结构动力学变分原理
有限元与变分原理
有限元与变分原理有限元方法和变分原理是结构力学和计算力学中常用的数值计算方法和理论基础。
本文将从概念、原理、应用和发展等方面介绍有限元方法和变分原理的相关知识。
一、有限元方法有限元方法是一种将连续物体离散化为有限个小区域的数值计算方法。
它将连续的物理问题转化为离散的代数问题，并通过求解代数方程组来获得物理问题的数值解。
有限元方法的基本思想是将复杂的连续介质分割成有限个简单的子域，即有限元，并在每个有限元上建立代数模型。
在建立完整的模型后，根据物理方程和边界条件，通过求解代数方程组，得到所求解的物理量。
有限元方法的优点在于能够处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种材料和结构力学问题。
二、变分原理变分原理是解决物理问题的一种重要数学工具。
它通过构造一个泛函，将物理问题转化为极值问题，通过求解泛函的极值问题来得到物理问题的解。
在结构力学和计算力学中，常用的变分原理包括极大势能原理、最小势能原理和最小总势原理。
这些变分原理的基本思想是，在满足一定边界条件的前提下，通过对位移场进行变分，使得系统的势能或总势能取得极值，从而得到系统的平衡位置和应力分布。
三、有限元方法与变分原理的应用有限元方法和变分原理在结构力学和计算力学中得到了广泛的应用。
它们可以用于求解各种结构的静力学、动力学和热力学问题。
在工程实践中，有限元方法常用于求解杆件、梁、板、壳和体等不同类型的结构。
通过将结构分割成有限个小单元，建立有限元模型，并利用变分原理进行求解，可以得到结构的应力、位移、变形等物理量的分布情况，从而评估结构的可靠性和安全性。
有限元方法还可以用于优化设计和参数优化，以满足结构的性能要求。
四、有限元方法与变分原理的发展有限元方法和变分原理的发展已经有几十年的历史。
随着计算机技术的进步和计算软件的不断发展，有限元方法已经成为结构力学和计算力学研究和工程实践中不可或缺的工具。
目前，有限元方法已经广泛应用于航空航天、汽车、船舶、建筑、能源等领域。
弹性膜结构动力学的各类非传统Hamilton型变分原理
用¨ ， ’ 因此， 对于几何非线性弹陛 膜结构动力学， 根 据几何非线性薄壳结构的薄膜理论 ， ］ 并考虑到膜结
构的受 力与变形 的特性 ， 基本方程和条件如下 ： 其
１ １ 速度 位移 关 系 ．
Ｖ ａ＝Ｏ ／Ｏ ｕ ｔ＝ｉ， ＝Ｏ ／ｃ ｔ ｖ ３ ３Ｖ ｔ＝ｉ， ｖ
虽然 已有 一 些 有 关 膜 结 构 的专 著 和论 文 ， 引
力学初值 一 边值问题 的全部特征． 文中首先给出膜结构动力学的广义虚功原理的表式， 然后从该式 出 ， 发 不仅能得
到膜结构动力学的虚功原理 ， 而且通过所给出的一系列广义 ｋｇｎ ｒ变换 ， ｅｄｅ 还能系统地成对导出弹性膜结构动力
学的 ５ 类变量（ ， ， ， ，ｑ， ， ，ｑ， ，， 、 ， ， ＳＢ ｓＢ“ Ｗ）４类变量 （ ， ， ， ，ｑ， ， ，ｑ， ，， Ｐ ， ＳＢ ｓＢ“ Ｗ 、 ）３类变量（ ， ，ｑ， ， ，ｑ， ，， ） ２类变量 （ ， ， ，，， ） ＳＢ ｓＢ“ Ｗ 和 “ Ｗ 非传统 Ｈ ｍｌ ｎ ａ ｉｏ 型变分原理的互补泛 ｔ
Ｖ ｌ５ Ｎ ． ｏ｜ ｏ ３ Ｓｅ ２ ０ ｐ ． ０７
弹性膜结构 动力学 的各类非传统 Ｈ ｍｌｎ型变分原理 水 ａ ｉｏ ｔ
李纬华 罗恩
（ 山大 学 应 用 力 学 与 工 程 系 ，广 州 中 ５０７ ） １２ ５
