高中数学 第一章 集合与函数概念教案1 新人教A版必修1

1

课题

集合的概念及其运算

教学目标1、掌握不等式解法

2、能解决与集合概念、运算有关的问题

3、通过本节课以了解学生对知识的掌握情况，据此制定教学计划

重点、难点

1、不等式解法

2、集合概念及其相关运算

考点及考试要求1、一元二次不等式解法

2、集合的概念、表示

3、集合与集合的关系及其运算

4、集合知识的应用

教学内容

知识框架

了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系/能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题/理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集/在具体情境中，了解全集与空集的含义/理解两个集合的并集与交集的含义/会求两个简单集合的并集与交集/理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集/能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算

1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、__________．

2．集合的表示法：列举法、_______________、图示法．

提示：(1)注意集合表示的列举法与描述法在形式上的区别，列举法一般适合于有限集，而描述法一般适合于无限集．

(2)注意集合中元素的互异性：集合{x|2x－2x＋1＝0}可写为{1}，但不可写为{1，1}．

3．元素与集合的关系有：属于和不属于，分别用符号________和________表示．

4．集合与集合之间的关系有：包含关系、_____________、真包含关系，分别用符号

________、__________、____________ 表示．任何集合都是其本身的子集。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

提示：子集与真子集的区别联系：集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真子集；若集合A 有n 个元素，则其子集个数为_________个，真子集个数为__________个，非空真子集________个。

5.集合的运算：

6.常用集合运算：（1）=?A A ______ =?φA _______=?A A ________

=?A C A U ______ =?A C A U ________

** (2) ?=?A B A __________ ?=?A B A ___________ 思考：若A 、B 为有限集，记集合A 中元素的个数为

cardA ，用图示可验证：

card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；

考点一：集合及其运算

典型例题

1 1、设集合，则________

卷 2、集合, ,若,则的值为 ______

5、3.若集合则A ∩B 是___________4、已知集合，，且，则实数a 的取值范围是______________________ .已知集合A ＝－1，3，2－1，集合B ＝3，．若BA ，则实数＝ ．

6．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为________．

7．已知集合A ＝{x |x 2

－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．

8．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R}．

(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；

(2)若A ??R B ，求实数m 的取值范围．

知识概括、方法总结与易错点分析

（1）不等式解法在集合运算中起着举足轻重的作用，所以必须能熟练解决不等式问题，以保证集合运算的正确性。

（2）注重数轴和Venn 图的应用可以是集合运算达到事半功倍的效果。

（3）注意以集合的互异性为题目的切入点和检验工具。

（4）对于条件A ∪B ＝A 的转化A B ?一定要注意千万不能忽略φ=B 的情况

针对性练习

1、已知集合A ＝{a ＋2,22a ＋a}，若3∈A ，求a 的值．

2、设集合，则=

3.已知全集U=R ，集合，集合＜＜2，则

4、设集合，则满足条件的集合的个数是________

5、集合R|，则= .

6、设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．

(1)若a ＝15

，试判定集合A 与B 的关系；(2)若B ?A ，求实数a 组成的集合C . 7.已知，.（I ）若，求；（II ）若R ，求实数的取值范围.

巩固作业

1．如果全集U ＝R ，A ＝{1,2}，B ＝{x |1≤x <3}，则(?U A )∩B 等于( )

2．已知集合M ＝{x ||x |<2}，N ＝{x |

x ＋1x －3<0}，则集合M ∩(?R N )等于( ) 4．已知全集U ＝{2,0,3－a 2}，子集P ＝{2，a 2－a －2}，且?U P ＝{－1}，则实数a ＝

________.

5、若集合A ＝{x|2

x －2x －8<0}，B ＝{x|x －m<0}．(1)若m ＝3，全集U ＝A ∪B ，试求A ∩(?UB)；

（2）若A ∩B ＝?，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．

课题

函数的概念及其表示

教学目标1了解构成函数的要素,了解映射的概念.会求一些简单函数的定义域和

2、理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法

3、能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数

4、了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题

重点、难点1、函数概念的理解

2、函数定义域的求法

3、分段函数相关问题的解决

考点及考试要求1、函数的概念，函数的表示方法以及定义域，值域，分段函数

2、本节内容是高考考察的重点，或直接考察，或以本节课内容为背景结合其他知识点考察。考察方式主要是选择题和填空题，也有可能把定义一种新运算为考察方式

教学内容

知识框架

1.函数的定义：设A、B是非空________，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 一个数x，在集合B中都有________确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到B的一个函数(function)，记作：y＝f(x)，x∈A.其中,x叫自变量，x的取值范围A叫做 __ (domain)，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域(range)．值域的子集．

2．函数的三种表示方法：解析法、列表法、 ____________

3. 定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对中都有确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的

(mapping)．

记作“f ：A →B ”.

