§4用向量讨论垂直与平行
§4 用向量讨论垂直与平行
nav则,,
v b
与
平面α共面,一条直线l的
l
// 或l在内
存在两个实数x,
y, 使n
xa
yb
3.面面平行
两个不共线的向量
a,
v b 与平面α共面,则
// 或与重合 a//
且b//
mn
av v b
nv
l
av
v b
例3.（面面平行判定定理）若一个平面内有两条相交直线都平
行于另一个平面, 则这两个平面平行.
a // , b //
nv2
av
//
,
v b
//
nv2
nv2
av,
nv2
v b
aI b P
nnvv12
nv1 // nv2 //
练习3.如图所示,
已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,
设
uuuv AB
av,
uuuv AC
v b,
uAuAuuuAuMuv1uvcvk, 在uAuCu面uv1,对uBu角Nuv线 AkCuBu1Cu上v(0和棱kBC1上). 分别取点AM1 、N, 使
D1B1的中点.求证EF⊥平面B1AC.
z
证法2: 如图建立空间直角坐标系D-xyz,
D1
F
C1
u设uBuv正1(2方,2体,2)的, E棱(2长,u2u,为u1v),2F，则(1,A1(,22),0 ,u0u)uv, C(0,2,0）A1
B1
EF (1, 1,1), AC (2, 2, 0), AB1 (0, 2, 2)
B
EF // B1D1
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AC EF
4.用向量讨论垂直和平行问题
练习：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直.
（一）用向量处理平行问题
例1: 如图已知四边形ABCD、 ABEF为两个正方形, MN 分别在其对角线BF 上,
F M E
B
C
N 且FM AN .求证：MN // 平面EBC A 证明 : 在正方形ABCD与ABEF中, D BE AB, FM AN , , FB AC 存在实数, 使FM FB, AN AC. MN MF FA AN BF EB AC ( BE BA AB AD) EB ( BE AD) EB ( BE BC ) BE ( 1) BE BC.
作业：1. 如图, 直三棱柱ABC A1 B1C1中, ACB 90 ,
0
AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1B1B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD 平面BDM
A Z
A1
D
B X
A1B, DM 为平面BDM内的两条相交直线, CD 平面BDM .
两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD 平面BDM
A
A1
解:
如图,以C为原点建立空间直角坐标系. B( 2 ,0,0), B1 ( 2,1,0), A1 (0,1,1),
D
C
C1
M Y
B1
2 1 1 2 B D( , , ), M ( ,1,0), 2 2 2 2 X 2 1 1 1 1 CD ( , , ), A1 B ( 2, 1, 1)， (0, , ), DM 2 2 2 2 2
用向量讨论垂直于平行
用向量讨论垂直于平行部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑设计人：雷义平教师寄语：不要等待机会，而要创造机会。
时间---------------- 班级---------- 学生姓名-------- -----------§2-4《用向量讨论平行与垂直》问题导读---评价单学习目标：1．理解用向量方法解决立体几何问题的思想。
2．掌握用向量方法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题。
学习重难点：1、空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示2、用向量语言证明立体几何中有关垂直、平行关系的问题.学习过程：一、阅读文本，解决以下问题。
1.怎样确定直线的方向向量？2.怎样确定平面的法向量？3.如何利用向量知识判断直线与平面间的平行或垂直问题？4.用向量语言表述线与面之间的平行与垂直关系. 设空间直线、的方向向量分别为、，平面的法向量分别为、，则：b5E2RGbCAP①线线平行：或与重合即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
②线线垂直：即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。
③线面平行：且在平面外即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外。
④面面平行：或与重合即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。
⑤线面垂直：即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。
