变分原理的直接方法
结构动力学8
8.4.2 基本分析过程
结构有限元模型的运动方程：
& & [M ]{u&}+ [C ]{u}+ [K ]{u} = {p(t )}
有限元模型的节点系运动方程与前面介绍的框架结构的 运动方程在形式上完全相同，不同之处仅在于单元刚 度矩阵和质量阵的形成上。本节介绍的形成单元刚度 阵和质量阵的方法更具通用性。 前面所介绍的结构动力方程的解法，例如振型叠加法、 Fourier变换方法、时域逐步积分法等均可以用于结构 有限元模型的动力反应问题分析。
i=1
4
ψi的定义是ui发生单位位移, 而其余自由度不动, 即完全约束时, 梁单元的位移(线位移)，因此，ψi(x)满足如下边界条件：
i = 1 : ψ 1 (0) = 1, ψ 1' (0) = ψ 1 ( L) = ψ 1' ( L) = 0
' ' i = 2 : ψ 2 (0) = 1, ψ 2 (0) = ψ 2 ( L) = ψ 2 ( L) = 0 ' ' i = 3 : ψ 3 ( L) = 1, ψ 3 (0) = ψ 3 (0) = ψ 3 ( L) = 0 ' ' i = 4 : ψ 4 ( L) = 1, ψ 4 (0) = ψ 4 (0) = ψ 4 ( L) = 0
8.4.1 有限元离散化
采用有限元法离散时，首先将一根梁分成有限段，称为 有限单元。每一个单元的尺寸可以是任意的，可以完 全相同，也可以完全不相同。这些单元仅仅在单元间 的节点上连续（连接）。 在这个简单的例子中，节点就是单元的端点，在每一个 节点上有两个自由度，横向位移和转角。 在有限元法中节点的位移（包括横向位移和转角）被选 为广义坐标。而运动方程就是用这些有直接物理意义 的量（位移和转角）来形成的。
建模方法
五，灰色系统的建模方法 信息不完全的系统称为灰色系统。 灰色系统可分为本征灰色系统和非本征灰色系统。
本征灰色系统 本征灰色系统的基本特点是：没有物理原型，缺乏建 立确定关系的信息，系统的基本特征是多个互相依存、互 相制约的部分，按照一定的序关系组合，且具有一种或多 种功能。例如，社会：经济、农业、生态等均是本征灰色 系统。 非本征灰色系统 有些信息暂时还不确切，或尚未获得
2、人工神经网络的分类 (1)前馈(多层)网络
在前馈神经元网络中，人工神经元(也叫做结点或处理单元)被组 织成前馈方式(常常以层的形式)，即每个神经元从外部环境或别的神 经元接收输人，但没有反馈。
(2)反馈(递归)网络
3、人工神经网络的工作过程
人工神经网络的工作过程主要分为两个阶段： (1)学习期，此时各计算单元传递函数不变，其输出由两个因 素决定，即输人数据和与此输入单元连接的各输入量的权重。因 此，苦处理单元要学会正确反映所给数据的模式，唯一用以改善 处理单元性能的元素就是连接的权重，各连线上的权值通过学习 来修改。 (2)工作期，此时连接权固定，计算神经元输出。 编制神经网络程序，主要是确定： (1)传递函数(即决定闭值的方程)； (2)训练计划(即设置初始权重的规则及修改权重的方程) (3)网络结构(即处理单元数，层数及相互连接状况)。
窗口售票服务系统的Petri图
三、系统辨识的建模方法 1962年扎德(L．A．zader)就作了以下定义：“辨识就是在输 入和输出数据的基础之上，从一组给定的模型类中，确定一 个与所测系统等价的模型。” 1978年L．Lj”n2给辨识下了一个比较实用的定义：“辨识 有三个要素：数据、模型类和准则。辨识就是按照一个 准则在一模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型。”
变分法
x1
x0
F ( x) ( x)dx 0
(1.18)
则在 [x0,x1] 上就有F(x)≡0. 证明用反证法
1.3.2 欧拉方程
x1
[ y] F ( x, y, y )dx
x0
x1
x1
x0
F y F ydx y y b a
数ui(i=1,2,3)而变，[u]也是一个泛函。而ui必须满足的体积不
变条件
L、As、Φ都是依赖于可变化的函数。称其为自变函数，随 自变函数而变的量称为泛函。用符号φ、J 表示，记作 φ[y(x)]或φ(y)等。 • 变分法就是研究求泛函极大值和极小值的方法。
1.1.2 泛函自变函数的变分
