用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)

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北师大版选修2-1高中数学2.4《用向量讨论垂直与平行》ppt课件(1)

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§4 用向量讨论垂直与平行
一
二
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
二、空间中的平行关系
1.线线平行判定定理如果平面内的两条直线没有公共点,则这两条直线平行. 2.线面平行判定定理若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 3.面面平行判定定理若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行.
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§4 用向量讨论垂直与平行
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
求平面的法向量
要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:
(1)设出平面的法向量为 n=(x,y,z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标
∴��1 =(0,2,1),��=(2,0,0),�� =(0,2,1).
设 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面 ADE 和平面 B1C1F 的法向量, 则 n1⊥��,n1⊥��,
思路分析:可采用待定系数法,设出法向量,根据它和 α 内不共线两个向量的垂直关系建立方程组进行求解.
解:∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),
∴�� =(1,-2,-4),�� =(2,-4,-3).

北师版数学高二-选修2-1课件2.4用向量讨论垂直与平行

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2 若直线 l1,l2 的方向向量分别为 a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则( )
A.l1∥l2
B.l1⊥l2
C.l1,l2 相交但不垂直D.l1,l2 的关系不能确定
解析:∵a·b=1×(-2)+2×3+(-2)×2=0,
∴a⊥b.∴l1⊥l2. 答案:B
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学习目标导航基础知识梳理重点难点突破典型例题剖析随堂练习巩固
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学习目标导航基础知识梳理重点难点突破典型例题剖析随堂练习巩固
题型空间中直线、平面的位置关系【例题 1】设 a,b 分别是直线 l1,l2 的方向向量,根据下列条件判断 l1 与 l2 的位置关系: (1)a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3); (2)a=(5,0,2),b=(0,4,0); (3)a=(-2,1,4),b=(6,3,3). 分析:直线的方向向量与两条直线的位置关系间的内在联系是 l1∥l2⇔a∥b,l1⊥l2⇔a⊥b,据此可判断两条直线的位置关系. 解:(1)∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3), ∴a=-13b,∴a∥b,∴l1∥l2. (2)∵a=(5,0,2),b=(0,4,0),
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学习目标导航基础知识梳理重点难点突破典型例题剖析随堂练习巩固
证明:∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面的三边长 AC=3,BC=4,AB=5,
∴AC,BC,C1C 两两垂直.
如图,以 C 为坐标原点,直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z
轴建立空间直角坐标系,则
C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D
AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又 H,G 分别是 BC,CD 的中点,则( )

数学第二章4用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)

ED→′ ＝ (0， 0， 1)－(1， 0，1)＝ (－ 1， 0，1)．
2
2
∵B→F ＝ED→′ ，
∴B→F ∥ED→′ .
又直线 BF 与 ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
法二：B→F＝B→C＋C→F＝B→C＋1C→ C′ 2
＝A→D＋1DD→′， 2
ED→′ ＝EA→′ ＋A→′D′＝1AA→′ ＋A→D 2
线面平行 l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1m1＋b1n1 ＋c1p1＝0；面面平行 u∥α∥v β⇔_________⇔u＝kv⇔(m1， n1 ， p1) ＝ k(m2 ， n2 ， p2) ⇔ m1 ＝ km2 ， n1 ＝ kn2,p1＝kp2.
(2)线线垂直 l⊥m⇔a·ba＝⊥0b⇔_________⇔a1a2
y1＝－ x1.
令
x1＝ 1，则
n1＝
(1，－
1，1)． 2
设平面 BDEF 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··ED→→FE＝＝
0，即2x2＋ 0， 2y2＋
24yz22＝＝00，，即xz22＝＝－－12yy2，2，
＝A→D＋1DD→′， 2
∴B→F ＝ED→′ ，B→F ∥ED→′ .
又直线 BF 与 ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
【名师点评】当两条直线的方向向量平行时，依据图形说明一个向量所在直线上的点不在另一个向量所在直线上，从而得到空间两条直线平行．
变式训练 1.已知三棱锥O－ABC中，OA＝1，OB＝1，OC ＝2，OA、OB、OC两两互相垂直，如何找出一点D，使得BD∥AC，DC∥AB?
2.已知a，b，c分别为直线a，b，c的方向向量,
且a＝λb(λ≠0)，b·c＝0，则a与c的位置关系是

