【2019年整理】02第二章极限与连续

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第六节两个重要极限 PPT资料共30页

称数列 y n 为单调增加数列；若对如何正整数 n ，恒有
单单调调减增少加数数列列
y n f ( n ) y n 1 f ( n 1 )
称数列 y n 为单调减少数列。
数单列调
11/26/2019
第二章极限与连续
【定义】有界数列
若存在两个常数 m 和 M(mM) ，使对任
x
2
limcosx1, limsinx 1
x 0
x0 x
证毕。
例4 计算 lim ta n x
x0 x
sin x
解
limtanxlimsinx
lim
x 0
x
1
x 0 x x 0xcosx l i m c o s x
x 0
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第二章极限与连续
例5
计算
sinkx lim
a0,
求
lim
n
xn
解利用极限存在的准则
xn1

1 2(xn

a )
xn

xn
a xn

a
x n1 xn
1 (1 2
a
x
2 n
)

1 (1 2
a) a
1
所以数列单调递减有下界，故极限存在。
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第二章极限与连续
设 lni mxn A,
A 1( A a ) 2A
备用题
第二章极限与连续
1.填空题
1) limsinx__0___; 2) limxsin1__1__;
x x
x
xห้องสมุดไป่ตู้
3) limxsin1__0__; 4) lim(11)n_e__1_;

(整理)《数学分析》第二章极限与连续.

