为A 的过渡点，此点最具模糊性。
当映射()A x 只取0或1时，模糊子集A 就是经典子集，而()A x 就是它的特征函数。
可见经典子集就是模糊子集的特殊情形。
例 1 设论域123456{(140),(150),(160),(170),(180),(190)}U x x x x x x =（单位：cm ）表示人的身高，那么U 上的一个模糊集“高个子”（A ）的隶属函数()A x 可定义为140()190140x A x -=-，也可用Zadeh 表示法：12345600.20.40.60.81A x x x x x x =+++++， 上式仅表示U 中各元素属于模糊集A 的隶属度，不是普通分式与求和运算。
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• 模糊矩阵的λ －截矩阵
设A = (aij)m×n,对任意的∈[0, 1]，称 A= (aij())m×n,为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中 当aij≥ 时，aij() =1； 当aij＜ 时，aij() =0. 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵.
1 0.5 0.2 0 0.5 1 0.1 0.3 A , 0.2 0.1 1 0.8 0 0.3 0.8 1
• 模糊矩阵的合成 设A = (aik)m×s，B = (bkj)s×n，称模糊矩阵 A ° B = (cij)m×n， 为A 与B 的合成，其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s} . 1 0.7 0. 4 0. 7 0 设A 1 0.8 0.5 , B 0.4 0.6 , 则 0 0.3
例
设论域 E x1 , x2 , x3 , x4
0.2 0 0.6 1 B x1 x2 x3 x4
，
0.5 0.3 0.4 0.2 A x1 x2 x3 x4
例 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高， 那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数 A(x)可定义为 x 140 A( x) 190 140 也可用Zadeh表示法：
模糊数学方法
• 模糊集的基本概念 • 模糊综合评判 • 模糊聚类分析
模糊集的基本概念
• 模糊子集与隶属函数 • 隶属函数的确定 • 模糊矩阵及运算与性质
• 模糊子集与隶属函数
设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1] 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的 隶属函数，它表示x对A的隶属程度. 使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具 模糊性. 当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典 子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集 就是模糊子集的特殊情形.
1 1 A0.3 0 0
1 1 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1
•模糊综合评价模型
• 对方案、人才、成果的评价，人们的考虑 的因素很多，而且有些描述很难给出确切 的表达，这时可采用模糊评价方法。它可 对人、事、物进行比较全面而又定量化的 评价，是提高领导决策能力和管理水平的 一种有效方法。
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A x1 x2 x3 x4 x5 x6
还可用向量表示法 A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)
•模糊集的运算 相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)≤B(x)； 并：A∪B的隶属函数为 (A∪B)(x)=A(x)∨B(x)； 交：A∩B的隶属函数为 (A∩B)(x)=A(x)∧B(x)； 余：Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x).
设R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊 方阵R = (rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称 R为模糊自反矩阵.
• 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算
设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩阵，定义 相等：A = B aij = bij； 包含：A≤B aij≤bij； 并：A∪B = (aij∨bij)m×n； 交：A∩B = (aij∧bij)m×n； 余：Ac = (1- aij)m×n.
• 隶属函数的确定
1.模糊统计方法 与概率统计类似，但有区别：若把概率统计 比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内， 则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不 动的点”. 2. 指派方法
一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表 达式。 3. 借用已有的“客观”尺度
•模糊矩阵及运算与性质
• 模糊矩阵
例 设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集)，在U 上定义两个模糊集： A =“商品质量好” B =“商 品质量坏”，并设 A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0). 则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”. Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1). 可见Ac B, Bc A. 又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .
0.7 0.7 0.5 0.4 0.6 A B 1 0.7 , B A 0.6 0.6 0.5 0.3 0.3 0.3
模糊方阵的幂 定义：若A为 n 阶方阵，定义A2 = A ° A，A3 = A2 ° A，…，Ak = Ak-1 ° A.
0.1 0.3 0.3 0.3 0.1 0.3 0.3 0.3 0.4 0.7 0.4 0.7 0.4 0.7 0.4 0.7
3
• 模糊矩阵的转置
定义 设A = (aij)m×n, 称AT = (aijT )n×m为A的转置 矩阵，其中aijT = aji. 转置运算的性质： 性质1：( AT )T = A； 性质2：( A∪B )T = AT∪BT， ( A∩B )T = AT∩BT； 性质3：( A ° 性质4：( Ac )T = ( AT )c ； 性质5：A≤B AT ≤BT .