摘 要 根据古典阴阳互补和现代对偶互补的基本思想 ， 通过罗恩早已提出的一条简单而统一的新途径 ， 系统地建 立 了弹性膜结构动力学的各类非传统 Ｈ ｍｌ ｎ型变分原理． ａ ｉｏ ｔ 这种新 的非传统 Ｈ ｍ ｌｎ型变分原 理能反映这种动 ａ ｉｏ ｔ
但是作者至今还没有见到国内外有关论述弹性膜结 构动力学变分原理的文献 ， 以弹性膜结构动力学 所 的基本理论还存在不能令人满意之处． 由于弹性膜 结构动力学的基本理论中最核心的部分一虚功原理
力学的变分原理
t2
下面具体说明之。先介绍增广位形空间的概念。 设一完整系有N个自由度，其广义坐标为q1 , q2 ,, qN ,由这些 坐标所确定的空间称为N维位形空间。这个空间中的一个点 表示系统在某一时刻的位置，这一点包含N个不同值的广义 坐标。为了形象而简洁地表示系统的运动，设想由N个广义 坐标和时间t组成N +1维空间，这样，增广位形空间的一个点 就表示了系统在任一瞬时的位置。
t2 t1
我们按式（2）将这族函数表示为依赖于参数的函数q ( , t )；
对式（2）积分，因 可为不同的值，因此泛函J 也是的函数，
这样，泛函的极值问题就转变为函数的极值问题。
由函数的极值条件 J 即 J 可得 =0
=0
=0
=0
J =0
说明，泛函的极值条件是泛函的变分等于零。
（2）泛函的概念 给定一个由任何对象组成的集合 D ，这里所说的任何对象可以是 数、数组、几何图形，也可以是函数或某系统的运动状态等。设 集合 D 中的元素用 x 表示，如果对于集合中的每一个元素 x 对应一个数 y ，则称 y 是 x 的泛函，记作 y F ( x) 。有时 泛函可以看做函数，函数也可以看做泛函。 函数表示的是数与数的一一对应关系，而泛函表示的是函数与数 的一一对应的关系。函数概念可作为泛函概念的特殊情况。
比如，牛顿提出的力学三大定律，就是力学的基本原理，由这些基本原理出发，经过严 格的逻辑推理和数学演绎，可以获得经典力学的整个理论框架。
力学原理可以分为两大类：不变分原理和变分原理。每一类又可 分为微分形式和积分形式。 不变分原理是反映力学系统真实运动的普遍规律。如果原理本身 只表明某一瞬时状态系统的运动规律，称为微分原理（如达朗贝 尔原理）。如果原理是说明一有限时间过程系统的运动规律，则 称为积分原理（如机械能守恒原理）。
变分原理——精选推荐
§9 变分原理9.1 弹性变形体的功能原理学习要点：本节讨论弹性体的功能原理。
能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。
而功能关系是能量原理的基础。
首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．态，二者彼此独立而且无任何关系。
．．．．．．．．．．．．．．．．建立弹性体的功能关系。
功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。
9.1.1 静力可能的应力：假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。
表面积为S 可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为Su；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ。
显然S=S u+Sσ假设有一组应力分量σij在弹性体内部满足平衡微分方程在面力已知的边界Sσ，满足面力边界条件这一组应力分量称为静力可能的应力。