第二章极限与连续一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点（一）重点：极限的定义与性质、数列极限和一元函数极限的计算、两个重要极限的运用、归结原则、柯西准则以及有界闭集上连续函数的性质.（二）难点运用柯西准则和归结原则进行证明、理解多元函数重极限与累次极限的概念、有界闭集上连续函数的性质以及一致连续性.三、本章的基本知识要点本章符号说明：:∀ 每一个或任给的；:∃ 至少有一个或存在；⇔：充分必要条件. （一）数列极限1. 数列极限定义lim 0,0,n n a a N ε→∞=⇔∀>∃>当n N >时，有.n a a ε-<注：定义中的N 可不取整数，n a a ε-<可以是.n a a ε-≤定理：增加、改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性.数列极限的等价定义:(1) 0,0,N ε∀>∃> 当n N >时有,n a a k ε-< 其中k 为某个正数. (2) 0,0,c N ε∀<<∃> 当n N >时有,n a a k ε-<其中c 与k 为某个正数. 2. 收敛数列的性质(1) 唯一性定理：每个收敛的数列只有一个极限. (2) 有界性定理：收敛的数列必定有界.(3) 保号性定理：若lim n n a a →∞=,则对任意(),r a r a <>或 ,N n N ∃∀>, 有n a r > (或n a r <).(4) 保不等式性定理：若lim ,lim n n n n a b →∞→∞都存在，且,n n N n N a b ∃∀>≤有，则lim lim .n n n n a b →∞→∞≤(5) 迫敛性定理：设lim lim .n n n n a b a →∞→∞== 数列{}n c 满足：,N n N ∃∀>有 n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim .n n c a →∞=(6) 四则运算法则：lim ,lim ,i)lim();ii)lim ;iii)lim,0,0.n n n n n n n n n n n n n na ab b a b a b a b a b a ab b b b →∞→∞→∞→∞→∞==±=±⋅=⋅=≠≠设则其中(7) 与子列的关系：数列{}n a 收敛⇔数列{}n a 的任何非平凡子列都收敛. 3. 数列极限存在的条件递增数列：121n n a a a a +≤≤≤≤；递减数列：121n n a a a a +≥≥≥≥.(1) 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.(2) 柯西收敛准则：0,,,,||.n m N n m N a a εε∀>∃∃∀>-<（二）函数极限1. 函数极限和非正常极限概念函数极限定义(通过对比加以理解)：(1) lim ()0,0,,().x f x A k x k f x A εε→+∞=⇔∀>∃>>-<当时恒有(2) lim ()0,0,,().x f x A k x k f x A εε→-∞=⇔∀>∃><--<当时恒有(3) lim ()0,0,,().x f x A k x k f x A εε→∞=⇔∀>∃>>-<当时恒有(4) 00lim ()0,0,0,().x x f x A x x f x A εδδε→=⇔∀>∃><-<-<当时恒有(5) 00lim ()0,0,0,().x x f x A x x f x A εδδε-→=⇔∀>∃>-<-<-<当时恒有 (6) 00lim ()0,0,0,().x x f x A x x f x A εδδε+→=⇔∀>∃><-<-<当时恒有上述左极限0lim ()x x f x -→和右极限0lim ()x x f x +→也可以写成0(0)f x -和0(0)f x +. 定理：000lim ()(0)(0).x x f x A f x f x A →=⇔-=+=非正常极限定义（只列出2个，其余可以类似写出）：(1) 0lim ()x x f x →=-∞00,0,0||,().M x x f x M δδ⇔∀>∃><-<<-当时恒有(2) lim ()x f x →∞=+∞0,0,||,().M k x k f x M ⇔∀>∃>>>当时恒有2. 函数极限的基本性质下面只以0lim ()x x f x →为代表来说明，其余类型极限的性质可以类似写出.(1) 唯一性定理：若0lim ()x x f x →存在,则极限唯一.(2) 局部有界性定理：若0lim ()x x f x →存在，则()f x 在0x 的某个空心邻域00()U x 内有界.(3) 局部保号性定理：若0lim (),x x f x A →=则r A ∀<(或r A >),0,δ∃>当00(,)x U x δ∈时，有()f x r >(或()f x r <).(4)保不等性定理:设0lim ()x x f x →与0lim ()x x g x →都存在，且在某邻域00(;)U x δ内有()(),f xg x ≤则0lim ()lim ().x x x x f x g x →→≤(5) 迫敛性定理：设00lim ()lim (), x x x x f x g x A →→==且在某邻域00(;)U x δ内有()() ()f x h x g x ≤≤ 则0lim ().x x h x A →=(6) 四则运算法则：lim (),lim (),(1)lim(()());(2)lim ()();()(3)lim,0.()x x x x x x x x x x f x A g x B f x g x A B f x g x A B f x AB g x B→→→→→==±=±⋅=⋅=≠设则其中3.函数极限存在的条件(1) 归结原则（也称为海涅定理）：设()f x 在00(;)U x δ内有定义. 0lim ()x x f x →存在⇔任意含于邻域00(;)U x δ且以0x 为极限的数列{},n x 极限lim ()n n f x →∞存在且相等.(2) 柯西准则：设函数()f x 在邻域00(;')U x δ内有定义. 0lim ()x x f x →存在⇔0,ε∀>∃正数('),δδ<00',''(;),x x U x δ∀∈有|(')('')|.f x f x ε-<4. 两个重要极限(1) 0sin lim1.x xx→=(2) 1lim(1).xx e x→∞+=由归结原则得1lim(1).nn e n→∞+=5. 无穷小量与无穷大量 (1) 无穷小量定义：i) 设函数()f x 在某邻域00(;)U x δ内有定义. 若0lim ()0x x f x →=，则称()f x 为当0x x →时的无穷小量.ii) 设函数()g x 在某邻域00(;)U x δ内有界，则称()g x 为当0x x →时的有界量.由无穷小量的定义可知，两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量；无穷小量与有界量的乘积为无穷小量．(2) 定理：0lim ()()(),x x f x A f x A x α→=⇔=+其中()x α是当0x x →时的无穷小.(3) 无穷小量阶的比较无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢．若无穷小量f 与g 满足()()lim0x x f x g x →=，则称当0x x →时f 为g 的高阶无穷小量，g 为f 的低阶无穷小量，记作()()()f x g x ο=（0x x →）．特别，f 为当0x x →时的无穷小量，记作()()1f x ο=（0x x →）．若存在正数K 和L ，使得在某邻域()00U x 上有()()f x K Lg x ≤≤，则称无穷小量f 与g 为当0x x →时的同阶无穷小量．特别当()lim0()x x f x c g x →=≠时，f 与g 必为同阶无穷小量．若无穷小量f 与g 满足()()f x Lg x ≤，()00x U x ∈，则记作()()()0( ).f x O g x x x =→ 特别，若f 在某()00Ux 内有界，则记为()()1f x O =（0x x →）．甚至当()()()0( )f x o g x x x =→ 时，也有()()()f x O g x =（0x x →）．若无穷小量f 与g 满足()lim1()x x f x g x →=，则称f 与g 为当0x x → 时的等价无穷小量，记作()()~f x g x （0x x →）．应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较．例如，当0x → 时，1sinx x和2x 都是无穷小量，但它们的比 21sinx x x =11sin x x 或 21sin x x x =1sin x x当0x → 时都不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较．下述定理表明了等价无穷小量在求极限问题中的作用．定理：设函数f ，g ，h 在邻域()00Ux 内有定义，且有()()~f x g x （0x x →）．ⅰ) 若()()0lim x x f x h x A →=，则()()0lim ;x x g x h x A →= ⅱ) 若()()limx x h x B f x →=，则 ()()0lim .x x h x B g x →=(4) 无穷大量定义：对于自变量x 的某种趋向（或n →∞时），所有以∞、+∞或-∞为非正常极限的函数（包括数列），都称无穷大量．定理：ⅰ)设f 在()00U x 内有定义且不等于0．若f 为当0x x →时的无穷小量，则1f为当0x x →时的无穷大量．ⅱ)若g 为当0x x →时的无穷大量，则1g为当0x x →时的无穷小量．由上述定理，对无穷大量的讨论可归结为无穷小量的研究．（三）一元函数的连续性1. 函数在点0x 连续的定义: 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义. 若()()00lim ,x x f x f x →= 则称函数()f x 在0x 点连续.若记()()00,x x x y f x f x ∆=-∆=- ，则()()00lim x x f x f x →= 的等价叙述为lim 0x y ∆→∆=，于是函数()f x 在0x 点连续的定义又可以写成:定义: 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义. 若0lim 0x y ∆→∆=,则称()f x 在0x 点连续.改用εσ-语言叙述，则()f x 在0x 点连续可以定义为：定义: 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义. 若对0ε∀>，0δ∃>使得当0x x δ-<时，都有()()0f x f x ε-<，则称()f x 在0x 点连续.2. 函数在点0x 左、右连续的定义相应于在0x 的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定义如下：定义: 设函数()f x 在0x 的某左（右）邻域内有定义. 若()()00lim x x f x f x -→=（或()()00lim x x f x f x +→=）, 则称()f x 在0x 左（或右）连续.定理: 函数()f x 在0x 点连续⇔()f x 在0x 点既左连续又右连续. 与上述定理等价的否定叙述：定理: 函数()f x 在0x 点不连续⇔()f x 在0x 点或不左连续或不右连续. 3. 函数的间断点（不连续点）及其分类定义：设函数f 在某领域()00Ux 内有定义. 若f 在点0x 无定义，或在点0x 有定义但不连续，则称点0x 为函数f 的间断点或不连续点.由连续的定义知，函数()f x 在0x 点不连续必出现如下3种情形之一:i ）()0lim x x f x A →=，而f 在点0x 无定义，或有定义但()()00lim x x f x A f x →=≠；ii ）左、右极限都存在，但不相等； iii ）左、右极限至少一个不存在.据此，函数()f x 的间断点可作如下分类： i ）可去间断点若()0lim x x f x A →=（存在），而f 在点0x 无定义，或有定义但()()00lim x x f x A f x →=≠，则称0x 为可去间断点（或可去不连续点）.ii ）跳跃间断点若0)(x x f 在点的左、右极限都存在，但不相等（即0(0)f x +与0(0)f x - 均存在，但00(0)(0)f x f x +≠-），则称0x 为()f x 的跳跃间断点.注：可去间断点与跳跃间断点统称)(x f 的第一类间断点. iii ）第二类间断点若0(0)f x +与0(0)f x -至少有一个不存在，则称0x 为)(x f 的第二类间断点. 定义: 若函数)(x f 在区间I 上每一点都连续，则称)(x f 为I 上的连续函数. 对于区间端点上的连续性，则按左、右连续来确定.定义: 如果)(x f 在区间[],a b 上仅有有限个第一类不连续点，则称函数)(x f 在区间[],a b 上按段连续.4. 连续函数的性质局部有界性定理: 若函数)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点的某邻域内有界. 局部保号性定理: 若函数)(x f 在0x 点连续，且()0f x α>(或()0f x β<)，则对'αα∀<(或'ββ>)，∃某邻域()0,U x 当()0x U x ∈时，有()'f x α>(或()'f x β<).四则运算性质：若函数()(),f x g x 在区间I 上有定义，且都在0x I ∈连续，则()()()()()(),,f x g x f x g x f x g x ±（()00g x ≠）在0x 点连续.