⑥面面垂直： 5. 求平面法向量的方法步骤：p1EanqFDPw6. 三垂线定理：二．我的疑惑：问题解决---评价单1、平面α的一个法向量为(1,2,0>，平面β的一个法向量为(2，－1,0>，则平面α与平面β的关系是( >DXDiTa9E3dA．平行 B．相交但不垂直C．相交且垂直 D．无法判定2、在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，则AC与平面DEF的位置关系是( >A．平行 B．相交C．在平面内 D．不能确定3、已知一平面的法向量为(1,2，－1>，则与此平面垂直的向量可以是( >A．(2,4，－2> B．(1，－1，－1>C．(0,1,2> D．(1,0，－1>4、在正方体AC1中，O1为B1D1的中点，求证：BO1∥平面ACD1.问题拓展---评价单1 如下图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．求证：平面EFG∥平面AB1C.RTCrpUDGiT2 ABC－A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D 是侧棱CC1的中点．求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
《用向量讨论垂直与平行》第一课时参考教案
2.4 用向量讨论垂直与平行 第一课时教案一、教学目标：1．理解直线的方向向量和平面的法向量； 2．会用待定系数法求平面的法向量。
二、教学重点：直线的方向向量和平面的法向量；教学难点：求平面的法向量 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？ （二）、探析新课 1、直线的方向向量我们把直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量 2、平面的法向量如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥，那么向量叫做平面α的法向量。
（三）、知识运用1、例1 在正方体1111D C B A ABCD -中，求证：1DB 是平面1ACD 的法向量证：设正方体棱长为1，以1,,DD 为单位正交基底， 建立如图所示空间坐标系xyz D -)1,1,1(1=DB ，)0,1,1(-=AC ，)1,0,1(1-=AD 01=⋅DB ，所以DB ⊥1同理11AD DB ⊥ 所以⊥1DB 平面ACD从而1DB 是平面1ACD 的法向量。
2、 例2 在空间直角坐标系内，设平面α经过点),,(000z y x P ，平面α的法向量为),,(C B A =，),,(z y x M 为平面α内任意一点，求z y x ,,满足的关系式。
解：由题意可得),,(000z z y y x x PM ---= 0=⋅即0),,(),,(000=---⋅z z y y x x C B A 化简得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 3、课堂练习已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4)AB =-，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--（1）求证：AP 是平面ABCD 的法向量； （2）求平行四边形ABCD 的面积．（1）证明：∵(1,2,1)(2,1,4)0AP AB ⋅=--⋅--=，(1,2,1)(4,2,0)0AP AD ⋅=--⋅=，∴AP AB ⊥，AP AD ⊥，又AB AD A =，AP ⊥平面ABCD ，∴AP 是平面ABCD 的法向量．（2）||(2)AB ==2||4AD ==， ∴(2,1,4)(4,2,0)6AB AD ⋅=--⋅=，∴cos(,)105AB AD ==，∴sin BAD ∠==∴||||sin ABCDSAB AD BAD =⋅∠=（四）、回顾总结：1、直线得方向向量与平面法向量得概念；2、求平面法向量的方法。
2-3-4用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
→ n· ＝0， （x，y，z）· DM （0，2，1）＝0， 则 即 → （1，2，0）＝0， n· ＝0， （x，y，z）· DN 令 y＝1 得 x＝－2，z＝－2，∴n＝(－2，1，2)， → → ∴A1P＝n，∴A1P∥n， ∴A1P⊥平面 DMN.
的棱 CC1、BC、CD 的中点，求证：A1P⊥平面 DMN.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
证明
法一 如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，
则有 D(0，0，0)，A1(2，0，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1， 2，0)． → → → ∴A1P＝(－2，1，－2)，DM＝(0，2，1)，DN＝(1，2，0)， → → → → ∴A1P·DM＝0，A1P·DN＝0. ∴A1P⊥DM，A1P⊥DN， 又 DM∩DN＝D， ∴A1P⊥平面 DMN.
