北师大版2020九年级数学上册第一章特殊的平行四边形单元综合优生测试题B(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册第一章特殊的平行四边形单元综合优生测试题B （附答案详解）1．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若∠AOB=60°，AB=3，则对角线BD 的长是（ ）A ．6B ．3C ．5D ．42．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 边AB 、CD 上的点，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使A 、D 分别落在A '和D '处，若150∠=︒，则2∠的度数是( )A ．65︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒3．正方形A 1B 1C 1A 2，A 2B 2C 2A 3，A 3B 3C 3A 4，…，按如图所示的方式放置，点A 1A 2A 3，…和点B 1B 2B 3，…分别在直线y=x +1和x 轴上．则点C 2020的纵坐标是（ ）A ．22020B ．22019C ．220201-D ．220191-4．在Rt △ABC 中, D 为斜边AB 的中点，且3BC =，AB=5，则线段CD 的长是( )A ．2 B ．1.5 C ．52D ．4 5．如图,在矩形ABCD 中,AF⊥BD 于E,AF 交BC 于点F,连接DF,则图中面积相等但不全等的三角形共有( )6．下列命题中，正确的的是（）A．矩形的对角线互相垂直B．菱形的对角线相等C．矩形的四个角不定相等D．正方形的对角线互相垂直且相等7．如图所示，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD，有下面4个结论：①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO=CO；④AB⊥BC．其中正确的结论有几个（）A．4个B．3个C．2个D．1个∠的角平分线交AD于F点，若8．如图，矩形ABCD中，E是BC中点，作AECAD=，则FD的长度为（）3AB=，8A．2B．3C．4D．59．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（）A．AB=AD B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．AC⊥BD 10．如图所示,在矩形纸片ABCD中,点M为AD边的中点,将纸片沿BM,CM折叠,使点A落在A1处,点D落在D1处.若∠1=30°,则∠BMC的度数为____.11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，E ，F 分别为边AB ，CD 上一动点，AE ＝CF ，分别以DE ，BF 为对称轴翻折△ADE ，△BCF ，点A ，C 的对称点分别为P ，Q ．若点P ，Q ，E ，F 恰好在同一直线上，且PQ ＝1，则EF 的长为_____．12．如图，在矩形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，过点P 作//EF BC ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连结PB ， PD .若25PB =，6PD =，图中阴影部分的面积为9，则矩形ABCD 的周长为_______.13．如图，在正方形ABCD 中，画一个最大的正六边形EFGHIJ ，则BGF ∠的度数是________ ．14．如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），∠DAM=45°，点F 在射线AM 上，且2AF BE =，CF 与AD 相交于点G ，连接EC ，EF ，EG ，则下列结论：①∠ECF=45°；②AEG ∆的周长为212a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；③222BE DG EG += ；④EAF ∆的面积的最大值218a .其中正确的结论是____.（填写所有正确结论的序号）15．在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝6，当BD ＝____时，四边形ABCD 是菱形．16．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点T ，交FG 于点P ，则GT 的长为_____．17．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，则高AE 为_______cm ．18．菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则较长的对角线的长度为___________。
19．如图，有下列几组条件：①AC ⊥BD ，OC ＝OA ；②∠1＝∠2＝∠3＝∠4；③OA＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ；④AB ＝BC ＝CD ，AC ⊥BD ．其中一定能判定四边形ABCD 为菱形的有_________________．(填序号)20．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，连接AC 、BD ，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，连接MN(1)求证：MN ⊥BD ．(2)若∠DAC=62°，∠BAC=58°，求∠DMB21．如图，在菱形ABCD 中，120,B E F ∠=︒、分别是边BC CD 、上的点，且满足.CE CF =连接EF ．（1）若1,3,CE AB ==求AF 的长；（2）取AF 的中点,G 连接,EG DG 、求证：EG DG ⊥．22．如图，E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的中点.（1） 求证：△ABE ≌△CDF ；（2） 当∠BAC= °时，四边形AECF 是菱形. 23．已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于点E 、F .（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB =6，BC =8，求EF 的长．24．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)请判断△CMN 的形状，并说明理由；(2)如果MC =3ND ，CD =4，求线段MN 的长．25．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 边上的一点，点E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连接BF ．（1）判断并证明四边形AFBD 的形状；（2）当ABC ∆满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？请说明理由．26．已知四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ．（1）如图1，若四边形ABCD 是矩形，且DE⊥CF．证明:·DE CD =·CF AD ；（2）如图2，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得·DE CD =·CF AD 成立？并证明你的结论；（3）如图3，若BA=BC= 3，DA=DC= 4，∠BAD= 90°，DE⊥CF．求DE CF的值．27．（12分）如图，正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O ．（1）如图（1），当∠GOD=90°，①求证：DE=GH ； ②求证：GD+EH ≥DE ；（2）如图（2），当∠GOD=45°，边长AB=4，HG=2，求DE 的长． 28．（1）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是正方形，且D （0，2），点E 是线段OB 延长线上一点，M 是线段OB 上一动点（不包括点O 、B ），作MN ⊥DM ，垂足为M ，且MN=DM ．设OM=a ，请你利用基本活动经验直接写出点N 的坐标______（用含a 的代数式表示）；（2）如果（1）的条件去掉“且MN=DM”，加上“交∠CBE 的平分线与点N”，如图，求证：MD=MN ．如何突破这种定势，获得问题的解决，请你写出你的证明过程．（3）在（2）的条件下，如图，请你继续探索：连接DN 交BC 于点F ，连接FM ，下列两个结论：①FM 的长度不变；②MN 平分∠FMB ，请你指出正确的结论，并给出证明．29．如图，直线28y x =-+分别交x 轴，y 轴于点A ，B ，直线132y x =+交y 轴于点C ，两直线相交于点D ．（1）求点D 的坐标；（2）如图2，过点A 作//AE y 轴交直线132y x =+于点E ，连接AC ，BE ．求证：四边形ACBE 是菱形；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 在线段BC 上，点G 在线段AB 上，连接CG ，FG ，当CG FG =，且CGF ABC 时，求点G 的坐标．参考答案1．A【解析】【分析】【详解】根据矩形对角线相等且互相平分的性质可得OA=OC=OB=OD=12AC=12BD,又因∠AOB=60°，所以△ABO为等边三角形；根据等边三角形的性质可得OA=OB=AB=3，所以对角线BD=2OB=6.故本题答案为A.考点：矩形的性质；等边三角形的判定及性质.2．A【解析】【分析】由折叠的性质得到∠AEF=∠A′EF，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】∵矩形ABCD沿EF折叠，使A、D分别落在A'和D'处，∴∠AEF=∠A′EF，∵∠1=50°，∴∠AEF=∠A′EF=18012︒-∠=65°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠2=∠AEF=65°，故选A．【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．3．B【解析】【分析】由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，即可得到C1，C2，C3，C4，C5……的纵坐标为1,2,4,8, …，根据数列的特征规律，写出C n,再求出C2020即可．【详解】解：∵点A1，A2，A3，…在直线y=x+1∴x=0时，y=1;y=0时x=-1;由此根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质可知：A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，∵A1和C1，A2和C2，A3…和C3，A4和C4…的纵坐标相同，∴C1，C2，C3，C4，C5，…C n的纵坐标分别为1，2，4，8，16，…2n−1，∴当n=2020时，C2020,= 2n−1=22019∴C2020纵坐标为：22019故选：B．【点睛】此题考查了一次函数的解析式上的点的坐标、等腰直角三角形和正方形的性质．此题难度适中，属于规律型题目，注意掌握数形结合思想的应用．4．C【解析】分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=12 AB．详解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，∴CD=12AB=12×=52cm.故选C.点睛：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质及勾股定理的应用，掌握性质是解答本题的关键.5．D【解析】【分析】根据要找出三角形面积相等但不全等的三角形，利用三角形面积公式等底等高面积相等，即可得出答案．【详解】∵SABD 与SADF，底边为AD，高为AB，∴SABD =SADF∴SABD −SADE=SADE−SADE，∴SABE与S DEF，∵S ABF与SBDF，底边为BF，高为AB，∴S ABF=S BDF，SADF 与SBDC，等底，等高，∴SADF =SBDC，∴图中能确定面积相等但不全等的三角形共有4对，故选D.【点睛】此题考查矩形的性质，全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理. 6．D【解析】【分析】根据特殊四边形的性质即可求出答案．【详解】解：A、矩形的对角线相等，但不一定垂直，错误；B、菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，错误；C、矩形的四个角都是直角，相等，错误；D、正确．故选：D．【点睛】本题考查了特殊四边形的性质．7．B【解析】试题分析：根据轴对称的性质得到直线l垂直平分BD，则根据线段垂直平分线的性质得AB=AD，CD=CB，由于AB=CD，则AB=BC=CD=BC，于是可判断四边形ABCD为菱形，然后根据菱形的性质对4个结论进行判断．解：∵直线l是四边形ABCD的对称轴，∴直线l垂直平分BD，∴AB=AD，CD=CB，∵AB=CD，∴AB=BC=CD=BC，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，OA=OC，所以①②③正确．故选B．考点：轴对称的性质．8．B【解析】【分析】求出∠AFE=∠AEF，推出AE=AF，求出BE，根据勾股定理求出AE，即可求出AF，即可求出答案【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，AD∥BC，∴∠AFE=∠FEC，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF=∠FEC，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF，∵E为BC中点，BC=8，∴BE=4，在Rt△ABE中，AB=3，BE=4，由勾股定理得：AE=5，∴AF=AE=5，∴DF=AD−AF=8−5=3【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形中利用勾股定理求边长．9．C【解析】【分析】根据菱形的判定定理分别进行分析即可．【详解】A、由邻边相等的平行四边形是菱形，A选项可以判断这个平行四边形是菱形B、由AB//CD可得∠BAC=∠DCA,及∠BAC=∠DAC可得∠DAC=∠DCA可得AD=CD由邻边相等的平行四边形是菱形，B选项可以判断这个平行四边形是菱形C、由∠BAC=∠ABD可得OA=OB,则AC=BD，可得这个四边形是矩形，C选项不可以判断这个平行四边形是菱形D、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，D选项可以判断这个平行四边形是菱形故答案选C【点睛】本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键.10．105°【解析】【分析】根据∠1=30°，得∠A1MA+∠DMD1=180°-30°=150°，根据折叠的性质，得∠A1MB=AMB，∠D1MC=∠DMC，从而求解．【详解】由折叠,可知∠A1MB=AMB，∠D1MC=∠DMC.因为∠1=30°,所以∠A1MA+∠DMD1=180°-30°=150°所以∠AMB+∠DMC= ∠A1MA+∠DMD1= 12×150°=75°,所以∠BMC的度数为180°-75°=105°. 故答案为：105°本题考查的是矩形的折叠问题，理解折叠后的角相等是关键.11．5或133【解析】【分析】过点E 作EG DC ⊥，垂足为G ，首先证明DEF 为等腰三角形，然后设AE CF x ==，然后分两种情况求解：I.当QF 与PE 不重叠时，由翻折的性质可得到21EF x =+，则1GF x =+， II. 当QF 与PE 重叠时，：EF ＝DF ＝2x ﹣1，FG ＝x ﹣1，然后在Rt EGF 中，依据勾股定理列方程求解即可．【详解】解：I.当QF 与PE 不重叠时，如图所示：过点E 作EG ⊥DC ，垂足为G ．设AE ＝FC ＝x ．由翻折的性质可知：∠AED ＝∠DEP ，EP ＝AE ＝FC ＝QF ＝x ，则EF ＝2x+1．∵AE ∥DG ，∴∠AED ＝∠EDF ．∴∠DEP ＝∠EDF ．∴EF ＝DF ．∴GF ＝DF ﹣DG ＝x+1．在Rt △EGF 中，EF 2＝EG 2+GF 2，即(2x+1)2＝42+(x+1)2，解得：x ＝2(负值已舍去)． ∴EF ＝2x+1＝2×2+1＝5．II. 当QF 与PE 重叠时，备用图中，同法可得：EF ＝DF ＝2x ﹣1，FG ＝x ﹣1，在Rt △EFG 中，∵EF 2＝EG 2+FG 2，∴(2x ﹣1)2＝42+(x ﹣1)2，∴x ＝83或﹣2(舍弃)， ∴EF ＝2x ﹣1＝133故答案为：5或133． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，依据勾股定理列出关于x 的方程是解题的关键．12．66238+【解析】 【分析】作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ，进而得到四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，继而可证明S △PEB =S △PFD ，然后根据勾股定理及完全平方公式可求38BE EP +=，36PF DF +=，进而求出矩形ABCD 的周长.【详解】解：作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ，则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，∴AM=PE=BN,AE=MP=DF,MD=PF=NC,BE=PN=FC,S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PBE =S △PBN ，S △PFD =S △PDM ，S △PFC =S △PCN ，∴S △DFP =S △PBE ，且S △DFP +S △PBE =9，∴1122EP BE PF DF ⨯=⨯，且11922EP BE PF DF ⨯+⨯=， ∴119222EP BE PF DF ⨯=⨯=， 即，9EP BE PF DF ⨯=⨯=.∵22220BE EP BP +==，22236PF DF PD +==，∴38BE EP +=，36PF DF +=，∴3836AB AD +=+，∴矩形ABCD 的周长= 2()AB AD +=66238+.故答案为：66238+.【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，完全平方公式，三角形的面积等知识，解题的关键是证明S △PEB =S △PFD .13．15°【解析】【分析】连接,,AC BD OG ．根据正方形、正六边形的性质，可得145︒∠=，260︒∠=，360︒∠=．． ∴75BGO ∠=，从而求出BGF ∠的度数. 【详解】解：连接,,AC BD OG ．则点O 是正方形和正六边形的中心，,F I 在BD 上．∴145︒∠=，260︒∠=，360︒∠=． ∴BGO 75︒∠=．∴BGF 4BGO 315︒∠=∠=∠-∠=．故答案为：15°.【点睛】本题考查正多边形和圆，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14．①④【解析】【分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可解决问题；②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可解决问题；④正确．设BE=x，则AE=a-x，AF=2x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．【详解】解：如图1，在BC上截取BH=BE，连接EH．∵BE=BH，∠EBH=90°，∴EH=2BE，∵AF=2BE，∴AF=EH，∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，∴∠FAE=∠EHC=135°，∵BA=BC，BE=BH，∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确，如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH，∵GH=DG+DH ，DH=BE ， ∴EG=BE+DG ，故③错误， ∴△AEG 的周长=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a ，故②错误， 设BE=x ，则AE=a-x ，AF=2x ，∴∴()222221111122244228EAFa a a S AE NF a x x x ax x a ∆⎛⎫⎛⎫=⋅=-=--+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当12x a =时，EAF ∆的面积有最大值，最大值是218a ，④正确； 故答案为：①④.【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.15．8【解析】【分析】连接对角线交于O,如果四边形ABCD 是菱形，则AC BD ⊥,则AO =3，根据勾股定理即可得出BD.【详解】连接对角线交于O,如果四边形ABCD 是菱形，则AC BD ⊥,则AO =3，勾股定理知BO =222253AB OA -=-=4，∴BD =2OB=8.故答案为8.【点睛】本题主要考查菱形的性质，利用勾股定理求边长.16．22【解析】【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的22倍求解即可．【详解】∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，∴∠ADB=∠CGE=45°，∴∠GDT=180°−90°−45°=45°，∴∠DTG=180°−∠GDT−∠CGE=180°−45°−45°=90°，∴△DGT是等腰直角三角形，∵两正方形的边长分别为4，8，∴DG=8−4=4，∴GT=22×4=22.故答案为22.【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质．关键是掌握正方形的对角线平分一组对角17．4.8【解析】试题分析：由四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，即可得AC⊥BD，OC=AC=3cm，OB=BD=4cm，然后由勾股定理求得BC的长，又由S菱形ABCD=AC•BD=BC•AE，即可求得答案．∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，∴AC⊥BD，OC=AC=3cm，OB=BD=4cm，∴（cm），∵S菱形ABCD=AC•BD=BC•AE，∴×6×8=5×AE ，∴AE=4.8（cm ）．考点：菱形的性质．18．8【解析】设对角线长分别是2a 、2b ，菱形周长为20，则菱形边长是5，∵菱形对角线互相垂直平分，∴a 2+b 2=AB 2， 菱形面积为24，即12（2a ）（2b ）=24． 解得a=4，b=3，所以对角线长为8，6。
北师大九年级上《第1章特殊平行四边形》单元测试含答案解析