复合函数连续性定理: 若函数()f x 在0x 点连续，()g u 在0u 点连续，()00u f x =，则复合函数()()g f x 在0x 点连续.定义：设()f x 为定义在数集D 上的函数. 若∃0x D ∈，使得对∀x D ∈都有()()0f x f x ≥(或()()0f x f x ≤)，则称在D 上有最大值（或最小值），称0x 为f 在D 上的最大值点（或最小值点），并称()0f x 为f 在D 上的最大值（或最小值）.闭区间上连续函数的基本性质:最大最小值定理: 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在闭区间[],a b 上有最大值与最小值.有界性推论：若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在闭区间[],a b 上有界. 介值性定理: 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()f a f b ≠，μ为介于()f a 与()f b 之间的任何实数（()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<）,则在开区间(),a b 内至少存在一点0x ，使得()0.f x μ=根的存在定理: 若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()f a 与()f b 异号，则至少存在一点()0,x a b ∈ 使得()00,f x =即()0f x =在(),a b 内至少有一个实根.反函数的连续性定理: 若连续函数()f x 在闭区间[],a b 上严格递增（递减），则其反函数()1f y -在相应的定义域()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦（或()(),f b f a ⎡⎤⎣⎦）上递增（递减）且连续.5. 一致连续性一致连续性定义：设函数()f x 在区间I 上有定义. 若0,ε∀>()0δδε∃=>，当12,x x I ∈且12x x δ-<时，有()()12,f x f x ε-< 则称()f x 在区间I 上一致连续.注意：这里的δ只与0ε>有关，与(1,2)i x i =的位置无关.区间I 上的连续函数()f x ⇔1,x I ∀∈0,ε∀>()1'',0,x δδε∃=> 当2x I ∈且12'x x δ-<时，有()()12.f x f x ε-< 这就是说，连续函数里的'δ与预先取定的点1x 的位置有关，区间I 上的无穷多个点，对应无穷多个'δ，这无穷多个'δ的下确界可能为零，也可能大于零. 如果这无穷多个'δ的下确界为零，则不存在对I 上所有点都适合的公共()0δδε=>，这时()f x 在I 上连续，但不一致连续；如果这无穷多个'δ的下确界大于零，则必存在对I 上每一点都适用的公共()0δδε=>，如我们可取inf{'},δδ=则对I 上任意两点12,x x I ∈，当12x x δ-<时，便有()()12.f x f x ε-< 这种情况，()f x 在I 上连续就成为一致连续.一致连续性定理：若函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上一致连续. 定理：一切基本初等函数都是定义域上的连续函数.因为任何一个初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到,故任何初等函数都是定义域上的连续函数.（四）多元函数的极限与连续1．点列与二元函数的极限 (1) 点列极限与二重极限设{}n x 是X 轴上的一个点列，{}n y 是Y 轴上的一个点列，则以n x ，n y 为坐标的所有点(){},nnx y 组成平面上的一个点列记作{}nP .又设0P 是平面上的一点，坐标是()00,x y .若0,ε∀>∃正整数N ，当n N >时，有()0,n P P ρε=<，就称{}n P 收敛于0P ，记作0lim .n n P P →∞= 点列收敛的柯西准则：平面点列{}n P 收敛⇔0,0,N ε∀>∃>当N n >时，对一切正整数k ，都有(),.n n k P P ρε+<定义：设f 为定义在2D R ⊂上的二元函数，0P 为的D 的一个聚点，A 是一个确定的实数. 若0,ε∀>∃0,δ> 使得当()D P UP oδ;0∈时，都有(),ε<-A P f 则称f在D 上当0P P →时以A 为极限，记作()0lim .P P P Df P A →∈=在对D P ∈不致产生误解时，也可简单地写作()0lim .P P f P A →= 当0,P P 分别用坐标()()00,,,y x y x 表示时，()0lim P P f P A →=也常写作()0(,)(,)lim ,.x y x y f x y A →=定理：()0lim P P P Df P A →∈=⇔对D 的每一个子集E ,只要点0P 是E 的聚点,就有()0lim P P P Ef P A →∈=.推论：i) 设1E D ⊂,0P 是1E 的聚点. 若极限()01lim P P P E f P →∈不存在,则极限()0lim P P P Df P →∈也不存在.ii) 设12,E E D ⊂, 0P 是1E 和2E 的聚点. 若存在极限()011lim P P P E f P A →∈=,()022lim P P P E f P A →∈=, 但12A A ≠, 则极限()0lim P P P Df P →∈不存在.iii) 极限()0lim P P P Df P →∈存在⇔对D 内任一点列{}n P , 0n PP →但0n P P ≠,数列(){}nf P 收敛.定义: 设D 为二元函数f 的定义域，),(000y x P 是D 的一个聚点. 若对0,M ∀>总存在0P 的一个δ邻域()00;U P δ，使得当()()0,;P x y U P D δ∈时,都有()f P M >，则称f 在D 上当0P P →时，存在非正常极限+∞，记作()()()00,,lim,.x y x y f x y →=+∞ 类似定义()()()00,,lim,x y x y f x y →=-∞和()()()00,,lim,.x y x y f x y →=∞(2) 累次极限在前面研究的极限),(lim),(),(00y x f y x y x →中，两个自变量y x ,同时以任何方式趋于00,,x y这种极限也称为二重极限. 这一段考察x 与y 依一定的先后顺序相继趋于0x 与0y 时f 的极限，这种极限称为累次极限．定义：设,,x y E E R ⊂ 0x 是x E 的聚点，0y 是y E 的聚点，二元函数f 在集合x y D E E =⨯上有定义. 若对每一个0,y y E y y ≠∈，存在极限),,(lim 0y x f xE x x x ∈→由于此极限一般与y 有关，因此记作()),,(lim 0y x f y xE x x x ∈→=ϕ而且进一步存在极限(),lim 0y L yE y y y ϕ∈→=则称此极限为二元函数f 先对()0x x →后对()0y y →的累次极限，并记作 ),(lim lim 00y x f L xy E x x x E y y y ∈→∈→=或简记作).,(lim lim 00y x f L x x y y →→=类似地可以定义先对y 后对x 的累次极限 ).,(lim lim 00y x f K x x y y →→=注：i) 两个累次极限存在时,可能不相等. 例如:设yx y x y x y x f +++-=22),(，它关于原点的两个累次极限分别为.1)1(lim lim limlim 0202200-=-=-=+++-→→→→y yyy y x y x y x y y x y 与.1)1(lim lim limlim 0202200=+=-=+++-→→→→x xxx y x y x y x x x y x ii) 两个累次极限中的一个存在时,另一个可能不存在.例如函数1(,)sin f x y x y=在点(0,0)的情形.iii) 二重极限存在时,两个累次极限可能不存在（见例题）.iV) 两个累次极限存在(甚至相等)，二重极限可能不存在（见例题）.综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系. 但有以下确定关系：定理：若二重极限()()()00,,lim,x y x y f x y →和累次极限()00lim lim ,x x y y f x y →→ (或另一次序)都存在, 则二者必相等.推论：i) 二重极限和两个累次极限三者都存在时，三者相等. ii) 两个累次极限存在但不相等时，二重极限不存在. 3. 二元函数的连续性 (1) 连续性概念定义：设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数. 0P D ∈（它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点）. 若0,0,εδ∀>∃>只要()，；D P U P δ0∈就有()()ε<-0P f P f ，则称f 关于集合D 在点0P 连续. 在不至于误解的情况下，也称f 在点0P 连续.设()000,y x P 、()00,,,y y y x x x D y x P -=∆-=∆∈则称()()()0000,,,y x f y x f y x f z -=∆=∆()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=为函数f 在点0P 的全增量. 和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当0lim),()0,0(),(=∆∈→∆∆z Dy x y x 时，f 在点0P 连续.如果在全增量中取0=∆x 或0=∆y ，则相应的函数增量称为偏增量，记作 ()00,y x f x ∆()()0000,,y x f y x x f -∆+=， ()00,y x f y ∆()().,,0000y x f y y x f -∆+=一般说来，函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和.若一个偏增量的极限为零，例如()000lim ,0,x x f x y ∆→∆=它表示在f 的两个自变量中，当固定0y y =时，()0,y x f 作为x 的一元函数0x 在连续. 同理，若().0,lim 000=∆→∆y x f y y 则表示一元函数()y x f ,0在0y 连续.容易证明，当f 在其定义域的内点()00,y x 连续时，()0,y x f 在0x 和()y x f ,0在0y 都连续. 但是反过来，二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性.(2) 连续函数的性质局部保号性定理：若二元函数f 在点()000,y x P 连续，并且存在实数A (或B )使得0()f P A >(或0()f P B <)，则存在0P 的邻域0(;)U P δ，当0(;)P U P δ∈时有()f P A >(或()f P B <).局部有界性定理：若二元函数f 在点()000,y x P 连续，则f 在0P 的某个邻域0(;)U P δ上有界.四则运算性质: 两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为0）都是连续函数. 复合函数的连续性定理：设函数()y x u ,ϕ=和()y x v ,φ=在xy 平面上点()000,y x P 的某邻域内有定义，并在点0P 连续；函数()v u f ,在uv 平面上点()000,v u Q 的某邻域内有定义，并在点0Q 连续，其中()000,y x u ϕ=，()000,y x v φ=.则复合函数()[]),(),,(,y x y x f y x g φϕ=在点0P 也连续．(3) 二元初等函数及其连续性与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.4. 有界闭区域上连续函数的性质(1) 有界性与最值性定理：若函数f 在有界闭域2R D ⊂上连续，则f 在D 上有界，且能取得最大值与最小值.(2) 一致连续性：若函数f 在有界闭域2R D ⊂上连续，则f 在D 上一致连续，即0,0,εδ∀>∃>使得,,P Q D ∀∈只要(),,P Q ρδ<就有()()ε<-Q f P f .(3) 介值性与零点定理：设函数f 在区域2R D ⊂连续，若21,P P 为D 中任意两点，且()()21P f P f <，则对任何满足不等式()()21P f P f <<μ的实数μ，存在点D P ∈0，使得()μ=0P f .四、基本例题解题点击【例1】按N ε-定义证明!lim0.nn n n →∞=【提示】在用N ε-定义证明极限时,先写出定义,运用放缩法，找到合适的N 即可．【证明】0,ε∀> 1,N ε∃=当n N >时，有!110.n n n n Nε-≤<= 因此 !lim 0.nn n n →∞= ■【例2】求极限111lim().1223(1)n n n →∞++⋅⋅+【提示】111.(1)1n n n n =-++【解】111lim()1223(1)n n n →∞++⋅⋅+11111lim[(1)()()]2231n n n →∞=-+-++-+ 1lim(1) 1.1n n →∞=-=+ ■【例3】求极限n →∞+【提示】用极限的迫敛性定理.