• 函数y=y(x) ,自变量为x ，增量 △x, 称dx为自变 量x微分。 • 泛函φ[y(x)],自变函数为y(x)，当△y(x) 变化无 限小时，称为自变函数的变分，表为δy(x) ，δy • δy是指函数y(x) 和跟它相接近的另一函数y1(x) 的微差。
x0 x0
x1
x1
(dy ) d ( y )
dy d ( y ) , 或 ( y) ( y) dx dx
3.注意：d ( xy) ydx xdy
( xy) x y
1.2.2 泛函极值的条件
泛函极值条件与函数极值条件具有相似的定义。如果
(u v) u v,
(uv) u v v u, (u v) (v u u v) / v 2
2
变分号可由积分号外进入积分号内
x1 x1 x0 x0
F ( x, y, y)dx F ( x, y, y)dx
多普勒雷达资料三维变分直接同化方法研究
多普勒雷达资料三维变分直接同化方法探究一、引言多普勒雷达(Doppler radar)是一种常用于天气预报和气象探究的重要工具。
它通过测量气象目标的径向速度和回波功率，能够提供大气中的风速、涡度等重要资料，对于天气的分析、预报和短临天气预警具有重要意义。
然而，由于天气系统的复杂性和多普勒雷达观测的局限性，单独使用多普勒雷达资料可能无法准确地描述和猜测大气的变化。
因此，将多普勒雷达资料与数值天气预报模型相结合，利用同化方法对多普勒雷达资料进行三维变分直接同化，可以提高天气预报的准确性，增强对天气系统的理解。
二、多普勒雷达观测资料的特点多普勒雷达观测资料是通过接收回波信号的频率偏移来测量气象目标的径向速度。
与传统的天气雷达资料(例如，回波强度、径向速度)相比，多普勒雷达资料具有以下特点：一是近地面的观测精度较高，能够提供较准确的径向速度；二是三维空间上的观测区分率较低，受限于雷达的技术条件和地形的影响。
因此，多普勒雷达观测资料需要通过合适的同化方法来融合到数值模型中，以得到空间上的连续、准确的三维风场等资料。
三、三维变分直接同化方法的基本原理三维变分直接同化方法是将观测资料与模型状态变量进行最优化耦合的方法。
详尽而言，它通过最小化观测资料与模型资料之间的差异来更新模型状态变量，使模型的状态更加贴近于实际观测状况。
这一过程分为两个阶段：解耦阶段和耦合阶段。
在解耦阶段，通过观测算子将模型状态变量转化为观测空间上的预估；在耦合阶段，通过求解代价函数最小化的问题，更新模型的状态变量。
详尽的数值方法包括变分方法、卡尔曼滤波方法等。
四、多普勒雷达资料三维变分直接同化方法的关键问题多普勒雷达观测资料的特点决定了在同化过程中需要解决一些关键问题。
起首，由于雷达观测数据的噪声和采样不匀称性，需要对观测数据进行质控，以去除异常数据和杂波。
其次，多普勒雷达观测数据具有非线性和非高斯性，需要引入适当的变换方法(如变分变换、对数正态变换等)将其转化为线性高斯形式。
fluent中文攻略笔记（已读，不错）
单精度和双精度求解器在所有的操作系统上都可以进行单精度和双精度计算。
对于大多数情况来说，单精度计算已经足够，但在下面这些情况下需要使用双精度计算：（1）计算域非常狭长（比如细长的管道），用单精度表示节点坐标可能不够精确，这时需要采用双精度求解器。
（2）如果计算域是许多由细长管道连接起来的容器，各个容器内的压强各不相同。
如果某个容器的压强特别高的话，那么在采用同一个参考压强时，用单精度表示其他容器内压强可能产生较大的误差，这时可以考虑使用双精度求解器。
（3）在涉及到两个区域之间存在很大的热交换，或者网格的长细比很大时，用单精度可能无法正确传递边界信息，并导致计算无法收敛，或精度达不到要求，这时也可以考虑采用双精度求解器。
网格文件是包含各个网格点坐标值和网格连接信息2，以及各分块网格的类型和节点数量等信息的文件进程文件（journal file）是一个FLUENT 的命令集合，其内容用Scheme 语言写成。
可以通过两个途径创建进程文件：一个是在用户进入图形用户界面后，系统自动记录用户的操作和命令输入，自动生成进程文件；另一个是用户使用文本编辑器直接用Scheme 语言创建进程文件，其工作过程与用FORTRAN 语言编程类似。
File -> Write -> Start Journal系统就开始记录进程文件。
