第二章-极限与连续--基础练习题(含解答)
第二章极限习题及答案：函数的连续性
函数的连续性分段函数的极限和连续性例 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<=)21( 1)1( 21)10( )(x x x x x f（1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？ （2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数）x f (的连续区间．分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续．解：（1）1lim )(lim 11==--→→x x f x x11lim )(lim 11==++→→x x x f∴1)(lim 1=→x f x函数）x f (在点1=x 处有极限． （2）)(lim 21)1(1x f f x →≠=函数）x f (在点1=x 处不连续．（3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）．说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0x f x f x f x x x x x x →→→+-=才存在．函数的图象及连续性例 已知函数24)(2+-=x x x f ，（1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；（2）求）x f (的不连续点0x ；（3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数．分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0x f x x →，再让)(lim )(00x f x f x x →=即可．解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ． 因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22,当2≠x 时，.224)(2-=+-=x x x x f其图象如下图．（2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ． （3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 22-=-=-→-→x x f x x因此，将）x f (的表达式改写为⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-=)2(4)2(24)(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数．说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．利用函数图象判定方程是否存在实数根例 利用连续函数的图象特征，判定方程01523=+-x x 是否存在实数根．分析：要判定方程0)(=x f 是否有实根，即判定对应的连续函数)(x f y =的图象是否与x 轴有交点，因此只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可． 解：设152)(3+-=x x x f ，则）x f (是R 上的连续函数．又038)3(,1)0(<-=-=f f ，因此在[]0,3-内必存在一点0x ，使0)(0=x f ，所以0x 是方程01523=+-x x 的一个实根．所以方程01523=+-x x 有实数根．说明：作出函数)(x f y =的图象，看图象是否与x 轴有交点是判别方程0)(=x f 是否有实数根的常用方法，由于函数152)(3+-=x x x f 是三次函数，图象较难作出，因此这种方法对本题不太适用．函数在区间上的连续性例 函数24)(2--=x x x f 在区间（0，2）内是否连续，在区间[]2,0上呢？分析：开区间内连续是指内部每一点处均连续，闭区间上连续指的是内部点连续，左点处右连续，右端点处左连续．解：224)(2+=--=x x x x f （R ∈x 且2≠x ）任取200<<x ，则)(2)2(lim )(lim 0000x f x x x f x x x x =+=+=→→∴ )(x f 在（0，2）内连续．但)(x f 在2=x 处无定义，∴ )(x f 在2=x 处不连续． 从而)(x f 在[]2,0上不连线说明：区间上的连续函数其图象是连续而不出现间断曲线．函数在某一点处的连续性例 讨论函数)0()11lim()(+∞<≤⋅+-=∞→x x xx x f nnn 在1=x 与21=x 点处的连续性分析：分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．明确讨论对象，确立分类标准，正确进行分类，以获得阶段性的结论，最后归纳综合得出结果，是分类讨论的实施方法．本题极限式中，若不能对x 以1为标准，分三种情况分别讨论，则无法获得)(x f 的表达式，使解答搁浅．讨论)(x f 在1=x 与21=x 点处的连续性，若作出)(x f 的图像，则可由图像的直观信息中得出结论，再据定义进行解析论证．由于)(x f 的表达式并非显式，所以须先求出)(x f 的解析式，再讨论其连续性，其中极限式中含n x ，故须分类讨论．解：（1）求)(x f 的表达式：①当1<x 时，x x x xxx f nn nn =⋅+-=⋅+-=∞→∞→0101lim 1lim 1)(②当1>x 时，x x x xx x f n nx -=⋅+-=⋅+-=∞→10101)1(1)1(lim )(③当1=x 时，01111lim)(=⋅+-=∞→x x f nn x∴⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<-=<≤=x x x x x f 1,1,010,0)(（2）讨论)(x f 在1=x 点处的连续性：1)(lim )(lim ,1lim )(lim 1111-=-===++→→-→-→x x f x x f x x x x∴)(lim 1x f x +→不存在，)(x f 在1=x 点处不连续（3）讨论)(x f 在21=x 点处的连续性：21lim )(lim ,21lim )(lim 21212121====-+--→→→→x x f x x f x x x x21lim )(lim ,21lim )(lim 21212121====-+--→→→→x x f x x f x x x x∴)21(21)(lim 21f x f x ==→，)(x f 在21=x 点处连续．根据函数的连续性确定参数的值例 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+0,0,)1()(3x a x x x f x 在0=x 处连续，试确定a 的值解：x x x x x f 3)1(lim )(lim +=→→,)0(,)1(lim 3310a f e x x x ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→ 欲)(x f 在0=x 处连续，必须使)0()(lim 0f x f x =→，故3e a =说明：利用连续函数的定义，可把极限转化为函数值求解．。
高等数学（林伟初）习题详解习题详解-第2章极限与连续
习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限：(1) 1n nx n =+ ;(2) 2(1)n n x =--；(3) 13(1)n n x n =+-；(4) 211n x n =-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+ 所以lim 1n n x →∞=。
(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。
(3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+- 所以lim 3n n x →∞=。
(4) 12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n=-=-=-=-=- 所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ;(2)有界数列一定收敛；(3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。