课堂讲练互动
活页限时训练
1 1 → n· ＝0， －2x0－2y0－z0＝0， OD 则 得 n·→ ＝0， －1x ＋1y ＝0. OC1 2 0 2 0 令 x0＝1，得 y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1，1，－1)． → 又B1C·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， → ∴B1C⊥n，∴B1C∥平面 ODC1.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
本题将证明线线平行问题转化为空间向量共线问 题，尤其是引进空间坐标系后使得解题思路更加清晰明了．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
【训练 2】 在正方体 ABCD- 1B1C1D1 中，O 是 B1D1 的中点， A 求证：B1C∥平面 ODC1. 证明 → → 法一 ∵B1C＝A1D，B1∉A1D，∴B1C∥A1D，
用向量方法解决平行与垂直问题 课件
，B
0，a，0 2
，
C 23a，0，0 ，D 0，a2，a2 ，E 23a，0，a ， 2分
∴A→D＝0，a，a2，A→C＝ 23a，a2，0， A→E＝ 23a，a2，a. 设面 ADE 的一个法向量为 n1＝(x，y，z)，
由 nn··AA→→DE＝＝00
ay＋a2z＝0，
⇔
23ax＋a2y＋az＝0.
● (1)线线垂直：①可以证明两直线的方向向量的数量积为0.
● ②可以证明两直线所成角为直角．
● (2)线面垂直：①根据判定定理转化为线线垂直．
● ②证明直线的方向向量与平面的法向量平行．
● (3)面面垂直：①根据判定定理证明线面垂直．
● ②证明两个平面的法向量垂直．
判定或证明垂直关系的方法主要是用判定定理或直线的方向向量、平面的法向量间的关系进行的．
求空间平面的法向量
●
正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱
A1D1，A1B1的中点，求平面EFBD的一个法向量．
思路点拨： 建立空间直角坐标系 → 相关点坐标 →
→→ DB，DE坐标
→
设法向量n＝x，y，z，由nn··DD→→BE＝＝00
用向量方法解决平行与垂直问题
直线的方向向量与平面的法向量
● 1．直线的方向向量的定义
● 直线的方向向量是指和这条直线____共__线__或__平__行的向量．
● 2．平面的法向量的定义
● 直线l⊥α，取直线l的_____方__向__向__量_，a 则a叫做平面α的法向量．
对直线的方向向量和平面的法向量的几点认识 (1)空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个方向确定．在直线 l 上取A→B＝a，a 可以作为 l 的方 向向量，借助点 A 和 a 即可确定直线 l 的位置，并能具体表 示出直线 l 上的任意一点．
高中数学-4-用向量讨论垂直与平行
(1)证明：设 E(0，a，z)， 则A→1E＝(－a，a，z－a)，B→D＝(－a，－a,0)， ∴A→1E·B→D＝a2－a2＋(z－a)×0＝0，
∴A→1E⊥B→D，即 A1E⊥BD．
(2)E 为 CC1 的中点．证明如下： 由 E 为 CC1 的中点得 E(0，a，a2)， 设 BD 的中点为 O，则 O(a2，a2，0)， O→E＝(－a2，a2，a2)，O→A1＝(a2，－a2，a)， B→D＝(－a，－a,0)，则O→E·B→D＝0，O→A1·B→D＝0.∴O→E⊥B→D，O→A1⊥B→D， ∴∠A1OE 为二面角 A1－BD－E 的平面角， 由O→A1·O→E＝0，则∠A1OE＝90°，∴平面 A1BD⊥平面 EBD．
＝(-a,a,-a)，∴n2＝1aB→1D＝(-1,1,-1)为面 A1BC1
的一个法向量．
(2)M 为 CD 中点，求面 AMD1 的一个法向量． 解：设 n＝(x0，y0，z0)为面 AMD1 的法向量， ∵A→M＝(a2，a,0)，A→D1＝(0，a，a)， ∴n·A→M＝x0，y0，z0·a2，a，0＝a2x0＋ay0＝0，
n·A→D1＝x0，y0，z0·0，a，a＝ay0＋az0＝0. 令 x0＝2，则 y0＝－1，z0＝1， ∴n＝(2，－1,1)为面 AMD1 的一个法向量．
求一个平面的法向量，主要有以下两种方法： 1．找该平面的垂线，以该垂线的方向向量为该平面的法向量． 2．对于一般位置状态的平面，采用以下步骤求法向量．
图 2－4－2 【思路探究】 要证明两个平面垂直，由两个平面垂直 的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平 面的法向量 n1，n2，证明 n1·n2＝0.