此时原来的Start Journa（l 开始进程）菜单项变为Stop Journal（终止进程），点击Stop Journal（终止进程）菜单项则记录过程停止。
边界函数分布文件（profile file）用于定义计算边界上的流场条件，还可以将边界网格写入单独的文件，相应的菜单操作是：File -> Write -> Boundary Grid在打开的文件选择窗口中保存文件即可。
在用户对网格不满意时，可以先将边界网格保存起来，然后再用Tgrid 软件读入这个网格文件，并重新生成满意的立体网格。
最优控制问题的数值方法
最优控制问题的数值方法最优控制问题是应用数学中的一类重要问题，涉及到优化某些目标函数的控制策略。
这类问题在很多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学、环境科学等。
为了求解最优控制问题，研究者们开发了多种数值方法，以提供高效准确的策略。
一、动态规划法动态规划法是求解最优控制问题中最常用的方法之一。
其基本思想是将问题划分为若干个阶段，在每个阶段选择最优的控制策略，以达到整体的最优目标。
动态规划法的核心是计算值函数或状态函数，通过递归的方式实现最优解的求解。
在动态规划法中，首先需要建立状态转移方程，描述状态之间的变化关系。
然后通过迭代求解，逐步更新值函数，直到收敛为止。
具体的计算方法可以根据不同的最优控制问题进行调整，以提高计算效率。
二、最优控制问题的间接方法除了动态规划法，最优控制问题还可以通过间接方法求解。
间接方法主要基于变分原理，通过构建哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程来求解问题。
该方法将最优控制问题转化为一个偏微分方程，通过求解该方程得到最优解。
在应用最优控制问题的间接方法时，需要确定合适的控制参数，并在求解偏微分方程时进行迭代计算。
这种方法的优势在于能够处理一些非线性和约束等较为复杂的情况，但同时也带来了计算复杂度较高的问题。
三、最优控制问题的直接方法最优控制问题的直接方法是另一种常用的数值求解方法。
它直接构造控制策略的参数化形式，并通过参数调整来实现目标函数的最小化。
该方法需要事先构造一个合适的优化模型，并选择合适的优化算法进行求解。
在直接方法中，常用的优化算法有梯度下降法、共轭梯度法、牛顿法等。
通过迭代计算，优化参数逐步调整，直到达到最优解。
直接方法不需要建立状态函数或值函数，因此可以简化运算，但需要根据具体问题进行参数化建模和算法选择。
总结：在求解最优控制问题时，可以根据问题的特点选择适合的数值方法。
动态规划法适用于离散的最优控制问题，通过递归计算值函数实现最优策略的求解。
间接方法利用变分原理将问题转化为偏微分方程，并通过迭代计算获得最优解。
有限元法的变分原理及其在土石坝设计中的应用
有限元法的变分原理及其在土石坝设计中的应用有限元法是采用直接法计算变分问题的重要方法，在土木工程计算领域的分析软件如ANSYS、Workbench、Autobank等均以变分法为理论基础。
本文将就有限元法的变分原理作一简单梳理，并采用Autobank软件建模分析某土石坝的渗流场及应力变形，计算结果表明大坝应力变形符合工程实际，计算分析对大坝设计工作起到了指导作用。
标签：有限元；变分法；Autobank；土石坝设计；应力变形分析引言随着坝工技术的发展，土石坝建设高度越来越高，其应力和变形计算越来越关系到大坝安全。
因此，结构计算分析将会在土石坝的设计和科学研究中发挥越来越重要的作用。
有限元法的理论基础为变分法，变分法历史悠久，是近代发展起来的一门重要数学分支，在工程技术及科学研究中有着广泛的应用。
变分法起源于泛函的极值问题，其关键定理是欧拉-拉格朗日方程。
Autobank软件应力变形分析模块是以变分法为理论基础开发的一款有限元分析软件，提供线弹性模型、非线性模型（如邓肯E-B、E-μ模型）等，在水利工程设计中有着广泛的应用。
1、有限元法简介目前在水利工程结构分析领域常用的数值计算方法有：有限差分法FDM、有限元法FEM、边界元法BEM、离散元法DEM等，其中有限元法是应用最广泛的方法。
有限元法是以变分原理为基础发展起来的，是一种高效的数值计算方法。
工程计算和科学研究领域，常常需要求解各类常微分方程（组）、偏微分方程（组），而许多微分方程（组）的解析解很难得到，甚至无法求出。