【解21,nn<++<=+且lim1,lim11,n nn →∞→∞===由极限的迫敛性定理，得 1.n →∞+= ■【例4】应用柯西收敛准则，证明数列{}n a 收敛，其中2sin1sin 2sin .222n nna =+++【提示】利用柯西收敛准则和三角函数有界性. 【证明】0ε∀>，21log ,N ε∃=,n m N ∀>> 有()()12sin 1sin 2sin 222n m m m nm m na a ++++-=+++12111111121222212n m m m n m -+++-≤+++=⋅- 11111.122212m mN ε+<⋅=<=-故由柯西收敛准则知数列{}n a 收敛. ■【例5】计算.n nπ【提示】定义函数(),f x nπ= 再用极限四则运算、归结原则和等价无穷小量求解.【解】记函数(),f x xπ=则有sin limlim )0.x x x xxπππ→+∞==故由归结原则得 l i s i n 0.n nπ=■【例6】设()10111011m m m mn n n na x a x a x a f xb x b x b x b ----++++=++++,000,0,a b m n ≠≠≤，求()lim x f x →+∞.【提示】极限的四则运算法则和12lim lim lim 0.n x x x xx x ---→+∞→+∞→+∞====【解】因()10111011lim lim m n m n nm n n x x n na x a x a x f xb b x b x b x -------→+∞→+∞-+++=++++, 12lim lim lim 0,n x x x x x x ---→+∞→+∞→+∞====当m n ≤时,12lim lim lim 0;m n m n n x x x xx x -----→+∞→+∞→+∞====当m n =时，lim 1m nx x-→+∞=；当m n <时，lim 0.m nx x-→+∞=故由极限的四则运算法则，有()00,;lim 0,.x a m n b f x m n →+∞⎧=⎪=⎨⎪<⎩■【例7】设()()00,lim x x f x f x A →>=.证明limx x →= 其中2n ≥为整数.【提示】当0A =时，直接利用函数极限定义证明.当0A >分子有理化，然后利用放缩法证明.【证明】因为()0f x >，故()0lim 0x x f x A →=≥.若0A =，由()0lim x x f x A →=，则0,0,εδ∀>∃>当00x x δ<-<时，有()().f x A f xε-=<=<即0lim 0x x →==.若0A >，由()0lim x x f x A →=，则0,0,εδ∀>∃>当00x x δ<-<时，有().f x A ε-<从而有2n nA-=++()1.f x A ε<-<故lim x x →=■【例8】求极限0x → 【提示】利用重要极限0sin lim1x xx→=及函数极限的运算法则.【解】当11x -<<2.2x ==故22002lim lim 1cos 2sin 2x x x x x →→=-⎛⎫⎪⎝⎭222220sin 22lim[]11sin 22x x xx x →⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅=⨯=⎛⎫ ⎪⎝⎭ ■【例9】证明：若f在点0x 连续，则f 与2f 也在0x 连续. 又问：若f 或2f 在I 上连续，那么f 在I 上是否必连续？【提示】要证2f 连续，证2ff f =⋅即可，要证f连续，证f =f 或2f 连续不一定有f连续.【证明】由()f x 在0x x =连续，得()()00lim x x f x f x →=，从而()()()()0220lim lim lim ,x x x x x xfx f x f x f x →→→=⋅=再由例7的结论知 ()()00lim lim,x x x x f x f x →→===故f 与2f 也在0x x =连续.构造函数1(0)(),1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ 则,x R ∀∈有2()1,()1,f x f x == 即2(),()f x f x 在R 上连续，但()f x 在0x =不连续，故()f x 在R 上不连续. 因此，由f 或2f 在I 上连续不能断定f在I 上连续. ■【例10】设f 在[],a b 上连续，[]12,,,n x x x a b ∈.证明：存在[],a b ξ∈，使得()()()()121n ff x f x f x n ξ=++⎡⎤⎣⎦.【提示】f 在[],a b 上连续，则存在最大值和最小值，利用连续函数介值性定理. 【证明】设()()()(){}12max ,,,,i n f x f x f x f x =()()()(){}12min ,,.j n f x f x f x f x = 不失一般性，设.i j x x <（1）若()(),i j f x f x =则()()()12n f x f x f x ===，此时有()()()()121,k n f x f x f x f x n=+++⎡⎤⎣⎦ 1,2,,.k n =取k x ξ=即可. （2）若()()i j f x f x ≠，则()()()()()121.j n i f x f x f x f x f x n<+++<⎡⎤⎣⎦由连续函数介值性定理知，[](,),,i j x x a b ξ∃∈⊂使得 ()()()()121.n ff x f x f x n ξ=+++⎡⎤⎣⎦由此本题得证. ■五、扩展例题解题点击【例1】设1,m a a 为m 个正数. 证明：{}12max ,,.m n a a a =【提示】运用迫敛性定理和1(0).n m =>【证明】设{}12max ,,,m a a a A = 则有A ≤≤因lim ,lim ,n n A A A →∞→∞==故由极限的迫敛性定理，得{}12max ,,.m n a a a =【延伸】：设<<1,2,...)i a M n =0(. 试证明：{}sup .n n na =【提示】：与前面方法类似（运用 1.n =） ■【例2】设数列{}n a 满足：存在正数M ,对一切n 有21321.n n n A a a a a a a M -=-+-++-≤证明：数列{}n a 与{}n A 都收敛.【提示】利用单调有界原理，柯西收敛准则及绝对值不等式证明.【证明】由,n A M ≤且11n n n n A A a a +--=-≥0,知{}n A 为单调有界数列. 由单调有界原理知{}n A 收敛.因{}n A 收敛，故由柯西收敛准则知，0,0,N ε∀>∃>当n m N ≥>时有.n m A A ε-< 而 ()()()1121n m n n n n m m a a a a a a a a ---+-=-+-++-1121n n n n m m a a a a a a ---+≤-+-++-.n m A A ε=-<由柯西收敛准则知{}n a 收敛，故{}n a 与{}n A 都收敛. ■【例3】设 1.a > 证明：lim 0.an n n a→∞=【提示】令a b =+1,利用二项式定理把分母na 展开，利用放缩法和基本例题中的例6. 【证明】令[]a 表示a 的整数部分，b a =-1,显然>b 0. 故[][]()110.1a a a nn n n n n a a b ++<≤=+ 当[]2n a >+时，()[][]221.na a nbc b +++>因此，[]()[][][]1122<.1a a na a nn n c bb ++++<+0因[][][]122lim 0,a a a n nn c b+++→∞= 故由迫敛性定理知，当1a >时，lim 0.an n n a→∞= ■【例4】计算1lim .xx x +→ （上海大学2001年考研试题）【提示】先用数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭代替x ，猜测出极限的值，然后考虑用迫敛性定理. 【解】在区间()0,1内，10,xx x << 而0lim 0,x x +→= 故由迫敛性定理知，1lim 0.xx x +→= ■【例5】已知323lim 0.1x x x ax bx c x →+∞⎛⎫++---= ⎪+⎝⎭求,a b 与c 的值.【提示】此题中2ax bx c ++实际上就是331x x x +++的整式部分.【解】因323lim 0,1x x x ax bx c x →+∞⎛⎫++---= ⎪+⎝⎭故 ()()()()()3233223lim 113lim 0213lim 031x x x x x ax bx c x x x c ax b x x x x x b c a x x x x →+∞→+∞→+∞⎧⎛⎫++⎪--= ⎪+⎪⎝⎭⎪⎛⎫++⎪---= ⎪⎨ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎛⎫++⎪---= ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎩由(3)与极限四则运算法则，得：()323lim 1.1x x x a x x →+∞++==+把1a =代入(2)，得：()()3333lim lim 1.11x x x x x x b ax x x x x x →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫++++=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭同理，把1,1a b ==-代入(1)，得c =2. ■【例6】设lim n n a A →∞=（或∞+或∞-），则()121limn n a a a A n→∞+++=（或∞+或∞-）.问：反之是否成立？【提示】利用极限定义和绝对值不等式证明.【证明】由极限定义知，1>0,,N N ε+∀∃∈当1n N >时，有,n a A ε-<故当1n N >时，有1212nn a a a a a a nAA nn++++++--=112N a A a A a An-+-++-≤1112N N n a A a A a An++-+-++-+1121.N a A a A a An N nnε-+-++--≤+⋅ 记112N a A a A a A b -+-++-=，因lim0,n bn→∞= 故2N N +∃∈, 当2n N >时有.bnε< 取{}12max ,N N N =, 当n N >时，1212.na a a n Nb A nn nεεεε+++--≤+⋅<+= 因此 ()121lim.n n a a a A n→∞+++=∞+或∞-的情形可类似进行证明.反之，若()121lim n n a a a A n→∞+++=，则不能得出lim n n a A →∞=. 例如，取(1),n n a =-则()121lim0,n n a a a n →∞+++= 而limn n a →∞不存在; 取2121,n a n -≡- 20,n a = 则()121lim ,n n a a a n →∞+++=+∞ 而lim n n a →∞不存在；∞-的情形类似. ■【例7】设函数f 定义在(),a +∞上，f 在每一个有限区间内有界，并满足()()lim 1,x f x f x A →+∞+-= 则()lim.x f x A x→+∞= 【提示】运用极限的定义，由题设条件推出结论成立.【证明】由题设()()lim 1,x f x f x A →+∞+-= 则00,,x a ε∀>∃> 使得当0x x ≥时，有()()()1.1f x f x A ε+--<∀0,x x > 记[]00,,m x x k x x m =-=-- 则1,k ≤<0 于是0,x x m k =++因而有()()()()000f x f x f x k f x k x k m A A A x x m x x -++⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭ ()()()()0002f x f x k f x k x k m A A x m x x -++⎛⎫+≤-++ ⎪⎝⎭. 由(1)式可得()()0f x f x k m A x m -+⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()00111mi f xk i f x k i mA m=≤++-++--∑()()()001111.3m i f x k i f x k i A m m mεε==++-++--<⋅⋅=∑ 又由于()f x 在()0,1a x +上有界，则()0lim 0x f x k x →+∞+=及0lim 0x x kA x→+∞+=，于是1,x a ∃> 使得当1x x >时，有()()00;.4f x k x kA x xεε++<< 取{}01max ,,X x x = 于是当x X >时，由(2)、(3)与(4)便有()3.f x A xεεεε-≤++= 故 ()lim .x f x A x→+∞= ■【例8】设f 为区间I 上的单调函数，证明：若0x I ∈为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间断点.【提示】利用确界与极限关系，证明f 在0x 的左右极限均存在.【证明】若f 为区间I 上的单调增函数，取()00U ,x I ⊂ 且满足()0012U ,,,x x x x I ∀∈∃∈使得12,x x x <<则f 在()00U x 上为有界函数. 由()()()000U 0inf ,x x f x f x +∈+=()()()000U 0sup ,x x f x f x -∈-= 知道f 在0x 左、右极限均存在. 因此，0x 若为f 的间断点，则0x 必为f 的第一类间断点. 