第三节 变力做功 动能定理
动能定理求变力做功汇总课件
出来，得到变力所做的功。
实例分析一：弹簧力做功问题
确定弹簧力的变化规律
求解弹簧力做功
根据胡克定律，弹簧力F与弹簧的形变 量x成正比，即F=kx。
将弹簧力在位移上的积累效应计算出 来，得到弹簧力所做的功。
运用动能定理
设物体的初速度为v1，末速度为v2， 通过运用动能定理，可以求出弹簧力 所做的功。
在解决变力做功问题时，动能定理提供了一个简便的方法，可以将变力的冲量转化 为动能的变化，从而简化了问题的解决过程。
动能定理在解决实际问题中具有广泛的应用，例如在工程、航天、军事等领域中， 都需要用到动能定理来计算变力做功。
动能定理在未来的应用前景
随着科技的发展，动能定理的应 用前景将更加广阔。
在新能源、环保、医疗等领域中， 动能定理都有重要的应用价值。
理解如何利用动能定 理求变力所做的功。
02 动能定理概述
动能定理定义
总结词
动能定理是描述物体动能变化的定理， 其定义是合外力的功等于物体动能的变 化量。
VS
详细描述
动能定理是物理学中一个重要的定理，它 描述了物体的动能如何随外力做功而变化。 具体来说，如果一个物体受到合外力的作 用，并且这个合外力对物体做了功，那么 这个功就等于物体动能的增量。数学表达 式为：W = ΔE_k。其中，W表示合外力 做的功，ΔE_k表示物体动能的增量。
04 动能定理在变力做功中 的应用
变力做功的求解步骤
确定物体运动过程
首先需要明确物体在整个过程 中的运动情况，包括初速度、 末速度、加速度等。
确定变力的变化规律
分析变力的变化规律，找出力 随时间或位移变化的函数关系。
3_1变力的功 动能定理
外力功
内力功
3-1
变力的功 动能定理
第三章功能原理和机械能守恒定律
对质点系, 对质点系,有
∑A =∑A
i
(e) i
+ ∑ A = Ekb Eka = Ek
(i ) i
n
动能增量
n 1 1 2 2 Ek = Ekb Eka = ∑ mi vib ∑ mi via i =1 2 i =1 2 (e) (i) 质点系动能定理 质点系动能定理 A + A = Ekb Eka
v v v v dAi = f ij dri ; dA j = f ji dr j
dA = dAi + dA j v v v v v r v r v v = f ij dri + f ji drj o Q f ij = f ji v v v v v v v v ∴ dA = f ij (dri drj ) = f ij d (ri rj ) = f ij drij
质点系的动能定理 质点系的动能定理 作用于质点系中各个质点上的外 力和内力所做的功的代数和,等于质点系动能的增量. 力和内力所做的功的代数和,等于质点系动能的增量. 注意 内力可以改变质点系的动能
3-1
变力的功 动能定理
第三章功能原理和机械能守恒定律
注意
功是过程量, 是能量变化的量度; (1) 功是过程量, 是能量变化的量度 ; 动能是状态 是运动状态的单值函数. 量 , 是运动状态的单值函数 . 它们的单位和量 纲相同. 纲相同. 动能定理由牛顿第二定律导出, (2) 动能定理由牛顿第二定律导出, 只适用于惯性 参考系, 动能也与参考系有关. 参考系, 动能也与参考系有关.