高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(一)课件北师大版选修2_1

重点突破
解析答案
(3)平面 α 与 β 的法向量分别是 u＝(1,－1,2)，v＝3，2，－12；解 ∵u＝(1,－1,2)，v＝3，2，－21， ∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即α⊥β. (4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)；解 ∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)， ∴u·v≠0且u≠kv(k∈R)， ∴u与v既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直. (5)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0,2，－3). 解 ∵a＝(0，－8,12)，u＝(0,2，－3)，
解析答案
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3.若A(1,0,－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( A ) A.(2,2,6) B.(－1,1,3) C.(3,1,1) D.(－3,0,1) 解析 ∵A，B在直线l上， ∴A→B＝(1,1,3)，与A→B共线的向量(2,2,6)可以是直线 l 的一个方向向量.
题型二求平面的法向量例 2 如图所示，在四棱锥 S－ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面 ABCD，且 SA ＝AB＝BC＝1，AD＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向量.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量. 解设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，由题意知A→B＝(－1,1,0)，B→C＝(1,0,－1). ∵n⊥A→B，n⊥B→C，∴nn··BA→→CB＝＝－x－x＋z＝y0＝，0，解得xx＝＝yz.，令 x＝1，则 y＝z＝1. ∴平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1).

北师大版选修2-1高中数学2.4《用向量讨论垂直与平行》ppt课件

• 3．对于空间中平行关系的向量表示的三点说明
• (1)直线与直线平行：关键看直线的方向向量是否共线．
• (2)直线与平面平行：关键看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直；或者看直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量是否共面．
• (3)平面与平面平行：关键看两平面的法向量是否共线．
• 如 AB图＝，5，在A直A1＝三4棱，柱点ADB是C－ABA的1B1中C1点中．，AC＝3，BC＝4， • (1)求证：AC⊥BC1； • (2)求证：AC1∥平面CDB1.
[证明] ∵直三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面的三边长 AC＝3， BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，又 CC1⊥平面 ABC，
证法二：建立空间直角坐标系如证法一中的图，设平面 EFG 的法向量 m＝(x1，y1，z1)，
则 m·E→F＝(x1，y1，z1)·(0，－1,1)＝－y1＋z1＝0，m·F→G＝(x1， y1，z1)·(1,1,0)＝x1＋y1＝0，
从而，得 x1＝－y1＝－z1. 设 x1＝－1，则 m＝(－1,1,1)．
• [分析] 用向量证明面面平行有两个途径：利用面面平行的判定定理，即证明一个平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；证明两个平面的法向量平行．
[证明] 证法一：如图，以点 D 为坐标原点，分别以D→A，D→C， D→D1为正交基底建立空间直角坐标系 D－xyz，不妨设正方体的棱长为 2，则 E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,2,1)，M(1,1,2)，N(0,1,1)．
∴n＝(－1,1,1)，
又∵E→F＝12，12，0，F→G＝－12，0，－12， ∴n·E→F＝0，n·F→G＝0， ∴n⊥E→F，n⊥F→G， ∴n 也是平面 EFG 的一个法向量，

高中数学课件-2.4用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)

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3．三垂线定理 (1)三垂线定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的__投__影____，则这两条直线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则这条直线也垂直于直线在该平面内的 _投__影_____．
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一般采用以下步骤来求法向量． (1)建立空间直角坐标系，设法向量 n＝(x，y，z)． (2)找出平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(x1，y1，z1)， b＝(x2，y2，z2)． (3)建立方程组nn··ab＝＝00 . (4)解方程组，由于解不确定，只取其中一组解，也就求出此平面的一个法向量．
[证明] ∵直三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面的三边长 AC＝3， BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，C1C 两两垂直．
如图，以 C 为坐标原点，直线 CA，CB，CC1 分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)， B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(32，2,0)．
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5．利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
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第二章空间向量与立体几何