(2) 错误 例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。
(3) 正确。
(4) 错误 例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。
*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) 1(1)lim1n n n n-→∞+-=;(2) 222lim 11n n n n →∞-=++； (3) 323125lim-=-+∞→n n n证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可，所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=.(2) 对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n n ε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可，所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，总有22211n n n ε--<++，所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3) 对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+.因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n .习题2-2 1. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1) 21limx x →∞;(2) -lim xx e →∞；(3) +lim xx e-→∞；(4) +lim cot x arc x →∞;(5) lim 2x →∞;(6) 2-2lim(1)x x →+；(7) 1lim(ln 1)x x →+；(8) lim(cos 1)x x π→-解：(1) 21lim0x x →∞= ;(2) -lim 0xx e →∞=；(3) +lim 0xx e -→∞=；(4) +lim cot 0x arc x →∞=;(5) lim 22x →∞= ;(6) 2-2lim(1)5x x →+=；(7) 1lim(ln 1)1x x →+=；(8) lim(cos 1)2x x π→-=-2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件(C ) 充要条件(D ) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。
极限与连续练习题及解析
极限与连续练习题及解析在数学课上，我们经常会遇到一些有关于极限与连续的练习题。
这些题目不仅能够帮助我们巩固对极限与连续的理解，还能提高我们解决问题的能力。
在本文中，我将为大家分享一些关于极限与连续的练习题及解析。
题目一：计算极限求解以下极限：1. $$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$$解析：将被除数进行因式分解得：$$\lim_{x\to 2}\frac{(x+2) \cdot (x-2)}{x-2}$$最后得到：$$\lim_{x\to 2}(x+2)$$代入极限的定义，得到结果为：$$4$$题目二：证明函数连续证明下列函数在指定区间上连续：1. 函数$f(x)=\sqrt{x}$在区间$[0, +\infty)$上连续。
首先，我们需要证明$f(x)=\sqrt{x}$在$[0, +\infty)$上存在。
由于$x \geq 0$，所以$\sqrt{x}$是有定义的。
接下来，我们需要证明对于任意给定的$\varepsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < |x-a| <\delta$时，$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\varepsilon$。
根据不等式$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<|\sqrt{x}+\sqrt{a}|$，可以得到$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\cdot\frac{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}{|\sqrt{x}-\sqrt{a}|}$$进一步化简得：$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\frac{|\sqrt{x}^2-\sqrt{a}^2|}{|\sqrt{x}-\sqrt{a}|}$$继续化简得：$$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\frac{|x-a|}{|\sqrt{x}+\sqrt{a}|}$$由于$\sqrt{x}+\sqrt{a}$在$x$趋于$a$时不等于0，所以存在一个正数$M$，使得$|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<M|x-a|$。
第二章-极限与连续--基础练习题(含解答)
第二章 极限与连续 基础练习题（作业）§2.1 数列的极限一、观察并写出下列数列的极限：1．4682,,,357极限为1 2．11111,,,,,2345--极限为03．212212⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩n nn nnn a n 为奇数为偶数极限为1§2.2 函数的极限一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞xx e极限为零 2．2lim tan x x π→无极限3．lim arctan →-∞x x极限为2π-4．0lim ln x x +→ 无极限，趋于-∞二、设2221,1()3,121,2x x f x x x x x x +⎧⎪=-+<⎨⎪->⎩，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？211lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11lim ()lim(21)3x x f x x --→→=+= 1lim () 3.x f x →∴=222lim ()lim(1)3x x f x x ++→→=-=；222lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2lim ()x f x →∴不存在。
三、设()111xf x e=+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在．()101lim lim 01x x xf x e ++→→==+()11lim lim 11x x x f x e--→→==+lim ()x f x →∴不存在。
四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在§2.3 无穷小量与无穷大量一、判断对错并说明理由： 1．1sinx x是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。
《高等数学一》极限与连续历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析)
