变分原理
有限元与变分原理
有限元与变分原理有限元方法和变分原理是结构力学和计算力学中常用的数值计算方法和理论基础。
本文将从概念、原理、应用和发展等方面介绍有限元方法和变分原理的相关知识。
一、有限元方法有限元方法是一种将连续物体离散化为有限个小区域的数值计算方法。
它将连续的物理问题转化为离散的代数问题，并通过求解代数方程组来获得物理问题的数值解。
有限元方法的基本思想是将复杂的连续介质分割成有限个简单的子域，即有限元，并在每个有限元上建立代数模型。
在建立完整的模型后，根据物理方程和边界条件，通过求解代数方程组，得到所求解的物理量。
有限元方法的优点在于能够处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种材料和结构力学问题。
二、变分原理变分原理是解决物理问题的一种重要数学工具。
它通过构造一个泛函，将物理问题转化为极值问题，通过求解泛函的极值问题来得到物理问题的解。
在结构力学和计算力学中，常用的变分原理包括极大势能原理、最小势能原理和最小总势原理。
这些变分原理的基本思想是，在满足一定边界条件的前提下，通过对位移场进行变分，使得系统的势能或总势能取得极值，从而得到系统的平衡位置和应力分布。
三、有限元方法与变分原理的应用有限元方法和变分原理在结构力学和计算力学中得到了广泛的应用。
它们可以用于求解各种结构的静力学、动力学和热力学问题。
在工程实践中，有限元方法常用于求解杆件、梁、板、壳和体等不同类型的结构。
通过将结构分割成有限个小单元，建立有限元模型，并利用变分原理进行求解，可以得到结构的应力、位移、变形等物理量的分布情况，从而评估结构的可靠性和安全性。
有限元方法还可以用于优化设计和参数优化，以满足结构的性能要求。
四、有限元方法与变分原理的发展有限元方法和变分原理的发展已经有几十年的历史。
随着计算机技术的进步和计算软件的不断发展，有限元方法已经成为结构力学和计算力学研究和工程实践中不可或缺的工具。
目前，有限元方法已经广泛应用于航空航天、汽车、船舶、建筑、能源等领域。
第二章 变分原理
第二章 变分原理变分原理是力学分析中重要数学工具之一，能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学工具的。
变分法的早期思想是Johann Bernoulli 在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。
关于变分法的一般理论是Euler 于1774年、Lagrange 于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange 变分原理。
1872年Betti 提出了功的互等定理。
1876年意大利学者Castigor 提出了最小功原理。
德国学者Hellinger 于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner 发表了与Hellinger 相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner 变分原理。
我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。
我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。
1956年Biot 建立了热弹性力学变分原理。
1964年钱伟长提出用Lagranger 乘子构造广义 分原理的方法。
1964年Gurtin 提出了线弹性动力学变分原理。
1967年意大利学者Tonti 提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，位移、应变、应力及Beltrami 应力函数都是变分变量。
§ 2.1 历史上著名的变分法命题历史上有三个著名的变分法命题，即最速降线问题、短程线线问题和等周问题。
这三个命题的提出和解决推动了变分法的发展。
1、最速降线命题1695年，Bernoulli 以公开信方式提出了最速降线命题。
如图2-1所示，设有不在同一垂线上的A 、B 两点，在此两点间连一曲线，有一重物沿此曲线下滑，忽略各种阻力的理想情况，什么曲线能使重物沿曲线AB 光滑下滑的时间最短。
设A 点与坐标原点O 重合，B 点的坐标为(x 1,y 1)，滑体质量为m ，从O 点下滑至P 点时的速度为v ，根据能量恒原理，有：221mv mgy =(2-1)用s 表示弧长，则沿弧切向方向的速度为： 图2-1 最速降线图gy dt ds v 2==(2-2)曲线弧长为：dx dx dy dydx ds 2221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=(2-3)于是，时间为：()dx gyyvds dt 212'+==(2-4)下降时间为：()⎰⎰+==12'021x Tdx gyydt T (2-5)经过求解，最速降线为圆滚线，其参数方程为：()()θθθcos 12sin 2-=-=C y C x (2-6)2、短程线命题设()0,,=z y x ϕ是如图2-2所示的曲面，在此曲面上有A 、B 两点，试问如何连接可使此曲面上A 、B 两点间的距离最短。