使用有限元法将微分方程离散化后，编制计算机程序辅助求解，是一种可行且高效的方法。
2、有限元法的变分原理2.1 泛函及其极值设有泛函的极值问题：研究泛函在某函数类中的极值问题即变分问题，例如最小曲面问题、悬链线问题、边坡稳定最小安全系数的滑弧问题、重力坝的最优断面问题等。
研究泛函极值的方法即变分法。
直接法是求解泛函极值的近似方法，对于无法求解解析解的变分问题及工程计算，有着及其重要的作用。
7第5章哈密顿原理
根据哈密顿原理，
整理后，
又，
代入前式中，得到
在瞬时t0，t1，有r== 0，于是上式中的后四项为零，由于t0，t1是任意的，所以被积函数应为零，且和是彼此独立的，于是我们得到
哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构（杆及杆系、板、壳）的运动微分方程及求动力响应的近似解。
例5-6试建立二端固定而绷紧的均质弦的微幅振动动力学方程。
(1)
固定时间t，式(1)表示以a为变量（0al）的曲线参数方程，如图18-5中的曲线c，根据不可伸长的约束条件，得到
由此推出
(1)
用 分别表示横向位移及其对a和对t的偏导数，并且限于讨论偏离铅垂位置的微振动。若将横向运动量 看作一阶小量，则由公式(1)看出， 是二阶小量，在略去四阶小量 后，式(1)简化为
(2)
系统动能精确到二阶小量为
(3)
式中，是悬链线密度。若以O为零势能位置重力势能为
(4)
式中，xC是链子的质心坐标；xN是集中质量的坐标。根据质心公式，有
而
若以悬链静平衡为零势能状态，则系统的重力势能为
(5)
令
其中，是集中质量与链的质量比，则系统的拉格朗日函数由式(3)和(5)得
哈密顿作用量为
(6)
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0.00
0.29313
0.56900
0.81038
1.00
0.00
0.29401
0.56975
0.81006
1.00
0.00
-0.299
-0.132
+0.0395
0.00
习
5-1如题5-1图所示，半径为r的均质圆球自半径为R的固定球顶端无初速、无滑动地滚下，试求动球的正则方程及球心下降的加速度。
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第7章变分问题的直接方法为了书写方便,我们在这里先引入内积空间和线性算子两个概念。
1.内积空间H 是复线性空间，H 上定义一个两元函数,:x y H H C <>⨯→，,x y H ∀∈满足(A)对称性，,,x y y x <>=<>(B)双线性，1212,,,ax bx y a x y b x y <+>=<>+<>，12,,,,a b C x x H ∀∈∀∈(C)正定性，,0x x <>≥，而且只有当0x =时等号才成立那么我们称该两元函数>⋅⋅<,定义了线性空间H 上的一个内积。
定义了内积的线性空间称为内积空间。
例7.1:1212,,,(,,...,),(,,...,)n nn n H R x y R x x x x y y y y =∀∈==，那么下面定义的就是内积1,ni ii x y x y =<>=∑例7.2:H 是定义在],[b a 上连续函数所组成的线性空间[,]C a b ，H x x ∈∀)(),(φϕ，那么下面定义的就是内积,()()d bax x xφϕφϕ<>=⎰通常，在连续函数空间中按如下来定义内积,()()()d baw x x x xφϕφϕ<>=⎰其中0)(≥x w 是个权函数。
2.线性算子A 是定义在内积空间H 上的一个线性映射:,A H A H ϕϕ∀∈∈；如果存在另一线性映射*A ，使得*,,,,H A A ϕψϕψϕψ∀∈=，则*A 称为A 的伴映射。
当H 是函数空间时，A 称为（线性）算子，*A 称为共轭算子；特别当*A A =，A 称为对称算子。
如果当对称算子A 满足,0A ϕϕ≥，并且等号仅当0ϕ=时成立，则A 称为对称正定算子。