v dri
v dr θ
变力做功
变力做功功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下：一、等值法等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。
而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。
例1、定滑轮至滑块的高度为H，已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。
求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
分析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T。
T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。
但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。
而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。
二、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。
三、平均力法如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。
例3、一辆汽车质量为105千克，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。
其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力。
当车前进100米时，牵引力做的功是多少？分析：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故前进100米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。
由题意可知f0＝0.05×105×10N＝5×104N,所以前进100米过程中的平均牵引力＝N＝1×105N,∴W＝S＝1×105×100J＝1×107J。
高考物理：变力做功的求解方法！
高考物理：变力做功的求解方法！一、变力做功的计算方法1、用动能定理动能定理表达式为，其中是所有外力做功的代数和，△E k是物体动能的增量。
如果物体受到的除某个变力以外的其他力所做的功均能求出，那么用动能定理表达式就可以求出这个变力所做的功。
2、用功能原理系统内除重力和弹力以外的其他力对系统所做功的代数和等于该系统机械能的增量。
若在只有重力和弹力做功的系统内，则机械能守恒（即为机械能守恒定律）。
3、利用W＝Pt求变力做功这是一种等效代换的思想，用W＝Pt计算功时，必须满足变力的功率是一定的。
4、转化为恒力做功在某些情况下，通过等效变换可将变力做功转换成恒力做功，继而可以用求解。
5、用平均值当力的方向不变，而大小随位移做线性变化时，可先求出力的算术平均值，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。
6、微元法对于变力做功，我们不能直接用公式进行计算，但是可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法，其具有普遍的适用性。
在高中阶段主要用这种方法来解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力做功的问题。
二、摩擦力做功的特点1、静摩擦力做功的特点：A、静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
B、在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能。
C、相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总是等于零。
2、滑动摩擦力做功的特点：如图所示，顶端粗糙的小车，放在光滑的水平地面上，具有一定速度的小木块由小车左端滑上小车，当木块与小车相对静止时木块相对小车的位移为d，小车相对地面的位移为s，则滑动摩擦力F对木块做的功为W木=－F（d+s）①由动能定理得木块的动能增量为ΔE k木=－F（d+s）②滑动摩擦力对小车做的功为W车=Fs ③同理，小车动能增量为ΔE k车=Fs ④②④两式相加得ΔE k木+ΔE k车=－Fd ⑤⑤式表明木块和小车所组成系统的机械能的减少量等于滑动摩擦力与木块相对于小车位移的乘积，这部分能量转化为内能。
第八章第3节动能与动能定理(教学设计)
课时教学设计课题第八章第三节动能和动能定理授课时间：2024年6月27日课型：新课（观察探究课）课时：一课时教教学目标物理观念：理解动能的内涵，能用动能定理分析解释生产生活中的相关现象，解决一些相关的实际问题科学思维：能利用动能定理解决动力学问题和变力做功问题科学探究：能通过理论推导得出动能定理的内容。