《第1章 特殊平行四边形》一、选择题1．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ）A ．AB=BCB ．AC=BDC ．AC ⊥BD D ．AB ⊥BD2．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（ ）A ．（）2014B ．（）2015C ．（）2015 D ．（）2014二、填空题 3．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件 （只添一个即可），使▱ABCD 是矩形．4．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边△ADE ，则∠BED 的度数是 ．5．如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，第n 个正方形的边长为 ．6．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 度．7．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为 ．8．如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为 ．9．正方形OA 1B 1C 1、A 1A 2B 2C 2、A 2A 3B 3C 3，按如图放置，其中点A 1、A 2、A 3在x 轴的正半轴上，点B 1、B 2、B 3在直线y=﹣x+2上，则点A 3的坐标为 ．10．已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE=AD ，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么∠FAD= 度．11．如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是 （只填一个）．12．如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB 、BC 、CD 、DA 边上分别取点A 1、B 1、C 1、D 1，使AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=a ，在边A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1上分别取点A 2、B 2、C 2、D 2，使A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2=D 1D 2=A 1B 2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n 的面积为 ．13．如图，▱ABCD 中，AB ＞AD ，AE ，BE ，CM ，DM 分别为∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA 的平分线，AE 与DM 相交于点F ，BE 与CM 相交于点N ，连接EM ．若▱ABCD 的周长为42cm ，FM=3cm ，EF=4cm ，则EM= cm ，AB= cm ．三、解答题14．如图，在△ABC 中，AB=BC ，BD 平分∠ABC ．四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连接CE ．求证：四边形BECD 是矩形．15．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB 的面积是2．求证：四边形ABCD是矩形．16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED．（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．17．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．18．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．20．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．21．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．23．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．25．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．26．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．27．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．28．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2，求CE的长．29．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．30．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．《第1章 特殊平行四边形》参考答案与试题解析一、选择题1．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ）A ．AB=BCB ．AC=BDC ．AC ⊥BD D ．AB ⊥BD【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．【解答】解：A 、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD 是菱形，故不正确；B 、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD 是矩形，故正确；C 、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD 是菱形，故不正确；D 、无法判断．故选B ．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．2．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3、A 3B 3C 3D 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（ ）A ．（）2014B ．（）2015C ．（）2015D ．（）2014【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【解答】方法一：解：如图所示：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…∴D 1E 1=B 2E 2，D 2E 3=B 3E 4，∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°，∴D 1E 1=C 1D 1sin30°=，则B 2C 2=（）1，同理可得：B 3C 3==（）2，故正方形A n B n C n D n 的边长是：（）n ﹣1．则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是：（）2014． 故选：D ．方法二：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，∴D 1E 1=B 2E 2=，∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…∴∠E 2B 2C 2=60°，∴B 2C 2=， 同理：B 3C 3=×=…∴a 1=1，q=，∴正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长=1×．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．二、填空题3．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件AC=BD （只添一个即可），使▱ABCD 是矩形．【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】开放型．【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．【解答】解：添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．【点评】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了正方形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求出答案．5．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n﹣1．【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，=（）n﹣1．∴第n个正方形的边长an故答案为（）n﹣1．【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．6．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于65 度．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE全等，再利用三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，在△ABE与△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，∵∠CBF=20°，∴∠ABE=70°，∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，故答案为：65【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用全等三角形的判定和性质解答．7．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，再利用正方形和等边三角形的性质得出CE的长，进而得出△ABC的面积即可．【解答】解：过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图∵一个正方形和一个等边三角形的摆放，∴四边形DBEC是矩形，∴CE=DB=，∴△ABC的面积=AB•CE=×1×=，故答案为：．【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和等边三角形的性质得出BE和CE的长．8．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为 5 ．【考点】正方形的性质；三角形的面积；勾股定理．【分析】根据正方形性质得出AD=BC=CD=AB，根据面积求出EM，得出BC=4，根据勾股定理求出即可．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，故答案为：5．【点评】本题考查了三角形面积，正方形性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出BC 的长，难度适中．9．正方形OA 1B 1C 1、A 1A 2B 2C 2、A 2A 3B 3C 3，按如图放置，其中点A 1、A 2、A 3在x 轴的正半轴上，点B 1、B 2、B 3在直线y=﹣x+2上，则点A 3的坐标为 （，0） ．【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题；规律型．【分析】设正方形OA 1B 1C 1的边长为t ，则B 1（t ，t ），根据t 一次函数图象上点的坐标特征得到t=﹣t+2，解得t=1，得到B 1（1，1），然后利用同样的方法可求得B 2（，），B 3（，），则A 3（，0）．【解答】解：设正方形OA 1B 1C 1的边长为t ，则B 1（t ，t ），所以t=﹣t+2，解得t=1，得到B 1（1，1）；设正方形A 1A 2B 2C 2的边长为a ，则B 2（1+a ，a ），a=﹣（1+a ）+2，解得a=，得到B 2（，）；设正方形A 2A 3B 3C 3的边长为b ，则B 3（+b ，b ），b=﹣（+b ）+2，解得b=，得到B 3（，），所以A 3（，0）．故答案为（，0）．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．10．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD= 22.5 度．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质可得∠DAC=45°，再由AD=AE易证△ADF≌△AEF，求出∠FAD．【解答】解：如图，在Rt△AEF和Rt△ADF中，∴Rt△AEF≌Rt△ADF，∴∠DAF=∠EAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°，∴∠FAD=22.5°．故答案为：22.5．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求证Rt△AEF≌Rt△ADF是解本题的关键．11．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（只填一个）．【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】开放型．【分析】根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．【解答】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD ．故答案为：∠ABC=90°或AC=BD ．【点评】本题主要应用的知识点为：矩形的判定． ①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．12．如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB 、BC 、CD 、DA 边上分别取点A 1、B 1、C 1、D 1，使AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=a ，在边A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1上分别取点A 2、B 2、C 2、D 2，使A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2=D 1D 2=A 1B 2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n 的面积为 ．【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】首先在Rt △A 1BB 1中，由勾股定理可求得正方形A 1B 1C 1D 1的面积=，然后再在Rt △A 2B 1B 2中，由勾股定理求得正方形A 2B 2C 2D 2的面积=，然后找出其中的规律根据发现的规律即可得出结论．【解答】解：在Rt △A 1BB 1中，由勾股定理可知； ==，即正方形A 1B 1C 1D 1的面积=；在Rt △A 2B 1B 2中，由勾股定理可知：==；即正方形A 2B 2C 2D 2的面积= …∴正方形A n B n C n D n 的面积=．故答案为：．【点评】本题主要考查的是正方形的性质和勾股定理的应用，通过计算发现其中的规律是解题的关键．13．如图，▱ABCD 中，AB ＞AD ，AE ，BE ，CM ，DM 分别为∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA 的平分线，AE 与DM 相交于点F ，BE 与CM 相交于点N ，连接EM ．若▱ABCD 的周长为42cm ，FM=3cm ，EF=4cm ，则EM= 5 cm ，AB= 13 cm ．【考点】矩形的判定与性质；勾股定理的应用；平行四边形的性质；相似三角形的应用．【专题】综合题；压轴题．【分析】由条件易证∠AEB=∠AFD=∠DMC=90°．进而可证到四边形EFMN 是矩形及∠EFM=90°，由FM=3cm ，EF=4cm 可求出EM ．易证△ADF ≌△CBN ，从而得到DF=BN ；易证△AFD ∽△AEB ，从而得到4DF=3AF ．设DF=3k ，则AF=4k ．AE=4（k+1），BE=3（k+1），从而有AD=5k ，AB=5（k+1）．由▱ABCD 的周长为42cm 可求出k ，从而求出AB 长．【解答】解：∵AE 为∠DAB 的平分线，∴∠DAE=∠EAB=∠DAB ，同理：∠ABE=∠CBE=∠ABC ，∠BCM=∠DCM=∠BCD ，∠CDM=∠ADM=∠ADC ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD ，∠ABC=∠ADC ，AD=BC ．∴∠DAF=∠BCN ，∠ADF=∠CBN ．在△ADF 和△CBN 中，．∴△ADF≌△CBN（ASA）．∴DF=BN．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°．∴∠EAB+∠EBA=90°．∴∠AEB=90°．同理可得：∠AFD=∠DMC=90°．∴∠EFM=90°．∵FM=3，EF=4，∴ME==5（cm）．∵∠EFM=∠FMN=∠FEN=90°．∴四边形EFMN是矩形．∴EN=FM=3．∵∠DAF=∠EAB，∠AFD=∠AEB，∴△AFD∽△AEB．∴=．∴=．∴4DF=3AF．设DF=3k，则AF=4k．∵∠AFD=90°，∴AD=5k．∵∠AEB=90°，AE=4（k+1），BE=3（k+1），∴AB=5（k+1）．∵2（AB+AD）=42，∴AB+AD=21．∴5（k+1）+5k=21．∴k=1.6．∴AB=13（cm）．故答案为：5；13．【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性较强．三、解答题14．（2015•聊城）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC 于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE=AD，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．15．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB 的面积是2．求证：四边形ABCD是矩形．【考点】矩形的判定；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】证明题．【分析】首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后根据△ABE的面积得到整个四边形的面积和AD的长，根据平行四边形的面积计算方法得当DA⊥AB即可判定矩形．【解答】证明：作EF⊥AB于点F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE和△CDE中，，∴△ABE≌△CDE，∴AE=CE，∴四边形ABCD是平行四边形，∵A（2，n），B（m，n），易知A，B两点纵坐标相同，∴AB∥CD∥x轴，∴m﹣2=4，m=6，将B（6，n）代入直线y=x+1得n=4，∴B（6，4），∵CD=4=AB，△AEB的面积是2，∴EF=1，∵D（p，q），∴E（，），F（，4），∴+1=4，∴q=2，p=2，∴DA⊥AB，∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，解题的关键是了解有一个角是直角的平行四边形是矩形，难度不大．16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED．（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）AAS或ASA证全等；（2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EDB，∵E为AB的中点，∴EA=EB，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（ASA）；（2）∵△AEF≌△BED，∴AF=BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BD，∴四边形AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性质，能够了解矩形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．17．（2015•义乌市）正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；命题与定理；旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）利用正方形的性质证明△DGF≌△BEF即可；（2）当α=180°时，DF=BF．（3）利用正方形的性质和△DGF≌△BEF的性质即可证得是真命题．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，∴DG=BE，在△DGF和△BEF中，，∴△DGF≌△BEF（SAS），∴DF=BF；（2）解：图形（即反例）如图2，（3）解：补充一个条件为：点F在正方形ABCD内；即：若点F在正方形ABCD内，DF=BF，则旋转角α=0°．【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，命题和定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意利用正方形的性质找三角形全等的条件．18．（2015•鄂州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据正方形的性质，可得AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，根据正三角形的性质，可得AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据等腰三角形的性质，∠ABE=∠AEB，根据三角形的内角和定理，可得∠AEB，根据角的和差，可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°∵三角形ADE为正三角形∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°∴∠BAE=∠CDE=150°在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE∴BE=CE；（2）∵AB=AD，AD=AE，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，又∵∠BAE=150°，∴∠ABE=∠AEB=15°，同理：∠CED=15°∴∠BEC=60°﹣15°×2=30°．