弹性力学的变分原理
(
f y '
)
0
f
y '
xa 0
f y '
xb 0
( •)
（•）称为自然边界条件
自变函数事先满足旳边界条件称为本质边 界条件。 实例
本章学习要点：建立力学概念
本章包括了非常多旳力学概念，这些概念是有限 元及其他力学分支中普遍用到旳，需对其内涵有 一定了解
公式推导较多、较繁，但
公式旳推导、证明过程了解思绪即可
注意到：
( y) y(x) y(x)
与(*)式比较，可见：
( y) (y)'
即：
（ddyx） ddx（y）
结论：导数旳变分等于变分旳导数，或变分
记号与求导记号能够互换。
三、泛函旳变分
一般情况下，泛函可写为：
b
I a f (x, y, y)dx
1、按照泰勒级数展开法则，被积函数 f 旳增 量能够写成
vε vc ijij
对于线弹性体
vε
vc
1 2
ijij
允 许 位 移
允 许 应 变
允 许 应 力
虚 位 移
虚 应 变
虚 应 力
§11-3 广义虚功原理
虚
虚
功
位
应
互
移
力
等
原
原
原
理
理
理
§11-3 广义虚功原理
一、真实位移、真实应力和真实应变
ui 真实位移，满足：
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
j
u
k j ,i
)
uik ui
x V x Su
k ij
变分原理——精选推荐
§9 变分原理9.1 弹性变形体的功能原理学习要点：本节讨论弹性体的功能原理。
能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。
而功能关系是能量原理的基础。
首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．态，二者彼此独立而且无任何关系。
．．．．．．．．．．．．．．．．建立弹性体的功能关系。
功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。
9.1.1 静力可能的应力：假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。
表面积为S 可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为Su；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ。
显然S=S u+Sσ假设有一组应力分量σij在弹性体内部满足平衡微分方程在面力已知的边界Sσ，满足面力边界条件这一组应力分量称为静力可能的应力。
静力可能的应力未必是真实的应力，．．．．．．．．．．．．．．．．因为真实的应力还．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．必须满足应力表达的变形协调方程．．．．．．．．．．．．．．．，但是真实的应力分量必然是静力可能的应力。
．．．．．．．．．为了区别于真实的应力分量，我们用表示静力可能的应力分量。
9.1.2 几何可能的位移：假设有一组位移分量u i和与其对应的应变分量εij，它们在弹性体内部满足几何方程在位移已知的边界S u上，满足位移边界条件这一组位移称为几何可能的位移。
几何可能的位移未必是真实的位移，因为真实的位移还必须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程．．．．．．．．．．；在面力已知的边界．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
但是，真实的位移必然是．．．S．σ．上，必须满足以位移表示的面力边界条件几何可能的。
变分法基本原理
变分法基本原理【1】变分法（Variational method）是一种数学方法，用于解决泛函的极值问题。
泛函是把函数映射到实数的映射，而泛函的极值问题是要找到使得泛函取得极值的函数。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域中的最优化问题。
【2】变分法的基本原理可以概括为以下几个步骤：步骤一：定义泛函首先，要明确定义所研究的泛函。
泛函可以是一个函数的积分、一个函数的级数或者其他数学表达式。
要根据具体问题的特点来选择合适的泛函。
步骤二：提出变分函数接下来，通过引入一个假设的函数（称为变分函数）作为泛函的自变量，使泛函成为这个变分函数的函数。
变分函数通常具有一定的约束条件，如满足特定边界条件或其他限制条件。
步骤三：计算变分利用变分函数的小扰动，即在该函数上加上一个小的修正项，计算泛函的变分。
变分是泛函在变分函数上的一阶近似变化率。