7.1里兹方法（Ritz ）由线性对称正定算子A 及函数f 所确定的一个线性泛函为><->=<∏u f u Au u ,2,)((7.1.1)该泛函的变分为2,2,2,Au u f u Au f u δδδδ∏=<>-<>=<->泛函极值问题(也就是变分问题)其所对应的Euler 方程为0()Au f Au f -==(7.1.2)不失一般性,我们假设泛函的边界条件是齐次的，否则我们总是可以通过函数变换来实现齐次的边界条件:0u u u=+ 其中0u 非齐次的边界条件,那么u 满足齐次的边界条件。
现选定一组满足泛函齐次边界条件的函数序列nu u u ,...,,21,那么由该函数序列所张成的子空间为121span(,,...,)|,nn i i i i U u u u u u a u a R =⎧⎫===∈⎨⎬⎩⎭∑该子空间上的每个函数都满足齐次边界条件.里兹法的核心思想就是用上述函数序列所张成的一个线性空间12span(,,...,)n U u u u =来近似地替代原泛函的定义域空间，然后在线性空间U 中找到一个使得泛函∏最小的一个函数,该函数就是原问题的一个近似解。
显然满足齐次边界条件的函数序列n u u u ,...,,21不是唯一的，如果我们选择了比较合适的函数序列nu u u ,...,,21，而且该序列的个数足够多时(当然函数序列的个数越多,其张成的子空间就越逼近原来的定义域空间)，那么里兹法所得到的近似解就能很好地逼近原问题的解。
具体地讲，由nu u u ,...,,21线性组合成的一个函数为∑==ni ii u a u 1~其中系数12,,...,n a a a 为待定的常数，对应的泛函为111(),2,,2,nnni i i i i i i i i uAu u f u A a u a u f a u ===∏=<>-<>=<>-<>∑∑∑ 由于A 是线性正定对称算子，那么111111111(),2,,2,2n n ni i i i i i i i i n n ni j i j i i i j i nnnij i j i ii j i ua Au a u f a u a a Au u a f u A a a f a =========∏=<>-<>=<>-<>=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 式中,,,ij i j i i A Au u f f u =<>=<>这是一个关于12,,...,n a a a 的一个二次型。
选择的12,,...,n a a a 要使得该函数取到最小值，也就是说0,1,2,...,ss na ∂∏==∂从而有10,1,2,...nis i si A a fs n=-==∑这是关于一个线性代数方程组。
解此代数方程组后得到12,,...,n a a a ，由此得到原泛函极值问题(或者微分方程边值问题)的近似解为∑==ni ii u a u 1~如果用向量的形式来表示()()1212,,...,,,,...,T Tn n u u u a a a ==a ϕ那么T u=a ϕ()()22T A ∏=∏=<>-<>=-T T T T a ua a f,a a Ka a Fϕ,ϕϕ其中[],,ij ij i j K K Au u ==<>K ()12,,...,,,Tn i i f f f f f u ==<>F K 是n n ⨯的矩阵，F 是1⨯n 向量。
要使()∏a 取到最小值，必须()0∂∏=∂a a这也就是说=Ka F该方程的解为1-=a K F由于A 是对称正定算子,可以证明K 是对称正定矩阵,上述解必定存在。
所以说，通过里兹法，我们可以把一个泛函的极值问题转化成一个函数的极值问题，求解该函数极值问题所对应的代数方程组，就可以得到原问题的近似解。
里兹法的关键在于函数序列的选择,如果选择合适的函数序列是该算法最核心之处。
例7.3求变分问题1220[]()d ,(0)(1)0J y x y xy x y y '=+==⎰的近似解。
取)1()(~1x x a x y -=,那么)21()('~1x a x y -=12234231110[][(44)()]d J a a x x x a x x x=-++-⎰令1d 0d J a =得到12342310[2(44)()]d 0a x x x x x x -++-=⎰由此可以求得5116a =-一阶近似解为516()(1)y x x x =-- 更进一步,可以取近似解为11()(1)ni i yx a x x ==-∑ 例7.4设1220[()]('2)d ,(0)(1)0J y x y y xy x y y =--==⎰求变分问题的近似解。