6、已知函数y ＝f(x)，x ∈[a ，b]，那么集合{(x ，y)|y ＝f(x)，x ∈[a ，b]}∩{(x ，y)|x ＝x 含元素

的个数是( )

A ．0个

B ．1个

C ．0或1个

D ．0或1或无数个 7、下列方程对应的图形，其中不是函数图象的是( )

A ．y ＝|x|

B ．y ＝|x －1|＋|x ＋1|

C ．y ＝

D ．|x|＋|y|＝1

8、函数21)(x x f -=的定义域为( )

A ．[0, 1]

B ．(－1,1)

C ．[－1,1]

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

考点一：

典型例题

1 、(1)已知f(x ＋1)＝2x ＋4x ＋1，求f(x)；

(2)已知f(x)为一次函数，且f{f[f(x)]}＝8x ＋7，求f(x)；

(3)已知f(x)＋2f(x

1)＝2x ＋1，求f(x)． 2、求函数的定义域 ：02)4

51()34lg(-++=x x x y

知识概括、方法总结与易错点分析

1、函数定义的理解：（1）集合A 与集合B 是两个非空的数集（2）集合A 中的元素与集合B 中的元素可以“一个对一个”、“多个对一个”，但不可“一个对多个”。在对应中集合A 中的元素不允许有剩余，集合B 中的元素可以有剩余。

2、映射定义的理解只需注意两个集合B A ,是非空的集合即可，其余与函数定义理解上相同

3、求用解析式y ＝f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：

①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；

②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意 义的实数集合；

⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题

4、（1）已知 f(x)的定义域为[a ，b]，求 f[u(x)]的定义域，只需求不等式 a ≤u(x)≤b 的解集即可．

(2) 已知f[u(x)]的定义域为[ a , b ] ,求f(x)的定义域只需在[ a , b ]上求出u(x)的值域即可

针对性练习

1、 下列四组函数中，表示同一函数的是( )

A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2

B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1

C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2

D ．y ＝lg x －2与y ＝lg

x

100 2、函数y ＝11－1x

的定义域_______ 3、已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()

21的定义域是 A ．[]052

， B. []-14， C. []-55， D. []-37，

4、下图中建立了集合P 中元素与集合M 中元素的对应f .其中为映射的对应是________．

5、 设集合A 和B 都是自然数集合，映射f:A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的

元素2n ＋n ，则在映射f 下，象20的原象是( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

考点二：

典型例题

1、 若函数12)(22-=-+a ax x x f 的定义域为R ，则a 的取值范围为________

2设函数???>≤++=0,

20,)(2x x c bx x x f 若)0()4(f f =-，2)2(-=-f ，则关于x 的方程x x f =)( 解的个数为___________个

知识概括、方法总结与易错点分析

1、对于本考点第1题要注意理解，这是定义域为R 的问题，就是说不论函数中的自变量取什么值，跟是下面都恒大于等于零，继而转化为“二次形式”函数大于零的问题。这里的“二次形式”一定要讨论它是否为真正的二次函数，否则容易丢解！

2、分段函数问题只需注意两种类型：（1）求函数值（2）求自变量。前一种类型只需看清自变量在那段范围上，直接带入即可。第二种类型则需考虑全面，每一段解析式都要进行验证，最后根据相应的自变量范围确定最后答案。

针对性练习：

函数)42lg()(2++=ax ax x f 的定义域为R ，求a 的取值范围

巩固作业

1、 设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，其中A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R，y ∈R}， f ：(x ，y )→(x ＋y ，x －y )．那么A 中元素(1,3)的象是________；B 中元素(1,3)的原象是

________．

2．(2010·绵阳二诊)函数y ＝

1－x 的定义域为( )

A ．(－∞，1)

B ．(－∞，1]

C ．(－∞，0)∪(0,1)

D ．(－∞，－1)∪(－1,1) 3．(2011·浙江五校联考)已知f (x )＝????? 2x ， x >0f x ＋， x ≤0，则f (43)＋f (－43

)＝( )

A ．－2

B ．4

C ．2

D ．－4

4．已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<

，若()3f x =，则x 的值是（ ）

A ．1

B ．1或32

C ．1，32

或3± D ．3 5、若函数x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = .

