第二章分析 极限与连续

5
二、数列的极限
数列的极限就是数列的变化趋势, 为此, 先观察
几个数列随着 n 的不断增大, 它能否趋向于一个常数.
先看数列 1, 1 , 1 , 1 , , 1 , 变化趋势演示
234
n
注
f (n)
意1
1
小
球
1 2
的
1
1
变
3
4
1 5
1
1
化
6
7
1 234 5 67 8
正 在 演 示
n
6
1, 1 , 1 , 1 , , 1 ,
都成立, 那末就称常数 a是数列{xn} 的极限, 或者称数列
{ xn } 收敛于a.记为
lim
n
xn
a,
或者记为当 n
,xn
a
记 :表示每一个或任给的； :表示至少有一个或存在.
“
N”定义
lim
n
xn
a
0, N 0，
使n N时，恒有 xn a
19
注意：1、关于：
(1)、一方面: 是任意给出的，它具有相对的任意性，
13
综上可见, 有的数列随着 n 的不断增大, 会逐 渐趋向于某一个常数, 而有些数列则不会趋向于一 个常数
一般来说，如果当n无限地增大时，xn无限地趋向于 常数a，则说，当n趋于无穷大时，{xn}以为a极限，记成
lim
n
xn
a
或
xn a(n ).
由示例可知 lim 1 0, lim n 1
n
n
1
趋向于
1.
9
再观察数列 1, 1, 1, 1, , 1 n1 , 的变化趋势
yn
1
12 345 67
1
注 意 小
n球
的 变 化
正在演示
10
再观察数列 1, 1, 1, 1, , 1 n1 , 的变化趋势
yn
演示结束
1
12 345 67
n
1
易见小球在上下摆动中, 其摆动的幅度始终 不变,因此,该数列不趋于任何常数
任意小的正数. 因此, 如果 n 增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定 的任意小的正数,则当n无限增大时, xn无限接近于常数a.
16
lim
n
xn
a
当n无限增大时, xn无限接近于a
当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 .
当n无限增大时, |xn-a|可以任意小要, 多小就能有多小.
减数列统称为单调数列．
4
定义3 若存在M＞0，使得对一切xn,n=1,2,…，都 有｜xn｜≤M，则称数列｛xn｝是有界的，否则称{xn} 是无界的． xn ≤M的充要条件是-M≤xn≤M,即xn∈[-M,M]. 几何意义：所谓{xn}有界，就表示存在一个关于原点 对称的区间[-M,M]，使得所有的xn均落在这一对称区 间内.
n n
n n 1
(1)n1 , 2n 极限不存在
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2、数列极限的描述性定义：
对于数列{ xn }, 当 n 时，数列{xn }无限接近
于一个确定的常数a ，则常数a叫数列 { xn }的极限.
或者说数列{ xn }收敛于 a.
记作：lim n
xn
a,
或者记为：当n
时，xn
a.
如：当 n 时,
只有这样,才能保证xn a的无限性. 另一方面: 又具有相对的固定性，即一旦给出,
第二章 极限与连续
1
第一节 数列的极限
一、数列的概念 二、数列的极限 三、收敛数列的性质
2
一、数列的概念
数列：按照下标从小到大的顺序排列起来的一列数
x1, x2, x3,..., xn ,...
简记为数列{xn}.
如
1 2n
:
1 2
,
1 4
,
1 8
...,
1 2n
,...
注意 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一
11
最后,观察一下数列 2,4,6,8, ,2n, 的变化趋势.
yn
12
10
正
8
在
演
6
示
4
2
n
1 23 4 56 7
12
最后,观察一下数列 2,4,6,8, ,2n, 的变化趋势.
yn
12
10
演
8
示
6
结
束
4
2
n
1 23 4 56 7
显见小 球随着 n
的不断增 大愈来愈 向上移动, 永无止径, 因此, 数 列 2n随着 n 的增大, 趋向于无 穷大.
3 4
5
1
3
的 变
2
化
1 234 567 8
n
正在演示
8
可见数列
1 , 2 , 3 , 4 , 2345
, n , n1
的变化趋势如下
f (n)
演示结束
1
4
2
3 4
5
1
3
2
6 5
6
7
8
7
8
9
1 234 567 8
n
从该数列的演示易见, 随着 n的不断增大, 小
球越来越接近于直线
f (n) 1
,
所以数列
时，有 xn
0＜ 1 ; 1000
0＜ 1 100
;
给定
1 10000
,只要
n
10000 时，有
xn
0＜ 1 10000
;
给定 0, 只要 n N 时， 有 xn 0＜ε成立.
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3、数列极限的精确性定义
定义：如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在
正数N , 使得对于n N 时的一切 xn ,不等式 xn a
234

n
f (n)
演示结束
1
1
1
2
1
3
1
4
1 5
1 6
1 7
n
12 34 5 67 8
从以上演示可见: 小红球随着 n的不断增大,
越来越靠近横轴,
因此数列
1 n
趋向于零.
7
再观察数列
1 , 2 , 3 , 4 , , n ,
2345
n1
的变化趋势
f (n)
注
1
意
6
7
8
4
7
8
9
小 球
6 5
2
1 0; 或者记为 lim 1 0.
n
n n
否则，称数列没有极限,或者说数列是发散的.
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当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a. 当n无限增大时, xn无限接近于a 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小,要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的
动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .
x3 x1 x2 x4 xn 2 数列可看作整标函数 xn f (n).
3
定义2 若数列{xn}满足
x1≤x2≤…≤xn≤…，
则称{xn}是单调递增数列．
如果
x1≥x2≥…≥xn≥…，
则称{xn}是单调递减数列．
如果上述不等式中等号都不成立，则称{xn}是严格单 调递增数列或严格单调递减数列．单调递增和单调递
当n增大到一定程度以后,事先给定的任意小的数 ，
|xn-a|能小于它.
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如：当
n
时, 1 n
0或者记为
lim
n
1 n
0
问题: 如何用数学语言刻划它?
由于 xn a
1 0 n
1 111 , , , n 10000
给定 给定
1, 100
1, 1000
由
1 n
1 100
,
只要n 100
只要n 1000 时，有 xn