科学态度与责任：通过对动能和动能定理的演绎推理，使学生从中领略到物理等自然科学中所蕴含的严谨的逻辑关系，有较强的学习和研究物理的兴趣。
重点难点重点：1.掌握动能的概念（重点）2.理解动能定理的内容（重点）难点：应用动能定理解决简单或者多过程问题。
教学准备1.动能演示器演示器2.教学PPT课件教学思路学生在初中的基础上进一步明确了:物体的速度、质量越大，物体由于运动而具有的动能就越大。
并认识到功是能量转化的量度，某个力对物体做功就一定对应着某种能量的变化,那么已有的认知经验就会激发学生进一步思索物体动能的表达式和引起物体动能变化的原因，从而为我们接下来的探究教学提供有效条件。
教学过程活动设计1.课前引导提问 3.研究动能和它的变化的规律2.观察各种动能演示器 4. 课堂练习环节一：课前引导提问教师活动：提问1.什么叫势能？2.势能的变化条件是什么？3.能量和功之间有什么关系？4.什么叫动能？5.动能和势能的公式6.能量的单位是什么？学生活动：让学生回答1.物体受到重力的原因而得到的能量2.物体的质量和高度的变化3.做功是能量变化的过程4.物体运动而得到的能量5.Ek=0.5mV2 Eh=mgh6.J KJ环节二：让学生观察圆周运动环节三：讨论圆周运动的规律一、情境引入利用大屏幕投影展示子弹穿扑克牌、风力发电等照片，让学生观察、自主提问、分组探讨物体由于运动而具有的能叫做动能。
列车的动能如何变化？变化的原因是什么？ 磁悬浮列车在牵引力的作用下（不计阻力），速度逐渐增大？ 二、新课教学 一、动能的表达式如图所示设某物体的一个物体的质量为ｍ，初速度为1υ，在与运动方向相同的恒力F 的作用下发生一段位移l ，速度增大到2υ，则： 1．力F 对物体所做的功多大？（W ＝Fl ） 2．物体的加速度多大？a ＝mF3．物体的初速、末速、位移之间有什么关系?al 22122=-υυ4．结合上述三式你能综合推导得到什么样的式子? 5．在学生推导的过程中评析：21222122212221222121222υυυυυυυυm m W a m a Fl W a l al m aF -=⇒-⨯==⇒⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=-= 从21222121υυm m W -=这个式子可以看出，“υm 21”很可能是一个具有特殊意义的物理量。
动能定理解决变力做功人教版原创
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30°
例3拓展
1、斜面的变化，可由斜面变成竖直面或水平面分析，仍要 靠向心力来源来分析处末两个状态的动能。 2、在原先斜面的基础上再加上一些场力以实现其综合 效应，如电场磁场等（小球会带电，斜面会绝缘）。 3、位置变化，由地球上的情况转移到其他星球，再配以一 些条件综合万有引力的知识。凡是和重力加速度相关的题目 都可以和万有引力结合。
强调：完成题目以后的反思至关重要 ，
“三分做，七分想”
二、利用动能定理解决问题应注意的问题
1 2 1 2 1、动能定理：W合 Ek2 Ek1 2 mv2 2 mv1
注：动能变化涉及两个状态， 做功涉及一个过程 2、求外力总功的方法
a 、先求合外力，再求合外力做的功 b 、先求各个力做的功，再求代数和
3、用动能定理解题的步骤：
a 、选择研究对象明确研究过程
动能定理解决变力做功1与势能相关的变力可以由势能的变化来求解如弹簧弹力万有引力和电场力2全程变力分段恒力如滑动摩擦力和空气阻力等3利用变力对位移的平均作用力来求解尤其是力与位移成正比时4利用fs图像中的面积来解决5利用功率来解决比如在机车以额定功率启动过程中牵引力的做功
动能定理解决变力做功
一 、 解 决 变 力 做 功 的 方 法
b、对研究对象进行受力分析， 分析各个力所做的功
c、分析这个过程的初末两个状态， 解决初末动能问题 d 、列动能定理表达式，求解问题
例1、以质量为60kg的跳伞运动员刚刚拉开伞 时的速度为40m/s，拉开伞后受到与速度相关 的空气阻力影响，下落200m后，速度变为 20m/s，求这个过程当中空气阻力做的功。
高中物理动能定理的内容与公式
高中物理动能定理的内容与公式高中物理动能定理公式是W=(1/2)mV₁²-(1/2)mVo²=Ek₂-Ek₁，W为外力做的功，Vo是物体初速度，V₁是末速度，Ek₂表示物体的末动能，Ek₁表示物体的初动能。
W是动能的变化，又称动能的增量，也表示合外力对物体做的总功。
动能定理研究的对象是单一的物体，或者可以称单一物体的物体系。
动能定理的计算式是等式，一般以地面为参考系。
动能定理适用于物体的直线运动，也适应于曲线运动;适用于恒力做功，也适用于变力做功;里可以是分段作用，也可以是同时作用，只要可以求出各个力的正负代数和。
拓展阅读：高中物理动能定理的知识点动能定理的基本概念合外力做的功，等于物体动能的改变量，这就是动能定理的内容。