【点评】本题考查了正方形的性质，（1）利用了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；（2）利用了等腰三角形的判定与性质，角的和差．19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∴PC=PE；（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC，∴∠DAP=∠AEP，∴∠DCP=∠AEP∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键．20．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】分两种情况：①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，得到OA=OB=3，∠BAO=45°，根据DE⊥OA，推出DE=AE，由于四边形COED是正方形，得到OE=DE，等量代换得到OE=AE，即可得到结论；②如图2，由（1）知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，由四边形CDEF是正方形，得到EF=CF，于是得到AF=OF=2OF，求出OA=OF+2OF=3，即可得到结论．【解答】解：分两种情况；①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，∴OA=OB=3，∴∠BAO=45°，∵DE⊥OA，∴DE=AE，∵四边形COED是正方形，∴OE=DE，∴OE=AE，∴OE=OA=，∴E（，0）；②如图2，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，∴CF=OF，AF=EF，∵四边形CDEF是正方形，∴EF=CF，∴AF=OF=2OF，∴OA=OF+2OF=3，∴OF=1，∴F（1，0）．【点评】本题考查了正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键．21．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】求出∠BAE=∠CAD，证△BAE≌△CAD，推出∠BEA=∠CDA，BE=CD，得出平行四边形BCDE，根据平行线性质得出∠BED+∠CDE=180°，求出∠BED，根据矩形的判定求出即可．【解答】证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC，∴∠BAE=∠CAD，∵在△BAE和△CAD中∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，∵DE=CB，∴四边形BCDE是平行四边形，∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE，∵∠BEA=∠CDA，∴∠BED=∠CDE，∵四边形BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．【考点】矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．【分析】（1）利用三线合一定理可以证得∠ADB=90°，根据矩形的定义即可证得；（2）利用勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵四边形ADBE是平行四边形．∴平行四边形ADBE是矩形；（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，∴BD=DC=6×=3，在直角△ACD中，AD===4，∴S=BD•AD=3×4=12．矩形ADBE【点评】本题考查了三线合一定理以及矩形的判定，理解三线合一定理是关键．23．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【解答】解：（1）BD=CD．理由如下：依题意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD（三线合一），∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．24．（2014•宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】先判断四边形AECD为平行四边形，然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．【解答】证明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD=BE．∵点E是BC的中点，∴EC=BE=AD．∴四边形AECD是平行四边形．∵AB=AC，点E是BC的中点，∴AE⊥BC，即∠AEC=90°．∴▱AECD是矩形．【点评】本题考查了梯形和矩形的判定，难度适中，解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．25．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．【专题】证明题；开放型．（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，【分析】可以证明四边形ADCE为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．【解答】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．26．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，。
北师大版2020九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合基础过关测试题(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合基础过关测试题（附答案详解）1．给出下列命题：(1)平行四边形的对角线互相平分；(2)矩形的对角线相等；(3)菱形的对角线互相垂直平分；(4)正方形的对角线相等且互相垂直平分．其中，真命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．12．平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形 3．如图所示，已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列能判断它是正方形的条件是（ ）A ．AO BO CO DO ===，AC BD ⊥B ．AB BC CD DA === C ．AO CO =，BO DO =，AC BD ⊥ D ．AB BC =，CD DA ⊥4．如图，△ABC 中，∠ C ＝900，∠CAB ＝600，AD 平分∠BAC ，点D 到AB 的距离DE ＝3cm ，则BC 等于（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm5．下列说法中，不正确的是( )A ．一组邻边相等的矩形是正方形B ．一组邻边相等的平行四边形是菱形C ．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形D ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形6．如图，矩形ABCD 的面积为10cm 2，它的两条对角线交于点O 1，以AB 、AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交于点O 2，同样以AB 、AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2，…，依此类推，则平行四边形ABC n O n 的面积为( )A ．210n cm 2B ．1102n -cm 2C ．12n cm 2D ．102n cm 2 7．如图，把正方形ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为,MN 再过点B 折叠纸片，使点A 格在MN 上的点F 处，折痕为,BE 若AB 长为2,则EN 的长为(（ ）A ．233-B ．322-C ．22D ．238．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，且EC 平分∠BED ，AB =1，∠ABE =45°，则BC 的长为（ ）A ．2B ．1．5C ．3D ．29．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠ADB ＝30°，E 为BC 边上一点，∠AEB ＝45°，CF ⊥BD 于F ．下列结论：①BE ＝CD ，②BF ＝3DF ，③AE ＝2AO ，④CE ＝CF ．正确的结论有（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．①②③10．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且DE ∥AC ，CE ∥BD ，若AC ＝2，则四边形OCED 的周长为（ ）A ．16B ．8C ．4D ．211．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为点E ，若56OCD ︒∠=，则EAO ∠=____．12．如下左图，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，若OD =12AD ，则四个内角为________.13．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 为斜边AB 的中点，AC =6cm ，BC =8cm 则CD 的长为_____cm ．14．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB 边上的中线CD ＝____．15．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，若CD =2，则线段EF 的长是______．16．如图在菱形ABCD 中，AB = 10，∠DAB= 60°，P 是对角线AC 上一动点，E 、F 分别是线段AB 和BC 上的动点，则PE +PF 的最小值是 ．17．如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，EF ＝2EH ，则AB 与EH 的数量关系是AB ＝_____EH ．18．已知菱形的周长为20cm ，一条对角线长为6cm ，则这个菱形的面积是_____cm 2． 19．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为16，则BE 等于 _________20．如图，平行四边形ABCD 中，60B ∠=，=12BC ，10AB =，点E 在AD 上，且AE=4，点F 是AB 上一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，连接DG ，则线段DG 的最小值为____________________．21．如图，四边形ABCD 是正方形，EFC ∆是等腰直角三角形，点E 在AB 上，且90CEF ∠=︒，FG AD ⊥，垂足为点G .（1）试判断AG 与FG 是否相等？并给出证明.（2）若点H 为CF 的中点，GH 与DH 垂直吗？若垂直，给出证明；若不存在，说明理由.22．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ， BC 的中点，且2BC AF =. （1）求证：四边形ADFE 为矩形；（2）若30C ∠=︒，2AF =，写出矩形ADFE 的周长.23．如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合）．连接DP 交对角线AC 于E ，连接BE ．()1证明：APD CBE ∠=∠；()2试问P 点运动到什么位置时，ADP △的面积等于菱形ABCD 面积的14？请说明理由．24．如图，已知E 为ABCD 外一点，AE EC ⊥，BE ED ⊥，AC ，BD 相交于点O ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（提示：连接OE ）（2）若3AE =，60EAC ∠=︒，求BD 的长．25．已知：如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，E 、F 分别是线段BM 、CM 的中点（1）求证：△ABM ≌△DCM（2）判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD ：AB= _时，四边形MENF 是正方形（只写结论，不需证明）26．已知：如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，30B ∠=︒，45ACB ∠=︒，CE 是AB 边上的中线．（1）12CD AB =； （2）若CG EG ，求证：DG CE ．27．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＞BC ，BC ＝6cm ，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动，Q 以2cm/s 的速度由C 出发向B 运动，几秒后四边形ABQP 是平行四边形？28．如图，在平面直角坐标系中，点F 的坐标为(0,20)．点E 的坐标为(40,0)，直线1l 经过点F 和点E ，直线1l 与直线23:4l y x =相交于点P ．（1）求直线1l 的表达式和点P 的坐标；（2）矩形ABCD 的边AB 在y 轴的正半轴上，点A 与点F 重合，点B 在线段OF 上，边AD 平行于x 轴，且12AB =，18AD =，将矩形ABCD 沿射线FE 的方向以一定的速度平移，边BC 始终与x 轴平行．①矩形ABCD 在移动过程中，当点A 与点P 重合时，求矩形ABCD 与OEF 重合的面积②矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线1l或2l上，求此时点A的坐标29．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)连接DE、BF，若BD⊥EF，试探究四边形EBFD的形状，并对结论给予证明．30．在正方形ABCD中，BD为对角线，点P从A出发，沿射线AB运动，连接PD，过点D作DE⊥PD，交直线BC于点E．（1）当点P在线段AB上时（如图1），求证：BP+CE=BD；（2）当点P在线段AB的延长线上时（如图2），猜想线段BP、CE、BD之间满足的关系式，并加以证明；（3）若直线PE分别交直线BD、CD于点M、N，PM=3，EN=4，求PD的长．参考答案1．C【解析】【分析】利用平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质及正方形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，正确，是真命题；（2）矩形的对角线相等，正确，是真命题；（3）菱形的对角线互相垂直平分，正确，是真命题；（4）正方形的对角线相等且互相垂直平分，正确，是真命题，故选C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质及正方形的性质，属于基础题，难度不大．2．B【解析】【分析】在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形ABCD是菱形.【详解】解：如图所示：∵A（-3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，-2），∴OA=OC ，OB=OD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵BD ⊥AC ，∴四边形ABCD 为菱形，故选B.【点睛】本题考查了菱形的判定，坐标与图形性质，掌握菱形的判定方法利用数形结合是解题的关键. 3．A【解析】【分析】根据正方形的判定定理即可求解.【详解】A ∵AO BO CO DO ===，∴四边形ABCD 为矩形，由AC BD ⊥，所以矩形ABCD 为正方形，B. AB BC CD DA ===，四边形ABCD 为菱形；C. AO CO =，BO DO =，AC BD ⊥，四边形ABCD 为菱形；D. AB BC =，CD DA ⊥，不能判定四边形ABCD 为正方形,故选A.【点睛】此题主要考查正方形的判定，解题的关键是熟知正方形的判定定理.4．C【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE ，然后根据BC=BD+CD 计算即可得解．【详解】解：∵∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠B=90°-60°=30°，∵DE ⊥AB ，∴BD=2DE=2×3=6cm，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥B，∴CD=DE=3cm，∴BC=BD+CD=6+3=9cm．故选：C．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质以及直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．5．C【解析】【分析】根据正方形、菱形、平行四边形的定义或判定即可得到答案.【详解】解：根据正方形、菱形、平行四边形的定义知A、B、D正确；一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，此说法错误.考点：1.正方形；2.菱形；3.平行四边形；4.矩形.6．D【解析】【分析】根据矩形的性质对角线互相平分可知O1是AC与DB的中点，根据等底同高得到S△ABO1＝1 4 S矩形，又ABC1O1为平行四边形，根据平行四边形的性质对角线互相平分，得到O1O2＝BO2，所以S△ABO2＝18S矩形，…，以此类推得到S△ABO5＝132S矩形，而S△ABO5等于平行四边形ABC5O5的面积的一半，根据矩形的面积即可求出平行四边形ABC5O5和平行四边形AB∁n O n的面积．【详解】解：∵设平行四边形ABC1O1的面积为S1，∴S△ABO1＝12S1，又∵S△ABO1＝14S矩形，∴S 1＝12S 矩形＝5＝052； 设ABC 2O 2为平行四边形为S 2，∴S △ABO 2＝12S 2， 又∵S △ABO 2＝18S 矩形， ∴S 2＝14S 矩形＝15522=； ，…，∴平行四边形AB ∁n O n 的面积为1511022n n -=⨯（cm 2）． 故选D ．【点睛】此题考查了矩形及平行四边形的性质，要求学生审清题意，找出面积之间的关系，归纳总结出一般性的结论．考查了学生观察、猜想、验证及归纳总结的能力．7．A【解析】【分析】根据翻转变换的性质求出BM 、BF ，根据勾股定理计算求出FM 的值；再在Rt △NEF 中，运用勾股定理列方程求解，即可得到EN 的长．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，AB=2，过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处， ∴FB=AB=2，BM=12BC=1，BF=BA=2，∠BMF=90°， 则在Rt △BMF 中，FM ===∴2FN MN FM =-=设AE=FE=x ，则EN=1x -，∵Rt △EFN 中，222NE NF EF +=，∴()(22212x x -+=，解得：4x =-∴EN=13x -=．故选：A ．【点睛】本题考查了翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．8．A【解析】【分析】由矩形的性质和角平分线的定义得出∠DEC=∠ECB=∠BEC ，推出BE=BC ，求得AE=AB=1，然后依据勾股定理可求得BE 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ．∴∠DEC=∠BCE ，∵EC 平分∠DEB ，∴∠DEC=∠BEC ．∴∠BEC=∠ECB ．∴BE=BC ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，∵∠ABE=45°，∴∠ABE=AEB=45°，∴AB=AE=1，∵由勾股定理得：==，∴故选：A ．本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用；熟练掌握矩形的性质，证出BE=BC是解题的关键．9．D【解析】【分析】根据矩形的性质，由∠ADB=30°可得，△AOB和△COD都是等边三角形，再由∠AEB=45°，可得△ABE是正确的，①BE=CD是正确的，在正△COD中，CF⊥BD，可得DF=12CD，再利用等量代换可得②BF=3DF是正确的，利用选项的排除法确定选项D是正确的．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD，AO=CO=BO=DO，∠ABC=∠ADC=∠BAD=∠BCD=90°，∵∠AEB=45°，∴∠BAE=∠AEB=45°∴AB=BE=CD，CD，故①正确，∵∠ADB=30°，∴∠ABO=60°且AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴AB=AO，，故③正确，∵△OCD是等边三角形，CF⊥BD，∴DF=FO=12OD=12CD=14BD，∴BF=3DF，故②正确，根据排除法，可得选项D正确，【点睛】考查矩形的性质，含有30°角的直角三角形的特殊的边角关系、等边三角形的性质和判定等知识，排除法可以减少对④的判断，从而节省时间．10．C【解析】【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，得到OD=OC=1AC2，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形OCED为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形OCED为菱形，即可求出其周长．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD=2，∴OA=OB=OC=OD=1AC2=1，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形OCED为菱形，∴OD=DE=EC=OC=1，则四边形OCED的周长为1+1+1+1=4．故选：C．【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．11．22°【解析】【分析】根据矩形的性质及等腰三角形的性质得到∠OCD=∠ODC=56°，根据三角形内角和及对顶角相等得到∠AOE=∠DOC=68°，再由AE BD即可得到∠EAO的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=56°，∴∠DOC=180°-56°-56°=68°，∴∠AOE=∠DOC=68°，∵AE BD⊥，∴∠AED=90°，∴∠EAO=90°-68°=22°，故答案为：22°．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是熟知矩形的对角线相等且互相平分．12．