用向量法讨论平行和垂直-北师大版高中数学选修2-1精品课件

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PA(1,0,1), DE (0, 1 , 1)
Z DB=(1,1， 0)
22
设平面EDB的法向量为 n(x,y,1) P
则 n D E , n D B
于是12y120n1, 1, 1
E
xy0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P A n 0 P A n 而 PA平面 ED B A 所以 P， A //平E 面DB
X
D
P
解得 x＝－２,ｙ＝１
E
即 P A 2 D E D B
于是 P A 、 D E 、 D B 共面
而 PA平面 ED B
D
所以 P， A //平E 面DB A
X
C Y
B
例4 正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1中，E、F分别
是BB1,，CD中点，求证：D1F 平面ADE.
证明：设正方体棱长为1，以 D A ， D C ,D D 1为单位
正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
DA(1,0,0)， DE(1,1,,1)
1
2
z
D1
D1F (0, 2,1)
A1
则Ｄ１Ｆ D A 0 ，Ｄ１Ｆ D E 0
C1 B1
E
则Ｄ１Ｆ D A ，Ｄ１Ｆ D E ． D F
C y
所以 D 1F平面 ADE
A x
包法括向线量在为面n 内，(面a 2 面,b 2 平,c 行2 )包,则括面面重合.
l / / e n 0 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 ;
2、垂直关系：
（二）、垂直关系：
(1) lma b ab0

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设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ，平面 , 的法向量分别为 u, v ，则线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；线面平行 l ∥ a u a u 0 ；面面平行 ∥ u ∥ v u kv .
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.
画出图形意会
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ，平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 l ⊥m a ⊥b ab 0；线线垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ；线面垂直
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ，平面 , 的法向量分别为 u, v ，则

画出图形意会
以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会.
三、课堂练习
练习 1.已知两点 A( ， 2，) B 2， 3 求直线 AB 与坐 1 3 ,（ 1，）, 标平面 yOz 的交点. 2.已知两点 A 1 2， B 2，2 P 1 1， ,点 Q 在 OP （， 3 ）,（ 1，）,（，2 ）上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标. 3.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，求证： DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
练习 3:在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，求证： DB1 是平面 ACD1 的法向量证：设正方体棱长为 1，以 DA, DC , DD1 为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系 D xyz DB1 (1,1,1) ， AC (1,1,0) ， AD1 (1,0,1) DB1 AC 0 ，所以 DB1 AC , 同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A 所以 DB1 平面 ACD , 从而 DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
用向量讨论垂直与平行
一、引入新课
前面,我们把平面向量
推广到
空间向量
向量渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.
思考 1：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量
四、课堂小结
课外思考:已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 在空间直角坐标系中 , 已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
五、作业布置
作业:课本 P 练习 1,2
113
问题:如何求平面的法向量? ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z )
OP 来表示，我们把向量 OP 称为点 P 的位置向量. P
⑵直线
P
a
O 二、新知 A 探究
B
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定方向确定.
⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定方向确定.
P
a
完全确定的.
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向量m 是与平面平行或在平面内，则有 n m 0
A
思考 2：
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ，平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
学习小结: 本节课主要是认识了直线的方向向量及平面的法向量的概念,这两个向量是运用向量工具解决平行、垂直、夹角等立体几何问题必要的条件.
课外思考:已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 在空间直角坐标系中 , 已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
平行
垂直夹角
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？
面面垂直
⊥ u ⊥ v u v 0.
画出角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos ； 2 a b au 直线 l 与平面所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), sin ； 2 a u uv 二面角 ─l ─ 的大小为 ( 0 ≤ ≤ ), cos . u v
六、教后反思：
除此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n ⊥ ，如果 n⊥ ，那么向量 n 叫做平面的法向量. 给定一点A和一个向量 n,那么 l 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
练习 1.已知两点 A( ， 2，) B 2， 3 , 1 3 ,（ 1，）, 求直线 AB 与坐标平面 yOz 的交点.
解:设直线 AB 与 yOz 平面的交点为 C (0, y1 , y2 ) 由OC （ t） tOB得 1 OA
(0, 1 , 1 )（ t） 2, 3) t (2,1, 3) y z 1 (1, 0, 1 , 1 (1 t， 2 3t， 6t）（ y z） 3 OC （0， 5， 9 ）
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 n a 0 组 n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
练习（， 3 ）,（ 1，）,（，2 ） 2.已知两点 A 1 2， B 2，2 P 1 1， ,点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标. 解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3
对于直线 l 上的任一点 P , 存在实数 t 使得
此方程称为直线的向量参数方程 OP OA ta 或 OP xOA yOB (x y 1 ）
A
⑶平面
O
b
P
a
⑶平面
空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定. n 对于平面上的任一点 P , P b 存在有序实数对 ( x, y) ,使得 O a OP xa yb