变分原理-第4章

4
(d)
由 δΠ =
∂Π δa = 0 ，得 ∂a
a= 32 2 ql 4 1 − π 4 π EJ
(e)
代回式（e） ，得
w= 32 2 ql 4 πx − 1 1 − cos 4 2l π π EJ
(f)
算得 x = l 处的最大挠度为
∫∫∫ (σ
V
ij , j
+ Fi )u in dV = 0
（ i = 1, 2, 3 ； n = 1, 2, L N ）
（ 8）
这就是伽辽金法的求解方法。积分后上式可化为参数 ain 的 3N 个线性代数方程 组，很容易用计算机求解。 ［例题 1］ 用最小位能原理求图示悬臂 梁在均布载荷作用下的挠度。梁的抗弯刚 度为 EJ 。 解：一、里兹法－取位移的试验函数为
∫∫∫ (σ
V
ij , j
+ Fi )δu i dV = 0
（6）
换句话说，伽辽金法并不要求处处满足平衡方程的精确解，只要求整体满足 积分平衡条件（6）的近似解。 和里兹法一样，引入试验函数
u i = u i0 + ain u in
（ i = 1, 2, 3 ； n = 1, 2, L N ）
（7 ）
(
)
(2)
式中： D =
Et 3 是薄板的抗弯刚度。对变厚度板， D 是 x ， y 的函数。对于 12 1 − µ 2
(
)
等厚度薄板， D 为常量，式（2）可改写为
∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w 2 D 2 2 dxdy − U = ∫∫ ∇ w − 2(1 − µ ) 2 2 2 S ∂x ∂y ∂x∂y
(1)
应力应变用挠度表示
Ez σx = − 1− µ 2 ∂2w ∂2w ∂x 2 + µ ∂y 2 ∂2w ∂2w µ + ∂y 2 ∂x 2
∂2w ε x = −z 2 ∂x
σy =−
Ez 1− µ 2
ε y = −z
γ xy = −2 z
∂2w ∂y 2
∂2w ∂x∂y
τ xy = −
Ez ∂ 2 w 1 − µ 2 ∂x∂y
代入式（1）后得
∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w 2 1 2 2 dxdy − U = ∫∫ D ∇ w − 2(1 − µ ) 2 2 2 S ∂x ∂y ∂x∂y
（2）
一、 兹法求解过程是 1、 选择满足位移边界条件的位移试验函数
u i = u i0 + ain u in
（ i = 1, 2, 3 ； n = 1, 2, L N ）
（ 3）
其中： u i0 设定的函数，在 S u 上满足 u i0 = u i ； u in 为在边界上等于零的设定函数；
ain 为待定为一参数。这样，不管 ain 取何值， u i 总能满足位移边界条件。
二、 辽金法求解过程 为了导出伽辽金法，线对最小位能原理作一变换。由式（1）取变分得
δΠ = ∫∫∫
V
∂A δeij dV − ∫∫∫ Fi δu i dV − ∫∫ p i δu i dS ∂eij V Sp 1 (δui, j + δu j ,i )dV − ∫∫∫ Fiδui dV − ∫∫ p iδui dS 2 V Sp
［例题 2］用最小位能原理求解薄板弯曲问题：1）用里兹法求图 4-2 所示 薄板在均布载荷 q0 作用下的挠度；2）用伽辽金法求图 4-3 所示四边固支板在 均布载荷 q0 作用下的挠度。
解：薄板小挠度弯曲时的应变能表达式为
U= 1 (σ xε x + σ y ε y + τ xyγ xy )dxdydz 2 ∫∫∫ V
同精确解相比，小 6.2％。 要进一步提高精度，伽辽金法的试验函数应为
[4(n − 1) + 1]πx d 2w N = ∑ a n 1 − sin 2 2l dx n =1
然后积分， 使其又满足 x = 0 处 它能满足 x = l 处 弯矩和剪力为零的力边界条件， 的位移边界条件，从而求的试验函数 w 。
'' 2
M max 1 2
8 2 π = EJa = 1 − ql 2 = 0.2945ql 2 π π 2l
2
精确解为 M max = ql 2 ，误差为 41％。为了提高精度，可取级数的前 N 项 作试验函数。当 N = 5 时，挠度误差为 0.03％，但应力误差仍有 3.1％。 二、伽辽金法 当选择挠度函数 w 为自变函数时，梁弯曲问题的伽辽金求解方程为
§4-2 基于最小位能原理的直接近似解法 总位能 Π 是位移 u i 的泛函
Π (u i ) = ∫∫∫ A(e )dV − ∫∫∫ Fi u i dV − ∫∫ p i u i dS
V V Sp
（ 1）