第二章极限与连续[单选题]1、若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（）A、0B、C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.根据高阶无穷小的定义，有.[单选题]2、与都存在是函数在点处有极限的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.[单选题]3、（）.A、B、1C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]4、如果则（）.A、0B、1C、2D、5【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】根据重要极限,[单选题]5、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】分子分母同除以，即[单选题]6、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、设，则（）.A、B、2C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、当时，与等价的无穷小量是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】由于故与等价,推广，当时，[单选题]9、时，与等价的无穷小量是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】由于，故与等价,推广，当时，[单选题]10、函数的间断点是（）.A、x=6、x=-1B、x=0、x=6C、x=0、x=6、x=-1D、x=-1、x=0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由于, 所以的间断点是x=0，x=6，x=-1.[单选题]11、设,则是的（）.A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.[单选题]12、计算（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]13、计算（）.A、B、C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、（）.A、1B、﹣1C、2D、﹣2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、下列各式中正确的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】A，当时，极限为，错误；B，，错误；C，，错误，D正确. [单选题]16、函数的间断点个数为（）.A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在x=0和x=1处，无定义，故间断点为2个. [单选题]17、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）A、B、C、D、arctan x【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，.[单选题]18、（）A、0B、1C、不存在，但不是∞D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数，则x=0是f(x)的( )A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】故为可去间断点.[单选题]20、（）.A、-1B、2C、1D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】为有界函数，故原式=.[单选题]21、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]22、下列极限存在的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】当x趋近于0时，为有界函数，故极限存在. [单选题]23、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，，，不存在,[单选题]24、极限=()A、0B、2/3C、3/2D、9/2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]25、函数f(x)=的所有间断点是()A、x=0B、x=1C、x=0，x=-1D、x=0，x=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】 x=1时，分母为0，无意义。
习题详解-第2章-极限与连续_
习题详解-第2章-极限与连续习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1)1n nx n =+ ; (2)2(1)nn x =--；(3) 13(1)nnxn=+-； (4)211n x n =-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n nx xx x x n =====+ 所以lim 1nn x→∞=。
(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。
(3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x xx x n=-=+=-=+=+-所以lim 3nn x→∞=。
(4) 12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=- 所以lim 1nn x→∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。
(2) 错误 例如数列{}(-1)n有界，但它不收敛。
(3) 正确。
有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件 解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。
3.()00f x -与()0f x+都存在是函数()f x 在点x 0处有极限的( A )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件 解：若函数()f x 在点x 0处有极限则()0f x -与()0f x+一定都存在。
4． 设()21;0,;0,x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩ 作出()f x 的图像；求()0lim x f x +→与()0lim x f x -→；判别()0lim x f x →是否存在?解：()00lim lim 0x x f x x ++→→==，()200lim lim(1)1x x f x x--→→=+=，故()0lim x f x →不存在。
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【最新整理，下载后即可编辑】习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1n n x n =+ ; (2)2(1)n n x =--；(3)13(1)nn x n=+-； (4)211n x n=-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+ 所以lim 1n n x →∞=。
(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。
(3)1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+-所以lim 3n n x →∞=。
(4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=- 所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。
(2) 错误 例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。
(3) 正确。
(4) 错误 例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。