静力可能的应力未必是真实的应力，．．．．．．．．．．．．．．．．因为真实的应力还．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．必须满足应力表达的变形协调方程．．．．．．．．．．．．．．．，但是真实的应力分量必然是静力可能的应力。
．．．．．．．．．为了区别于真实的应力分量，我们用表示静力可能的应力分量。
9.1.2 几何可能的位移：假设有一组位移分量u i和与其对应的应变分量εij，它们在弹性体内部满足几何方程在位移已知的边界S u上，满足位移边界条件这一组位移称为几何可能的位移。
几何可能的位移未必是真实的位移，因为真实的位移还必须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程．．．．．．．．．．；在面力已知的边界．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
但是，真实的位移必然是．．．S．σ．上，必须满足以位移表示的面力边界条件几何可能的。
结构动力学简答(考试用)
1）动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间 16.振幅的物理意义：体系运动速度为 0，弹性恢复力最大。 （曲线达到的最大值）相位角
5.有限元法与广义坐标法相似，有限元法采用了型函数的概念，但不同于广义坐标法在 反应，最后叠加每一个脉冲作用下的反应得到总反应，给出了计算线性单自由度体系在 全部体系结构上插值，而是采用分片插值，因此型函数表达式形状可相对简单。与集中 任意荷载作用下的动力反应的一般解，一般适用于线弹性体系（此法将外荷载离散成一 质量法相比，有限元中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，这 系列脉冲荷载） 。缺点：效率不高，需要由 0 积分到 t。适用范围：线弹性体系在任意何 与集中质量法相同。 使解题方便。 在作用下体系动力反应的理论研究，当外荷载为解析函数时，采用 Duhamel 积分更容易 18.结构地震反应分析的反应谱法的基本原理是：对于一个给定的地震动 6.广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量，称为该体系广义坐标；选择原则： 获得解析解。t 为结构体系动力反应的时间， 则表示单位脉冲作用的时刻。
计算结构力学基础理论_变分原理
则称F [y(x)]是定义于这个函数类上的一个泛函。
计算结构力学基础
能够满足边界条件（x=0）和w’(0)=0的函数w(x)可以有无 穷多个，但同时满足使泛函Π取最小值的w(x)却只有一个， 记作w*(x) 。设w*(x)的附近有另一条曲线w(x)，并令：
计算结构力学基础
系统的总势能是上列三者之和，因此总势能为
∫ Π = Πb + Π f + Πq =
L 0
1 2
d 2w EJ ( dx2
)2
+
1 2
k
[w(
x)]2
−
q(
x)w(
x)dx
另外，系统需要满足边界条件：
= w(0) 0= ，w′(0) 0
力学问题
数学问题
在0≤x ≤ L 区间内，寻找一个函数： 满足边界条件
δ2∏>0
极小值
δ2∏<0
极大值
δ2∏≥0
δ2∏≤0
δ 2 ∏ > or < 0
非极大的驻值 非极小的驻值 非极值的驻值
计算结构力学基础
泛函的极值问题
考虑多个自变函数及一阶导数情况，取t为自变量，待求的独
在边界上 δ= y( x1 ) δ= y( x2 ) 0 则泛函的增量为：
∫ ∫ ∆ ∏=
x2 x1
F
(
x,
y1
,
y1′
)dx
−
x2 F ( x, y, y′)dx=
x1
δ ∏+ 1 δ2∏+
2!