6．函数2()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的定义域为R ，值域为(],0-∞，则满足条件的实数a

组成的集合是 。

7、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()-2的定义域为__________。

课 题 函数的单调性与最值

教学目标

1、理解函数单调性的定义，会讨论和证明函数的单调性

2、会求一些简单的函数的定义域和值域；理解函数的最大（小）

值及其几何意义，并能求函数的最值

3、能利用函数的单调性解决抽象不等式问题

重点、难点 1、函数的单调性及其几何意义；增区间、减区间的概念

2、会运用函数图像理解和研究函数的性质、增减函数的证明和判

别

3、求函数值域和最值的方法

考点及考试要求 1、函数的单调性是函数的一个重要性质，是每年常考的内容，例

如判断或证明函数的单调性，求单调区间、利用单调性求参数的

取值范围、利用单调性解不等式。考题既有选择题、填空题，又

有解答题，难度有容易题、中等题，也有难题

2、主要考察函数的值域和最值的基本方法

教学内容

知识框架

1、函数的单调性

（1）单调函数的定义：设函数)(x f 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，

A.若________________，则)(x f 在____________上是增函数

B.若________________，则)(x f 在____________上是减函数

（2）、单调区间的定义：若函数)(x f 在区间D 上是_______________或

_____________________，则称函数)(x f 在这一区间上具有（严格的）单调性，_____________叫做)(x f 的单调区间。

2、函数的最值

（1）设函数)(x f 的定义域为I ，如果存在实数M ，满足：

A.对于任意的I x ∈，都有____________

B 。存在I x ∈0，使得______________,则称M 是)(x f 的最大值

（2）(2)设函数)(x f 的定义域为I ，如果存在实数M ，满足：

A.对于任意的I x ∈，都有____________

B 。存在I x ∈0，使得______________,则称M 是)(x f 的最小值

考点一：

典型例题

1、利用定义证明单调性：证明函数3)(x x f =是),(∞+-∞上的增函数。

2、求下列函数的单调区间（1）x

x f 1)(=

，（2）)62(log )(22++-=x x x f 3、已知)(x f 为R 上的减函数，则满足)1()1(f x f >的实数x 的取值范围_____________ 4、(2010·广州测试)已知函数f (x )＝????? a －x －1，x ≤1，log a x ， x >1.若f (x )在(－∞，

＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．

知识概括、方法总结与易错点分析

1、单调区间不能用并集的形式去写

2、在求函数的单调区间时要注意函数的定义域，不要跑到定义域外面去。

3、已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，是函数单调性的逆向思维问题，要注意函数单调性定义的运用。在解决与函数的单调性有关的参数问题时，我们必须了解参数的取值范围对函数单调性的影响，从而由函数单调性求出参数的取值范围。

4、 求复合函数y ＝f[g(x)]的单调区间的步骤

(1)确定定义域．

(2)将复合函数分解成基本初等函数：y ＝f(u)，u ＝g(x)．

(3)分别确定这两个函数的单调区间．

(4)若这两个函数同增或同减，则y ＝f[g(x)]为增函数；若一增一减，则y ＝f[g(x)]为减函数，即“同增异减”．

针对性练习

1、已知函数84)(2

--=kx x x f 在]20,5[上具有单调性，求实数k 的取值范围

2、函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是

2、已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数，且)1()2(x f x f -<-，求x 的取值范围

3、已知函数?????<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是____________

考点二：

典型例题

1、求下列函数的值域

（1）42-+=x x y （2）3241++=+x x y （3）x x y 212-+=

（4）2

1x x y -+= （5）12222+++=x x x y 2．已知函数[]2

()22,5,5f x x ax x =++∈-. ① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；

② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数

知识概括、方法总结与易错点分析

1、函数最值的求法：（1）利用函数的单调性求最值。若函数)(x f y =在区间],[b a 上是单调的，那么函数的最值就是区间端点的函数值

（2）配方法求最值：如果函数是二次函数或可化成二次函数型的函数，则常用配方法求最值

（3）利用换元法求最值：如果函数中含有无理式，则通常采用换元法求最值

（4）判别式法求最值：如果函数的解析式中自变量的最高为2次，定义域为R ，那么可利用判别式法求最值。

针对性练习：

1、函数x x y 21-+=的值域是________________

2、求函数1

212)(+-=x x x f 的值域_________________ 3、若函数m x x x f +-=2)(2

在),2[∞+上的最小值为2-，则实数m 的值为_________ 4、已知函数???>+≤-=0

,)1ln(0,1)(x x x e x f x 若)()2(2x f x f <-，则实数x 的取值范围是

________

5、已知函数()f x 的定义域是),0(+∞，且满足()()()f xy f x f y =+,1()12f =,

如果对于0x y <<,都有()()f x f y >,

（1）求(1)f ；（2）解不等式

2)3()(-≥-+-x f x f 。

巩固作业

1、在下列函数中，在区间),0(∞+上是增函数的是 （ ） x y A =、 x y B -=3、 x y C 1=

、 42+-=x y D 、 2、函数)

24(2

log x x y -=的单调递减区间是_____________ 3、函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是__________．