步骤四：应用欧拉-拉格朗日方程将变分代入到泛函中，得到泛函的表达式。
然后，通过应用欧拉-拉格朗日方程，将泛函转化为一个微分方程。
这个微分方程是通过对变分函数求导，然后令导数为零得到的。
步骤五：求解微分方程解决微分方程，得到最优解的表达式。
这个最优解是使得泛函取得极值的函数。
【3】变分法的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
这种方法的优势在于可以将复杂的极值问题转化为求解微分方程的问题，简化了求解的过程。
【4】变分法在物理学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于求解经典力学中的最小作用量原理，即通过将作用量泛函取极值来得到物体的运动方程。
此外，变分法还可以应用于量子力学中的路径积分方法、场论中的泛函积分等问题的求解。
【5】总之，变分法是一种数学方法，用于求解泛函的极值问题。
它的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域，并具有很好的应用前景。
变分原理
变分原理变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，或称最小作用原理。
例如：实际上光的传播遵循最小能量原理：在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
一、举一个例子（泛函）变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论。
在理论上和实践上均需要放宽解的条件。
因此，引入弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。
在讨论二阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。
Poisson 方程的Neumann 问题设Ω是单连通域，考察Poisson 方程的Neumann 问题(N) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∆-Γ,g n u f u u ，在Ω内，，使得求函数这里)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ，且满足01,=+ΓΩ⎰g f d x其中的对偶积表示)()(,2/12/1Γ⨯Γ∙∙-ΓH H .问题（N ）的解，虽然是不唯一的，但是，若把问题（N ）局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解，且赋予商范数ΩΩ∈Ω=,1)(/)(11i n f ˆv vH v RH ,V v ∈ˆ 可以得到唯一解。
实际上，由定理5.8推出RH v/)(1ˆΩ等价于半范Ω→,1ˆv v. 定义双线性泛函R V V →⨯:V v u v v u u v u v u B ∈∈∈∀∇∇=ˆ,ˆ,ˆ,ˆ),,()ˆ,ˆ（ 和线性泛函V v vv u g fdx vl ∈∈∀+→ΓΩ⎰ˆ,ˆ,,ˆ:. 其右端与v v ˆ∈无关。
因此v ˆ中的元素仅仅相差一个任意常数，同时，可以判定'V l ∈，实际上,,2/1,2/1,0,0)ˆ(ΓΓ-ΩΩ+≤v gvf vl利用范数)(2/1ΓH 定义，有vv v gf v l ˆ,)()ˆ(,1,2/1,0∈∀+≤ΓΓ-Ω， 从而 Γ-Ω+≤,2/1,0'gflV由范数等价性定理，可得V Vvu c v u v uB ˆˆ)ˆ,ˆ(,1,1≤≤ΩΩ 22,1ˆ)ˆ,ˆ(V u u u uB γ≥=Ω 也就是，双线性形式)ˆ,ˆ(v uB 在R H V /)(1Ω=上是对称、连续和强制的。
变分原理表达式以及每一项意义结构化学
变分原理表达式以及每一项意义结构化学摘要：1.变分原理简介2.变分原理表达式3.各项意义结构化学解释4.变分原理在实际应用中的优势5.总结正文：【1】变分原理简介变分原理，作为量子力学、量子场论以及量子引力等领域的基础理论，是一种描述物理系统演化的数学方法。
它通过寻找一个函数，使该函数关于物理量的期望值达到极小，从而得到系统在给定条件下的最优性质。
【2】变分原理表达式变分原理的表达式一般形式为：δS = 0其中，S 是作用量，δ 表示微小变化，这个方程表明在物理量发生微小变化时，作用量的变化率为零。
【3】各项意义结构化学解释1.波函数：描述量子系统状态的复数值函数，用符号Ψ表示。
在变分原理中，波函数的模方表示系统在给定状态下的概率。
2.哈密顿算符：描述量子系统演化的算符，包含系统能量、动量等物理量。
在变分原理中，我们要找到一个合适的哈密顿算符，使得对应的波函数满足薛定谔方程。
3.拉格朗日算符：描述力学系统演化的算符，包含系统广义坐标和速度。
在变分原理中，拉格朗日算符与哈密顿算符相结合，用于求解系统的运动方程。
【4】变分原理在实际应用中的优势1.普适性：变分原理适用于各种量子力学体系，包括粒子物理、凝聚态物理、光学等领域。