60°，120°，60°，120°【解析】因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD, ∠ADB=∠CDO=∠ABD=∠CBD,因为OA=AD,所以∠ADO=30°,所以∠ADC=∠ABC=60°, ∠DAB=∠DCB=120°.故答案为: 60°, 120°, 60°, 120°.点睛:本题主要考查了菱形的性质以及直角三角形的性质,熟练利用菱形的性质求出解题关键.13．5【解析】【分析】利用勾股定理列式求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】由勾股定理得，10AB===(cm)，∵∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，∴1110522CD AB==⨯=(cm)，故答案为：5．本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．14．.【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．【详解】如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=5，BC=3，由勾股定理得：AB==，∵CD是直角三角形ACB的斜边AB上中线，∴CD=AB=，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．15．2【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，AB=2CD，因为EF是三角形ABC的中位线，所以AB=2EF，所以EF=CD=5．故答案是：516．3；【解析】作点F 关于AC 的对称点'F ,连接E 'F ,则PE +PF='EF , 因为E 、F 分别是线段AB 和BC 上的动点，所以当'EF AB ⊥时，'EF 的值最小，即等于边AB 上的高，过点D 作DQ AB ⊥,因为在菱形ABCD 中， AB =AD= 10，∠DAB= 60°，所以AQ=12AB =5，所以DQ =53，即PE +PF 的最小值是53考点：1．菱形的性质；2．勾股定理；3．轴对称的性质．17．5【解析】【分析】连接AC 、BD 交于O ，根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFGH 是矩形，根据勾股定理计算即可．【详解】解：连接AC 、BD 交于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∵点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 和DA 的中点，∴EH ＝12BD ，EH ∥BD ，GH ＝12AC ，GH ∥AC ， ∵EF ＝2EH ，∴OA ＝2OD ，∴AB ＝22OA OD +＝5OD ，∴AB ＝5EH ，故答案为：5．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．18．24【解析】【分析】根据菱形的性质，先求另一条对角线的长度，再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．【详解】解：如图，在菱形ABCD中，BD＝6．∵菱形的周长为20，BD＝6，∴AB＝5，BO＝3，∴22534AO=-=，AC＝8．∴面积168242S=⨯⨯=．故答案为24．【点睛】此题考查了菱形的性质及面积求法，难度不大．19．4【解析】【分析】过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，运用割补法把原四边形转化为正方形，即可求出BE的长．【详解】解：如图，过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，∵∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，∴四边形EDFB是矩形，∠EBF=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△BCF和△BAE中，∵∠F=∠BEA,∠CBF=∠ABE,AB=BC,∴△BCF≌△BAE（ASA），∴BE=BF，∴四边形EDFB是正方形，∴S四边形ABCD=S正方形BEDF=16，∴16．故答案为：4．【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，正方形的判定与性质，运用割补法把原四边形转化为正方形，其面积保持不变，所求BE就是正方形的边长了；也可以看作将三角形ABE绕B点逆时针旋转90°后的图形．20．23【解析】【分析】结合已知条件，作出辅助线，通过全等得出ME=GN，且随着点F的移动，ME的长度不变，从而确定当点N与点D重合时，使线段DG最小．【详解】解：如图所示，过点E做EM⊥AB交BA延长线于点M，过点G作GN⊥AD交AD于点N，∴∠EMF=∠GNE=90° ∵四边形ABCD 是平行四边形，BC=12∴AD ∥BC ，AD=BC=12，∴∠BAD=120°，∴∠AFE+∠AEF=60°又∵EG 为EF 逆时针旋转120°所得，∴∠FEG=120°，EF=EG ，∴∠AEF+∠GEN=60°，∴∠AFE=∠GEN ，∴在△EMF 与△GNE 中，∠AFE=∠GEN ，∠EMF=∠GNE=90°，EF=EG ，∴△EMF ≌△GNE （AAS ）∴ME=GN又∵∠EAM=∠B=60°，AE=4，∴∠AEM=30°，122AM AE ==，2223ME AE AM =-=， ∴23ME GN ==，∴当点N 与点D 重合时，使线段DG 最小，如图所示，此时23DG GN ==， 故答案为：23．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、全等三角形的构造、几何中的动点问题，解题的关键是作出辅助线，得到全等三角形，并发现当点N 与点D 重合时，使线段DG 最小． 21．（l ）AG FG =，见解析；（2）DH GH ⊥，见解析.【解析】【分析】（1）首先假设AG FG =，在BC 边上取BM BE =，连接EM 、AF ，进而证明AEF MCE ∆≅∆，可得45DAF ∠=︒，即可证明AG FG =.（2）假设垂直，延长GH 交CD 于点Q ，证明FGH CQH ∆≅∆,进而证明DCQ ∆是等腰三角形，即可证明DH GH ⊥.【详解】（l ）AG FG =证明如下：在BC 边上取BM BE =，连接EM 、AF∵四边形ABCD 是正方形∴AB BC =∴AE CM =∵90CEF ∠=︒∴90AEF BEC ∠+∠=︒又∵90BEC BCE ∠+∠=︒∴AEF BCE ∠=∠又∵CE EF =∴AEF MCE ∆≅∆∴135EAF EMC ∠=∠=︒又∵90BAD ∠=︒∴1359045DAF ︒-︒∠==︒又∵FG AD ⊥∴AG FG =.（2）DH GH ⊥证明如下：延长GH交CD于点Q∵四边形ABCD是正方形⊥∴AD CD⊥又∵FG AD∴FG CD∠=∠∴GFH DCH∠=∠又∵GHF CHQ=FH CH∆≅∆∴FGH CQH=∴GH HQ=FG CQ=∴AG CQ=∴DG DQ∆是等腰三角形∴DCQ⊥.∴DH GH【点睛】本题主要考查正方形的性质，关键在于结合三角形的全等来证明，这是几何的重要考点，应当熟练地掌握.22．（1）证明见解析；（2）232+【解析】（1）证明：连接DE.∵E，F分别是边AC，BC的中点，∴EF AB ，12EF AB =. ∵点D 是边AB 的中点， ∴12AD AB =. ∴AD EF =.∴四边形ADFE 为平行四边形.由点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，可得：12DE BC =. ∵2BC AF =，∴22DE AF =，即DE AF =.∴四边形ADFE 为矩形.（2）2.23．()1证明见解析；()2P 点运动到AB 中点时，ADP △的面积等于菱形ABCD 面积的14；理由见解析．【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 是菱形，即可证得∠CDE=∠APD ，△CDE ≌△CBE ，继而证得结论； （2）首先连接BE ，由等高三角形的面积比等于对应底的比，可证得S △ADP =12S △ABD ，继而证得结论．【详解】解：()1证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴CD CB =，DCE BCE ∠=∠，//AB CD ，∴CDE APD ∠=∠，在CDE △和CBE △中， CD CB DCE BCE CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CDE CBE SAS ≅，∴CBE CDE ∠=∠，∴APD CBE ∠=∠；()2P点运动到AB中点时，ADP△的面积等于菱形ABCD面积的14．理由：连接BD，∵P是AB的中点，∴12ADP ABDS S=，∵12ABD ABCDS S=菱形，∴14ADP ABCDS S=菱形．【点睛】此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．24．（1）证明见解析；（2）6．【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质，得到EO=12AC，EO=12BD，所以AC=BD，由此即可证明；（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OE．∵AE EC ⊥，BE ED ⊥，∴AEC ∆与BED ∆都为直角三角形．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =．∴OE 是直角三角形AEC ∆与BED ∆斜边上的中线． ∴12OE AC =，12OE BD =． ∴AC BD =．∴平行四边形ABCD 是矩形．（2）解：∵OA OE =，60EAC ∠=︒，∴△AOE 是等边三角形．∴OA AE =∵3AE =，∴26AC AE ==．∵BD AC =，∴6BD =．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是记住斜边中线等于斜边一半，所以中考常考题型．25．（1）证明见解析；（2）证明见解析;（3）2：1.【解析】【分析】（1）求出AB=DC ，∠A=∠D=90°，AM=DM ，根据全等三角形的判定定理推出即可． （2）根据三角形中位线定理求出NE ∥MF ，NE=MF ，得出平行四边形，求出BM=CM ，推出ME=MF ，根据菱形的判定推出即可.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝DC ．又∵MA ＝MD ，∴△ABM ≌△DCM （SAS ）．（2）四边形MENF是菱形．证明如下：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴NE∥CM，NE=12CM，MF=12CM．∴NE=FM，NE∥FM．∴四边形MENF是平行四边形．∵△ABM≌△DCM，∴BM=CM．∵E、F分别是BM、CM的中点，∴ME=MF．∴平行四边形MENF是菱形．（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形，理由如下：∵M为AD中点，∴AD=2AM．∵AD：AB=2：1，∴AM=AB．∵∠A=90°，∴∠ABM=∠AMB=45°．同理∠DMC=45°．∴∠EMF=180°-45°-45°=90°．∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形．26．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质得出AD＝12AB，证得△ACD是等腰直角三角形，得出CD＝AD，即可得出结论；（2）连接DE，根据DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，得出DE＝12AB，证得DE＝CD，根据等腰三角形三线合一即可得出结论．【详解】证明：（1）∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，∵∠B＝30°，∴AD＝12 AB，∵∠ACB＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD，∴CD＝12 AB；（2）连接DE，∵CE是AB边上的中线，AD⊥BC，∴DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，∴DE＝12 AB，∵CD＝12 AB，∴DE＝CD，∵CG＝EG，∴DG⊥CE．【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线定理等知识；熟练掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解决问题的关键．27．2秒后四边形ABQP是平行四边形．【解析】【分析】由运动时间为t秒，则AP＝t，QC＝2t，而四边形ABQP是平行四边形，所以AP＝BQ，则得方程t＝6﹣2t求解．【详解】解：设t秒后，四边形APQB为平行四边形，则AP＝t，QC＝2t，BQ＝6﹣2t，∵AD∥BC所以AP∥BQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，知：AP＝BQ即可，即：t＝6﹣2t，∴t＝2，当t＝2时，AP＝BQ＝2＜BC＜AD，符合，综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．【点睛】此题主要考查的是平行四边形的性质，难度不大，注意一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．28．（1）y=-12x+20；P（16，12）；（2）①135；②（265，875）或（325，845）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式，函数关系式联立方程求交点；（2）①先画出矩形ABCD所在的位置，再根据梯形的面积公式求解即可；②分析矩形运动规律，找到点D和点B分别在直线l2上或在直线l1上时的情况，利用AD、AB分别可以看成图象横坐标、纵坐标之差构造方程求点A坐标，进而求出AF距离；【详解】解：（1）设直线l1的表达式为y=kx+b,∵直线l1过点F（0，20），E（40，0）,∴20400bk b=⎧⎨+=⎩,解得1220kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线l1的表达式为y=-12x+20,解120234y xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1612xy=⎧⎨=⎩∴点P 坐标为（16，12）； （2）①∵12AB =，18AD =，P （16，12）,∴OC=16+18=34,∴当点A 与点P 重合时，矩形ABCD 的位置如图，CD 交l 1与点F ， 当x=34时，y=-12x+20=3，即 ∴形ABCD 与OEF 重合的面积=()1312181352⨯+⨯=；②如图，当点D 在直线上l 2时，∵AD=18，∴点D 与点A 的横坐标之差为18，∴将直线l 1与直线l 2 的解析式变为，x=40-2y ，x=43y, ∴43y-（40-2y ）=18, 解得y=875， ∴x=40-2×875=265， 则点A 的坐标为：（265，875）； 如图，当点B 在l 2 直线上时，∵AB=12,∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高12个单位, ∴直线l1的解析式减去直线l2 的解析式得,-12x+20-34x=12,解得x=325，∴y=-12×325+20=845,则点A坐标为（325，845）.综上可知，点A的坐标为：（265，875）或（325，845）.【点睛】本题是代数几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式，根据函数关系式来表示点的坐标，图形与坐标的性质，矩形的性质，涉及到了分类讨论思想和数形结合思想．29．（1）详见解析；（2）四边形EBFD为菱形.【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，再利用等式的性质可得EO=FO，然后再利用SAS定理判定△BOE≌△DOF即可；(2)根据BO=DO，FO=EO可得四边形BEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形EBDF为菱形．【详解】证明：(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，AO=CO，∵AE=CF，∴AO ﹣AE=CO ﹣FO ， ∴EO=FO ，在△BOE 和△DOF 中BO DO BOE DOF EO FO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△DOF （SAS ）；(2) 四边形EBDF 为菱形理由：∵BO=DO ，FO=EO ，∴四边形BEDF 是平行四边形，∵BD ⊥EF ，∴四边形EBDF 为菱形．【点睛】考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分．对角线互相平分的四边形是平行四边形．30．（1）证明见解析（2）CE ﹣BP=BD ，理由见解析（3）3或6【解析】试题分析：（1）根据已知和图形证明△PAD ≌△ECD ，得到AP=CE ，根据AB=BD ，得到答案； （2）与（1）的方法类似，求出结论；（3）分P 在线段AB 上和P 在AB 延长线上两种情况进行讨论，根据三角形全等和勾股定理证明结论．证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A=∠ADC=∠BCD=∠DCE=90°，AD=CD ，∵DE ⊥PD ，∴∠ADC=∠PDE=90°，∴∠ADP=90°﹣∠PDC=∠CDE ，∴△PAD ≌△ECD ，∴AP=CE ，∴BP+CE=BP+AP=AB=BD ；（2）CE﹣BP=BD；理由：△PAD≌△ECD，∴CE=AP，∴CE﹣BP=AP﹣BP=AB=BD；（3）①当P在线段AB上时，如图1所示，在BC上取一点G使得BG=BP，连接MG、NG，∵△APD≌△CED，∵AP=CE，PD=ED，∴△PED是等腰直角三角形，∴AB=BC=AP+BP=BG+CG，∴CG=CE，∴可证△NCG≌△NCE，∴NG=NE，∠NGC=∠NEC，∵∠PBM=∠GBM=45°，BP=BG，BM=BM，∴△BPM≌△BGM∴PM=GM，∠MGB=∠MPB，又∠NEC+∠MPB=90°，∴∠NGC+∠MGB=90°，∴∠MGN=90°，∴MN==5，∴PE=PM+MN+EN=3+5+4=12，∴PD=PE=6；②当P在AB延长线上时，如图2所示，延长CB至G，使得CG=CE，连接MG、NG，∵AP=CE，∴CE﹣BC=CG﹣BC=AP﹣AB=BP=BG，同①可证△△BMG≌△BMP，△CNG≌△CNE，∴PM=GM，GN=EN，∠BGM=∠BPM=90°+∠CEN=90°+CGN，∴∠CGN=∠BGM﹣90°=∠BGM﹣∠MGN，∴∠M GN=90°，∴MN==5，∴PN=MN﹣PM=5﹣3=2，∴PE=PN+EN=2+4=6，∴PD=PE=3，∴PD的长为3或6．考点：四边形综合题．。
九年级数学（上）单元测试卷 第一章《特殊平行四边形》（含答案与解析）
【新北师大版九年级数学（上）单元测试卷】第一章《特殊平行四边形》（含答案与解析）班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一.选择题：（每小题3分，共36分）1. 已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A. AB=BCB. AC=BCC. ∠B=60°D. ∠ACB=60°3.菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是A. 6B. 8C. 12D. 244. 已知四边形ABCD中，分别是的中点，则四边形EFGH是A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 梯形5.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形为正方形的是（）A. AD∥BC，∠B=∠DB. AC=BD，AB=CD，AD=BCC. OA=OC，OB=OD，AB=BCD. OA=OB=OC=OD，AC⊥BD6. 正方形具有而矩形不一定有的性质是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且平分每一组对角C. 每一内角均为直角D. 对边平行且相等7. 平行四边形ABCD是正方形需增加的条件是（）A. 邻边相等B. 邻角相等8.如图，在矩形ABCD中，，则BD的长为A. 5B. 10C. 12D. 139.若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm，则与该菱形面积相等的正方形的边长是A. 6cmB. 5cmC.D.10.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A. 12B. 24C. 12D. 1611.如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.12.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长为（）A. 1B.C. 4-2D. 3-4二.填空题：（每小题3分共12分）13.正方形的一条边长是4，则它的对角线长是_________.15.矩形的对角线相交构成的钝角为120°，短边等于5cm，则对角线的长为__________.16.如图，E为正方形ABCD边BC延长线上一点，且CE=BD，AE交DC于F，则∠AFC=_________.三.解答题：（共52分）17.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点P是AC的中点.求证：∠BDP=∠DBP．18.已知：菱形ABCD中，对角线于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．于点F，且，连接BF．证明：；当满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．20.已知中对角线AC的垂直平分线交AD于点F，交BC于点E.求证：四边形AECF是菱形.证明：∵EF是AC的垂直平分线（已知）∴四边形AECF是不正确⑴你能找出小明错误的原因吗？请你指出来.⑵请你给出本题的证明过程.21.如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．22. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E,F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．23.如图，F是正方形ABCD的边BC的中点，CG平分∠DCM，交过F点AF的垂线FG于G，求证：AF=FG.一.选择题：（每小题3分，共36分）1. 已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】C【解析】①正确.②等腰梯形是对角线相等，错误.③菱形也两个角相等，错误.④正确．所以选C.2. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A. AB=BCB. AC=BCC. ∠B=60°D. ∠ACB=60°【答案】B【解析】试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．3.菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是A. 6B. 8C. 12D. 24【答案】A【解析】∵菱形的两条对角线长分别为3和4，∴S菱形=.故选A.4. 已知四边形ABCD中，分别是的中点，则四边形EFGH是A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 梯形【答案】B【解析】如图，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF∥AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EF∥AC，AC⊥BD，∴EF⊥BD，∵HE∥BD，∴EF⊥HE，∴∠HEF=90°，∴平行四边形EFGH是矩形.故选B.5.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形为正方形的是（）A. AD∥BC，∠B=∠DB. AC=BD，AB=CD，AD=BCC. OA=OC，OB=OD，AB=BCD. OA=OB=OC=OD，AC⊥BD【答案】D【解析】A、不能，只能判定出是平行四边形；B、不能，只能判定出是矩形；C、不能，只能判定出是菱形；D、能，由OA=OB=OC=OD可判断出四边形ABCD是矩形，再根据AC⊥BD，可判断出矩形ABCD 又是菱形，所以可判断出四边形ABCD是正方形，故选D.6. 正方形具有而矩形不一定有的性质是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且平分每一组对角C. 每一内角均为直角D. 对边平行且相等【答案】B【解析】根据正方形和矩形的性质知，它们具有相同的特征有：四个角都是直角、对边平行且相等、对角线相等、对角线互相平分，但矩形的对角线不互相垂直，故选B．7. 平行四边形ABCD是正方形需增加的条件是（）A. 邻边相等B. 邻角相等C. 对角线互相垂直D. 对角线互相垂直且相等【解析】如图所示：添加的条件是AC=BD且AC⊥BD，平行四边形ABCD为正方形；理由如下：添加的条件时AC=BD且AC⊥BD时；∵四边形ABCD是平行四边形．又AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形；故选：D．8.如图，在矩形ABCD中，，则BD的长为A. 5B. 10C. 12D. 13【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∠BOC=120°，∴AO=BO，∠BAD=90°，∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠ABD=60°，∴∠BDA=30°，∴BD=2AB=10.故选B.9.若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm，则与该菱形面积相等的正方形的边长是A. 6cmB. 5cmC.D.【解析】∵菱形的两条对角线分别为5cm和10cm，∴菱形的面积为：（cm2），设正方形的边长为cm，则，解得：（cm）.故选B.10.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A. 12B. 24C. 12D. 16【答案】D【解析】试题分析：根据题意可得：AD=2+6=8，根据折叠图形的性质可得：AB=2，然后根据矩形的面积计算公式求出矩形的面积.11.如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】DE BF,AF EC,EGFH是平行四边形，E,F是中点，易得，四边形对角线垂直，1∴EGFH是菱形。
2020届北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合检测题
第一章单元测试卷(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)1. 下列性质中菱形不一定具有的性质是(C )A ．对角线互相平分B ．对角线互相垂直C ．对角线相等D ．既是轴对称图形又是中心对称图形2. 下列命题中，真命题是(D )A ．两条对角线垂直的四边形是菱形B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形C ．两条对角线相等的四边形是矩形D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形3. 菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为(C )A ．2B . 3C ．1D .124. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成(C ) A ．22.5°角 B ．30°角 C ．45°角 D ．60°角,第5题图) ,第6题图),第7题图)5. 如图，点E ，F ，G ，H 分别为四边形ABCD 的四边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则关于四边形EFGH ，下列说法正确的是(C )A ．一定不是平行四边形B ．一定不是中心对称图形C ．可能是轴对称图形D ．当AC ＝BD 时它是矩形6. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别是6 cm ，8 cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是(B )A .485 cmB .245 cmC .125cm D ．5 3 cm7. 如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上的点(与B ，C 两点不重合)，过点D 作DE ∥AC ，DF ∥AB ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，下列说法正确的是(D ) A ．若AD ⊥BC ，则四边形AEDF 是矩形B ．若BD ＝CD ，则四边形AEDF 是菱形C．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为(C)A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8,第8题图) ,第9题图),第10题图)9. 如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是(D)A.12B.33C．1－33D.2－110. 如图，点E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，点P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ＋PR的值为(D)A.22B.12C.32D. 2二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)11. 已知菱形的周长是20 cm，一条对角线长为8 cm，则菱形的另一条对角线长为6cm.12. 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB＝BC(答案不唯一)，使其成为正方形．(只填一个即可)13. 如图，点E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，则∠AEB＝30°.,第13题图) ,第15题图),第16题图)14. 直角三角形斜边上的高与中线分别是5 cm和6 cm，则它的面积是30cm2.15. 如图，矩形ABCD 的对角线BD 的中点为O ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，连接OA ，已知AB ＝5，BC ＝12，则四边形ABEO 的周长为20.16. 如图，∠MON ＝45°，OA 1＝1，作正方形A 1B 1C 1A 2，周长记作C 1；再作第二个正方形A 2B 2C 2A 3，周长记作C 2；继续作第三个正方形A 3B 3C 3A 4，周长记作C 3；点A 1，A 2，A 3，A 4…在射线ON 上，点B 1，B 2，B 3，B 4…在射线OM 上，依此类推，则第n 个正方形的周长C n ＝2n ＋1.三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)17. 如图，在正方形ABCD 中，点E 是对角线BD 上的点，求证：AE ＝CE.证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBE.在△ABE 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ，，∴△ABE ≌△CBE(SAS )，∴AE ＝CE18. 如图，已知菱形ABCD 两条对角线BD 与AC 的长度之比为3∶4，周长为40 cm ，求菱形的高及面积．解：∵BD ∶AC ＝3∶4，∴设BD ＝3x ，AC ＝4x ，∴BO ＝3x 2，AO ＝2x ，又∵AB 2＝BO 2＋AO 2，∴AB ＝52x ，∵菱形的周长是40 cm ，∴AB ＝40÷4＝10(cm )，即52x ＝10，∴x ＝4，∴BD ＝12 cm ，AC ＝16 cm ，∴S 菱形ABCD ＝12BD ·AC ＝12×12×16＝96(cm 2)，又∵S 菱形ABCD ＝AB ·h ，∴h ＝9610＝9.6(cm )，菱形的高是9.6 cm ，面积是96 cm 219. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 边上一点，EF ⊥CE ，交AB 于点F ，若DE ＝2，矩形的周长为16，且CE ＝EF ，求AE 的长．解：∵EF ⊥EC ，∴∠1＋∠3＝90°.∵在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2.又∵EF ＝EC ，∴△EFA ≌△CED(AAS )，∴AE ＝CD.设AE ＝x ，则DC ＝x.由矩形的周长为16得2x ＋2＝8，∴x ＝3，即AE 的长为3四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)20. 如图，已知平行四边形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠OBC ＝∠OCB.(1)求证：平行四边形ABCD 是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD 为正方形．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，∵∠OBC ＝∠OCB ，∴OB ＝OC ，∴AC ＝BD ，∴平行四边形ABCD 是矩形(2)AB ＝AD(或AC ⊥BD 答案不唯一)．理由：∵四边形ABCD 是矩形，又∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是正方形(或：∵四边形ABCD 是矩形，又∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是正方形)21. 如图，已知BA ＝AE ＝DC ，AD ＝EC ，CE ⊥AE ，垂足为E.(1)求证：△DCA ≌△EAC ；(2)只需添加一个条件，即AD ＝BC(答案不唯一)，可使四边形ABCD 为矩形，请加以证明．解：(1)在△DCA 和△EAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝EA ，AD ＝CE ，AC ＝CA ，∴△DCA ≌△EAC(SSS ) (2)添加AD ＝BC ，可使四边形ABCD 为矩形．理由：∵AB ＝DC ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝90°，由(1)知△DCA ≌△EAC ，∴∠D ＝∠E ＝90°，∴四边形ABCD 为矩形22. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 的延长线上，且AF ＝CE ＝AE.(1)求证：四边形ACEF 是平行四边形；(2)当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形，并说明理由．解：(1)由题意知∠FDC ＝∠DCA ＝90°，∴EF ∥CA ，∴∠AEF ＝∠EAC.∵AF ＝CE ＝AE ，∴∠F ＝∠AEF ＝∠EAC ＝∠ECA.又∵AE ＝EA ，∴△AEC ≌△EAF ，∴EF ＝CA ，∴四边形ACEF 是平行四边形 (2)当∠B ＝30°时，四边形ACEF 是菱形．理由：∠B ＝30°，∠ACB ＝90°，∴AC ＝12AB.∵DE 垂直平分BC ，∴BE ＝CE.∵AE ＝CE ，∴AE ＝BE ＝CE ＝12AB ，∴AC ＝CE ，由(1)得四边形ACEF 是平行四边形，∴四边形ACEF 是菱形五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)23. 如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF.(1)求证：BE ＝BF ；(2)若∠ABE ＝20°，求∠BFE 的度数；(3)若AB ＝6，AD ＝8，求AE 的长．解：(1)由题意得∠BEF ＝∠DEF.∵四边形ABCD 为矩形，∴DE ∥BF ，∴∠BFE ＝∠DEF ，∴∠BEF ＝∠BFE ，∴BE ＝BF (2)∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABF ＝90°；而∠ABE ＝20°，∴∠EBF ＝90°－20°＝70°；又∵∠BEF ＝∠BFE ，∴∠BFE 的度数为55° (3)由题意知BE ＝DE ；设AE ＝x ，则BE ＝DE ＝8－x ，由勾股定理得(8－x)2＝62＋x 2，解得x ＝74，即AE 的长为7424. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60 cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA方向以4 cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2 cm /s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t s (0＜t ≤15)．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF.(1)求证：AE ＝DF ；(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；(3)当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．解：(1)∵∠DFC ＝90°，∠C ＝30°，DC ＝4t ，∴DF ＝2t ，又∵AE ＝2t ，∴AE ＝DF (2)能，理由：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF ，又∵AE ＝DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形，当AE ＝AD 时，四边形AEFD 为菱形，即60－4t ＝2t ，解得t ＝10，∴当t ＝10秒时，四边形AEFD 为菱形 (3)①当∠DEF ＝90°时，由(1)知四边形AEFD 为平行四边形，∴EF ∥AD ，∴∠ADE＝∠DEF ＝90°，∵∠A ＝60°，∴∠AED ＝30°，∴AD ＝12AE ＝t ，又AD ＝60－4t ，即60－4t ＝t ，解得t ＝12；②当∠EDF ＝90°时，四边形EBFD 为矩形，在Rt △AED 中∠A ＝60°，则∠ADE ＝30°，∴AD ＝2AE ，即60－4t ＝4t ，解得t ＝152；③若∠EFD ＝90°，则E 与B 重合，D 与A 重合，此种情况不存在．综上所述，当t ＝152s 或12 s 时，△DEF 为直角三角形25. 已知正方形ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，CD 上的点，连接AE ，BF 相交于点H ，且AE ⊥BF.(1)如图1，连接AC 交BF 于点G ，求证：∠AGF ＝∠AEB ＋45°；(2)如图2，延长BF 到点M ，连接MC ，若∠BMC ＝45°，求证：AH ＋BH ＝BM ；(3)如图3，在(2)的条件下，若点H 为BM 的三等分点，连接BD ，DM ，若HE ＝1，求△BDM 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝∠BCD ＝90°，∴∠ACB ＝∠ACD ＝45°，∵AE ⊥BF ，∴∠AEB ＋∠FBC ＝90°，∵∠FBC ＋∠BFC ＝90°∴∠AEB ＝∠BFC ，∵∠AGF ＝∠BFC ＋∠ACF ，∴∠AGF ＝∠AEB ＋45° (2)过C 作CK ⊥BM 于K ，∴∠BKC ＝∠AHB ＝90°，∵∠BMC ＝45°，∴CK ＝MK ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，∴∠ABH ＝∠BCK ，∴△ABH ≌△BCK(AAS )，∴BH ＝CK ＝MK ，AH ＝BK ，∴BM ＝BK ＋MK ＝AH ＋BH (3)由(2)得，BH ＝CK ＝MK ，∵H 为BM 的三等分点，∴BH ＝HK ＝KM ，过E 作EN ⊥CK 于N ，∴四边形HENK 是矩形，∴HK ＝EN ＝BH ，∠BHE ＝∠ENC ，∴△BHE ≌△ENC(ASA )，∴HE ＝CN ＝NK ＝1，∴CK ＝BH ＝2，∴BM ＝6，连接CH ，∵HK ＝MK ，CK ⊥MH ，∠BMC ＝45°，∴CH ＝CM ，∠MCH ＝90°，∴∠BCH ＝∠DCM ，∴△BHC ≌△DMC(SAS )，∴BH ＝DM ＝2，∠BHC ＝∠DMC ＝135°，∴∠DMB ＝90°，∴△BDM 的面积为12DM ·BM ＝6。
2020秋北师大版九年级数学上第一、二章检测题含答案
单元测试(一) 特殊平行四边形(满分：150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分)1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝8，则CD的长是( )A．6 B．5 C．4 D．32．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠OAD＝40°，则∠COD＝( )A．20° B．40° C．80° D．100°3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是( )A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为( )A．4 B．3 C．2 D．15．如果要证明ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( )A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BDC．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分6．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )A．10 B．8 C．6 D．57．在正方形ABCD中，AB＝12，对角线AC，BD相交于点O，则△ABO的周长是( )A．12＋12 2 B．2＋6 2C．12＋ 2 D．24＋6 28．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为( ) A．16a B．12aC．8a D．4a9．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是( )A．8 B．4 2C．8 2 D．1610．下列命题中，错误的是( )A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等11．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60° D．∠ACB＝60°12．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°，则∠DAF＝( )A．40° B．35°C．20° D．15°13．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )A．75° B．60° C．55° D．45°14．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝( )A. 2 B．2 C. 6 D．2 215．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A．AB＝BE B．DE⊥DCC．∠ADB＝90° D．CE⊥DE二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)16．如图，菱形ABCD的一条对角线的中点O到AB的距离为2，那么O点到另一边的距离为________．17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为________度．18．如图所示，已知ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明ABCD是矩形的有________(填写序号)．19．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是________________．20．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD＝________度．三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21．(8分)如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm，对角线长是13 cm，那么矩形的周长是多少？22．(8分)如图，四边形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＋∠ADC＝180°，AC与BD相交于点O，△AOB是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形．23．(10分)如图，已知正方形ABCD，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为92，求正方形的边长．24.(12分)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长．25．(12分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G.(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．26．