若f 为区间I 上的单调减函数，则令()(),g x f x =-则()g x 为I 上的单调增函数，从而()()()(){}()()000000U U 00inf sup ,x x x x f x g x f x f x ++∈∈+=-+=--= ()()()(){}()()000000U U 00supinf.x x x x f x g x f x f x --∈∈-=--=--=因此，结论也成立. ■【例9】设函数f 为区间I 上满足利谱希茨条件（Lipschitz ），即存在常数0,L >使得对于I 上的任意两点'x 与''x 都有()()''''''.f x f x L x x -≤- 证明：f 在I 上一致连续.【证明】0,ε∀> 取0,δε=> 则''',,x x I ∀∈ 且''',x x δ-< 有()()''''''.f x f x L x x L ε-≤-<故f 在I 上一致连续. ■【例10】设{}n a 是有界数列，且12,n n n a a b ++= 若lim n n b →∞存在，则lim n n a →∞也存在（北京大学2009年考研试题）.【证明】因{}n a 有界，故,M ∃ 使得,n ∀ 有.n a M ≤因lim n n b →∞存在（令其值为b ），故0,,N ε∀>∃ 当n N >时，有,n b b ε-< 即.n b b b εε<<+-因12,n n n a a b ++= 故有12.n n b a a b εε+<+<+-下面用反证法证明11.33n b a b εε<<-2+2 反设1,3n a b ε≥+2 由12n n a a b ε++<+得 1123n b a b εε+⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭+2，即113.3n a b ε+<-因()2112,,n n n a a b b b εε++++=∈+- 故有2123,3n b a b εε+⎛⎫-+> ⎪⎝⎭-即215.3n a b ε+>+依此类推，于是得()22121.3k n k a b ε+>+-因此，当k 充分大时，有2.n k a M +>（例如当21log 12M b k ε⎛+⎫+⎪⎝⎭>时）这与{}n a 为有界数列矛盾. 于是1.3n a b ε<+2 同理可证1.3n a b ε>-2 因此，0,,N ε∀>∃当n N >时有1.3n a b ε-<2 故{}n a 收敛. ■六、本章训练题提示点评【训练题1】证明函数()1cosxf x e x=在()01，内非一致连续.（云南大学2004年考研试题）【提示】利用非一致连续的定义证明. 【证明】0121110,0,,,222x x k k εδπππ∃=>∀>∃==+当正整数k 充分大时有12||x x δ-<（例如当12k δπ>时），故有 12101211coscos 1.xx x e e e x x ε-=≥= 因此，命题成立. ■【训练题2】已知()112,xx x xna a a f x n ⎛⎫+++=⎪⎝⎭其中123,,,n a a a a 为n 个正数.求（1）()0lim x f x →；（2）()lim x f x →+∞与 ()lim .x f x →-∞（2004年云南大学考研试题）【解】（1）因12112200ln ln ln lim lim x x x x xxn n nx x a a a n a a a a a a nx n→→+++-+++=（洛比达法则）()12ln .n a a a n=故()12121200lim lim 1x x x n x x x n a a a nnn xx x x a a a n n x x a a a n f x n +++-+++-→→⎡⎤⎛⎫+++-⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1212120ln limlim x x xx x xn n n x a a a a a a na a a n nxnxnx eee→+++-+++-→====（2）由（1）知x =0是()f x 的可去间断点. 由初等函数在其定义域内的连续性知，()()()()lim ln lim ln lim ,lim ,x x f x f x x x f x e f x e →+∞→-∞→+∞→-∞==而 ()121lim ln lim ln,x xxnx x a a a f x x n →+∞→+∞+++=⋅()121lim ln lim ln .x xx nx x a a a f x x n→-∞→-∞+++=⋅1 若{}max 1,i ia =则当0x >时，12.x xx n a a a n <+++≤1故()lim ln 0,x f x →+∞= 即()lim 1.x f x →+∞=2 若{}min 1,i ia = 则当0x <时，12.x x xn a a a n <+++≤1故()lim ln 0,x f x →-∞= 即()lim 1.x f x →-∞=3 若{}max 1,i i a ≠则12lnx xxna a a n+++为x →+∞时的无穷大量.故由洛比达法则得，12112212ln ln ln 1lim ln lim x xxx x xnn nx x x x x na a a a a a a a a x na a a →+∞→+∞++++++⋅=+++{}()ln max .i ia =因此，(){}lim max .i x if x a →+∞=4 若{}min 1,i i a ≠则12lnx xxna a a n+++为x →-∞时的无穷大量.故由洛比达法则得，12112212ln ln ln 1lim ln lim x xxx x xnn nx x x x x na a a a a a a a a x na a a →-∞→-∞++++++⋅=+++ {}()ln min .i ia =因此，(){}lim min .i x if x a →-∞=综合,2,3,41知，(){}(){}lim max ,lim min .i i x x iif x a f x a →+∞→-∞== ■【训练题3】设()2122lim 1n n n x ax bxf x x -→∞++=+是连续函数，求a ,b 的值.(福建师范大学2006年考研试题)【提示】利用极限的四则运算法则和连续函数的定义.【解】当1x >时，()23222111lim;1n n n n a bx x f x x x x--→∞-++==+当1x <时，()2122lim 1n n n x ax bxf x x -→∞++=+2;ax bx =+ 当1x =-时，()()111;2f a b -=-+- 当1x =时，()()111.2f a b =++ 因()f x 在1x =处连续，故()()()111,f f f -+==即 ()111;2a b a b +==++ 因()f x 在1x =-处连续，故()()()111,f f f -+-=-=-即()111.2a b a b -=-=-+- 解方程组可得 0a =, 1.b = ■【训练题4】求α和,β 使得当x →+∞时，量.x βα（上海大学2002年考研试题）.【解】0limlim x t x βα+→+∞→+=122lim .t tβα+→-=在右领域()()0;1U δδ+<内，()211,2t t ο=++()211.2t t ο=-+当11,2αβ==-时，lim 1.x →+∞= 即当x →+∞12.x - ■【训练题5】设()f x 在(),a b 上连续，且f 是一对一（即()12,,x x a b ∀∈且12x x ≠时，有()()12f x f x ≠），证明：()f x 在(),a b 上严格单调. 【证明】反证法. 反设()f x 在(),a b 上非严格单调，即()123,,,x x x a b ∃∈且123,x x x <<有()()()()1232,.f x f x f x f x << 或()()()()1232,.f x f x f x f x >>（因f 是一对一，故不能取等号）若()()()()1232,f x f x f x f x <<成立，取()()(){}213max ,,2f x f x f x M +=显然()2M f x <且()()13,.M f x M f x >>在[]12,x x 上()f x 连续，由介值性定理知，()412,,x x x ∃∈ 使得()4,f x M =同理()523,,x x x ∃∈ 使得()5.f x M =于是()()45,f x f x = 这与f 在(),a b 上一对一矛盾.因此，当123x x x <<时，()()12f x f x <与()()32f x f x <不能同时成立. 同理可证，当123x x x >>时，()()12f x f x >与()()32f x f x >不能同时成立. 综上所述知，()f x 在(),a b 上严格单调. ■【训练题6】求202cos 2lim.tan sin x x x e x x x→+--（华南理工大学2004年考研试题）【解】因()()2tan sin tan 1cos 0,2x x x x x x x -=-⋅→ 而()()22232cos 21212.2xx x e x x x x ο⎛⎫+-=++--+ ⎪⎝⎭（由泰勒公式）于是233002cos 2lim lim 2.tan sin 2x x x x e xx x xx →→+-==- ■【训练题7】设11x >>, 11nn na x x x ++=+, 1,2,n =, 试证{}n x 收敛,并求lim n n x →∞, (华南理工大学2004考研试题).【解】因11x >>, 故2121101a xx x x --=<+, 即21x x <.因121111111a x ax x x +-==+<+=++故21x <<因 222211111a x a x x x +-==+>=++故3x >同理4x <, ,因此得21k x ->, 211,2,)k x k <<=.因213112()012a x x x a x --=<++, 故31x x <.因224222()012a x x x a x --=>++, 故42x x >.因22212121212212()112k k k k k k k a x a x x x x x a x -+---+--=-=+++且21k x ->故有21210k k x x +--<, 即2121k k x x +-<. 同理得222k k x x +>. 因此, 子列{}21k x -单调减小有下界, 故21limk k x -→∞存在, 设极限为1m . 子列{}2k x 单调增加有上界, 故2lim k k x →∞存在, 设极限为2m .对2212121212()12k k k k a x x x a x -+----=++左右两边取极限, 得21m a =. 由极限保号性知1m =. 同理得2m =. 由数学分析第一册(华东师大)第26页例题7知,lim n n x →∞=. ■【训练题8】证明极限111lim 1ln 23n n n →∞⎛⎫++++- ⎪⎝⎭存在. (哈尔滨工业大学2009考研试题). 【证明】记1111ln 23n a n n =++++-. 则11ln11n n na a n n +-=+++. 因23ln(1)23x x x x -=----, ()[1,1)x ∈-,故2311111ln 112131n n n n n ⎛⎫⎛⎫=--⋅-⋅-⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.因此得10n n a a +-<, 即{}n a 为单调递减数列.由于23ln(1)23x x x x +=-+- ()(1,1]x ∀∈-,故ln(1)x x +<()(1,1]x ∀∈-. 因此得()111ln 11ln 1ln 1ln 1ln 23n a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++++++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()ln 2(ln3ln 2)(ln 4ln3)ln 1ln ln n n n =+-+-+++--1ln0n n+=>. 于是{}n a 有下界.综上所述, 知{}n a 为单调递减数列且有下界, 故{}n a 收敛. ■【训练题9】令22(,)xyf x y x y=+，讨论二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →与累次极限00limlim (,)y x f x y →→、00limlim (,)x y f x y →→是否存在.【解】当动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)时, 由于此时2(,)(,)1mf x y f x mx m ==+, 因而有2(,)(0,0)0lim(,)lim (,)1x y x y mxmf x y f x mx m →→===+.这说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时, 对应的极限值也不同, 因此所讨论的重极限不存在.已经知道(,)(0,0)x y →时f 的重极限不存在. 但当0y ≠时有22lim0x xyx y →=+从而有 2200lim lim0y x xyx y →→=+. 同理可得 2200lim lim0x y xyx y →→=+. ■【训练题10】设11(,)sinsin f x y x y y x=+. 讨论重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →和累次极限。