【自主解答】由题意得 AB,BC,B1B 两两垂直, AB＝BC＝2，BB1＝1， E 为 BB1 的中点．以 B 为原点，BA，BC，BB1 分别为 x，y，z 轴，
§4用向量讨论垂直与平行 (1)
用空间向量证明立体几何中的垂直
1.证明线面垂直：
（1）求出这条直线 的方向向量和平面 的法向量，证明这 两个向量平行（2） 在平面内任找两个 不共线的向量与这 条直线的方向向量 垂直。
2.证明面面垂直：
（1）分别求出这两 个平面的法向量， 证明这两个向量垂 直； （2）先用向量证明 线面垂直，再证明 面面垂直。
8
作业
1.学案1、2、3、4、5； 2、用向量语言表述平行 与垂直的八个定理。
9
（1）线面垂直判定定理 （2）面面平行判定定理 （3）三垂线定理
4
三、拓展运用
Z
E
F X
Y
5
四、学习总结6源自 用空间向量证明立体几何中的平行1.证明线面平行： 求出这条直线的 方向向量和平面 的法向量，证明 这两个向量垂直。 2.证明面面平行： （1）分别求出这两 个平面的法向量 ，证明这两个向 量平行； （2）先用向量证明 线面平行，再证 明面面平行。
学习目标
1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直 、平行关系。 2.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一 些定理。 3.体会学习的快乐。
2.4用向量讨论垂直与平行
雪枫中学 李静
一、温故探新
1.什么是直线的方向向量？
2什么是平面的法向量？ 回顾向量知识，完成学案
3
二、合作学习
用空间向量证明
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F X
Y
12
练习： 在三棱柱ABC A ' B ' C '中， A ' C AB ', 求证：BC ' AB '
C' A'
B'
底面是正三角形，AA ' 底面ABC，
证明：设底面边长为1, 设a AA', b AB, c AC a b 0, a c 0, b c 1 / 2. A' C A' A AC c a
9
Y
（二）用向量处理垂直问题 例3 : 在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证：A ' F 平面BDE.
证明:如图 取 DA, DC , DD '分别为x轴,y轴,z轴 X 建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2.
7
例2.在正方形ABCD - A B1C1 D1中, 1 求证 : 平面A BD // 平面CB1 D1 1
三边所在的直线为x, y, z轴建立空间 A 直角坐标系.设正方体的棱长为1,
则A1 (1, 0, 0), B1 (1,1, 0),
X Z
D
证明 : 如图分别以D1 A1、D1C1、D1 D
Z
E
F
Y
A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0) 10
例3 : 在正方体ABCD A ' B ' C' D' 中. E,F分别是CC ', BD的中点.
Z
求证：A ' F 平面BDE. A ' F ( 1,1, 2), F Y DB (2,2,0), DE (0,2,1) A ' F DB ( 1,1, (2,2,0) 0, X 2) A ' F DE ( 1,1, (0,2,1) 0 2) A ' F DB, A' F DE, 又DB DE D A F 平面BDE . '
20
l
a
l
b
l m a b a b 0
a
u
m
l a // u a u
u
v
u v u v 0
21
利用向量解决平行与垂直问题
1
一、复习
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题 中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （化为 向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及 它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （回到图形 （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 问题）
2
2、平行与垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为 a b ， ， 平面 ， 的法向量分别为 u ， v
线线平行 l // m a // b a b 线面平行 l // a u a u 0 面面平行 // u // v u v
14
练习： 在三棱柱ABC A ' B ' C '中， 底面是正三角形，AA ' 底面ABC， A ' C AB ', 求证：BC ' AB '
设底面边长为2, 高为h, 如图建立空间直角坐标系. A( 3 ,0,0), B(0,1,0), C (0,1,0).