(14分)以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，求线段AB的最小值．27．(16分)已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．(1)求证：△ABM≌△DCM；(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD∶AB＝________时，四边形MENF是正方形．参考答案1.C2.C3.B4.A5.B6.D7.A8.C9.A 10.C 11.B 12.C 13.B 14.A 15.B 16.2 17.60 18.①④ 19.AC ＝BD 或AB ⊥BC 20.22.521.∵△AOB 、△BOC 、△COD 和△AOD 四个小三角形的周长和为86 cm ，且AC ＝BD ＝13 cm ， ∴AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝86－2(AC ＋BD)＝86－4×13＝34(cm)， 即矩形ABCD 的周长是34 cm.22.证明：∵∠BAD ＋∠ADC ＝180°， ∴AB ∥CD.又∵AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵△AOB 是等边三角形， ∴AO ＝BO.∴2AO ＝2BO ，即AC ＝BD. ∴四边形ABCD 是矩形． 2 23.设正方形的边长为x ，∵AC 为正方形ABCD 的对角线，∴AC ＝2x.∴S 菱形AEFC ＝AE ·CB ＝2x ·x ＝2x 2.∴2x 2＝9 2. ∴x 2＝9.∴x ＝±3.舍去x ＝－3. ∴正方形边长为3.24.(1)在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，∠A ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形． ∴∠ABD ＝60°.(2)由(1)可知BD ＝AB ＝4， 又∵O 为BD 的中点， ∴OB ＝2.又∵OE ⊥AB ，∠ABD ＝60°， ∴∠BOE ＝30°. ∴BE ＝12OB ＝1.25.(1)由图可知，∠DAG ，∠AFB ，∠CDE 与∠AED 相等． (2)选择∠AFB ＝∠AED ，证明如下： ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB ＝∠B ＝90°，AB ＝AD.在Rt △BAF 和Rt △ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝AD ，AF ＝DE ，∴Rt △BAF ≌Rt △ADE(HL)．∴∠AFB ＝∠AED.26.∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCD ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD. ∵AO ⊥OB ， ∴∠AOB ＝90°.∴∠AOC ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠BOD ＝90°. ∴∠AOC ＝∠BOD.∵在△COA 和△DOB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠AOC ＝∠BOD ，∴△COA ≌△DOB.∴OA ＝OB.∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形．由勾股定理得AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ， 要使AB 最小，只要OA 取最小值即可， 根据垂线段最短，OA ⊥CD 时，OA 最小， ∵四边形CDEF 是正方形， ∴FC ⊥CD ，OD ＝OF ＝OC. ∴CA ＝DA. ∴OA ＝12CF ＝1.∴AB ＝ 2.∴AB 的最小值为 2.27.(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠A ＝∠D ＝90°. 又∵M 是AD 的中点， ∴AM ＝DM.在△ABM 和△DCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠A ＝∠D ，AM ＝DM ，∴△ABM ≌△DCM(SAS)．（2）四边形MENF 是菱形．证明：∵E ，F ，N 分别是BM ，CM ，CB 的中点， ∴NE ∥MF ，NE ＝MF.∴四边形MENF 是平行四边形． 由(1)，得BM ＝CM ， ∴ME ＝MF.∴四边形MENF 是菱形．（3）当AD ∶AB ＝2∶1时，四边形MENF 是正方形．理由： ∵M 为AD 中点， ∴AD ＝2AM.∵AD ∶AB ＝2∶1， ∴AM ＝AB. ∵∠A ＝90°，∴∠ABM ＝∠AMB ＝45°. 同理：∠DMC ＝45°.∴∠EMF ＝180°－45°－45°＝90°. ∵四边形MENF 是菱形， ∴四边形MENF 是正方形． 故答案为2∶1.单元测试(二) 一元二次方程(满分：150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分) 1.下列方程中，关于x 的一元二次方程是( )A ．x 2＋2y ＝1 B.1x 2＋1x－2＝0C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋2x ＝12．用公式法解一元二次方程3x 2－2x ＋3＝0时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述正确的是( )A ．a ＝3，b ＝2，c ＝3B ．a ＝－3，b ＝2，c ＝3C ．a ＝3，b ＝2，c ＝－3D ．a ＝3，b ＝－2，c ＝33．若关于x 的方程2x m －1＋x －m ＝0是一元二次方程，则m 为( )A ．1B ．2C ．3D ．04．一元二次方程x 2－2x －1＝0的根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根5．一元二次方程x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2的值是( )A ．4B ．－4C ．3D ．－3 6．方程x(x ＋2)＝0的根是( )A ．x ＝2B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝－2D ．x 1＝0，x 2＝27．用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( )A ．(x ＋1)2＝6B ．(x －1)2＝6C ．(x ＋2)2＝9D ．(x －2)2＝9 8．根据下面表格中的对应值：判断方程ax 2＋bx ＋c ＝A ．3＜x ＜3.23 B ．3.23＜x ＜3.24 C ．3.24＜x ＜3.25 D ．3.25＜x ＜3.26 9．解方程(x ＋1)(x ＋3)＝5较为合适的方法是( )A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法或配方法D ．分解因式法10．已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．411．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则三角形的周长为( )A ．11B ．13C ．15D ．11或13 12．下列说法不正确的是( )A ．方程x 2＝x 有一根为0B ．方程x 2－1＝0的两根互为相反数C ．方程(x －1)2－1＝0的两根互为相反数D ．方程x 2－x ＋2＝0无实数根13．对二次三项式x 2－10x ＋36，小聪同学认为：无论x 取什么实数，它的值都不可能等于11；小颖同学认为：可以取两个不同的值，使它的值等于11.你认为( )A．小聪对，小颖错 B．小聪错，小颖对C．他们两人都对 D．他们两人都错14．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为( )A．100×80－100x－80x＝7 644B．(100－x)(80－x)＋x2＝7 644C．(100－x)(80－x)＝7 644D．100x＋80x＝35615．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( )二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)16．将方程3x(x－1)＝5化为ax2＋bx＋c＝0的形式为____________．17．若x＝1是一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根，则m的值为________．18．若(m＋n)(m＋n＋5)＝6，则m＋n的值是________．19．一件工艺品进价100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得的利润为3 596，每件工艺品需降价________元．20．已知关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2<ab；③x21＋x22<a2＋b2.则正确结论的序号是________．(填上你认为正确的所有序号)三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21．(8分)选择适当的方法解下列方程：(1)(x－3)2＝4；(2)x2－5x＋1＝0.22．(8分)已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若mn＋m＋n＝2，求a的值．23．(10分)随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．咸宁市2013年销售烟花爆竹20万箱，到2015年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率．24.(12分)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．25．(12分)已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程的根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．26.(14分)观察下列一元二次方程，并回答问题：第1个方程：x2＋x＝0；第2个方程：x2－1＝0；第3个方程：x2－x－2＝0；第4个方程：x2－2x－3＝0；…(1)第2 016个方程是____________________；(2)直接写出第n个方程，并求出第n个方程的解；(3)说出这列一元二次方程的解的一个共同特点．27．(16分)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．参考答案1．D 2.D 3.C 4.B 5.D 6.C 7.B 8.C 9.C 10.B 11.B 12.C 13.D 14.C 15.B 16.3x 2－3x －5＝0 17.－3 18.－6或1 19.6 20.①② 21.(1)x 1＝1，x 2＝5. (2)x 1＝5＋212，x 2＝5－212.22.∵m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋a ＝0的两个解，∴m ＋n ＝3，mn ＝a. ∵mn ＋m ＋n ＝2，∴a ＋3＝2.解得a ＝－1.23.设年销售量的平均下降率为x ，依题意，得20(1－x)2＝9.8. 解这个方程，得x 1＝0.3，x 2＝1.7. ∵x 2＝1.7不符合题意， ∴x ＝0.3＝30%.答：咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%.24.(1)设其中一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长为(10－x)cm.由题意，得x 2＋(10－x)2＝58.解得x 1＝3，x 2＝7.4×3＝12，4×7＝28.答：小林把绳子剪成12 cm 和28 cm 的两段．(2)假设能围成．由(1)得x 2＋(10－x)2＝48.化简得x 2－10x ＋26＝0. ∵b 2－4ac ＝(－10)2－4×1×26＝－4<0， ∴此方程没有实数根． ∴小峰的说法是对的．25.(1)∵b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入原方程，得9＋6m ＋m 2－1＝0.解得m 1＝－2，m 2＝－4.26.(1)x 2－2 014x －2 015＝0(2)第n 个方程是x 2－(n －2)x －(n －1)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝n －1.(3)这列一元二次方程的解的一个共同特点：有一根是－1. 27.(1)△ABC 是等腰三角形．理由： ∵x ＝－1是方程的根，∴(a ＋c)×(－1)2－2b ＋(a －c)＝0. ∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0. ∴a －b ＝0. ∴a ＝b.∴△ABC 是等腰三角形．(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0.∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0. ∴a 2＝b 2＋c 2.∴△ABC 是直角三角形． (3)∵△ABC 是等边三角形，∴(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0可整理为2ax 2＋2ax ＝0. ∴x 2＋x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－1.。
北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形 》单元检测卷及答案
北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元检测卷及答案一、选择题1．下列说法不正确的是（）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形是正方形D．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(-3，0)，(2，0)，点D 在y轴上，则点C的坐标是（）A．(5，4) B．(4，5) C．(4，4) D．(5，3)3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4则矩形对角线的长为（）A．4 B．8 C．4√3D．4√54．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于（）A．4.5B．5 C．6 D．95．如图，在矩形ABCD中AB=3，BC=4，AE⊥BD于F，则线段AF的长是（）A．3B．2.5C．2.4D．26．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE 的度数为（）A．60°B．75°C．72°D．90°7．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（）A．62.5∘B．45∘C．32.5∘D．22.5∘8．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF,DE若∠FAC=15°，则∠AED的度数为( )A．80°B．90°C．105°D．115°二、填空题9．如图，若菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=6cm，E是CD的中点，则OE 的长为cm.10．如图，菱形ABCD的周长为24，点A的坐标为（2√5，0），则点D的坐标为．11．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=120°，AD=3，则该矩形对角线的长度等于．12．如图，E，F是正方形ABCD对角线BD上的两点，BD = 8，BE = DF = 2，则四边形AECF的面积是．13．如图，边长为6的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上EC=2，则PC+PE的最小值是．三、解答题14．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接AF，CE．求证：四边形AFCE是菱形．15．如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=12，EF=4√2，求OE和BG的长.16．如图，在矩形ABCD中AC， BD相交于点O AE∥BD，BE∥AC．（1）求证：四边形AEBO是菱形；（2）若AB=2，OB=3求AD的长及四边形AEBO的面积．17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E．（1）求证：AC=CE．（2）若∠BOC=60°，CE=4求AB的长．18．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是线段OD上一点，连接EC，作BF⊥CE于点F，交OC于点G.（1）求证：BG=CE；（2）若AB=4，BF是∠DBC的角平分线，求OG的长.参考答案1．D2．A3．B4．A5．C6．B7．D8．C9．310．（0，—4）11．612．1613．2√1314．证明：∵EF垂直平分AC∴AF=CF，AE=CE，OA=OC∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠CFO=∠AEO在△COF和△AOE中{∠CFO=∠AEO∠COF=∠AOEOC=OA∴△COF≌△AOE(AAS)∴CF=AE∴AF=CF=CE=AE∴四边形AFCE是菱形．15．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形∴OB=OD.∵E是AD的中点∴OE是△ABD的中位线.∴OE∥FG.∵OG∥EF∴四边形OEFG是平行四边形.∵EF⊥AB，∴∠EFG=90°.∴平行四边形OEFG是矩形.（2）解：∵四边形ABCD是菱形∴BD⊥AC，AB=AD=12.∴∠AOD=90°.∵E是AD的中点AD=6.∴OE=AE=12由(1)，知四边形OEFG是矩形∴FG=OE=6.∵EF⊥AB∴∠EFA=90°.∴AF=√AE2−EF2=√62−(4√2)2=2. ∴BG=AB-AF-FG=12-2-6=4. 16．（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC ∴四边形AEBO是平行四边形∵四边形ABCD是矩形∴AO=CO，BO=DO，AC=BD∴OA=OB∴四边形AEBO是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形∴∠DAB=90°，BO=DO∵OB=3，AB=2∴BD=6由勾股定理得：AD=√BD2−AB2=√62−22=4√2连接EO交AB与M，如图所示由（1）知四边形AEBO是菱形∴OE⊥AB，AM=BM，EM=OM∴BM=1由勾股定理得：OM=√OB2−BM2=√32−12=2√2∴OE=4√2∴S菱形AEBO =12EO×AB=12×4√2×2=4√2．17．（1）证明：（证法不唯一）∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AC=BD∴BE∥CD．∵BD∥CE∴四边形BDCE是平行四边形∴BD=CE∴AC=CE．（2）解：∵四边形ABCD是矩形∴OA=OB，∠ABC=90°∴∠OAB=∠OBA=30°．∵CE=4∴AC=CE=4∴BC=2∴AB=√AC2−BC2=2√318．（1）解：证明：∵正方形ABCD中，AC、BD相交于O ∴BO=CO，BO⊥CO ∵BF⊥EC∴∠5=∠6=∠7=90°∵∠3=∠4∴∠1=∠2∴△BOG≅△CEO∴BG=CE.（2）解：∵BF是∠DBC的角平分线，∴∠1=∠8∵BF=BF∠9=∠6=90°∴△BEF≅△BCF(ASA)∴BE=BC=4∵四边形BCD是正方形∴∠AOB=90°AO=BO设AO为x，由勾股定理，得2x2=42解得x=2√2.∵△BOG≅△COE∴OG=OE∵OE=BE−BO=4−2√2∴OG=4−2√2.。