第二章_极限与连续_习题解答

1习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，讨论有界性和单调性。

如果有极限请写出极限值：（1）13nn x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；解：{}n x 的前五项为：11111,,,,392781243⎧⎫---⎨⎬⎩⎭，从趋势可知，{}n x 不单调；11()33n -≤ ，故{}n x 有界。

{}n x 有极限值0。

（2）1n nx n =+；解： {}01nx <<，所以有界。

111021(1)(2)n n n n xx n n n n ++-=-=>++++，所以单调递增， {}n x 有极限值1 （3）()10.1nn x =-；解：{}01nx <<，所以有界。

()0.1n随着n 值的增大而减小，所以相应的n x 的值增大，所以为单调递增。

{}n x 的极限值为1 （4）cos2n n x n π=；解：分别取)(2+∈=N k k n 和)(12+∈+=N k k n ，显然cos2n n x n π=是无界不单调的，故没有极限值。

（5）1n x n =-。

解：是无界的，且单调递减。

不存在极限2. 用极限定义证明：：对于任意的正数2，即（3）3limn +3. 对下面情况进行讨论，对得到的结论作出论证：（1）数列{}n x 和{}n y 都发散，{}n n x y ±和{}n n x y 的收敛性如何？解：{}n n x y ±，{}n n x y 可能收敛，可能发散。

如sin ,n n x n y n ==，n n n n x y n n x y n n ±±⋅⋅=s i n 、=s i n 均发散的。

又如1,n n x n y n ==，1n n x y n n±±=是发散的，n n x y ⋅=1是收敛的。

（{}n n x y ±收敛需要再举个例子）（2）数列{}n x 、{}n y 中有一个收敛，另一个发散，{}n n x y ±、{}n n x y 的收敛性如何？解：{}n n x y ±一定发散，而{}n n x y 可能收敛可能发散。

数学分析第二章极限与连续知识网络思维导图及复习

极限，并会利用它们求极限。 5、理解无穷大量、无穷小量的概念以及性质，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小
量求极限。 6、理解函数连续的概念，会判断函数不连续点的类型。 7、掌握用基本定理证明闭区间上连续函数的最大值、最小值、介值性定理的基本思路和方
法。 8、理解一致连续的概念，并会应用其证明相关命题。三、知识点梳理 1、数列极限的概念、性质与定理
不一致连续： 0
0,
xn
,xn
,
lim(
n
xn
x)
0 ，而 lim( n
f
(xn )
f
( xn)
c
0.
四、典型例题分析
基本题型 I 利用定义证明数列的极限
例
证明
lim
n
n 2n
0
证明： 0, 要使得
n 2n
0
成立，只要
n 2n
0
n 2n
2 n
(这是因为
2n (11)n 1 n n(n 1) ... n2
(ii) 同阶无穷小： lim f (x) a 0 ，则称 f (x) 是 g(x) 的同阶无穷小，记为 xx0 g(x)
f (x) Og(x) x x0 ，
0
特别地，如果 f (x) 在 O(x0 ) 有界，记作 f (x) O(1), (x x0 )
③ 函数的不连续点
(i)第一类不连续点： f (x0 0), f (x0 0) 存在，但不相等。
(ii)第二类不连续点： f (x0 0), f (x0 0) 中至少有一个不存在.
(iii)可移不连续点:
f (x0
0)
f
(x0

第六节两个重要极限

x
x
lim(1 1 )x e
x
x
8/18/2019 3:32 PM
第二章极限与连续
若在极限 lim(1 1 )x e 中，令 t 1
x
x
x
得极限的另一种形式
1
lim(1 t)t e
t0
这种数学模型在实际中非常有用，例如 “银行计算复利问题”。设本金为 A0，利率为 r ，期数为 t ，如果每期结算一次，则本利和 A为
lim x A
证毕。
例1 证明 limsin x 0 x0
证当 x 时，0 sin x x
2
由 lim x 0 , x0
再根据准则1，得
limsin x 0 证毕。
x0
8/18/2019 3:32 PM
第二章极限与连续
例2 证明 limcos x 1 x0
2
8/18/2019 3:32 PM
第二章极限与连续
1 x 1