2.准确性：通过寻找使作用量极小的波函数，变分原理可以得到精确的物理结果。
3.灵活性：变分原理可以与其他数学方法相结合，如微扰论、路径积分等，从而拓展其在理论物理中的应用。
【5】总结变分原理作为量子力学的基础理论，在描述物理系统演化的过程中具有重要作用。
通过掌握变分原理的表达式和各项意义结构化学，我们可以更好地理解量子系统的性质，并为实际应用提供理论依据。
变分原理的物理应用
变分原理的物理应用1. 引言变分原理是数学和物理领域中常用的一种方法，通过对函数的变分进行极值求解，从而得到一些物理问题的解析解。
在物理学中，变分原理被广泛应用于描述自然界中的各种现象和规律，如经典力学、电磁学、量子力学等。
本文将介绍几个物理应用中使用变分原理的实例。
2. 薛定谔方程的推导薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，描述了粒子在势能场中的行为。
薛定谔方程的推导可以利用变分原理。
首先，假设粒子的波函数可由某个波函数的变分得到，然后将波函数代入薛定谔方程，得到一个关于波函数对应的能量的泛函。
通过对这个泛函进行变分，可以得到薛定谔方程中的能量本征值和波函数。
3. 波的传播问题在光学和波动力学领域，我们常常需要研究波的传播和衍射问题。
其中一个经典的例子是费马原理。
费马原理通过变分原理推导出光的传播路径为光程最短路径，即光行程时间最短。
这个原理在光学中有很广泛的应用，例如描述光的折射、反射和透射等现象。
4. 经典力学中的变分原理在经典力学中，变分原理有很多重要的应用，其中一个典型的例子是哈密顿原理。
哈密顿原理通过对作用量的变分得到物体在满足约束条件下的运动方程。
通过最小化作用量，我们可以得到物体的运动轨迹。
这个原理在经典力学中有很广泛的应用，例如描述质点、弹性体和刚体的运动等。
5. 量子力学中的变分原理在量子力学中，变分原理也有广泛的应用，例如变分法求解束缚态和散射态。
束缚态问题中，我们在给定势能下寻找粒子的定态，可以通过变分原理解决。
散射态问题中，我们希望找到经过势阱或势垒后粒子的传播波函数。
这些问题可以通过将波函数代入薛定谔方程，然后通过变分法求解得到。
6. 结论变分原理在物理学中有广泛的应用，可以用于推导方程、求解波动问题和描述粒子的运动等。
通过对物理问题的变分求解，我们可以得到系统的特征和性质，进一步理解自然界中的各种现象和规律。
因此，掌握变分原理的物理应用对于深入理解物理学理论和解决实际问题具有重要意义。
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1.1 变分的基本概念
① 泛函的概念 函数论：自变量、函数 变分原理：自变函数、泛函
举例1：平面上两个给定点： P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2） 连接该两点的曲线的长度L
显然连接P1、P2的曲线有无数条 Y
设: 曲线方程 Y=Y（X） P2
P1 显然：曲线方程不同对应不同的长度L， X
如何理解函数的微小变化那？ 有两条同类的曲线y= y (x)， y1= y 1(x) 自变函数的微小改变指：
y= y (x)和 y1= y 1(x)对有定义的一切x值 y (x)和 y 1(x)之间差的模很小，即两条曲线 纵坐标之间很接近。
y (x) -y 1(x) 很小时，我们称其为 零阶接近。
不定积分
A
y
xB
1 A2
A、B待定参数有边界条件给出。
y1 y( x1 ), y2 y( x2 )
y-y1 y-y2 x-x1 x-x2
直线方程
F 1 y'2
此时， 2
x2 x1
2 2
F y'
y'
2
dx=
x2 x1
2
1 y'2 2 y'
y'2 dx
x2
x2
Π = F ( x , y, y')dx
x1
在边界条件： y( x1 ) y1 ; y( x2 ) y2
一阶变分
x2 F
F
δΠ
x1
y
δy
y'
δy' dx
泛函求极值的条件
0
转化为：
F y
d dx
F y'
0
举例说明求解使泛函达到极值的函数的解题思路
F y
d dx
F y'
0
（1）设F不依赖y仅是y’的泛函
F 0 y
d dx
F y'0源自F C y'x2
以连接两点的最短曲线长度为例：L 1 y'2 dx
x1
F 1 y'2 仅含有y’
d
y'
0
dx 1 y'2
d
y'
0
dx 1 y'2
y' A
1 y'2
A y'
1 A2
二维：
三维： u
v x dV= s unxds
或：
s
u x
v y
ds=
c
unx vny dc
V
u x
v y
w z
dV=
c
unx vny wnz ds
格林公式：
y
c2
二维问题：
s
u
v
s
x
vds=
c
uvnxdc-
s
uds x
c1
w(
x,y )
s
F w
函数的微分定义： 函数增量：
可以展开为线性项和非线性项
线形项
与 无关； 当
函数y（x）可微。
时，
泛函的变分定义与函数的微分定义很相似