4、已知函数???<≥+=0,

10,1)(2x x x x f 则满足不等式)2()1(2x f x f >-的x 的范围是__________

课 题 函数的奇偶性与周期性

教学目标 1、理解奇函数、偶函数的定义

2、会判断函数的奇偶性，并能够用函数的奇偶性解决相应函数问

题

3、理解周期函数的定义，并能够用函数的周期性解决一些函数问

题

重点、难点

1、奇偶性、周期性的定义与应用

2、函数图像的理解和讨论函数的性质

考点及考试要求 函数的奇偶性在高考，主要考察函数奇偶性的判定以及周期

性与单调性相结合的题目，在命题形式上，选择题、填空题、解

答题都有。

教学内容

知识框架

1．偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有__________________，那么函

数f(x)就叫做偶函数(even function)．偶函数的图象关于y 轴对称．

2．奇函数:一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有_________________，那么

函数f(x)就叫做奇函数(odd function)．奇函数的图象关于原点对称． 注：对于函数奇偶性定义的理解要注意以下几点：（1）一个函数有奇偶性的前提必须是定义域关于原点对称，这样才能保证定义域内的任意一个自变量都能满足

)()(x f x f -=或)()(x f x f -=-

（2）偶函数图像关于y 轴对称，奇函数图像关于原点对称 。如果一个奇函数的定义域里面含有0，那么在此处的函数只为0.

3.周期性:一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，

都有_________________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常 数T 叫做这个函数的周期.对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最

小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的___________

如果非零常数T 是函数 f(x)的一个周期，那么)0(≠∈n Z n nT 且也为函数)(x f 的周期。 ．

考点一：

典型例题

1．下列函数中，不具有奇偶性的函数是( )

A ．y ＝e x －e －x

B ．y ＝lg 1＋x 1－x

C ．y ＝cos2x

D ．y ＝sin x ＋cos x

2．(2011·山东临沂)设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( )

A ．f (x )f (－x )是奇函数

B ．f (x )|f (－x )|是奇函数

C ．f (x )－f (－x )是偶函数

D ．f (x )＋f (－x )是偶函数

3．已知f (x )为奇函数，当x >0，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0，f (x )等于____________

4．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( )

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．既奇又偶函数

5．(2010·山东卷)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b

为常数)，则f (－1)＝_________

6．已知奇函数 f(x)是定义在(－2,2)上的减函数，若 f(m －1)＋f(2m －1)>0，求实数 m 的取值范围．

知识概括、方法总结与易错点分析

函数的奇偶性和周期性是函数的重要性质之一，在确定函数定义域的基础上要首先考虑函数的奇偶性和周期性等，它对研究函数图象、值域及单调性等问题都会起到事半功倍的作用，要重点研究，考点一是判断函数的奇偶性和周期性；考点二是研究奇偶函数的性质；考点三是应用奇偶函数定义和奇偶函数的图象对称性和周期性解决函数问题．

针对性练习

1、函数x

x x x f +-+=11)1()(是一个__________（奇函数/偶函数/非奇非偶函数） 2、设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝________.

3、函数1

)(2+++=

bx x a x x f 在]1,1[-上是奇函数，则)(x f 的解析式为_____________

3、设f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx ＋7(其中a ，b ，c 为常数，x ∈R)，若f (－2011)＝－17，则f (2011)＝________.

4、已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )、g (x )的解析式．

5、设 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x ∈[0，＋∞)时，)1()(3x x x f +=，那么当x ∈(－∞，0)时，求函数)(x f 解析式。

6、已知定义在)1,1(-上的奇函数)(x f ，在定义域上为减函数，且

0)21()1(>-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。

考点二：

典型例题

1、(2011·深圳)设f (x )＝

1＋x 1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2011(x )＝________

2、已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，总有f (x ＋2)＝－f (x )成立，则f (19)＝________.

3、函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝

)(1x f ，若f (1)＝－5，则f [f (5)]＝___________

知识概括、方法总结与易错点分析

关于周期函数的几种判定方法：

(1) 对于函数 f(x) 定义域中的任意的 x ，总存在一个常数T(T ≠0)，使得 f(x ＋T)＝f(x)恒成立，则 T 是函数 y ＝f(x)的一个周期；

(2)若函数 y ＝f(x)满足 f(x ＋a)＝f(x －a)(a ≠0)，则 T ＝2a 是它的一个周期；

(3)若函数 y ＝f(x)满足 f(x ＋a)＝－f(x)(a ≠0)，则 T ＝2a 是它的一个周期；

(4)若函数)(x f y =满足)0()

(1)(≠-

=+a x f a x f ，则a T 2=是它的一个周期

针对性练习：

1、已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x ＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

2、定义在R 上的函数)(x f 是奇函数又是以2为周期的周期函数，则=++)7()4()1(f f f _____

3、奇函数)(x f 满足对任意R x ∈都有0)2()2(=-++x f x f ，且9)1(=f ，则