上式右端部包含位移边界 S u 上的面积分。在 S u 上自变函数 u i 应满足约束条件
ui = u i
化，于是
δΠ =
∂Π δain = 0 ∂ain
由于 ain 为独立变量，故要求
∂Π =0 ∂ain
（ i = 1, 2, 3 ; n = 1, 2, L N ）
（4 ）
这一组方程，实质上是用为一参数表示的近似平衡方程。对于线弹性问题，Π 是位移及其导数的二次泛函，也即位移参数 ain 的二次泛函，所以式（4）将是 参数的线性方程组，很方便用计算机求解。 4、 解方程（4） ，求得 3N 个待定系数 ain ，待回到式（3）中，即得到逼 近真实位移的近似解。 5、 求得位移后，可以进一步计算应变和应力。一般说来，应力场不能精 确满足静力平衡条件。
2、 出弹性系统总位能表达式 Π (u i ) ，把式（3）所设的位移试验函数代入， 即得到由 3N 各参数 ain 表示的总位能表达式 Π (ain ) 。 3、 应用最小位能原理 δΠ = 0 ，求得以 ain 为参数的 3N 个代数方程－由于
u i0 、 u in 函数形式度已事先选定，变分时只有它们的幅值 ain 能发生变
w x =0 = 0 w'
x =0
得 得
B=0
=0
A=−
2l
π
代入式（）就得到伽辽金法的试验函数
2 x 2 2l πx 2l w = a − x + sin 2l π 2 π
(e)
代入式（a） ，得
2 2 2 2l πx π πx x 2l − EJa q − x + sin sin dx = 0 ∫ 2l 2l 2l π 0 2 π
∫ (EJw
0
l
''
− q wn dx = 0
)
（ n = 1, 2, L N ）
(a)
寻找伽辽金法的试验函数时，应先考虑边界条件（因为边界条件比位移边界 条件难满足） ，设
πx d 2w = a1 − sin 2 2l dx
(b)
它满足 x = l 处弯矩和剪力为零的力边界条件，即
N (2n − 1)πx w = ∑ a n 1 − cos 2l n =1
(a)
它满足固支边的位移边界条件
w x =0 = 0 ， w '
x =0
=0
(b)
所以是容许函数 作为一级近似，取一项
πx w = a1 − cos 2l
(c)
代入总位能表达式
2 1 Π = ∫ EJ w '' dx − ∫ qwdx 2 0 0 l
w ''
x =l
= 0 （ M = EJw '' ） ； w '''
x =l
= 0 （Q =
dM = EJw ''' ） dx
(c)
把式（b）积分两次得
2 x2 πx 2l w = a + Ax + B + sin 2l π 2
(d)
调整两个积分常数 A 和 B ，能满足 x = 0 处的位移边界条件。
(
)
(3)
上式中
∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w 2 ∂ ∂w ∂ 2 w ∂ ∂w ∂ 2 w − = dxdy ∫∫ ∫∫ ∂x ∂y 2 − ∂y ∂x ∂x∂y dxdy ∂x∂y ∂ x ∂x 2 ∂y 2 S S
= − ∫∫∫ (σ ij , j + Fi )δui dV + ∫∫ σ ij n j − p i δui dS
V 内和在 S p 上 δu i = 0 ，故精确解应使上式括号内的被积函数处处为零， 由此导出三维弹性体的域内平衡方程（欧拉方程）和力边界条件（自然边界 条件） 。可惜精确解一般不易得到，为此伽辽金法放松了要求，要求试验函数 在 S p 上满足力边界条件， 即式 （5） 中 σ ij n j − p i = 0 ， 在 S u 上满足位移边界条件， 而在域内放松为按积分意义满足
第四章 弹性理论变分问题的直接解法
§4-1 引言 求解泛函极值问题的方法称为变分法。变分法的早期工作是把求泛函极 值问题化为求微分方程的边值问题。后来里兹提出求解泛函极值问题的直接 近似解法，开辟了求解变分问题的新途径。 变分问题的直接近似解法最基本的有里兹（Ritz）法和伽辽金（Галё ркин）法。 一、 里兹法―它的基本思想是把寻找泛函极值问题真解的过程分成两 步： 第一步先找可能状态－选择一组在边界上满足约束条件的容许函数，把 它们分别乘上待定常数并叠加起来，作为试验函数去代替真实的自变函数。 第二步逼近真实状态－调整试验函数中的待定常数，使其满足泛函驻值 条件 δΠ = 0 ，求得逼近真解的近似解。 显然，试验函数选择的越好，解的精度就越高。 二、 辽金法 伽辽金法与里兹法不同之处在于，里兹法仅要求试验函数满足约束边界 条件，而伽辽金法还要求满足自然边界条件（即力边界条件） 。