*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) 1(1)lim1n n n n-→∞+-=;(2) 222lim 11n n n n →∞-=++； (3)323125lim -=-+∞→n n n证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可，所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=. (2) 对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n nε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可，所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，总有22211n n n ε--<++，所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3)对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+.因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n . 习题2-21. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1)21lim x x →∞ ; (2) -lim x x e →∞； (3) +lim x x e -→∞； (4) +lim cot x arc x →∞; (5) lim2x →∞;(6) 2-2lim(1)x x →+； (7) 1lim(ln 1)x x →+； (8) lim(cos 1)x x π→- 解：(1)21lim 0x x →∞= ;(2) -lim0x x e →∞=；(3) +lim 0x x e -→∞=； (4) +lim cot 0x arc x →∞=; (5) lim 22x →∞= ;(6) 2-2lim(1)5x x →+=； (7) 1lim(ln 1)1x x →+=； (8) lim(cos 1)2x x π→-=- 2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。
高等数学习题详解-第2章 极限与连续
习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限：(1) 1n nx n =+ ;(2) 2(1)n n x =--；(3) 13(1)n n x n =+-； (4) 211n x n =-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+ 所以lim 1n n x →∞=。
(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。
(3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+- 所以lim 3n n x →∞=。
(4) 12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n=-=-=-=-=- 所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。
(2) 错误 例如数列{}(-1)n有界，但它不收敛。
(3) 正确。
(4) 错误 例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。
*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) 1(1)lim1n n n n-→∞+-=;(2) 222lim 11n n n n →∞-=++； (3) 323125lim-=-+∞→n n n证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可，所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=.(2) 对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n n ε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可，所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，总有22211n n n ε--<++，所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3) 对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+.因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n .习题2-2 1. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1) 21limx x →∞ ;(2) -lim xx e →∞；(3) +lim xx e-→∞；(4) +lim cot x arc x →∞;(5) lim 2x →∞;(6) 2-2lim(1)x x →+；(7) 1lim(ln 1)x x →+；(8) lim(cos 1)x x π→-解：(1) 21lim0x x →∞= ;(2) -lim 0xx e →∞=；(3) +lim 0xx e-→∞=；(4) +lim cot 0x arc x →∞=;(5) lim 22x →∞= ;(6) 2-2lim(1)5x x →+=；(7) 1lim(ln 1)1x x →+=；(8) lim(cos 1)2x x π→-=-2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。
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第二章 极限与连续 基础练习题（作业）§2.1 数列的极限一、观察并写出下列数列的极限：1．4682,,,357极限为1 2．11111,,,,,2345--极限为03．212212⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩n nn nnn a n 为奇数为偶数极限为1§2.2 函数的极限一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞xx e极限为零 2．2lim tan x x π→无极限3．lim arctan →-∞x x极限为2π-4．0lim ln x x +→ 无极限，趋于-∞二、设2221,1()3,121,2x x f x x x x x x +⎧⎪=-+<⎨⎪->⎩，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？211lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11lim ()lim(21)3x x f x x --→→=+= 1lim () 3.x f x →∴=222lim ()lim(1)3x x f x x ++→→=-=；222lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2lim ()x f x →∴不存在。
三、设()111xf x e=+，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在．()101lim lim 01x x xf x e ++→→==+()11lim lim 11x x x f x e--→→==+lim ()x f x →∴不存在。
四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在§2.3 无穷小量与无穷大量一、判断对错并说明理由： 1．1sinx x是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。
当0x →时，1sin0x x →；当1x →时，1sin sin1x x→不是无穷小量。
2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量．对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。
3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量．对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。
二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量：1．221x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。