(0 x )
sin x cos x
2
sin x是偶函数
x
得到 cos x sin x 1 (0 x )
x
2
limcos x 1 , lim sin x 1
x0
x0 x
证毕。
例4
计算 lim tan x
8/18/2019 3:32 PM
第二章极限与连续
而
lim(1
n

n
1
)n 1

lim
n
(1 n
1
1 )n1 1 1
e
n1
lim(1 1 )n1 lim(1 1 )n(1 1 ) e

极限与连续ppt

. . .. . . . .
...
分成若干充分小（长度无限接近零）曲线段, 这些曲线段也就无限接近（趋于）直线段. 据此,数学家找到一种用直线近似代替曲线（以直代曲）的处理曲线的方法，从而创立了微积分方法。
即: 先对曲线段无限细分；再用直线来近似代替曲线段（即以直代曲）；然后取极限（看无穷趋势）的数学方法, 我们称此为
同样可以看出,随着 n 的无限增大时, 上述其它数列的
无限变化趋势。
数列（2.3）,即
{1} n
无限地接近常数0；
数列（2.4）,即
{n} n 1
无限地接近常数1；
数列（2.5）,即{2n} 无限增大;
数列（2.6）,即{( 1) n } 不停地在1与-1之间摆动.
前四个数列（2.1）-（2.4）反映了一类数列的一
因为 12 +22 +
n2 =
1 (2n +1)n(n +1) 6
,所以
原式 limn1来自n(n(n
1)(2n
6n2

1)
)

lim
n
(n

1)(2n 6n2

1)
1
11
lim(1 )(2 )
6 n n
n
1 lim(1 1) lim(2 1) 1 .
6 n
bn )

lim
n
an

lim
n
bn
;
(2) (3)
lnim(an

bn
)

lim
n
an

lim
n
bn ;
若还满足 bn 0 ,且

高等数学电子教材第二章极限与连续

2-6
lim f (x) (4 ) lim f (x) (5 ) lim f (x) (6 ) lim f (x) (7 ) lim f (x)
x→−∞
x→+∞
x→x 0
x → x0−
x → x0+
lim f ( x ) lim y
x x0
f(x) y
lim
x→x0
x
=
x0
lim C = C( C
)
(2 )
yn
=
1+
(−1)n 2
(4 ) yn = 2n
2
lim
n→∞
yn
=
A
{ yn }
?
?
22
1x
f(x)
x
x
x
x+
x-
x+
|x| +
x
x
f(x)
f(x)
f(x)
f(x) A
1
x
f(x)=
1 x
1 - 20
0
f(x)=
1 x
x
x-
x
x
x
|x|
A
x
x
f(x)=
1 x
0
lim
x →∞
1 x
=
0
f(x)
x0−
x x0+
x x0
x x0
x x0
f(x)
x0
x0 ( x
x0 )
f(x)
x x0
A
x x0
f(x) A
5
x1
f(x)=
x2 −1 x −1
x f(x)

《高等数学一》第二章极限与连续历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析)

第二章极限与连续[单选题]1、若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（）A、0B、C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.根据高阶无穷小的定义，有.[单选题]2、与都存在是函数在点处有极限的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.[单选题]3、（）.A、B、1C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]4、如果则（）.A、0B、1C、2D、5【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】根据重要极限,[单选题]5、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】分子分母同除以，即[单选题]6、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、设，则（）.A、B、2C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、当时，与等价的无穷小量是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题由于故与等价,推广，当时，[单选题]9、时，与等价的无穷小量是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】由于，故与等价,推广，当时，[单选题]10、函数的间断点是（）.A、x=6、x=-1B、x=0、x=6C、x=0、x=6、x=-1D、x=-1、x=0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由于,所以的间断点是x=0，x=6，x=-1.[单选题]11、设,则是的（）.A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.[单选题]12、计算（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]13、计算（）. A、B、C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、（）.A、1B、﹣1C、2D、﹣2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、下列各式中正确的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】A，当时，极限为，错误；B，，错误；C，，错误，D正确.[单选题]16、函数的间断点个数为（）.A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在x=0和x=1处，无定义，故间断点为2个.[单选题]17、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）A、B、C、D、arctan x【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，.[单选题]18、（）A、0B、1C、不存在，但不是∞D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数，则x=0是f(x)的( )A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】故为可去间断点.[单选题]20、（）.A、-1B、2C、1D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】为有界函数，故原式=.[单选题]21、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]22、下列极限存在的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】当x趋近于0时，为有界函数，故极限存在. [单选题]下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，，，不存在,[单选题]24、极限=( )A、0B、2/3C、3/2D、9/2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]函数f(x)=的所有间断点是( )A、x=0B、x=1C、x=0，x=-1D、x=0，x=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】 x=1时，分母为0，无意义。

高等数学D 第2章极限与连续

14
2.2 函数极限的思想和定义
一.函数在一点的极限
定义设函数 y f (x) 在点a的某去心邻域内
有定义. 如果 x 足够接近 a 但不等于a, 使函数
y 的值可以任意地接近数 A ，
则称x a时函数f ( x)有极限A, 记作 lim f ( x) A, 或 f ( x) A( x a).
趋势下, f ( x)有极限, 则极限值必唯一.
定理2 夹逼准则
y
g(x)
如果 g( x) f ( x) h( x), 且
f(x)
lim g( x) A, lim h( x) A, A
xa
xa
则 lim f ( x) A xa
注当x 时此准则亦成立. o
h(x)
a
x
1 )n, n
现证明数列{xn}单调增加且有界.
按牛顿二项公式,有
xn

(1
1 )n n

1 n 1!
1 n

n(n 1) 2!

1 n2

n(n 1)(n n!
n 1)
1 nn
11 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 2 )(1 n 1).
即 1 sin x 1 x 1 tan x
2
22
26
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1,
x
上式对于 x 0也成立. 2
limcos x 1, 又lim1 1, 夹逼定理
x0
x0
sin x lim 1
x0 x
2! n
n! n n

第二章极限与连续

定义4(区间连续) : 若f ( x )在(a, b)内连续, 在x a处右连续, 在x b处左连续, 则称f ( x )在[a, b]上连续.
1 [ f ( x ) 1] g ( x ) f ( x ) 1
5
例9. 完成下列填空
sin x 1 cos x (1) lim ______; (2) lim _______; x x x 0 x sin x tan 2 x 2 x (3) lim _____; (4) lim(1 ) ______; x 0 sin 5 x x x 1 1 x x ln(1 x) (5) lim( ) ______; (6) lim _____; x 0 1 x x 0 sin x
第二章极限与连续
(一) 数列与函数的极限
n , x , x x0 1.变量的变化过程（三种）：
(1) x 表示 x 和x 两种情况 ; 当x 时f ( x)以A极限,记作 lim f ( x) A;
x
当x 时f ( x)以A极限,记作 lim f ( x) A;
x x0
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x) A
x x0 x x0
求分段函数(含绝对值函数)在分段点处的极限要用左右极限法 .
3.极限的性质:唯一性；局部有界性；局部保号性；局部比较性。有极限必有界,反之不然.
4.极限存在的两个准则:夹逼准则;单调有界准则
e
2
1 x 2x (5) lim( ) lim(1 ) x 0 1 x x 0 1 x e
x0
(
1 x 2 )( ) 2x 1 x