坐标法
C
C' A'
B'
B A
A' ( 3 ,0, h), B' (0,1, h), C ' (0,1, h). AB ' ( 3,1, h), A ' C ( 3, 1, h), BC ' (0, 2, h) 0 AB ' A ' C 3 1 h 2 , h 2 2. 2 AB ' BC ' 0 2 h 0. BC ' AB '
C
B
D1
C1
B1
C (0, 0,1), D (0, 0,1) 则A1 D ( 1, 0,1), B1C ( 1, 0,1) A1 D // B1C.即直线A1 D // B1C，
A1
Y
则A1 D // 平面CB1 D1.同理右证：A1 B // 平面CB1 D1.
B1
17
作业： 如图, 直三棱柱ABC A1 B1C1中, ACB 90 ,
0
AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1 B1 B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD 平面BDM
A
A1
D
则CD A1 B 0, CD DM 0. CD A1 B, CD DM . CD 平面BDM .
C
B A
向量法
AB' AB BB ' b a BC ' BA AC CC ' c a b
13
练习： 在三棱柱ABC A ' B ' C '中，
C' A'
B'
底面是正三角形，AA ' 底面ABC， A ' C AB ', 求证：BC ' AB ' 0 A ' C AB ' (c a) (b a) 2 c b c a a b a 2 1 a c b 2
4
（2）垂直关系
二、新课
（一）用向量处理平行问题
（二）用向量处理垂直问题
5
（一）用向量处理平行问题
例1: 如图已知四边形ABCD、 ABEF 为两个正方形, MN 分别在其对角线BF 上,
F M E
B
C
N 且FM AN .求证：MN // 平面EBC A 证明 : 在正方形ABCD与ABEF中, D BE AB, FM AN , , FB AC 存在实数 , 使FM FB, AN AC. MN MF FA AN BF EB AC ( BE BA AB AD) EB ( BE AD) EB ( BE BC ) BE ( 1) BE BC.
6
例1: 如图已知四边形ABCD、 ABEF 为两个正方形, MN 分别在其对角线BF 上,
F M
E
B
N
C
且FM AN .求证：MN // 平面EBC MN、 、 共面. BE BC
A
D
M 平面EBC , MN // 平面EBC
评注： 向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是 存在实数对x,y使p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 本题用的就是向量法。
C
B A
BC ' AB' (c a b) (b a) (c a 2a b) (b a) (2a b) (b a) 2 2 2 2 2 a a b b 2a b 1 1 0
A
A1
解: 如图,以C为原点建立空间直角坐标系. B( 2 ,0,0), B1 ( 2,1,0), A1 (0,1,1),
C
D
C1
M
B 2 1 1 2 D( , , ), M ( ,1,0), 2 2 2 2 2 1 1 1 1 CD ( , , ), A1B ( 2, 1, 1)， (0, , ), DM 2 2 2 2 2
15
三、小结
利用向量解决平行与垂直问题 向量法：利用向量的概念技巧运算解决问 题。 坐标法：利用数及其运算解决问题。 两种方法经常结合起来使用。
16
四 、 作 业
作业： 如图, 直三棱柱ABC A1 B1C1中, ACB 90 ,
0
AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1 B1 B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD 平面BDM
8
平面A1 BD // 平面CB1 D1.
例2.在正方形ABCD - A B1C1 D1中, 1 求证 : 平面A BD // 平面CB1 D1 1
D A B Z
C
C1
D1ห้องสมุดไป่ตู้
评注： A1 B1 X 由于三种平行关系可以相互转化， 所以本题可用逻辑推理来证明。 用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化， 在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系， 方能减少运算量。本题选用了坐标法。
3
（1）平行关系
设直线l，m的方向向量分别为 a b ， ， 平面 ， 的法向量分别为 u ， v
线线垂直 l m a b a b 0 线面垂直 l a // u a u 面面垂直 u v u v 0
B
C
C1
M
A1 B, DM 为平面BDM内的两条相交直线,
18
B1
教后反思