2．1ln tan x,k Z ∈()2x k ππ-→+时，tan x →+∞，则ln tan x →+∞，从而+10ln tan x→为无穷小量；x k π+→时，tan 0x +→，则ln tan x →-∞，从而10ln tan x-→为无穷小量；4x k ππ→+时，tan 1x →，则ln tan 0x →，从而1ln tan x→∞为无穷大量；三、当0+→x 时，2x 们之间最高阶和最低阶的无穷小量分别是谁？200lim lim 01x x x ++→→==，所以当0+→x 时，2x2300lim lim 0x x x ++→→==，所以当0+→x 时，2x300limlim 0x x x x ++→→==，所以当0+→x 的高阶无穷小量。
通过比较可知，当0+→x 时，2x 2x 的高阶无穷小量，因此2x 是三者中最高阶的无穷小量。
2x 的高阶无穷小量，四、利用无穷小量与极限的关系证明：0lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→=．证明：设0lim ()x x f x A →=，0lim ()x x g x B →=，则由无穷小量与极限的关系，()f x A α=+，()g x B β=+，其中,αβ为0x x →时的无穷小量。
则0lim ()()x x f x g x →=0lim()()lim()x x x x A B AB B A αβαβαβ→→++=+++AB =lim ()lim ()x x x x f x g x →→=§2.4 极限的性质与运算法则一、如果0lim ()0→=>x x f x A ，则存在0x 的空心邻域，使得（1）（2）（4）成立．（1）()f x 有界；（2）()f x 非负；（3）()f x 落入其中；（4）|()|ε-<f x A ，>0ε∀． 二、求下列函数的极限1．113(2)lim 3(2)n nn n n ++→∞+-+- 2．()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋯+⋅+⋅∞→11321211lim n n n 3．2134lim 1x x x x →+-- 4．3113lim 11x x x →-⎛⎫- ⎪++⎝⎭5．)lim 2x xx →+∞6．(lim x x →∞+原式lim x →∞=原式x =14x -==2003x === 三、求,a b ，使得21lim 0.1x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭2211lim lim 0111x x bx ax a b x ax ax bx b x x x x→∞→∞+----+----===++原式 必有1()a =→∞否则原式；同时有0(0)a b +=→否则原式；四、若3214lim1x x ax x b x →---+=+为有限值，求,.a b 321lim 404x x ax x a →---+=⇒=由题意必有（否则商的极限不可存在）321144(1)(1)(4)lim =lim 1011x x x x x x x x b b x x →-→---++--==⇒=++原式§2.5 极限存在性定理与两个重要极限一、判断题：1．1sin lim1x xx→=错2．1sin(1)lim11x x x →-=-对 3．sin lim1x xx→∞=错 4．1lim sin 1x x x→∞=对5．01lim sin1x x x→=错6．01lim(1)xx e x→+=对7．当0x →时，sin ,arcsin ,tan ,arctan ,ln(1),1xx x x x x e +-都是x 的等价无穷小．对 二、求下列函数极限：1．0sin 2lim tan 3x x x → 2．22sin(4)lim2x x x →--sin 220tan 33x xx x x→，220sin(4)4x x x →--，00sin 222lim lim .tan 333x x x x x x →→∴==224lim4.2x x x →-∴==-原式 3．0lim arctan x x x → 4．1lim 1xx x x →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭0arctan x xx →，2112222lim 1111x x x x -→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦00lim lim 1.arctan x x x x x x →→∴==21122222lim 11.11x x e x x -→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++= ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦5．111lim xx x-→111lim(11)xx x -→=+-6．22lim 1xx x x →∞⎛⎫ ⎪-⎝⎭lim 11x xx x x x x →∞⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭ 1111lim(11).x x x e ---→=+-=111lim 11 1.xxx ee x x ---→∞⎛⎫⎛⎫=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．2301limln(1)x x x x x→+++ 8． 0sin(sin )lim ln(1)x x x →+2323ln(1)(0)x x x x x x x +++++→sin(sin )sin ;ln(1)(0)x x x x x +→2323001lim ln(1)lim 1x x x x x x x x x x→→++∴+++==00sin(sin )sin limlim 1.ln(1)x x x x x x →→∴==+ 三、求极限22212lim()12n nn n n n n n n →∞+++++++++．22222121212121n n nn n n n n n n n n n n n ++++++≤+++≤++++++++++2212(1)/21limlim ,2n n n n n n n n n n n →∞→∞++++==++++2212(1)/21lim lim .112n n n n n n n n n →∞→∞++++==++++且由两面夹法则222121lim().122n n n n n n n n n →∞+++=++++++ 四、设222111123n u n=+++⋅⋅⋅+，证明数列{}n u 的极限存在．1210,{}(1)n n n u u u n +-=>∴+为单调递增数列. 22222111111112323n u n n=+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+又 由单调有界定理，数列{}n u 的极限存在.五、设0>a ，10>x，且有11()2+=+n n nax x x ，(1,2,)=n ，证明数列{}n x 的极限存在，并求极限．{}11()2n n n nax x x x +=+≥∴有下界. {}2111()()0,22n n n n n nna x a x x x x x x +--=-=≤∴又单调递减(从第二项起).由单调有界定理，数列{}n x 的极限存在1lim ()2n n a x A A A A A→∞==+=若，有，可解得 §2.6 函数的连续性一、填空题 1．设函数()()xx x f -=1ln ，若补充()=0f -1可使()x f 在0=x 处连续． 2．1=x 是函数23122+--=x x x y 的第1类间断点，且为可去间断点．3．0=x 是函数tan =xy x的第1类间断点，且为可去间断点． ()⋯±±==2,1k k x π是函数tan =xy x的第2类间断点，且为无穷间断点．()⋯±±=+=2,12k k x ππ是函数tan =x y x 的第1类间断点，且为可去间断点．4．a x =是函数ax a x y --=的第1类间断点，且为跳跃间断点．5．0=x 是函数xy 1cos2=的第2类间断点． 二、研究下列各函数的连续性，找出其间断点，并判断其类型：1．221cos ,0()1,0xx f x x x x -⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩22001cos 1lim lim(1)12x x x x x -+→→-=+=；，0x ∴=为第一类跳跃间断点。