北师大版2020九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合基础过关测试题B(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合基础过关测试题B（附答案详解）1．下列命题中，是假命题的是（）A．四个角都相等的四边形是矩形B．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴C．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点．若AC=10，BD=6，则四边形EFGH的面积为（）A．15 B．20 C．30 D．603．如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE=5，且EO=2DE，则ED的长为( )A．5B．25C．1 D．24．如图，G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，已知GD=5，则FG为（）A．3 B．3.2 C．4 D．4.85．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径作弧，两弧交于点M、N；第二步，过M、N两点作直线分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF，若BD=8，AF=6，CD=4，则BE的长是（）A．12 B．11 C．13 D．106．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为（）A．10cm B．13cm C．15cm D．24cm7．如图，菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，点E是DC边上的中点,连接OE.OE ＝5，BD＝12，则菱形的面积为（）A．48 B．96 C．24 D．608．如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于点A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连接BE，若AB＝2，则BE的最小值为（）A．3+1 B．23﹣1 C．3 D．4﹣39．如图，矩形ABCD中，CD=6，E为BC边上一点，且EC=2将△DEC沿DE折叠，点C落在点C'．若折叠后点A，C'，E恰好在同一直线上，则AD的长为（）A．8 B．9 C．D．1010．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）．A 51+B51-C．1 D．211．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+3．其中正确结论的序号是________________12．对下列现象中蕴含的数学原理阐述正确的是_____（填序号）①如图（1），剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成一个平行四边形．其依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形．②如图（2），工人师傅在做矩形门窗时，不仅测量出两组对边的长度是否相等，还要测量出两条条对角线的长度相等，以确保图形是矩形．其依据是对角线相等的四边形是矩形．③如图（3），将两张等宽的纸条放在一起，重合部分构成的四边形ABCD一定是菱形．其依据是一组邻边相等的平行四边形是菱形．④如图（4），把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形．其依据是一组邻边相等的矩形是正方形．13．如图，在边长为1的正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E、F分别在边BC和CDEF=-，其中正确的上则下列结论：①CE=CF：②∠AEB=75°；③S△EFC=1；④62有______（用序号填写）∆沿着所在直线翻折后，点D落14．如图，长方形ABCD中，点E在边CD上，ADE∠+∠=______︒.在BC边上的点F处，则1215．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点P 是BC 上的一个动点，连接AP 、DP ，则AP+DP 的最小值为_____．16．正方形A 1B 1C 1O ，正方形A 2B 2C 2C 1，正方形A 3B 3C 3C 2，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，若点A 1、A 2、A 3和C 1、C 2、C 3…分别在直线y ＝x +1和x 轴上，则点B 2019的坐标是_____．17．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，且EC 平分∠BED ，若AB=1，∠EBC=45°，则BC 的长为_____.18．如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为________．19．如图所示，已知AD ∥BC ，AB ⊥BC ，CD ⊥DE ，CD=ED ，AD=6，BC=9，则△ADE 的面积为_____．20．如图，在ABC △中，4AC AB ==，AH BC ⊥垂足为15H AH =，，BD 是中线，将CBD 沿直线BD 翻折后，点C 落在点E ，那么AE 为_________.21．四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别是DC 和CB 的延长线上的点，且DE BF =，连接AE 、AF 、EF（1）求证：ADE ABF ∆≅∆（2）若12BC =，4DE =，求AEF ∆的面积.22．在平面直角坐标系xOy 中,边长为5的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点P,顶点A 在x 轴正半轴上运动,顶点B 在y 轴正半轴上运动(x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C ．D 都在第一象限。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合测试题及答案
第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）一、选择题(本大题共6小题，共24分)1．下列关于▱ABCD的叙述中，正确的是( )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形2．如图1，在△ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF ∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形123．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC ＝130°，则∠AOE的度数为( )A．75° B．65° C．55° D．50°4．如图3，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A.125B.65C.245 D．不确定345．如图4，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是( )A．2.5 B.5 C.322 D．26．如图5，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为( )图5A．(2，2 3) B．(32，2－3)C．(2，4－2 3) D．(32，4－2 3)二、填空题(本大题共6小题，共30分)7．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是________．8．如图6所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝2 cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B′重合，则AC＝________ cm.679．如图7所示，若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为________．10．如图8，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是________．8911．如图9所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．图1012．如图10，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为________．三、解答题(共46分)13．(10分)如图11，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝2，求菱形BEDF的面积．图1114．(10分)如图12，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝20 cm，BD＝12 cm，两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．(1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？图1215．(12分)如图13，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，E，F分别是AB，AC的中点．(1)求证：四边形AEDF是菱形；(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.图1316．(14分)如图14，四边形ABCD是正方形，E是直线CD上的点，将△ADE沿AE对折得到△AFE，直线EF交边BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)当DE是线段CD的一半时，请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形(保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下，求∠EAG的度数．图141．C 2.D 3.B 4.A5．B ．6．C7．6 .8．49．(2＋2，2)10．45°.11．12 12.75813．解：(1)证明：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形．(2)∵正方形ABCD的边长为4，∴BD＝AC＝4 2.∵AE＝CF＝2，∴EF＝AC－2 2＝2 2，∴S菱形BEDF＝12BD·EF＝12×4 2×2 2＝8.14．解：(1)证明：连接DE，EB，BF，FD.∵两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，∴AE＝CF.∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OD＝OB，OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，即以点B，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形．(2)当点E在OA上，点F在OC上，EF＝BD＝12 cm时，四边形BEDF为矩形．∵运动时间为t，∴AE＝CF＝2t，∴EF＝20－4t＝12，∴t＝2；当点E在OC上，点F在OA上时，EF＝BD＝12 cm，EF＝4t－20＝12，∴t＝8.因此，当点E，F的运动时间t为2 s或8 s时，四边形BEDF为矩形．15．解：(1)证明：∵AD⊥BC，E，F分别是AB，AC的中点，∴在Rt△ABD中，DE＝12AB＝AE，在Rt△ACD中，DF＝12AC＝AF.又∵AB＝AC，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形．(2)如图，∵菱形AEDF的周长为12，∴AE＝3.设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7，∴x2＋2xy＋y2＝49.①由四边形AEDF是菱形得AD⊥EF，∴在Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，∴(12y)2＋(12x)2＝32，即x2＋y2＝36.②把②代入①，可得2xy＝13，∴xy＝132，∴菱形AEDF的面积S＝12xy＝134.16．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.∵将△ADE沿AE对折得到△AFE，∴AF＝AD＝AB，∠AFE＝∠D＝90°.在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB＝AF，AG＝AG，)∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．(2)如图所示：(3)∵△AFE≌△ADE，△ABG≌△AFG，∴∠EAF＝∠EAD，∠GAF＝∠GAB.∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝12×90°＝45°.第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）（100分钟，120分）一、选择题1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC 2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°4．给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍．其中真命题的是（）A．③B．①② C．②③D．③④5．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）A．3B．4 C．5 D．76．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8．如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（）A．8 B．9 C．11 D．129．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3 C．D．1+10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2B．3 C．D．二、填空题11．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形、正方形．12．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是3cm2．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于 3.5 ．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵AB+BC+CD+DA=28，∴AD=7，∵H为AD边中点，∴OH=AD=3.5；15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为5．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，求△AEF的周长。
(新版)北师大版2020学年九年级数学上册第1章特殊的平行四边形单元检测题
《第1章特殊的平行四边形》单元测试卷一、选择题：（每小题3分，共36分）1．下列判定正确的是( )A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形2．下列说法中，错误的是( )A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形3．下列命题原命题与逆命题都是真命题的是( )A．矩形的对角线相等B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．矩形有一个内角是直角D．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是( )A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形5．两条对角线相等的平行四边形一定是( )A．矩形 B．菱形 C．矩形或正方形 D．正方形6．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )A．3.5 B．4 C．7 D．147．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是( )A．矩形 B．菱形 C．正方形D．平行四边形8．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB=( )A．30° B．45° C．22.5°D．135°9．如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE的度数为( )A．30° B．22.5°C．15° D．45°10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为( )A．4.8 B．5 C．5.8 D．611．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．1912．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( )A．2 B．3 C．D．二、填空题（每小题3分，共12分）13．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为__________，面积为__________．14．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为__________．15．在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF=__________．16．如图，菱形ABCD的周长为24cm，∠A=120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，则PE﹢PC的最小值是__________．三、解答题：17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC 是矩形．18．已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，ED=AF．求证：四边形AEDF是菱形．19．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△AB C外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F．（1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并给出证明．22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．23．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．北师大新版九年级上册《第1章特殊的平行四边形》单元测试卷一、选择题：（每小题3分，共36分）1．下列判定正确的是( )A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形【考点】多边形．【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案．【解答】解：A、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故A错误；B、两条对角线相等且平分且互相垂直的四边形是正方形，故B正确；C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故C正确；D、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形、可能是等腰梯形，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了多边形，熟记平行四边形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．2．下列说法中，错误的是( )A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形，故选：D．【点评】主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．3．下列命题原命题与逆命题都是真命题的是( )A．矩形的对角线相等B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．矩形有一个内角是直角D．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形【考点】命题与定理．【分析】分别写出四个命题的逆命题，再判断是否是真命题即可．【解答】解：A、矩形的对角线相等，逆命题是对角线相等的四边形是矩形，错误；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，逆命题是矩形的对角线互相平分且相等，正确；C、矩形有一个内角是直角，逆命题是有一个内角是直角的四边形是矩形，错误；D、对角线互相垂直且平分的四边形是矩形，错误．故选B．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推论论证得到的真命题称为定理．4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是( )A．正方形B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．两条对角线相等的平行四边形一定是( )A．矩形 B．菱形 C．矩形或正方形 D．正方形【考点】矩形的判定．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，直接得出答案即可．【解答】解：因为对角线相等的平行四边形是矩形．故选：A．【点评】此题考查了特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点是解题关键．6．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )A．3.5 B．4 C．7 D．14【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH=AB．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵H为AD边中点，∴OH是△ABD的中位线，∴OH=AB=×7=3.5．故选：A．【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．7．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是( )A．矩形 B．菱形 C．正方形D．平行四边形【考点】中点四边形．【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．【解答】解：连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．故选B．【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．8．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB=( )A．30° B．45° C．22.5°D．135°【考点】菱形的性质；正方形的性质．【分析】由正方形的性质得对角线AC平分直角，因为菱形的对角线平分所在的角，所以∠FAB 为直角的．【解答】解：因为AC为正方形ABCD的对角线，则∠CAE=45°，又因为菱形的每一条对角线平分一组对角，则∠FAB=22.5°，故选：C．【点评】此题主要考查了正方形、菱形的对角线的性质．9．如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE的度数为( )A．30° B．22.5°C．15° D．45°【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．【分析】由正方形的性质得到BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，根据BE=BC，根据三角形的内角和定理求出∠BEC=∠BCE=67.5°，根据∠DCE=∠BCD﹣∠BCE即可求出答案．【解答】解：∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，∵BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=67.5°，∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCE=90°﹣67.5°=22.5°，故选B．【点评】本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出∠DCE的度数是解此题的关键，题型较好，难度适中．10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为( )A．4.8 B．5 C．5.8 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】数形结合．【分析】注意发现：在折叠的过程中，BE=DE，从而设BE即可表示AE，在直角三角形ADE 中，根据勾股定理列方程即可求解．【解答】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，在RT△ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10﹣x）2+16．解得：x==5.8（cm）．故选C．【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．