动能定理还可以表述为：过程中所有分力做的功的代数和，等于动能的改变量。
这里的合外力指研究对象受到的所有外力的合力。
动能定理的表达式动能定理的基本表达式：F合s=W=ΔEk;动能定理的其他表示方法：∫Fds=W=ΔEk;F1s1+F2s2+F3s3+……=ΔEk;功虽然是标量，但有正负一说。
最为严谨的公式是第二个公式;最常用的，有些难度的却是第三个公式。
动能定理根源我们来推导动能定理，很多学生可能认为这是没有必要的，其实恰恰相反。
近几年的高考物理试题，特别注重基础知识的推导和与应用。
理解各个知识点之间的关联，能够帮你更好的理解物理考点。
在内心理解了动能定理，知道了它的本源，才能在考试中科学运用动能定理来解题。
动能定理的推导分为如下两步：(1)匀变速直线运动下的动能定理推导过程物体做匀变速直线运动，则其受力情况为F合=ma;由匀变速直线运动的公式：2as=v2-v02;方程的两边都乘以m，除以2，有：mas=½(mv2-v02)=Ek2-Ek1=ΔEk;上述方程的左端mas=F合s=W;因此有：F合s=W=ΔEk;这就是动能定理在匀变速直线运动情况下的推导过程。
第三节动能动能定理
图5—3—1F 1图5—3—1（解）第三节 动能 动能定理[考点聚焦]动能定理的应用是高考频率最高的考点之一，历年高考皆涉及这方面的内容，学习中应掌握。
1、动能：物体由于运动而具有的能叫做动能。
动能的表达式为：E k =221mv 。
动能的单位：焦耳 ，符号：J 。
动能是标量。
2、动能定理：合外力对物体所做的功，等于物体动能的增量 。
表达式：W =21222121mv mv E k -=∆。
3、动能定理的研究对象：⑴质点；⑵物体组；动能定理既适用于恒力作用过程，亦适用于变力作用过程，既适用于直线运动，亦适用于曲线运动。
[好题精析]例1．如图5—3—1所示，物体在离斜面底端4m 处由静止滑下，若动摩擦因数均为0.5，斜面倾角370斜面与平面间由一段圆弧连接，行多远？[解析] 物体在斜面上受重力mg 、支持力N 1、摩擦力F 1的作用，沿斜面加速下滑（因μ=0.5＜tg 370=0.75），到水平面后，在摩擦力F 2作用下做减速运动，直至停止 解法一： 对物体在斜面上和水平面上时进行受力分析， 如图5—3—1（解）所示，知下滑阶段：F N 1=mgcos 370 故F 1=μF N 1=μmgcos 370由动能定理 mgsin 370·s 1—μmgcos 370·s 1=02121-mv ①在水平运动过程中F 2=μF N 2=μmg 由动能定理 —μmg ·s 2=21210mv - ② 由①、②式可得m m s s 6.145.08.05.06.037cos 37sin 1002=⨯⨯-=-=μμ解法二：物体受力分析上。
物体运动的全过程中，初、末状态速度均为零，对全过程应用动能定理F图5—3—2037cos 37sin 21010=∙-∙-∙s mg s mg s mg μμ 得m m s s 6.145.08.05.06.037cos 37sin 1002=⨯⨯-=-=μμ[点评]应用动能定理分析求解匀变速运动，要注意过程分析及每一过程的受力分析，对于多过程的问题要找到联系两过程的相关物理量。
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第二次课： 2学时
1 题目： §2.3 变力做功 动能定理
§2.4 势能
§2.5 功能原理 能量守恒定律
2 目的： 1）掌握求变力做功的方法及功的物理意义。
2）掌握势能的普遍定义和各种势能的共性。
3）了解功能原理和能量守恒定律的物理意义。
一、引入课题：
人们利用机械转置可以省力和做功。
物体所具有的做功能力叫做能量，机械可以消耗一定的能量对外做功，能量在一定的条件下可以以做功的方式从一种形式转化为另一种形式，在这种转化的过程中服从能量守恒定律。
质点在恒力F 的作用下，沿直线走过一段位移S ，力F 所做的功为
讨论：正功、负功和零功。
二、讲授新课：
§ 3.1 变力做功 动能定理
一、变力的功
1 元功：质点在力F 作用下发生元位移d r 时，力F 对质点所作的功称为元功。
c o s
d A F
d r F d s α==
2 总功：若质点在力F （不一定是常力）的作用下，沿路径L 由C 运动到D ，则力F 所做的总功为沿该路径的线积分 做功公式
c o s
D
D
D
C
C
C
A d A F d r F d s α===⎰⎰
⎰
在直角坐标系下，做功公式表示为 ()D
x y z
C A F d x
F d y F d z
=++⎰
cos A FS α
=
3 功的性质
①功是标量，没有方向只有正负。
元功的正负决定于力与元位移间的交角。
②功具有可加性，即合力的功等于各分力的功的代数和。
③功是力对空间的累计作用。
功与运动的过程相联系，只有在受力质点的位置发生变动的过程中才可能做功。
对于功一定要明确是什么力、在什么过程中做功。
④功是相对量，参考系选择有关。