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极限一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．了解极限的描述性定义．2．了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质．3．会用两个重要极限公式求极限．4．掌握极限的四则运算法则．5．理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类．6．了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质（最大值和最小值定理、根的存在定理）．7．会用函数的连续性求极限．重点极限的求法，两个重要极限，函数在一点连续的概念．难点分段函数在分段点的连续性．（二）内容提要１．极限的定义(1) 函数极限、数列极限的描述性定义①A x f x =∞→)(lim 的充分必要条件是=+∞→)(lim x f x A x f x =-∞→)(lim ． ②A x f xx =→)(lim 0的充分必要条件是=-→)(lim 0x f x x A x f x x =+→)(lim 0．（３）极限存在准则①单调有界数列极限的存在定理单调有界数列必有极限． ②夹逼准则若当),ˆ(0δx N x ∈时，有)()((x h x f x g ≤≤），且A x g x x =→)(lim 0，A x h xx =→)(lim 0，则A x f xx =→)(lim 0．夹逼准则对自变量的其他变化过程也成立. 2. 极限的四则运算法则设)(lim 0x f x x →及)(lim 0x g x x →都存在，则(1) [])(lim )(lim )()(lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±；(2) [])(lim )(lim )()(lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→=,[])(l i m )(l i mx f C x Cf x x x x →→= (C 为任意常数); (3) )()(lim )()(lim00x g x f x g x f x x x x →→= )0)(lim (0≠→x g x x ．上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样成立．3．两个重要极限 (1) ,1sin lim0=→xx x 一般形式为1)()(sin lim 0)(=→x u x u x u （其中)(x u 代表x 的任意函数）．(2) ,11lim e =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x一般形式为e =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→)()()(11lim x u x u x u （其中)(x u 代表x 的任意函数）．４．无穷小量与无穷大量在讨论无穷小量与无穷大量的概念及其相关性质时, 均以0x x →的极限变化过程为例.其他极限变化过程,有完全类似的结论．（１）无穷小量在自变量的某个变化过程中，以零为极限的变量称为该极限过程中的无穷小量，简称无穷小．例如,如果0)(lim 0=→x f x x ，则称当0x x →时,)(x f 是无穷小量．注意一般说来，无穷小表达的是变量的变化状态，而不是变量的大小，一个变量无论多么小，都不能是无穷小量，数零是惟一可作为无穷小的常数．（２）无穷大量在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的变量称为这个变化过程中的无穷大量，简称无穷大．应该注意的是：无穷大量是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号∞=→)(lim 0x f x x ，表示“当0x x →时, )(x f 是无穷大量” ．（３）无穷小量与无穷大量的关系在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量．（４）无穷小量的运算① 有限个无穷小量的代数和是无穷小量． ② 有限个无穷小量的乘积是无穷小量． ③ 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量． ④ 常数与无穷小量的乘积是无穷小量．（5）无穷小量的比较下表给出了两个无穷小量之间的比较定义．无穷小量的比较表5．函数的连续性⑴ 函数在一点连续的概念① 函数在一点连续的两个等价的定义：定义１设函数)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，若当自变量的增量0x x x -=∆趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即[]0)()(lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x ，则称函数)(x f 在点0x 处连续，或称0x是)(x f 的一个连续点．定义２若)()(lim 00x f x f xx =→，则称函数)(x f 在点0x 处连续．② 左右连续的概念若)()(lim 00x f x f xx =-→，则称函数)(x f 在点0x 处左连续；若)()(lim 00x f x f x x =+→，则称函数)(x f 在点0x 处右连续．⑵ 函数在一点连续的充分必要条件函数)(x f 在点0x 处连续的充分必要条件是)(x f 在点0x 处既左连续又右连续．由此可知，函数)(x f 在点0x 处连续，必须同时满足以下三个条件： ① 函数)(x f 在点0x 的某邻域内有定义， ② )(lim 0x f xx →存在，③ 这个极限等于函数值)(0x f ． ⑶ 函数在区间上连续的概念在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续，该区间也称为函数的连续区间．如果连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续．⑷ 间断点若函数)(x f 在点0x 处不连续，则称点0x 为函数)(x f 的间断点． ⑸ 间断点的分类设0x 为)(x f 的一个间断点，如果当0x x →时，)(x f 的左极限、右极限都存在，则称0x 为)(x f 的第一类间断点；否则，称0x 为)(x f 的第二类间断点．对于第一类间断点有以下两种情形：① 当)(lim 0x f x x -→与)(lim 0x f x x +→都存在，但不相等时，称0x 为)(x f 的跳跃间断点；② 当)(lim 0x f x x →存在，但极限不等于)(0x f 时，称0x 为)(x f 的可去间断点．⑹ 初等函数的连续性定理基本初等函数在其定义域内是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的． ⑺ 闭区间上连续函数的性质① 最大值和最小值存在定理闭区间上连续函数一定能取得最大值和最小值．② 根的存在定理设)(x f 为闭区间[]b a ,上的连续函数，且)()(b f a f 与异号，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(=ξf ．二、主要解题方法1．求函数极限方法(1) 利用极限存在的充分必要条件求极限例1 求下列函数的极限：（1）42lim22--→x x x ，（2）()⎪⎩⎪⎨⎧++=,1,1sin 2xa xx x f ,0,0><x x 当a 为何值时，)(x f 在0=x 的极限存在. 解 (1)41)2)(2(2lim 42lim 222-=+--=----→→x x x x x x x ,41)2)(2(2lim 42lim 222=+--=--++→→x x x x x x x ,因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．（2）由于函数在分段点0=x 处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限．于是，有a a x x a x x x f x x x x =+=+=----→→→→0000lim )1sin (lim )1sin (lim )(lim ，1)1(l i m )(l i m 2=+=++→→x x f x x ，为使)(lim 0x f x →存在，必须有)(lim 0x f x +→=)(lim 0x f x -→，因此，当a =1 时， )(lim 0x f x →存在且 )(lim 0x f x →=1．小结对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在．（3）利用极限运算法则求极限例2 求下列函数的极限：(1)132lim 21+-→x x x ， (2)3lim →x 65922+--x x x ， (3) 2121lim()11x x x →--- ， (4)215lim+-+∞→x x x ．解 (1) 132lim21+-→x x x =)1(lim )32(lim 121+-→→x x x x =21-． (2) 当3→x 时，分子、分母极限均为零，呈现型，不能直接用商的极限法则，可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则．原式=623lim )2)(3()3)(3(lim 659lim 33223=-+=--+-=+--→→→x x x x x x x x x x x x ．(3) 当1→x 时，221,11x x --的极限均不存在，式22111xx ---呈现∞-∞型，不能直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则．即原式=2211212(1)lim()lim 111x x x x x x →→-+-=---11(1)11limlim (1)(1)12x x x x x x →→-===-++．(4) 当+∞→x 时，分子分母均无极限，呈现∞∞形式．需分子分母同时除以x ，将无穷大的x 约去，再用法则求原式=52115lim=+-+∞→xxx ．小结（I ）应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用．（II ）求函数极限时，经常出现,,00∞∞∞-∞等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。

常使用的有以下几种方法．（i ）对于∞-∞型，往往需要先通分，化简，再求极限，（ii ）对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限，（iii ）对分子、分母进行因式分解，再求极限，（iv ）对于当∞→x 时的∞∞型，可将分子分母同时除以分母的最高次幂，然后再求极限．（3）利用无穷小的性质求极限例3 求下列函数的极限（1）11lim 21-+→x x x ，（2）lim x解（1）因为0)1(lim 1=-→x x 而0)1(lim 21≠+→x x ，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为011lim21=+-→x x x ，所以当1→x 时，112+-x x 是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 ∞=-+→11lim21x x x ．（2）不能直接运用极限运算法则，因为当x →+∞时分子，极限不存在，但sin x 是有界函数，即sin 1x ≤而 0111lim1lim33=+=++∞→+∞→xx x x x x ，因此当+∞→x 时，31x x +为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得lim0x =.小结利用无穷小与无穷大的关系，可求一类函数的极限（分母极限为零，而分子极限存在的函数极限）；利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限（有界量与无穷小之积的函数极限）．（4）利用两个重要极限求函数的极限例4 求下列函数的极限：（1）203cos cos limx x x x -→ ，（2）xx x)11(lim 2-∞→．解（1）分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限原式=202sin sin 2limx x x x →=441)22sin 4(lim sin lim 0=⨯=⋅⋅∞→→x xx x x x ．（2）解一原式=10])11[(lim )11(lim )11()11(lim --∞→→∞→-⋅+=-+x x x x x x x xx x x =1ee 1=-，解二原式=)1()(2])11[(lim 2x x x x--∞→-=1e 0=．小结（I ）利用1sin lim0=→x x x 求极限时，函数的特点是00型，满足)()(sin lim 0)(x u x u x u →的形式，其中()x u 为同一变量；（II ）用x x x)11(l i m +∞→求极限时，函数的特点∞1型幂指函数，其形式为[])(1)(1x x αα+型, ()x α为无穷小量，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数；（III ）用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公式进行恒等变形或作变量代换，使之成为重要极限的标准形式。