计算结构力学基础
泛函的极值问题
∫ ∫ 其中= δ ∏
变分原理
泛函的变分定义与函数的微分定义很相似
自变函数y (x)的变分 δy (x)
引起泛函的增量
y ( x ) y ( x ) y ( x )
可以展开为线性项和非线性项
L y ( x ) ,y ( x ) y ( x ) ,y ( x ) y m a x
就是求解最速降线问题——求出的曲线就是最速降线。
A（0，0）
y
O
P（x，y）
B(x1 ，x2)
X
v
速度
利用能量守恒定律写出该问题的数学 形式： 位能= 动能
mgy= 1 mv 2 2
v= 2gy
从A点沿曲线到任一点p走过的弧长来看
速度又可表示为： v= ds = 2gy dt
ds=
1+
③ 变分 研究函数的极值的方法就是微分法 研究泛函极值的方法就是变分法
而我们过去是利用微分学来研究函数的极值 问题的。
举例：最速降线问题
平面两点： A、B，不在同一个水平面上，也不
在同一铅垂线上
一重物沿曲线受重力作用从A点向B点自由 下滑，不计重物与曲面之间的摩擦力，从A 到B自由下滑所需时间随该曲线的形状不同 而不同。问下滑时间最短的曲线是哪一条？
记作：
L y( x )
x2
1 y'( x )2dx
x1
显然：当取不同函数Y对应有不同的泛函值
举例2：弹性基础梁
x l y
x0, xl: v(0)v(l)0 v"(0)v"(l)0
位能： Π =梁的变形能+弹性基础的变形能-力函数
梁的变形能
V1
分析力学5动力学变分原理
分析力学5动力学变分原理（5）西安电子科技大学郭空明qq:717004648Email：kmguo@4.1泛函与变分原理（1）4.2哈密顿原理（2）4.3连续系统的微振动（1）4.4欧拉-拉格朗日方程（1）力学的变分原理：提供一种准则，将真实的运动（满足动力学方程）从所有可能的运动中甄别出来。
具有更高的概括性和普适性。
4.1泛函和变分原理弹簧的应变能（势能）21U x k x=数值数值()2弹簧的应变能只依赖于一点的位移x ，是自变量为x 的函数。
y =f(x)当自变量x 有一增量：函数y 也有一增量：10Δy =y -y 10Δx =x -x 函数的微分Differential of a function10=f(x )-f(x )Δy =f (x)Δx'dy 与dx ，分别称为自变量x 与函数y 的微分。
dy =f (x)dx'——微分问题泛函的变分variation of functional()U U y x 函数y 有一微小变化：1y y y 泛函U 也有一增量：y1()()U U y x U y x U函数的增量δy 、泛函的增量δU 等称为变分。
研究函数的变化与泛函的增量之间的关系称为变分问题。
变分问题例子：最速下降问题质点受重力作用从A 到B 沿曲线路径自由下滑，不考虑摩擦力，求质点下降最快的路径。
1'201()2x y T y dx gy +=⎰用泛函的极值问题表示的原理称为变分原理。
普通的动力学原理直接研究真实的状态，然后得到状态所应满足的方程。
而变分原理则不然，它不是专注于实际的状态，而是考察约束所容许的一切可能的状态，根据真实状态所满足的变分条件（如：真实位移使势能取极值，势能变分为零），进而得到真实状态所应满足的方程。
{F}真实变形曲线4.2哈密顿原理：a)作用：提出了质点系的真实运动与在质点系真实运动邻近，且为约束所能允许的可能运动的区分准则。
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由梁的基本假定，梁的w及w’连续，二阶导数的连续 性未知。
板的固有振动问题
各向同性简支板
板的振动
固有频率的变分式
Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标值为：
变分与微分可以互换。
上式中的δV称为V的一阶变分。 y(x)能使V取得极值得必要条件为：（欧拉方程）
（4.11）未必能使V取得极值，但总能使V在解得
无穷小领域内取得驻立值， δV=0，(4.11)变为充 分必要条件
自然边界条件：根据取驻立值得要求推导出来，不 必事先制定的边界条件。 泛函的二阶变分：
ΔV的一阶小量部分叫做V的一阶变分，记为 δV。 ΔV的二阶小量部分叫做V的二阶变分， 记为δ2V，算是为：
高阶导数积分的驻立值问题
例题
梁的固有振动问题（关于固有频率问题）
• 变截面梁的横向振动问题：梁单位长度的质 量为m，
参数变化对固有频率的影响
更为理
弹性地基上的梁：
梁的弯曲刚度EJ，弯曲应变能为：
地基刚度弹性系数k,能量为：
荷载势能：
三者之和：
提出问题时假定在x=0时固定端：
以上问题就是变分问题。
变分与微分的关系：
相应这两条曲线的泛函值：
上式中：ΔV代表泛函的增量。 自变量不变（x不变），仅仅函数的无穷小变化而引 起的纵坐标的增加称为自变函数的变分，记为δy， 其余按高等数学中的定义。