问题：在运动的电梯中，静止的人所受电梯的支持力是否做功？
以电梯做参考系，位移为零 以地面做参考系，位移不为零 4 一对力的功
系统内两个质点间的作用力和反作用力称为一对力。
设相互作用的质点m c 和m D 的位矢分别为r C 和r D ，相互作用力有关系F C =－F D ，在某段时间内，两质点位移分别为d r C 和d r D ，在这段时间内，这一对力所做的总功为
()()C C D D D D C D D C d A F d r F d r F d r d r F d r r
=+=-=-
或 D C D d A F d r =
即
1）两个质点间的相互作用力所做的元功之和等于其中一个质点所受的力与该质点对另一个质点的相对元位移的点积。
2）一对力做功的特点
①一对力做功的总和与参考系选择无关。
因为相对位移CD dr
与力D F 都与参考系的选择无关，所以一般可以选取方便的参考系来计算。
例：选一个物体为参考系，此时CD dr
为另一物体的位移，所以一对滑动摩擦力的功恒为负。
② 如果两质点间没有相对运动，或相对运动的方向与力的方向垂直，那么这一对力所做的总功为零。
例：一对正压力的功恒为零。
一对静摩擦力的功恒为零。
刚体的内力之功恒为零。
解： 弹性力所作的元功
从x 1到x 2弹力所做总功
例2-4 如图所示，质量为m 的质点，从A 沿曲线运动到B 。
求此过程中重力所作的功
解:
d cos d A G αs
=d cos d s y
α=-d d A mg y =-21
21 d ()
y y A mg y mgy mgy =-=--⎰
例2-5 弹簧一端固定于墙上，另一端系一物体。
取弹簧无形变时物体所在位置为原点，弹簧伸长方向为 Ox 轴的正方向，如图所示。
拉伸或压缩弹簧时，作用于物体的弹力为
f kx
=- 在上式中，是弹簧的劲度系数，是物体位置的坐标。
负号表示作用于物体的弹性力恒指向平衡位置(原点)。
计算物体从移动到过程中弹力所作的功。
d d A kx x
=-⋅
例：摩擦力的功 解
例2－3 某物体在平面是沿ox 轴的正方向前进，平面是各处的摩擦系数不等，因而作用在物体上的摩擦力是变力，已知某段路面摩擦力的大小随坐标x 变化的规律为
求：从x=0 到x=L 摩擦力所做的功。
解：∵力与位移的方向相反，即α＝π， ∴cos α=1 元功为
从x=0到 x=L 摩擦力所做的总功为
二、功率
为了描述单位时间内所作的功，需要引入功率的概念。
定义：功率单位时间内所做的功称为功率。
x y
z d A d x d y d z
F d r F d v F F F d t d t d t d t
===++ 1.平均功率
设某力在时间Δt 内作功是ΔA ，则此力在时间Δt 内的平均功率为
o 2
1
22
2111 () d ()22
x x A kx x k x k x =-=--⎰
ΔΔA
P t
=
20
2s R
f N m
g A f ds
mg ds
R mg
πμμμπμ=-=-==
-=-⎰⎰
()
10f F x x =+〉()cos 1f dA F ds x dx
α==-+()0
1112L
A x dx L L ⎛⎫=-+=-+ ⎪
⎝⎭⎰
2.瞬时功率
Δt 趋于零时，平均功率的极限值
在SI 中，功率的单位是[瓦特]，符号为 W 。
三、动能定理 1 质点的动能定理
动能：质量为m 、速率为v 的质点，其动能定义为 2
12
k E m v =
动能是描述质点运动状态的物理量，因v 与参考系有关，所以动能在一定的参考系下才有意义。
动能定理：由功的定义和牛顿定律有
21122dv dr dA F dr m dt mdv v d mv v d mv dt dt ⎛⎫⎛⎫
===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即 k
d A F d r
d E
==
对沿一定路径从C 点到D 点的有限位移过程有
D
D
k C
C
A F dr dE ==⎰
⎰
即 2211
22
k D k C D C A E E mv mv =-=
- 合力对质点所做的功等于质点动能的增量。
可见，力的空间累积效应是使质点的动能改变。
若初速为零，则
21
2
k E F d r m v
==
⎰ 物体的动能等于物体从静止开始运动到具有速率v 时合外力对物体所做的功。
2 质点系的动能定理
质点系的动能：质点系的动能等于系统内各个质点的动能之和 21
2
k k i i i i
E E m v ==
∑ d d A P F t
υ
==⋅
3 刚体的动能定理
刚体绕某个瞬时轴以角速度ω转动时的转动动能为
2
21122
k i i i i i i E m v m r ω==⨯∑∑
设i r 为质元i m 到定轴之间的垂直距离，则其线速度i i v r ω=，于是刚体对该定轴的转动动能为 222
2111222
k i i i i
i i E m v m r J ωω=
==∑∑ 可见，即使不变，对不同的转轴，由于转动惯量不同也会使转动动能不同。