11．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．19【考点】勾股定理．【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图，设正方形S1的边长为x，∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，∴AC=BC=2CD，又∵AD=AC+CD=6，∴CD==2，∴EC2=22+22，即EC=2；∴S1的面积为EC2=2×2=8；∵∠MAO=∠MOA=45°，∴AM=MO，∵MO=MN，∴AM=MN，∴M为AN的中点，∴S2的边长为3，∴S2的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．【点评】本题考查了勾股定理，要充分利用正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．12．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( )A．2 B．3 C．D．【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE 最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果．【解答】解：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为4，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．∴所求最小值为2．故选：A．【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．二、填空题（每小题3分，共12分）13．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为10cm，面积为50cm2．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积．【解答】解：根据已知可得，菱形的边长AB=BC=CD=AD=10cm，∠ABC=60°，∠BAD=120°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=10cm，AO=CO=5cm，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO==5，∴BD=2BO=10（cm），则S菱形ABCD=×AC×BD=×10×10 =50（cm2）；故答案为：10cm，50cm2．【点评】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法（1）利用底乘以相应底上的高（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=×两条对角线的乘积．14．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF 的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，在△ENG和△BNM中∵，∴△ENG≌△BNM（AAS），∴NG=NM，∴CM=DE，∵E是AD的中点，∴AE=ED=BM=CM，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5，∴BC===2．故答案为：2．【点评】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．15．在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF=．【考点】矩形的性质．【分析】连接PO，过D作DM⊥AC于M，求出AC、DM，根据三角形面积公式得出PE+PF=DM，即可得出答案．【解答】解：连接PO，过D作DM⊥AC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AB=CD=5，AD=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，由勾股定理得：AC=13，∴OA=OD=6.5，∵S△ADC=×12×5=×13×DM，∴DM=，∵S AOD=S△APO+S△DPO，∴AO×PE+OD×PF=×AO×DM，∴PE+PF=DM=，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，关键是求出DM长和得出PE+PF=DM．16．如图，菱形ABCD的周长为24cm，∠A=120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，则PE﹢PC的最小值是3．【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质．【专题】探究型．【分析】先求出菱形各边的长度，作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，则CE′的长即为PE﹢PC的最小值，由菱形的性质可知E′为AB的中点，由直角三角形的判定定理可得出△BCE′是直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为24cm，∴AB=BC==6cm，作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，则CE′的长即为PE﹢PC的最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴BD是∠ABC的平分线，∴E′在AB上，由图形对称的性质可知，BE=BE′=BC=×6=3，∵BE′=BE=BC，∴△BCE′是直角三角形，∴CE′===3，故PE﹢PC的最小值是3．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质、直角三角形的判定定理，根据轴对称的性质作出图形是解答此题的关键．三、解答题：17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC 是矩形．【考点】矩形的判定；菱形的性质．【分析】根据平行四边形的判定推出四边形OBEC是平行四边形，根据菱形性质求出∠AOB=90°，根据矩形的判定推出即可．【解答】证明：∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴平行四边形OBEC是矩形．【点评】本题考查了菱形性质，平行四边形的判定，矩形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．18．已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，ED=AF．求证：四边形AEDF是菱形．【考点】菱形的判定；角平分线的定义；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠FAD=∠FDA，则可求得AF=DF，故可证明四边形AEDF是菱形．【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线∴∠EAD=∠FAD∵DE∥AC，ED=AF∴四边形AEDF是平行四边形∴∠EAD=∠ADF∴∠FAD=∠FDA∴AF=DF∴四边形AEDF是菱形．【点评】此题主要考查菱形的判定、角平分线的定义和平行线的性质．此题运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．19．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】在菱形中，由SAS求得△ABE≌△ADF，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE．【解答】证明：∵ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D．又∵EB=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴∠AEF=∠AFE．【点评】本题利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．【专题】证明题；开放型．【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．【解答】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F．（1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并给出证明．【考点】正方形的判定．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得AD是∠BAC的角平分线，再根据角平分线的性质可得DE=DF；（2）添加∠BAC=90°，根据三角形是直角的四边形是矩形可得四边形AFDE是矩形，再由条件DF=DE可得四边形EDFA是正方形．【解答】解：（1）连接AD，∵AB=AC，D是的BC边的中点，∴AD是∠BAC的角平分线，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DE；（2）添加∠BAC=90°，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AFD=∠AED=90°，∴四边形AFDE是矩形，∵DF=DE，∴四边形EDFA是正方形．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及正方形的判定，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥B D于点E，求OE的长．【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA=OD，根据∠AOD=60°可得△AOD为等边三角形，即OA=AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．【解答】解：∵对角线相等且互相平分，∴OA=OD∵∠AOD=60°∴△AOD为等边三角形，则OA=AD，BD=2DO，AB=AD，∴AD=2，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点∴OE=OD=AD=1，答：OE的长度为 1．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角形三线合一的性质，本题中求得E为OD的中点是解题的关键．23．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；（3）分三种情况分别讨论即可求得．【解答】（1）证明：如图1，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）证明：如图1，∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，∴∠EBC=∠DBC=22.5°，由（1）知△BCE≌△DCF，∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；∴∠BGD=90°（三角形内角和定理），∴∠BGF=90°；在△DBG和△FBG中，，∴△DBG≌△FBG（ASA），∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），∵BD==，∴BF=，∴CF=BF﹣BC=﹣1；（3）解：如图2，∵CF=﹣1，BH=CF∴BH=﹣1，①当BH=BP时，则BP=﹣1，∵∠PBC=45°，设P（x，x），∴2x2=（﹣1）2，解得x=2﹣或﹣2+，∴P（2﹣，2﹣）或（﹣2+，﹣2+）；②当BH=HP时，则HP=PB=﹣1，∵∠ABD=45°，∴△PBH是等腰直角三角形，∴P（﹣1，﹣1）；③当PH=PB时，∵∠ABD=45°，∴△PBH是等腰直角三角形，∴P（，），综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（2﹣，2﹣）、（﹣2+，﹣2+）、（﹣1，﹣1）、（，）．【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．21。
初中数学北师大版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 单元测试(含答案)
第一章特殊平行四边形一、单选题1．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的一个条件是（ ）A．AB=BC B．AC=BD C．∠ABC=90°D．AC与BD互相平分2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点．若∠BOC=120°，AC=8，则AB的长为（）A．6B．4C．43D．423．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，点D是AB的中点，则CD的长度是（）A．7cm B．6cm C．5cm D．4cmCD的长为半径4．如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，分别以C，D为圆心，以大于12作弧，两弧分别交于G，H两点，作直线GH交CD于点E，连接AE，点D关于AE的对称点为点M，作射线AM交BC于点N，则CN的长为（）A ．253B ．4C ．256D ．55．如图，在长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为（ ）A ．158B ．154C ．152D ．156．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 是AD 的中点，连接OE ，△ABD 的周长为12cm ，则下列结论错误的是（ ）A ．OE ∥ABB ．四边形ABCD 是中心对称图形C ．△EOD 的周长等于3cmD ．若∠ABC =90°，则四边形ABCD 是轴对称图形7．如图，在△ABC 中，AB =5，AC =12，BC =13，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）A．6013B．3013C．2413D．12138．如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE+PD 的最小值为（）A．35B．32C．6D．5二、填空题9．菱形的周长为12cm，它的一个内角为60°，则菱形的面积为．10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC中点，AC＝3，BD＝4，则线段OH的长为．11．如图，在△ABC中，点D在BC上过点D分别作AB、AC的平行线，分别交AC、AB于点E、F①如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备条件：；②如果要得到菱形AEDF，那么△ABC应具备条件：．12．已知，如图，四边形ABCD是正方形，BE=AC，则∠BED=度．13．如图，矩形ABCD内有一点P，连接AP，DP，CP，延长CP交AB于点E，若∠APD=90°,AD=8,CP=CD=6，则AE的长是．OA，把矩形OABC沿OB折叠，14．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8,0)，AB=12点C落在点D处，BD交OA于点E，则点E的坐标为．15．如图，已知点E在菱形ABCD的边AB上，以BE为边向菱形ABCD外部作菱形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN．若AB=5，BE=2，∠ABC=120°，则MN=．16．如图，在边长为10的正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作AE的垂线，交AE于点G，交CD于点H，F是BH上一点，连接EF，若BE=FE，则FH的长为．17．如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =24，点P 在BC 边上，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，则PE +PF = ．18．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，BP ＝5．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为2；③S △APD +S △APB ＝12+62；④S 正方形ABCD ＝4+6．其中正确结论的序号是 ．三、解答题19．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO =CO ，BO =DO ，且∠ABC=90°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形．（2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB 的度数；②四边形ABCD 的面积．20．如图，在菱形ABCD中，∠A=60∘，AB=4，O是对角线BD的中点，过O点作OE丄AB，垂足为E．(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长；(3)求菱形ABCD的面积．21．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AD=3，CD=2，且∠ADC=60°，求菱形AECF的面积．22．十一国庆节，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级（1）班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．武玥同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC=20cm，宽AB=16cm的长方形纸片ABCD；②如图，将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处．请你根据①②步骤计算EC，FC的长．23．综合与实践：【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了新人教版数学教材第64页的数学活动1．其内容如下：如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）；（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM．同时，得到了线段BN．【知识运用】请根据上述过程完成下列问题：（1）已知矩形纸片ABCD，AB=43，AM=4，求线段BM的长；（2）通过观察猜测∠NBC的度数是多少？并进行证明；【综合提升】（3）乐乐在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图2），将MN延长交BC于点G．将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．请判断四边形BGHM的形状，并说明理由．参考答案：1．A2．B3．C4．C5．B6．C7．B8．Acm29．93210．5411．∠BAC=90∘AD平分∠BAC 12．22.513．8314．(5,0)15．67216．517．1201318．①③④19．解：（1）证明：∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）∵∠ABC=90°，∠ACB=300，AB=1∴∠BAC=60°，AC=2，BC=3又∵矩形ABCD中，OA=OB∴∠AOB=180°-2∠BAC=60°S□ABCD=1×3=320．解：（1）在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠A=60∘，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60∘；（2）∵O是对角线BD的中点，BD=2，∴OB=12∵∠ABD=60∘，=1；∴BE=OBcos60∘=2×12（3）过D作DF⊥AB于点F，由(2)可得：OE=OBsin60∘=3，∵OE⊥AB，点O为BD中点，∴DF=2OE=23，则S菱形ABCD=AB⋅DF=4×23=83．21．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠FAC=∠ACE，∠AFE=∠CEF，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴四边形AECF为平行四边形，∵EF经过O且垂直于AC，∴EF是对角线AC的垂直平分线，∴AF=CF，∴四边形AECF为菱形；（2）解：过C作CH⊥AD于H，则∠CHD=∠CHF=90°，∵∠ADC=60°，∴∠HCD=30°，∴HD=12CD=1，∴CH=CD2−HD2=3，∵AD=3，∴AH=2，∵四边形AECF是菱形，∴AF=CF，设AF=CF=x，则FH=2−x，在Rt△CHF中，由勾股定理得：CF2=FH2+CH2，即x2=(2−x)2+(3)2，解得：x=74，∴AF=CF=74，∴菱形AECF的面积为：AF×CH=74×3=734．22．解：∵△ADE由△AFE关于AE对称，∴△ADE≌△AFE，∴DE=FE，AD=AF，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=AF=20cm，AB=CD=16cm，在Rt△ABF中，由勾股定理：BF=AF2−AB2=202−162=12cm，∴CF=BC-BF=20-12=8cm．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°．设CE=x，则DE=EF=16-x，在Rt△CEF中，由勾股定理：EF2=CE2+CF2，代入数据：(16-x)2=x2+64，解得：x=6．∴EC=6cm．综上所述，线段EC=6cm，CF=8cm．23．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=90°，∵AB=43，AM=4，∴BM=AB2+AM2=8；（2）猜测：∠NBC=30°，证明：连接AN：∵EF为折痕，∴EF垂直平分AB，∴AN=BN，∵△BMN由△BMA折叠所得，∴AB=BN，∴AN=BN=AB，∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN=60°，∴∠NBC=90°−60°=30°；（3）四边形BGHM为菱形，理由：∵△BMN由△BMA折叠所得，∴∠ABM=∠NBM，∠BAM=∠MNB=90°，∵∠ABN=∠ABM+∠NBM=60°，∴∠ABM=∠NBM=30°，∵∠NBC=30°，∴∠NBM=∠NBC=30°，∴∠MBG=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BM=BG，∵将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，∴△BMG≌△HGM，BH⊥MG，∴MH=BM，∴MH=BM=BG，∵MH∥BG，∴四边形BGHM是平行四边形，∵BM=BG，∴四边形BGHM是菱形．。