自变函数y (x)的变分 引起泛函的增量
δy (x)
可以展开为线性项和非线性项
对 的线性泛函项；
对 的非线性泛函项，是 的
同阶或高阶微量；
当
0 时，
0
也趋近于零
称其为泛函的变分
A（0，0）
y
O
P（x，y）
B(x1 ，x2)
X
v
速度
利用能量守恒定律写出该问题的数学 形式： 位能= 动能
从A点沿曲线到任一点p走过的弧长来看 速度又可表示为：
下滑所用时间： 显然：T是函数y（x）的函数——泛函
而最速降线问题就是求使时间T最小时 的函数。 下滑时间T是函数Y的泛函
变分命题为： 在满足y(0)=0，y(x1)=y1的一切函数中， 选取一个函数，使泛函T[ y (x) ]为最小值。 该泛函包括 一阶导数、一个待定函数、边条为
通过上述分析：若要求解泛函达到极值的函数 实际上就是求解
x2 F
x1 y
d dx
F y'
ydx
F
y'
y
x2
x1
0
0
欧拉方程
即通过求解该微分方程，就可得到使泛函 达到极值的y=y（x）
由此可见这个微分方程式的边值问题等价于
泛函
x2
F x, y, y' dx
的极值问题
x1
回顾内容： 泛函的极值问题
船舶计算结构力学
重要内容
• 变分原理在结构中的应用 • 加权残值法 • 有限元的基本概念
平面问题有限元 空间问题有限元
①空间杆、梁单元
②空间连续体常用单元 ③薄板弯曲有限单元 • 组合船体结构分析
变分原理
• 变分是力学分析中的数学工具 • 变分原理主要应用于：
有限元、能量法、加权残值法
也可以说： 变分是结构数值计算的基础，没有变分
Y
Y=Y（X）
P2
Y=Y2（X）
Y=Y1（X） P1
显然这三条曲线接近的程度不同。
X
y (x) -y 1(x)
与
y (x) -y 1(x)
都很小
称其为一阶接近。
依次类推，k阶接近要求零阶至第k阶导数 之差都很小。
Y
一阶近似的两条曲线
P2
Y=Y（X）
Y1=Y1（X） P1
X
3. 函数的微分与泛函的变分
y'+
F y"
y"dx
对第二项进行一次分布积分 对第三项进行二次分布积分
考虑边界条件
得欧拉方程：
F d F d 2 F
y
dx
y'
dx 2
y"
0
与上式比较：多一个全微分项
当包含有几阶导数的泛函积分方程式，则 欧拉方程将含有更高一阶的导数
x2
F x, y, y', y''
x1
yn dx
w(
x
,
y
)
s
F
x
,
y
,
w
,
w x
,
w y
dxdy
自变函数： w( x, y )
边界c上：w( x, y ) 已知，
w( x, y ) 0
一阶变分：
w(
x,y
)
s
F w
w+
F w,x
w,x +
F w,y
w,y
dxdy
利用格林公式进行分布积分
高斯定理及格林公式 二维、三维高斯定理：
x
v( l ) v"( l ) 0
l
位能： n=2
y
1
l
EIv"2dx+ 1
l
l
kv2dx
qvdx
20
20
0
F v
d dx
F v'
d2 d2x
F v''
0
F kv( x ) q; v
F 0 v'
F EIv(x)" v''
EIv(x)"" kv q
②含一阶导数的二维泛函的欧拉方程
d
x1 dy'
y'
x2
y'2 dx=
1 y'2
x1
1+y' 2 y' 2 / 1 y'2
1+y' 2 y'2dx
x2
1 3 y' 2dx >0
x1 1 y' 2 2
该泛函有极小值
我们通过泛函求极值的方法求出的自变 函数必须要使得泛函在一定范围内有意 义，同时还要满足边界条件，显然例题的边 界条件很容易满足。
举例：位能驻值原理就是一个变分命题。
当结构处于平衡状态下时，结构总势能达到最小值
结构势能= 应变能-力函数
Π=V-U 结构势能就是位移函数的泛函，Π[δ]
结构可以有无数条变形曲线，而达到力的 平衡条件时结构的真实曲线就应当使得泛函Π 的值达到最小的函数δ。求变形曲线就是求变 分的过程。
变分的特性
而我们过去是利用微分学来研究函数的极值 问题的。
举例：最速降线问题
平面两点： A、B，不在同一个水平面上，也不
在同一铅垂线上
一重物沿曲线受重力作用从A点向B点自由 下滑，不计重物与曲面之间的摩擦力，从A 到B自由下滑所需时间随该曲线的形状不同 而不同。问下滑时间最短的曲线是哪一条？
就是求解最速降线问题——求出的曲线就是最速降线。
找一个函数
使得它满足边界条件并
结构总位能达到最小值。
② 泛函极值 函数有极值，那么泛函同样有极值。 上述问题连接P1、P2两点函数很多， 有很多的泛函值，然而其中最短的只 有一个，这就是泛函的极小值。
若问题为求解连接两点距离最短的曲线方程 这就是求泛函极值的问题。
③ 变分 研究函数的极值的方法就是微分法 研究泛函极值的方法就是变分法
1. 函数定义与泛函定义的比较
函数y=y (x)
泛函Π[ y（x）]
X 自变量
y（x）自变函数
对于变化域中x 都有函数值相对 应
对于某一类函数y域 中的函数，都有L与 之对应。
称因变量Π是函数 Y的泛函。
函数是因变量与自变量之间的关系 泛函是因变量与自变函数之间的关系
在泛函中：