该变分问题的精确解为x xx y -=1sin sin )(现取∑=-=ni kx x a x y 11)1()(~,如果1=n ,也就是说)1()(~1x x a x y -=,上面求法一样,得到5118a =,也就是说一阶近似解为518()(1)y x x x =- 如果2=n ,))(1()(~21x a a x x x y +-=,代入泛函表达式,并令120J Ja a ∂∂==∂∂,得到331121020123131221010520a a a a +=+=由此可以求得7171236941,a a ==也就是说两阶近似解为71736941()(1)()y x x x x =-+ 与精确解相比,两阶近似解误差已经非常小。
例7.5长度为l ，抗弯刚度为EI 的简支梁，受均布载荷q 的作用。
图7.1例7.5图取位移（挠度）的试函数为4433221)(~⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=l x a l x a l x a l x a x w 为了满足两端位移的简支边界条件，取)(4321a a a a ++-=那么()234234234()x x x x wx a a a a a a l l l l ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭梁内的应变能为221201d d 2d lw U EI xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰作用在梁上的外力势能为20d lU qw x=-⎰把挠度的试函数表达式代入总势能表达式中()1222123422202342234234012612d 2d ll U U U x x U EI a a a xl l l l l x x x x U q a a a a a a xl l l l =+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰由0332=∂∂=∂∂=∂∂a Ua U a U 得到441123412240,,ql ql a a a EIEI==-=从而梁挠度的近似解为434124342ql x x x wEI l l l ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭这里只是满足了位移边界条件,但是没有满足力的边界条件。
练习:另一种解法：取位移（挠度）的试函数为...2sin sin )(~21++=lx a l x a x w ππ7.2康托罗维奇法（Kantorovich ）康托罗维奇法是里兹法在多元自变函数变分问题中的推广。
假设泛函的自变函数是个关于)2(,...,,21≥n x x x n 的多元函数，在康托罗维奇法中，取试函数为∑=-=ki n i n i x x x u x a u 1121),...,()(~(7.2.1)也就是说,现在的基函数为),...,(121-n i x x x u 它要满足相应的齐次边界条件，而)(n i x a 是待定的关于n x 的函数。
将该试函数代入到原泛函><->=<∏u f u Au u ,2,)(得到一个关于)(),...,(),(21n k n n x a x a x a 的新泛函))(),...,(),((*21n k n n x a x a x a ∏于是问题就变为求函数)(),...,(),(21n k n n x a x a x a ，使得新泛函能取到极小值。
这是关于多个一元函数的变分问题，相应的Euler 方程一般为常微分方程组（而原来变分问题得到的Euler 方程一般为偏微分方程），求解该常微分方程的边值问题就得到了原变分问题的近似解。
和里兹法相比，康托罗维奇法稍显麻烦，因为里兹法最终得到的是代数方程，而康托罗维奇法最终得到的是常微分方程组。
但是由于里兹法中的试函数一般都不满Euler 方程，而康托罗维奇法中有一部分函数是通过求Euler 方程的边值问题得到，所以康托罗维奇法的精度一般要比里兹法来得高。